DOS PROBLEMAS EN LA DOCTRINA DE FREGE

TIIOM~ M. SIMPSOS Co.",", r •• <tOópóó.o c..,m ..

D_,l.i,...

I..o~ problemas qu~ !e examinan a conlinua"ión ¡H:rlenea:n a las dO! verlienl". de la obra de rre¡:e : ( 1 de la lógica matemática y el del análisis !<:mánlico. En 1 se ..,¡,alan la. dificultades que.., opon(n a una inlerprelación univoca del con.:eplo de "rango de valores" (Wer!JIerlauf) ,le una fun. eión, conceplo que desem¡H:ioa un papel básico en la ddi. "ición fregeana d( Numero natural. El e~amen de algunM pro¡JUeslas de interprelación, y en pal1icular el an"lisi, de la función n , permiten poner de relieve el carácter peculiar de las nociones fregeanas. 11 se ocupa de la teoría de las "raciones dedaralivas como nombres propi ... de 1". valores de ,·(rdad. y muestra que infinitas ent idad.,. satisfacen los requerimientos formales impuestos por Frege a lo! denoto/a de las oraciones.

1

El conceplo de "rango de valores" de una función (Werl. ~crlauf, en el original alemán; ualoe ronce ° CaurU 01 ~·alucJ. ""gun una u otra ,·e .. ión inglesa) ""lá lejos de 8<:r daro en los textos de Frege. a pesar del papel fundamen­lal que desempeña en ' u .istema. Convien" ad"erlir d...de )"a que la expre~ión misma "rango de valores", qU( ad,,1" laremo. aquí. es en realidad algo infortunada (al meno. en relaci6n con la actual lcrminología S(lbre funciones) por· 'Iue sugiere engañ ... amenle la identificación del W.,rt~~r. lau! con el codomo"i" de la función, ¡"legrado por los va· l(>re! que esta hace corrt!!ponder a sus argumentos.

En el tomo I de Crwu1geset.e der Ar;llunetik (13) estas

,,,

entidadel ~n introducida. de manera eICueta , "UIIO de las palabras 'la función <p(E) tiene el mismo rango de valo. l'I':lI que la función W(E)' para denOlar lo mismo que COn 1 .. palabrn 'la. funciones 4> (E) y "'(E) tienen los mi . · mOS valores para 1 ... mismM argumentM' ".' De este modo estable<:!: Frege el criterio de identidad que deben latida. cer los recién presentad ... Tl'trl.'f!r/ijuf~. Simbolizando COn I<p (~) y d '1' 1") respel1 ivamente (de acueroo COn la nOla· ción fregeana) 1M I1I ngOli de valorea de <p(E) y '" (E). esta condición de identidad queda upresada por la fórmula,

( 1) ( r ) (<l> fx) = "' Ix» .. 11<l> (' ) = d~r (o »

que constituye la Ley Baaica V del sistema del GruMgestlzt . En rigor, la Ley Básica V contiene el . igno de identidad

y no el de C<Juivalencia proposicional. Este hecho se debe a la particular concepciún fregeana segun la (ua l In ora· ciones declarativas IIOn nombres de la Verdad y de la Fal· sedad, objetos lógicos denotados respectivamente por 1 .. oraciones verdadera. y [as fa lsas. Con la identidad en lu. gar de la C<Juivalencia, la Ley Básica V establece que "( x ) (4)(0; ) = "' (x »" denota el mismo valor de verdad <lue "/4>«) = <1 '1' (Ul", ya sea 6;te la Veroad o la falo sedad. Pero esto mis mo e. lo eSlab[ecido en término. mal familiares por la C<Ju ivalencia (1), que dice . implemente: los rangos de valol'l':ll de <p(E) y "' (E) aon idénti cos si y sólo si est .. funciones tienen los mismos valore. para los mismos argumentos. En homenaje a e!la. formas más ha bi· tualea de expreaión, seguiremos identifi cando la Ley Bá· sica V con la equivalencia (1), mientru ello no afecte la inteligibilidad de nuel tro tema.

¿Qué ea un rango de valore.? B. V. Birjukov' _tiene que, .i bien f rege no ofrece una defin ición directa de Tl'er,·

, \..o dI> conu .... "'. too ,-... ióo ¡'&!no ... M .. ,~ .'w1'" T~. lIoofi< Lo ... o/ Ati'~,."". U. ¡, ... i'1 ., C.lil.,~i. r~ lI«hl<1 • .tt 1 ... ,4..pt", Cotiio,.i • • tlli'>4. p_ 36_

, R. V. Bi.j"~. r"" s..'i" Sr.,!i., .. f",. {T .. "~.l«I •• d «1;'«1 by t ... "io ,4. ... l<lIiO . [¡, .. d_h,. lIo1tand. D, R.idol Pobtiohi., c...ponr. t964.

""

,·etlll .. / . ",," ""id ... lle [ ... ] que,," lo que u~ualmente le

denomina la gráfica de la función. O tea cierto conjunto de cuplu cuyo prime. miembro,," un poIible a,"",mento y cuyo "Bundo. miembro el el v.lor de la fuocio.. para ele

alBumento" (p. 19);)· aBrega que tal interpretación "N! ai. gue, por ejemplo, de In e~plj~aciolleJ dadas por Frqe ell su art Iculo ' r ullctioll ulld IkBriff''' (p. 19). Esta alirma· ción COnlt,llIye el blanco de un comenlario negalivo de An· gdelli. quien obM:n-a que en " Funklion und Begrilr' la n:pre¡entación Uáfica el considerada una mera imallen intuitiva.' F""ge, m dedo, habla allí de la represent.ción ¡.álica como de "un medio de repretent.r intuitiv.mente 101 valor,," de una (unción par. di ferent.,. .rpIlJloenIOl ... • Des­pués de .,.t • ...,fermci. a l. gráfica. Frege ~.blece la equivalencia de l •• dM form ll de ~~presión ( i) "La. fun. cionu %(,,- 4 ) y .... - 4 ... tienen la misma eu ... ·a", y (i i) " La, lullcione. ... ( ... - 4) y s '-4 ... lienen el mismo .~ngo de v.lores" (p. 26); pero como b curva es una mera re· p.esel1lación intuit iva de l. dwribuci6lt de ,·. Iores y ar!l'. mentOl, no U "evidente" que pueda concluine de aqul l. interpretac:ión de Birjukov. Lo IÍnioo .,.,idente es que lene, l. mi ...... curva (o sea l. misma corr,,"poooencia enlre .r· gumentOl y valore. de 11 función) u una condición neee­$II.ia y luficiente pIIr. l. idenlidad de 101 IF'ertverliiu/e. ¡'ero en ningun momentO pua Frej!:e de la di&lri bución de argumentOl y ,·alores --cuya reprell:ntación intuitiva "" la gtáfica- a la clo.,e de cupl., intqrada. por ellol. Aq,,1 """""1 familiaridad con el pena.miento ""njuntilta 1"le· de 1:ej!:lmol para ciert ... di ,lincionn.'

""

Sin embargo ~ jU~10 ""n. ignar en apoyo de Bi rjukov que ot ras interpretaciones, 'Iui"' . más telltndoras a primera ,' i&­ta . $On en realidad m,;;¡ objelables, ror má, 'Iue alguna de ellas se halle sugerida IlOr Olro! textos del mi. mo Frege, Es cierto, por ejemplo, que al hablar ,le conceptos (o sea de funciones cu)"o coJominio e.tá inlegrado e~dusi ,'amen te por ,'alores de ,'erdad) Frege . ugiere reilcradfimemc la i,lenl ificación del rn ngo de n lore. con la e~lcn,¡ón en el senlido U' ua l, Ya en G'umJlogen tic, Arilhmelik Frege define Número nalurnl sobre In base ,le! conccpto tradicio. nal ,le e~tcn.ión , cu)'o ""ntenido da enteramente por . u· pue.to. En "Funktion und Ikgrif r ' (1', 30) dice que lo que él denomina idenlidad de rm'go, de ,'alOfcs "in logic r, .. J tS callCíI identit)' of Ihe exten. ion of the ooncept5", En el Gru"tlgc'e/:e (1. i 3) adupta para cieno. caso. In lenn; . nología tradicional: "With . "eh funetíon" whuse ,'alue i, always a true value, une ma)' aeoordinglr .a)', in. ted uf '""urre uf ,'alue'. ralher 'e~len .iu" uf Ihe cun<:epl ' "; y tamhién. eu reladó" oon la defi"ición ,le N,',mero: ';1 define i\'umber itself as Ihe e",cnsion u[ n cnncCl't: a",! exlcnsiuns uf oo"""pls are b), m)' tlefin;tion. ""U f>eS uf valu""" (C",nJge.rel:e. 1" 6) , r eru seria en':'",·o ba' Msc en e.l05 tex tus para inlerpretar el rangu de ,'alores. en geneml. oomo el cunjunto de argumentu. que sat isfaccn la f""ó':'", Al margen de utra. ""n,i,lcraciones. esta inte'po:loción gloha l debe rechazarse ror 'lCr inaplicable a 1" funciones nu pro. po~i cionalC!. como ..... capita l de ,t , 'lC n ,t , etc.

En el ""nt""tu de la doctrin3 {regeana, lus términO! "oon· ceptu". "funci':'n propos icional mu""diea" y "prupieolad" SUn intcrcamhiables. al igual que las c,. prcsiun~ "x sa l;&­face la función pru]lu,iuMI r"o,,~o l;ca ~>(i' ) " . "x cae hajo el conceptu <t> (i')" r ;'.lo I'U5Ce la prul'ic<l~d <1> ((,)" , En el ca!!U de este lillO de f"ncion~ (los ""nceIH"') puede ha· bla rse del oonjunlO ,le ubjetos <¡ue las ,alidacen. pero eS ub,'iamente un sin &enlido ,Iceir 0lue un ohjeto &81 i. l3ce la función x' , pues el rcs" lta,It, de aplicar c: ta f"nción nu e. un ,'alm de ~erdad , Y ""mu el conceplu de J11c'I <~rI/Juf

""

es roml,lel.menl., I':e""r.¡ y.., al,lie. I 100 .. 1., funcio"", (se.n f,r0f'0!!;cionale.. ° no) ",11 .hern'liva queda in,·. li. da,l •. - Time ..",Iido, en cambio. h.bln olel ronj unlO ole CUI,lu eu)'o l>rimer miembro eII un l)O!!ible argumtnlO y eU)'O legunolo miembro " ji el resuh.Jo de la funció" x' I'ara .,.., "alor ole :.:. La inlerprela"ioin del Wenl'erlau¡ co,no con· ¡umo de CUpl85 posee al menos 1" "enlaja de nn n m~yo r ¡:~neral;,lad . )' coincitfe con el collce1>10 matemitico u.lunl d., función en exlensión.

Olr •• alternati ... s ob"i a~ ... n también f:\ell"",rn" elimi • ... bl.,.. El Werl.v:rfuu¡ 110 I)uecle ~r el conju llto de loolos 1 ..... «umellIO!, ya qu., ell lal ca ... toon In f"llcio,,/,\< de ni,-el I (o ~a funcio~ .1,lieabl~ ... Iamenl., • "objf:tUf" , qu., e" la colI«'l"'ió .. de F.ege >le Ji .. inguen d,i.!lieamenle ,1., In fund'mes misma.) lendrian el mismo ff'NI.",16U¡, en "i,lu,1 de '1ue el dominio ,le .rgumc'IIO~ 01" cunlquier fu nción (m.má,lica) de ni"el 1 es un;,·"".1. en el sentido de '1"" loe hll .. integrado por 1. l(II alidad de los "objetOil". En consecuencia. esta ;nte'I" e1nción no Pl i!lnee siquiera la e<lui,·~ lt'I>ci . / Il. unes d., la ".,rd.d de I<I_/t ) == .. '1' (11 ) nO.., seguida .-esa, i, ... e" t" 'Iue (:.:){"'(:.:) == '1' (,,» . y el Jl'erl,,.,,lou¡ r>O puede ;¡er t.",¡x>CO el «>dominio 01., l. func ión. COmo lo sugiere e",!;.iooo~"'enle 1ft e~prC$iól\ .... ". go de ulorn". porqu., todos 101 ronttpto!! ~Il d mismo eoolo""onio (inlegrado iÓlo I",r In Vt,.I.,! )' In Fal>!edad). lo que cousli tuye una difi culu .. 1 un:Uog •• la anterior .

• loo,,.,.. .bo. ..... q .... ,1 i 10 *1 C""'''''~''' F" .. id.-o,llk. loo r ,," ... I_I ...... 1 ... ;.... - t , t = _ 1> 1 ,, =.) _1 .. __ _ l. \' ....... , lo , .• -.... , ... ...... _ loo •• 0.- _;.-.", ._ ... 1.1_. l .... , • .no.... ... ¡'aI...boI, po< .¡"pIo, .. .1 ..,. ot.;.co _ .. ,Iolaoo lo ,_ t = - 1, ) 1, = . ,. PI"" "_ ' " l • • , l" -. .. ""..,.!M.c.-1 .. _l ••• <1 __ .. 1u .... l \·...t..I~, ll' .. "",",,~ .............. ...¡. .......... ~" .................... Ioo"."'"". trt==_hll. = . ) • .. IÓI'~ " .11 ... la .............. Ir_ ... loo Ir ..... " .. " ... loo ... too... ..... ,..t ... __ ••• ~ ...... , • l. w..'lr"' .... 1 ... Ioo.p •• -.. ... '" ... 1oot.o4> f'OI' ,., ..... "'" JI ., ..... ~, ... , ... 0\<0 rle-__ .. 0. .... ....,... .. "'¡,I._ " •• ;..oplo • 1 .... do lo l.'''' .... ". " .. 1 ........ _ . p,,,, .11 ...... ptl_ .1 ¡""'ho ... q .. ,.1 l ... , ..... · , ................ , .k>.<o ... ,,01. d,~¡'¡" • 1 •• , I",.d, ... ',",io ... ... ... pookioo.I .. ,

H>5

Pero si bien l. inle.prellciún IiOItmid. po. lJi.julto.. sa· lilf."", el crite.io de irlenlidad ( 1), y poOtt .demb l. ' "m· lija de lu 11>licabil idad • lod., la. funcione., queda ef>

pie el problema de e;;lable«. una rel.ción inlelilliblc entre el rango de ,·alo.n y la ulen.ión en IICnlidu Ir~dicion.l,

'Iue lallto preocupa a rregr. cuando habla de COII«pt ..... Frege no .dara ",le punlo capilal, y aC(>rca de él $<110 pue­den lejcroe conjeluru.

r.r. remediar """ omi~iún. Uirjulto'· inl~nta mOSI ... (p. 23) qur. en el caso de 1001 COI,(eptO' es posible conslruir una correspondencia biuni,·"". mIre los r.ngos dI! va loret (como conjunl~ dI! eUI,lu) Y l., exlm.ione. m sentido Indicio".1 (~"Unjunlos de oo¡etot (lue poseen UIIa I>.ol'ied.d común). La correspondencia eSllblecida por Bi rjukov e. simple: (i) • cada rango de '·alores le correslM)nde el ron· junto tle ~quell~ primeros dementos de $U$ cUI,la . I"'ra los cualel el "'gundo elemenlo el el '·alo. Verdad; ( ii) red· 1>.()(:lmente. a cada conjunto de objelO!< del dominio obje­li,·o (incluyendo 1M conjunlM vldM) le correilM)nde un oonjunlo de cuplu del li lM) en CUdliún. mn~l.uido del l i. guienle modo: perle""""n • él lod., l •• cupl .. cnyo. pri. mero. element ... _ objelOl del conjunto dado. y cuyo le­

",undo miembro '"" el ... 10. "e.dad; y Ilmbi,;n toda$ t.. tupll. (;u\·o primer miembro e. un objelo del dominio obj ... tivo quc no I""rlene« al conjunto inicial , y cuyo segundo miemb.o ea el valor Falsedad.

La corlllrucción de Clll correspondencia biunivoca se basa en el l upuealo de que todOI 101 COnotplOS lie .... n el milmo dominio de lr¡umcntOl., pUtl de OIro modo l. ",Jación «>n· _ tlt. blecid. en (ii) dejl de ICr unívoca. Pero t$le lu· putlto IiÓlo el ~álido p • • a COnceplOl de nivel 1: conceplo. de diferente. nivel..., _ (*)f(*) ' ,. (>3, poICCIl diferen· tel dominios de ar¡umenIOS: el primero es un cooccpco de nivel 2, y tólo e. .plicable. COnceplOl de ni~el 1: el ICsundo, en cambio, tólo C5 .plicable I "objetos".

, "-q.( ,.,. ... be <Ol<odt, .. _ •• ';.~I. ( •• d ••. .t m .....

'"

!'e;,e a esta dificultad, la correllpondencia biunívoca po, dria mantenerse en general si se repitiera en todos lO:! nive, 1."" en for ma análoga a lo probado [Jara el ni,'el 1. Pero e, IO el! por lo menOS dudolSO, debido a la niebla que envuel · "e cierto. a'IJectos de la jera"l"ia fregcana de funciones.

El carácter pc<:uliar de lo;! rangos de v al(>re~ manifiesta d aramente en n::lación con el signo {unó,,,,al "''1'', CU}'O , ignificado podria confund irse a primera "i;ta con el ,lel , igno usual de pertenencia a "na cl"se, Frege int('oduce 1" (unción"'" medi.nte la identidad

(2) 'IJ (x) "" .l"'W(U),

' Iue no parece sino un ,Iidrn de la (órmula

(3) 'JI (x ) • _ _ \'-E('JI (z) )

con que Hu..ell introduce la relación < de pertenencia; ·'. \ '+'z) " designa la u lensión de 'IJ ( la cla~ de todos los : '[ue la ""Iidacen, •• i como «'I'(a) designa Su rango de valores.

Pero el esencial advertir que en {2) la identidad no es reemplazable por la equivaleneia, pu."" contrariamente a lo ' Iue ocure en (3 ), '1' puede 110 •• " una fu nción proposi. cional. Si '1' es un concepto, entonces (2 ) e.tablece 'lue el ,'alor de "croad '1'(:.-) e!I el mi.mo que el \'810r de ,-erdad ..n<l'l'(o). 10 'lue puetle expre, arse de olro modo di, cienJo que oe cuml,le ~' ( x ) si sólo si se cumple . ..n<i'l' (" ) : eu eJ! te ca..:> particular. es tentador identi ficar ü'l'(,, ) ",on =Cl' :). Pero cuando '+' uo es un concepto el hicondicio· nal "ai y sólo sr ', simlJolindo ¡"Ir " - ", carece de sentido, pUeJ! en tal caso ni qJ (x) "i 0 '1' (,,) . on ,'alores de , cr· dad, En la hipóle, i. de 'Iue '1' c .. ia (unci"n ar;ln'~ti ca CuoJroJo tk, t3"tO "'1'(3) cOnlo '"J(I<i'JI (o)' ""n nom· breo del número 9; esto se sigue de la definición de f re. ge, según la cual ";:('1,," ~ una abreviatura de la e>:pre. sión : " El únioo objeto z lal que: existe una {unción g, de la que u el el rango de valores, y z .,. el '-alor de g para

'"

d ar¡¡"me"IO ~" (Grun'/ge$eIZe, 134) , Obsfr ... ese que cuan, do '1' es una función proposicional (por ejenlplo Mayor que cero) la cxpre,ioll "J() ti'l' (o )" .., co",'ierte en el nQ m. h,e de un ,'alor de ,'crdad, l ",e~ sólo un ,'alor de ,'erdad puede ser el objelo. lal que z = 'l' (z) ,

1I

El rasgo más deseoncerlnnle de la sem"nlle3 Ir"genna se halla " n duda en ou concepci6n de las oracio;lnes como nomhre5 l"0l'i05 de lO!! ,'alores de "erdad, ,\o;]uí dehen dis· tinguirre dos aspectos: (i) que las oraciones oon nGmbres : (ii) que lOlS OlhjclO!! nGmhrnd05 por ellas sOn exactamenle la Verdad y la Fnlse,lad. según que In orari';n ~ea "c,da' ,lera o fal sa , Frege da ]101' slIpue>!a la po¡.ibilida,l de (i) y presenla (ii) como un resulla,lo i,,~ .... ilnhle de eSla hipolesis. IOl qlle concuerda OOn la Olpi."ón de Dirjukov: "O"e Ihing i. hc)'O!I<r <¡uestio,,: if the Ir~gean theory 01 Ihe se".., 01 names j, acccl'ted and ou" wi ~l'es lo exlended it to senten· ces, Ihen, ",helhcr one li ke. il 01' nol. O"" arri,'es al the ,Ieseriplion OlI Irul lo and ¡"Isil)' as the ir relerenC<l" (p. 9,~, n, 31 ).

Para eslablecer (ii) Frege dche probar tlos cosas: (a) que In relación tle las oraciones dedaral;" 3s Con IOl! '·atOl· ..,. de verdad se rige por los mism"" principios que go· biernan la rdacion de los nombres prOl pios Con su. deno­taciones. y (b) que no ""'Sien ot ra. enlidades que guarden con \". oraciones declarali,'a. e' le tipOl de relneión, A su "ez. esta prueba dehe conferir plausihili,bd ¡11 supueslo in i· cial (i). 'Iue sería inwslcniblc. llaluralmcIIIC, si a POl; lcrior i se mOlstrara que 10. I'rincil .io. que gobiernan lo. nombres propios no son aplicable. tamhién a la. oraoiOln"", Lo. prin· cipios usados por Frege en cstn parle de . u argumenlación SOn 1M siguientes:

(1) Cuando un nombre con,liluyenle de un nombre com­pueslo no tiene .Icnotación, el nOlmhre compueslo

H'

13ml)()CO li ene denotAción (~jem !)lo: "(predecuor deO)+ l ").

(2 ) Cuando un nombre c0051ilu)'nlle de un nombre rom· Imel lO es reemplu~do por oIro 'Iue liene la mi~ma ,Ienot.ció". la denotación del nombre compu~to no cambiK (aU!l\lu~ puede c.mbiar el 6eutido).

Dando por .upue>to,¡ ""''''' p.inÓI" "" ('lile t're~e " .. romo ,·c .. !a,les obl'ia~ en el CurM ,I~ Sil argumrntllcion. ,in foro mularlo, de maneru c.~plicita) Frege M: pl'egunla cu~ 1 pu~ • • Ie ~r el oh;"to denotado 1">< un. orae,on deo::laraliva. E,., objeto debe ~r lal qu~ oe "l,dagan los ]><incip'os (1) Y (2 ). r por con;,ig"ie'ltc una orad"" eompl'!lU .Iel", care«r d~ ,!enotRcio" si uno de su' nombres componenles carece de ~II. (principio l) y f U de'lOIaci6n lotal debe I>crmanecer invari.ble cuando un nomhre COmponenle es reemplaudo I'0r OIro de l. mi. ma denotación (¡orinc:il'io 2).

Lo e..,ncia! del argumenlO de Frege comi.te en mostrar que

f 1') Cuando "" nomhre C<)!';lituYnlle de una oración no l¡~nc denolacio". la oraeion "O t¡ene valor de ver· ,Iad (no el "crdadera ni fal . a ) .

(2') Cua .. do un nombre eon ' l ituY .... le de IIna oracion es reemplazado por otro que tiene la mi .ma ,Ieno"· ciÓn. el valor ,le ... :rdad ,le la oración no umbi. (aunque l,uc<le cambiar el ..,,,tido).

La primera .. b$en·aciOn se apo)·. nl ejeml,los eomO ··Odi· óeQ fue arrojado a tu pta)'u de flaca ,ni""lr~5 dom,l. pro­f"ndamcnle". que IOn propiM ,le IR ficción (/ de In m;lolu· ~la . Co""ie .. " !oei.alar ,le paM que este 1;1'0 ,le "j~ml)los no h..... ""ra COIahle«r (1'), pues Jo. enunciad ... ui$lenc:ia· les ne~"ti\"O!I de la forma "EI lal y t.l no 6iste" (por ejem· 1,10. "Et rey de la Argenlinn no 6i5te") 11(111 "erdaderos ei )" ";10 .i el . ujdo IIramatical e.re« de denotacion; pero Frege no uamina COla d.se de o .. có"' ..... que a primera

H"

,·¡';Ia refutan la observación {l'J. y n" pare"", obvio que puedan explicar.e con ' u teoria de la denotación indirecla.

En cuanto 8 ( 2'), no e. otrR 'Iue el principio leib"iziano de inlercambiabilidad lolva .'erilme. al que Frege recurre en apoyo de ~u tc.i.: E.wem lunl. qune .. ibi mm"" ."b,II/U; po,_ , unl soh·o "erita/e.

El I'aralelismo;> ent..., ( 1)-(2) y ( 1')-(2' ) e. lan comple­tu que (l') y (2') pan:cen simple. rdormnlacioncs de los prineipi"", !!Obre nomb," propios para el caso especial de las oraclone, d~la rati,..s.

Con la anotada reserva respecto de ( 1'). e. te paraldi.­mo prueba que los ulures de ,'e,d.d sa lid ... ""," lo. reque­rimiento. impues!"" a cualquier lipa de objeto que se desr:e po. tular como denotacji," de la. oracione •. I'ero Frege cree haber probado algo m"s: "We are ¡heTefore driven into aoxepting the trulh v.lu~ of a senlenee a. const iluting it. referen~" (1'.63) . Y luego: "Whal else bul the truth value could he found, that klongs quite generally to every sen­lenee if Ihe refe...,n~ of il . componenl. i. relevanl. and remains unchanged b)' SUbslilulion. of Ihe kind ¡n 'Iues­

. ?" ( 64) !Ion. p. . Como y. hemM v j ~to, Birjuku,' Cr~ 4ue ~ trala ,le una

ronsecuencia necesaria _ Podr,a decirse, naturalmente. 4ue la dificultad de imaginar otro candidalo factible nO prueba nada. y que por lo tanto l. conclusión es /IOn .equ;/ur. Pero e. fácil mo,lr.r que la ,..,l.ción entre h. denotaciones de las partes y la denotación del todo que establ"""n lo. prin­cip io. (1) y (2) se cumplen también . i ron.ideramo. romo áenotata de 1 .. oraciones . u. respe<:tiu. clao;e. de "'luiv~· lenei •.

Comenl'.llremns eun pI printipio (2). Como la clase de equi.'alenda de un. oradón A e. ~ impl emenle I~ clase de todas lu oracione! que tienen el mismo valor de "erdad que A. la ley de Leibniz asegura que eSta clase I"'rmanece inuria]'le bajo las sustituciones de térnlino. de igual de­notación. En cuanlo al [>rincipio (1), l. cuestión puede for­mular ... ui: par. que exi . ta la clase de equivalencia de una

",

oraClQn A "" condición necesaria )' suficiente que A sea "erdadera o fal.a ; por lo lanto, si Un nnmbre constituyente de A nn tiene denCllación. entnncee (en "irtud de 1') no e~i"te su dase de equivalencia. Esto re!ulta nalural dentro de la teoría de Frege, pues si A no es "erdadera ni falsa entonces la descripción ··F.I "alor de "erdad de A" no de. nota, y por oon~iguie"te (de acuerdo OOn el principio 2) tamp<lOO tiene denotación d nombre oompuesto "La dase de lodas las Ofacion"" cu)"o "alor de "crdad es el mi.mo que el "alor de \"erdad de ,f". En consecuencia tal clase no exis· le. as; oomo no e.~iste el numero que ~ulta de sumar 1 al predC(:csor de O.

Partiendo de a([ui, los jlos illlcli ,len~aJa de A SOI1 )"a in· finilo", también u tidace los princi l,ios (1) )" ( 2) la clase unitaria cu)"o unioo elemento eS la clase de equh·alencia de A, )", en general, cu.l~ujer miembro de la auceeión infini ta lCAf, HC,H, HIC.fH .... donde "C' simbol ila l~ da. se de equivalencia de A.

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(1 ) (",)(<1> (",) "" '1' ("'\\ _ (l4«. ) "" n'l'(an

... I<id, <'-'1"- ,he .... ie 1410' \' 01 ,h • • )'otem 01 I¡'~ C'"~¡/~".I ... Th. , ,1 .. ha,k l. "" V oontoln. lhe o¡~n 01 id.n'ily and no, ,h'l 01 p'''I_ili ..... 1 «Iui.-ole""" i. o~'inB lo th.t, atOO"'in¡ to F~g •• derl ... ti,' ... nl<noa Ir. n ...... 01 lhe T, ... • nrI 'M r~. Wilh ideoti" in ....,., 01 "'Iui," ~' tM hui<: la .. V <OI.bliobm lhal "\",) (4) (,,,) = '~ ( ",Ij" ..... _ ,he .. me trUllo •• 1 .... '14> (1) ., d '1' I 01) ~. ,,'~I ... 1M .... the T n.e o. che r.w. Ilut lh;. i ....... t (1) aI.hl ........ n.mdy: lhe ",h ... . anga 01 <I> (t ) .".¡ '" !t) Ite ; ...... ..,.1 if and ""Iy if , ..... lunc,iono ha,-. ,M .. me .·.1 .... lo. 'M ...... .. ~u"""'lO. A. 10.1& al lhe 1,,1"'li~ibilicr 01 OUT ... bj<el lO MI .11«1«1. 11", .... jo l .... \' ,,-il! 1 .. iden,ili .. 1 ",-í,h (1) . Th. ,-ie ... 01 Ili .j"kov, a«.",li"g 'o ,,·h; .... '."1\" 01 ". 1. ... in r ... gc i. " ,10., " u.u.Uy i. o.U"" ,h. ~" I'I, 01 ,he I",,'lion ... .•. j. uamin .. <I, ud

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011" •• lIr.n"'''' CO n 1", .limin ..... !. n, .. ,h" Wm .... tlsu' .0'" no' 1 .. ,h .... , o, 411 ,he "gun ... ". lo. in ,hi. c.~ .11 ,h. I",,<tion • .. II..-el 1 111 .. , l •. ,10_ 4Wlic4hl., onl)" ' o "obj«' o"' " ,h,e h in F~~ • . .. , I i,,;n~ui,h.d I,om 'une';"". 'hrm ... I.· .. ¡ .... ·0111,1 1",-. ,h . .. _ 11' .. ",· .. " •• / • • i...., ,lo .. do .... i" .. , ,1 .... ,,,n,,.." 01 '")' IUII. ' io" i """,.dle) ol l .. -n 1 i, uni,-,....J. n.,. .... I ...... d,;. ;n'r.pm ...... .-Ion .... ""'" oot" ' )" ,).., "l", ... ........, ( 1 l. " .. r ... n .10. /f'.". ... ,¡ •• , 1 .. ,).., domoln 01 ,).., fu""t,"', ........... all concq>U ¡-.. the ...... , ....... ,n.

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In o. <ln lo ''''' ily ,he om'" ion. Bi.j uko.· . llt mp" lo . how ( p. 2.))

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n.. pec uli.r eh ... cler 01 ,·. I""r.n~ ... i , monil",lc,¡ ¡n ",I.'ion lo lb. lunclion. 1 oign "r-". ",'h __ ."in; coul,] b. CQ"lu..,.j ,"';11. ,h . ... u.l.i~n 1M mem]",,,,loip in" d . ... Freg' inl~ ~I"c, .. ,lo o (une_ ,ion by", ... " , 01 ,lo,· it¡ ... ,;ty.

(Z1 'P Ix) == xt"'l ,;\l'(n) ,

Ih~1 ... "n. lo be n" mon' ,h,,, • ,Iíos uí,., ror th. 10,m"l.

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.. ilh .. hich llu ... 1I ;nl,t><!",," lite ,d.l;oll 01 me",Loo,o!tip ~ : ";('¡')" r!eo;gnoleo lite . xl.n.iÓn 01 '1', jU'1 ., .. "(\'1' (u)"' d .. ign .... i .. rango. 01 ... lu •. 1l1l1 h, (2) Ih. ;,lonl;I)' cannol h. ",I"" i,u,.~ hy Ih. "'1";".1.1>«. foro un ';k .. ... ·h.t h.pl'<" ' in (31. '1' may be a nonp'''' ,-ili"nol fu""t;oll. c. ... in whkh '1' i •• concq>t and ;n whicb ;t ;. nol ore . .. min,d.

" Th. mo.' ,li..,.,neo"in! feolu'e of F,cg<" "'",,",i .. i. ¡o,,"d in

hit con""l~ion of ,...nlcncn •• P'0l"" lI,n" .. uf tr",1t "ah..,.. T .. 'o .'1""''' ou~hl lo Loo di.tillgui , he,l: ( i) 11001 dI< "'''len'''' aro "',,,.,...: (;;) thol Ih. ol,¡..el' n."...,1 h,' Ihem .te Ih, TnH" .11,1 lh, Fal ... • 'rego. . .. " ..... (i) ."d » ..... ,,;. (iil .. the '<>1I1t ul ,It.,' J')'I>oII,.. . • i. _ .. hioh i. in '~fff .... nl ",;11t B;,jul~,· ·. illle'p ..... ,;un (p. 91, n. 31),

JII o"le. lo .. t.I,li, h ( i; ) . r"'E< o,,~hl 'o pro"r (0 1 Ih., 110. ITI.';"n ,,1 deda,., i,' • ..,,,Ie,,.,,. "'ilh I""h ".1"", ;. go'w,,..] by Ih. "'me p,incipl .. ,10.1 ,",'BtI lhe rel"lion 01 p'ope. na....,. .. 'ilh .Itei. tI,nOI.I. ond (b) lha, ,h. ", aro no olhe, "nli,i .. 11"" h.". lhi . In'" 01 ,eI:ui,,", ..-ilh ,1<clorali,'. ""ntrn"",. 1" i1. tUfII. thi. prool Ollghl 'o mal. (i ) ¡Ja",ihl"

Th. p,incipl .. ....d by Fre!" ere: (1) When • n ..... """"¡'uli,·. 01 • oompou"d nome h •• no denol •. lion. neithe, h .. ,he compound "o .... , "'(p,ed<e.,..." 01 O) + 1"'. (2) When a na .... """"iluli,'~ 01 . compou"d n ..... i •• ubotiluled by

._be .. ha. Iw tbe oamc cka ... ~ ..... , ,be ..... ou.; .... 01 ,be COJnfIO"nd

....... el.- ...... cbange (.I'hou~h "'" _ .... y chaage). "da\~ ¡~1 (1) .1>11 (2 ). r rqe...b ¡"¡p..ell .. hal l"" objm ........ .,¡ by. doec"· •• Ii,-c _lotM:e can t.... Thi. obj<d <>U&hllo .... i.r)" principie. ! 1) and (2). rile c.ux ,,' .".!C'I .'~U"""'I ...... ¡0I. in .ho"'''g ,ha,:

(1' ) \\' he ... n . .... CO"",'uli,-o 01 ... nte""" ~ .. hU den .... 'i ..... ,"" .. "len,,,. b •• nO Irulh ,'.1 ....

(2') Whe .. a n."", con"i,",;,-O 01 a .. nto .. «: i. aubalitu,",1 b)' l noIher Ihat h •• ,he ...... dcnol~tio'" .h. 11,,01, ,'a l ... 01 ,h. ",n· .. """ J_ nOl d"'n~ (o""""gll ,he ..,01 .. ,,,oy eh.."ge ). (1') i • ... wotlrd h)' "".m,*", likc .-0.,) ..... " ..... 110"",," .... 10 Ih. I .... eh 01 hll ...... hile he .J'1~ ... 11", lhi. 'w" 01 OUt","" i. "'" •• "'den' .0 .... blOsIo (1'), for .be ~,*'c c.~nli.1t 01 ,"" /0". '1 '110 """" and • .,..¡, """" ...... "",¡,f' .'" tr ... il .... 1 .... Ir ir 11 .. I,am· .... 'irol ..... j<d bcb • ......,.,.'i ..... A. , .... (2'), ;1 jo. maU .... /.b. principie 01 ;",uchan!","i"" ....... ",j",~.

n.. p ... U<liom bd .. _ (1 ).(2) Ind ( 1')(2') ;..., comJ>let. ,h., (1') Ind (2') _m l¡ko ,oIo,nlul." "'" 01 ,he p,inc'loIeo lo, ,"" '1~,.1 <"" 01 <kc13r3,i,'~ ".' .. ,ceo. Thi. 1.,,~lId'''" 1"0 .... _"',h lbe ,_n'I I,on no,ed .. ',h ""I~' lo (1')- Ihal Ifull> , .. 1>"" """.Ir d,~ ""Iuj",,,,,,n'. ;ml",...,.j " .. o" y I¡-po 01 oI'j"''' ,h., ......... y ,1.,., .. 1<, po."Il ... o. !he d."",o""" 01 _l.".,.,.. 11", ...... S. 1.-1, .. -....... hu Ph»'..,j _,h'n,; mor,: ,11. , oh" "u,h .-.1 ... ....... ,;,,,,,. 11", ",I.~ 01 I ..... " ...... (pp. 6)..1 )

II •• ¡ .... "'· bt4¡..,-.. tIw. ,hl, ; •• """"'Y ron.~...,_. h ""Sht be .. id t""t Ih. ",Ir",,.!,, 01 r;nd¡n~ ._"." aI"",""t" p _ _ hinS. Hui ,t ~In be ,howll th" Ih ..... 1,11;""" bet..-_ ,he .1,_", 01 ,"" port •• nd ol ,b. ..-hol. t""t p. in<ipb ( 1) .,..¡ (2 ) p'U do,," . .... Al", 'ullined ¡¡ ". """.ido. ,. J._Id o, ,b. .. n ........ ,"", . ""l"",,;,'e "'Iui'·. I....., d ......

\I'~ "",11 ¡""n "",lo prinriple (2\. Sin ..... ,I,e «I" i,·.t.""" d ... of .... "Ir """ " i •• im)~)· ,h. d ... Qf .n ,.,,,Ir,,.,.,. .hat ho,'r. th • ... ' ... lt1uh ".1, .. a, A, I""~n;" t .... ... u ... ,h., ,hi. d ... ,.mai,,, im, .. i.nl onlio • • ubolituli"", .. 1 , .. "" ha,;n~ ,"" .. me &""'.,;,,,,,. A. 101" l'rind"'" \1 l. ,b. qu, ... ion •• " )", I .. """b,..,j in ,h;, ''-'r' r .. , ,hr "'''''',1.""" d, .. 01 o "'nt.""" A 'o ~;",. " i •• ....,....,. Ind .wlr .. in,t """d",,,,, Ih., ,1 ¡", ti .... o' 131 .. : ~",Io, •• ir • .... _ ....... " ... " .• of A h •• 110 cI.noIltion. ,hm (by ,-in ... 01 1") 'lO ... Di .... """ <1_ ,1000. "'" ",,';-1. ni. tu .... ou' 'o lo_ ""u.al ;ft ,1", """t..-' 01 .... ~ .• ''''''''}'o lo. ¡¡ A ;. .... ,,"', Ir ... n," l ...... ,""n do ....."ipl 'OR "'!"he "uth ,'oh", 01 A" d".. nol <lmot ••• nd t"<KI!"'J, .. ",I)· (in ","'.-do ..... ",id, p,:ndl~. 2) ... ',h •• ,Ion ,h,· '"00\1"" ",,1 n.me. o·Th. 01 .... of .11 ",,,'r,,,,,,, ~·I".,.<- '",Ih ,-oh .. ,. ,h • ...... u .10. Iro'lo .-ah' "f A". ¡,.w ,lenOlalio". It follo .... Ih .... ",1,

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