10. cap ii tit 1.teoria flujo de trafico

SIMULACIÓN MICROSCÓPICA DE TRÁNSITO PARA COORDINACIÓN DE SEMÁFOROS EN PROGRESIÓN EN VIAS URBANAS

Capítulo 1. Teoría del Flujo de Tráfico 9

CAPÍTULO II. MARCO TEÓRICO

1. TEORIA DEL FLUJO DE TRÁFICO

1.1. INTRODUCCION

Aún antes de que se reconociera la ingeniería de tránsito como una profesión, se han estado

tratando de aplicar principios científicos para caracterizar “debidamente” los fenómenos de la

circulación vehicular, o para ayudar a la solución de problemas de tránsito mediante el

enfoque científico. Para ello ha sido preciso muchas veces simplificar y hacer más regular la

concepción de corrientes vehiculares, idealizándolas en forma de lo que llamamos flujos

vehiculares, a fin de poder representar ciertos aspectos de las mismas mediante funciones

matemáticas. Todo esto ha dado origen a una rama científica que se ha llamado teoría del

flujo vehicular o teoría del flujo de tráfico. Se ha definido esta subdisciplina como la

descripción del mecanismo del tránsito, principalmente por medio de la aplicación de las leyes

de la física, las matemáticas y la teoría de las probabilidades. [14]

La Teoría del Flujo de Tráfico es una herramienta que ayuda a los ingenieros de transporte a

entender y expresar las propiedades del flujo de tráfico. Ésta consiste en el desarrollo de las

relaciones matemáticas entre los elementos primarios de un flujo vehicular tales como flujo,

densidad y velocidad.

La teoría del flujo de tráfico se usa en el diseño de infraestructura vial urbana, para

determinar las longitudes adecuadas de carril, para “almacenar” a los vehículos que dan

vuelta a la izquierda en carriles separados para realizar esta maniobra, la demora promedio

en las intersecciones o cruceros y las área de incorporación al tránsito mediante rampas en

las vías expresas o viaductos, así como cambios en el nivel de comportamiento del viaducto,

debido a la instalación de dispositivos de control vehicular mejorados en las rampas.

Otra aplicación importante de la teoría del flujo de tráfico es la simulación, en la cual se usan

algoritmos matemáticos para estudiar complejas interrelaciones que existen entre los

elementos del flujo vehicular y para estimar el efecto de los cambios en el flujo de tránsito

sobre factores como accidentes, tiempos de viaje, contaminación del aire y consumo de

combustible.

Se han empleado métodos que van desde físicos hasta empíricos, en estudios relacionados

con la descripción y la cuantificación del flujo de tránsito. Sin embargo, este capítulo



presentará solamente aquellos aspectos de la teoría del flujo de tráfico que pueden

emplearse para la planificación, diseño y operación de los sistemas viales urbanos. [7]

1.2. TEORIA Y CONCEPTOS

Antes de estudiar las relaciones entre los elementos del flujo de tráfico, primero deben

definirse éstos elementos. Para facilitar su descripción, se muestra a continuación, el

diagrama espacio-tiempo:

Figura Nº 1. Diagrama espacio-tiempo

Fuente: Garber, Nicholas J.; Hoel, Lester A. “Ingeniería de Tránsito y Carreteras”. Universidad de Virginia. Editorial Thomson. 3ra. Ed. 2005.

El diagrama espacio-tiempo es un gráfico que describe la relación entre la ubicación de los

vehículos en un flujo vehicular, y el tiempo a medida que estos vehículos avanzan a lo largo

de la vía. En la Figura Nº 1 se muestra un diagrama de espacio-tiempo para seis vehículos,

con la distancia graficada en el eje vertical y el tiempo en el eje horizontal. Para el tiempo

cero, los vehículos 1, 2, 3 y 4 se encuentran a las respectivas distancias d1, d2, d3 y d4 con

base en un punto de referencia, mientras que los vehículos 5 y 6 cruzan el punto de

referencia posteriormente en los instantes t5 y t6, respectivamente.



1.2.1. Tipos de flujo de tráfico

El flujo de tráfico se puede dividir en dos tipos primarios. Entendiendo que tipo de flujo esta

ocurriendo en una situación dada, nos puede ayudar a decidir que métodos de análisis y

descripciones son los más relevantes.

El primer tipo es denominado flujo ininterrumpido, y es el flujo regulado por interacciones

vehículo-vehículo e interacciones entre los vehículos y la vía. Por ejemplo, los vehículos que

viajan en una vía interurbana están participando de un flujo ininterrumpido.

El segundo tipo de flujo de tráfico es el llamado flujo interrumpido. Este flujo es regulado por

un medio externo, como un semáforo. Bajo condiciones de flujo interrumpido, las

interacciones vehículo-vehículo y vehículo-vía juegan un papel secundario en la definición del

flujo de tráfico. Este tipo de flujo es el que vamos a estudiar en la presente tesis de

investigación.

1.2.2. Parámetros del flujo de tráfico

El flujo de tráfico es un fenómeno difícil de describir sin el uso de un conjunto de términos

comunes. Los siguientes párrafos nos introducirán a los términos más comunes que se

utilizan en las discusiones a cerca del flujo de tráfico.

Flujo (q)

Es la tasa horaria equivalente a la cual transitan los vehículos por un punto en una vía,

durante un período menor a una hora (normalmente medidos en períodos de 15 minutos y

luego extrapolados a una hora). Puede determinarse mediante:

hvehT

xnq /

3600= (1)

donde:

n = número de vehículos que transitan por un punto en la vía en T segundos

q = flujo horario equivalente



Densidad (k)

Algunas veces denominada concentración, es el número de vehículos presentes en la

longitud de una vía dada. Normalmente la densidad se reporta en términos de vehículos por

milla o vehículos por kilómetro. Altas densidades significan que los vehículos individuales se

encuentran muy juntos entre sí, mientras que bajas densidades implican grandes distancias

entre vehículos.

Intervalo entre vehículos (headway), espacio (spacing), hueco (gap), y despeje (clearance)

son todos los medidores que describen el espaciamiento entre los vehículos.

Velocidad (v)

La velocidad de un vehículo esta definida como la distancia de viaje por unidad de tiempo. La

mayor parte de las veces, cada vehículo en la vía tendrá una velocidad que es un tanto

distinta del resto alrededor de él. En la cuantificación del flujo de tráfico, el promedio de

velocidad del tráfico es una variable significativa.

La velocidad de un vehículo para un instante t, es la pendiente del diagrama espacio-tiempo

para este vehículo en el instante t. Por ejemplo, los vehículos 1 y 2 de la Figura Nº 1, se

mueven a velocidad constante porque las pendientes de los gráficos asociadas son

constantes. El vehículo 3 se mueve a una velocidad constante entre el instante cero y el

instante t3, luego se detiene durante el período t3 a t3” (la pendiente del gráfico es igual a cero)

y luego acelera para moverse con una velocidad constante hasta el final. Existen dos tipos de

velocidad media: velocidad media temporal y velocidad media espacial.

La velocidad media temporal (_

tu ), es la media aritmética de las velocidades de los vehículos

que transitan por un punto de una vía durante un intervalo de tiempo. La velocidad media

temporal se calcula mediante:

∑=

=n

iit un

u1

_ 1 (2)

donde:

n = número de vehículos que transitan por un punto de la vía

ui = velocidad del vehículo iésimo (metros/segundo)



La velocidad media espacial (_

su ), es la media armónica de las velocidades de los vehículos

que transitan por un punto de una vía durante un intervalo de tiempo. Se obtienen al dividir la

distancia total recorrida por dos o más vehículos en un tramo de vía, entre el tiempo total

requerido por esos vehículos para que recorran esa distancia. Ésta es la velocidad que

intervine en las relaciones de flujo-densidad. La velocidad media espacial se calcula

mediante:

∑∑==

=

=

n

ii

n

i i

s

tu

nLnu

11

_

1 (3)

donde:

n = número de vehículos

ti = tiempo que le toma al vehículo iésimo recorrer un tramo de la vía en segundos

ui = velocidad del vehículo iésimo (metros/segundo)

L = longitud del tramo de la vía en metros

La velocidad media temporal siempre es más alta que la velocidad media espacial. La

diferencia entre estas velocidades tiende a disminuir, a medida que aumentan los valores

absolutos de las velocidades. Se ha demostrado a partir de los datos de campo, que la

relación entre la velocidad media en el tiempo y la velocidad media en el espacio puede darse

como:

s

st

uuu

_

2__ σ+= (4)

La ecuación (5) muestra una relación más directa desarrollada por Garber y Sankar, basados

en datos recolectados en varios viaductos. En la Figura Nº 2, también se muestra un gráfico

de velocidades medias temporales contra velocidades medias espaciales, con base en los

mismos datos:

541.396.0__

+= st uu (5)

donde:



_

tu = velocidad media temporal en km/h

su_

= velocidad media espacial en km/h

Figura Nº 2. Velocidad media espacial vs. Velocidad media temporal

85 90 95 100

85

90

95

100

Vel

oci

dad

med

ia e

n el

tie

mp

o (K

m./

h)

Velocidad media en el espacio (Km./h)


Volumen

El volumen es simplemente el número de vehículos que pasan por un punto dados de una vía

en un periodo de tiempo específico. Haciendo el conteo del número de vehículos que pasan

por un punto de una vía durante un periodo de 15 minutos, se obtiene el volumen de los 15

minutos. El volumen es comúnmente convertido directamente a flujo (q), que es un parámetro

más útil.

Factor de Hora Punta (PHF)

Es el ratio del flujo horario (q60) dividido por el ratio de 15 minutos de flujo expresado como

flujo horario (q15). PHF= q60/ q15

Intervalo entre vehículos en el tiempo (headway) (h)

Es una medida del espacio temporal entre dos vehículos. Específicamente, el headway es el

tiempo que transcurre entre la llegada del vehículo líder y el siguiente vehículo a un punto de

muestra definido. Se puede medir el headway entre dos vehículos haciendo correr un



cronómetro cuando el parachoques frontal del primer vehículo cruza el punto seleccionado y

posteriormente grabando el tiempo que el parachoques frontal del segundo vehículo cruza el

punto señalado. El headway se suele reportar en unidades de segundos. Por ejemplo, en el

diagrama espacio-tiempo de la Figura Nº 1, el intervalo h que existe entre los vehículos 3 y 4

para d1 es h3-4.

Intervalo entre vehículos en el espacio (spacing) (d)

El spacing (conocido también como “s”) es la distancia física, usualmente reportada en pies o

metros, entre el parachoques frontal del vehículo líder y el parachoques frontal del vehículo

siguiente. El spacing es un complemento del headway, ya que describen el mismo espacio de

otra manera. El spacing es el producto de la velocidad y el headway. Por ejemplo, en la

Figura Nº 1, es el intervalo espacial entre los vehículos 3 y 4 para el instante t5 es d3-4.

Hueco o brecha (gap) (g)

El gap es muy similar al headway, excepto que es una medida del tiempo transcurrido entre la

salida del primer vehículo y la llegada del segundo en un punto de prueba señalado.

El gap es una medida del tiempo entre el parachoques trasero del primer vehículo y el

parachoques trasero del segundo vehiculo, mientras que el headway toma en cuenta los

tiempos entre los parachoques delanteros.

El gap se presenta usualmente en unidades de segundos. Mas adelante ampliaremos más

este parámetro que es muy utilizado en ingeniería de tránsito.

Despeje (Clearance) (c)

El clearance es similar al spacing, excepto que es la distancia entre el parachoques trasero

del vehículo líder y el parachoques frontal del siguiente vehículo.

El clearance es equivalente al spacing menos la longitud del vehículo líder. Tanto el clearance

como el spacing se presentan en unidades de pies o metros.



1.2.3. Relaciones entre velocidad-flujo-densidad

La velocidad, el flujo y la densidad están relacionados entre sí. Las relaciones entre la

velocidad y la densidad no son difíciles de observar en el mundo real, mientras que los

efectos de la velocidad y la densidad en el flujo no son tan simples como aparentan.

Bajo condiciones de flujo ininterrumpido, la velocidad, la densidad y el flujo se relacionan por

la siguiente ecuación:

sukq_

= (6)

donde:

q = Flujo (veh/h)

su_

= Velocidad media espacial (mi/h, km/h)

k = Densidad (veh/mi, veh/km)

Cada una de las variables de la ecuación (6) también dependen de otros factores que

incluyen: las características del camino, del vehículo y del conductor; así como factores

ambientales (estado del tiempo).

A continuación se presentan otras relaciones que existen entre las variables del flujo de

tránsito:

Velocidad media espacial = flujo x spacing promedio: __

dqu s = (7)

donde el spacing promedio es la inversa de la densidad: k

d1_

= (8)

Densidad = flujo x tiempo de viaje promedio por unidad de distancia: _

tqk = (9)

1.2.4. Diagrama fundamental del flujo de tránsito

Un diagrama fundamental del flujo de tránsito muestra la relación entre la densidad (veh/mi ó

veh/km) y el flujo de tránsito correspondiente a una vía.

Se ha postulado la siguiente teoría respecto de la forma de la curva que representa esta

relación:



a. Cuando la densidad de la vía es cero, el flujo también es cero porque no hay

vehículos en la vía.

b. A medida que aumenta la densidad, el flujo también aumenta.

c. Sin embargo, cuando la densidad alcanza su máximo, denominado densidad de

embotellamiento (kj), el flujo debe ser cero porque los vehículos tenderán a alinearse

extremo con extremo.

d. Se concluye que, a medida que la densidad aumenta desde cero, el flujo también

aumentará inicialmente desde cero hasta un valor máximo.

Un incremento continuo adicional de la densidad, conducirá entonces a una reducción

continua del flujo, el cual finalmente será cero cuando la densidad sea igual a la de

embotellamiento. Por lo tanto, la forma de la curva adopta la geometría mostrada en la Figura

Nº 3.

Figura Nº 3. Diagramas fundamentales del flujo de tránsito




En la Figura Nº 3b se muestra la relación directa entre la velocidad y la densidad. En la Figura

Nº 3c se presenta la relación general de la velocidad media espacial y el volumen de tráfico.

Cuando el flujo es muy bajo, existe poca interrelación entre los vehículos individuales. Por lo

tanto, los conductores tienen la libertad de viajar a la máxima velocidad posible. La velocidad

máxima absoluta se obtiene a medida que el flujo tiende a cero y se le conoce como la

velocidad libre media (uf). La magnitud de la velocidad libre media, depende de las

características físicas de la vía. Un incremento continuo del flujo, resultará en un decremento

continuo de la velocidad. Sin embargo, se va a alcanzar un punto en el cual un mayor número

de vehículos resultará en la reducción del número verdadero de vehículos que transitan por

un punto en la vía (es decir, una reducción del flujo). Esto conduce a un congestionamiento y

finalmente, tanto la velocidad como el flujo se hacen cero.

De la ecuación (6) se sabe que la velocidad media espacial es igual al flujo dividido por la

densidad; lo que hace que las pendientes de las rectas 0B, 0C y 0E de la Figura Nº 3a

representen a las velocidades medias espaciales para las densidades kb, kc y ke

respectivamente. La pendiente de la recta 0A es la velocidad a medida que la densidad tiende

a cero y existe poca interacción entre los vehículos. Por lo tanto, la pendiente de esta recta es

la velocidad libre media (uf); velocidad media espacial para el flujo máximo. Este flujo máximo

es la capacidad de la vía. En conclusión, puede determinarse que es conveniente que las

vías operen a densidades que no sean mayores que la necesaria para alcanzar el flujo

máximo.

1.3. RELACIONES MATEMÁTICAS QUE DESCRIBEN EL FLUJO DE TRÁNSITO

Las relaciones matemáticas que describen el flujo de tránsito pueden clasificarse en dos tipos

macroscópico y microscópico, dependiendo del enfoque que se use en el desarrollo de estas

relaciones. El enfoque macroscópico considera a las relaciones de la densidad de flujo,

mientras que el enfoque microscópico considera al espaciamiento entre vehículos y las

velocidades de los vehículos individuales.

Para efectos de la presente investigación, se dedicará un capítulo completo al enfoque

microscópico desde el punto de vista de la simulación de tránsito, que forma la base teórica

para determinar la optimización semafórica en vías arteriales urbanas.



1.3.1. Enfoque macroscópico

El enfoque macroscópico considera flujos vehiculares y desarrolla algoritmos que relacionan

el flujo, la densidad y las velocidades medias espaciales. Los modelos macroscópicos más

empleados son los modelos de Greenshields y de Greenberg.

EL MODELO DE GREENSHIELDS

Greenshields desarrolló uno de los primeros trabajos que se conocen sobre la relación entre

la velocidad y la densidad. Postuló una hipótesis sobre la existencia de una relación lineal

entre la velocidad y la densidad y la expresó como:

kk

uuu

j

ffs −=

_

(10)

Pueden desarrollarse relaciones correspondientes para el flujo y la densidad, así como para

el flujo y la velocidad. Dado que kuq s

_

= , sustituyendo a suq_

/ en lugar de k en la ecuación

(10) nos da:

qk

uuuu

j

fsfs −=

__2 (11)

Así también, al sustituir kq / en lugar de su_

en la ecuación (10) nos da:

2kk

ukuq

j

ff −= (12)

Las ecuaciones (11) y (12) indican que si se asume una relación lineal que tenga la forma de

la ecuación (10) para la velocidad y la densidad, entonces se obtienen relaciones parabólicas

entre el flujo y la densidad, y entre el flujo y la velocidad (ver Figura Nº 3).

EL MODELO DE GREENBERG

Varios investigadores han utilizado la analogía del flujo en los fluidos para desarrollar

relaciones macroscópicas para el flujo del tráfico. Greenberg desarrolló una de las principales

contribuciones en que se emplea esta analogía, según la forma:



k

kcu j

s ln_

= (13)

Multiplicando cada lado de la ecuación (13) por k se obtiene:

k

kckqku j

s ln_

== (14)

Derivando q respecto de k obtenemos: ck

kc

dk

dq j −= ln

Para el flujo máximo, 0=dk

dq, obteniéndose: 1ln =

k

k j

Sustituyendo 1 en lugar de k

k jln en la ecuación (13) nos da: cu =0

Entonces, el valor de c es la velocidad para el flujo máximo.

El uso de estos modelos macroscópicos depende de si se satisfacen los criterios de frontera

o de límite del diagrama fundamental del flujo de tránsito (Figura Nº 3), para el área que

representa a las condiciones del tránsito. Por ejemplo, el modelo de Greenshields satisface a

las condiciones del límite cuando la densidad k se aproxima a cero, así como cuando ésta se

aproxima a la densidad de embotellamiento kj. En ese sentido, el modelo puede emplearse

tanto para tránsito ligero como denso. Por otro lado, el modelo de Greenberg satisface las

condiciones de límite cuando k se aproxima a cero, lo que significa que el modelo sólo es útil

para condiciones de tránsito ligero.

1.3.2. Calibración de los modelos macroscópicos de flujo de tráfico

Los modelos de tránsito estudiados hasta ahora, pueden emplearse para determinar

características específicas tales como velocidad y densidad, para las cuales se presenta el

flujo máximo, así como para la densidad de embotellamiento de una vía. Hacer la calibración

de un modelo implica recolectar los datos apropiados en la vía específica de interés y ajustar

los puntos de los datos obtenidos a un modelo adecuado.

El método de enfoque más común es el análisis de regresión. Esto se hace minimizando los

cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los esperados de una variable



dependiente. Cuando existe una relación lineal entre las variables dependiente e

independiente, el proceso se conoce como análisis de regresión lineal, y cuando existe una

relación lineal respecto a dos o más variables independientes, el proceso se conoce como

análisis de regresión lineal múltiple.

Si una variable dependiente y, así como una variable independiente x, están relacionadas por

una función de regresión estimada, entonces:

bxay += (15)

Las constantes a y b podrán determinarse mediante las ecuaciones (16) y (17)

__

11

1xbyx

n

by

na

n

ii

n

ii −=−= ∑∑

==

(16)

y

2

11

2

111

1

1

−

−=

∑∑

∑∑∑

==

===

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

xn

x

yxn

yx

b (17)

donde:

n = número de conjunto de valores observados

xi = iésima observación de x

yi = iésima observación de y

Una medida que comúnmente se emplea para determinar lo adecuado de una función de

regresión estimada, es el coeficiente de determinación (o el cuadrado del coeficiente de

correlación estimado) R2, que esta dado por:

2

1

_

2

1

_

2

∑

∑

=

=

−

−=

n

ii

n

ii

yy

yY

R (18)



donde Yi es el valor de la variable dependiente, tal como se calcula con las ecuaciones de

regresión. Ente más cercano esté R2 de 1, es mejor el ajuste de regresión.

1.3.3. Enfoque microscópico

El enfoque microscópico, también denominado como Teoría de seguimiento vehicular o

Teoría de seguir al líder, considera los espaciamientos entre los vehículos individuales, así

como sus velocidades. Esta teoría forma la base para el estudio de simulación microscópica

de tránsito y de optimización de ciclos semafóricos y progresión semafórica para vías

arteriales urbanas. En ese sentido, éste enfoque será ampliamente documentado en los

Capítulos II y III de la presente investigación; tanto desde el punto de vista conceptual como

del contenido matemático del software de aplicación presentado.

Suponga dos vehículos consecutivos A y B, en un solo carril de cierta vía como se muestra

en la Figura Nº 4. Si se considera que el vehículo líder es el vehículo nésimo y se estima que

el siguiente vehículo, es el vehículo (n + 1), entonces las distancias de estos vehículos

respecto de una sección fija para un instante t, puede tomarse como xn y xn+1

respectivamente.

Figura Nº 4. Suposiciones básicas de la teoría del seguimiento vehicular


Si el conductor del vehículo B conserva una distancia de separación adicional, arriba de la

distancia de separación en reposo S, tal que P sea proporcional a la velocidad del vehículo B,

entonces:



1

.

+= nxP ρ (19)

donde:

ρ = factor de proporcionalidad en unidades de tiempo

1

.

+nx = velocidad del vehículo (n + 1)

Puede escribirse como:

Sxxx nnn +=− ++ 1

.

1 ρ (20)

donde S es la distancia entre los parachoques delanteros de los vehículos en reposo.

Derivando la ecuación (20) se obtiene:

−= ++ 1

..

1

.. 1nnn xxx

ρ (21)

La ecuación (21) es la ecuación básica de los modelos microscópicos, y describe la respuesta

de estímulo de los modelos.

10. cap ii tit 1.teoria flujo de trafico

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