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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIAECUACIONES DIFERENCIALES
Cod. 100412
ECUACIONES DIFERENCIALES
FASE DOS
Presentado a:William de Jesús Montoya enao
!"tor
Entre#ado $or:
Ana Milena Pre%iado &am'aC(di#o: )*+,-+.*
Natalia Andrea Moreno COlinaC(di#o: ///-*0).*/
1idy Mar%ela Ma2e%2a Moreno
C(di#o: )*+,+).,
An#ela &a'riela &on3ale3 Man%illaC(di#o: -)-0,4*0
5666666 56666 566666C(di#o: 66666
&r"$o: /,,4/*74.
UNI8ERSIDAD NACIONAL A9IER!A 1 A DIS!ANCIA UNADESCUELA DE CIENCIAS 9ASICAS !ECNOLO&IA E IN&ENIERIA
PRO&RAMA DE IN&ENIERIA DE ALIMEN!OSCEAD JOS; ACE8EDO 1 & del *,/-9O&O!? D@C@
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IN!RODUCCION
La ecuación diferencial es una herramienta versátil para análisis. Siendo unaexcelente representación de un gran número de situaciones dinámicas y su teoríaasociada es suficientemente rica para suministrar elementos para su comprensión.Múltiples problemas de significativa importancia en diversos campos del ser humano,re uieren para su estudio de la elaboración de un modelo matemático ue losrepresente. Las cuales han ad uirido una importancia relevante con el crecimiento deestudio y simulación de sistemas discretos en las diferentes disciplinas ue modelan yestudian como la !ngeniería, la economía, dado a ue es más a"ustado a la realidad.
Las ecuaciones diferenciales es un tema nuevo para nosotros. #un así ya estamosfamiliari$ados con el problema de resolver ecuaciones y sistemas de ecuacionesalgebraicas, y tambi%n tenemos una idea clara de lo ue es una solución aun cuandoen muchos casos se nos es difícil encontrarla, como es el caso de las ecuaciones dealto grado o ue involucran funciones trascendentes.
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DESARROLLO DE LA AC!I8IDAD INDI8IDUAL
Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior
!ndi ue cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homog%neas con
coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homog%neas yresu%lvalas.
PUN!O 9
y ´ ´ +8 y ´ +16 y= 0
&espuestaNom're est"diante "e reali3a eleBer%i%io:
1ID1 MARCELA MA EC A MORENO
PROPOSICION ENUNCIADO OE5PRESI
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PUN!O C y´ ´ +2 y´ − y= 0
&espuestaNom're est"diante "e reali3a eleBer%i%io:
Natalia Andrea Moreno Colina
PROPOSICION ENUNCIADO OE5PRESI
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y= c1 e(− 1+√ 2) x+c 2 e
(− 1− √ 2 ) x
21 c1 e(−1 +√ 2) x(0 )+c 2 e(− 1−
√ 2 ) x(0)
0= c1+c
2
c 1=− c 2c 2=− c 1
√ 2− 1 ¿e(√ 2−1 )(0)+c2 (−√ 2− 1)e (−√ 2− 1)(0)
1= c 1¿
1= c 1 (√ 2− 1)+c 2 (−√ 2− 1)
− c
(¿¿1)(−√
2− 1)1= c 1 (√ 2− 1)+¿
1= c 1 √ 2 − c 1+c 1 √ 2+c 1
1= 2 c 1√ 2
c 1=1
2 √ 2
3ondiciones propuestas
)onde y /2012 y4/201&eempla$ando
c 2= −12 √ 2
c 1=− c 2c 2=− c 1
√ 2− 1 ¿e(√ 2−1 )(0)+c2 (−√ 2− 1)e (−√ 2− 1)(0)
−1= c 1¿
− 1 = c 1 (√ 2− 1)+c2 (− √ 2− 1 )
− c
(¿¿1)(− √ 2− 1)− 1= c 1(√ 2− 1)+¿
− 1= c 1√ 2− c1 +c 1 √ 2+c1
− 1 = 2 c1 √ 2
Solución de 3 , y 3- teniendo encuenta los fundamentos propuestoscomo condiciones
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c 1= − 12 √ 2
c 2= +12 √ 2
PUN!O D
} +14 {y} ^ {´} + 8y=0! y¿
&espuestaNom're est"diante "e reali3a eleBer%i%io:
Ana Milena Pre%iado &am'a
PROPOSICION ENUNCIADO OE5PRESI
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m=
− 14!
±√− 00$2
=
− 14!
±10 √
!i
2
Se reali$a operaciones y se simplifica
x1=
− 14
! +10
√
! i
2 = − %! + √ ! i
x2=
− 14!
− 10√
! i
2 = − %
! −
√ !
i
Se cambian signos en las operaciones
en x1 y x2
y= c1 e−%/ ! x&"s( √ ! x)+c 2 e−%/! x sen( √ ! x) (sta es la solución general
P"nto E
y ´ ´ − 4 y ´ +4 y= 0
&espuesta
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Nom're est"diante "e reali3a eleBer%i%io:
An#ela &a'riela &on3ale3 Man%illa
PROPOSICION ENUNCIADO OE5PRESI
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1e2
= C 1+C 2 1
)espe"andoc
1 y rempla$ando enla ecuación
− ! c 2= 2c 1− !2
c2= c 1
(n 11e2
= c 1+c 2
1e2
= − !2
c2+c 2
1e2
= −12
c2
− 2e 2
= c 2
− 0'2%= c2
c 1=− !2
c2
c 1=− !2
(− 0'2%)
c 1= 0'41
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*@ Demostrar "e 6 0 y 6 0 son sol"%iones linealmente inde$endientes de lasi#"iente e%"a%i(n di eren%ial:
x2 y− 4 x dydx
+6 y= 0
!ntervalo − ∞< x
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y= c1 e ! lnx +c 2 e 2 lnx
y= c1 el( x! +c 2 e
l( x2
y= c1 x! +c2 x2
x! y| x| ! Si − ∞< x
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&espuestaNom're est"diante "e reali3a eleBer%i%io:
Natalia Andrea Moreno Colina
PROPOSICION ENUNCIADO OE5PRESI
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¿cosx . 1&"s2 x
= 1&"s x
= sec x
u1=∫ w1w dx=− ∫secx. ta( x
1 . dx=− sec x+c
u2=∫ w 2w dx= ∫ sec x .dx = l( | ta( x+se y = u1 y1+u2 y2
y =− secx. &"s x+l | ta x+sec x| . sen
y = − 1&"s x
. &"s x+senx. l( | ta( x+secx|
y =− 1+senx. l |ta x+sec x|
;allando la solución participar
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( x! − 2 x) ( x2− 1)*ara dar solución a esta ecuación se debe
x − x! − 2 x! +2 x &esolver
! 6= x − x! − 2 x! +2 x
! = x4− ! x2− 6 x2 +2
! 4= 20 x! − 6 X − 12 x
! ! = 60 x2− 6− 12
! 2= 120 x
! 1= 120 = 0
(l operador ue anula es )=
x+! xye6 x )e la x el operador es )-
( ! − α )n ( ! − 6 )2 debemos encontrar el operador de la otraecuación
! 2( ! − 6)2 x+! xye6 x
! 2− 12 ! +!6 resultado
x e x
n= 2 y α = 1
( ! − 1)2 "l o e#ado# dife#encial $ue anula
xn− 1 e ax es ( ! − α )n
( ! − 1)2 x e x= 0
y( x)= x e x
y ´ ( x)= e x+ x e x
y ´ ´ ( x)= e x+e x+ x e x= 2 e x+ x e x
resultado
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! 2− 2 ! +1
2 e x+ x e x− 2 (e x+ x e x)+ xe x= 02 e x+ x e x− 2 e x− 2 x e x+ x e x= 0
0= 0
=0 6. Resolver la siguiente ecuación diferencial:
x2 y ´ ´ + x y ´ + y= 0
Nom're est"diante "e reali3a el eBer%i%io: AN&ELA &A9RIELA &ON=ALE=MANCILLA
PROPOSICION ENUNCIADO OE5PRESION MA!EMA!ICA
RA=ON O E5PLICACION
y= xm
y ´ = xm− 1
y ´ ´ = m(m− 1 ) xm −2
x2 . m(m− 1 ) xm− 2 + x m xm− 1 + xm= 0
xm m2− m+ xm m+ xm= 0
m(¿¿2− m+m+1)= 0
xm ¿
m(¿¿2+1)=0
xm
¿
− b± √ b2− 4 ac
2 a
− 0± √ 0 2− 4)1)1
2)1
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0 ±√ − 4
2
0 ±√ 2%
2
0 ± 1 %
m1= 0+1 % m2= 0− 1% ∝ = 0 &= 1
' = X ∝ [C 1 &"s (&lnx)+c 2 si( (&lnx)]
' = X 0[C 1 &"slnx+c 2 si lnx ]' = C 1 &"slnx+c 2 si lnx
' = C 1 &"slnx+c 2 si lnx RESUL!ADO
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DESARROLLO DE LA AC!I8IDAD COLA9ORA!I8A
Primera A%ti idad
8na masa ue pesa > lb, estira un resorte ? pulgadas al llegar al reposo en e uilibrio yse le aplica una velocidad de @- piesAseg dirigida hacia aba"o. )espreciando todas lasfuer$as de amortiguación o externas ue puedan estar presentes, determine laecuación de movimiento de la masa "unto con su amplitud, periodo y frecuencia natural.3uánto tiempo transcurre desde ue se suelta la masa hasta ue pasa por la posiciónde e uilibrioB
PROPOSICION ENUNCIADO O E5PRESIONMA!EMA!ICA
RA=ON O E5PLICACION
!nicialmente el resorte no esta estirado.
(l resorte se estira por causa de la masa Sunidades de longitud hasta uedar ene uilibrio por balances de fuer$as.
− m( +)* = 0(1)
− m d2 x
d t 2 =− m( +) (*+ x)
− m d2 x
d t 2 =− m( +)* +)x
Se despla$a hacia aba"o x unidades mediantela acción de un fuer$a por balance de fuer$as
m d2 x
d t 2 =− )x
C
d 2 xd t 2
= − )xm
La ecuación / 0 se deduce
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d 2 xd t 2
+)xm
= 0
#2 + ) m=0
#= ±√ ) m i(sta es la ecuación característica
x(t )= c 1 e0 t &"s√ ) m t +c2 e 0 t sen √ ) m t x(t )= c 1 &"s√ ) m t +c 2 sen√ ) m t x (t )=− c 1√ ) m sen√ ) m t +c 2√ ) m &"s√ ) m t
Se aplica esta ecuación
x(0 )= 0
x (0 )=− √ 2 ies/se(
#demás − m( +)* = 0
)onde
*= ! ul(1 ie12 ul)= 14 ie
Se asumo ue el nivel o de movimiencuando la masa estira el resorte hasta ele uilibrio.
y m= 4 lb!2 ie/se( 2
= 18
luego
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) = 414
1 =
x(t )= c 1 &"s√1618
t +c2 sen√1618
t Se reempla$a
x(t )= c 1 &"s8 √ 2 t +c 2 sen 8 √ 2 t
x (t )= ¿ D 8 √ 2c 1 sen 8 √ 2 t +8 √ 2 c 2 &"s8√ 2 t
Se simplifica
x(0 )= 0 = c 1 &"s 8 √ 2 /20E c2 sen 8 √ 2(0)
0 = c 1 &"s0 +c 2 sen 0
0= c 1
x (0 )=− √ 2= 8 √ 2 c2 &"s8√ 2(0 )
− √ 2 = 8 √ 2 c 2
− √ 28 √ 2
= c 2
− 18
= c 2
Se utili$an estos valores iniciales pardeterminar las contantes c 1 y c2
x(t )= − 18
sen 8 √ 2 (t )
x (t )=− √ 2&"s8 √ 2 (t )
(stas ecuaciones describen el movimiento
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#mplitud118
*eriodo12 +
8 √ 2=
√ 28
+
'recuencia11
e#iodo= 4
√ 2+
Se obtienen datos de amplitud, periodo frecuencia
− 18
sen (8 √ 2 t )= 0
8 √ 2 t = +
t = + 8 √ 2
t = 0)2%se(
La masa pasa de nuevo por el punto dee uilibrio en el instante en ue x /t012. *ortanto
t = 0)2%se( (s el tiempo ue transcurre desde ue sesuelta la masa hasta ue pasa por la posiciónde e uilibrio
Por
Mar%ela Ma2e%2a
02
2
=+ xmk
dt xd 3omo estamos en el caso de una Fibración
simple no amortiguada, tenemos la ecuación
)()cos()( 21 t mk
senC t mk
C t x +=La sol"%i(n #eneral es
4
1
4 k mg ==*ara encontrar G observamos ue la masa de> Lb, estira el resorte ? pulgadas o H de pie.(mpleando la ley de ;oo:e, se tiene
288/1
16 ==mk Lo ue implica G1 = lbApie. 3omo g
pieAseg-, se tiene m1>A?-1 AI *or lo tan
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)28()28cos()( 21 t senC t C t x +=
Luego,
2
1
28)0´(2
)0(2
1
C xC x==
==!mponiendo las condiciones iniciales son
J121 = *ulgadas 1 K pie y J4/20 12
pieAseg, donde
)28(81
)28cos(21
)( t sent t x +=Lo ue implica
81
21
21 == yC C por lo tanto la
ecuación del movimiento de la masa es
326.1)4arctan(
)28(817
)(
4)tan(,817
2
122
21
==
+=
===+=
φ
φ
φ
Con
t sent x
Entonces
C C C C A (ntonces de la forma Senoidal
817= A
*or lo tanto la amplitud es
2428
2 π π ==T (l periodo +
π 24= F
La frecuencia es
16042,028
28
==
−=
=+
t
t
t
φ π π φ 'inalmente el tiempo t ue trascurre desde
ue suelta la masa hasta ue pasa por la
posición de e uilibrio verifica
Se#"nda A%ti idad
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EJERCICIO 1 SOLUCI
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)33cos(4 213 t senC t C e t +−−
*ara1)0( = x y
0)0(' = x, se tiene el
sistema
11 C =
,
21 430 C C +−=
*or
tanto11 =C
y43
2 =C
'inalmente, la ecuación demovimiento tiene la forma
)3cos43
3()( 4 t t senet x t += −
Caso 2:10=b
La ecuación característica es0252 =++ λ λ b
, cuyas raíces
son5
21001010 2 =−±−
La ecuación de movimiento tiene laforma
t t t et C C teC eC t x 5215
25
1 )()( +=+=t t et C C eC t x 5
215
2 )(5)(' +−=
*ara1)0( = x y
0)0(' = x, se tiene el
sistema11 C = ,
12 50 C C −=
*or tanto11 =C y
52 =C
'inalmente, la ecuación demovimiento tiene la forma
)51()( 5 t et x t +=
Caso 3:14=b
La ecuacióncaracterística es
a. 0252 =++ λ λ b
, cuyas raíces
x(t )= c1 e− t +c 2 t e− t
3omo x/201 y x (0 )= 0
x(0 )= c 1 e− (0 )+c 2 t (0 )e
− (0 )= 1
c 1= 1
x (t )=− c 1 e− t +c2(e− t − t e− t )
x (t )=− e− t +c 2 (e− t − t e− t )
x (0 )=− e− (o)+c 2(e− (0)− (0)e− (0 ))
x (0 )=− +c 2= 0
c 2=
La (cuación de movimiento es x(t )= e− t + t e− t
x(t )= e− t (1 + t )
Caso 3:
La ecuación de movimiento es x(t )=(24 +%√ 2448 )e (−%+√ 24)t +(24 − %√ 2448 )e(− %− √ 24)t
*or Marcela Mahecha
Caso 1:6=b
La e%"a%i(n %ara%ter sti%a es:
0252 =++ λ λ b,
Cuyas raíces sona = 1b = 6c = 25
= − b±√ b2− 4 ac2 a
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son247
21001414 2 ±−=−±−
La ecuación de movimiento tiene laforma
t t
eC eC t x )247(
2)247(
1)( −−+− +=t eC eC t x (2
)247(1 )247()247()('
−−+− −−++−=
*ara1)0( = x
y0)0(' = x
, se tieneel sistema
211 C C +=
)247()247(0 21 −−++−= C C
*or tanto48
247241
+=C y
4824724
2
−=C
'inalmente, la ecuación demovimiento tiene la forma
t et x )247(48
2472448
24724)( −−
−+
+=
= − 6 ±√ 6 2− 4 (1 )(2 )
2 (1)
λ=
i432
10066 2 ±−=−±−
= − 6 ±√ !6 − 100
2=− ! ± 4 i
= −6
±√ −
642 =− ! ± 4 i
= − 6 ± 8 i2
=− ! ± 4 i
Dividiendo o tene!os: =− ! ± 4 i
"a ecuación de !ovi!iento tiene la for!a:' = C 1 eαx si( βx+C 2 eαx &"s βx
= α + βi
Reemplazando nuestros valores en lasolución general
x(t )= C 1 e− ! t si( 4 t +C 2 e− ! t &"s4 t
En la solución que ofrece el ejercicio,se encuentra este error, que se cambió
el orden de los términos α y β
t eC t seneC t x t t 3cos3)( 424
1−− +=
++−= − )3cos3(3)(' 21
41
t C t senC et x t
)33cos(4 213 t senC t C e t +−−
#e de e tener en cuenta las condicionesiniciales $ara deter!inar los valores de C 1 y
C2.
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1)0( = x ,
0)0(' = x
x(t )= C 1 e− ! t si( 4 t +C 2 e− ! t &"s4 t
x(0)=C 1 e− !∗0 si(4 ∗0+C 2 e−!∗0 &"s4∗0= 1
x(0)= C 1 e 0 si(0 +C 2 e 0 &"s0= 1
x(0 )= C 1∗0 +C 2∗1= 1
C 2 = 1
++−= − )4cos4(3)(' 21
3 t C t senC et x t
)44cos(4 213 t senC t C e t −−
++−= −
)0*4cos0*4(3)0(' 210*3
C senC e x
)0*40*4cos(4 210*3 senC C e −−
++−= )0cos0(3)0(' 210 C senC e x
)00cos(4 210 senC C e −
= %
+−= )(3)0(' 2C x )(4 1C = %
− ! (1)+4 C 1 = 0
C 1=!4
*or tanto C 1 =!4 y
C 2= 1
'inalmente, la ecuación de movimiento tiene la forma
)3cos433()( 4 t t senet x t += −
x(t )= !4
e− ! t si(4 t +e− ! t &"s4 t
-
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4 t !4
si( 4 t +&"s ¿
x(t )= e− ! t ¿
0252
2
=++ xdt dx
bdt
xd
Caso 2:10=b
La ecuación característica es0252 =++ λ λ b
,!u"as raíces son
52
1001010 2=
−±−
#o es $a %or&a correcta e a$$ar $as raíces
e esta ecuación, "a ue tiene raícesi*ua$es " e +a$or ne*ati+o. La %or&a
$antea a se e-e e ar ara n/&erosco& $e os.
Factorizando tenemos
( 1 + )( + ) = 0
2=− y 2=−
La ecuación e &o+i&iento tiene $a %or&at t t et C C teC eC t x 521
52
51 )()( +=+=
#ocorres on e e-i o a $a situación anterior.
x(t )= c1 e− t +c 2 t e− t (1)
Ahora hallamos la derivada
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Cod. 100412
t t et C C eC t x 521
52 )(5)(' +−=
$ ri&ert r&ino no se eri+ó " $as raíces co&o sa-e&osno corres on en.
x-
(t )=− c1 e− t
+c 2− c 2 t e− t
=(− c 1+c 2− c 2 t )
(2)
ara1)0( = x
3 !uan o 4 5 1, t 5 0 Procedimiento adicional
1= c 1 e− (0)+c 2(0 )e− (0 ) (1)
1= c 1+0
6 ora0)0(' = x
3 !uan o 4´5 0, t 5 0− c 1+c 2− c 2(0)e− (0 )
0= ¿ (2)
0=− c 1+c 2− 0
0 =− (1)+c 2− 0= c2+0
or tanto11 =C
"52 =C
7ina$&ente, $a ecuación e &o+i&iento tiene $a%or&a
Remplazo en la ecuación particular
x(t )= e− t
+ t e− t
(1)
)51()( 5 t et x t += 8es uesta errónea
x (t)5 (1+ t )e− t
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Cod. 100412
0252
2
=++ xdt
dxb
dt
xd
Caso 0: 'K/4
"a ecuación característica es:
a.0252 =++ λ λ b
,!u"as raíces son
2472
10014914 2 ±−=−±−
#o es $a %or&a correcta e a$$ar $as raíces
e esta ecuación.or $o tanto
7
7
07):7)(:(
2
1
11
−=−=
=
λ λ
λ λ
La ecuación e &o+i&iento tiene $a %or&a
t
t t
C eC t x
eC eC t x
2)247(
1
)247(2
)247(1
247()247()(
)(±−
±−±−
±−+±−=′+=
!o&o $os atos no corres on en entoncest t eC eC t x )7(2
)7(1)(
−− +=
t t eC eC t x )7(2)7(
1 )7()7()( −− −+−=′
ara ; (0)51 " x′
&%'=% se tiene elsiste!a
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Cod. 100412
4824724
4824724
)247()247(0
1
21
21
21
−=+=
±−+±−=+=
yC C
C C
C C
Procedimiento adicional
01
!!1
1
)0(72
)0(71
+=+ −−
C
ee
6 ora0)0(' = x
3 !uan o 4´5 0, t 5 0*t t eC eC t x )7(2
)7(1 )7()7()(
−− −+−=′
t eet x
C C
C C
()247(
21
21
)48
24724()
4824724
()(
)247()247(0
1
±− −++=
±−+±−=+=
0)7(2
0)7(1
)7(2
)7(1
)7()7()0()7()7()(
−−−−
−+−=′−+−=′
eC eC xeC eC t x
t t
2
2
2
2
21
021
02
01
14
7777
7)1(07
770
)77()0(
)7()7()0(
C
C C
C
C C
eC C x
eC eC x
==+ +−=
+−=+−+−=
−+−=′−+−=′
(or lo tanto: C1=1 y, C2=1)
*inal!ente, la ecuación de !ovi!iento
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tiene la for!a:
t eet x 247()247(48
2472448
24724)( +−−−
−+
+=
(ste falso
1+14 ¿e− %t x(t )= e− %t +14 e−%t x (t )= ¿
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CONCLUSIONES
• Los m%todos elementales de resolución de ecuaciones diferenciales lineales desegundo orden se basan /a menos ue sea una ecuación con coeficientes
constantes0 en la suposición de ue es sencillo hallar /normalmente por simpleinspección0 o nos viene dada una solución particular de la homog%nea asociada.•
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REFERENCIAS 9I9LIO&R?FICAS
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http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923http://www.monografias.com/trabajos/histomex/histomex.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/verpro/verpro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/admuniv/admuniv.shtmlhttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/id/10876923http://www.monografias.com/trabajos/histomex/histomex.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/verpro/verpro.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/admuniv/admuniv.shtmlhttp://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467