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INTEGRACIÓN

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El cálculo integral se basa en el concepto de la integral.La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje X en un intervalo cerrado [a,b].

El área R de la región de la figura está dada por la integral de f en [a, b], denotada por el símbolo

¿Cuál es el problema que motiva el concepto de integral?

y = f(x)

a b

dx)x(fb

a

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Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a muchos problemas que aparentan tener poca relación con dicha motivación original. Por ejemplo, en el campo de la administración y la economía, problemas de crecimiento de poblaciones, excedente de los consumidores, excedente de los productores, valor futuro total y valor presente de un flujo de ingresos, monto de una anualidad, distribución del ingreso (curvas de Lorentz), entre otros.

El teorema fundamental del cálculo proporciona una conexión vital entre las operaciones de derivación e integración, la que proporciona un método eficaz para calcular el valor de las integrales. Veremos que en vez de encontrar la derivada de la función f(x), necesitamos determinar una nueva función F(x) cuya derivada sea f(x).

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Antiderivadas o primitivas

El problema de encontrar la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra lo resuelve la derivada. Con la integral resolveremos el problema inverso, esto es, si se conoce la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra, encontrar la relación entre ambas.

Por otra parte, los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real implican con frecuencia ecuaciones que contienen derivadas de las funciones desconocidas. Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales y, el tipo más sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma

)x(fdx

dy

donde f es conocida y la función y(x) es desconocida.

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El proceso de determinar una función a partir de su derivada es el opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una función y(x) cuya derivada sea f(x), es decir, resolver para y(x) la ecuación y’(x) = f(x), entonces decimos que y(x) es una primitiva o antiderivada de f(x).

Definición: Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que F’(x) = f(x), siempre y cuando f(x) esté definida.

Ejemplo: ¿Qué función F(x) es tal que ?

¿Y por qué no ?

2x3)x('F

7xF(x) o 4xF(x)

x)x(F33

3

6

Algunas antiderivadas de f(x) = 3x2

Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para cualquier elección de la constante C.

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Una sola función tiene muchas primitivas, mientras que una función

sólo puede tener una derivada

Teorema: Si F’(x) = f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f, en I, tiene la forma G(x) = F(x)+C, donde C es una constante.

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La colección de todas las primitivas de la función f(x) es

conocida como la integral indefinida de f con respecto

a x y se denota dx )x(f

Con base en el teorema, escribimos CF(x)dx )x(f

Por ejemplo, Cxlndx Cxdx x3x132

dx )x(f

Función integrando

Variable de integración

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f(x)(x)F' si sólo y si CF(x)dx )x(f

Las propiedades de linealidad de la derivación inducen las siguientes para la integral indefinida:

dx)x(gdx)x(fdx )]x(g)x(f[

constante k con , dx)x(fkdx)x(fk

Ejercicio: Verifique los siguientes resultados:

Cxxxdx)1x3x4( 2233

342

Cxln3xdx)x2(x42

x4

x3

2

Cedx)xe(x2

1xx

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A partir de las fórmulas de derivación podemos obtener

fórmulas de integración

Cx3

2dxx

Cdxa

Cedxe

Cxlndx

-1n , C1n

xdxx

C3

xdxx

Cxdx

3 2

alnax

xx

x1

1nn

32

x

11

Ejercicio: Calcule las integrales siguientes:

dxx5 dx)x(x

dx)( dt)tt5,0(

dx)(4x dx)e5(

dx)x102(4x dx)x5x48(

3 42

xxx-24

x23x

x3

433

4

2

Problema: Se estima que dentro de t meses la población de

cierta ciudad cambiará a una razón de personas por mes. Si la población actual es de 10.000 personas, ¿cuál será la población dentro de 8 meses?

32

t54

12

Ejercicio: Calcule las integrales siguientes:

Pero ¿cómo calculo estas integrales?

dxxsen4x dxe5x dx1x322x

dx)( dt)1t(t

dx)x2(x dx)x

6(

x7x3x2

2e

4

32

21x

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Métodos de integración

Desarrollaremos técnicas que junto con las fórmulas básicas nos permitirán calcular integrales indefinidas de funciones más complicadas.

¿Cómo reconocer cuál técnica

emplear para integrar?

No se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cuál método aplicar en determinado caso, pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las fórmulas básicas de integración.

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Integración por sustitución

Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo recorrido es un intervalo I y f es continua en I, entonces

Debemos tener presente que siu = g(x), entonces du = g’(x)dx

Ejemplo: Calculemos dx1xx3 2

Si entonces du = 2x dx y 3x dx = du ; luego la integral se escribe:

1xu 2 23

C)1x(Cuduuduu 32

32

23

23

23 2

321

du)u(fdx)x('g))x(g(f

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Ejercicio: muestre con un ejemplo que la igualdad anterior no se cumple

dx g(x) dx f(x)dx)x(g)x(f?

Ejercicio: Calcule las siguientes integrales

dxe5x dx1x32 dx)2(x x2x83

dtcostsent dxe7 dx)2x(x x-432

dx

e1

e dx

x

)xln( dx

x1

x3x2

2x

5

4

16

Ejercicio: Calcule

dx

5x

)5xln(x2 dxe)1x3(

2

2xx2 3

Problema: Después de x años de trasplantado, se estima

que un árbol crece a una razón de metros por año.

Transcurridos dos años alcanza una altura de 5 metros. ¿Qué

altura tenía cuando fue trasplantado?

Problema: Se proyecta que dentro de x

años la población de cierto país cambiará a una razón de millones por año. Si la población actual es 50 millones de habitantes, ¿cuál será la población dentro de 10 años?

2)1x(

11

x02,0e

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Integración por medio de tablas

Con los métodos de integración estudiados precedentemente es posible calcular la mayor parte de las integrales que aparecen en las aplicaciones a la administración, economía y ciencias sociales. Sin embargo, podemos vernos enfrentados a una integral que no puede resolverse mediante estos métodos. En muchos de estos casos el problema lo podemos solucionar recurriendo al uso de tablas de integrales como mostraremos a continuación.

Caxxlnaxdxax

Cxaxlnxadxxa

222

a222x22

222

a222x22

2

2

18

Ca

xarctg

a

1

ax

dx

Cxa

xaln

a2

1

xa

dx

Cax

axln

a2

1

ax

dx

Ca

xarcsen

xa

dx

Caxxlnax

dx

22

22

22

22

22

22

Ejercicio: Calcule

222

2

x39

dx ,

u316

du ,

9x4

dx , dx9x