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TRABAJO COLABORATIVO FASE 2
MOMENTO 4
ESTUDIANTES:
CRISTIAN CAMILO MOZO
CODIGO: 1.057.593.644
DIEGO FERNANDO TIBADUIZA GARZON
CODIGO: 1.057.595.147
GERMAN ALBERTO FAJARDO
CODIGO: 1.057.595.708
DANIEL ANDRES BELLO
CODIGO: 1.057.595.820
KAREN XIOMARA CAMACHO
CODIGO: 1.057.597.707
CURSO: CALCULO INTEGRAL
GRUPO: #69
TUTOR:
ING. EDGAR ORLEY MORENO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)
CEAD SOGAMOSO
03 ABRIL 2015
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TRABAJO COLABORATIVO FASE 2 Pgina 2
INTRODUCCION
Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicacin, pero en este caso en particular,
nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales.
Con esta actividad aplicaremos el conocimiento adquirido para Integrales definidas, indefinidas, Anti
derivadas y algunos teoremas en la solucin de los ejercicios propuestos. Igualmente, aprenderemos a
trabajar en equipo y a fomentar el aprendizaje por medio de aportes y puntos de vistas de los
compaeros del grupo acadmico. El Clculo Integral es la rama de las Matemticas muy utilizadas en
Ciencias, Tecnologa, Ingeniera e Investigacin, que requiere un trabajo sistemtico y Planificado,
para poder cumplir el proceso fundamental de, tcnicas que permiten solucionar problemas de estos
campos. Por ello, la integracin es necesaria para otras reas matemticas ms avanzadas y tiene
muchas aplicaciones prcticas en nuestra vida profesional
La integracin es una herramienta matemtica fundamental del clculo, esta permite resolver muchas de
las cuestiones en diferentes ciencias del saber humano como la fsica, la economa, las ciencias sociales
entre otras, por eso es necesario conocer los mtodos de integracin, en el presente documento se
presentan diferentes mtodos de integracin , como lo es el mtodo de sustitucin e integracin por
partes, entre otros como el mtodo de fracciones parciales y sustitucin trigonomtrica; como lo es en
todo la practica hace al maestro y para poder dar solucin a situaciones problema de las ciencias
mencionadas es necesario conocer el mtodo de solucin matemtico que estas situaciones requieren.
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TRABAJO COLABORATIVO FASE 2 Pgina 3
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD
1. ()
Integracin por partes
u dv = u v du v
u = In(x) du =1
x v = x dv = dx
= In(x)x 1
xx dx
= xIn(x) 1dx
Se integra = La Integral de una constante: () = () = 1x Se simplifica:
= x Entonces:
= xIn(x) x Y se le agrega la Constante de Integracin:
= () + Lmites
f(x)dx = limxb(f(x)) limxa+(f(x))b
a
limxo+(xIn(x) x) = 0 limx1(xIn(x) x) = 1
In(x)dx = 1 01
0
() =
La integral es convergente
2.
()
Integracin por sustitucin
u = (x 1) du = dx dx = du
1
u2du
1
u2= u2
= u2 du
Aplicamos =+
+
=u2+1
2+ 1
=(x 1)2+1
2 + 1
= 1
x 1
Entonces:
-
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=
+
Lmites
f(x)dx = limxb(f(x)) limxa+(f(x))b
a
limx2+ (1
x 1) = 1
limx (1
x 1) = 0
1
(x 1)2dx = 0 (1)
2
() =
La integral es convergente
3.
Integracin por sustitucin
u = 5x du = 5dx dx = 1
5du
eu (1
5) du
eu
5du
Teniendo en cuenta: . () = ()
= 1
5eudu
= 1
5eu
Se sustituye =
1
5 e5x
e5x
5
Se aade la Constante de Integracin:
=
+
Lmites
f(x)dx = limxb(f(x)) limxa+(f(x))b
a
limx (e5x
5) =
limx (e5x
5) = 0
e5x
5dx = 0 ()
=
-
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4. +
4
x2 4dx +
x
x2 4dx
Integracin por sustitucin
x = 2sec() dx =2
cos()tan()du
41
(2sec ())2 4
2
cos ()tan ()du
4
2cos () tan ()
4sec2() 4du
4 2
1cos()
tan()
4sec2() 4du
4 2
tan ()cos ()
4sec2() 4du
SI () = (()
)
Entonces:
4 2
tan()cos()
4 (4sec2()
4 ) 1du
4 2
tan ()cos ()
2sec2() 1du
SI () = + () Entonces:
4 21
2
tan()cos()
1 + 1 + tan2()du
4 21
2
tan ()cos ()
tan2()du
SI () = () Entonces:
4 21
2
tan()cos()
tan()du
4 21
2
1
cos ()du
-
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SI
()= ()
Entonces:
4 21
2 sec()du
SI () = (() + ()) Entonces:
4 21
2In(tan() + sec ())
SI () = (
)
Entonces:
4 21
2In (tan(arcsec (
1
2x)) + sec (arcsec (
1
2x)))
=
(
+
)
Integracin por sustitucin
u = x2 4 du = 2xdx dx =1
2xdu
x
u1
2xdu
1
2udu
1
21
udu
SI
= .
Entonces: 1
2u0.5du
Aplicamos: =+
+
=1
2u0.5+1
0.5 + 1
SI = Entonces:
=1
2(x2 4)0.5+1
0.5 + 1
=
Agregamos su constante:
=
(
+
)
+ +
-
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Lmites:
f(x)dx = limxb(f(x)) limxa+(f(x))b
a
limx2+
(
4In
(
1
4x2x
2+x
2
)
+ x2 4
)
= 0
limx5
(
4In
(
1
4x2x
2+x
2
)
+x2 4
)
= 4In(5 + 21
2) + 21
e5x
5dx = 4In (
5 + 21
2) + 21 0
5
2
= ( +
) +
= .
5. ()
u = x du =1
2xdx du =
1
2udx dx = 2udu
sec2(u)
u2udu
2sec2(u)du
2 sec2(u)du
Si () = () Entonces:
= 2tan(u)
= 2tan(x)
()
= () +
6.
(+)
u = x du =1
2xdx du =
1
2udx dx = 2udu
1
(1 + u)2udu
22
(u + 1)du
( + )
2du = 2u
-
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2
(u + 1)du = 2In(x + 1)
2u 2In(x + 1)
SI = Entonces:
2x 2In(x + 1)
( + ) = ( + ) +
Lmites:
f(x)dx = limxb(f(x)) limxa+(f(x))b
a
limx1+(2x) = 2
limx1+ (2In(x + 1)) = In(4)
limx1+ (2x 2In(x + 1)) = 2 In(4)
limx4(2x) = 4
limx4 (2In(x + 1)) = In(9)
limx4 (2x 2In(x + 1)) = 4 In(9)
( + ) = ()
( ())
( + ) =
+ () ()
7. ()()
u = sen(x) du = cos(x)dx dx =1
cos(x)du
= u2cos(x)1
cos(x)du
= u2du
Aplicamos la siguiente formula: =+
+
=u2+1
2 + 1
SI = () Entonces:
=sen2+1(x)
2 + 1
()() =()
+
-
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Lmites:
f(x)dx = limxb(f(x)) limxa+(f(x))b
a
limx0+(sin3(x)) = 0
limx0+(3) = 3
limx0+ (sin3(x)
3) =
0
3= 0
limx2(sin3(x)) = 1
limx2(3) = 3
limx2(sin3(x)
3) =
1
3
() () =
() () =
8. ()
u = x2 1 du = 2xdx dx =1
2xdu
= xeu1
2xdu
= eu
2du
=1
2eudu
=1
2eu
Si = Entonces:
=1
2e
=e
2
Agregamos su constante:
() =
+
9.
(++)
Integracin por sustitucin:
( + ) +
u = (x + 2) du = 1dx dx = 1du
= 1
u2 + 91du
= 1
u2 + 9du
-
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Sustituir x=
u = 3v du = 3dv
= 1
(3v)2 + 93dv
= 1
3v2 + 3dv
= 1
3(v2 + 1)dv
=1
3
1
v2 + 1dv
Usamos la integral comn
+ = ()
Entonces:
=1
3arctan(v)
=
Y = ( + )
Entonces:
=1
3arctan (
1
3( + ))
=arctan (
x + 23 )
3
Agregamos la constante:
( + + ) = =
( + )
+
10.
= =
= 1
4 (2u)22du
= 1
2 2u2du
= (
)
Entonces:
= 1
2 (1 2u2
2 )du
=1
2
1
1 2u2
2
du
=1
2
1
1 u2du
= ()
Entonces:
-
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=1
2arctanh(u)
=
Entonces:
=1
2arctanh (
1
2x )
=arctanh (
x2 )
2
=
( )
+
11. + = + = =
= xu1du xudu
= + Entonces =
= xu1du (u 1)udu
= (u32 u)du
= u32 du udu
Aplicamos la siguiente ecuacin: =+
+
=u32+1
32 + 1
= 2u
52
5
Aplicamos la siguiente ecuacin: =+
+
=u0.5+1
0.5 + 1
=2u
32
3
Entonces:
=2u
52
52u
32
3
= +
-
TRABAJO COLABORATIVO FASE 2 Pgina 12
Entonces:
=2(x + 1)
52
52(x + 1)
32
3
+ =( + )
( + )
+
12.
()
= 2x
x2 3x 10dx
= 22
7(x + 2)+
5
7(x 5)dx
= 2 (2
7(x + 2)dx +
5
7(x 5)dx)
( + )
+
Integracin por sustitucin:
= + = =
=2
71
u1du =
2
71
udu
= ()
Entonces:
=2
7In(u)
Sustituir = +
=2
7In(x + 2)
=( + )
( )
Integracin por sustitucin:
= = =
=5
71
u1du
=5
71
udu
= ()
Entonces:
=5
7In(u)
= Entonces:
=5
7In(x 5)
-
TRABAJO COLABORATIVO FASE 2 Pgina 13
=( )
2(2In(x + 2)
7+5In(x 5)
7)
( ) = (
( + )
+( )
) +
-
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CONCLUSIONES
* En este trabajo se implementan las temticas de los Mtodos de integracin l, Mtodos de integracin
II y Mtodos de integracin III. Adems de las diferentes herramientas matemticas disponibles para el
desarrollo correcto de la actividad. Tambin se evala los conocimientos aprendidos durante el curso de
clculo integral y poder obtener un trabajo de gran calidad.
* Despus de realizar la constante se aplican las reglas de la integracin Integrales inmediatas son las
que salen directamente por la propia definicin de integral, es decir, la que se puede resolver de forma
ms o menos intuitiva pensando en una funcin que cuando se derive me d la que est en la integral.
Al igual que hicimos con las derivadas, te pongo una lista de integrales inmediatas, que como puedes
comprobar es la contraria de la de las derivadas.
* Se logr la comprensin y aplicacin de los principios del clculo integral y sus teoras facilitando el
entendimiento y desarrollo de los ejercicios propuestos.
* El clculo proporciona el lenguaje y los conceptos bsicos para formular teoremas y principios
fundamentales en varias disciplinas del saber.
* Todos y cada uno de los conceptos vistos son indispensables para el buen desarrollo de los ejercicios
propuestos en este segundo trabajo colaborativo.
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BIBLIOGRAFIA
* Miguel Gonzlez. (24 de may. de 2012). Aprende Integrales - Tema 1. 04 de Abril de 2015, de
YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=v6JgjHMvNVc
* Julio profe. (14 de abr. de 2010). Integral por el Mtodo de Sustitucin. 04 de Abril de 2015, de
YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=zCldXOtAKQo
* Miguel Gonzlez. (Miguel Gonzlez). Aprende Integrales - Tema 2. 04 de Abril de 2015, de
YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=UOOswzhDmEk
* Julio profe. (19 de ene. de 2012). Integral resuelta por los Mtodos de Sustitucin y Partes. 04 de
Abril de 2015, de YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=ukaQzboMjaA
* Miguel Gonzlez. (25 de may. de 2012). Aprende Integrales - Tema 7. 04 de Abril de 2015, de
YouTube Sitio web: https://www.youtube.com/watch?v=J3-ykUup1Wo