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INTEGRACIÓN
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El cálculo integral se basa en el concepto de la integral.La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje X en un intervalo cerrado [a,b].
El área R de la región de la figura está dada por la integral de f en [a, b], denotada por el símbolo
¿Cuál es el problema que motiva el concepto de integral?
y = f(x)
a b
dx)x(fb
a
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Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a muchos problemas que aparentan tener poca relación con dicha motivación original. Por ejemplo, en el campo de la administración y la economía, problemas de crecimiento de poblaciones, excedente de los consumidores, excedente de los productores, valor futuro total y valor presente de un flujo de ingresos, monto de una anualidad, distribución del ingreso (curvas de Lorentz), entre otros.
El teorema fundamental del cálculo proporciona una conexión vital entre las operaciones de derivación e integración, la que proporciona un método eficaz para calcular el valor de las integrales. Veremos que en vez de encontrar la derivada de la función f(x), necesitamos determinar una nueva función F(x) cuya derivada sea f(x).
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Antiderivadas o primitivas
El problema de encontrar la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra lo resuelve la derivada. Con la integral resolveremos el problema inverso, esto es, si se conoce la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra, encontrar la relación entre ambas.
Por otra parte, los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real implican con frecuencia ecuaciones que contienen derivadas de las funciones desconocidas. Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales y, el tipo más sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma
)x(fdx
dy
donde f es conocida y la función y(x) es desconocida.
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El proceso de determinar una función a partir de su derivada es el opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una función y(x) cuya derivada sea f(x), es decir, resolver para y(x) la ecuación y’(x) = f(x), entonces decimos que y(x) es una primitiva o antiderivada de f(x).
Definición: Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que F’(x) = f(x), siempre y cuando f(x) esté definida.
Ejemplo: ¿Qué función F(x) es tal que ?
¿Y por qué no ?
2x3)x('F
7xF(x) o 4xF(x)
x)x(F33
3
6
Algunas antiderivadas de f(x) = 3x2
Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para cualquier elección de la constante C.
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Una sola función tiene muchas primitivas, mientras que una función
sólo puede tener una derivada
Teorema: Si F’(x) = f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f, en I, tiene la forma G(x) = F(x)+C, donde C es una constante.
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La colección de todas las primitivas de la función f(x) es
conocida como la integral indefinida de f con respecto
a x y se denota dx )x(f
Con base en el teorema, escribimos CF(x)dx )x(f
Por ejemplo, Cxlndx Cxdx x3x132
dx )x(f
Función integrando
Variable de integración
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f(x)(x)F' si sólo y si CF(x)dx )x(f
Las propiedades de linealidad de la derivación inducen las siguientes para la integral indefinida:
dx)x(gdx)x(fdx )]x(g)x(f[
constante k con , dx)x(fkdx)x(fk
Ejercicio: Verifique los siguientes resultados:
Cxxxdx)1x3x4( 2233
342
Cxln3xdx)x2(x42
x4
x3
2
Cedx)xe(x2
1xx
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A partir de las fórmulas de derivación podemos obtener
fórmulas de integración
Cx3
2dxx
Cdxa
Cedxe
Cxlndx
-1n , C1n
xdxx
C3
xdxx
Cxdx
3 2
alnax
xx
x1
1nn
32
x
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Ejercicio: Calcule las integrales siguientes:
dxx5 dx)x(x
dx)( dt)tt5,0(
dx)(4x dx)e5(
dx)x102(4x dx)x5x48(
3 42
xxx-24
x23x
x3
433
4
2
Problema: Se estima que dentro de t meses la población de
cierta ciudad cambiará a una razón de personas por mes. Si la población actual es de 10.000 personas, ¿cuál será la población dentro de 8 meses?
32
t54
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Ejercicio: Calcule las integrales siguientes:
Pero ¿cómo calculo estas integrales?
dxxsen4x dxe5x dx1x322x
dx)( dt)1t(t
dx)x2(x dx)x
6(
x7x3x2
2e
4
32
21x
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Métodos de integración
Desarrollaremos técnicas que junto con las fórmulas básicas nos permitirán calcular integrales indefinidas de funciones más complicadas.
¿Cómo reconocer cuál técnica
emplear para integrar?
No se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cuál método aplicar en determinado caso, pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las fórmulas básicas de integración.
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Integración por sustitución
Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo recorrido es un intervalo I y f es continua en I, entonces
Debemos tener presente que siu = g(x), entonces du = g’(x)dx
Ejemplo: Calculemos dx1xx3 2
Si entonces du = 2x dx y 3x dx = du ; luego la integral se escribe:
1xu 2 23
C)1x(Cuduuduu 32
32
23
23
23 2
321
du)u(fdx)x('g))x(g(f
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Ejercicio: muestre con un ejemplo que la igualdad anterior no se cumple
dx g(x) dx f(x)dx)x(g)x(f?
Ejercicio: Calcule las siguientes integrales
dxe5x dx1x32 dx)2(x x2x83
dtcostsent dxe7 dx)2x(x x-432
dx
e1
e dx
x
)xln( dx
x1
x3x2
2x
5
4
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Ejercicio: Calcule
dx
5x
)5xln(x2 dxe)1x3(
2
2xx2 3
Problema: Después de x años de trasplantado, se estima
que un árbol crece a una razón de metros por año.
Transcurridos dos años alcanza una altura de 5 metros. ¿Qué
altura tenía cuando fue trasplantado?
Problema: Se proyecta que dentro de x
años la población de cierto país cambiará a una razón de millones por año. Si la población actual es 50 millones de habitantes, ¿cuál será la población dentro de 10 años?
2)1x(
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x02,0e
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Integración por medio de tablas
Con los métodos de integración estudiados precedentemente es posible calcular la mayor parte de las integrales que aparecen en las aplicaciones a la administración, economía y ciencias sociales. Sin embargo, podemos vernos enfrentados a una integral que no puede resolverse mediante estos métodos. En muchos de estos casos el problema lo podemos solucionar recurriendo al uso de tablas de integrales como mostraremos a continuación.
Caxxlnaxdxax
Cxaxlnxadxxa
222
a222x22
222
a222x22
2
2
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Ca
xarctg
a
1
ax
dx
Cxa
xaln
a2
1
xa
dx
Cax
axln
a2
1
ax
dx
Ca
xarcsen
xa
dx
Caxxlnax
dx
22
22
22
22
22
22
Ejercicio: Calcule
222
2
x39
dx ,
u316
du ,
9x4
dx , dx9x