11. edo

Ecuaciones Diferenciales Ordinaria

Mg. Hermes Pantoja Carhuavilca

Universidad Nacional de IngenieraFacultad de Ingenieria Mecnica

Mtodos Numrico

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EcuacionesDiferencialesOrdinaria

Mg. HermesPantoja C.

IntroduccinEcuaciones DiferencialesProblema de Valor Inicial

Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta

Sistema EDOSistema EDO

EDO de ordensuperiorEDO de orden superior

Universidad Nacional deIngeniera

Facultad de IngenieriaMecnica

Agenda




EDO de orden superiorEDO de orden superior

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Introduccin3 Ecuaciones Diferenciales

Problema de Valor Inicial






Una Ecuacin Diferencial es una expresin matemtica queinvolucra al menos una derivada de una funcin desconocidade una o ms variables.Ecuacin diferencial ordinaria: Cuando la funcindesconocida depende de una sola variable.

dydx = 2x + y

Ecuacin diferencial parcial: cuando la funcindesconocida depende de ms de una variable.

2Vx2 +

2Vy2 = V

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El orden de una ecuacin diferencial lo define el orden de laderivada ms alta que aparece en la ecuacin.

dydx = 2x + y Es de primer orden

d2xdt2 + 2

dxdt 15x = 0 Es de segundo orden

El grado de una ecuacin diferencial lo define el exponentede la derivada de mayor orden, una vez que se han eliminadolas fracciones y los radicales en variable dependiente y en susderivadas

d2xdt2 + 2

dxdt 15x = 0 Es de primer grado(dy

dx

)2+ 2y x = 0 Es de segundo grado

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Aqu se presentan algunos ejemplos de ecuacionesdiferenciales con sus soluciones. En cada caso, t es lavariable independiente e y la variable dependiente. Portanto, y es el nombre de la funcin desconocida de lavariable independiente t:

Ecuacin:y y = ety +9y = et

y + 12x = 0

Solucin:y(t) = tet + cety(t) = c1 sin(3t) + c2cos(3t)y(t) =

c t

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IntroduccinEcuaciones Diferenciales

6 Problema de Valor Inicial






Forma estndar del Problema de Valor Inicial para unaecuacin diferencial de primer orden{

y = f (t, y)y(a) est dada

Se llama Problema de Valor Inicial (PVI) porque t se puedeinterpretar como el tiempo y t = a se puede pensar como elinstante inicial en el tiempo.Ecuacin:y = y + 1y = 6t 1y = ty + 1

Valor inicialy(0) = 0y(1) = 6y(0) = 0

Soluciny(t) = et 1y(t) = 3t2 t + 4y(t) =t2 + 1 1

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DefinicinDada la funcin f : R2 R, un intervalo [t0,T ] y un valory0 R, el problema de valor inicial consiste en determinaruna funcin y : [t0,T ] R que verifique una ecuacindiferencial de primer orden

y (t) = f (t, y(t)), t [t0,T ]

con la condicin inicial

y(t0) = y0

Nota: Antes de empezar a resolver el problema, interesagarantizar que esta tiene solucin nica.

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TeoremaSea f : R2 R una funcin tal queI f es continua en [t0,T ] con respecto al primer

argumento.I f es continua segn Lipschitz con respecto al segundo

argumento, esto es, existe una constante L > 0(llamada constante de Lipschitz) tal que

|f (t, y1)f (t, y2)| L|y1y2|, t [t0,T ], y1, y2 R

Entonces, el problema de valor inicial posee una solucin yque es nica. Adems, la solucin y es continuamentediferenciable en [t0,T ].

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EjemploDemostrar que el Problema de Valor Inicial

dydt =

2t y + t

2et

y(1) = 0

tiene solucin nica en el intervalo [1, 2].Solucin:f (t, y) = 2t y + t

2et continua en su dominio, y como

|f (t, y1) f (t, y2)| = |2t ||y1 y2| 2|y1 y2|

Donde la constante de Lipschitz L = 2, luego se verifica quetiene solucin nica.

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Solucin Numrica10 Mtodos de un Solo Paso

Metodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta





Solucin Numrica

Pasos:1. Definir una malla {ti} i = 0, 1, . . . ,N en el intervalo

[t0,T ];2. Desde i = 1 hasta i = N, determinar los yi que ser el

valor de la solucin aproximada de y(ti).El y0 es la condicin inicial conocida. Los mtodosnumricos se distinguen por la forma como son calculadoslos valores sucesivos de yi .Los mtodos en donde el clculo de yi es realizado solo conla informacin en el intervalo [ti1, ti ] se llaman mtodosde un solo paso. Los que recurren a informacin fuera deeste intervalo para determinar yi se llaman mtodos demltiple paso, o de paso mltiple.

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Solucin NumricaMtodos de un Solo Paso

11 Metodo de EulerMetodo de TaylorMetodo de Runge Kutta





Mtodo de Euler

Este mtodo rara vez se usa en la prctica, debido a que esel menos preciso de los mtodos que veremos. Sin embargosu derivacin es tan simple que permite ilustrar las tcnicasque normalmente se utilizan en la construccin de mtodosms avanzados. Pretendemos resolver{

y (t) = f (t, y(t)), t0 = a t by(t0) = y0 Condicin Inicial

Tomamos el tamao de paso h > 0 (h = (b a)/n)definiendo tj = t0 + jh, j = 0, 1, 2, . . . , ny obtenemos de tal manera

yj+1 = yj + hf (tj , yj) j = 0, 1, 2, . . . , n 1

siendo los yj aproximaciones para y(tj)

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EjemploAplicar el mtodo de Euler para aproximar la solucin delproblema de valor inicial{

y (t) = y + t + 1, 0 t 1y(0) = 1

Solucin:El primer paso, es encontrar el tamao de paso h, eligiendon = 10h = b an =

1 010 = 0.1

y1 = y0 + hf (t0, y0) = 1+ 0.1 f (0, 1) = 1y2 = y1 + hf (t1, y1) = 1+ 0.1 f (1, 1) = 1.01...

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La solucin exacta es y(t) = t + et . La siguiente tablamuestra la comparacin entre los valores aproximados yj ylos valores exactos y(tj).

Ntese que el error crece ligeramente conforme el valor de tjaumenta

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Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de Euler

14 Metodo de TaylorMetodo de Runge Kutta





Mtodo de Taylor de Orden Superior

Podemos desarrollar la funcin y(t) en una serie de Tayloralrededor del punto tj de manera de poder encontrar y(tj+1)

y(t) = y(tj)+hy (tj)+12h

2y (tj)+. . . donde h = tj+1tj

El mtodo de Euler consiste en truncar esta serie al primerorden.Si truncamos la serie de Taylor al orden n tenemos elmtodo de Taylor de orden n

yj+1 = yj + hf (tj , yj) +h22 f(tj , yj) + . . .+

hnn! f

(n1)(tj , yj)

Los mtodos de Taylor de orden elevado no son en generalde aplicacin muy prctica, utilizaremos en muchos casossolo el mtodo de Taylor de orden 2.

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Mtodo de Taylor de Orden 2

PVI {y (t) = f (t, y(t)), t0 = a t by(t0) = y0 Condicin Inicial


yj+1 = yj + hf (tj , yj) +h22 f(tj , yj) j = 0, 1, 2, . . . , n 1

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EjemploAplicar el mtodo de Taylor de Orden 2 para aproximar lasolucin del problema de valor inicial{

y (t) = y + t + 1, 0 t 1y(0) = 1

Considere h = 0.1Solucin:f (t, y) = y + t + 1f (t, y) = y + 1 = y t 1+ 1 = y tLuego: y1 = y0 + h(y0 + t0 + 1) + h

2

2 (y0 t0) = 1.005y2 = 1.019025

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Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

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Solucin NumricaMtodos de un Solo PasoMetodo de EulerMetodo de Taylor

18 Metodo de Runge Kutta





Mtodo de Runge Kutta

Los mtodos de Taylor esbozados en la seccin anteriortienen la desventaja de requerir el clculo y la evaluacin delas derivadas de f (t, y). Este puede ser un procedimientomuy complicado y que consuma mucho tiempo para unagran cantidad de problemas. Es por ello que los mtodos deTaylor se usan muy poco en la prctica. Los mtodos deRunge Kutta eliminan el clculo y la evaluacin de lasderivadas de f (t, y) .

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Mtodo de Runge Kutta de Orden 2

Conocido Tambin como el mtodo de Heun EulerMejoradoPVI {



k1 = hf (tj , yj)k2 = hf (tj+1, yj + k1)yj+1 = yj +

12(k1 + k2)

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EjemploAplicar el mtodo de Runge Kutta de Orden 2 paraaproximar la solucin del problema de valor inicial{

y (t) = y + t2 + 1, 0 t 1y(0) = 1

Considere h = 0.1Solucin:f (t, y) = y + t + 1k1 = hf (tj , yj) = h(yj + t2j + 1)k2 = hf (tj+1, yj + k1) = h[(yj + k1) + t2j+1 + 1]Luego: k1 = hf (t0, y0) = h(y0 + t20 + 1) = 0k2 = hf (t1, y0 + k1) = h[(y0 + k1) + t21 + 1] = 0.001y1 = y0 +

12(k1 + k2) = 1.0005

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Mtodo de Runge Kutta de Orden 4

Este es el mtodo ms empleado en la prctica. Surge deaproximar la integral de f (t, y) por la regla de Simpson 1/3PVI {


Tomamos el tamao de paso h > 0 (h = (b a)/n)definiendo tj = t0 + jh, j = 0, 1, 2, . . . , n ; obtenemos detal manera

k1 = hf (tj , yj)k2 = hf (tj +

h2 , yj +

k12 )

k3 = hf (tj +h2 , yj +

k22 )

k2 = hf (tj + h, yj + k3)yj+1 = yj +

16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

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EjemploAplicar el mtodo de Runge Kutta de orden 4 para aproximarla solucin del problema de valor inicial{

y (t) = y + t + 1, 0 t 1y(0) = 1

Considere h = 0.1Solucin:f (t, y) = y + t + 1k1 = hf (tj , yj) = h(yj + tj + 1)k2 = hf (tj +

h2 , yj +

k12 ) = h

((yj + k12 ) + (tj +

h2 ) + 1

)k3 = hf (tj +

h2 , yj +

k22 ) = h

((yj + k22 ) + (tj +

h2 ) + 1

)k4 = hf (tj + h, yj + k3) = h ((yj + k3) + (tj + h) + 1))

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Luego:f (t, y) = y + t + 1k1 = hf (t0, y0) = h(y0 + t0 + 1) = 0k2 = hf (t0 +

h2 , y0 +

k12 ) =

h((y0 + k12 ) + (t0 +

h2 ) + 1

)= 0.005

k3 = hf (t0 +h2 , y0 +

k22 ) =

h((y0 + k22 ) + (t0 +

h2 ) + 1

)= 0.00475

k4 = hf (t0 + h, y0 + k3) = h ((y0 + k3) + (t0 + h) + 1)) =0.009525Finalmente:

y1 = y0 +16 [k1 + 2k2 + 2k3 + k4] = 1.00483750

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Sistema EDO26 Sistema EDO




Sistema de Ecuaciones Diferenciales

Dadas las funciones f1, f2, . . . , fn de Rn+1 en R, un sistemade ecuaciones diferenciales de orden 1 definido por

du1dt = f1(t, u1(t), u2(t), . . . , un(t))du2dt = f2(t, u1(t), u2(t), . . . , un(t))...dundt = fn(t, u1(t), u2(t), . . . , un(t))

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El PVI consiste en determinar las funciones u1, u2, . . . , un enun intervalo [a, b] que satisfacen estas ecuacionesdiferenciales y las condiciones iniciales:

u1(a) = u1,0 u2(a) = u2,0 un(a) = un,0

Matricialmente:u(t) = f(t,u(t))

f : Rn+1 R donde f = [f1, f2, . . . , fn]T y u es una funcinde R en Rn donde u = [u1, u2, . . . , un]T .Condicin inicial:

u(a) = 0

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Mtodo de Euler

Los mtodos numricos aplicado a EDO de valor inicialpueden ser aplicados de forma inmediata para el casomatricial (sistemas de ecuaciones).

ui+1 = ui + hFh(ti ,ui)

Escogemos un entero N > 0 y tomamos h = (b a)/N paradividir el intervalo [a, b] en N sub-intervalos con puntos dered

tj = a + jh j = 0, 1, 2, . . . ,N 1La funcin Fh se define en trminos de f, de manera anlogaal caso escalar.

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Ejemplo

Considere el siguiente problema de valor inicial{u1 = u1u2u2 = t + u1 u2

u1(0) = 1, u2(0), t [0, 1]

1. Determinar una solucin aproximada por el mtodo deEuler con tamao de paso h = 0.1.

2. Determinar una solucin aproximada por el mtodo deTaylor de orden 2 con tamao de paso h = 0.1.

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Se define f1 y f2 por{f1(t, u1, u2) = u1u2f2(t, u1, u2) = t + u1 u2

1. La expresin del mtodo de Euler es

ui+1 = ui + hFh(ti ,ui)

Toma en este caso la forma

ui+1 =(

u1,i+1u2,i+1

)=

(u1,iu2,i

)+ h

(f1(ti , u1,i , u2,i)f2(ti , u1,i , u2,i)

)

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Adems:u1,i+1 = u1,i + 0.1 u1,iu2,i

u2,i+1 = u2,i + 0.1 (ti + u1,i u2,i)Para i = 0, 1, 2, . . . , 9 con las condiciones iniciales

u1,0 = u1(0) = 1

u2,0 = u2(0) = 0

La tabla siguiente representa los valores obtenidos:

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2 La expresin del mtodo de Taylor de orden 2 es

ui+1 = ui + hFh(ti ,ui) + (h2/2)F h(ti ,ui)

Siendo entonces necesario determinar f 1 y f 2 .

f 1(t, u1, u2) = u2u1 + u1u2 = u1u22 + u1(t + u1 u2)f 2(t, u1, u2) = 1+ u1 u2 = 1+ u1u2 (t + u1 u2)Toma en este caso la forma

ui+1 =(

u1,i+1u2,i+1

)=

(u1,iu2,i

)+h

(f1(ti , u1,i , u2,i)f2(ti , u1,i , u2,i)

)+

h22

(f 1(ti , u1,i , u2,i)f 2(ti , u1,i , u2,i)

)

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Adems:

u1,i+1 = u1,i+0.1u1,iu2,i+0.005(u1,iu22,i+u1,i(ti+u1,iu2,i))

u2,i+1 = u2,i+0.1(ti+u1,iu2,i)+0.005(1+u1,iu2,i(ti+u1,iu2,i))Para i = 0, 1, 2, . . . , 9 con las condiciones iniciales

u1,0 = u1(0) = 1

u2,0 = u2(0) = 0


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EDO de ordensuperior

36 EDO de orden superior



EDO de orden superior

La ecuacin diferencial general de orden n de la forma

y (n) = f (t, y(t), y (t), . . . , y (n1)(t)) a t b

con condiciones iniciales

y(a) = u1,0, y (a) = u2,0, . . . , y (n1)(a) = un,0

parau1,0, u2,0, . . . , un,0 R

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Se convierte en un sistema de ecuaciones diferenciales deprimer orden al hacer

y = u1y = u2...y n1 = uny n = f (t, y(t), y (t), . . . , y (n1)(t))

Usando esta notacin, obtenemos el sistema de primer orden

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du1dt =

dydt = u2

du2dt =

dy dt = u3...

dun1dt =

dy (n2)dt = un

dundt =

dy (n1)dt = y

(n) = f (t, y(t), y (t), . . . , y (n1)(t))

con condiciones inicialesu1(a) = y(a) = u1,0u2(a) = y (a) = u2,0...un(a) = y (n1)(a) = un,0

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Ejemplo

Determinar por el mtodo de Euler con tamao de paso 0.05una solucin aproximada de

+ 10 sin = 0

(0) = 0.1 (0) = 0

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El primer paso, es definiru1 = u2 =

Luego se obtiene un sistema de ecuaciones diferencialesdu1dt = u2du2dt =

= 10 sin = 10 sin u1Luego las expresiones de recurrencias sern

u1,i+1 = u1,i + 0.05 u2,iu2,i+1 = u2,i 0.05 10 sin(u1,i)

Para i = 0, 1, 2, . . . , 9 con las condiciones inicialesu1,0 = u1(0) = 0.1u2,0 = u2(0) = 0

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EDO de orden superiorEDO de orden superior

11. edo

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