How to Solve It 2Hablando de matemáticas 4

Dos soluciones a un viejo problema. La meta es describir la trayectoria de un caballo de ajedrez que, moviéndose como se mueven los caballos, recorra las 64 casillas del tablero pasando por cada una de ellas una sola vez. A la izquierda se muestra una solución dada por Abraham de Moivre (1667-1754); a la derecha una solución de Leonhard Euler (1707-1783). La solución de Euler tiene la ventaja de iniciar y terminar el paseo en la misma casilla. Imagen tomada de Famous Puzzles of Great Mathematicians, Miodrag S. Petkovic AMS, Providence, Rhode Island, 2009.

Acuerdos del CDM 6Confesiones de un asesino 7The calculus 8

How to Solve It

Foreword by John H. Conway

How to Solve It is a wonderful book! This I realized when I first read right through it as a student many years ago, but it has taken me a long time to ap-preciate just how wonderful it is. Why is that? One part of the answer is that the book is unique. In all my years as a student and teacher, I have never seen another that lives up to George Polya’s title by teaching you how to go about solving problems. H Schoenfeld correctly described its importance in his 1987 article Polya, Problem Solving, and Education in Mathematics Magazine

For mathematics education and the world of problem solving it marked a line of demar-cation between two eras, problem solving before and after Polya.

It is one of the most successful mathematics books ever written, having sold over a million copies and been translated into seventeen languages since it first appeared in 1945. Polya later wrote two more books about the art of doing mathematics, Mathematics and Plausible Reasoning (1954) and Mathematical Dis-covery (two volumes, 1962 and 1965). The book’s title makes it seem that it is directed only toward students, but in fact it is addressed just as much to their teachers. Indeed, as Polya remarks in his introduction, the first part of the book takes the teacher’s viewpoint more often than the student’s. Everybody gains that way. The student who reads the book on his own will find that overhearing Polya’s comments to his non-existent teacher can bring that desirable person into being, as an imaginary but very helpful figure leaning over one’s shoulder. This is what happened to me, and naturally I made heavy use of the remarks I’d found most important when I myself started teaching a few years later.

But it was some time before I read the book again, and when I did, I suddenly realized that it was even more valuable than I’d thought! Many of Polya’s re-marks that hadn’t helped me as a student now made me a better teacher of tho-se whose problems had differed from mine. Polya had met many more students than I had, and had obviously thought very hard about how to best help all of them learn mathematics. Perhaps his most important point is that learning must be active. As he said in a lecture on teaching

Mathematics, you see, is not a spectator sport. To understand mathematics means to be able to do mathematics. And what does it mean [to be] doing mathematics? In the first place, it means to be able to solve mathematical problems. It is often said that to teach any subject well, one has to understand it “at least as well as one’s students do.” It is a paradoxical truth that to teach mathematics well, one must also know how to misunderstand it at least to the extent one’s students do! If a teacher’s statement can be parsed in two or more ways, it goes without saying that some students will understand it one way and others another, with results that can vary from the hilarious to the tragic.

I know of no better remedy for such presumptions than Polya’s counsel: before trying to solve a problem, the student should demonstrate his or her unders-tanding of its statement, preferably to a real teacher, but in lieu of that, to an imagined one. Experienced mathematicians know that often the hardest part of researching a problem is understanding precisely what that problem says. They often follow Polya’s wise advice:

Nota. Estimados lectores, en el año de 1945 apareció la primera edición de How to solve it de George Polya. Este extraordinario libro es uno de los escritos más difundidos de las matemáticas. Ha sido traducido a más de 17 idiomas y ha vendido más de un millón de ejemplares.Por cierto, el título en español es Cómo plantear y resolver problemas.Ya en el número 426 de este boletín, noviembre de 2013, habíamos sugerido con entusiasmo su lectura. En aquella ocasión reprodujimos en nuestras páginas el prefacio del libro, escrito por George Polya.En esta ocasión ofrecemos a nuestros lectores la presentación que hace John H. Conway. Este pequeño escrito sí aparece en la edición en inglés de How to solve it, pero no apa-rece en la edición en español. Ojalá disfruten su lectura.

If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can’t solve: find it. Readers who learn from this book will also want to learn about its author’s life.

George Polya was born György Pólya (he dropped the ac-cents sometime later) on December 18, 1887, in Budapest, Hungary, to Jakab Pólya and his wife, the former Anna Deutsch. He was baptized into the Roman Catholic faith, to which Jakab, Anna, and their three previous children, Jeno, Ilona, and Flora, had converted from Judaism in the previous year. Their fifth child, Laszlo, was born four years later. Jakab had changed his surname from Pollák to the more Hungarian-sounding Pólya five years before György was born, believing that this might help him ob-tain a university post, which he eventually did, but only shortly before his untimely death in 1897.

At the Daniel Berzsenyi Gymnasium, György studied Greek, Latin, and German, in addition to Hungarian. It is surprising to learn that there he was seemingly unin-terested in mathematics, his work in geometry deemed merely “satisfactory” compared with his “outstanding” performance in literature, geography, and other subjects. His favorite subject, outside of literature, was biology. He enrolled at the University of Budapest in 1905, initially studying law, which he soon dropped because he found it too boring. He then obtained the certification needed to teach Latin and Hungarian at a gymnasium, a certifica-tion that he never used but of which he remained proud. Eventually his professor, Bernát Alexander, advised him that to help his studies in philosophy, he should take some mathematics and physics courses. This was how he came to mathematics. Later, he joked that he “wasn’t good enough for physics, and was too good for philoso-phy, mathematics is in between.” In Budapest he was taught physics by Eötvös and mathe-matics by Fejér and was awarded a doctorate after spen-ding the academic year 1910-11 in Vienna, where he took some courses by Wirtinger and Mertens. He spent much of the next two years in Göttingen, where he met many more mathematicians -Klein, Caratheodory, Hilbert, Run-ge, Landau, Weyl, Hecke, Courant, and Toeplitz- and in 1914 visited Paris, where he became acquainted with Pi-card and Hadamard and learned that Hurwitz had arran-ged an appointment for him in Zurich. He accepted this position, writing later: I went to Zurich in order to be near Hurwitz and we were in close touch for about six years, from my arrival in Zurich in 1914 to his passing [in 1919]. I was very much impressed by him and edited his works.

Of course, the First World War took place during this pe-riod. It initially had little effect on Polya, who had been declared unfit for service in the Hungarian army as the

result of a soccer wound. But later when the army, more desperately needing recruits, demanded that he return to fight for his country, his strong pacifist views led him to refuse. As a consequence, he was unable to visit Hun-gary for many years, and in fact did not do so until 1967, fifty-four years after he left. In the meantime, he had taken Swiss citizenship and married a Swiss girl, Stella Vera Weber, in 1918. Between 1918 and 1919, he published papers on a wide range of mathematical subjects such as series, number theory, combinatorics, voting systems, as-tronomy, and probability. He was made an extraordinary professor at the Zurich ETH in 1920, and a few years later he and Gabor Szego published their book Problems and Theorems in Analysis, described by G. L Alexanderson and L. H. Lange in their obituary of Polya as “a mathematical masterpiece that assured their reputations.”

That book appeared in 1925, after Polya had obtained a Rockefeller Fellowship to work in England, where he co-llaborated with Hardy and Littlewood on what later be-came their book Inequalities (Cambridge University Press, 1936). He used a second Rockefeller Fellowship to visit Princeton University in 1929, and while in the United Sta-tes was invited by H. F. Blichfeldt to visit Stanford Uni-versity, which he greatly enjoyed, and which ultimately became his home. Polya held a professorship at Stanford from 1943 until his retirement in 1953, and it was there, in 1978, that he taught his last course, in combinatorics. He died on September 7, 1985, at the age of ninety-seven.

Some readers will want to know about Polya’s many con-tributions to mathematics. Most of them relate to analysis and are too technical to be understood by non-experts, but a few are worth mentioning.

In probability theory, Polya is responsible for the now standard term “Central Limit Theorem” and for proving that the Fourier transform of a probability measure is a characteristic function and that a random walk on the in-teger lattice closes with probability 1 if and only if the di-mension is at most 2. In geometry, Polya independently re-enumerated the seventeen plane crystallographic groups (their first enumeration, by E. S. Fedorov, having been forgotten) and together with Niggli devised a notation for them. In combinatorics, Polya’s Enumeration Theorem is now a standard way of counting configurations according to their symmetry. It has been described by R. C. Read as “a remarkable theorem in a remarkable paper, and a land-mark in the history of combinatorial analysis”.

How to Solve It was written in German during Polya’s time in Zurich, which ended in 1940, when the European situation forced him to leave for the United States. Des-pite the book’s eventual success, four publishers rejected the English version before Princeton University Press brought it out in 1945. In their hands, How to Solve It ra-pidly became -and continues to be- one of the most suc-cessful mathematical books of all time.

Sobre nuestra portada

Según el libro de Famous Puzzles of Great Mathemati-cians, de Miodrag S. Petkovic, el problema de descu-brir la ruta que debe seguir un caballo de ajedrez para recorrer las 64 casillas y regresar al lugar de origen, sin repetir ninguna de ellas, fue planteado por prime-ra vez en la India en el siglo VI de nuestra era. Euler fue el primero en estudiar el problema de mane-ra seria. Él propuso un método para encontrar más so-luciones. La imagen que acompaña esta nota muestra una solución siguiendo el método de Euler.Cada ruta seguida por el caballo forma una circunfe-rencia, es decir, una curva cerrada. Según I. Wegener, Branching Programs and Binary Decision Diagrams, SIAM, Philadelphia, 2000,hay 13,267,364,410,532 recorridos cerrados distintos que son soluciones al problema.

8 de octubre de 2015.Aubin Arroyo

15 de octubre de 2015.José Galaviz

29 de octubre de 2015.Natalia Jonard

5 de noviembre de 2015.Gerónimo Uribe

Hablando de matemáticas

12 de noviembre de 2015.Úrsula Iturrarán

Todos los jueves a las 11 am.Auditorio Alfonso Nápoles Gándara, Instituto de Matemáticas, UNAM.

Felicitación

La Facultad de Ciencias expresa una cálida felicitación al Doctor

Antonio Lazcano Araujo

profesor de la Facultad de Cien-cias y miembro de El Colegio Nacional, por ser merecedor del Doctorado Honoris Causa de la Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, mismo que le será entregado durante la ceremo-nia solemne que tendrá verificati-vo el próximo 13 de octubre. El trabajo de académicos de la talla del Dr. Lazcano enorgullece y estimula el quehacer científico de nuestra Facultad.

¿Preocupado por el porvenir?

PLAN DE DESARROLLO 2014-2018 DE LA FACULTAD DE CIENCIAS

Chécalo en la páginahttp://www.fciencias.unam.mx/noso-tros/plan/Index

XLVIII Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana

Universidad de Sonora, (UNISON) del 18 al 23 de octubre de 2015.

http://sociedadmatematicamexicana.org.mx/congreso/

Volumen especial en el Boletín de la SMM en memoria de Samuel GitlerEl Boletín de la SMM publicará en 2016 un volumen especial dedicado a Samuel. Editores Invitados para el volumen especial:Tony Bahri, Bill Browder, Fred Co-hen, Tara Holm, Santiago Lopez de Medrano, Alberto Verjosvky y Jesús González.

Niels Henrik Abel

The exceptional Norwegian mathematician Niels Henrik Abel was born on 5 August 1802. When he died, only 26 years old, he left a large body of work, including the first proof of the general binomial theorem, which had been stated by Newton and Euler.

Toqué con Muddy Waters seis meses antes de que falleciera y el tipo conservaba la energía juvenil de siempre. Siguió tocando hasta el día de su muerte. Para mí no existe nada más importante. ¿Qué otra cosa podría ser a estas alturas? ¿Podría capacitarme para algún trabajo y convertirme en soldador? Haré esto hasta que caiga muerto. Es un compromiso. […] Esto es un trabajo. Un trabajo para hombres, un empleo vitalicio. Y si algún tonto tiene que dar fe, me gustaría ser ese tonto.

Keith Richards6 de octubre de 1988.

Los modernos signos algebraicos “+” y “–“ ya se usaban en Alemania en la segunda mitad del siglo XV. Johanes Widman (1462-1498) fue el primero que los incluyó en un trabajo impreso en 1489.V. Meavilla, Eso no estaba en mi libro de matemáticas, Editorial Almuzara.

I wouldn’t want to be a member of any club that would have a guy like me as a member.

Groucho Marx

Plaza PrometeoTienda virtual de la

Facultad de Ciencias

http://tienda.fciencias.unam.mx

Síguenos en redes sociales,

https://twitter.com/PlazaPrometeo

https://www.facebook.com/plaza.prometeo

Conócela, navega, compra libros y obtén tu factura vía electrónica, los libros llegarán a tu domicilio.

¡Profes de asignatura!Firma de Contratos

de profesores de Asignatura

para el Semestre 2016-1.Del 1 al 23 de octubre de 2015.

Acuerdos del Consejo Departamental de Matemáticas

Sesión del 17 de septiembre de 2015 Estando presentes: M. en C. Wilfrido Martínez TorresCoordinador GeneralMat. Salvador López MendozaCoordinador InternoDra. María de Luz Gasca SotoCoordinadora de la Licenciatura en Ciencias de la ComputaciónM. en C. Francisco de Jesús Struck ChávezCoordinador de la Licenciatura en MatemáticasM. en C. José Antonio Flores DíazConsejero Técnico

Se tomaron los siguientes acuerdos:

Solicitante: Dr. Jorge L. Ortega A.Asunto: Informa que los cursos optati-vos Patrones de Diseño de Software y Algoritmos Paralelos, por no contar con el número mínimo de alumnos, no se abrieron en el semestre 2016-1, por lo que solicita se justifique su carga acadé-mica con dos cursos de posgrado.Acuerdo: Se turna a Ivonne Gaspar para el trámite correspondiente.Solicitante: Act. Jaime Vázquez Alamilla.Asunto: Solicita permiso para ausen-tarse del 22 al 25 de septiembre 2015 y viáticos, para presentar una ponencia en el XXV Coloquio Mexicano de Economía Matemática y Econometría, a llevarse a cabo en Guadalajara, Jal.Acuerdo: El Consejo Departamental apoya, sujeto a lo disponible de su asig-nación anual. Se turna a Ivonne Gaspar y a Gerardo Chávez para los trámites correspondientes.Solicitante: Dra. Mucuy-kak Guevara Aguirre.Asunto: Solicita permiso para ausentarse el 8 de octubre 2015 para impartir una conferencia en el Seminario de Investi-gación en Matemáticas, a llevarse a cabo en Pachuca, Hgo.Acuerdo: El Consejo Departamental apoya. Se turna a Ivonne Gaspar para el trámite correspondiente.Solicitante: Dr. Emilio Esteban Lluis Puebla.Asunto: Solicita permiso para ausentar-se el 9 de octubre 2015 para dictar una conferencia en la presentación del libro

“Computational Counterpoint Worlds”, a llevarse a cabo en Teotitlán, Oax.Acuerdo: El Consejo Departamental apoya. Se turna a Ivonne Gaspar para el trámite correspondiente.Solicitante: Dr. Manuel Jesús Falconi Magaña.Asunto: Solicita permiso para ausentarse del 18 al 23 de octubre 2015 para partici-par como ponente en el XLVIII Congreso Nacional de la SMM, a llevase a cabo en Hermosillo, Son.Acuerdo: El Consejo Departamental apoya. Se turna a Ivonne Gaspar para el trámite correspondiente.Solicitante: Dra. María del Pilar Alonso Reyes.Asunto: Solicita permiso para ausentarse del 26 al 29 de octubre 2015 para parti-cipar como ponente en el III Coloquio Regional: Género: Una Mirada Multidis-ciplinaria, a llevarse a cabo en Oaxaca, Oax.Acuerdo: El Consejo Departamental apoya. Se turna a Ivonne Gaspar para el trámite correspondiente.Solicitante: Dra. Sofía Natalia Galicia Haro.Asunto: Solicita viáticos para asistir al 14th Mexican International Conference on Artificial Intelligence, del 25 al 31 de octubre 2015.Acuerdo: El Consejo Departamental apoya, sujeto a lo disponible de su asig-nación anual. Se turna a Gerardo Chávez para el trámite correspondiente.Solicitante: Vicente Carrión Velázquez, Profesor de Asignatura.Asunto: Solicita alrededor de $4,000.00 como apoyo económico para asistir al XLVIII Congreso Nacional de la SMM, a llevarse a cabo del 18 al 23 de octubre 2015 en Hermosillo, Son.Acuerdo: No procede debido a que no hay partida presupuestal para Profeso-res de Asignatura.Solicitante: M. en C. José Antonio Flores Díaz.Asunto: Informa a la Dra. Rosaura Ruiz que en relación a su solicitud de permiso para faltar 3 días, finalmente no los utili-zará, por lo que retira dicha solicitud.Acuerdo: El Consejo Departamental se da por enterado.Solicitante: M. en C. Rafael Madrid Ríos.Asunto: Solicita que a la Dra. Emelia Lorenzana Quintero le sea asignado el Salón de Seminarios S102, los miércoles de cada 15 días, de 8:00 a 10:00 hrs., para que pueda impartir asesorías a alumnos del Seminario de Titulación “Economía Matemática”.Acuerdo: Se turna al Coordinador Interno, Mat. Salvador López, para su atención.

Solicitante: Dra. Rosaura Ruiz Gutiérrez.Asunto: Informa que el Consejo Técnico acordó enviar al Consejo Departamental de Matemáticas para su atención, la solicitud de revisión de la calificación asentada en las actas del estudiante de la carrera de Actuaría, Gonzalo Torralva Becerra, en la materia Programación, con el Ing. Ricardo Castañeda Martínez.Acuerdo: El Prof. Ricardo Castañeda entregará al Consejo Departamental su respuesta a esta solicitud.Solicitante: Dr. Marco Arieli Herrera Valdez.Asunto: Solicita un lugar para la estu-diante de Maestría en Ciencias Mate-máticas, Julia Andrea Catalina Falcón Cortés, quien trabajará su tesis bajo su supervisión.Acuerdo: Se turnó para su atención al Coordinador Interno, Mat. Salvador López.Solicitante: Dra. María de Lourdes Segura Valdez.Asunto: Envía relación de Profesores que, para el semestre 2016-1, presenta-ron solicitud de permanencia, reingreso o nuevo ingreso al PEPASIG y agradece-rá revisar y devolver esta información.Acuerdo: Se turna a Gerardo Chávez para la revisión correspondiente.

Dinámica NacionalUnidad Cuernavaca del IMATEDel 25 al 27 de noviembre del 2015

http://www.matcuer.unam.mx/acti-vidades/dinamica_nacional_2015/

Habrá becas de hospedaje para estudiantes.Conferencias:Rafael Alcaraz Barrera, USPGonzalo Contreras, CIMATCarlos Cabrera, UCIM-UNAMEnrique Pujals, IMPAAna Rechtman, IM-UNAMErnesto Rosales, IM-UNAMHéctor Sánchez Morgado,IM-UNAMMartín Sambarino, UdelaRCarlos Matheus Silva Santos, CNRS/Paris 13Sofia Trejo, USPEdgardo Ugalde, UASLPFerrán Valdez, CCM-UNAM

Saludos, Aubin Arroyo, Renato Iturriaga, Alberto Verjovsky

Por Marco Antonio Santiago

Confesiones de un asesino De vez en cuando tenemos la oportunidad de asomarnos a cinematografía de otras latitudes. Es en ese momento que podemos apreciar cómo se dirigen thrillers, comedias románticas, filmes de terror o fantasía, guiados por otra cultura, respaldados por otras formas de asustar, conmo-ver o enamorar. Es entonces que nos sorprendemos de ob-servar diferentes visiones morales, diversos orígenes de desesperación, y variadas formas de encarar las mismas preocupaciones: La mortalidad, la trascendencia, la ven-ganza, la búsqueda de la felicidad. El festival de cine coreano de este año nos trae un emo-cionante filme negro. Nae-ga sal-in-beom-i-da (Byeong-gil Jeong, 2012), la recomendación de esta semana. La historia narra la cacería humana que desata el detective Choi, para capturar a un asesino serial que ha victimizado a 10 mujeres, y secuestrado a una última. Tras una infruc-tuosa persecución, el asesino escapa dejando herido al detective, y afirmando que lo usará para hacer-se famoso y esparcir su mensaje. Pasan los años. Los crímenes parecen casi olvidados. Entonces, un atractivo individuo aparece en escena. Anuncia a todo Seúl que es el buscado asesino. Publica un libro con detallados pormenores de cada crimen. Pero no puede ser detenido. Porque ha esperado el plazo ne-cesario para que sus crímenes hayan prescrito legal-mente. Se convierte en una figura de culto, en una especie de rockstar que habla de arrepentimiento y redención. El detective Choi desconfía de este hom-bre. Aunque se verá forzado a salvar su vida cuando se vuelve el blanco de los familiares de las víctimas, ansiosos de cobrar venganza. Todo se complicará aún más cuando descubramos que existe un tercer protagonista. Un hombre que afirma ser el verdade-ro asesino en serie. Y que incluso sostiene que la úl-tima víctima podría no estar muerta. Todo derivará en un monstruoso juego de gato y ratón, aderezado por la intervención despiadada de los medios de comunicación, empeñados en obtener exclusivas.Esta película está aderezada con todo tipo de detalles. Personajes pintorescos: un detective duro y amargado, que sin embargo vive aún con su madre. Un carismáti-co individuo que se dice asesino serial. Hombres y mu-jeres, padres y madres de las víctimas, imposibilitados para seguir con sus vidas tras estos crímenes espantosos. Momentos de genuino humor negro, vertiginosas perse-cuciones, vueltas y vueltas de tuerca. Y aunque algunos podrían encontrar mal resuelto el guión, yo al menos, me divertí muchísimo. Y encontré muy buenos elementos de

crítica en la película. Como la manipulación mediática, y la mitificación y encumbramiento de cualquier personaje en nuestra sociedad, incluyendo aquellos que la atacan y pervierten. Ya sólo eso bastaría para hacerla una cinta in-teresante. Pero les aseguro que tiene mucho más. Podría pensarse incluso que la historia es exagerada e incoherente, emparentada al cine de aquellas latitudes, nunca comedido, siempre delirante y tremendo. Pero lo cierto es que puedo garantizarles casi que, en unos años, este guión será adquirido en Hollywood para hacer un remake más al gusto occidental. Antes de que eso suceda, vean Confesiones de un asesino. Otra cinta más acerca de esta extraña figura de nuestros tiempos que es el asesino en serie. Tristemente sintomático de la época que nos toco vivir.

Comentarios: vanyacron@gmail.com, @pollocinefiloCanal You tube EVAGOR TV

POSDATA: Basada en la novela de Bret Easton Ellis, Psi-cópata americano (Mary Harron, 2000) nos muestra en tono de crítica demoledora, que tan imbuido está el mundo de violencia, y que tan sencillo es, en esta época de brillan-tes y anónimos desconocidos, ser un asesino serial. Po-dríamos quedarnos con la sangre y los hachazos, pero la película (y a su manera un poco extemporánea, la novela también) tiene su profundo elemento de crítica. Recomen-dación de esta semana del pollo cinéfilo.

INTEGRANTES DEL CONSEJO DEPARTAMENTAL DE MATEMÁTICAS, FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM.COORDINADOR GENERAL wilfrido martínez torres - COORDINADOR INTERNO salvador lópez mendoza - COORDINADOR DE

LA CARRERA DE ACTUARÍA inocencio rafael madrid ríos - COORDINADORA DE LA CARRERA DE CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN maría de la luz gasca soto - COORDINADOR DE LA CARRERA DE MATEMÁTICAS francisco de jesús struck chávez.

RESPONSABLES DEL BOLETÍNCOORDINACIÓN héctor méndez lango y silvia torres alamilla - EDICIÓN ivonne gamboa garduño - DISEÑO maría angélica macías oliva y nancy mejía morán - PÁGINA ELECTRÓNICA j. alfredo cobián campos - INFORMACIÓN consejo departamental de matemáticas - IMPRESIÓN coordinación de servicios editoriales de la facultad de ciencias - TIRAJE 500 ejemplares. Este boletín es gratuito y lo puedes obtener en las oficinas del CDM.NOTA: Si deseas incluir información en este boletín entrégala en el CDM o envíala a: hml@ciencias.unam.mx, silviatorres59@gmail.com, ivonne_gamboa@ciencias.unam.mx Sitio Internet: http://www.matematicas.unam.mx/index.php/publicaciones/boletin

The calculus

The Universe, modern science often suggests, is stranger than it seems. Things are said to begin with a bang; space and time are curved like a bright bow; and when after endless time has passed the great stars collapse, they leave behind black holes into which matter and light tumble and then vanish. How much of this is true, how much enchanting fantasy, I do not know; but quite before the creation of mo-dern cosmology, the calculus serves to demonstrate with an eerie apt-ness the extent to which ordinary concepts are not ordinary at all.

David Berlinski