Aquest és un dossier adreçat als alumnes que han de preparar l’examen de setembre i als que volen repassar els continguts de 3r. És un llistat d’exercicis amb solucions, agrupats per temes. La teoria corresponent la trobaràs al llibre de text.

Cal que escriguis tots els passos que fas. Fixa’t que tens les solucions, el procés per obtenir-les és el que interessa.

Alguns exercicis es poden fer en el mateix full dels enunciats però altres els has de fer en un full a part.

Els exercicis de Geogebra no són obligatoris per a l’examen de setembre.

També, si vols, pots utilitzar un quadern molt complet ( teoria, exercicis, problemes i autoavaluació) que trobaràs a la pàgina: www. tutormates.cat

Estadística

Hauràs de fer el que t’indiquem en aquest full i que trobaràs en la pàgina següent: aprenestadistica.gencat.cat

L'Institut d'Estadística de Catalunya ha fet una pàgina web sobre estadística per als alumnes de l'ESO i el BATX molt interessant.

Accedeix a Què és estadística? i respon les preguntes següents:1.- Què és l'estadística ?2.- Com s'expressen les dades estadístiques?3.- Quins són els passos d'un estudi estadístic?

Accedeix al glossari estadístic i respon les preguntes següents:

Dossier d’estiuNom i Cognoms: Curs:

INS JOAN PUIG I FERRETER

Departament de Matemàtiques

3r ESO Curs 2012- 13

4.- Observa l'animació que acompanya a la mitjana aritmètica i completa la frase següent: La mitjana aritmètica representa el centre...

5.- De quina altra manera es poden anomenar les mesures de posició?6.- Què és un cartograma?( Clica on posa variable i en variable obre: “ animació” )7.- Defineix amb les teves paraules què és una enquesta.8.- Quina diferència hi ha entre variable discreta i variable contínua?

A més a més de la introducció i del glossari, la web també conté unes activitats molt interessants! Et proposem les següents:(El número amb parèntesis correspon als apartats 1,2.. de la figura que hi ha sota aquestes líneas: Què és l’estadística?, Serveis...

Societat (4) Anem a votar .Hauràs de fer el diagrama de sectors i el lineal.Seveis (2) Presencia de les dones en el mercat de treball. Hauràs de fer la taula de freqüències, el diagrama de barres i el diagrama lineal. Demografia(3) Anem,venim, marxem? Quant som a Catalunya?Fes el histograma.Economia(5) Som rics o pobres dins d’Europa?. Hauras de fer el histograma, la taula de freqüències i el diagrama de sectors.

1 2 3 4 5 6 7

10 Atzar i probabilitat1 Llancem a l’aire un dau de sis cares, numerades amb 1, 2, 3, 4, 5 i 6, i observem la puntuació obtinguda.

a) Escriu l’espai mostral.E =

b) Escriu els esdeveniments següents:A = “Obtenir un nombre parell” =

B = “Obtenir un nombre més gran que tres” =

C = “Obtenir un nombre més petit que tres” =

2

D = “Obtenir un nombre més gran que vuit” = Ø (conjunt buit)

F = “Obtenir un nombre més petit que vuit” =

c) Entre els esdeveniments B i C, quin és el més probable?d) Quin dels esdeveniments anteriors és un succés impossible?e) Quin dels esdeveniments anteriors és un succés segur?

2 Extraiem una carta d’una baralla espanyola i observem el número i el pal.Expressarem cada carta amb un número i una lletra. Per exemple:Cinc de copes: 5-C, As d’espases: 1-E, Rei de copes: 12-C

Escriu aquests esdeveniments:

A = “Obtenir un tres” =

B = “Obtenir un rei” =

C = “Obtenir un basto” =

D = “Obtenir un nombre més petit que tres” =

3 Lectura: és possible establir lleis que regulin l’atzar? Tres jugadors de daus mantenen la conversa següent sobre les seves partides. Entre altres coses afirmen:—JUGADOR A: Vaig tenir una tarda amb sort. Vaig llençar el dau 180 vegades i va sortir el 6 en 84 ocasions, va dir.

—JUGADOR B: Doncs jo he comptabilitzat que, en els tres últims mesos, el nombre de vegades que ha sortit el 6 supera al nombre de vegades que ha sortit l’1 en 230, va dir aquest.

—JUGADOR C: En les meves partides surt tantes vegades el 6, com l’1, com les altres cares del dau. I, com que ho porto ben comptat, cada vegada que aposto ho faig pel número que menys vegades ha sortit. D’aquesta manera guanyo gairebé sempre, va concloure el tercer.

Diuen la veritat? Menteixen? Juguen amb daus trucats? O bé, en coses d’atzar no hi ha manera d’assegurar res? Pensa-ho bé. Al final de la lectura comentem aquestes qüestions.

La paraula atzarós s’utilitza com a sinònim d’imprevisible. L’atzar és considerat com la cosa més oposada a l’ordre, a qualsevol regla, a tota previsió. Com podem dictar lleis per a una cosa imprevisible?Pensem en algunes situacions completament aleatòries i en les que, no obstant, podem trobar regularitats:• La pressió que exerceixen les molècules d’un gas en les parets del recipient que les conté depèn exclusivamen dels xocs de les molècules; és a dir, del seu moviment. ¿Com és possible llavors que, tot i que les molècules de gas es mouen a l’atzar, la pressió que exerceixen en les parets del recipient que les conté és la mateixa en tots els punts?

3

• Els experts de trànsit no coneixen les intencions personals de cada conductor. ¿Com és possible llavors que puguin preveure amb molta precisió quin flux de cotxes hi haurà a cada carretera i a cada hora d’un cap de setmana? I, encara més sorprenent, com prediuen amb tanta exactitud el nombre d’accidents que es produiran?

Aquestes situacions tenen alguna cosa en comú: la previsió es fa sobre el gran nombre d’individus que formen el col·lectiu (les molècules d’un gas, els que puguin sortir de viatge, els que viatgen i poden tenir un accident...).

Les lleis de l’atzar no es refereixen a l’itinerari d’un únic viatger o a la direcció d’una sola molècula de gas; ni al que podem esperar d’una sola tirada de dau. Sí que es refereixen a una quantitat molt gran de viatgers, de molècules de gas o de tirades de dau.

Comentaris— A menteix o utilitza un dau trucat. És pràcticament impossible que amb un dau s’aconsegueixi 84 vegades el “6” en 180 tirades (gairebé la meitat de les vegades).

—B pot dir la veritat. Si el nombre total de tirades és molt gran, pot passar que el número “6” superi les vegades que s’ha obtingut el número “1” en 230, i, tot i això, la freqüència relativa de tots dos esdevenim sigui pròxima a 1/6 . Per exemple en, 20 000 tirades obté f (1) = 3 200 i f (6) = 3 430, les seves freqüències relatives són fr(1) = 0,16 i fr(6) = 0,17, totes dues pròximes a 1/6.— C menteix. No és cert que els resultats de les tirades es vagin igualant. L’atzar no té memòria! Per tant, la tàctica d’apostar pel número que menys ha sortit és absurda.

4. Llei de LaplaceUna urna conté 4 boles blaus ( tres boles amb el número 2 i una amb el número 4) i 6 boles vermelles ( 3 amb el número 1, dues amb el número 3 i una amb el número 2).

Calcula la probabilitat de cadascun dels esdeveniments següents:

A = “Obtenir bola vermella” . P [bola vermella] =

B = “Obtenir un 1. P [1] =

C = “Obtenir un 2 blau”. P [2 blau] =

D = “Obtenir menys de 5”. P [menys de 5] =

F = “Obtenir un 4 vermell”. P [4 vermell] =

4

ARITMÈTICAPercentatges

1 El 60% de les 175 habitacions d’un hotel estan ocupades. Quantes habitacions estan ocupades?

2 En una escola de 750 alumnes han aprovat totes les matèries 495. Quin tant per cent d’alumnes ho ha aprovat tot?

3 Un agent immobiliari cobra una comissió de l’1,5% del preu d’un apartament que s’ha venut per 100 500 €. Quant cobra per aquesta venta?

4 Dels 1 300 alumnes d’una escola, 156 estudien tercer d’ESO. Quin tant per cent representen els alumnes d’aquest curs?

5 En un club esportiu hi ha 124 socis que juguen a bàsquet i representen el 25% del total. Calcula quants socis té aquest club.

6 Tres germans compren un regal a la seva mare. El més gran paga 13,20 , quantitat que representa el 40% del preu del regal. Quin és el preu del regal?

7 La superfície cultivada d’un país és de 357 ha, que representen el 38% de la seva extensió. Quina és la superfície d’aquest país?

Augments i disminucions percentuals

1 En un restaurant han pujat el menú del dia un 8%. Quin és el preu nou si abans costava 7,5 € ?

2 Haig de pagar 352 per un moble, en què m'inclouen el cobrament d'un 10% pel transport. Quin és el preu del moble si no tenim en compte el transport?

3 Quin serà el preu d'unes sabates de 68 € si ens fan un descompte del 40%?

4 Quin descompte m'han fet en una factura de 1 385 € si he pagat 1 135,7 €?

5 El nombre d'alumnes que juguen a bàsquet ha passat de 110 a 145 en un any, mentre que el nombre dels que juguen a tennis ha passat de 45 a 57. En quin dels dos esports ha estat més gran l’augment percentual?

6 La quantitat d'aigua que hi ha en un dipòsit és de 1 107 L després d'haver utilitzat el 18% de la seva capacitat. Quina és la capacitat del dipòsit?

5

1 Efectua els càlculs següents:

a) ( )[ ] =++−−−−− 412391275

b) ( ) ( )[ ]213641631 −+−−−++−− =

c) ( ) ( )[ ]164531796 −++−−−−+−− =

2 Calcula i si és possible, simplifica les expressions següents:

( )5· 5

1 2 )

6

2 :

4

5 ·

2

3 )

+b

a

( )

2

1

3

1 -

5

23·1

6

1 )

3

25

4

1

2

1:31

4

2 : 5 )

−

−

−

−+

−−

+

d

c

3 a) Completa el quadre següent escrivint a cada casella si o no segons el nombre pertanyi o no al conjunt corresponent:

NOMBRE Naturals Enters Racionals Irracionals0,56-30,555...

25

2

1

2, 3

9

5,47888..... π

6

b) De cadascú dels nombres decimals, indica de quin tipus són: d.e., d.p.p o d.p.m.

c) Arrodoneix els nombres decimals ( també, els irracionals ) fins a les centèsimes.

4 Calcula les potències següents:

a) ( ) ( ) 44 55 −⋅− − 50 ( - 4 )3

( - 5 )0 ( - 10 )0

( - 5 )1 (- 10 )1

( - 2 )4 · ( - 2 ) · ( - 2 )3 ( - 4 )7 : ( - 4 )2

( - 8 )5 · (- 8 )3

( )[ ]253a

Expressa en forma d’una única potència:

b) 32

3

2

3

2−−

⋅

c) 21

4

3:

4

3−−

d) 23

2

1−

7

e) 33

3

2:

3

2

5 Expressa amb notació científica els nombres següents:

a) 1230000 b) - 278'97

c) 0' 0006 d) 0'2345

e) 45'67 · 103

Troba els nombres que corresponen a les següents expressions en notació científica:

f) 5'4789 · 103 g) 1'3 · 10-4

h) 4'2 · 100 i) 1'24 · 10-4

j) 2'5 · 101

6 Calcula i escriu el resultat en notació científica:

a) 4´2 · 108 · 2’1 · 10-7

b) 3’1 · 10-7 : 5 · 10-6

7 Extreu factors d'aquestes arrels: a) 125

b) 3 54

8 Calcula :

8

5:5

5·5

2527

545

−−

+

9 Simplifica: 1021

3425

2·5·3

2·5·3·2−

Àlgebra

1 Escriu 3 monomis semblants de grau 1 i 3 monomis semblants de grau 5

2 Escriu dos polinomis complets de grau 4

3 Redueix i ordena de major a menor grau dels seus monomis el polinomi :

8 + 4x4 – 3x2 + 2x – x4 + x + 4x3 + 5x2 – 4x3 –5 Quin és el grau del polinomi resultant?

4 Calcula el valor numèric del polinomi P(x) = x3 – 8x2 + 4x per a x = 2

5 Si A(x) = 4x3 – x2 + 1; B(x) = x3 + x + 2 i C(x) = 2x2 +3x

Troba : a) A(x) + B(x) b) A(x) – B(x) + C(x)

6 Efectua el producte (10x4 – 8x3 +6x2 – 12x + 4 ) · ( 2x3)

7 Efectua el producte ( 4x3 – 5x + 6 ) · ( 2x2 - x + 4 )

8 Calcula les potències següents :

( 2x5 )2 ; (3x3)3

( - 4x )3 ; ( - x-2 )-3

9 Calcula aplicant les fórmules dels productes notables:

( x – 2 )2 ( x – 2 )2

9

( 3 – y )2 ( x – y )· ( x + y )

( 2x + 3y )2

10 Resol les equacions següents i comprova’n els resultats:

a) 2 (2 ) 2 1 (1 2 )x x x x+ − − = − − −

b) [ ]2 2 2(3 2) 4 16x x x+ − = +

c) 4

1

4

3

842+=++ xxxx

d) 35

465 −=−− x

x

e) x2 – 9x + 14 = 0

f) 1 – x(x – 3) = 4x – 1

11 Resol, cadascú per un mètode diferent, els sistemes següents:

a)

−=−=+

329

43

yx

yx b)

=+=−

3765

3

yx

yx

c)

=+=−527

125

yx

yx d)

=−=+5,15,0

77,02,1

yx

yx

Resol gràficament els sistemes següents:

e)

−=+=−

442

83

yx

yx f)

−=+=−

442

88

yx

yx

12 Amb una corda de 24 cm construïm un quadrat i un triangle rectangle. Si sabem que el costat del quadrat és igual que el catet menor del triangle i que l’altre catet és una unitat més gran, calcula les dimensions de les dues figures.

13 La suma dels quadrats de dos nombres consecutius és 265. Troba aquests nombres. Quantes solucions has trobat?

10

14 Si el radi d’un cercle augmenta 2 cm, l’àrea augmenta 20 π cm2. Troba el radi d’aquest cercle i la seva àrea. 15 En un rectangle, la base és el triple de l'altura. Calcula l'àrea del rectangle, sabent que el perímetre és de 240 cm.

16 Un llebrer empaita un llebre que és a 30 metres de distància. Si el gos fa 5 m/s i la llebre fa 3m/s, quant de temps trigarà el gos a agafar la llebre?

17 Troba 2 nombres sabent que la seva suma val 100, i que el doble d’un és igual al triple de l’altre.

Funcions

18 Representa gràficament les funcions: a) y = 5x, y= -5x b) y=3, y= -3 c) y= 2(x+1) -1

d) Dibuixa els gràfics de y= -x+2, y = -2x +3. Les dues rectes són funcions decreixents. Quina recta és més inclinada? Indica el pendent i l’ordenada a l’origen de les dues rectes.

e) Quins són el pendent i l’ordenada a l’origen de les rectes de la figura?

Solucions:

Aritmètica:

Percentatges 1)105 habitacions, 2)66%, 3)1 507.50, 4) 20% 5) 496 socis, 6)33€, 7) 939,47 ha

Augments i disminucions percentuals 1) 8,10€, 2) 320€, 3)40,80€, 4)18%, 5) bàsquet, 6)1 350 L

11

Pàg. 6: 1a) -13, 1b) -1, 1c) 12, 2a) 45/8, 2b) 11, 2c) -36/3, 2d) -2

Pàg. 8: 9) 12

23

2

5·3

Àlgebra:

Pàg. 9: 10a) x=1

Pàg.10: 10b) x=2, 10c) x=2, 10d) x = 4, 10e) 7,2 21 == xx , 10f) 2,1 21 −== xx

Pàg. 10 11a) 3,3

1 == yx , 11b) 2,5 == yx 11c) 7,3 == yx , 11d) x=3,5, y=4,

11e) 11f)

12) costat del quadrat= 6cm, catets = 6cm i 7cm, hipotenusa= 85

13) 11 i 12, -12 i -11, 14) r = 4cm, A = 16 π , 15) 2 700 cm2

Pàg. 11 16) 15s, 17) 40 i 60

Funcions:

18d)

Pàg 11: 18e) f(x): pendent=1/5, ordenada a l’origen= 1

g(x): pendent= - 1/5, ordenada a l’origen= 0

12

Geometria i Funcions amb Geogebra

Realitza les pràctiques següents ( el programa és gratuit i el pots descarregar en: www. geogebra. at)

Polígons i diagonals

• Dibuixarem un triangle, un quadrilàter i un pentàgon que no siguin regulars. Dibuixarem totes les diagonals d’aquests polígons.

• Obre el programa Geogebra. Comprova que està en català, sinó anirem a Options | Language i triarem el Català.

Des del menú Visualitza, amaga els eixos i la finestra algebraica.

Selecciona l’eina Polígon.

Clica en un punt de la finestra gràfica.

Clica en un segon i en un tercer punt. Observa com el programa comença a dibuixar un polígon.

Ara, per tancar el triangle, només cal clicar sobre el primer punt.

Dibuixa un quadrilàter i un pentàgon.

Traça les diagonals del quadrilàter i del pentàgon utilitzant l’eina Segment entre dos punts.

13

• Segons que es dedueix de les figures següents, per un polígon de n costats des d’un vèrtex poden traçar-se n – 3 diagonals.

POTS TROBAR UNA FÓRMULA PER AL NOMBRE DE DIAGONALS DE QUALSEVOL POLÍGON?

Triangle isòsceles

• En aquesta activitat dibuixaràs un triangle isòsceles. Veuràs noves situacions de graus de llibertat en els objectes dibuixats.Hauries d’obtenir alguna cosa semblant a aquesta:

• Obre el programa Geogebra. Comprova que està en català, sinó anirem a Opcions | Language i triarem el Català.

Des del menú Visualitza, amaga els eixos i la finestra algebraica.

En primer lloc, dibuixa un segment.

Tria l’eina Segment entre dos punts. Clica, consecutivament,sobre dos punts qualsevol de la zona gràfica.

14

A continuació determina el punt mig del segment.

Tria l’eina Punt mig o centre. Clica sobre qualsevol punt del segment ( evita els extrems )

Seguidament, dibuixarem l’altura del triangle.

Tria l’eina Recta perpendicular. Clica, consecutivament, sobre el segment i sobre el punt mitjà d’aquest ( l’ordre és indiferent )

Finalment, acabaràs de determinar el triangle

Tria l’eina Punt nou.o Clica sobre la perpendicular del segment.

o Tria l’eina Polígon.o Clica, consecutivament, sobre els dos extrems del segment i sobre el punt sobre la perpendicular que acabes de dibuixar. Aquests tres punts seran els vèrtexs del triangle. Per acabar-lo clica sobre el primer punt.

• Si ara obres la finestra algebraica ( accedeix a Visualitza | Finestra algebraica ) trobaràs que, com a l’activitat anterior, els dos punts inicials són els objectes lliures i els pots situar sobre qualsevol lloc de la zona gràfica.

• Fixa’t en la diferència entre els altres dos punts. Un, el punt mitjà del segment, no té cap grau de llibertat. L’altre, el situat sobre la perpendicular, és semilliure: es pot moure però només sobre la recta. Observa que el programa els ha pintat amb colors diferents.

15

• Observa també les dades que el programa ens ofereix sobre el triangle. Disposem de la mida dels seus costats ( com que és isòsceles, dos sempre seran iguals ) i de la seva àrea.

RECORDA: Per indicar la mida dels costats hauràs d’anar a Edita Propietats Bàsic Mostra etiqueta Nom i valor. L’àrea la trobaràs fen els mateixos passos a: polígon

16

Trapezoide

En aquesta activitat dibuixarem un trapezoide i en descobrirem una bonica propietat. El resultat serà semblant a aquest:

Obre el programa Geogebra. Comprova que està en català, sinó anirem a Opcions | Language i triarem el Català.

Des del menú Visualitza, amaga els eixos i la finestra algebraica.

Selecciona l’eina Polígon. Fes quatre clics consecutius sobre la finestra gràfica. Per tancar el quadrilàter, cal que

tornes a clicar en el primer punt. Tria l’eina Punt mitjà o centre i demana els punts mitjans de cadascun dels costats del

quadrilàter. Torna a demanar l’eina Polígon i dibuixa el quadrilàter que formen els punts mitjans

obtinguts en el pas anterior. Tria l’eina Angle i clica en el quadrilàter interior ( hauràs d’indicar el valor dels angles

interiors del quadrilàter).

QUINA FIGURA HAS OBTINGUT? POTS MOURE ELS VÈRTEXS DEL TRAPEZOIDE ORIGINAL I OBSERVAR COM S’ADAPTA AQUESTA PROPIETAT ALS DIFERENTS TIPUS DE QUADRILÀTERS.

17

Recta tangent a una circumferència

• En aquesta activitat dibuixaràs la recta tangent a una circumferència i observaràs el grau de llibertat de moviment dels diferents objectes dibuixats. El resultat serà semblant a aquest:

• Obre el programa Geogebra. Comprova que està en català, sinó anirem a Opcions | Language i triarem el Català.

Des del menú Visualitza, amaga els eixos i la finestra algebraica.

Selecciona l’eina Circumferència donats el seu centre i un punt per on passa i fes dos clics sobre la zona gràfica. El primer clic et dibuixarà el centre de la circumferència. El segon serà el punt per on passa i determinarà la figura.

A continuació dibuixaràs el radi corresponent a aquest punt.

o Tria l’eina Segment entre dos punts.o Clica, consecutivament, sobre els dos punts que tens: el centre i el punt de la circumferència.

• Finalment, dibuixaràs la recta tangent a la circumferència.

Tria l’eina Recta perpendicular.o Clica, consecutivament, sobre el punt de la circumferència i sobre el radi (l’ordre és indiferent ). La recta obtinguda serà tangent a la circumferència.

18

• Si ara obres la finestra algebraica ( accedeix a Visualitza|Finestra algebraica ) trobaràs l’equació de la recta dibuixada, que s’actualitzà automàticament si mous la figura.

• Observa atentament quin és el grau de llibertat que tenen els objectes dibuixats.

Els dos punts inicials són els objectes lliures: els pots situar sobre qualsevol lloc de la zona gràfica movent-los segons la teva voluntat.

La resta d’objectes creats són els objectes dependents. Només es poden modificar modificant al seu torn els objectes lliures.

• Observa, però, que podem traslladar tota la construcció movent el radi o movent la circumferència. Però en cap cas podem moure la recta tangent.

Funcions

• El GeoGebra també pot representar funcions

• Obre el programa Geogebra.

Comprova que està en català, sinó anirem a Opcions | Language i triarem el Català.

Visualitza: Eixos i Graella

L’equació de la funció s’introdueix a Entrada. ( cada vegada introduiràs 1 funció, el signe de multiplicar s’introdueix amb el símbol * , exemple g(x) = 3 * x )

19

Activitat 1

• Representa les funcions: f(x) = x, g(x) = 3x i h(x) = (1/3)x

Acoloreix aquestes gràfiques i posa l’etiqueta amb la expressió algebraica de cadascuna ( Edita – Propietats ).

Utilitza l’opció: Fixa objecte després de fer cada representació.

• OBSERVA:

Totes passen per l’origen.

f(x) és la bisectriu del primer i tercer quadrant.

g (x) està més inclinada que les altres dues.

RECORDA: El pendent és la variació de la y quan la x augmenta una unitat

• Quina té major pendent?

Són creixents o decreixents?

Podries calcular el pendent de cadascuna?

Pots trobar alguna relació entre el pendent i el creixement de la funció?

20