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SIMULACIÓN MICROSCÓPICA DE TRÁNSITO PARA COORDINACIÓN DE SEMÁFOROS EN PROGRESIÓN EN VIAS URBANAS
Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 9
CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO
1. TEORIA DEL FLUJO DE TRÁFICO
1.1. INTRODUCCION
Aún antes de que se reconociera la ingeniería de tránsito como una profesión, se han estado
tratando de aplicar principios científicos para caracterizar “debidamente” los fenómenos de la
circulación vehicular, o para ayudar a la solución de problemas de tránsito mediante el
enfoque científico. Para ello ha sido preciso muchas veces simplificar y hacer más regular la
concepción de corrientes vehiculares, idealizándolas en forma de lo que llamamos flujos
vehiculares, a fin de poder representar ciertos aspectos de las mismas mediante funciones
matemáticas. Todo esto ha dado origen a una rama científica que se ha llamado teoría del
flujo vehicular o teoría del flujo de tráfico. Se ha definido esta subdisciplina como la
descripción del mecanismo del tránsito, principalmente por medio de la aplicación de las leyes
de la física, las matemáticas y la teoría de las probabilidades. [14]
La Teoría del Flujo de Tráfico es una herramienta que ayuda a los ingenieros de transporte a
entender y expresar las propiedades del flujo de tráfico. Ésta consiste en el desarrollo de las
relaciones matemáticas entre los elementos primarios de un flujo vehicular tales como flujo,
densidad y velocidad.
La teoría del flujo de tráfico se usa en el diseño de infraestructura vial urbana, para
determinar las longitudes adecuadas de carril, para “almacenar” a los vehículos que dan
vuelta a la izquierda en carriles separados para realizar esta maniobra, la demora promedio
en las intersecciones o cruceros y las área de incorporación al tránsito mediante rampas en
las vías expresas o viaductos, así como cambios en el nivel de comportamiento del viaducto,
debido a la instalación de dispositivos de control vehicular mejorados en las rampas.
Otra aplicación importante de la teoría del flujo de tráfico es la simulación, en la cual se usan
algoritmos matemáticos para estudiar complejas interrelaciones que existen entre los
elementos del flujo vehicular y para estimar el efecto de los cambios en el flujo de tránsito
sobre factores como accidentes, tiempos de viaje, contaminación del aire y consumo de
combustible.
Se han empleado métodos que van desde físicos hasta empíricos, en estudios relacionados
con la descripción y la cuantificación del flujo de tránsito. Sin embargo, este capítulo
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 10
presentará solamente aquellos aspectos de la teoría del flujo de tráfico que pueden
emplearse para la planificación, diseño y operación de los sistemas viales urbanos. [7]
1.2. TEORIA Y CONCEPTOS
Antes de estudiar las relaciones entre los elementos del flujo de tráfico, primero deben
definirse éstos elementos. Para facilitar su descripción, se muestra a continuación, el
diagrama espacio-tiempo:
Figura Nº 1. Diagrama espacio-tiempo
Fuente: Garber, Nicholas J.; Hoel, Lester A. “Ingeniería de Tránsito y Carreteras”. Universidad de Virginia. Editorial Thomson. 3ra. Ed. 2005.
El diagrama espacio-tiempo es un gráfico que describe la relación entre la ubicación de los
vehículos en un flujo vehicular, y el tiempo a medida que estos vehículos avanzan a lo largo
de la vía. En la Figura Nº 1 se muestra un diagrama de espacio-tiempo para seis vehículos,
con la distancia graficada en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal. Para el tiempo
cero, los vehículos 1, 2, 3 y 4 se encuentran a las respectivas distancias d1, d2, d3 y d4 con
base en un punto de referencia, mientras que los vehículos 5 y 6 cruzan el punto de
referencia posteriormente en los instantes t5 y t6, respectivamente.
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 11
1.2.1. Tipos de flujo de tráfico
El flujo de tráfico se puede dividir en dos tipos primarios. Entendiendo que tipo de flujo esta
ocurriendo en una situación dada, nos puede ayudar a decidir que métodos de análisis y
descripciones son los más relevantes.
El primer tipo es denominado flujo ininterrumpido, y es el flujo regulado por interacciones
vehículo-vehículo e interacciones entre los vehículos y la vía. Por ejemplo, los vehículos que
viajan en una vía interurbana están participando de un flujo ininterrumpido.
El segundo tipo de flujo de tráfico es el llamado flujo interrumpido. Este flujo es regulado por
un medio externo, como un semáforo. Bajo condiciones de flujo interrumpido, las
interacciones vehículo-vehículo y vehículo-vía juegan un papel secundario en la definición del
flujo de tráfico. Este tipo de flujo es el que vamos a estudiar en la presente tesis de
investigación.
1.2.2. Parámetros del flujo de tráfico
El flujo de tráfico es un fenómeno difícil de describir sin el uso de un conjunto de términos
comunes. Los siguientes párrafos nos introducirán a los términos más comunes que se
utilizan en las discusiones a cerca del flujo de tráfico.
Flujo (q)
Es la tasa horaria equivalente a la cual transitan los vehículos por un punto en una vía,
durante un período menor a una hora (normalmente medidos en períodos de 15 minutos y
luego extrapolados a una hora). Puede determinarse mediante:
hvehT
xnq /
3600= (1)
donde:
n = número de vehículos que transitan por un punto en la vía en T segundos
q = flujo horario equivalente
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Densidad (k)
Algunas veces denominada concentración, es el número de vehículos presentes en la
longitud de una vía dada. Normalmente la densidad se reporta en términos de vehículos por
milla o vehículos por kilómetro. Altas densidades significan que los vehículos individuales se
encuentran muy juntos entre sí, mientras que bajas densidades implican grandes distancias
entre vehículos.
Intervalo entre vehículos (headway), espacio (spacing), hueco (gap), y despeje (clearance)
son todos los medidores que describen el espaciamiento entre los vehículos.
Velocidad (v)
La velocidad de un vehículo esta definida como la distancia de viaje por unidad de tiempo. La
mayor parte de las veces, cada vehículo en la vía tendrá una velocidad que es un tanto
distinta del resto alrededor de él. En la cuantificación del flujo de tráfico, el promedio de
velocidad del tráfico es una variable significativa.
La velocidad de un vehículo para un instante t, es la pendiente del diagrama espacio-tiempo
para este vehículo en el instante t. Por ejemplo, los vehículos 1 y 2 de la Figura Nº 1, se
mueven a velocidad constante porque las pendientes de los gráficos asociadas son
constantes. El vehículo 3 se mueve a una velocidad constante entre el instante cero y el
instante t3, luego se detiene durante el período t3 a t3” (la pendiente del gráfico es igual a cero)
y luego acelera para moverse con una velocidad constante hasta el final. Existen dos tipos de
velocidad media: velocidad media temporal y velocidad media espacial.
La velocidad media temporal (_
tu ), es la media aritmética de las velocidades de los vehículos
que transitan por un punto de una vía durante un intervalo de tiempo. La velocidad media
temporal se calcula mediante:
∑=
=n
iit un
u1
_ 1 (2)
donde:
n = número de vehículos que transitan por un punto de la vía
ui = velocidad del vehículo iésimo (metros/segundo)
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 13
La velocidad media espacial (_
su ), es la media armónica de las velocidades de los vehículos
que transitan por un punto de una vía durante un intervalo de tiempo. Se obtienen al dividir la
distancia total recorrida por dos o más vehículos en un tramo de vía, entre el tiempo total
requerido por esos vehículos para que recorran esa distancia. Ésta es la velocidad que
intervine en las relaciones de flujo-densidad. La velocidad media espacial se calcula
mediante:
∑∑==
=
=
n
ii
n
i i
s
tu
nLnu
11
_
1 (3)
donde:
n = número de vehículos
ti = tiempo que le toma al vehículo iésimo recorrer un tramo de la vía en segundos
ui = velocidad del vehículo iésimo (metros/segundo)
L = longitud del tramo de la vía en metros
La velocidad media temporal siempre es más alta que la velocidad media espacial. La
diferencia entre estas velocidades tiende a disminuir, a medida que aumentan los valores
absolutos de las velocidades. Se ha demostrado a partir de los datos de campo, que la
relación entre la velocidad media en el tiempo y la velocidad media en el espacio puede darse
como:
s
st
uuu
_
2__ σ+= (4)
La ecuación (5) muestra una relación más directa desarrollada por Garber y Sankar, basados
en datos recolectados en varios viaductos. En la Figura Nº 2, también se muestra un gráfico
de velocidades medias temporales contra velocidades medias espaciales, con base en los
mismos datos:
541.396.0__
+= st uu (5)
donde:
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 14
_
tu = velocidad media temporal en km/h
su_
= velocidad media espacial en km/h
Figura Nº 2. Velocidad media espacial vs. Velocidad media temporal
85 90 95 100
85
90
95
100
Vel
oci
dad
med
ia e
n el
tie
mp
o (K
m./
h)
Velocidad media en el espacio (Km./h)
Fuente: Garber, Nicholas J.; Hoel, Lester A. “Ingeniería de Tránsito y Carreteras”. Universidad de Virginia. Editorial Thomson. 3ra. Ed. 2005.
Volumen
El volumen es simplemente el número de vehículos que pasan por un punto dados de una vía
en un periodo de tiempo específico. Haciendo el conteo del número de vehículos que pasan
por un punto de una vía durante un periodo de 15 minutos, se obtiene el volumen de los 15
minutos. El volumen es comúnmente convertido directamente a flujo (q), que es un parámetro
más útil.
Factor de Hora Punta (PHF)
Es el ratio del flujo horario (q60) dividido por el ratio de 15 minutos de flujo expresado como
flujo horario (q15). PHF= q60/ q15
Intervalo entre vehículos en el tiempo (headway) (h)
Es una medida del espacio temporal entre dos vehículos. Específicamente, el headway es el
tiempo que transcurre entre la llegada del vehículo líder y el siguiente vehículo a un punto de
muestra definido. Se puede medir el headway entre dos vehículos haciendo correr un
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 15
cronómetro cuando el parachoques frontal del primer vehículo cruza el punto seleccionado y
posteriormente grabando el tiempo que el parachoques frontal del segundo vehículo cruza el
punto señalado. El headway se suele reportar en unidades de segundos. Por ejemplo, en el
diagrama espacio-tiempo de la Figura Nº 1, el intervalo h que existe entre los vehículos 3 y 4
para d1 es h3-4.
Intervalo entre vehículos en el espacio (spacing) (d)
El spacing (conocido también como “s”) es la distancia física, usualmente reportada en pies o
metros, entre el parachoques frontal del vehículo líder y el parachoques frontal del vehículo
siguiente. El spacing es un complemento del headway, ya que describen el mismo espacio de
otra manera. El spacing es el producto de la velocidad y el headway. Por ejemplo, en la
Figura Nº 1, es el intervalo espacial entre los vehículos 3 y 4 para el instante t5 es d3-4.
Hueco o brecha (gap) (g)
El gap es muy similar al headway, excepto que es una medida del tiempo transcurrido entre la
salida del primer vehículo y la llegada del segundo en un punto de prueba señalado.
El gap es una medida del tiempo entre el parachoques trasero del primer vehículo y el
parachoques trasero del segundo vehiculo, mientras que el headway toma en cuenta los
tiempos entre los parachoques delanteros.
El gap se presenta usualmente en unidades de segundos. Mas adelante ampliaremos más
este parámetro que es muy utilizado en ingeniería de tránsito.
Despeje (Clearance) (c)
El clearance es similar al spacing, excepto que es la distancia entre el parachoques trasero
del vehículo líder y el parachoques frontal del siguiente vehículo.
El clearance es equivalente al spacing menos la longitud del vehículo líder. Tanto el clearance
como el spacing se presentan en unidades de pies o metros.
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1.2.3. Relaciones entre velocidad-flujo-densidad
La velocidad, el flujo y la densidad están relacionados entre sí. Las relaciones entre la
velocidad y la densidad no son difíciles de observar en el mundo real, mientras que los
efectos de la velocidad y la densidad en el flujo no son tan simples como aparentan.
Bajo condiciones de flujo ininterrumpido, la velocidad, la densidad y el flujo se relacionan por
la siguiente ecuación:
sukq_
= (6)
donde:
q = Flujo (veh/h)
su_
= Velocidad media espacial (mi/h, km/h)
k = Densidad (veh/mi, veh/km)
Cada una de las variables de la ecuación (6) también dependen de otros factores que
incluyen: las características del camino, del vehículo y del conductor; así como factores
ambientales (estado del tiempo).
A continuación se presentan otras relaciones que existen entre las variables del flujo de
tránsito:
Velocidad media espacial = flujo x spacing promedio: __
dqu s = (7)
donde el spacing promedio es la inversa de la densidad: k
d1_
= (8)
Densidad = flujo x tiempo de viaje promedio por unidad de distancia: _
tqk = (9)
1.2.4. Diagrama fundamental del flujo de tránsito
Un diagrama fundamental del flujo de tránsito muestra la relación entre la densidad (veh/mi ó
veh/km) y el flujo de tránsito correspondiente a una vía.
Se ha postulado la siguiente teoría respecto de la forma de la curva que representa esta
relación:
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 17
a. Cuando la densidad de la vía es cero, el flujo también es cero porque no hay
vehículos en la vía.
b. A medida que aumenta la densidad, el flujo también aumenta.
c. Sin embargo, cuando la densidad alcanza su máximo, denominado densidad de
embotellamiento (kj), el flujo debe ser cero porque los vehículos tenderán a alinearse
extremo con extremo.
d. Se concluye que, a medida que la densidad aumenta desde cero, el flujo también
aumentará inicialmente desde cero hasta un valor máximo.
Un incremento continuo adicional de la densidad, conducirá entonces a una reducción
continua del flujo, el cual finalmente será cero cuando la densidad sea igual a la de
embotellamiento. Por lo tanto, la forma de la curva adopta la geometría mostrada en la Figura
Nº 3.
Figura Nº 3. Diagramas fundamentales del flujo de tránsito
Fuente: Garber, Nicholas J.; Hoel, Lester A. “Ingeniería de Tránsito y Carreteras”. Universidad de Virginia. Editorial Thomson. 3ra. Ed. 2005.
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 18
En la Figura Nº 3b se muestra la relación directa entre la velocidad y la densidad. En la Figura
Nº 3c se presenta la relación general de la velocidad media espacial y el volumen de tráfico.
Cuando el flujo es muy bajo, existe poca interrelación entre los vehículos individuales. Por lo
tanto, los conductores tienen la libertad de viajar a la máxima velocidad posible. La velocidad
máxima absoluta se obtiene a medida que el flujo tiende a cero y se le conoce como la
velocidad libre media (uf). La magnitud de la velocidad libre media, depende de las
características físicas de la vía. Un incremento continuo del flujo, resultará en un decremento
continuo de la velocidad. Sin embargo, se va a alcanzar un punto en el cual un mayor número
de vehículos resultará en la reducción del número verdadero de vehículos que transitan por
un punto en la vía (es decir, una reducción del flujo). Esto conduce a un congestionamiento y
finalmente, tanto la velocidad como el flujo se hacen cero.
De la ecuación (6) se sabe que la velocidad media espacial es igual al flujo dividido por la
densidad; lo que hace que las pendientes de las rectas 0B, 0C y 0E de la Figura Nº 3a
representen a las velocidades medias espaciales para las densidades kb, kc y ke
respectivamente. La pendiente de la recta 0A es la velocidad a medida que la densidad tiende
a cero y existe poca interacción entre los vehículos. Por lo tanto, la pendiente de esta recta es
la velocidad libre media (uf); velocidad media espacial para el flujo máximo. Este flujo máximo
es la capacidad de la vía. En conclusión, puede determinarse que es conveniente que las
vías operen a densidades que no sean mayores que la necesaria para alcanzar el flujo
máximo.
1.3. RELACIONES MATEMÁTICAS QUE DESCRIBEN EL FLUJO DE TRÁNSITO
Las relaciones matemáticas que describen el flujo de tránsito pueden clasificarse en dos tipos
macroscópico y microscópico, dependiendo del enfoque que se use en el desarrollo de estas
relaciones. El enfoque macroscópico considera a las relaciones de la densidad de flujo,
mientras que el enfoque microscópico considera al espaciamiento entre vehículos y las
velocidades de los vehículos individuales.
Para efectos de la presente investigación, se dedicará un capítulo completo al enfoque
microscópico desde el punto de vista de la simulación de tránsito, que forma la base teórica
para determinar la optimización semafórica en vías arteriales urbanas.
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 19
1.3.1. Enfoque macroscópico
El enfoque macroscópico considera flujos vehiculares y desarrolla algoritmos que relacionan
el flujo, la densidad y las velocidades medias espaciales. Los modelos macroscópicos más
empleados son los modelos de Greenshields y de Greenberg.
EL MODELO DE GREENSHIELDS
Greenshields desarrolló uno de los primeros trabajos que se conocen sobre la relación entre
la velocidad y la densidad. Postuló una hipótesis sobre la existencia de una relación lineal
entre la velocidad y la densidad y la expresó como:
kk
uuu
j
ffs −=
_
(10)
Pueden desarrollarse relaciones correspondientes para el flujo y la densidad, así como para
el flujo y la velocidad. Dado que kuq s
_
= , sustituyendo a suq_
/ en lugar de k en la ecuación
(10) nos da:
qk
uuuu
j
fsfs −=
__2 (11)
Así también, al sustituir kq / en lugar de su_
en la ecuación (10) nos da:
2kk
ukuq
j
ff −= (12)
Las ecuaciones (11) y (12) indican que si se asume una relación lineal que tenga la forma de
la ecuación (10) para la velocidad y la densidad, entonces se obtienen relaciones parabólicas
entre el flujo y la densidad, y entre el flujo y la velocidad (ver Figura Nº 3).
EL MODELO DE GREENBERG
Varios investigadores han utilizado la analogía del flujo en los fluidos para desarrollar
relaciones macroscópicas para el flujo del tráfico. Greenberg desarrolló una de las principales
contribuciones en que se emplea esta analogía, según la forma:
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 20
k
kcu j
s ln_
= (13)
Multiplicando cada lado de la ecuación (13) por k se obtiene:
k
kckqku j
s ln_
== (14)
Derivando q respecto de k obtenemos: ck
kc
dk
dq j −= ln
Para el flujo máximo, 0=dk
dq, obteniéndose: 1ln =
k
k j
Sustituyendo 1 en lugar de k
k jln en la ecuación (13) nos da: cu =0
Entonces, el valor de c es la velocidad para el flujo máximo.
El uso de estos modelos macroscópicos depende de si se satisfacen los criterios de frontera
o de límite del diagrama fundamental del flujo de tránsito (Figura Nº 3), para el área que
representa a las condiciones del tránsito. Por ejemplo, el modelo de Greenshields satisface a
las condiciones del límite cuando la densidad k se aproxima a cero, así como cuando ésta se
aproxima a la densidad de embotellamiento kj. En ese sentido, el modelo puede emplearse
tanto para tránsito ligero como denso. Por otro lado, el modelo de Greenberg satisface las
condiciones de límite cuando k se aproxima a cero, lo que significa que el modelo sólo es útil
para condiciones de tránsito ligero.
1.3.2. Calibración de los modelos macroscópicos de flujo de tráfico
Los modelos de tránsito estudiados hasta ahora, pueden emplearse para determinar
características específicas tales como velocidad y densidad, para las cuales se presenta el
flujo máximo, así como para la densidad de embotellamiento de una vía. Hacer la calibración
de un modelo implica recolectar los datos apropiados en la vía específica de interés y ajustar
los puntos de los datos obtenidos a un modelo adecuado.
El método de enfoque más común es el análisis de regresión. Esto se hace minimizando los
cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los esperados de una variable
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 21
dependiente. Cuando existe una relación lineal entre las variables dependiente e
independiente, el proceso se conoce como análisis de regresión lineal, y cuando existe una
relación lineal respecto a dos o más variables independientes, el proceso se conoce como
análisis de regresión lineal múltiple.
Si una variable dependiente y, así como una variable independiente x, están relacionadas por
una función de regresión estimada, entonces:
bxay += (15)
Las constantes a y b podrán determinarse mediante las ecuaciones (16) y (17)
__
11
1xbyx
n
by
na
n
ii
n
ii −=−= ∑∑
==
(16)
y
2
11
2
111
1
1
−
−=
∑∑
∑∑∑
==
===
n
ii
n
ii
n
ii
n
iii
n
ii
xn
x
yxn
yx
b (17)
donde:
n = número de conjunto de valores observados
xi = iésima observación de x
yi = iésima observación de y
Una medida que comúnmente se emplea para determinar lo adecuado de una función de
regresión estimada, es el coeficiente de determinación (o el cuadrado del coeficiente de
correlación estimado) R2, que esta dado por:
2
1
_
2
1
_
2
∑
∑
=
=
−
−=
n
ii
n
ii
yy
yY
R (18)
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 22
donde Yi es el valor de la variable dependiente, tal como se calcula con las ecuaciones de
regresión. Ente más cercano esté R2 de 1, es mejor el ajuste de regresión.
1.3.3. Enfoque microscópico
El enfoque microscópico, también denominado como Teoría de seguimiento vehicular o
Teoría de seguir al líder, considera los espaciamientos entre los vehículos individuales, así
como sus velocidades. Esta teoría forma la base para el estudio de simulación microscópica
de tránsito y de optimización de ciclos semafóricos y progresión semafórica para vías
arteriales urbanas. En ese sentido, éste enfoque será ampliamente documentado en los
Capítulos II y III de la presente investigación; tanto desde el punto de vista conceptual como
del contenido matemático del software de aplicación presentado.
Suponga dos vehículos consecutivos A y B, en un solo carril de cierta vía como se muestra
en la Figura Nº 4. Si se considera que el vehículo líder es el vehículo nésimo y se estima que
el siguiente vehículo, es el vehículo (n + 1), entonces las distancias de estos vehículos
respecto de una sección fija para un instante t, puede tomarse como xn y xn+1
respectivamente.
Figura Nº 4. Suposiciones básicas de la teoría del seguimiento vehicular
Fuente: Garber, Nicholas J.; Hoel, Lester A. “Ingeniería de Tránsito y Carreteras”. Universidad de Virginia. Editorial Thomson. 3ra. Ed. 2005.
Si el conductor del vehículo B conserva una distancia de separación adicional, arriba de la
distancia de separación en reposo S, tal que P sea proporcional a la velocidad del vehículo B,
entonces:
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Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 23
1
.
+= nxP ρ (19)
donde:
ρ = factor de proporcionalidad en unidades de tiempo
1
.
+nx = velocidad del vehículo (n + 1)
Puede escribirse como:
Sxxx nnn +=− ++ 1
.
1 ρ (20)
donde S es la distancia entre los parachoques delanteros de los vehículos en reposo.
Derivando la ecuación (20) se obtiene:
−= ++ 1
..
1
.. 1nnn xxx
ρ (21)
La ecuación (21) es la ecuación básica de los modelos microscópicos, y describe la respuesta
de estímulo de los modelos.