dosier módulo v -...
TRANSCRIPT
I----------
Dosier módulo V
Módulo V
Diciembre de 2014
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 5
Unidad I. Transformaciones geométricas ............................................................................ 6
1.1. ¿Qué es una transformación geométrica? .................................................................... 6
1.2. Importancia de las transformaciones geométricas ....................................................... 7
1.3. El plano cartesiano ....................................................................................................... 7
Unidad II. Simetrías .......................................................................................................... 11
2.1. Simetría axial ............................................................................................................. 11
2.2. Propiedades de la Simetría axial................................................................................. 18
2.3. Teselaciones o mosaicos ............................................................................................ 22
2.4. Simetría central .......................................................................................................... 26
2.5. Propiedad de las simetrías centrales .......................................................................... 29
Unidad III. Traslación ......................................................................................................... 32
3.1. Vectores y traslación .................................................................................................. 32
3.2. Propiedades de las traslaciones ................................................................................. 36
3.3. Teselaciones por traslación ........................................................................................ 41
3.4. Composición de simetrías y traslaciones .................................................................... 43
Unidad IV. Rotación .......................................................................................................... 46
4.1. Definición y ejemplos ................................................................................................ 46
4.2. Propiedades de la rotación ........................................................................................ 52
4.3. Teselaciones con rotación .......................................................................................... 57
4.4. Arte de Escher............................................................................................................ 57
Unidad V. Homotecia ........................................................................................................ 60
5.1. Definición y notación ................................................................................................. 60
5.2. Trazo de homotecias sin utilizar cuadrícula ................................................................ 64
5.3. Propiedades de la homotecia ..................................................................................... 65
5.4. Centro y razón de homotecia ..................................................................................... 68
5.5. Aplicaciones............................................................................................................... 69
5.6. Teselados con homotecia .......................................................................................... 71
RESUMEN Transformaciones geométricas ................................................................................... 73
REFERENCIAS DOCUMENTALES ................................................................................................. 74
5
La Tierra gira alrededor de su eje y además se traslada alrededor del Sol. La Luna, por su parte, se mueve alrededor de su eje y se traslada alrededor de la Tierra. En fin, todo se mueve en el universo. Pero ni la forma ni el tamaño varían con estos movimientos. Lo hacen así como se dan las transformaciones geométricas en el plano y en el espacio. Analizar lo que nos rodea desde una perspectiva matemática nos ayuda a comprender más y más cosas. Aprender a mirar las torres, ese reflejo sobre el agua de un cielo azul con nubes de algodón, esa rueda de la bicicleta que da una y mil vueltas. Todos ellos encierran muchas matemáticas, muchas transformaciones geométricas. En este dosier se presentan las transformaciones geométricas como material de apoyo en el Módulo 5 del curso de formación a especialistas en el Plan Nacional de Formación Docente. El estudio de las transformaciones geométricas es de suma importancia, no solo por el uso en la Geometría misma, sino por la aplicación que tiene en infinidad de áreas en la naturaleza, en la vida diaria, en la Astronomía, la Ingeniería, el arte, otras ramas matemáticas y otras disciplinas. El documento consta de cinco unidades. La primera unidad es una preparación para la fundamentación del plano cartesiano, que le sirva al participante como inducción para el manejo de coordenadas, para saber ubicar puntos y figuras en el plano cartesiano. De la segunda a la quinta unidad se hace un recorrido desde las isometrías, en donde se estudian las simetrías tanto axial como central, traslaciones, rotaciones y finalizando con las homotecias, que son transformaciones isomórficas. En cada unidad se inicia problematizando al lector, luego se definen los parámetros involucrados en el tipo de transformación, desarrollando en cada una su concepto y propiedades que permiten dar solución a diversos tipos de problemas, se plantean las situaciones en las que se manifiesta y finalmente se encuentran los ejercicios para resolver. Como está dirigido a la población docente que atiende estudiantes de primero a sexto grado, la propuesta de este dosier trata de adecuarse al pensamiento de los niños por lo que las ilustraciones, los problemas y los planteamientos metodológicos han sido seleccionados para que el estudio de este módulo permita a las y los especialistas construir nuevas ideas o conceptos basados en sus conocimientos actuales y pasados de la Geometría y las transformaciones geométricas y así fomentar que los especialistas puedan investigar, construir, describir y participar activamente para lograr un aprendizaje significativo.
6
Transformaciones geométricas El estudio de las transformaciones de las figuras geométricas ha ido progresivamente aumentando sobre la presentación formal de la Geometría basada en teoremas y demostraciones deductivas. Al parecer, su principal valor reside, para la mayoría de los estudiantes, en el valor intrínseco de éstas y no tanto porque contribuyan a proporcionar una imagen unificada de las Matemáticas. El estudio de las transformaciones se puede basar en acciones fáciles de realizar (por medio de plegados y giros), por lo que pueden servir para generar descubrimientos relativos a sucesos cotidianos y para comprobar las predicciones e inferencias de los estudiantes. También contribuye a resaltar aspectos más tradicionales de la geometría, como la congruencia y la semejanza de las figuras1.
1.1. ¿Qué es una transformación geométrica? Se denomina transformación geométrica a una relación que a cada punto del plano le hace corresponder otro punto, de tal manera que las figuras se transforman en otras figuras. La figura que se le hace corresponder se llama homóloga o imagen de la primera. A continuación se presentan algunos ejemplos de transformaciones geométricas, donde aparece la figura y su homóloga.
1 GODINO, JUAN D. (2002). Geometría y su didáctica para maestros. Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. Disponible en http://goo.gl/fa5tqM
7
1.2. Importancia de las transformaciones geométricas
Es absolutamente esencial para el desarrollo de habilidades de visualización y de orientación espacial, no sólo para la Geometría formal posterior, sino también para posteriores estudios de carpintería, Arquitectura, Artes gráficas por computadoras, Diseño en ingeniería, etc. También puede aplicarse en el Diseño de dibujos a escalas más precisas, para resolver problemas complicados del mundo real y para desarrollar un entendimiento intuitivo del proceso de modelación.
Antes de iniciar el estudio de las diferentes transformaciones, es necesario abordar algunos conceptos importantes con respecto al plano cartesiano.
1.3. El plano cartesiano En matemáticas, el plano cartesiano es un sistema de referencias que se encuentra conformado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan de forma perpendicular en un determinado punto. A la horizontal se la llama eje de las abscisas o de las x y al vertical eje de las ordenadas o de las y; el punto en el cual se cortarán se denomina origen.
La principal finalidad de este plano será describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus pares ordenados. El plano cartesiano está dividido en cuatro regiones llamadas cuadrantes. El origen de la denominación de plano cartesiano como tal se ha efectuado en honor al reconocido matemático y filósofo francés del siglo XVII René Descartes (1596-1650), por haber promovido la necesidad de tomar un punto de partida sobre el cual edificar todo el conocimiento. Como creador de la Geometría analítica, también comenzó tomando un punto de partida: dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto ideando así las denominadas coordenadas cartesianas.
René Descartes
(1596-1650)
8
Ejemplos: ¿Cómo graficar (ubicar) puntos en el plano cartesiano? a) Ubique los siguientes puntos en el plano cartesiano: 𝑃 = (1,2), 𝑄 = (−3,2), 𝑅 = (3,1) y 𝑆 = (2,−2).
Describa el procedimiento para poder ubicarlos. b) ¿En qué cuadrante se encuentra cada punto? c) Una el punto 𝑃 con cualquiera de los otros por medio de un segmento de recta. Soluciones: a) Para ubicar el punto 𝑃 = (1,2) en el plano cartesiano se hizo lo siguiente: se tomó el primer número
del par ordenado, “1”, se contaron las unidades correspondientes en dirección derecha (a lo largo del eje 𝑥) partiendo desde el origen (0,0). Después, desde donde se localizó el valor de 𝑥, se contaron las unidades correspondientes al segundo número del par ordenado “2” hacia arriba (a lo largo del eje 𝑦) ubicando así el punto 𝑃 = (1,2) en el plano cartesiano.
De igual manera se ubican los demás puntos. De forma general, para graficar un punto 𝑀 = (𝑎, 𝑏) en el plano cartesiano se hará lo siguiente:
Se deben contar las unidades correspondientes al número “𝑎” en dirección derecha, si es
positivo y en dirección izquierda, si es negativo (a lo largo del eje 𝑥), partiendo siempre del
punto de origen, que es el (0,0). Y luego, desde donde se localizó el valor en el eje 𝑥, se procede
a contar las unidades correspondientes al número “𝑏” hacia arriba en caso de ser positivas,
hacia abajo, en caso de ser negativas (a lo largo del eje 𝑦) y de esta manera se localiza cualquier
punto 𝑀 = (𝑎, 𝑏).
9
Dependiendo del signo de 𝑎 y 𝑏, se presentan los siguientes casos:
En resumen: el punto 𝑀 = (𝑎, 𝑏), está formado por la abscisa 𝑎 y la ordenada 𝑏. En general a estos dos elementos se les conoce como coordenadas del punto 𝑀.
b) Los puntos 𝑃 = (1,2) y 𝑅 = (3,1) se encuentran en el cuadrante I, debido a que sus dos coordenadas son positivas. El punto 𝑄 = (−3,2) se encuentra en el cuadrante II, debido a que su primera coordenada es negativa y la segunda es positiva. El punto 𝑆 = (2,−2) se encuentra en el cuadrante IV, debido a que su primera coordenada es positiva y la segunda es negativa.
c)
𝑎 > 0, 𝑏 < 0 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑎 < 0, 𝑏 > 0 𝑎 < 0, 𝑏 < 0
Uniendo los puntos 𝑃 y 𝑅 Uniendo los puntos 𝑃 y 𝑄 Uniendo los puntos 𝑃 y 𝑆
10
Ejercicios
1. Encuentre las coordenadas de los puntos A, B, C y D,
dibujados en el plano cartesiano.
2. Grafique los siguientes puntos y únalos con segmentos de recta en el orden que aparecen, de tal manera que se forme una figura cerrada.
a. (-2,3), (-3,-4) y (2,-1) b. (1,1), (5,1), (3,3) y (7,3) c. (-1,2), (-3,0), (-1,-2), (2,-1) y (2,1)
¿Qué tipo de figura se ha formado?
3. Forme un triángulo uniendo los siguientes puntos: (2,2), (-5,3) y (2,-3). ¿Cuánto mide el segmento que
une los puntos (2,2) y (-5,3)?
4. Determine cuál debe ser el valor de 𝑎 para que los siguientes puntos (-2,-1), (2,-1) y (𝑎,3) formen un triángulo isósceles.
5. Lea la siguiente situación: Geometrín y su buen amigo Algebrín quieren ir a visitar a su amiga Resortina,
pero tienen una pequeña dificultad, se les olvidó la dirección de su amiga debido a que han estado muy ocupados editando el vídeo que presentaron en el Módulo IV de la formación docente. Por esta razón, decidieron buscar primero un punto de referencia y recordaron que ella dijo que vivía cerca de la tienda El Baratón. Estando allí, preguntaron por ella a un policía, y él les dijo que caminaran 3 cuadras a la izquierda y 2 al sur para dirigirse al parque El Descanso. Al preguntar al agente que cuidaba el parque, éste les indico que caminaran 5 cuadras a la derecha y 3 al norte y que justo allí encontrarían a su amiga. Fue grande la sorpresa cuando llegaron y tocaron a la puerta y se dieron cuenta que allí vivía Variablina. Con el fin de que sus amigos no se decepcionaran en su búsqueda, Variablina los acompañó y les dijo que ya solo necesitaban caminar 2 cuadras al sur y 1 a la izquierda. Fue grande la emoción cuando se encontraron los cuatro amigos y empezaron hacer la tarea del plano cartesiano del módulo V.
a. Represente la situación anterior en el plano cartesiano. b. ¿Qué coordenadas corresponden a la casa de Resortina? c. ¿A qué distancia está la casa de Resortina de la tienda El Baratón?
11
Simetrías
2.1. Simetría axial Figuras e imágenes simétricas a. Observe las siguientes figuras y encuentre las características que tengan en común:
b. Haga lo mismo con las siguientes imágenes:
c. ¿Qué observa una persona al verse al espejo?
12
En las tres situaciones planteadas, se pueden encontrar varias respuestas: a. “Los triángulos son iguales, solo que al segundo se le ha dado vuelta”, “los segmentos de rectas son
parecidos, solo que en posición distinta”. b. “Las imágenes parecen que se puede formar calcando la mitad de la misma”, “basta con tener la
mitad de las imágenes y luego solo se copia”, “pareciera que tanto el lado izquierdo como derecho de la imagen son iguales”.
c. “La imagen de la persona en el espejo es igual a la imagen original”. Después de estas situaciones se plantean las siguientes definiciones.
A la línea que divide a una figura, un cuerpo u otra cosa en dos partes iguales se le conoce como eje
de simetría.
La simetría axial es aquella donde los puntos simétricos se encuentran sobre una perpendicular al eje
de simetría a igual distancia y en distintos lados del eje.
En la primera imagen del literal a, se puede dibujar el eje de simetría, donde los dos únicos puntos que aparecen son simétricos de sí mismos, por lo que ambos se encuentran en una misma línea recta perpendicular al eje de simetría.
Para la segunda imagen, el eje de simetría es una línea recta horizontal, mientras que cada segmento tiene “infinitos” puntos simétricos que estarán a su vez en infinitas rectas perpendiculares al eje de simetría.
En la imagen donde aparecen los triángulos, el eje de simetría es una línea recta vertical, y al igual que en el caso anterior existen infinitos puntos simétricos.
13
En las imágenes del literal b y c, también se pueden dibujar ejes de simetría:
En conclusión: las imágenes y figuras presentadas en los literales a, b y c tienen simetría axial. Observaciones importantes Una aclaración que es necesario tomar en cuenta en la simetría axial, es que los ejes de simetría no precisamente deben ser líneas rectas verticales u horizontales, sino que pueden ser oblicuas, tal como se puede apreciar en las siguientes figuras geométricas:
Además, la simetría axial se conoce como simetría ortogonal, debido a que en su definición se expresó que los puntos simétricos están contenidos en rectas perpendiculares (ortogonales) al eje de simetría. Y también se conoce como reflexión de una figura respecto al eje de simetría, una de las formas para ejemplificarlo es cuando se colocan objetos o figuras frente a un espejo, debido a que la figura generada por este, se puede ver como el reflejo de la original.
Curiosidad
¿Sabes por qué las ambulancias tienen las letras de su nombre al revés?
Las ambulancias tienen el nombre al revés para que cuando alguien que maneja un vehículo que va delante de ella pueda leer perfectamente AMBULANCIA al mirar por el retrovisor. Esto debido al efecto que produce un espejo de reflejar la imagen o figura.
Figuras simétricas en el plano cartesiano Dadas las siguientes figuras, encuentre su respectiva figura simétrica, utilizando como eje de simetría al eje 𝑥 o el eje 𝑦.
14
Según la definición 𝐴′ y 𝐴 deben estar en una recta perpendicular al eje de simetría (eje 𝑥), tal como se muestra en la figura de abajo, esto significa que la abscisa del punto 𝐴’ es −2, es decir 𝐴’ = (−2, ), para poder encontrar la ordenada de este punto se debe tomar en cuenta que un punto con su simétrico están a una misma distancia del eje de simetría, que en este caso es 1, por lo que la ordenada de 𝐴’ es −1, concluyendo así que 𝐴’ = (−2,−1).
De igual manera se puede proceder con las otras dos imágenes. Las coordenadas de los puntos simétricos se pueden escribir en una tabla:
Punto Punto simétrico al eje 𝒙 Punto simétrico al eje y
𝐴 = (−2,1) 𝐴′ = (−2,−1) 𝐴′′ = (2,1) 𝐵 = (1,−1) 𝐵′ = (1,1) 𝐵′′ = (−1,−1) 𝐶 = (2,−2) 𝐶′ = (2,2) 𝐶′′ = (−2,−2) 𝐷 = (1,2) 𝐷′ = (1,−2) 𝐷′′ = (−1,2) 𝐸 = (2,1) 𝐸′ = (2,−1) 𝐸′′ = (−2,1) 𝐹 = (1,1) 𝐹′ = (1,−1) 𝐹′′ = (−1,1)
15
Luego si se grafican estos puntos, por ejemplo, los simétricos con respecto al eje 𝑥 de cada figura:
Y se unen los puntos con segmentos de recta, entonces se tendrá:
Puede concluirse este ejemplo trazando las figuras simétricas con respecto al eje 𝑦. Ejes simétricos de una figura y objeto invariante Hasta este momento se ha trabajado con figuras que tienen un eje de simetría, ya sea este una línea recta vertical, horizontal u oblicua. Pero algunas figuras simétricas pueden tener más de un eje de simetría, tal es el caso de las siguientes figuras:
16
La imagen en forma de H posee dos ejes de simetría, uno vertical y el otro horizontal. Mientras que el triángulo posee además de un eje vertical, dos ejes de simetría oblicuos.
Ejemplo. Traza la figura simétrica respecto del eje de simetría dado.
Del ejemplo anterior se pueden notar dos cosas importantes: En el trazo de la figura simétrica del cuadrado rotado hay dos puntos (P y Q), donde el eje de simetría corta a la figura y su homóloga; mientras que al trazar la figura simétrica del triángulo, dio como resultado el mismo triángulo. Estos resultados se formalizan en la siguiente definición:
Un objeto invariante es el que no se altera ni se mueve después de una transformación, es decir es igual a su imagen. Cuando el objeto invariante es un punto también se le llama punto doble.
En este caso, el triángulo es un objeto invariante y los puntos P y Q son puntos dobles. ¿Hay puntos dobles en el triángulo?
Ejemplo. En geometría existen muchos objetos o figuras invariantes, como es el caso de algunos triángulos, los cuadrados, rombos, rectángulos, entre otros. Además, en la naturaleza también cumplen con tal condición las mariposas, algunas flores como también los rostros de algunos animales.
Simetría 3D
Si en el plano el eje de simetría es una recta, ¿será siempre el eje de simetría una recta en tercera dimensión?
La respuesta es no, en tercera dimensión lo que se tiene son planos de simetría, los cuales cumplen la misma función que el eje de simetría; un punto y su simétrico están a igual distancia del plano y están sobre una recta perpendicular al plano.
Ejercicios
1. Para cada figura formada por los puntos de cada literal, encuentre las figuras simétricas con respecto
al eje y:
a. (−2,1) b. (1, −1) y (2, −2) c. (1,2), (2,1) y (1,1)
17
2. Dibuje dos figuras con 4 ejes de simetría. 3. ¿Cuantos ejes de simetría poseen las siguientes figuras?
4. Las dos figuras son simétricas respecto de un eje que no se ha dibujado. Sin doblar la hoja, dibuje el
eje de simetría:
¿Qué característica de la definición utilizó para dibujar el eje? 5. Complete las imágenes haciendo uso del eje de simetría:
6. Complete la imagen haciendo simetría respecto del eje oblicuo luego el eje vertical:
18
7. ¿Cuál es la imagen de una recta que es perpendicular al eje de simetría? 8. Encuentre figuras geométricas invariantes, además de las ya presentadas y dibújelas. 9. Escriba su nombre al revés como en la nota de la ambulancia, luego utilice el espejo para poder
corroborarlo. 10. Escriba a la par de la siguiente imagen el texto reflejado, de tal manera que se pueda leer. Luego
utilice un espejo para comprobar si lo ha escrito correctamente.
11. Dibuje un triángulo en una página. Dóblela en cualquier forma, con un alfiler o aguja perfore por los
vértices del triángulo, manteniendo la página doblada y una los puntos. Una los agujeros (que no corresponden a los vértices) por medio de segmentos. ¿Qué figura se ha formado?, ¿cómo es esta figura con respecto al triángulo?, ¿hay puntos dobles? Dibuje tres figuras más utilizando este recurso.
12. Mediante doblado de papel y recortes rectos con tijeras, obtenga las figuras siguientes:
¿Cuáles de estas figuras son invariantes?
13. ¿Cuantos planos de simetría tiene el cubo, el tetraedro, el dodecaedro y el icosaedro? 14. ¿Cuantos planos de simetría tiene un prisma recto de base cuadrada?, ¿y si es oblicuo? 15. ¿Cuantos planos de simetría tiene una pirámide recta de base cuadrada?
2.2. Propiedades de la Simetría Axial La distancia entre dos puntos A y B, es la longitud del segmento que los une, y se denota por d(A,B).
19
La distancia de un punto C a una recta L, es la menor longitud que hay entre estos dos; y esto solo se cumple si el segmento que se forma del punto a la recta es perpendicular a esta última. Para poder denotar esta distancia, sea D el punto donde el segmento perpendicular toca a la recta L, luego la distancia entre el punto C y la recta, se reduce a la distancia entre los puntos C y D, es decir d(C,D).
Sea A un punto y L una recta, A’ es el simétrico de A usando como eje de simetría la recta L. Por definición de simetría axial, se cumple que el segmento que une A y A’ es perpendicular al eje de simetría y la distancia que hay de A a L, es la misma que hay de A’ a L. Esto se escribe así d(A,B) = d(A’,B), debido a que B es el punto intersección entre el eje de simetría L y el segmento que es perpendicular a este. Notación: Para representar una simetría utilizamos la letra 𝒮, como subíndice escribimos el nombre del eje de simetría, para el caso anterior A’ es el simétrico de A con eje de simetría L, esto se denota como 𝒮L(A) = A′ La simetría axial cumple las siguientes propiedades: La simetría conserva distancias Dado un segmento AB, y su simétrico A’B’ es decir 𝒮L(AB) = A′B′ se cumple que d(A, B) = d(A’, B’)
La simetría conserva ángulos e invierte su orientación Dado el ángulo B, que se denota por ∢B y su simétrico ∢B′, se cumple que la medida de ambos es igual, es decir m(∢B) = m(∢B′). El sentido del ∢B es antihorario, mientras que el ∢B′, queda en el sentido de las agujas del reloj.
20
La simetría conserva áreas Si se tiene el ∆ABC y su simétrico ∆A′B′C′, se cumple que las áreas de ambas figuras es la misma, es decir,
(∆ABC) = (∆A′B′C′). Esto se puede comprobar ya que (∆ABC) =1×1
2𝑢2 =
1
2𝑢2 y también (∆A′B′C′) =
1
2𝑢2.
La simetría conserva el paralelismo Si dos o más rectas (o segmentos de recta) son paralelas, al aplicar la simetría axial, sus imágenes siguen siendo paralelas entre ellas.
Aplicación de la simetría La simetría también está asociada con problemas de relacionados a distancia y optimización. A continuación se muestra un ejemplo clásico de esta aplicación. Ejemplo: Se quiere construir un centro educativo a orillas de una carretera, entre dos ciudades que están del mismo lado de la carretera. Encuentre la posición donde se debe construir el centro comercial de manera que esté a igual distancia de ambas ciudades.
21
Para resolver este problema, se encuentra el simétrico de cualquiera de las dos ciudades, para este ejemplo se obtendrá el simétrico de la ciudad A respecto de la carretera y se llamará ciudad A’, se traza una recta que una las ciudades A’ y B.
El punto donde se intersecta la carretera (realmente la orilla) con la línea que une las dos ciudades es el lugar donde se debe construir el centro educativo y que estará a igual distancia de ambas ciudades.
Ejercicios
1. Si tres puntos A, B y C están alineados (contenidos en una misma recta), y se dibujan sus respectivos
puntos simétricos, ¿estarán alineados estos últimos? 2. Si B es el punto medio de A y C, al dibujar los puntos simétricos respectivos A’, B’ y C’, ¿será B’ el punto
medio de A’ y C’? 3. ¿La simetría axial conserva la perpendicularidad de dos rectas? Haga un ejemplo para ilustrar su
respuesta. 4. Si a un cuadrado de lado 4 cm le dibujas su simétrico con respecto a un eje L. ¿Qué sucede si a este
último también le encuentras su simétrico con relación al mismo eje? ¿Sucede lo mismo si es una figura diferente del cuadrado?
5. Encuentre más propiedades que cumpla la simetría axial. Enúncielas e ilústrelas. 6. ¿Son simétricas las dos figuras presentadas en la siguiente imagen?
¿Qué propiedad de la simetría axial no se cumple en las figuras anteriores? Modifique la figura derecha de tal manera que sea simétrica con la de la izquierda.
22
7. En una mesa de billar hay dos bolas. Encuentre el camino que ha de seguir una de ellas para que después de golpear en dos lados de la mesa, choque con la otra.
2.3. Teselaciones o mosaicos Observe las siguientes imágenes, describa cómo cree que se han formado. Encuentre las características comunes.
Se llama mosaico o teselado al recubrimiento del plano mediante piezas llamadas teselas.
El teselado debe cumplir dos condiciones:
- Las teselas no se pueden superponer. - No se pueden dejar huecos sin cubrir.
En la primera imagen la tesela es un triángulo y, al igual que los otros dos teselados, cumplen con las condiciones. Clasificación de los teselados Los teselados que se obtienen utilizando un polígono regular, se llaman teselados regulares. Además, deben cumplir que todos sus vértices están en contacto con los vértices de las otras teselas. Con un triángulo equilátero se puede formar un teselado de este tipo. En el caso que se utilicen dos o más polígonos regulares, estos son llamados teselados semi-regulares. Un ejemplo de estos es el que se forma por medio de triángulos equiláteros y cuadrados. Mientras que aquellos que se forman por figuras de cualquier tipo, sean estos polígonos o no, se llaman teselados irregulares.
23
¿Cómo se forma un teselado con simetría axial? Se escoge una figura geométrica, en este caso un triángulo equilátero y un eje de simetría que pase por uno de los vértices del triángulo, luego se encuentra su simétrico:
Si se repite el paso anterior con respecto de otro eje de simetría, paralelo al anterior, se obtiene la siguiente figura:
Luego, se realiza una simetría de todos los triángulos respecto de un eje perpendicular a los anteriores y que pase por uno de los vértices de cualquiera de los triángulos. El resultado es el siguiente:
24
Si se continúa con el proceso anterior, el resultado será el siguiente:
Por último, se borran los ejes de simetría y se decora el mosaico:
¿Cómo se forma un teselado irregular? Existen una gran variedad de teselados irregulares, muchos de ellos están compuestos por figuras geométricas, como el triángulo, el cuadrado, hexágono, entre otras. A continuación se describirá como realizar un teselado irregular utilizando un cuadrado. La clave para lograr una buena deformación y luego teselar el plano, consiste en agregar en un lado de la figura lo que se haya quitado en otra parte. Se recorta una esquina del cuadrado y se agrega en la parte inferior izquierda:
25
Luego se recorta la esquina inferior derecha y se agrega en la esquina inferior izquierda:
Por último, solo se debe repetir el patrón varias veces y decorarlo:
Ejercicios
1. A continuación se muestran teselaciones usando simetría axial. Encuentre todos los ejes posibles:
2. ¿Con cuáles polígonos regulares se pueden formar teselados regulares? Ilústrelo y describa ejemplos
de usos de estos teselados en situaciones cotidianas. 3. Construya una teselación semi-regular. ¿Cuáles polígonos utilizó? 4. Construya dos teselados irregulares: uno con polígonos y otro con cualquier figura.
26
2.4. Simetría central a. Observe las siguientes figuras:
¿Cuáles son las características de las tres figuras? Tome una de las figuras anteriores y sigua los siguientes pasos:
1. Tome dos puntos de las dos imágenes de modo que se correspondan uno con el otro. Observe.
2. Una esos dos puntos con un segmento de recta.
3. Haga lo mismo con otros dos puntos que se corresponden, y únalos con un segmento de recta.
4. Ubique el punto donde se intersectan los dos segmentos que acaba de trazar.
Si mide las distancias de los puntos tomados hacia 𝑂, ¿qué sucede? Si los segmentos de recta determinados por dos puntos correspondientes de dos figuras iguales se intersectan en un solo punto y, si además, los puntos correspondientes equidistan de dicho punto de intersección diremos que una de ellas es simétrica de la otra bajo el punto 𝑂. Se tiene la siguiente definición:
Una simetría central respecto al punto 𝑂 (conocida también como simetría puntual o reflexión puntual) es una transformación que a cada punto P del plano le asocia un punto 𝑃’ tal que 𝑂 es el
punto medio del segmento 𝑃𝑃’̅̅ ̅̅̅.
27
La simetría central, en Geometría, es una transformación en la que cada punto se le asocia otro punto llamado imagen, que debe cumplir las siguientes condiciones:
a) El punto y su simétrico están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría. b) El punto, su simétrico y el centro de simetría pertenecen a una misma recta.
De acuerdo a la definición anterior, para encontrar el simétrico de un punto P respecto al punto 𝑂 se deben realizar los siguientes pasos: Encontrando el simétrico de puntos, segmentos de recta y polígonos
A. Simétrico de un punto Para encontrar el simétrico de un punto respecto al punto O siga los siguientes pasos:
1. Tome el punto 𝑃 y el punto 𝑂, en donde 𝑂 será el centro de la simetría.
2. Trace una recta que pase por 𝑃 y por 𝑂, ℓ.
3. Mida la distancia entre 𝑃 y 𝑂 y ubique un punto 𝑃’ sobre ℓ de modo que esté a una misma distancia de 𝑂.
El punto P’ encontrado en el paso 3 es el simétrico respecto a O del punto P.
28
B. Simétrico de un segmento de recta Para encontrar el simétrico de un segmento de recta respecto al punto O, guíese de los siguientes pasos:
1. Tome el segmento AB y el punto 𝑂, en donde 𝑂 será el centro de la simetría.
2. Trace una recta ℓ que pase por 𝐴 y por 𝑂. 3. Mida la distancia entre 𝐴 y 𝑂 y ubique un
punto 𝐴’ sobre ℓ de modo que esté a una misma distancia de 𝑂. A’ será el simétrico de A, respecto del punto O.
4. Haga lo mismo con el punto B: trace una
recta m que pase por B y por O. Ubique el punto B’ de modo que esté sobre m y que la distancia de B’ a O sea la misma distancia que de B a O.
El segmento 𝐴’𝐵’ es el segmento simétrico de 𝐴𝐵 respecto a O.
C. Simétrico de un polígono Para encontrar el simétrico de un polígono respecto a un punto O se encuentra el simétrico de cada segmento. Y el polígono formado por esas simetrías es el simétrico del polígono dado.
𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′𝐸′𝐹′ es el simétrico de 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 respecto al punto 𝑂.
29
2.5. Propiedad de las simetrías centrales La simetría conserva distancias. Sea 𝑑(𝐴, 𝐵) la distancia entre los puntos 𝐴 y 𝐵, y sea 𝑂 un punto cualquiera. Sean 𝐴’ y 𝐵’ los puntos simétricos de 𝐴 y 𝐵, respectivamente, entonces 𝑑(𝐴’, 𝐵’) = 𝑑(𝐴, 𝐵). Ver Figura 1. Nota: Recuerde que cuando se imprime cambia la escala de lo que se imprime, por tanto, pueda que la distancia entre A y B no sea 3.5 cm si lo mide directamente con una regla; sin embargo, si mide ambas distancias deberán medir lo mismo. La simetría conserva la medida de sus ángulos y su orientación. En la Figura 2, el ∡𝐴′𝐵′𝐶′ es el simétrico del ∡𝐴𝐵𝐶 respecto el punto 𝑂. Se puede observar que la orientación del ángulo ha cambiado. Se marcan los lados del ángulo con distinto color para identificar lado inicial y lado final. La simetría conserva áreas. Sea D una superficie, y sea D’ el simétrico de D respecto de un punto 𝑂, entonces D y D’ tienen la misma área. La simetría conserva el paralelismo. Si ℓ y 𝓂 son dos rectas paralelas, entonces ℓ’ y 𝓂′ son también paralelas, donde ℓ′ y 𝓂′ son las simétricas respecto de 𝑂 de ℓ y 𝓂, respectivamente (Figura 3).
Ejercicios
1. ¿Tiene la simetría central puntos invariantes? 2. Encuentre letras del abecedario que tengan simetría central, indicando cuál es el centro de simetría. 3. Observe las siguientes figuras. Si encuentra su simétrico con respecto al punto 𝑂 dado, ¿cómo
quedaría? Intente adivinar sin dibujarlo, luego dibújelo.
30
4. Dada la figura, encuentre su simétrico con respecto a 𝑂 (el origen), a 𝑃 y a 𝑄.
5. Encuentre el simétrico de cada figura con respecto al centro 𝑂.
6. En el plano cartesiano, dibuje el polígono 𝐹 cuyos vértices son 𝐴 = (1,1), 𝐵 = (4,−1), 𝐶 =(5,3) 𝑦 𝐷 = (2,2). Dibuje el simétrico del polígono 𝐹 respecto del punto (0,0), sea 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’ la imagen del polígono 𝐹 entonces:
El punto simétrico de 𝐴 es 𝐴’ = El punto simétrico de 𝐵 es 𝐵’ = El punto simétrico de 𝐶 es 𝐶’ = El punto simétrico de 𝐷 es 𝐷’ =
31
7. En la figura, al polígono 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 se aplicó una simetría central obteniendo la imagen 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷’𝐸’. Encuentre el punto 𝑂 que permitió dicha imagen.
8. Dibuje el triángulo de vértices 𝐴 = (3,7), 𝐵 = (5,−5) y 𝐶 = (7,2). ¿Cuáles son las coordenadas del
nuevo triangulo 𝐴’𝐵’𝐶’ resultado de aplicar simetría central respecto del origen? 9. Si las coordenadas del punto 𝑃 son (𝑥, 𝑦) y se realiza simetría puntual respecto del origen, ¿cuáles
son las coordenadas del punto 𝑃’ imagen de 𝑃? 10. En la simetría puntual de centro (2,3) el simétrico 𝑑𝑒 𝐴 = (8,1) es 𝐴’ = (−4,5), calcule los simétricos
de los puntos 𝐵 = (12,7), 𝐶 = (9,10), 𝐷 = (5,8) 𝑦 𝐸 = (7,6). 11. Encuentre el simétrico de cada figura, siendo 𝑂 el centro de simetría.
32
Traslación
3.1. Vectores y traslación Lea la siguiente anécdota: Carlitos iba de camino a casa de su mejor amigo, pero en el trayecto se encontró con un amiguito… ¡un perrito! Lastimosamente estaba herido, un carro lo había atropellado y le había quebrado una patita. Inmediatamente, Carlitos llamó a una veterinaria y una ambulancia llegó a traer al perrito. Los veterinarios llevaron al perrito a la clínica veterinaria y lo curaron. ¿Cómo le llamamos a la acción de mover al perrito del lugar donde estaba hacia la veterinaria? Respuesta: Le llamamos trasladar. En efecto, se dice que un objeto se traslada de un lugar a otro cuando se mueve de un punto inicial hacia un punto final como, por ejemplo, cuando se viaja de la escuela a la casa. ¿Qué características tiene ese movimiento? Considere que el camino es recto, es decir, no es curvo.
Hay una distancia entre el punto inicial y el final.
Hay una dirección.
Hay un sentido.
Un vector es un segmento que posee dirección, magnitud y sentido. El punto de inicio se conoce como origen, la dirección es la recta que contiene al vector, la magnitud es la distancia desde el origen hasta el otro extremo del vector y el sentido es la orientación de este.
Un ejemplo de vector se muestra en la figura siguiente. En muchas ocasiones se etiqueta el inicio y el final del vector con las letras 𝐴 y 𝐵, respectivamente. Así, 𝐴 denota el origen del vector y 𝐵 el punto donde termina. La punta del vector indica hacia donde va al vector. De acuerdo a las etiquetas que hemos utilizado, se
denota el vector de la figura como 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y la magnitud de éste como |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗|.
Otra forma de denotar un vector es mediante las letras 𝑢, 𝑣 o 𝑤. Para indicar que se está hablando de un vector, se hace mediante la notación �⃗� , 𝑣 , �⃗⃗� . ¿Cómo se denota su magnitud?
33
Nótese que el vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ no es igual al vector 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗. ¿Por qué? Pues porque si bien tienen la misma magnitud y dirección, el sentido del vector no.
Dos vectores son equipolentes si tienen igual magnitud, dirección y sentido.
a. Observa las siguientes figuras:
b. Observa estas otras figuras:
Habiendo observado las figuras se puede decir que: a. Las rectas parecen ser iguales, sólo que se han trasladado una de la otra; de igual forma con los
triángulos, parecen ser iguales, pero separados entre sí. b. Los hombrecitos caminando son iguales, pero uno ha caminado cierta distancia a partir del de la
derecha; y los cangrejos, parece que uno se ha trasladado del otro de manera transversal.
Consideremos un vector dado �⃗� . La transformación que a cada punto 𝑃 del plano le asocia otro punto
𝑃’ tal que 𝑃𝑃’⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗� se llama traslación de vector �⃗� , y lo denotamos por 𝑇�⃗⃗� (𝑃) = 𝑃′.
En efecto, las imágenes muestran figuras que han sido trasladadas, pero, ¿cómo se hace esto? Vamos a ver cómo se puede trasladar una figura, dado un vector. Se comienza con lo más básico: trasladando un punto.
34
A. Traslación de un punto
1. Se toma el vector de traslación u y el punto P que se desea trasladar.
2. Se traza una recta que sea paralela al vector �⃗� y que pase por 𝑃.
3. Se ubica un punto 𝑃’ sobre la recta de modo que la distancia entre 𝑃 y 𝑃’ sea igual a la magnitud de �⃗� .
Nota: el punto 𝑃’ que se tome sobre la recta debe ser en la dirección del vector �⃗� . B. Traslación de un segmento de recta 1. Se toma el vector traslación y el segmento de recta (al que se llamará
segmento 𝐴𝐵 y se denota por 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) que se quiere trasladar. 2. Se traza una recta paralela al vector �⃗� y que pase por 𝐴.
3. Se toma un punto 𝐴’ sobre la recta de modo que |𝐴𝐴’̅̅ ̅̅̅| = |�⃗� |. Éste punto es el trasladado de 𝐴.
4. El trasladado del punto 𝐵 será 𝐵’. Encuéntrelo.
5. Se unen los puntos 𝐴’ y 𝐵’. El segmento 𝐴’𝐵’̅̅ ̅̅ ̅ es el trasladado de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ respecto
a �⃗� . Se denota mediante 𝑇�⃗⃗� (𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ) = 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ .
𝑨′𝑩′̅̅ ̅̅ ̅̅ es el segmento de recta trasladado de 𝑨𝑩̅̅ ̅̅ .
35
C. Traslación de un triángulo 1. Se toma el vector traslación y el triángulo, al que se denotará por ∆𝐴𝐵𝐶, que se quiere trasladar.
2. Se encuentran los trasladados de los vértices del triángulo; es decir, se encuentran los trasladados de
𝐴, 𝐵 y 𝐶 los cuales se detonarán por 𝐴’, 𝐵’ y 𝐶’.
3. Se unen los puntos 𝐴’, 𝐵’ y 𝐶’ para formar el triángulo ∆𝐴′𝐵′𝐶′. Este triángulo es el trasladado del
triángulo ∆𝐴𝐵𝐶.
36
3.2. Propiedades de las traslaciones
La traslación conserva distancias.
El trasladado de un segmento es otro segmento, de igual longitud y paralelo a él. Esta propiedad puede comprobarse en la Figura 1.
El trasladado de una recta es otra recta, paralela a ella.
Se sabe que un segmento de recta está contenido en una recta. Como el trasladado de un segmento es otro segmento paralelo a él, entonces el trasladado de una recta es otra recta paralela a ella.
Si ℓ y 𝓂 son dos rectas paralelas, entonces 𝑇�⃗⃗� (ℓ) = ℓ′ 𝑦 𝑇�⃗⃗� (𝓂) =𝓂′ son también paralelas. Ver Figura 1.
La traslación conserva ángulos y su orientación.
El trasladado de una circunferencia de centro 𝑂 respecto a un punto P, es otra circunferencia de igual radio y cuyo centro es el trasladado de 𝑂. Ver Figura 2.
La traslación conserva áreas. Es decir, si una superficie D y su trasladado D’ tienen la misma área.
Sea 𝐼 el punto medio del segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Sea 𝐴’𝐵’̅̅ ̅̅ ̅ el segmento trasladado de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . Si 𝐼’ es el trasladado de 𝐼, entonces 𝐼’ es el punto
medio de 𝐴’𝐵’̅̅ ̅̅ ̅. Trasladando imágenes en el plano cartesiano
Se verá ahora cómo podemos encontrar el trasladado de una figura que está en el plano. Para ello se hará como se ha ido haciendo: de lo más sencillo a lo más difícil, aunque lo difícil no es tan difícil.
Figura 1. 𝓵 y 𝓶 son dos rectas paralelas. 𝓵′ y 𝓶′ son las rectas trasladadas de 𝓵 y 𝓶, respectivamente.
Figura 2. 𝑪′ es la circunferencia trasladada de 𝑪.
37
Lo primero que se necesita es un vector �⃗� sobre el plano, y las coordenadas del punto inicial y final de éste. Observe la imagen:
Se traza un triángulo rectángulo de modo que el vector sea la hipotenusa de éste, y se miden las longitudes de sus catetos, como muestra la imagen:
Traslación de un punto Toma un punto 𝑃 = (𝑎, 𝑏) sobre el plano cartesiano, y considera el vector �⃗� que muestran las imágenes. El trasladado de 𝑃 se encuentra con los siguientes pasos: 1. Se recorren los catetos del triángulo desde el punto inicial hasta el punto final. 2. Si el movimiento del cateto horizontal es hacia la derecha, se suma la longitud de éste a la primera
coordenada del punto 𝑃; si el movimiento del cateto horizontal es hacia la izquierda, se resta la longitud de éste a la primera coordenada del punto 𝑃.
3. Si el movimiento del cateto vertical es hacia arriba, se suma la longitud de éste a la segunda coordenada del punto 𝑃; si el movimiento del cateto vertical es hacia abajo, se resta la longitud de éste a la segunda coordenada del punto 𝑃.
38
Ejemplo Encuentre el trasladado del punto P=(-1,3) bajo el vector �⃗� dado en la imagen anterior. 1. En la figura ya se han calculado las longitudes de los catetos,
que son 1 y 2. 2. Como el recorrido de A a C hacia la derecha, sumamos 1 a la
primera coordenada del punto P; es decir, -1 + 1 = 0. 3. Como el movimiento de C a B es hacia arriba, sumamos 2 a la
segunda coordenada de P; es decir, 3 + 2 = 5. Por lo tanto, el trasladado de P = (-1,3) es P’ = (0,5).
¿Puede comprobar que, en efecto, 𝑃𝑃’̅̅ ̅̅̅ tiene la misma longitud del vector �⃗� ?, ¿cómo? No debe utilizar regla para medir directamente. Se han visto los vectores representados por dos puntos en el plano, cada uno de ellos representa su punto inicial y su punto final. Cada vector representado de esta forma tiene un vector paralelo de modo que su punto inicial esté en el origen. Un vector en esta posición facilita la forma de referirnos a ellos, como se verá a continuación.
Imagine que tiene el vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ mostrado en la figura. El vector
𝑂𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ es el vector en el origen que representa al vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ y
diremos que 𝑂𝐵’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2,2). Pero, ¿cómo encontramos éste vector? Haga lo siguiente: reste coordenada a coordenada, las componentes del punto 𝐵 y 𝐴, en ese orden (se debe restar el punto inicial del punto final), es decir,
(3,5) − (1,3) = (3 − 1,5 − 3) = (2,2) Por ejemplo, el vector �⃗� = (3,1) es el vector que tiene como punto inicial el origen, y su punto final es (3,1).
39
Ejercicios
1. ¿Tiene la traslación algún punto invariante?
2. Sean 𝐴, 𝐵, 𝐶 tres puntos tales que 𝐶 es el trasladado de 𝐵 por la traslación 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗, ¿cuál es el punto medio de 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ?
3. Encuentre el trasladado de las siguientes figuras, donde el vector traslación se da en cada una de ellas. Hágalo en su cuaderno.
4. Encuentre el trasladado de cada una de las siguientes figuras.
40
5. Un pirata (¡muy enojado!) escondió su tesoro en algún lugar de la playa El
Tunco, pero no recuerda dónde (¡se puso aún más enojado!). Solo sabe que se encuentra en el punto 𝐹 partiendo desde su escondite; anotó los pasos que debe dar para llegar a él de la siguiente manera:
Paso 1. Dibujó un plano cartesiano y anotó que su escondite está en el punto
A = (1,-1). Paso 2. Camina hasta el punto 𝐵 = 𝑇(4,2)𝐴.
Paso 3. Luego camina hasta el punto 𝐶 = 𝑇(−5,3)𝐵.
Paso 4. Luego camina hasta el punto 𝐷 = 𝑇(−2,2)𝐶.
Paso 5. Luego camina hasta el punto 𝐸 = 𝑇(0,−6)𝐷.
Paso 6. Y finalmente, el tesoro está en el punto 𝐹 = 𝑇(8,−2)𝐸.
Ahora, conteste lo siguiente:
a) ¿Cuáles son las coordenadas del punto 𝐹? b) ¿Es único el camino que debe seguir para llegar al escondite? Explique. c) ¿Cuál es el camino más corto y directo para llegar del punto A al punto F? d) Si existe un número finito de trayectorias a seguir, ¿cuántas son?
6. Encuentre el trasladado del punto dado en cada caso dado.
41
7. Si a la figura siguiente se aplica una traslación 𝑇(−2,−1), indique
las coordenadas que corresponden a los puntos A, B, C, D, E y a los puntos A’, B’, C’, D’, E’.
8. Indique cuál es el vector traslación de las siguientes figuras. Considere que los ejes están ubicados a la
mitad de la cuadrícula.
Figura A: �⃗� = ( , )
Figura B: �⃗� = ( , )
Figura C: �⃗� = ( , )
3.3. Teselaciones por traslación Se verá ahora cómo se puede teselar el plano usando traslaciones: Tome el cuadrado 𝐴𝐵𝐷𝐶.
𝑨 = ( , ) 𝑨′ = ( , ) 𝑩 = ( , ) 𝑩′ = ( , )
𝑪 = ( , ) 𝑪′ = ( , )
𝑫 = ( , ) 𝑫′ = ( , )
𝑬 = ( , ) 𝑬′ = ( , )
𝑭 = ( , ) 𝑭′ = ( , )
42
Ahora, ¿qué movimiento necesita para obtener la siguiente figura?
¡Exacto! Es necesario trasladar el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 mediante el vector 𝐷𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ (o 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗).
¿Qué movimiento debe hacer para tener la siguiente figura? Ambos cuadrados son iguales.
¡Claro! Se debe trasladar el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 mediante el vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ (o 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗). Por último, ¿qué movimiento ocuparía para obtener la figura mostrada?
¡Así es! Se necesita trasladar el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 mediante el vector 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Si se continúa haciendo ese procedimiento se lograría cubrir el plano con cuadrados utilizando traslaciones.
¡Ve que qué fácil es teselar con cuadrados y traslaciones! Subamos un poco la dificultad: Se formará una figura tomando como base un cuadrado y haciendo unos cortes. Tenga cuidado, cuando vea líneas punteadas significa que debe cortar.
43
Tome el cuadrado 𝐴𝐵𝐶𝐷 y considere que 𝑃 es el centro éste. Si recorta el triángulo 𝐴𝑃𝐷 y lo quiere llevar a la posición que indica la flecha, ¿qué movimiento le sería útil?
¡Pues una traslación! ¿Con cuál vector? El vector 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ o el 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗. Siendo así, se obtiene la figura siguiente:
Ahora, ¿cómo teselaría el plano con esa figura?, ¿con qué movimiento? Al final, debe obtener lo siguiente:
3.4. Composición de simetrías y traslaciones Introducción La figura que se muestra ha sido construida tomando un “pétalo”:
44
Pétalo que se ha reproducido como muestra la siguiente secuencia:
¿Qué puede decir sobre la construcción de la flor? Guíese con las siguientes preguntas:
1. ¿Qué trazos se han realizado en el segundo paso?
2. ¿Qué ha pasado en el tercer paso?, ¿tiene alguna similitud con el paso 2? La flor ha sido construida mediante simetrías. En el segundo paso, se hizo una simetría central respecto a la punta del “pétalo”, y en el segundo paso se ha encontrado el simétrico del primer pétalo en donde uno de sus lados es el eje de simetría. En el tercer paso, se ha encontrado el simétrico del pétalo que es el simétrico (simetría axial) del primer pétalo, respecto a la punta de éste. Los pasos que siguen son los mismos, alternándose simetría puntual y simetría axial. A ese tipo de movimientos, donde se aplican dos o más transformaciones (simetría axial, central y traslaciones y, como veremos en la siguiente unidad, rotaciones; pueden ser el mismo tipo de movimiento) se conoce como composición de trasformaciones.
45
Ejercicios
1. Dado el pingüino, trasládelo mediante el vector �⃗� y luego mediante el vector 𝑣 . ¿Qué obtiene si primero
aplica la traslación de vector 𝑣 y luego la traslación de vector �⃗� ?
2. Dado el pingüino (¡de nuevo!), aplíquele una simetría cuyo eje es la recta ℓ y luego aplíquele una
traslación de vector �⃗� . ¿Qué obtiene si primero aplicas la traslación y luego la simetría axial?
3. Dado el cuadrado, aplíquele una simetría con respecto al punto 𝑂, y luego aplíquele una simetría
tomando como eje la recta diagonal. ¿Obtiene lo mismo si aplica primero la simetría axial y luego la central?
46
Rotación
4.1. Definición y ejemplos Figuras e imágenes rotadas a. Observe las siguientes figuras, y encuentre las características que tengan en común:
b. Ahora haga lo mismo con las siguientes imágenes:
En las figuras mostradas en el literal a observe que: La figura 1 corresponde un punto A rotado 45° alrededor del punto B y la distancia entre el punto A y B es la misma que entre el punto A’ y B.
47
La figura 2, corresponde un segmento a rotado un ángulo de 75° alrededor del punto E, donde a es el segmento original y a’ el segmento rotado. La figura 3, corresponde al triángulo 𝐹𝐺𝐻 rotado 75° alrededor del punto I.
En las figuras mostradas en el literal b cada una de ellas está formada por la misma figura que se repite determinado número de veces. Por ejemplo, la flor tiene ocho pétalos exactamente iguales, es como si el mismo pétalo fuera colocado en posiciones distintas. De igual manera puede caracterizar el rin de la llanta del carro, la decoración del pastel y la naranja. Ahora observe detenidamente la figura A, que aparece a continuación. ¿Qué puede concluir?
Figura A Figura B
Efectivamente, tal como se muestra en la figura B, ha sido formada por la rotación de una figura formada por un hexágono y un triángulo.
Una rotación es una transformación que asocia a cada punto del plano una imagen de acuerdo a un punto llamado centro de rotación y a un ángulo llamado ángulo de giro o rotación.
48
Observación: Cuando el giro se realiza en sentido anti horario se denomina directa y el ángulo es positivo, mientras que cuando el giro se realiza en sentido horario se denomina inversa y el ángulo es negativo. Ejemplo: Sea A un punto y B el centro de rotación, la imagen de A bajo un giro directo de 30°, 45° y 100° es, respectivamente:
Ejemplo: Sea A un punto y B el centro de rotación, la imagen de A bajo un giro de -30°y -80° es, respectivamente:
Ejemplo: Describa cómo podría rotar 120° la siguiente figura respecto al origen del sistema de coordenadas cartesianas:
49
Ejemplo: La rotación de la luna alrededor de la tierra:
Ejercicios
1. Identifique tres tipos de rotaciones en el entorno y escríbalas. 2. Aplique una rotación inversa de -90° a la siguiente figura respecto al punto dado:
50
3. Aplique una rotación directa de 60° a la figura. Tome como centro el punto dado:
4. Para cada una de las figuras siguientes, encuentre el ángulo de rotación respecto del centro indicado:
5. A la siguiente figura aplique una rotación directa de 90° respecto al origen, luego -75°:
51
6. Realice una rotación de 180° y luego una simetría central respecto al origen del sistema de coordenadas cartesianas. ¿Qué resulta si primero realiza la simetría central y luego la rotación?
7. Realice una rotación de 80° y luego una simetría axial respecto del eje. ¿Qué sucede si primero se dibuja
la simetría?
52
8. Realice una rotación de 150° respecto al punto E, luego una traslación por el vector u. ¿Qué sucede si primero se realiza la traslación y al final la rotación?
4.2. Propiedades de la rotación Sean A y O dos puntos, A’ es el rotado de A usando como centro de rotación a O, por definición de rotación se cumple que el segmento que une A y O es igual al segmento que une A’ y O. Notación: Para representar una rotación utilizamos la letra ℛ , como subíndice escribimos el centro de rotación, para el caso anterior A’ es el rotado de A respecto del centro O se denota como 𝓡𝑶(𝑨) = 𝑨′ La rotación cumple las siguientes propiedades:
Propiedad 1: La rotación conserva distancias. Dado un segmento AB, y su rotado A’B’ es decir ℛ𝑂(𝐴𝐵) = 𝐴′𝐵′ se cumple que AB=A’B’.
53
Propiedad 2: La rotación conserva ángulos y su orientación. Dado un ángulo ∡𝐵𝐴𝐶 y su rotado ∡𝐵’𝐴’𝐶’, se cumple que ∡𝐵𝐴𝐶 = ∡𝐵′𝐴′𝐶′ y el sentido se mantiene anti horario en este caso.
Propiedad 3: La rotación conserva áreas. Dada la figura ABCDE y su rotada A’B’C’D’E’ se cumple que las áreas de ambas figuras es la misma es decir (𝐵𝐴𝐶𝐹𝐸𝐷) = (𝐵′𝐴′𝐶′𝐹′𝐸′𝐷′)
Propiedad 4: La rotación conserva el paralelismo. Si tenemos dos o más rectas (o segmentos) paralelas, al aplicar la rotación sus imágenes siguen siendo paralelas entre ellas:
54
Ejemplo: Dadas las siguientes figuras, donde una es la imagen de la otra mediante una rotación, encuentre el centro de rotación:
Desarrollo (ver la secuencia de imágenes):
1. Se une un punto de cada imagen, de forma que se correspondan. 2. Se traza la mediatriz del segmento formado. 3. Se realiza el mismo proceso con otro par de puntos. 4. Ahora se traza la mediatriz de nuevo. 5. El punto donde se cortan las mediatrices es el centro de rotación.
55
Si se forma el ángulo por un punto, el centro y su imagen se conoce el ángulo de rotación, el cual puede ser en sentido horario o anti horario, dependiendo de cuál se tome como figura original.
Ejercicios
1. Responda: ¿La rotación tiene puntos invariantes? 2. Rote la figura 60° respecto del punto A, luego una rotación -35° respecto del punto B. ¿Qué sucede si
primero hace la rotación respecto de B y luego respecto a A? ¿Puede encontrar una simetría o una traslación que lleve desde la figura dada hasta la que se obtiene después de las dos rotaciones? ¿Cuál es el eje de simetría o el centro de simetría?
3. Realice una simetría central respecto del punto. ¿Puede encontrar una rotación que lleve de la figura original a la simétrica? ¿Cuál es el centro de rotación? Y ¿Cuál es el ángulo de rotación?
56
4. Realice una simetría axial. ¿Puede encontrar una rotación que realice la misma transformación? ¿Cuál es el centro de rotación?
5. Realice una traslación respecto del vector dado. ¿Existe una rotación que realice la misma
transformación? ¿Cuál es el centro?
6. Encuentre el centro de rotación y, con la ayuda de un transportador, encuentre el ángulo de rotación
de las siguientes figuras:
57
4.3. Teselaciones con rotación Para crear una teselación con rotación utilizando un hexágono, en la parte superior se toma el punto medio y se crea un triángulo:
El triángulo que se ha agregado se dibuja en la parte inferior. Ahora se dibuja una semicircunferencia. Ahora lo decoramos:
Ejercicio: Rote la figura para que genere un teselado en el plano. Ejemplos de teselados con rotación:
Ejercicio: Cree sus propios teselados utilizando la rotación.
4.4. Arte de Escher A través de la historia han existido matemáticos que tienen algo de artistas y artistas que tienen algo de matemáticos, muy reconocidos y admirados por sus trabajos tan sorprendentes, como es el caso de Maurita Cornelis Escher quien nació el 17 de junio de 1898 en Holanda, es uno de los artistas gráficos más
58
famosos del mundo, conocido por sus grabados en madera, piedra, dibujos de construcciones muy interesantes y sorprendentes que han llamado la atención de muchísimos matemáticos, artistas, fotógrafos, y miles de espectadores que se asombran al mirar su trabajo. Escher fue un artista inusual, decidido a resolver problemas que parecían interesar más a los matemáticos que a los artistas. Tenía el deseo de romper las limitaciones que impone el plano al arte, de mostrar como nunca antes se había visto que una superficie bidimensional es capaz de ilusiones ópticas de gran profundidad. Sus trabajos apasionan a muchos matemáticos, porque en ellos subyacen una serie de conceptos matemáticos como reflexiones, simetrías, traslaciones, etc. Y, sin embargo, Escher se consideraba un lego en matemáticas. Algunos de sus cuadros impresionantes:
Estas teselas pueden ser transformadas mediante operaciones de traslación, rotación y reflexión, llegando a cualquier forma poligonal, suficientemente segmentada como para simular una curva muy suave si es necesario. Este pequeño truco nos permite obtener configuraciones que parecen ser cualquier tipo de objeto natural o artificial imaginable, geométricamente complejo. Partición del plano La idea de rellenar el plano con figuras sucesivas por medio de traslaciones se considera original suya. Escher trabaja básicamente con las figuras geométricas que rellenan el plano (cuadrado y triángulo equilátero) y con las figuras obtenidas a partir de ellos que también rellenan el plano: cuadrados, triángulos equiláteros, paralelogramos y hexágonos. Además, trabaja con las redes formadas por estas figuras y sus derivadas.
59
Pero sólo utiliza estas figuras geométricas como punto inicial de sus diseños, va modificando cada una de ellas a su antojo creando una figura patrón que al repetirla encaja con las demás rellenando el plano sin dejar espacios libres. El infinito En 1959, en un artículo, el propio Escher expresaba lo que le motivaba a representar la idea del infinito. Con la partición regular de la superficie no se ha obtenido todavía la idea del infinito, sino sólo un fragmento de él. Si la superficie fuese infinitamente grande imposible en nuestra realidad cotidiana necesitaríamos infinitas partes para en su totalidad.
Escher realizó varios intentos, al principio muy influido por sus anteriores trabajos sobre particiones regulares del plano. La idea es sencilla, se trata de ir dibujando figuras que encajen entre sí rellenando el plano y que poco a poco van aumentando o disminuyendo de tamaño (según sea el caso) hasta dar la impresión de que hay un número infinito de ellas. Ejercicios
1. Encuentre los movimientos utilizados en la siguiente teselación:
2. Describa los movimientos utilizados en la siguiente obra de Escher:
60
Homotecia
5.1. Definición y notación a) Observe las siguientes figuras. ¿Son iguales?, ¿en qué se diferencian?, ¿qué palabra utilizaría para
referirse a ellas?
b) Haga lo mismo con el siguiente conjunto de imágenes:
61
Los movimientos rígidos estudiados en las unidades anteriores han sido utilizados para definir de manera precisa la noción de congruencia de figuras, la cual en muchas ocasiones suele describirse de manera informal como “figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma”. En el caso de las figuras de a) la diferencia radica en el tamaño de las mismas, mientras que en b) una parte de la imagen es la que parece conservar la estructura, pero, a medida que se alejan los objetos, parecen ir disminuyendo de tamaño (como en el puente y las escaleras) o simplemente es parte de su naturaleza (como las muñecas matrioskas y la hoja). El término utilizado en ambos casos sería el de figuras semejantes, entendiéndose como las que tienen la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño. La definición de semejanza puede ser precisada utilizando las transformaciones del plano que se conocen como homotecias. Ejemplo. Sobre papel cuadriculado se han dibujado un punto O y dos letras “F”, como se muestra en la figura 1:
Del dibujo fácilmente se deduce lo siguiente:
a) 𝑂𝐶′ = 2𝑂𝐶 b) 𝑂𝐷′ = 2𝑂𝐷 c) 𝐴′𝐵′ = 2𝐴𝐵 d) 𝐶′𝐷′ = 2𝐶𝐷 e) 𝐴′𝐶′ = 2𝐴𝐶 f) 𝐶′𝐺′ = 2𝐶𝐺
Si se forman los rectángulos MACO y NA’PA (ver figura 2) se observa que ambos son congruentes y los segmentos OA y AA’ son sus respectivas diagonales, por lo que se cumple:
𝑂𝐴′ = 2𝑂𝐴 Construcciones similares pueden realizarse para llegar a la conclusión que:
𝑂𝐵′ = 2𝑂𝐵 𝑂𝐺′ = 2𝑂𝐺
Con las igualdades encontradas anteriormente la letra F formada por los puntos A’, B’, C’, D’ y G’ es “el doble” de la letra F formada por los puntos A, B, C, D y G.
Se llama homotecia a la trasformación geométrica que hace corresponder a un punto A otro punto A’, alineado con A y con otro punto fijo O, tal que 𝑂𝐴′ = 𝑘 ∙ 𝑂𝐴 con 𝑘 ≠ 0. Al punto O se le denomina centro de homotecia, el número 𝑘 es la razón de homotecia, A y A’ se llaman puntos homotéticos (también suele decirse que A’ es el homotético de A).
62
A partir de un punto fijo, una homotecia multiplica todas las distancias por un mismo factor. En el ejemplo de las letras F, al aumentar al doble las distancias desde O hasta cada uno de los puntos A, B, C, D y G se obtienen los puntos homotéticos A’, B’, C’, D’ y G’. En el plano cartesiano, si 𝑂 = (1,3) es el centro de homotecia, 𝑘 = 2 la razón de homotecia y 𝐴 = (4,2), la imagen de A bajo la homotecia es 𝐴′ = (7,1):
El centro de homotecia y los puntos homotéticos siempre están alineados:
Para representar una homotecia de un punto se utiliza la letra ℋ, el centro de homotecia O se escribe
como sub índice y la razón de homotecia 𝑘 como supra índice: ℋ𝑂𝑘(𝐴) = 𝐴′.
Para el caso anterior, 𝐴’ = (7,1) es el homotético de 𝐴 = (4,2) respecto del centro 𝑂 = (1,3) y razón 𝑘 = 2;
esto se denota como ℋ(1,3)2 (4,2) = (7,1). Cuando no se trabaja en el plano cartesiano, solamente se dejarán
indicados. Ejemplo. Si 𝑂 = (1,3) y 𝐴 = (4,2), ¿cuál es la imagen de A bajo la homotecia de centro O y razón 𝑘 = −1?
63
El homotético de A será otro punto A’ que se encuentre sobre la recta que pasa por O y A, pero en sentido contrario al del segmento OA:
En este caso, ℋ(1,3)−1 (4,2) = (−2,4).
Dada una homotecia de centro O, razón 𝑘 y un punto A distinto de O:
1. Si 𝑘 es positivo, A’ está sobre la recta que pasa por O y A, en el mismo sentido de 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ y 𝑂𝐴′ = 𝑘 ∙ 𝑂𝐴. En este caso, a la homotecia se le denomina Homotecia Directa.
2. Si 𝑘 es negativo, A’ está sobre la recta que pasa por O y A, en sentido contrario a 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ y 𝑂𝐴′ = |𝑘| ∙ 𝑂𝐴, donde |𝑘| es el valor absoluto del número 𝑘. En este caso, a la homotecia se le denomina Homotecia Inversa.
Ejercicios
1. Tomando a 𝑂 = (−1,1) como centro de homotecia encuentre:
a) El homotético de 𝐴 = (0,2) si la razón de homotecia es 𝑘 = −4. b) El homotético de 𝐵 = (2,−1) si la razón de homotecia es 𝑘 = 3. c) El homotético de 𝐶 = (−3,3) si la razón de homotecia es 𝑘 = −3.
2. En uno de los ejemplos se vio que para la homotecia de centro 𝑂 = (1,3) y razón 𝑘 = −1, el homotético de 𝐴 = (4,2) es 𝐴′ = (−2,4). ¿Qué otra transformación de las estudiadas en las unidades anteriores puede utilizarse para llegar a este mismo resultado? ¿Puede generalizarse este resultado para cualesquiera sean el centro de homotecia O y el punto A?
3. Sobre papel cuadriculado, encuentre los puntos homotéticos de A, B, C, D, E y F, cuyo centro de
homotecia es O y la razón es 𝑘 = 3. Trace la figura resultante.
64
4. Sobre papel cuadriculado, encuentre los puntos homotéticos de A, B, C, D y E, cuyo centro de homotecia es O y la razón es 𝑘 = −2. Trace la figura resultante. ¿De qué manera puede obtenerse el mismo resultado si se hace composición de transformaciones? Describa el proceso.
5.2. Trazo de homotecias sin utilizar cuadrícula Sobre una hoja de papel se dibuja un punto O (centro de homotecia) y otro punto A distinto de O. Si la razón de homotecia es 𝑘 = 3 entonces, para encontrar el homotético A’ de A se hace lo siguiente: a) Dibuje la recta que pasa por los puntos O y A.
65
b) Con un compás tome la medida del segmento OA. Sobre la recta y en el mismo sentido de 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ marque otro punto A’ que cumpla 𝑂𝐴′ = 3 ∙ 𝑂𝐴; es decir, a partir del punto A haga dos marcas sobre la recta y la segunda corresponderá a 𝐴′ = ℋ𝑜
3(𝐴).
Ejercicios
1. En una hoja de papel, marque un punto O (centro de la homotecia) y dos puntos B y C distintos de O.
Encuentre los homotéticos de B y C si 𝑘 = 4 es la razón de la homotecia.
2. En una hoja de papel, marque un punto O (centro de la homotecia) y dos puntos D y E distintos de O. Encuentre los homotéticos de D y E si 𝑘 = −2 es la razón de la homotecia.
3. ¿Posee la homotecia puntos invariantes? En caso de tenerlos, ¿cuáles son?
5.3. Propiedades de la homotecia Propiedad 1: Dado un segmento AB, la homotecia de centro O y razón 𝑘 genera un segmento A’B’ el cual es paralelo a 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ y satisface 𝐴′𝐵′ = |𝑘| ∙ 𝐴𝐵. Ejemplo. Sea O el centro de homotecia y 𝑘 = 3. Para encontrar la imagen del segmento aplicamos a los extremos A y B dicha homotecia, obteniendo los puntos A’ y B’. La
imagen de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ es el segmento A’B’: ℋ𝑂3(𝐴𝐵) = 𝐴′𝐵′.
Se puede comprobar, midiendo ambos segmentos que 𝐴′𝐵′ = 3𝐴𝐵.
66
Ejemplo. Sea O el centro de homotecia y 𝑘 = 2. La imagen bajo la homotecia del triángulo ABC se encuentra aplicando ésta a cada uno de los vértices del triángulo, obteniendo como imagen el triángulo A’B’C’.
Por la propiedad anterior tenemos que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ∥ 𝐴′𝐵′̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐵′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅̅
y 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ∥ 𝐴′𝐶′̅̅ ̅̅ ̅ (esto es, sus lados respectivos son paralelos) y además 𝐴’𝐵’ = 2 ∙ 𝐴𝐵, 𝐵’𝐶’ = 2 ∙ 𝐵𝐶 y 𝐴’𝐶’ = 2 ∙ 𝐴𝐶. Este tipo de triángulos son llamados triángulos semejantes. Ejemplo: Tomemos el centro O y razón 𝑘 = −3, al aplicarle la homotecia a la figura obtenemos:
Ejercicios. Para cada una de las siguientes figuras trace su imagen bajo la homotecia de centro y razón dada:
67
Propiedad 2. La homotecia conserva ángulos. Dado un ángulo < 𝐴𝐵𝐶 y su homotético < 𝐴’𝐵’𝐶’, se cumple que < 𝐴𝐵𝐶 =< 𝐴′𝐵′𝐶′ y conserva su orientación sin importar si la homotecia es directa o inversa:
Propiedad 3. La homotecia aumenta el área de una figura en un factor de 𝑘2.
Ejercicios
1. Relación entre las áreas de figuras homotéticas:
a) Construya un triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. b) Elija un centro para la homotecia y razón 𝑘 = 3. c) Encuentre el área del triángulo y su imagen. d) Compare ambas áreas y escriba la relación entre ellas.
68
Las siguientes figuras son homotéticas, con centro de homotecia O y razón 𝑘 = −3.
a) Si 𝑂𝐵′ = 10.7 cm, ¿cuánto mide 𝑂𝐵? b) Si < 𝐴 = 50.5°, ¿cuál es la medida de < 𝐴′?
2. Las siguientes figuras son homotéticas, con centro de homotecia
O, razón 𝑘 = 2.5 y ABCD es romboide.
a) Si 𝑂𝐶 = 6.1 𝑐𝑚, ¿cuánto mide 𝑂𝐶′? b) Si el área de ABCD es 4 𝑐𝑚2, ¿cuál es el área de A’B’C’D’? c) Si la altura de A’B’C’D’ mide 5 𝑐𝑚, ¿cuánto mide la altura
de ABCD?
5.4. Centro y razón de homotecia Anteriormente se ha visto cómo trazar figuras homotéticas si se conoce el centro y la razón de la homotecia, ya sea en el plano, sobre una cuadrícula o sobre una hoja en blanco. En los siguientes ejercicios se debe realizar el proceso inverso: Dadas un par de figuras homotéticas, encontrar el centro y la razón de la homotecia.
Ejercicios
1. Las siguientes figuras son homotéticas:
a) ¿Qué estrategia utilizaría para encontrar el centro y la razón de la homotecia? b) ¿Es una homotecia directa o inversa? c) ¿Puede determinarse si la homotecia es directa o inversa sin necesidad de conocer el centro
de homotecia y la razón? ¿Cómo?
69
2. Las siguientes figuras son homotéticas:
a) ¿Qué estrategia utilizaría para encontrar el centro y la razón de la homotecia? b) ¿Es una homotecia directa o inversa?
3. Las siguientes figuras son homotéticas:
a) ¿Qué estrategia utilizaría para encontrar el centro y la razón de la homotecia? b) ¿Es una homotecia directa o inversa? c) ¿Cuál es la diferencia entre esta homotecia y las presentadas en los ejercicios 1 y 2?
5.5. Aplicaciones Anteriormente se habló sobre figuras que tienen la misma forma pero no el mismo tamaño, llamándose a éstas figuras semejantes. Otra noción de semejanza puede ser la de ampliar o reducir un objeto, como por ejemplo cuando se saca una fotocopia de un documento ampliada al 200%. Esto indica que, si el tamaño del documento original representa el 100% entonces la fotocopia amplía la imagen al doble. Otro ejemplo son los planos de arquitectura, los cuales son la representación gráfica de la vista desde arriba que muestra la disposición de los espacios en un nivel particular de un edificio. Para dibujar un plano
70
de arquitectura deben tomarse en cuenta las dimensiones reales del edificio, ya que el plano representa una versión reducida de todas esas dimensiones. Una homotecia da como resultado una reducción o ampliación de una figura2, determinando entonces figuras semejantes.
Figuras semejantes son aquellas que tienen segmentos correspondientes proporcionales y ángulos iguales.
En figuras semejantes, la razón de semejanza juega un papel similar a la razón de homotecia. Muchas veces también se le suele llamar “escala”.
Las transformaciones isomórficas son aquellas en las cuales las imágenes conservan la forma y los valores angulares. En el caso de polígonos, varían las magnitudes de los lados del mismo.
Ejemplos de transformaciones isomórficas son la homotecia, la semejanza y las escalas. Las propiedades vistas para las homotecias también se cumplen en semejanza y escalas. Ejemplo. Una fotografía de ancho 6.5 cm y largo 10.5 cm se amplía a un ancho de 19.5 cm. ¿Cuál será el largo? ¿Cuántas veces se amplió el área? Debido a que la fotografía se ha ampliado, se mantiene su forma y los valores angulares determinando así figuras semejantes. Un dibujo de la situación puede ayudar a visualizar lo que está ocurriendo. Primero, se encuentra cuántas veces aumento el ancho, dados los datos del problema:
19.5
6.5= 3
Quiere decir que el largo también aumentará tres veces. Así, el largo de la fotografía ampliada será:
3(10.5 𝑐𝑚) = 31.5 𝑐𝑚 Como las propiedades de homotecia se mantienen en semejanza, si la razón es 3 entonces el área se amplió 32 = 9 veces.
2 En lo que se lleva de la unidad únicamente se han trabajado ampliaciones.
71
Ejercicios
1. Se desea construir un canal semejante al de la figura, de forma que admita una cantidad de agua 9
veces superior. ¿Qué dimensiones habrá de tener?
2. Juan saca una copia ampliada de un dibujo como lo muestra la figura. ¿Cuál es la escala de la copia?
3. La siguiente figura muestra al triángulo ABC y su imagen bajo la homotecia de centro O y razón k. Encontrar el valor de x.
5.6. Teselados con homotecia Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que se acerque o aleje del objeto siempre se verá la misma estructura. Algunas de sus características son:
72
Auto semejanza a cualquier escala: Una pequeña porción del fractal puede verse como una copia a menor escala del fractal entero.
Formación por iteración: Los fractales se obtienen por un proceso iterativo que consiste en la aplicación repetitiva de una o varias transformaciones geométricas o aplicando algunos algoritmos iterativos.
Fractales simples pueden construirse a partir de figuras sencillas a las cuales se les aplica la misma figura a escala más reducida. A las nuevas figuras, homotéticas respecto a la inicial, se les aplica de nuevo la misma figura con la correspondiente reducción de escala y así sucesivamente hasta el infinito.
Ejercicios
1. El fractal presentado en la parte superior se llama La isla de Koch, fue creada en 1904 por Niels Fabian
Helge Von Koch, un matemático sueco. Es uno de los fractales clásicos más sencillos y una de las primeras en desarrollarse. Para su construcción realice lo siguiente:
a) Trace un triángulo equilátero. b) Corte cada lado en 3 segmentos iguales. c) Reemplace el segmento del medio por otros dos de la misma longitud. d) Después vuelva a empezar sobre cada nuevo segmento obtenido.
2. El siguiente fractal se denomina el triángulo de Sierpinski, introducido por Waclaw Sierpinski en el año 1919. Todos los triángulos del fractal son equiláteros.
a) ¿Cómo haría para dibujarlo? b) ¿Tienen todos los triángulos el mismo centro de homotecia con
respecto al triángulo mayor?
3. La alfombra de Sierpinski es una variante del triángulo de Sierpinski. Para construirla se toma un cuadrado, se divide en 3 × 3 = 9 cuadrados y se quita el del medio. Ahora en los 8 restantes se repite la misma operación. ¿Cuál es el fractal resultante?
4. ¿Los fractales existen en la naturaleza? Mencione algunos ejemplos.
73
Transformaciones geométricas
Isométricas: Son las transformaciones de figuras que se realizan sin variar las dimensiones y el área de las mismas; la figura inicial y la final son semejantes y geométricamente congruentes.
Isomórficas: Las transformaciones de figuras que conservan los valores angulares y varían las magnitudes
de los segmentos de forma proporcional. Anamórficas: Son las que no conservan ni la magnitud de los segmentos, ni el valor de los ángulos. Éstas
no se estudiaron en este documento.
74
Bibliografía básica
CATALÁ, CLAUDI A.; FLAMARICH, CARMEN B.; FORTUNY, JOSEP M. (1988). Materiales para construir la geometría.
Madrid: Síntesis.
CATALÁ, CLAUDI A.; FLAMARICH, CARMEN B.; FORTUNY, JOSEP M. (1997). Invitación a la didáctica de la geometría.
Madrid: Síntesis.
GODINO, JUAN D. (2004). Geometría y su didáctica para maestros. Publicación realizada en el marco del
Proyecto de Investigación y Desarrollo del Ministerio de Ciencia y Tecnología de España, BS02002-02452.
Recursos en internet Título: Museo del azulejo Enlace: http://goo.gl/VS3xTD
Resumen: El Museo del Azulejo "Manolo Safont", desde su inauguración ha tenido una clara vocación educativa. Por ello, este apartado web pretende caracterizar los programas educativos permanentes para la información del público en general, pero sobre todo para la información del colectivo docente. Los diseños corresponden a transformaciones geométricas. El Museo es un espacio vivo y activo que difunda la cultura del azulejo.
Título: Juego de tablero de simetría Enlace: https://goo.gl/WaMw7g
Resumen: Aquí encontrará un interesante juego de simetría. Con materiales reciclados, muy fácil de hacer. Anímese.
Sitio web: Juegos de transformación Enlace: http://goo.gl/VOlmh3
Resumen: Sitio virtual que contiene una variedad de juegos interactivos sobre simetría axial y rotaciones.
75
Título: Reciclando en la escuela juegos de geometría Enlace: http://goo.gl/l3oJaf
Resumen: La mayoría de los trabajos están hechos con los niños y niñas de escuelas rurales y han aprovechado el tablero multiusos del Bingo para hacer juegos de simetría, traslaciones, giros.
Título: Arte y matemática Enlace: https://goo.gl/kYcW1S
Resumen: Presenta una serie de actividades manuales de construcción de tableros de arte matemático, inspirado en la obra de Paul Klee. Se usan diversos materiales, con los que se puede manifestar la expresión artística de los estudiantes. Se hace énfasis en la simetría. Desde preescolares hasta tercer grado pueden trabajar con estas ideas artísticas. También es fácil investigar más en sitios que se relacionan a este y que desde ahí puede llegar.
Sitio web: Sangakoo Maths for life Enlace: http://goo.gl/8FWPCG
Resumen: Una aplicación web para el aprendizaje de las matemáticas con una innovadora metodología basada en la práctica creativa dentro de un ecosistema colaborativo, dirigida a todos los entornos educativos. Es una plataforma pensada para aprender no para enseñar.
Presentación: Transformaciones geométricas en la vida cotidiana Enlace: https://goo.gl/EaoYQJ
Resumen: Presentación Prezi que aborda diferentes ejemplos en los que se pueden apreciar las transformaciones geométricas en situaciones cotidianas.
Revista digital: Números Enlace: http://goo.gl/jmwi3
Resumen: Se propone identificar y caracterizar los materiales didácticos concretos que pueden utilizarse en la enseñanza de los contenidos geométricos en primer año de la educación secundaria de Argentina.
Libro digital: Traslaciones, giros y simetrías en el plano. Colección de monografías 2 Enlace: http://goo.gl/OhWlIV
Resumen: El libro presenta una serie de actividades mediante las cuales se van descubriendo las propiedades de las transformaciones, aborda la teoría de los movimientos del plano, así como métodos y técnicas de la realización de los movimientos.
Documento: Transformaciones en el plano Enlace: http://goo.gl/7xrUW4
Resumen: El documento presenta transformaciones isométricas e isomórficas, ofrece algunos ejemplos, propiedades y aplicaciones.
76
Sitio web: Juegos topológicos. Enlace: https://goo.gl/xB0Lz0
Resumen: blog diseñado para divulgar curiosidades topológicas y geométricas, con el fin de que éstas pueden entenderse fácilmente con ayuda de imágenes, videos y otros materiales especialmente manipulativos.
Sitio Web: Sector matemática. El Portal de las matemáticas Enlace: http://goo.gl/i4liZX
Resumen: Es una página web diseñada por el maestro chileno Danny Perich. Contiene desarrollo de contenidos de distintos niveles: básico, medio y preuniversitarios. Además, una serie de recursos didácticos: juegos matemáticos, crucigramas, videos, presentaciones en PowerPoint. Contiene también evaluaciones para los distintos niveles. Hay libros digitales de gran importancia para el desarrollo profesional docente.