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Como el tiempo que tarda en recorrerlo
es 2 - v
2
v3
+ resulta
2 - v
2
v3
+ = 1.
A cada una de las expresiones
2 - v2
y v3
las llamaremos
fracciones algebraicas.
Fracciones Algebraicas
Liliana camina todas las mañanas 5Km en una hora. Los primeros 3Km los recorre a una velocidad constante v pero, ya cansada, recorre los últimos 2 Km a una velocidad de v-2 Km por hora. ¿Con qué velocidad camina en cada tramo?
Recordemos que, en esta situación, el espacio recorrido se relaciona con la velocidad y el tiempo por la fórmula: e = v.t
Espacio recorrido
Velocidad con que
recorre el tramo
Tiempo que tarda en
recorrerlo
Primer tramo
3 v v3
Segundo tramo
2 v - 2 2 - v
2
DEFINICIÓN Dados dos polinomios P(x) y Q(x); Q(x) ≠Op(x) llamaremos fracción algebraica a toda
expresión de la forma Q(x)P(x)
.
La indeterminada x podrá tomar aquí cualquier valor real siempre que dicho valor no anule al denominador.
EJEMPLOS
a) 2 x1 2x
2
3
++
b) 3 x ; 3 -x
x-≠
Como puedes observar toda expresión algebraica racional puede expresarse como cociente de polinomios.
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EJEMPLO
1) -(x ; 1) -(x ) 1 -(x
; 1) -(x x
x 2x - x 223 +
x ≠ 0 ; x ≠ 1
A las fracciones ba
y r . b.r a
las
llamamos fracciones equivalentes.
Ejs: 2515
;106
; 53
son fracciones
equivalentes.
EJEMPLO Si x ≠ 0
2 x3 x
2x x x3 x
23
2
++
=++
Existe una gran similitud entre definiciones y operaciones entre fracciones algebraicas y números fraccionarios.
Recordemos que: si a, b y r son números reales b ≠ 0 y r ≠ 0 entonces:
ba
r . b.r a
=
En este caso decíamos que habíamos simplificado los factores comunes de la fracción.
Simplificación de fracciones algebraicas
DEFINICIÓN
Dada la fracción algebraica Q(x)P(x)
; Q(x) ≠ Op(x).
Si P(x) y Q(x) son divisibles por el mismo polinomio d(x) entonces existen dos polinomios M(x) y N(x) tales que: P(x) = M(x) d(x) y Q(x) = N(x) d(x) con N(x) ≠ Op(x). Luego se verifica que:
N(x)M(x)
N(x).d(x)M(x).d(x)
Q(x)P(x)
==
En este caso diremos que N(x)M(x)
es una simplificación de
la fracción algebraica Q(x)P(x)
DEFINICIÓN
Dos fracciones algebraicas Q(x)P(x)
y N(x)M(x)
son equivalentes si una de ellas es la simplificación de la otra.
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EJEMPLO
Dadas las fracciones:1 -x 1 x
; x
3x 2
2
++; x≠0; x≠1
Para escribirlas con igual denominador buscamos fracciones equivalentes a las dadas con esa propiedad
23
24
2
222
23
2
22
x- x x x
x1) -(x x) 1 (x
1 -x 1 x
x- x3 -2x x
1) -(x x
1) -(x 3) (x
x) 3 (x
+=
+=
+
+=
+=
+
x ≠ 0 ; x ≠ 1
OBSERVACIÓN: Siguiendo el camino inverso podemos obtener una fracción
equivalente a Q(x)P(x)
multiplicando numerador y denominador por un mismo polinomio
H(x) ≠ Op(x). Me parece que son las mismas operaciones de números reales aplicadas a polinomios.
Sí, deberíamos repasar el módulo I
Algunas consideraciones sobre las operaciones con fracciones numéricas y algebraicas.
Recordemos: Si a, b, c y d son números reales, b ≠0,
d ≠ 0 y b ≠ d ; las fracciones dc
y ba
se
podían reducir a común denominador considerando dos fracciones equivalentes con igual denominador.
b.da.d
ba
= d.bc.b
dc
=
Reducción a común denominador de fracciones algebraicas
DEFINICIÓN
Dadas las fracciones Q(x)P(x)
y N(x)M(x)
con Q(x) ≠ Op(x), N(x) ≠ Op(x) Las expresiones:
N(x) Q(x).N(x) P(x).
y N(x).Q(x)M(x).Q(x)
son
fracciones algebraicas equivalentes a las dadas con igual denominador. A Q(x) . N(x) se lo llama denominador común.
Las fracciones algebraicas dadas fueron reducidas a común denominador.
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Suma y resta de fracciones algebraicas
Observación: Aunque cualquier denominador común es válido, las operaciones resultarán más sencillas si elegimos de todos los posibles denominadores comunes el de menor grado. A este denominador se lo llama mínimo común denominador.
Regla práctica para hallar el mínimo común denominador. • Se factorizan los polinomios de los
denominadores. • Se multiplican todos los factores
diferentes. • Si existen dos factores con la misma base
y distinto exponente es suficiente tomar como factor aquel que tiene mayor exponente.
EJEMPLO Si debemos hallar el mínimo común denominador de las fracciones algebraicas:
2
2
32 ) 1 -(x x3
; 1) - x ( x
2 -x ;
x1 x +
debemos tener en cuenta los factores x3 y (x – 1)2 El mínimo común denominador es:
x3 (x – 1)2
Recordemos: Dadas las fracciones numéricas
bc
y ba
quedó definida:
bc a
bc
ba ±
=±
Si las fracciones tienen distinto denominador, se deben escribir primero las fracciones con común denominador y luego operar.
b.dcb a.d
d.bc.b
b.da.d
dc
ba ±=±=±
DEFINICIÓN Para sumar o restar dos o más fracciones algebraicas se deben reducir todas a denominador común y luego sumar o restar los polinomios de los numeradores.
Dadas N(x)M(x)
y Q(x)P(x)
;Q(x)≠Op(x); N(x)≠ Op(x)
Q(x)N(x)M(x)Q(x)P(x)N(x)
N(x).Q(x)M(x).Q(x)
Q(x).N(x)P(x).N(x)
N(x)M(x)
Q(x)P(x)
±=
=±=±
EJEMPLO:
4029
40
5 24
8.51.5
5.83.8
81
53
=+
=+=+
EJEMPLO: Sea x ≠ 0 y x ≠ 1
23
24
2
222
2
x- x3 -2x x2 x
1)-(x x
1) (x x 1)-3)(x(x
1 -x 1x
x
3x
++=
=+++
=+
++