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Dominios y procesos aritméticos en los primeros grados escolares
Aspectos teóricos, evaluación y actividades didácticas
Álvaro Buenrostro Avilés
México 2004
2
INDICE
Introducción 3 Primera parte: Aspectos teóricos 5
Procesos de cuantificación 6 Procesos de comparación, agrupamiento y relación parte parte todo 15 El sistema de numeración verbal 20 El sistema de numeración escrito 27 Problemas verbales de adición y substracción I 32 Problemas verbales de adición y substracción II 40 Problemas multiplicativos 45
Segunda parte: Evaluación 48
Evaluación Informal de los Conocimientos Aritméticos 49 Tarjetas con problemas aditivos verbales y láminas de aplicación 64
Tercera parte: Actividades didácticas 84
Actividades didácticas y procesos aritméticos 85 Acciones de compraventa 86 Algoritmo convencional de la adición 89 Algoritmo convencional de la substracción 91 Bloques de base diez 93 Cajas con lápices 98 Dados con números 104 Dados con números y puntos 105 Guerra de cartas 106 Nombres de los números 107 Perinola 109 Problemas multiplicativos 110 Problemas verbales de adición y substracción 113 Reparto de una barra de chocolate 114 Serpientes y escaleras 116 Tablero numérico 117
Cuarta parte: Guías de apoyo 118
Guía para el funcionamiento de las sesiones de trabajo con los niños 119 Guía para la descripción de estrategias 122 Guía para la elaboración de los informes de las sesiones grupales 123 Guía para la elaboración de los informes de las sesiones individuales 124 Guía para la elaboración del informe de las respuestas de los niños dadas a la EICA
125
Guía para la elaboración del informe parcial del desempeño del niño 127 Guía para la elaboración del informe de intervención 128
Bibliografía 131
3
Introducción
El conocimiento que los niños construyen acerca de la aritmética es un proceso
complejo que requiere la comprensión de un sistema matemático con características
específicas, reglas y procedimientos que norman su funcionamiento. Este sistema
contiene aspectos que si bien han mostrado su eficacia al momento de usarlos para
resolver situaciones prácticas, no siempre resultan fáciles de comprender por parte de
los niños.
Para ayudar a los niños en la construcción de sus conocimientos aritméticos es
conveniente comprender los procesos cognitivos y de actuación que éstos ponen en
marcha para acceder a determinados dominios aritméticos. También es necesario
disponer de instrumentos de evaluación cuya aplicación permita conocer el estado que
guardan los conocimientos aritméticos de los niños y a su vez, contar con diferentes
actividades didácticas que promuevan comportamientos competentes en la aritmética.
Este escrito pretende hacer una contribución en cada uno de los aspectos señalados.
El texto está dividido en cuatro partes. En la primera se ofrece una visión
panorámica de los siguientes dominios de interés: el sistema de numeración verbal, el
sistema de numeración escrito, los problemas aditivos verbales y los problemas
multiplicativos; también se revisan los siguientes procesos cognitivos y de actuación:
procesos de cuantificación, agrupación y comparación, y las estrategias de solución de
los problemas aditivos verbales y multiplicativos.
La Evaluación Informal de los Conocimientos Aritméticos (EICA) se incluye en la
segunda parte. Por medio de la aplicación de esta prueba se obtiene información
relevante respecto a diferentes procesos cognitivos y de actuación que son necesarios
para la solución de situaciones aritméticas que se presentan en los dos primeros grados
de primaria.
La tercera parte contiene diversas actividades didácticas que, a lo largo de varios
años, se han puesto en marcha para ayudar a niños de los dos primeros grados de
primaria en riesgo de reprobación que asisten al Programa de Atención al Bajo
Rendimiento Escolar (PABRE). En cada una de las actividades se incluyen los
propósitos, los materiales y el procedimiento para desarrollar la actividad.
4
En la última parte se incluyen distintas guías con las que se apoya la labor que
los estudiantes realizan en las sesiones de trabajo con los niños.
El texto está dirigido a los estudiantes de cuarto y quinto semestre de la carrera
de psicología que participan en el PABRE y a todas aquellas personas interesadas en
promover el desarrollo de los conocimientos aritméticos de los niños de los dos
primeros grados de primaria.
Alvaro Buenrostro A.
5
Primera parte
Aspectos teóricos
6
Procesos de cuantificación
Los procesos de cuantificación se conciben como un conjunto de herramientas que le
permiten al niño responder a preguntas que se relacionan con el número de elementos
que hay en una colección. Entre éstos destacan el reconocimiento súbito de la cantidad,
el conteo y la estimación.
Reconocimiento súbito de la cantidad
Labinowicz define al reconocimiento súbito de la cantidad o subitizing como “…la
capacidad para identificar instantáneamente el número de objetos en un grupo sin
recurrir al conteo” (1985, p. 105). Esta capacidad para reconocer la numerosidad de un
conjunto está condicionada por el tamaño de la colección y por la disposición espacial
de los elementos de la misma.
Si el conjunto de objetos es pequeño y éstos están
colocados de una manera ordenada (por ejemplo, como en las
fichas de dominó) resulta sencillo recurrir al reconocimiento súbito
de la cantidad.
Por el contrario, si se tiene una colección en la que la
disposición física de sus elementos no guarda un orden, para
conocer su número exacto es más probable que se recurra al
conteo, y a la estimación para tener sólo una idea aproximada de
la cantidad de elementos que la componen.
Reconocimiento súbito de la cantidad Conteo
Principios del conteo Distribución espacial de los objetos Errores en el conteo Diferentes tipos de conteo
Conteo hacia delante Conteo de grupos
Estimación
7
Conteo Contar un grupo de objetos implica establecer una correspondencia uno a uno entre las
palabras de la serie numérica y los objetos a través del un acto de indicación (por lo
regular, el señalamiento con un dedo). Sin embargo, para que el conteo tenga un
significado, es decir, para que se convierta en una herramienta útil para determinar la
numerosidad de un conjunto, es necesario que el niño reconozca a la última palabra
numérica dicha en el conteo como la palabra que representa al número total de dicho
conjunto.
Los principios del conteo Cuando un niño realiza un conteo adecuado de una colección de objetos entran en
juego cinco principios que a continuación se describen:
• Orden estable. El niño es capaz de decir el nombre de los números en el orden
adecuado. En otras palabras, debe tener un dominio de la serie numérica oral.
• Correspondencia uno a uno. Cada palabra dicha en la serie numérica debe
aparearse a un objeto de la colección. Para llevar a cabo esta correspondencia entre
una palabra y un objeto se hace uso de un acto de indicación que conecte a ambos
(con frecuencia la señalización con el dedo índice). De esta manera, debe haber una
coordinación entre la palabra dicha y la señalización empleada en el conteo y entre
ésta y el objeto.
1, 2, 3, 4, 5,6, 7, 8...
1
K
2
K
3
K
4
K
8
• Abstracción. El niño comprende que cualquier colección puede ser contada
independientemente de las características físicas de sus elementos. Así, una
colección de objetos de idéntica forma es susceptible de ser contada al igual que una
con elementos de diferente forma.
• Irrelevancia del orden. El resultado del conteo es el mismo independientemente del
orden en el que se cuenten los elementos de la colección.
Se empiece a contar del lado izquierdo o del lado derecho de la colección, el resultado del conteo siempre será cinco.
• Cardinalidad. El niño reconoce a la última palabra numérica dicha en el conteo como
la palabra que representa al número total de dicho conjunto. En el siguiente ejemplo,
la palabra “cinco” no sólo representa al último elemento contado sino al total de
objetos de la colección.
Cuando un niño vuelve a contar o se queda callado ante la segunda pregunta es
℡ &
� $
&
G
G
1, 2, 3,4, 5.
K
¿Cuántas canicas hay?
5
¿Cuántas ?
El niño responde sin necesidad de volver acontar la colección
9
probable que no le haya dado un significado cardinal a la última palabra dicha en el
conteo.
La distribución espacial de los objetos La distribución espacial de los objetos a contar influye en el éxito del conteo. Las
colecciones con una configuración circular o en hilera son más fáciles de contar que
aquéllas en que los objetos están en desorden. Para cada una
de estas situaciones el niño debe adoptar una estrategia
particular.
Cuando los objetos están en hilera es conveniente
comenzar desde uno de los extremos.
En una distribución circular, hay que recordar o “marcar” el
objeto desde el que comenzó el conteo (algunos niños señalan
con el dedo índice de la mano izquierda el primer objeto, mientras
realizan el conteo con el dedo índice de la mano derecha).
Para contar objetos en desorden el niño debe diferenciar los objetos que ya han
sido contados de los no contados. Existen dos procedimientos para lograrlo:
• contar de manera sistemática (p.e. de
izquierda a derecha o de arriba a
abajo) sin necesidad de mover los
objetos.
• llevar a cabo una separación física de
los objetos, de tal manera que de un
lado vayan quedando los objetos que
ya han sido contados.
K
K
KF
10
Errores en el conteo Como parte del proceso de aprender a contar, muchas veces, los niños cometen
errores que se relacionan con los diferentes aspectos que se han revisado hasta ahora.
Un deficiente dominio de la serie numérica oral, una violación al principio de
correspondencia uno a uno y/o la disposición espacial de los objetos, frecuentemente,
están detrás de los errores en el conteo. Para comprender mejor la naturaleza de las
equivocaciones de los niños en el conteo hay que tener presente la relación que se da
entre tres elementos: las palabras que componen a la serie numérica, el acto de
indicación (regularmente el señalamiento con el dedo) y los objetos. “Para que un
conteo sea correcto, una palabra debe corresponder a un acto de indicación y dicho
acto debe corresponder a un objeto” (Fuson, 1990, pp. 176-177). A continuación se
describen algunos de los errores que los niños cometen con más frecuencia al contar.
KK KKK K K
12
3
49 5
7
Insertar una palabra en la secuencia
K
6
KK KKK K
K
1 23
5
6 7
9
Omitir una palabra de la secuencia
K
8
KK KK K K K
12
3
45
68
Contar dos veces un mismo objeto
K7
K
9
KK KKK K
K1
23
4
56
7
Omitir un objeto
11
Diferentes tipos de conteo El conteo comienza desde contar uno a uno los elementos de una colección y
posteriormente se perfecciona dando lugar a otros tipos de conteo más sofisticados. El
conteo hacia delante y el conteo de grupos constituyen avances que favorecen la
comprensión de otros aspectos de la aritmética.
Conteo hacia delante Muchas veces se presentan a los niños diversas situaciones en las que tienen que
decidir cuántos objetos hay en dos colecciones o en cuál de éstas hay más objetos.
Inicialmente responden contando todos los objetos presentes. Posteriormente usan una
estrategia más efectiva que consiste en contar a partir de la segunda colección.
Estas dos estrategias de conteo (contar todo y contar hacia delante) tienen
implicaciones importantes conforme las exigencias escolares aumentan. Un ejemplo de
los efectos de su uso en la resolución de situaciones de adición se presenta cuando la
suma de los sumandos es mayor a diez. El niño que cuenta todo se ve en dificultades
para obtener el resultado correcto, mientras que el niño que cuenta a partir de un
sumando (ya sea el primero o el mayor) resuelve la situación más fácilmente. En el
siguiente ejemplo se trata de sumar 8 + 4.
1, 2, 3,4, 5, 6,7, 8, 9. Hay 9.
K
El niño ya no cuenta las canicas del primer conjunto.Sólo dice 4 y empieza a contar a partir del segundo.
Se presentan dos conjuntos de canicas diciendole al niño que en el de la izquierda hay cuatrocanicas y en el de la derecha hay cinco. Se le pregunta ¿Cuántas canicas hay en total?
El niño cuenta todas las canicas comenzandopor el conjunto de la izquierda
4, 5, 6, 7, 8, 9.Hay 9.
9
K9
12
Contar todo 3 4 7 8 1 2 5 6 1 2...
• En un primer momento el niño intenta representar los dos sumandos con los dedos de sus manos.
/ / / / / / / / / / / / ! • Como no le alcanzan, recurre a representar los
sumandos a través de rayitas en el papel. No me alcanzan No sé los dedos
• También puede ser incapaz de resolver la situación planteada.
Contar hacia delante
8 10 11 12
9
• El niño dice la palabra que representa al primer
sumando y sigue la cuenta hacia delante auxiliándose
de los dedos.
Conteo de grupos Cuando las colecciones son grandes, por ejemplo, de 33 elementos, contarlas de uno
en uno implica un mayor esfuerzo, mayor tiempo y hay más posibilidades de tener un
error. Por esto, es conveniente formar grupos, contar éstos como nuevas unidades, y
los objetos restantes como unidades sueltas. Sin embargo, cuando se le presentan a
los niños varios grupos de diez objetos cada uno junto con algunos objetos sueltos y se
les pide que digan la cantidad total de objetos, se pueden encontrar, generalmente, tres
tipos de respuestas:
K
10
K K
2030
KKK
31 32 33
Conteo por dieces y unos
K
1
K K
23…30
KKK
31 32 33
Conteo por unidades de diez y unos
KKK KKK
31 32 33
KK
1,2,3,4,5...
Conteo de uno en uno
N I
I
13
Es muy probable que estos tipos de conteo se reflejen en diferentes
procedimientos de solución a situaciones de adición y substracción. Mientras que los
niños que cuentan por grupos desarrollan procedimientos más eficaces, los métodos
empleados por los niños que cuentan de uno en uno son menos poderosos. Obsérvese
los procedimientos de solución de dos niños ante una misma situación.
Juan tiene 28 canicas y jugando con sus amigos ganó 13 canicas más ¿Cuántas
canicas tiene ahora?
Aunque ambos procedimientos desembocan en el resultado correcto, en el de la
izquierda se advierte un manejo adecuado de los grupos de diez, tanto en la
representación de las cantidades como en la acción de agrupar diez cubos para formar
una barra y posteriormente contar éstas como grupos de diez. En cambio, en la
ejecución de la derecha se aprecia la imposibilidad de representar las cantidades por
grupos de diez y unidades sueltas. El niño representa 28 y 13 cubos respectivamente,
los junta y los cuenta de uno en uno para llegar al resultado.
2 8
1 3+
2 8
1 3+
1
1
2 8
1 3+
2 8
1 3+
4 1
2 8
1 3+
4 1
1
14
Estimación La estimación es otro proceso de cuantificación que se usa cuando los conjuntos son
grandes y se solicita sólo una respuesta aproximada a la pregunta sobre la
numerosidad de la colección; es decir, cuando no es necesario dar una respuesta
exacta a la pregunta de ¿cuántos elementos hay en una colección?
Fomentar el uso de la estimación en los niños ayuda a que éstos desarrollen
mayor flexibilidad en su pensamiento numérico y a que exploren las distintas relaciones
entre los números.
15
Procesos de comparación, agrupamiento y relación parte parte todo
Los procesos de cuantificación, en especial los de conteo, juegan un papel
preponderante en la construcción gradual de los conocimientos y competencias
aritméticas de los niños. Sin embargo, se cree que basta con incluir en el currículum
actividades que fomenten estos procesos para pasar, enseguida, a la enseñanza de los
procedimientos de resolución de la adición y la substracción. Este enfoque ha sido
señalado como un salto enorme y prematuro (Van de Walle, 1990, p. 71) en el que se
pasa por alto el hecho de que “los niños requieren tiempo con actividades diseñadas
para ayudarles a construir una variedad de relaciones numéricas” (Van de Walle &
Watkins, 1993, p. 128).
Por lo anterior, es conveniente favorecer la construcción de los distintos procesos
de comparación, de agrupamiento y de parte parte todo, en el entendido de que éstos
permitirán enriquecer el pensamiento numérico del niño y efectuar procedimientos más
elaborados para resolver los distintos tipos de problemas aritméticos.
Procesos de comparación
Los niños desde pequeños comienzan a establecer comparaciones entre diferentes
colecciones; aún sin saber contar pueden reconocer si una colección tiene más
elementos que otra. Cuando las colecciones son mayores, generalmente el conteo es el
procedimiento que les permite llevar a cabo la comparación. De esta manera, el que los
niños tengan un buen dominio de las relaciones mayor, menor e igual que, les permite
resolver situaciones de cuantificación relativa, es decir, situaciones en las que se tiene
que determinar cuál de dos colecciones tiene más o menos elementos o si ambas
tienen el mismo número de elementos.
Procesos de comparación
Procesos de agrupamiento
Relación parte parte todo
16
Por ejemplo, en el libro de texto
gratuito de matemáticas para primer
grado aparece la siguiente situación en
la que el niño tiene que determinar cuál
de las dos colecciones tiene más
elementos.
Posteriormente, las situaciones
que se plantean a los niños son más
complejas. En la siguiente ilustración,
tomada del mismo libro, las cantidades
a comparar aparecen representadas
de dos maneras diferentes: a través de
la representación pictórica de objetos y
de la representación numérica.
Más adelante, en la misma
lección del libro, se solicita la
comparación, únicamente, de los
números escritos.
Una situación más compleja
consiste en comparar no sólo si una
colección es mayor o menor que otra
sino por cuánto lo es. Tal es el caso de
la situación que se presenta en el libro
para segundo año.
Para resolver las situaciones anteriores es necesario que los niños comprendan
que los números pueden relacionarse entre sí de acuerdo con su tamaño o magnitud.
En otras palabras, pueden compararse para saber cuál de dos o más números es
mayor o menor que otro. Con el tiempo, esto les ayudará para comparar números de
más de dos dígitos y para comprobar que los resultados de sus operaciones deben
17
mantenerse dentro de un rango que tenga sentido.
Procesos de agrupamiento
Para comprender los números de dos o más dígitos (multidigitales) es importante que el
niño piense en éstos como entidades formadas por distintos grupos o tipos de
unidades. En nuestros sistemas de numeración, oral y escrito, diez unidades de un
orden forman una nueva unidad de un orden inmediato superior. Diez unidades simples
forman un grupo de diez al que se le denomina decena; diez de éstas forman un nuevo
grupo o unidad llamada centena y así sucesivamente. En este sentido, un número como
243 puede verse como un número formado por 243 unidades simples, pero también
como dos grupos de cien, cuatro grupos de diez y tres unidades simples.
Al operar con este tipo de números, muchas veces se tiene que agrupar,
reagrupar y realizar intercambios. Para ayudar a los niños a comprender estos procesos
se hace uso de diversos materiales entre los que se distinguen los no agrupados de los
agrupados, y dentro de estos últimos, los proporcionales y no proporcionales.
Los materiales no agrupados son objetos sueltos
con los que se pueden formar grupos. En el libro de
matemáticas de segundo grado se utilizan ilustraciones de
mangos sueltos, bolsas de diez y cajas de cien mangos.
Lo mismo se puede hacer con palitos u otros objetos como
frijoles, piedritas, botones, etc.
En los materiales preagrupados proporcionales, los
grupos ya están formados y cada pieza es diez veces
mayor que la anterior. Los bloques de base diez son un
buen ejemplo de estos materiales. Un cubo es una unidad
simple, una barra está formada por diez cubos y una
tableta por diez barras.
18
A diferencia de los bloques de base diez, en los
materiales preagrupados no proporcionales los
agrupamientos no guardan una relación con el tamaño, más
bien el valor del agrupamiento asignado a cada objeto es
arbitrario. Tal es el caso de las fichas de colores y de los
billetes y monedas.
1 10 100
$ 1 $ 10 $ 100
El uso adecuado de los materiales descritos es de mucha utilidad para fomentar
la comprensión de las características de los sistemas de numeración, de la naturaleza
de los números multidigitales y del procedimiento que se lleva a cabo al resolver
situaciones de adición y substracción.
Relación parte parte todo
Al igual que en los procesos de comparación y los de agrupamiento, la comprensión de
la relación parte parte todo promueve en el niño una mayor flexibilidad en su
pensamiento numérico. Cuando los niños saben que un número como el siete puede
formarse a través de números más pequeños como el cinco y el dos o el tres y el
cuatro, etc., conciben a un número como un todo que puede estar constituido por partes
o que puede estar compuesto por números más pequeños.
La comprensión de esta relación entre el todo y sus partes ha sido caracterizada
como un logro conceptual de los primeros grados escolares (Resnick, 1983) que es de
gran utilidad para resolver situaciones de adición y substracción, a la vez que es una
base sólida para la comprensión del valor posicional al interpretar, por ejemplo a los
números de dos dígitos, como entidades compuestas por una parte correspondiente a
los grupos de diez o decenas y otra relativa a las unidades simples.
En el ejemplo que se muestra a continuación puede apreciarse con claridad la
comprensión y aplicación de la relación parte parte todo en la resolución de un
problema.
19
Problema: Juan tiene 24 estampas y Pablo tiene 32 estampas. ¿Cuántas estampas tienen entre los dos?
El niño contesta: “Veinte y treinta son…cincuenta. Cincuenta y cuatro, cincuenta y cinco, cincuenta y seis. Tienen cincuenta y seis estampas”
A partir de la respuesta del niño puede inferirse que para resolver el problema
éste llevó a cabo una partición de las cantidades; descompuso el 24 en dos partes: 20 y
4, y el 32 en 30 y 2. Este manejo de los números fue hecho con la intención de facilitar
la resolución del problema.
De lo dicho anteriormente resalta la importancia de los procesos aquí revisados.
Junto con los procesos de cuantificación, los de comparación, agrupamiento y la
relación parte parte todo constituyen herramientas conceptuales útiles en la resolución
de distintas situaciones y problemas aritméticos.
20
El sistema de numeración verbal
Los sistemas de numeración verbales poseen dos principios bajo los cuales norman su
funcionamiento: sucesión y agrupamiento. El primero consiste en que las palabras
numéricas guardan un orden determinado; por ejemplo, al enunciar la serie numérica
podemos decir “3, 4, 5,…” pero no “5, 3, 4”. Para poder decir números que denotan
grandes cantidades es necesario hacer agrupamientos y emplear palabras para los
mismos; por ejemplo, al decir “tres mil cuatrocientos” las palabra mil y la terminación
cientos nos están indicando la existencia de grupos de mil y de cien elementos
respectivamente.
Uno de los primeros aspectos que el niño aprende de los números es el sistema
de numeración de su idioma. Sin embargo, este aprendizaje se dificulta por la
complejidad e irregularidades de éste, lo que lleva al niño a un esfuerzo memorístico
más que al reconocimiento de un patrón sencillo de aprender (Fuson, 1988).
Sistemas de numeración verbal de valor de nombre Existen diferentes sistemas de numeración verbal dependiendo del idioma que se trate.
Cada uno de ellos presenta particularidades que inciden no sólo en el aprendizaje del
mismo sino en la forma en que se construyen diversos conceptos numéricos. Una forma
útil de aproximarse a estos sistemas es a través de su clasificación en términos de la
Sistemas de numeración verbal de valor de nombre El sistema de numeración verbal del idioma coreano El sistema de numeración verbal del idioma español
El segmento de los primeros nueve grupos de mil y de los grupos de cien El segmento de los grupos de diez La escritura del sistema de numeración verbal
El sistema de numeración verbal y sus implicaciones en la construcción de la serie numérica oral
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medida en que cumplan las características de un sistema de valor de nombre en el que
“las palabras del uno al nueve se asocian con palabras que nombran valores más
grandes” (Fuson, 1992). Dicho de otra manera: “En un sistema de palabras numéricas
de valor de nombre, las multiunidades1 están explícitamente enunciadas. Una palabra
numérica dice cuánto hay de una multiunidad determinada, y esa palabra numérica es
seguida por una palabra de valor multiunitario” (Fuson, 1990, p. 346).
Fuson y Kwon (1991, 1992) han estudiado las características de los sistemas
numéricos orales chino y coreano que en su totalidad son sistemas de valor de nombre
y los han contrastado con sistemas irregulares de origen europeo:
El chino y otros idiomas asiáticos tienen sistemas regulares de valor de nombre para las
palabras numéricas, donde una palabra numérica es dicha y después es nombrado el valor de esa
palabra numérica (cinco miles siete cientos dos dieces seis). Muchos idiomas europeos tienen
sistemas regulares de valor de nombre para valores de 100 a 1000, pero son irregulares, de
diferentes maneras, debajo del 100. (Fuson y Kwon, 1991, p. 211)
El sistema de numeración verbal del idioma coreano
El sistema de numeración verbal coreano es un sistema regular de valor de nombre.
Una de las ventajas de este tipo de sistemas es que con una combinación de pocas
palabras se puede generar grandes segmentos de la serie numérica oral. En la
siguiente figura se muestran las palabras utilizadas para los primeros diez números y
para el número 100. A través de combinaciones de estas once palabras se puede llegar
al número 999.
El número 87 se dice “pal ship chil”. Lo que equivale
a decir: “ocho grupos de diez y siete unidades u ocho
dieces y siete unos”. El número 953 se dice “coo bak oh
ship sahm” que significa “nueve grupos de cien, cinco
grupos de diez y tres unidades o también nueve cientos,
cinco dieces y tres unos”.
1 Fuson (1990, p. 343) define a los números multiunitarios como “números enteros compuestos de uno o
más tipos de multiunidades (colecciones de unidades simples) y posiblemente de algunas unidades
simples.”
1 Il 6 Youk
2 Ee 7 Chil
3 Sahm 8 Pal
4 Sah 9 Coo
5 Oh 10 Ship
100 Bak
22
Tal vez la mayor ventaja de este tipo de sistemas (regulares de valor de nombre)
es que, de manera explícita, son nombrados los valores de las palabras numéricas.
Para apreciar esto hay que advertir la importancia de las palabras numéricas de valor
multiunitario. Obsérvese el siguiente ejemplo para el número 953:
coo bak oh ship sahm
nueve cientos cinco dieces tres
Las palabras “bak” y “ship” funcionan como palabras numéricas de valor
multiunitario y se asocian con la palabra que le antecede para asignarle el valor
correspondiente. En este caso la palabra “bak” unida a la palabra “coo” nos informa que
hay nueve cientos o nueve grupos de cien; la palabra “ship” antecedida de la palabra
“oh” nos indica la existencia de cinco dieces o cinco grupos de diez.
El sistema de numeración verbal del idioma español
Un análisis de nuestro sistema de numeración verbal en términos de qué tanto cumple
con las características de un sistema regular de valor de nombre permite apreciar
diferentes irregularidades que es necesario tener presente. Retomando la última parte
de la cita de Fuson y Kwon (1991, p. 211) donde afirman que “muchos idiomas
europeos tienen sistemas regulares de valor de nombre para valores de 100 a 1000,
pero son irregulares, de diferentes maneras, debajo del 100” pueden formularse dos
interrogantes: ¿Nuestro sistema de numeración verbal es un sistema regular de valor
de nombre para valores de 100 a 1000? y ¿cuáles son las irregularidades para valores
debajo del 100?. A continuación se intentará responder a estas preguntas.
El segmento de los primeros nueve grupos de mil y de los grupos de cien Una comparación del sistema de numeración verbal del idioma inglés con el sistema del
idioma español permite percibir las peculiaridades de éste último. El primero es un
sistema regular de valor de nombre para los valores de 100 a 1000. Para formar los
números de este rango basta combinar las primeras nueve palabras numéricas con
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las palabras de valor multiunitario thousand (mil) y hundred (cien) tal y como puede
apreciarse en la parte izquierda de la siguiente figura.
En el caso del español se puede apreciar lo siguiente:
• En los grupos de mil el sistema es de valor de nombre con excepción del primer
grupo de mil ya que, aunque se puede decir un mil, la mayoría de las veces se omite
la palabra que denota uno.
• En el grupo de los cientos se encuentran más irregularidades. Tal es el caso de las
palabras quinientos, setecientos y novecientos. Bien podría decirse, siguiendo la
regularidad en el segmento: cincocientos, sietecientos, nuevecientos. También, a
semejanza del primer grupo de mil, se dice cien en lugar de un ciento.
• Es interesante advertir que las palabras de valor multiunitario mil y cientos son
diferentes en el sentido de que la primera está en singular y la segunda en plural,
dando ésta última la idea de grupos. Es posible suponer que cuando se dice
ochocientos sea más fácil pensar en ocho grupos de cien que en ocho grupos de mil
cuando decimos ocho mil.
El segmento de los grupos de diez
Si el segmento anterior puede caracterizarse como un segmento regular de valor
de nombre a pesar de algunas excepciones. Este segmento (el de los números de dos
cifras) es en su mayor parte irregular con algunas excepciones de regularidad.
Inglés Grupos de mil Grupos de cien one thousand one hundred two thousand two hundred three thousand three hundred four thousand four hundred five thousand five hundred six thousand six hundred seven thousand seven hundred eight thousand eight hundred nine thousand nine hundred
Español Grupos de mil
Grupos de cien
mil cien dos mil doscientos tres mil trescientos cuatro mil cuatrocientos cinco mil quinientos seis mil seiscientos siete mil setecientos ocho mil ochocientos nueve mil novecientos
24
Al igual que en el inglés y en otros idiomas europeos, el sistema de palabras
numéricas del español no muestra con claridad, en el segmento del 11 al 99, un patrón
que permita saber cuántos grupos de diez y unidades hay en un número determinado.
Es importante advertir que:
• A diferencia, por ejemplo, del coreano, en el que las diez
primeras palabras se combinan de una manera regular
para formar los números del 10 al 99, en el español se
recurre a un número mayor de palabras.
• El nombre de las decenas no refleja los agrupamientos de
diez. Por ejemplo, cuando se dice, “veintinueve” no hay
una pista o señalamiento que le permita pensar al niño
que dicho número corresponde a dos grupos de diez y a nueve unidades simples. Lo
mismo sucede con el resto de las decenas.
• En el intervalo del once al diecinueve, en un principio se tienen palabras arbitrarias:
once, doce, trece, catorce, quince. A partir del dieciséis y hasta el diecinueve se
encuentra una regularidad más cercana a la estructura del sistema. Para los niños
sería más fácil que la primera parte del segmento estuviese construida de la misma
manera que la segunda. De hecho, muchos niños, al inicio del aprendizaje de la
serie, tratan la primera parte de este intervalo bajo la regla que norma al segundo
(dicen “diez y uno” en lugar de once, “diez y dos” en lugar de doce, etc.).
La escritura del sistema de numeración verbal Es bien sabido que uno de los propósitos escolares es la escritura de las palabras
numéricas. En este sentido, conviene preguntarse sobre la manera en que dichas
palabras son escritas y su relación con la imagen que los niños construyen de las
mismas. En específico, es interesante averiguar si la escritura de estas palabras
conlleva al niño a concebir a un número de dos o más cifras como una colección de
unidades o formado de grupos (de diez, cientos o miles) y unidades simples.
Grupos de diez
Intervalo del 11 al 19
diez once veinte doce treinta trece cuarenta catorce cincuenta quince sesenta diez y seis setenta diez y siete ochenta diez y ocho noventa diez y nueve
25
Intervalo del 11 al 19
Del 16 al 19 se puede escribir de dos maneras
diferentes. Es posible pensar que la primera
favorecería un visión unitaria de estos números a
diferencia de la segunda donde se podría concebir,
por ejemplo, al 16 como un número formado por un
grupo de diez y seis unidades.
Intervalo del 21 al 99
Del 21 al 29 se escribe una sola palabra para cada
número. Del 31 al 99 se escriben dos palabras
conectadas por la conjunción y, con lo que se hace
una separación entre el grupo de las decenas y las
unidades. Aunque hubiese sido deseable que tanto verbalmente como por escrito se
pudiese decir “cinco dieces y tres” en lugar de “cincuenta y tres” ésta última se antoja
más adecuada que unir en una sola palabra a los grupos y a las unidades como es el
caso de los números entre 21 y 29.
El sistema de numeración verbal y sus implicaciones en la construcción de la serie numérica oral
Como se ha visto anteriormente, la estructura de nuestro sistema de numeración verbal
presenta diversas particularidades que conducen a que su aprendizaje sea más de tipo
memorístico. Muchos de los errores que se presentan en su aprendizaje se deben a las
irregularidades en sus diferentes segmentos.
Aunque puede afirmarse que existe cierto patrón en el sentido de que las
primeras quince palabras son, en cierta manera arbitrarias y que a partir del dieciséis,
los números se forman en base a una combinación de la decena correspondiente y los
números del uno al nueve, es conveniente aseverar que dicho patrón no refleja el hecho
de que la serie numérica es una serie ordenada compuesta de diferentes grupos (miles,
cientos, dieces) y de unidades simples. En gran parte esto se debe a que no son
once dieciséis o diez y seis doce diecisiete o diez y siete trece dieciocho diez y ocho catorce diecinueve o diez y
nueve quince
veintiuno treinta y uno veintidós treinta y dos veinticuatro cincuenta y cuatro veintiocho setenta y ocho veintinueve noventa y nueve
26
nombrados directamente lo valores de los dieces y las unidades (en los números de dos
dígitos) y a las irregularidades que se presentan en los segmentos restantes. Por
ejemplo, al decir “once” y no “diez y uno” se pierde la idea de que dicho número está
formado por un grupo de diez y una unidad; el niño no tiene ninguna indicación en ese
sentido. Lo mismo sucede con los restantes grupos de diez; al decir “veintitrés” el prefijo
veinti no proporciona al niño ninguna información de que su significado equivale a dos
grupos de diez.
De esta manera son explicables los errores que cometen los niños en la
enunciación de la serie numérica oral: en el intervalo del 11 al 15; en el orden de las
decenas (ya que dicho orden puede aparecer al niño arbitrario); la confusión entre
sesenta y setenta, etcétera.
27
El sistema de numeración escrito
Peterson y Hashiasaki (1988) mencionan que “por un sistema de numeración
entendemos un conjunto de símbolos que se usa de acuerdo con algún método para
asignar numerales, o símbolos numéricos, a los números” (p. 16). El método al que se
hace alusión varía dependiendo de los principios que rigen a un determinado sistema.
Características del sistema decimal de numeración escrito A diferencia de la variedad de los sistemas de numeración verbales, existe un sistema
de numeración escrito que es universalmente aceptado: el indo arábigo. Este contiene
las siguientes características:
• Utiliza diez símbolos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. El último sirve para indicar la ausencia
de valor en el lugar correspondiente. Por ejemplo: en el número 302, el cero indica
que no hay decenas.
• Es de base 10, lo que significa que diez unidades de un orden forman una unidad del
orden inmediato superior. Si agrupamos 10 unidades obtenemos una decena, si
agrupamos diez decenas obtenemos una centena y así sucesivamente.
• Es de valor posicional ya que el valor de un dígito2 depende de la posición en la que
se encuentre dentro de un número. En el número 444, el primer cuatro que aparece a
2 Entenderemos por número el símbolo o grupos de símbolos que representan a una cantidad, por
ejemplo: 3421 y por dígito o cifra a cada uno de los símbolos que componen a un número. Así, el 3, el 4,
el 2 y el 1 constituyen, cada uno de ellos, un dígito o una cifra.
Características del sistema decimal de numeración escrito La comprensión del sistema de numeración por parte de los niños
28
la izquierda representa a cuatro grupos de 100 unidades, el cuatro de en medio
representa a cuatro grupos de 10 y el último cuatro representa a cuatro unidades sin
agrupar. Así, un mismo símbolo (en este caso “4”) representa valores diferentes
dependiendo de la posición en que se encuentre al interior del número.
• Se rige bajo un principio multiplicativo en el que cada dígito o cifra que aparece en un
número obtiene su valor relativo al multiplicarla por el valor asignado a la posición
que ocupa dentro del número. Por ejemplo, en el número 342, el valor del 3 es 300
porque el valor asignado a la posición en que aparece es de 100, por tanto 3 veces
100 o 3 x 100 es igual a 300. De igual manera, el 4 se multiplica por 10 ya que está
en el lugar de las decenas y el 2 se multiplica por 1 ya que ocupa el lugar de las
unidades.
• Se norma, también, por un principio aditivo que permite distinguir a un número por la
suma de los valores relativos de los dígitos que lo componen. En el ejemplo anterior:
342= 300 + 40 + 2.
• Mantiene un orden en el que el valor de las posiciones se incrementa de derecha a
izquierda. Por ejemplo, en el número 4598, el 4 tiene un mayor valor que los
restantes dígitos debido a que su posición está más a la izquierda que los otros.
La comprensión del sistema de numeración por parte de los niños Un desempeño eficiente en el empleo de los números de dos o más dígitos depende,
en gran medida, de una comprensión adecuada del sistema de numeración y por tanto
de la noción de valor posicional. Sin embargo, las características de dicho sistema, a
pesar de que permiten una mayor economía en la representación de los números y sus
operaciones, no proporcionan el suficiente apoyo para comprender su funcionamiento.
Anteriormente se ha mencionado que en los sistemas de numeración verbal de
valor de nombre (como el coreano y los segmentos de mil en adelante en algunos
europeos) los valores multiunitarios son nombrados de forma explícita. Cuando decimos
“cuatro mil ochocientos tres”, la palabra mil y la terminación cientos son nombradas lo
cual nos proporciona una idea clara del número que se trata, es decir, hay cuatro
grupos de mil, ocho de cien y tres unidades sin agrupar. Si al hablar no aparecieran la
29
palabra mil y la terminación cientos, si sólo dijéramos “cuatro ocho tres” nos sería más
difícil identificar de qué número se trata y probablemente se tendría que adoptar una
convención, tal vez de aparición temporal, para asignarle valores a dichas palabras.
En contraposición a los sistemas de numeración verbal de valor de nombre, en el
sistema de numeración escrito lo valores que se asignan a cada dígito no aparecen por
ningún lado, no hay indicio escrito que nos permita conocer estos valores. Derivamos
los valores de la posición que ocupan los dígitos dentro del número. Para ejemplificar lo
anterior comparemos dos formas en la que se podría escribir un número: con y sin
escritura de los valores asignados a cada dígito:
Sin escritura 9462
Con escritura 9M 4C 6D 2
Escribir un número de la segunda manera, es decir, indicando por escrito (M, C,
D) los valores que le corresponden a cada dígito nos permite tener una idea más clara
del valor asignado a cada uno de éstos. Sin embargo, no sería tan fácil realizar los
procedimientos de cálculo. Por el contrario, escribir los números como lo hacemos
actualmente, sin asignar por escrito los valores a los dígitos, si bien agiliza el cálculo, no
proporciona al niño ningún apoyo visual que le permita determinar los valores
correspondientes, éstos los tiene que inferir de una convención: la posición de los
dígitos al interior del número.
La interpretación que hacen los niños de los números de dos o más dígitos a los
que denominaremos números multidigitales refleja, en gran medida, la comprensión que
tienen del sistema de numeración escrito. Una primera concepción a la que Fuson
(1990) le ha denominado una representación concatenada concibe a los números de
dos dígitos como dos números de un solo dígito colocados uno al lado de otro. Por
ejemplo, en el número 22 el niño ve en el primer dígito a un 2 que tiene el mismo valor
que el 2 que está a su derecha. No considera que el dígito que aparece a la izquierda,
debido a la posición que ocupa, tiene un valor diferente al del segundo dígito. Esta
concepción da lugar a métodos incorrectos de solución de situaciones de adición y
substracción. Obsérvese como en el siguiente ejemplo la solución del niño consistió en
sumar todos los dígitos involucrados:
30
3 4
+
1 5
1 3
Se puede inferir, de esta ejecución, que para el niño no hay una diferencia, en
cuanto al valor asignado por la posición, entre los dígitos colocados a la izquierda y los
que aparecen a la derecha. No identifica al 3 como tres grupos de diez ni al 1 como un
grupo de diez. Al no hacerlo, usa los conocimientos que posee y suma todos los dígitos
sin importar la posición en que se encuentran.
Otra muestra de esta concepción se presenta cuando a un niño le pedimos que
cuente veinticinco fichas y que ponga el número por escrito. Hecho esto le solicitamos
que encierre en un círculo las fichas que le corresponden a cada dígito. Un buen
número de niños encierra cinco fichas y las hace corresponder al 5, posteriormente,
encierra dos fichas que asigna al 2 dejando fuera las 18 fichas restantes. Esta ejecución
indica que el niño concibe al 2 como un dígito al que le corresponden dos unidades y no
dos grupos de diez unidades (ver siguiente figura).
Como puede apreciarse, la representación concatenada de los números de dos
dígitos no es una herramienta conceptual que permita un manejo adecuado de estos
números. Por el contrario conduce a diversos errores al momento de realizar las
31
operaciones aritméticas. Por tanto, es necesario que se fomenten otras concepciones
de estos números que correspondan más a sus caracterís ticas. Lograr que, en el
ejemplo anterior, el niño conciba al 2 como compuesto por 20 fichas o aún más como
dos grupos de diez fichas cada uno incrementará su conocimiento del sistema de
numeración escrito y le permitirá resolver las operaciones aritméticas con mayor
efectividad.
32
Problemas verbales de adición y substracción I
La adición y la substracción han sido una de las preocupaciones centrales de los
maestros de los primeros grados de primaria. Tradicionalmente, su enseñanza se ha
caracterizado por un énfasis en los procedimientos de cálculo con la suposición de que,
una vez que el niño haya aprendido a resolver las operaciones básicas de suma y resta,
podrá solucionar problemas en los que se usan dichas operaciones.
Desafortunadamente, este enfoque ha demostrado diversas desventajas, algunas de
las cuales se presentan a continuación:
• El niño tiene que aprender de memoria una serie de pasos o rutinas que,
la mayoría de las veces, no tienen un significado para él. Por ejemplo,
cuando se le pide que resuelva una operación como la que aparece a la
izquierda se le dice que “7 y 5 son 12 , el 2 se pone abajo y el 1 se pone
arriba” o bien “el 2 se pone abajo porque allí van las unidades y el 1
arriba en el lugar de las decenas”. Estas indicaciones propician un aprendizaje
memorístico e impide que el niño obtenga algún sentido de las acciones que realiza y
de la forma en la que funciona el procedimiento para obtener el resultado.
• Una vez que se ha considerado que el niño ya puede resolver las operaciones y se
pasa a la solución de problemas, es frecuente escuchar al niño decir “¿qué hago?
sumo o resto” lo cual es una indicación de que, por más que un niño sepa resolver
adecuadamente las operaciones esto no es una garantía de que podrá resolver los
problemas que se le presenten debido, en gran medida, a que la solución de
problemas implica la comprensión de otro tipo de relaciones que van más allá de la
eficiencia en el cálculo de las operaciones.
1 2 5+ 4 7 8 2
Problemas verbales de adición y substracción
Estrategias de solución
33
• Al no ubicar a las operaciones en un contexto que tenga sentido para el
niño las respuestas de éste pueden ser poco concordantes con la
situación planteada. Por ejemplo, un niño dio la respuesta de 712 sin
percatarse de que las cantidades a sumar no son tan grandes para dar
un resultado de tal magnitud. Sin embargo, el no veía contradicción
alguna.
Debido a las complicaciones de este enfoque de enseñanza basado,
predominantemente, en la enseñanza de los procedimientos de cálculo de las
operaciones, en los últimos años se ha resaltado la importancia de plantear desde el
inicio de la enseñanza diversos tipos de problemas de adición y substracción. De
hecho, muchos niños antes de ingresar a la escuela son capaces de resolver algunos
problemas a través de estrategias informales que hacen uso de objetos o de los dedos.
Este cambio de óptica en la enseñanza de la adición y substracción permite que los
niños aprendan tomando como base sus conocimientos anteriores, que le encuentren
sentido a las acciones que llevan a cabo y que a través del contacto con diferentes tipos
de problemas perfeccionen sus estrategias de solución.
Plantear la enseñanza de la adición y la substracción a través de la solución de
problemas implica considerar dos aspectos importantes: los tipos de problemas y las
estrategias que usan los niños para resolverlos.
Problemas verbales de adición y substracción
Si bien existen diferentes clasificaciones de los problemas, aquí se distinguen cuatro
tipos: combinación, cambio aumentando, cambio disminuyendo, y comparación.
Dependiendo de cuál sea la cantidad desconocida dentro de cada tipo, se pueden dar
once tipos de problemas que se ejemplifican a continuación.
Problemas de Combinación
Todo desconocido Parte desconocida Marta tiene 4 dulces. Juan tiene 8 dulces. ¿Cuántos dulces tienen entre los dos?
Marta y Juan tienen 12 dulces. Cuatro dulces son de Marta. ¿Cuántos dulces son de Juan?
2 5+
4 7 712
34
Problemas de cambio
Cambio aumentando Cambio disminuyendo Resultado desconocido
Marta tenía 4 dulces. Juan le dio 8 dulces más. ¿Cuántos dulces tiene ahora Marta?
Marta tenía 12 dulces. Le dio 4 dulces a Juan. ¿Con cuántos dulces se quedó Marta?
Cambio desconocido
Marta tenía 4 dulces. Juan le dio algunos dulces más. Ahora Marta tiene 12 dulces. ¿Cuántos dulces le dio Juan a Marta?
Marta tenía 12 dulces. Ella le dio algunos dulces a Juan. Ahora Marta tiene 4 dulces. ¿Cuántos dulces le dio Marta a Juan?
Comienzo desconocido
Marta tenía algunos dulces. Juan le dio 4 dulces más. Ahora Marta tiene 12 dulces. ¿Cuántos dulces tenía Marta al principio?
Marta tenía algunos dulces. Ella le dio 4 dulces a Juan. Ahora Marta tiene 8 dulces. ¿Cuántos dulces tenía Marta al principio?
Problemas de Comparación
Diferencia desconocida Grande desconocida Pequeña desconocida Marta tiene 12 dulces. Juan tiene 4 dulces. ¿Cuántos dulces más tiene Marta que Juan?
Marta tiene 4 dulces. Juan tiene 8 dulces más que Marta. ¿Cuántos dulces tiene Juan?
Marta tiene 12 dulces. Ella tiene 4 dulces más que Juan. ¿Cuántos dulces tiene Juan?
Estrategias de solución
Las estrategias que usan los niños para resolver los problemas anteriores pueden
clasificarse en tres categorías: modelado directo, conteo y hechos numéricos. En cada
una de éstas se agrupan distintas estrategias.
Modelado directo Conteo Hechos numéricos • Contar todo • Separación • Añadir hacia
delante • Emparejamiento
• Hacia delante desde el primer sumando
• Hacia delante desde el sumando mayor
• Hacia delante a • Hacia atrás 1 • Hacia atrás 2
• Hechos básicos • Hechos derivados
A continuación se muestran algunos ejemplos de estas estrategias.
35
Modelado directo En las cuatro estrategias de modelado directo se representan, con objetos o las manos,
las cantidades que aparecen en el problema. Los niños modelan las acciones o
relaciones que se describen en los problemas.
Contar todo Se representan, con objetos o con los dedos, cada una de las cantidades; después se
cuentan los dos conjuntos comenzando por el uno.
Ejemplo: Marta tenía 4 dulces. Juan le dio 8 dulces más. ¿Cuántos dulces tiene ahora
Marta?
1 2 3 4 5 6 7 10 9 11 8
12
Construye una colección
Construye una segunda colección
Junta las dos colecciones
Cuenta cada objeto y dice: “Tiene doce”
Separación Al principio se representa la cantidad más grande; después, de ésta es removida la
cantidad más pequeña.
Ejemplo: Marta tenía 12 dulces. Le dio 4 dulces a Juan. ¿Con cuántos dulces se quedó
Marta?
1 2 3 4 5 6 8 7
Construye una colección de 12 objetos
Separa 4 objetos de la colección
Cuenta los objetos restantes y dice: “Se quedó con ocho”
36
Añadir hacia delante
Se representa la cantidad inicial; después se le añaden los objetos necesarios hasta
tener una colección igual al total dado en el problema. El total de los objetos que se
añadieron constituye la respuesta al problema.
Ejemplo: Marta tenía 4 dulces. Juan le dio algunos dulces más. Ahora Marta tiene 12
dulces. Cuántos dulces le dio Juan a Marta?
5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 7 8
Construye una colección en hilera con 4 objetos
Añade ocho objetos a la colección, comenzado a contarlos a partir del cinco.
Cuenta de nuevo los objetos añadidos a partir del uno y dice: “Le dio ocho”
Emparejamiento Al inicio se construye una colección; después se construye la segunda estableciendo
una correspondencia uno a uno con algunos de los elementos de la primera. El número
de objetos que no quedaron en correspondencia es la respuesta al problema.
Ejemplo: Marta tiene 12 dulces. Juan tiene 4 dulces. ¿Cuántos dulces más tiene Marta
que Juan?
1 2 3 4 5 6 7 8
Construye una colección en hilera con 12 objetos
Debajo de la hilera construye una colección de cuatro objetos
Cuenta los objetos de la hilera que no están emparejados y dice: “Tiene ocho más”.
37
Conteo En las siguientes estrategias, a diferencia de las anteriores, ya no es necesario
representar las cantidades involucradas en el problema. Cuando se hace uso de los
dedos o de objetos, éstos sirven para llevar el registro del número de pasos en la
secuencia del conteo.
Contar hacia delante desde el primer número El niño enuncia el número del primer sumando; después cuenta a partir del segundo
sumando, auxiliándose con objetos o dedos para saber el número de éstos que
componen el segundo sumando.
Ejemplo: Marta tenía 4 dulces. Juan le dio 8 dulces más. ¿Cuántos dulces tiene ahora
Marta?
11 5 8 10 6 7 9 12
Dice: “cuatro” Cuenta hacia delante apoyándose con objetos. Al final dice: “Tiene doce”
Contar hacia delante desde el número más grande Esta estrategia es similar a la anterior, la diferencia consiste en que el proceso se inicia
desde el número mayor.
Ejemplo: Marta tiene 4 dulces. Juan tiene 8 dulces. ¿Cuántos dulces tienen entre los
dos?
9 10 11 12
Dice: “ocho” Cuenta hacia delante, apoyándose con sus dedos,
hasta el doce. Al final dice: “Tienen doce”
Cuatro
Ocho
38
Contar hacia delante a Es importante mencionar que para resolver los problemas de cambio aumentando con
cambio desconocido y los de combinación parte desconocida, los niños emplean las
estrategias de conteo hacia delante sólo que la respuesta no es el número dicho al final
de la secuencia del conteo sino el número de pasos en dicha secuencia.
Ejemplo: Marta tenía 8 dulces. Juan le dio algunos dulces más. Ahora Marta tiene 12
dulces. ¿Cuántos dulces le dio Juan a Marta?
9 10 11 12
1 2 3 4
Dice: “ocho” Cuenta hacia delante
ayudándose con los dedos de su mano hasta llegar al doce.
Cuenta los dedos levantados (también puede hacer un reconocimiento súbito de la cantidad) y dice: “Le dio cuatro dulces”
Contar hacia atrás 1 En esta estrategia el niño comienza enunciando el número más grande; después, a
partir de dicho número cuenta hacia atrás hasta completar el equivalente al segundo
número. La última palabra numérica enunciada es la respuesta al problema.
Ejemplo: Marta tenía 12 dulces. Le dio 4 dulces a Juan. ¿Con cuántos dulces se quedó
Marta?
11 10 9 8
Dice: “doce” Cuenta hacia atrás auxiliándose con los
dedos de su mano. Al final dice “Se quedó con ocho dulces”.
Doce
Ocho
39
Contar hacia atrás 2 Esta estrategia es semejante a la anterior, la diferencia entre una y otra es que en ésta
la respuesta es el número de palabras numéricas dichas, mientras que en la anterior la
respuesta es la última palabra pronunciada.
Ejemplo: Marta tenía 12 dulces. Ella le dio algunos dulces a Juan. Ahora Marta tiene 8
dulces. ¿Cuántos dulces le dio Marta a Juan?
12 11 10 9
1 2 3 4
Dice: “doce” Cuenta hacia atrás
ayudándose con los dedos de su mano hasta llegar al nueve.
Cuenta los dedos levantados (también puede hacer un reconocimiento súbito de la cantidad) y dice: “Le dio cuatro dulces”
Hechos numéricos Con el tiempo los niños aprenden ciertos hechos numéricos básicos. Sin necesidad de
representar o de contar, saben que 5 + 5 = 10 o que 4 + 4 = 8. A partir de este
conocimiento desarrollan los hechos numéricos derivados que parten de los básicos
para resolver algunas situaciones de adición. Este conocimiento lo emplean los niños
para resolver diversos problemas.
Ejemplo: Juan tiene 8 dulces y su hermana le regala 4 dulces más. ¿Cuántos dulces
tiene ahora Juan?
Parte de un hecho conocido Aplica un hecho derivado
Doce
Ocho y dos son diez Más dos…son doce
40
Problemas verbales de adición y substracción II
Cuando los problemas verbales de adición y substracción se plantean con números
compuestos por dos o más dígitos los niños enfrentan una nueva complejidad que se
deriva de las características de este tipo de números. Aunque la base para resolver los
problemas está dada por las estrategias empleadas en la resolución de los problemas
con cantidades de un dígito, estos procedimientos, pronto, se vuelven insuficientes o
poco eficaces.
Concepciones de los números multidigitales
Como se ha visto en secciones anteriores, en un número de dos o más dígitos el valor
de cada uno de ellos está dado por la posición en que se encuentran dentro del número
y por el tipo de agrupamiento asignado a dicha posición. De esta manera, en un número
como el 342, el 3 representa a tres grupos de cien, el 4 a cuatro grupos de diez y el 2 a
dos unidades simples o sin agrupar.
Es importante que el niño comprenda que, en este caso, el 3 y el 4 representan
no a tres y cuatro unidades simples sino a tres grupos formados por cien y cuatro
grupos de diez unidades simples respectivamente. De igual manera es conveniente que
el niño sea capaz de contar estos grupos como unidades de un nuevo tipo.
Los niños utilizan distintas concepciones para darle un significado a los números
multidigitales. Cada una de éstas implica una relación específica entre las palabras
numéricas, los numerales escritos y las cantidades y tienen su base en las
concepciones que tienen los niños de los números de un solo dígito 3.
3 La descripción de las concepciones y los esquemas que sirven para representar las relaciones que se establecen entre las palabras numéricas, las cantidades y
las marcas escritas se basan en Fuson et al. (1997) y Fuson, Smith, & Lo Cicero (1997).
Concepciones de los números multidigitales
Estrategias de resolución de problemas con
números multidigitales
41
En una primera concepción, incorrecta, de los
números multidigitales se les concibe como si fueran dígitos
individuales que están juntos unos al lado de los otros. Por
ejemplo, el número 43 se concibe como un 4 y un 3. Es
interesante advertir como un número de dos cifras se
concibe como dos números independientes de un solo
dígito.
Una segunda manera de ver a estos números es
como un todo. Las partes que componen a las palabras
numéricas y los dígitos de numerales escritos no tienen
un referente de cantidad para sí mismos. Así, por
ejemplo, el 43 se concibe como un conjunto de 43
elementos.
En la siguiente concepción se hace una separación
entre la parte de la palabra numérica que corresponde a las
decenas y la que concierne a las unidades para relacionar
cada una de éstas con la cantidad de referencia. Por
ejemplo, en el número 43 la palabra cuarenta se relaciona
con cuarenta objetos y la palabra tres con tres objetos. Se
trata de hacer la misma distinción entre las partes de la
palabra y los numerales escritos. Sin embargo, aquí se
presenta, con cierta frecuencia, el error de escribir 403 por 43.
Aquí, los niños forman o identifican grupos de diez y
los cuentan de diez en diez. Esta concepción se ve
favorecida por experiencias en las que la serie numérica
oral se enuncia de diez en diez y por la formación y el
conteo de grupos de diez elementos.
42
En una cantidad formada por grupos de diez y
unidades sueltas, el niño no cuenta los objetos que hay en
cada grupo sino que cuenta el número de grupos. Contará
“una, dos, tres, cuatro decenas y tres unidades”. Se
concibe, por tanto, a la cantidad como compuesta por dos
tipos de unidades distintas: unidades de diez elementos y
unidades de un elemento.
En esta concepción se establece una relación
entre las dos concepciones anteriores, lo que significa
una mayor flexibilidad por parte del niño ya que puede
cambiar fácilmente de un significado a otro.
Estrategias de resolución de problemas con números multidigitales
Las concepciones que los niños tienen acerca de los números multidigitales determinan
las estrategias para resolver los problemas de adición y substracción con estos
números. A continuación exponemos algunos ejemplos que muestran la variedad y los
diversos grados de complejidad de las estrategias al resolver un problema específico.
Problema: Juan tiene 25 estampas y José tiene 18 estampas. ¿Cuántas estampas
tienen entre los dos?
Estrategia 1. En este caso el niño modela con objetos las cantidades y cuenta cada uno
de éstos de igual manera que si se tratara de cantidades menores a diez
1, 2, 3, 4…43 Construye una colección
Construye una segunda colección
Cuenta cada objeto y dice “Tienen cuarenta y tres”
Problema: Juan tiene 25 estampas y José tiene 18 estampas. ¿Cuántas estampas
tienen entre los dos?
43
Estrategia 2. De igual manera que en la estrategia anterior, se modelan las cantidades
pero con bloques de base diez y el conteo se comienza a hacer por grupos de diez.
10 20 30
3132 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43
Construye una colección
Construye una segunda colección
Cuenta las barras de diez en diez y cada cubito de uno en uno y dice “Son cuarenta y tres”
Problema: Juan tiene 28 estampas. Felipe tiene 34 estampas. ¿Cuántas estampas
tienen entre los dos?
Estrategia 3. En la resolución del problema el niño representa en forma vertical los
números y se apoya en una representación simplificada de los bloques de base diez
para representar las cantidades y las acciones de agrupamiento e intercambio.
2 8 + 3 4
2 8 // …….. + 3 4 /// ….
2 8 // …….. + 3 4 /// ….
Doce
2 8 ///…….. + 3 4 /// ….
2 8 ///…….. + 3 4 /// …. 6 2
Acomoda las cantidades para hacer la suma
Representa las decenas con rayas y las unidades con puntos
Cuenta los puntos y dice que son doce
Encierra diez puntos y agrega una raya
Cuenta las rayas y coloca el 6; después cuenta los puntos y coloca el 2 y dice el resultado
Problema: Alejandra tenía 23 dulces, luego su mamá le regaló 45 dulces. ¿Cuántos
dulces tiene ahora Alejandra?
Estrategia 4. Es interesante observar que el niño resolvió el problema mentalmente:
“Aquí hay 23, 20 y 40 son 40, 50, 60 y aquí 5, 65…(cuenta con los dedos) 66, 67, 68”.
Si hacemos una reconstrucción o una inferencia del proceso seguido por el niño se
44
puede destacar lo siguiente: a) lleva a cabo un proceso de partición al descomponer el
23 en 20 y 3 y el 45 en 40 y 5; b) cuenta las decenas comenzado por la decena más
grande 40, 50, 60; c) continúa con las unidades, sabe que 60 más 5 son 65, lo cual
habla del dominio de los hechos numéricos y a través del conteo hacia delante llega al
68, el cual es el resultado correcto.
De los ejemplos anteriores se pueden observar las diferentes aproximaciones de
los niños en la resolución de los problemas; desde estrategias que son más sencillas
hasta aquéllas como la última en la que se ponen en marcha diferentes procesos que
dan muestra de la flexibilidad del pensamiento aritmético del niño.
45
Problemas multiplicativos
Al igual que en la adición y la substracción, la enseñanza de la multiplicación se ha
centrado en el aprendizaje memorístico de los procedimientos de cálculo; en este caso
se pone mucho énfasis en las tablas de multiplicar, es decir, en el dominio de los
hechos multiplicativos básicos.
Sin negar la importancia de este aprendizaje, es necesario poner en contacto a los
niños con diferentes problemas multiplicativos y favorecer el uso de estrategias más
elaboradas para su resolución.
A continuación se ejemplifican tres tipos de problemas y las estrategias que emplean
los niños para resolverlos.
Tipos de problemas multiplicativos
Si bien es cierto que existen diferentes clasificaciones de los problemas, los tipos que
aquí se exponen están basados en la categorización hecha por Carpenter, Fennema,
Franke, Levi, y Empson (1999). En ésta se hace una distinción entre problemas
asimétricos y simétricos, En los primeros los números se relacionan con referentes
específicos y éstos no son intercambiables; en los segundos, los factores desempeñan
papeles equivalentes. Ejemplos de problemas asimétricos son los problemas de
agrupamiento y de razón. Los problemas de arreglos rectangulares son problemas
simétricos.
Problemas de agrupamiento
En estos problemas un número (en este caso el 8) indica el número de elementos que
hay en un conjunto y el otro número (el 4) indica el número de conjuntos; lo que se
desconoce es el total de objetos.
Tipos de problemas multiplicativos
Estrategias de resolución
46
Ejemplo:
Juan tiene 4 cajas de lápices. En cada caja hay 8 lápices. ¿Cuántos lápices hay en
total?
$8 lápices $8 lápices $8 lápices $8 lápices
Problemas de razón
Un número indica una unidad de razón (en este caso el 8) y el otro número (el 4) indica
el número de objetos a los que se les aplica dicha razón.
Ejemplo:
Juan compró 4 lápices. Cada uno cuesta 8 pesos. ¿Cuánto pagó por todos los lápices?
$ 8 pesos $ 8 pesos $ 8 pesos $ 8 pesos
Problemas con arreglos rectangulares
Un número (en este caso el 8) indica la cantidad de filas o columnas y el otro número
(el 4) indica la cantidad de elementos que hay en cada fila.
Ejemplo:
¿Cuántos lápices hay en la caja?
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!
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47
Estrategias de resolución
Tres son los tipos de estrategias empleados por los niños para resolver los problemas
antes descritos. A través del planteamiento de un problema de agrupamiento se
ejemplifican cada una de éstas.
Problema: Juan tiene tres bolsas de dulces. En cada bolsa hay cinco dulces. ¿Cuántos
dulces tiene en total?
Modelado directo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
Tiene quince dulces
Construye tres colecciones con cinco objetos cada una
Separa cada uno de los objetos y los cuenta de uno en uno
Al final da el resultado
Conteo
Cinco J
6 7 8 9 10
N A
11 12 13 14 15
N Tiene quince dulces
Dice el número de dulces de la primera bolsa y levanta un dedo que representa a la bolsa
Cuenta hacia delante representando los dulces de la segunda bolsa y ésta la representa levantando un segundo dedo con la otra mano
Prosigue el conteo para los dulces de la tercera bolsa, sin necesidad de representar ésta con la otra mano
Al final da el resultado
Hechos numéricos
El niño simplemente dice “ tres por cinco son quince; tiene quince dulces”.
Las estrategias aquí descritas no son las únicas que llevan a cabo los niños. Sin
embargo, creemos que su descripción sirve de base para analizar y comparar las
diferentes ejecuciones de los niños ante el planteamiento de problemas multiplicativos.
48
Segunda parte
Evaluación
49
EVALUACION INFORMAL DE
CONOCIMIENTOS ARITMETICOS EICA
PSIC. ALVARO BUENROSTRO AVILES
DATOS DE IDENTIFICACION
ASPECTOS A EVALUAR 1. Sistema de numeración verbal
1.1 Serie numérica desde el inicio 1.2 Serie numérica desde un segmento
2. Procesos de cuantificación 2.1 Conteo y principio de cardinalidad 2.2 Conteo hacia delante 2.3 Conteo de grupos
3. Sistema de numeración escrito 3.1 Lectura de números 3.2 Escritura de números 3.3 Valor posicional
4. Procesos de comparación 4.1 Relación mayor menor 4.2 Relación parte parte todo 4.3 Igualdad
5. Problemas aditivos verbales 5.1 Cambio 5.2 Combinación 5.3 Comparación
6. Operaciones de suma y resta
NOMBRE DEL NIÑO_________________________________________________ FECHA DE NACIMIENTO_________________EDAD ACTUAL_______________ GRADO ESCOLAR________________________ APLICADOR_______________________________________________________ FECHA DE APLICACION
50
EVALUACION INFORMAL DE CONOCIMIENTOS ARITMETICOS Alvaro Buenrostro A.
1. Sistema de numeración verbal 1.1. Serie numérica desde el inicio • Material Ninguno • Instrucciones
• Aspectos a observar Enunciación de la serie
Correcta ( ) Incorrecta ( ) Si es incorrecta, especifique: • Número en que para de contar:______ • Segmentos en los que se varió el orden: Del 1 al 10 ( ) Del 11 al 15 ( ) Del 16 en adelante ( )
Registre los errores en la siguiente tabla
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Cuenta en voz alta y despacio hasta el número que te sepas. Si el niño llega hasta el 100, detenerse en ese momento.
51
1.2. Serie numérica desde un segmento • Material Ninguno • Instrucciones
• Aspectos a observar Intento Respuesta Primero • Inicio del conteo:
Desde el número 1 ( ) Desde el número indicado por el entrevistador ( ) Desde un número después del indicado por el entrevistador ( ) Otra:_________________________
Segundo • Inicio del conteo: Desde el número 1 ( ) Desde el número indicado por el entrevistador ( ) Desde un número después del indicado por el entrevistador ( ) Otra:_________________________
Esta situación se compone de dos intentos. El segundo se aplica sólo si el niño no responde o parece no comprender la instrucción dada en el primero. Primer intento: Te voy a decir un número y tú empiezas a contar desde ese número. El número es 12. Detenga el conteo después de 10 números enunciados. Segundo intento: Si yo te digo 8 tú dices 8, 9, 10, 11… ¿Está claro? Te voy a decir 15. Si el niño no contesta decirle: ¿Qué sigue del 15? Detenga el conteo después de 10 números enunciados.
52
2. Procesos de cuantificación 2.1 Conteo y principio de cardinalidad • Material 25 fichas de un solo color • Instrucciones
• Aspectos a observar Resultado del conteo Correcto ( ) Incorrecto ( )
Si el resultado es incorrecto. Describa el tipo o tipos de errores cometidos.
Actos de señalamiento Si ( ) No ( ) Si hay un acto de señalamiento descríbalo.
Separación de las fichas
Si ( ) No ( ) Si hay una separación de las fichas contadas de las no contadas descríbala.
Principio de cardinalidad Respuesta a la pregunta ¿Cuántas son?
• Inmediatamente dice 25 ( ) • Emite la serie numérica hasta llegar al 25 ( ) • Vuelve a contar las fichas ( ) • Otra:_____________
Conteo de los elementos
• De 1 en 1 ( ) • De 2 en 2 ( ) • Mixto (de 1 en 1 y de 2 en 2) ( ) • Otro:_____________
Coloque sobre la mesa 25 fichas de un solo color en desorden. Cuenta cuántas fichas hay. Al término del conteo preguntar ¿Cuántas son?.
53
2.2 Conteo hacia delante • Material Lámina 1 • Instrucciones
• Aspectos a observar Inicio del conteo Desde el 1 ( )
Desde el 6 ( ) Desde el 7 ( ) Otro:______________
Respuesta a la pregunta: ¿Puedes hacerlo de otra manera?
Descríbala:
2.3 Conteo de grupos • Material Lámina 2 • Instrucciones
• Aspectos a observar Tipo de conteo • Por grupos ( )
• Uno por uno ( ) • Otro:_________________
Muestre la lámina 1. Aquí hay una hilera de bolitas negras (al tiempo que recorre con el dedo de izquierda a derecha comenzando con el rectángulo y terminando en el último círculo). Esta cajita (señalando el rectángulo) está tapando a seis bolitas ¿Cuántas bolitas hay en total? Si el niño contesta desde el 6 o el 7 hasta llegar al 13: ¿Puedes hacerlo de otra manera?
Muestre la lámina 2. Estos son unos chocolates, algunos están en cajas y otros están sueltos. En cada caja hay 10 chocolates. ¿Me puedes decir cuántos chocolates hay en total?
54
3. Sistema de numeración escrito 3.1 Lectura de números • Material Lámina 3 Instrucciones
• Aspectos a observar Anote el precio dicho por el niño para cada dibujo. martillo estrella tijeras reloj regalo teléfono grabadora avión coche 3.2 Escritura de números • Material Lámina 4 • Instrucciones
• Aspectos a observar Anote el precio escrito por el niño para cada dibujo. martillo estrella tijeras reloj regalo teléfono grabadora avión coche
Presente la lámina 3. Te voy a enseñar unos dibujos. Debajo de cada dibujo está su precio. Dime cuánto cuesta éste… Señale cada uno de los objetos que aparecen en la lámina.
Muestre la lámina 4. Fíjate que vino alguien y le quitó los precios a los dibujos. Ayúdame a escribirlos debajo de cada dibujo. El martillo vale 8 pesos… Permita que el niño escriba el número y prosiga dictándole el precio de cada dibujo conforme a los siguientes precios: estrella 4 pesos; tijeras 7 pesos; reloj 19 pesos; regalo 56 pesos; teléfono 23 pesos; grabadora 541 pesos; avión 823 pesos; coche 769 pesos.
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3.3 Valor posicional • Material Lámina 5 • Instrucciones
• Aspectos a observar Número de elementos asignado a cada dígito
Elementos asignados al 5:______ Elementos asignados al 2:______
4. Procesos de comparación 4.1 Relación mayor menor • Material Un juego de cartas numéricas • Instrucciones
• Aspectos a observar Juego 1 (Número mayor) Juego 2 (Número menor) Versiones
Números iniciales
Respuesta Números iniciales
Respuesta
Versión 1 ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) Versión 2 ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) Versión 3 ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( )
Presente la lámina 5. Aquí hay unas manzanas. Dime cuántas manzanas hay. Si el niño dice 25. Anota el número aquí abajo (señale hacia las líneas horizontales). Si no dice 25 permítale contar de nuevo. Una vez que el niño haya escrito el número, encierre con un círculo el 5. Encierra con un círculo a las manzanas que le tocan a esta parte del 25. Después de que el niño haya respondido, encierre con un círculo al 2. Encierra con un círculo a las manzanas que le tocan a esta parte del 25.
Juegue guerra de cartas en tres versiones: 1) Una carta a cada jugador; 2) Dos cartas a cada jugador; 3) Tres cartas a cada jugador. Por cada versión lleve a cabo dos juegos: número mayor y número menor. Número mayor: Voy a darle una(s) carta(s) a cada uno y va a ganar el que tenga el número mayor. Número menor: Voy a darle una(s) carta(s) a cada uno y va a ganar el que tenga el número más chico. En niños mayores preguntar por cuánto le ganó el que quedó en primer lugar al que quedó en tercero.
56
4.2 Relación parte parte todo • Material Lámina 6 • Instrucciones
• Aspectos a observar Descomposición del 10 Descomposición del 34 1ª. descomposición 2ª. descomposición 4.3 Igualdad • Material Lámina 7 • Instrucciones
• Aspectos a observar Sea correcta o incorrecta la respuesta, describa el proceso de solución empleado por el niño.
Muestre la lámina 6. El niño de aquí tiene 10 canicas. Unas las tiene en esta bolsa (señale la bolsa de la izquierda) y otras las tiene en ésta otra (señale la bolsa de la derecha). Dime ¿cuántas canicas crees que haya en cada bolsa? Posteriormente, sustituya la cantidad inicial por 34. En cada caso, después de la respuesta: ¿Lo puedes hacer de otra manera?
Muestre la lámina 7. Aquí hay dos edificios. Este de aquí (señale el dibujo de la izquierda) tiene 8 pisos y éste de acá (señale el dibujo de la derecha) tiene 14 pisos. ¿Cuántos pisos le faltan a este edificio (señale el dibujo de la izquierda) para tener los mismos que el edificio de acá? (señale el dibujo de la derecha).
57
5. Problemas aditivos verbales • Material 10 tarjetas que contienen por escrito un problema cada una. • Instrucciones
• Listado de problemas Categoría Problema 1 Problema 2 Cambio 1 Alejandra tenía 23 dulces, luego su
mamá le regaló 45 dulces. ¿Cuántos dulces tiene ahora Alejandra?
Cambio 1 (1)
Alejandra tenía 4 dulces, luego su mamá le regaló 5 dulces. ¿Cuántos dulces tiene ahora Alejandra?
Cambio 1 (2)
Cambio 2 Paty tenía 56 dulces, luego regaló 24 a sus amigos. ¿Con cuántos dulces se quedó Paty?
Cambio 2 (1)
Paty tenía 8 dulces, luego regaló 3 a sus amigos. ¿Con cuántos dulces se quedó Paty?
Cambio 2 (1) Cambio 3 Manuel tenía 14 dulces, luego su
mamá le regaló algunos dulces. Ahora ya tiene 22 dulces. ¿Cuántos dulces le regaló su mamá?
Cambio 3 (1)
Manuel tenía 6 dulces, luego su mamá le regaló algunos dulces. Ahora ya tiene 9 dulces. ¿Cuántos dulces le regaló su mamá?
Cambio 3 (2) Combinación Juan tiene 24 dulces y Mario tiene 39
dulces. ¿Cuántos dulces tienen entre los dos?
Combinación (1)
Juan tiene 7 dulces y Mario tiene 9 dulces. ¿Cuántos dulces tienen entre los dos?
Combinación (2) Comparación Paco tiene 12 dulces y Lupe tiene 25
dulces. ¿Cuántos dulces tiene más Lupe que Paco?
Comparación (1)
Paco tiene 2 dulces y Lupe tiene 8 dulces. ¿Cuántos dulces tiene más Lupe que Paco?
Comparación (2)
Te voy a leer unas adivinanzas y quiero que las resuelvas. Esta es la primera… Muestre la tarjeta correspondiente y lea el problema. • Lea pausadamente el problema de una sola vez. Si es necesario, repita el
problema de igual manera. Si el niño no realiza ninguna acción, lea segmentos del problema y dé tiempo para que el niño realice las acciones correspondientes.
• Permita que el niño resuelva el problema sin ayuda externa. En caso de que no lo pueda resolver, ofrézcale de primera instancia papel y lápiz y en segundo término un conjunto de dulces.
• Si el niño usa los dedos, pero los esconde, anímelo a usarlos en forma abierta. • Los problemas se agrupan en cinco categorías con dos problemas en cada una
de ellas. Si el niño resuelve el primer problema de una categoría no es necesario aplicar el segundo.
58
• Aspectos a observar Por cada uno de los problemas planteados hay que especificar la estrategia empleada, los recursos utilizados y hacer una descripción gráfica de la ejecución del niño.
Cambio 1 (1) Alejandra tenía 23 dulces, luego su mamá le regaló 45 dulces. ¿Cuántos dulces tiene ahora Alejandra? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
Cambio 1 (2) Alejandra tenía 4 dulces, luego su mamá le regaló 5 dulces. ¿Cuántos dulces tiene ahora Alejandra? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
59
Cambio 2 (1) Paty tenía 56 dulces, luego regaló 24 a sus amigos. ¿Con cuántos dulces se quedó Paty? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
Cambio 2 (2) Paty tenía 8 dulces, luego regaló 3 a sus amigos. ¿Con cuántos dulces se quedó Paty? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
60
Cambio 3 (1) Manuel tenía 14 dulces, luego su mamá le regaló algunos dulces. Ahora ya tiene 22 dulces. ¿Cuántos dulces le regaló su mamá? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
Cambio 3 (2) Manuel tenía 6 dulces, luego su mamá le regaló algunos dulces. Ahora ya tiene 9 dulces. ¿Cuántos dulces le regaló su mamá? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
61
Combinación (1) Juan tiene 24 dulces y Mario tiene 39 dulces ¿Cuántos dulces tienen entre los dos? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
Combinación (2) Juan tiene 7 dulces y Mario tiene 9 dulces ¿Cuántos dulces tienen entre los dos? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
62
Comparación (1) Paco tiene 12 dulces y Lupe tiene 25 dulces. ¿Cuántos dulces tiene más Lupe que Paco? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
Comparación (2) Paco tiene 2 dulces y Lupe tiene 8 dulces ¿Cuántos dulces tiene más Lupe que Paco? • Estrategia empleada: • Recursos utilizados: ( ) Objetos ( ) Papel y lápiz ( ) Dedos ( ) Otros • Descripción de la ejecución:
63
6. Operaciones de suma y resta • Material Lámina 8 • Instrucciones Presente la lámina 8. Quiero que resuelvas las cuentas que están en esta hoja. Empieza por ésta (Señale la que aparece en el extremo superior izquierdo). • Aspectos a observar Por cada una de las operaciones especificar si el resultado es correcto y describir la secuencia de pasos efectuados para la solución.
64
Tarjetas con problemas aditivos verbales
Laminas de aplicación
65
Alejandra tenía 23 dulces, luego su mamá le regaló 45 dulces. ¿Cuántos dulces tiene ahora Alejandra?
Cambio 1 (1)
66
Alejandra tenía 4 dulces, luego su mamá le regaló 5 dulces. ¿Cuántos dulces tiene ahora Alejandra?
Cambio 1 (2)
67
Paty tenía 56 dulces, luego regaló 24 a sus amigos. ¿Con cuántos dulces se quedó Paty?
Cambio 2 (1)
68
Paty tenía 8 dulces, luego le dio 3 a sus amigos. ¿Con cuántos dulces se quedó Paty?
Cambio 2 (2)
69
Manuel tenía 14 dulces, luego su mamá le regaló algunos dulces. Ahora ya tiene 22 dulces. ¿Cuántos dulces le regaló su mamá?
Cambio 3 (1)
70
Manuel tenía 6 dulces, luego su mamá le regaló algunos dulces. Ahora ya tiene 9 dulces. ¿Cuántos dulces le regaló su mamá?
Cambio 3 (2)
71
Juan tiene 24 dulces y Mario tiene 39 dulces. ¿Cuántos dulces tienen entre los dos?
Combinación (1)
72
Juan tiene 7 dulces y Mario tiene 9 dulces. ¿Cuántos dulces tienen entre los dos?
Combinación (2)
73
Paco tiene 12 dulces y Lupe tiene 25 dulces. ¿Cuántos dulces tiene más Lupe que Paco?
Comparación (1)
74
Paco tiene 2 dulces y Lupe tiene 8 dulces. ¿Cuántos dulces tiene más Lupe que Paco?
Comparación (2)
75
Lámina 1
76
77
78
79
80
81
82
83
84
Tercera parte
Actividades didácticas
85
Actividades didácticas y procesos aritméticos A continuación se incluyen diversas actividades didácticas. Para orientar la selección de éstas, en la siguiente tabla se muestra el título de cada una de ellas y los procesos que se fomentan a través de su aplicación.
Actividad Procesos que se fomentan Acciones de compraventa • Representación numérica escrita de cantidades de 1 a 3
dígitos • Contar grupos y unidades sueltas • Intercambiar distintos tipos de unidades • Resolver situaciones de adición y substracción
Algoritmo convencional de la adición
• Resolver distintas situaciones que impliquen la adición de números multidigitales de dos o tres cifras
• Comprender el funcionamiento del algoritmo convencional Algoritmo convencional de la substracción
• Resolver distintas situaciones que impliquen la substracción de números multidigitales de dos o tres cifras
• Comprender el funcionamiento del algoritmo convencional Bloques de base diez • Contar grupos y unidades
• Conocer el sistema decimal de numeración Cajas con lápices • Resolver problemas multiplicativos: Arreglos rectangulares Dados con números • Contar a partir del número mayor Dados con números y puntos • Contar hacia delante Guerra de cartas • Comparar números de diferentes cifras
• Identificar el valor posicional de los dígitos Nombres de los números • Reconocer números de una a tres cifras
• Conocer el valor posicional Perinola • Intercambiar distintos tipos de unidades
• Contar grupos y unidades Problemas multiplicativos • Resolver diferentes tipos de problemas multiplicativos Problemas verbales de adición y substracción
• Resolver diferentes tipos de problemas de adición y substracción
Reparto de una barra de chocolate
• Descomponer una cantidad en diferentes partes
Serpientes y escaleras • Dominar la serie numérica oral • Realizar diferentes acciones de contar • Resolver distintas situaciones de adición y substracción
Tablero numérico • Dominar la serie numérica oral • Dominar el sistema de numeración escrito
86
Acciones de compraventa ¿Qué queremos? • Dominar la representación numérica escrita de cantidades de 1 a 3 dígitos, • Contar grupos (de billetes de 100 pesos y monedas de 10 pesos) y unidades sueltas
(monedas de 1 peso), • Intercambiar distintos tipos de unidades (un billete de 100 pesos por 10 monedas de
10 pesos; 10 monedas de 1 peso por 1 moneda de 10 pesos), • Resolver situaciones de adición y substracción. ¿Qué necesitamos? • Billetes de 100 pesos, monedas de 10 pesos y monedas de 1 peso (elaborados con
propósitos didácticos). • Diversos objetos o representación de los mismos. • Hojas para el registro de las acciones de compraventa. • Hojas blancas y lápices. ¿Cómo le hacemos? • Especifique los objetos a comprar y las acciones a realizar haciendo uso del dinero.
En la siguiente figura se proponen algunos ejemplos.
Objetos que se pueden comprar Acciones que se pueden realizar • Libros y revistas • Medicinas • Juguetes • Herramientas • Ropa • Alimentos: dulces, antojitos,
paletas, frutas y verduras, pasteles.
Juegos de: • Pesca • Aros • Globos
87
• Defina los actores que participan en la actividad y las acciones que corresponden a cada uno ellos.
Repartidor Comprador Vendedor
•Cuenta el dinero•Reparte el dinero al comprador y al vendedor
•Cuenta el dinero•Lee los precios de los•productos•Selecciona los productos•Saca la cuenta•Paga•Recibe el cambio
•Saca la cuenta•Cuenta el dinero•Da el cambio
88
Ejemplo de situaciones de adición y substracción en un contexto de compraventa
1. Planteamiento de las situaciones Los precios pueden ir en un recuadro debajo del dibujo del objeto. También en una tabla que represente a una lista de precios.
Lista de precios Juguete Precio Balón 23 pesos Dinosaurio 58 pesos Tiro al blanco 45 pesos Avión 73 pesos Coche 49 pesos 2. Tipo de preguntas
Pregunta para formular situaciones de adición • ¿Cuánto pagas si compras un avión, un dinosaurio y un balón? Preguntas para formular situaciones de substracción • Si tienes 32 pesos ¿cuánto te falta para comprar el dinosaurio? • Si compras un avión y pagas con un billete de 100pesos ¿cuánto te deben regresar
de cambio? • Al comprar el coche te rebajan 13 pesos ¿cuánto tienes que pagar?
23 pesos 58 pesos 45 pesos
73 pesos 49 pesos
89
Algoritmo convencional de la adición ¿Qué queremos? • Resolver problemas de adición con números multidigitales de dos o tres cifras a
través del algoritmo convencional de la adición • Entender el funcionamiento del algoritmo convencional. ¿Qué necesitamos? • Un tablero para la colocación de los bloques de base diez. • Bloques de base diez o sellos que representen a los bloques ¿Cómo le hacemos? Comience con el planteamiento de un problema como el siguiente: Juan tenía 259 estampas en un álbum y 166 estampas en otro álbum. ¿Cuántas estampas tiene Juan en total? Represente las cantidades con los bloques y con los números en forma vertical.
259
166
90
Comenzando por la columna de las unidades, se suman los cubitos, se colocan en la parte inferior de la columna y se pregunta: “¿Tienes suficientes cubitos para formar una barra?” • Si hay 10 cubitos, éstos se
intercambian por una barra que se coloca en la columna de éstas.
• Enseguida se escribe el 1 en el lugar de las decenas, haciendo notar que éste corresponde a la barra que se acaba de colocar en la parte superior de la columna de las barras.
Los cubitos restantes se suman y el número se escribe en el lugar de las unidades. El procedimiento se repite para las columnas de las barras y las tabletas poniendo especial atención en hacer una correspondencia entre las acciones hechas con los bloques y la escritura de las cifras.
259
166
1
259
166
1
5
91
Algoritmo convencional de la substracción ¿Qué queremos? • Resolver problemas de substracción con números multidigitales de dos o tres cifras
a través del algoritmo convencional de la substracción. • Entender el funcionamiento del algoritmo convencional. ¿Qué necesitamos?
• Un tablero para la colocación de billetes de 100, monedas de 10 y 1 peso. • Billetes de 100 pesos, monedas de 10 y de 1 peso. • Tarjetas numéricas. ¿Cómo le hacemos? Inicie con el planteamiento de un problema como el siguiente: Juan tenía 232 pesos y le pagó 188 pesos a su hermano. ¿Con cuánto dinero se quedó Juan? Represente en forma vertical las cantidades. La primera con billetes y monedas, la segunda con tarjetas numéricas.
sss
1 1
2 3 2
1
8 8 1 8 8
100
100
1 8 8
2 3 2
1 8 8
11111111 11 11
12 2 s s Como Juan tiene que darle ocho monedas de a peso a su hermano y no hay suficientes monedas, entonces hay que cambiar una moneda de diez pesos por diez monedas de a peso. Por tanto, quedan dos monedas de diez pesos y doce monedas de a peso.
100
100
92
Como Juan tiene que darle ocho monedas de a diez pesos a su hermano y no hay suficientes monedas, entonces hay que cambiar un billete de cien pesos por diez monedas de a diez pesos. Por tanto, quedan un billete de cien pesos y doce monedas de a diez pesos.
100
1 8 8
2 3 2
1 8 8
11111 11111 11
12 1 12 ssssssssss ss
100
1 8 8
2 3 2
1 8 8
1111
12 1 12
ssss
Hermano
ssssssss
11111111
0 4 4
Juan
Al final, se le paga al hermano su dinero y el dinero con que se queda Juan se coloca abajo. (“¿Cuántas monedas de a peso se le dan al hermano? ¿Con cuántas monedas se quedó Juan?”). Se escribe en la última columna la cantidad con que se queda Juan.
93
Bloques de base diez ¿Qué queremos? • Usar diferentes nombres para los bloques de base diez. • Contar grupos y unidades. • Una vez que se representa una cantidad por medio de los bloques.
• Identificar cuántos grupos y cuántas unidades hay (ejemplos: hay dos tabletas, dos barras y dos cubitos o hay dos cientos, dos dieces y dos unos).
• Escribir el número total de grupos y el total de unidades • Identificar cuántas unidades hay en total (ejemplo: Hay doscientos veintidós
cubitos). • Escribir el número total de unidades.
¿Qué necesitamos? • Bloques de base diez • Sellos que representan a los bloques. • Hojas de trabajo.
Tabletas Barras Cubitos Grupos de cien Grupos de diez Unos Cientos Dieces Unos Centenas Decenas Unidades
94
¿Cómo le hacemos? (1)
• Disponga diferentes arreglos con las tabletas, barras y cubitos.
• En una tabla el niño escribe el número de tabletas, barras y cubitos.
• Debajo, el niño anota el número total de cubitos. • Promueva una reflexión acerca de las semejanzas
entre las cantidades de arriba y las de abajo. • Estimule el conteo por grupos de cien y de diez. Ejemplos
Tabletas Barritas Cubitos
Tabletas Barritas Cubitos
¿Cuántos cubitos hay en total?
Gruposde cien
¿Cuántos cubitos hay en total?
Gruposde diez
Unidadessueltas
Tabletas Barritas Cubitos
¿Cuántos cubitos hay en total?
95
¿Cómo le hacemos? (2) • Divida una hoja en 8 partes. • En cada una de las primeras cuatro partes, coloque un recuadro en el extremo
superior derecho y escriba un número. Pida al niño que represente con los bloques el número que aparece en el recuadro.
• En las cuatro partes restantes represente diferentes arreglos con los bloques. Pida al niño que escriba el número que corresponda al arreglo en el recuadro del extremo superior derecho.
Ejemplo
24 73
345 221
96
Hoja de trabajo (1)
Tabletas Barritas Cubitos
¿Cuántos cubitos hay en total?
Gruposde cien
¿Cuántos cubitos hay en total?
Gruposde diez
Unidadessueltas
Tabletas Barritas Cubitos
¿Cuántos cubitos hay en total?
Gruposde cien
¿Cuántos cubitos hay en total?
Gruposde diez
Unidadessueltas
97
Hoja de trabajo (2)
98
Cajas con lápices ¿Qué queremos? • Resolver situaciones multiplicativas del tipo Arreglos rectangulares. ¿Qué necesitamos? • Hojas de trabajo • Cuadro de multiplicaciones • Tarjeta pequeña ¿Cómo le hacemos? (1) • Muestre al niño un dibujo como el siguiente y
pregunte: “¿Cuántos lápices hay en la caja?” • Si el niño cuenta uno por uno los lápices o los
suma, explíquele que otra manera de averiguarlo es contando el número de filas que tiene la caja (5), el cual se multiplica por el número de lápices que hay en cada fila (3). Si el niño no sabe cuánto es 5 X 3 puede consultar el cuadro de multiplicaciones.
¿Cómo le hacemos? (2) • Proceda de la misma manera que en la
situación anterior sólo que ahora tape los lápices que aparecen sobre el fondo blanco con una tarjeta, de tal manera que sólo quedan visibles los lápices que aparecen en fondo oscuro. Para ayudar al niño pregunte:
¿Cuántas filas de lápices hay? ¿Cuántos lápices hay en cada fila? ¿Cuántos lápices hay en total en la caja?
!
!
!
!
!
!
!
!
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!
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!
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!
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2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 10 12 14 16 3 9 12 15 18 21 24 4 16 20 24 28 32 5 25 30 35 40 6 36 42 48 7 49 56 8 64
99
Hoja de trabajo (1) ¿Cuántos lápices hay en cada caja?
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100
Hoja de trabajo (2) ¿Cuántos lápices hay en cada caja?
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101
Hoja de trabajo (3) ¿Cuántos lápices hay en cada caja?
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Hoja de trabajo (4) ¿Cuántos lápices hay en cada caja?
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Hoja de trabajo (5) ¿Cuántos lápices hay en cada caja?
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104
Dados con números ¿Qué queremos? • Contar a partir del número mayor. ¿Qué necesitamos? • Dos dados con los números escritos. ¿Cómo le hacemos? • Se tiran los dados. • Estimule al niño para que cuente comenzando por el dado que tiene el número
mayor. • Utilice esta actividad con cualquier juego en el que se usen dos dados. Ejemplos de
éstos son la oca y escaleras y serpientes.
2 46
514
105
Dados con números y puntos ¿Qué queremos? • Contar hacia delante. ¿Qué necesitamos? • Dos dados. Uno con números escritos y otro con
puntos ¿Cómo le hacemos? • Se tiran los dados. • Estimule al niño para que cuente comenzando por el dado que tiene los números
escritos. • Esta actividad la puede realizar con cualquier juego en el que se usen dos dados.
Ejemplos de éstos son la oca y escaleras y serpientes.
2 46
106
Guerra de cartas ¿Qué queremos? • Comparar números con diferentes cifras. • Identificar el valor posicional en números multidigitales ¿Qué necesitamos? • Tres juegos de cartas numéricas. Cada juego se compone de diez cartas en las que
aparecen los números del cero al nueve. ¿Cómo le hacemos? (1) • Reparta una, dos o tres cartas a cada jugador (según lo haya convenido antes de
iniciar la actividad) e indique que ganará aquel que tenga la carta con el número mayor. Pregunte por cuánto se ganó a los demás jugadores.
¿Cómo le hacemos? (2) • Reparta una, dos o tres cartas a cada jugador (según lo haya convenido antes de
iniciar la actividad) e indique que ganará aquel que tenga la carta con el número menor.
107
Nombres de los números ¿Qué queremos? • Leer números de compuestos de una a tres cifras.1 • Comprender el valor posicional. ¿Qué necesitamos? • Una tabla impresa con números, sus nombres y su representación en
agrupamientos. • Tres grupos de tarjetas con números del 0 al 9. • Tres micas transparentes de diferentes tamaños. ¿Cómo le hacemos? • Coloque tres cartas en los cuadros que aparecen debajo de la tabla y pídale al niño
que lea el número formado por las tres cifras. Si el niño lo lee adecuadamente se le puede preguntar por el número de centenas, decenas y unidades que contiene el número. Hágale ver que por la posición en que se encuentra cada cifra, ésta tiene un valor diferente (para lograr esto coloque de dos a tres cifras iguales en los cuadros).
• Si el niño no reconoce el número colocado en los cuadros, invítelo a colocar una
mica sobre cada una de las casillas de la tabla que corresponden a las cifras que aparecen en el número. Una vez colocadas las tres micas pídale que lea el número auxiliándose ya sea con la lectura de las palabras o contando los grupos de centenas, decenas y unidades que componen al número.
1 A excepción de los números 11, 12, 13, 14 y 15.
108
Tabla de números
centenas 100 decenas s unidades 1 9 novecientos
100 100 100 100 100 100 100 100 100 9 noventa sssssssss
9 nueve 111111111
8 ochocientos
100 100 100 100 100 100 100 100 8 ochenta ssssssss
8 ocho 11111111
7 setecientos
100 100 100 100 100 100 100 7 setenta sssssss
7 siete 1111111
6 seiscientos 100 100 100 100 100 100
6 sesenta ssssss
6 seis 111111
5 quinientos 100 100 100 100 100
5 cincuenta sssss
5 cinco 11111
4 cuatrocientos 100 100 100 100
4 cuarenta ssss
4 cuatro 1111
3 trescientos 100 100 100
3 treinta sss
3 tres 111
2 doscientos 100 100
2 veinte ss
2 dos 11
1 cien 100
1 diez s
1 uno 1
Hay centenas decenas unidades
109
Perinola ¿Qué queremos? • Intercambiar distintos tipos de unidades. • Contar grupos y unidades sueltas. ¿Qué necesitamos? (1) • Una perinola con representaciones de bloques de base diez. • Bloques de base diez. (2) • Una perinola con representaciones de billetes de 100 pesos, monedas de 10 pesos
y monedas de 1 peso. • Billetes de 100 pesos, monedas de 10 pesos y monedas de 1 peso (elaborados con
propósitos didácticos). ¿Cómo le hacemos? (1) • Seleccione al jugador que repartirá los bloques y el número en el que se termina el
juego cuando el primer jugador llegue a éste. • Al inicio, cada niño toma 9 cubitos, 5 barras y 2 tabletas. En el centro se coloca el
mismo número de bloques. • Al girar la perinola se toma o se pone la cantidad de bloques que indique la cara que
haya quedado hacia arriba. • Antes de volver a tirar, cada niño debe hacer, si tiene suficientes cubitos o barritas,
los intercambios correspondientes (1 tableta por 10 barritas, 1 barrita por 10 cubitos). De no hacerlo, los cubos o barritas que se hayan quedado sin intercambiar pasarán a ser del jugador que descubra que no se hizo el intercambio.
¿Cómo le hacemos? (2) • El juego es el mismo que el anterior, sólo que se sustituyen los bloques y sus
representaciones por billetes, monedas y sus representaciones en la perinola.
110
Problemas multiplicativos ¿Qué queremos? • Resolver situaciones de tipo multiplicati vo: agrupamiento, razón y arreglos
rectangulares. • Favorecer el uso de estrategias multiplicativas para la solución de las situaciones
planteadas. ¿Qué necesitamos? • Hojas de trabajo. ¿Cómo le hacemos? • Elabore situaciones didácticas semejantes a las que aparecen en las hojas de
trabajo y las correspondientes a la actividad Caja con lápices. • Promueva la solución de los problemas a través del uso de estrategias
multiplicativas más que a través del conteo o de la adición. • En los problemas planteados incluya como factores los números que aparecen en la
parte sombreada del cuadro de multiplicaciones y que den como resultado los números que aparecen en el cuerpo del cuadro.
• Promueva el uso del cuadro de multiplicaciones como auxiliar en la resolución de los problemas.
2 3 4 5 6 7 8 2 4 6 8 10 12 14 16 3 9 12 15 18 21 24 4 16 20 24 28 32 5 25 30 35 40 6 36 42 48 7 49 56 8 64
111
Hoja de trabajo (1)
Planteamiento de problemas de agrupamiento
Al ir a la tienda tu mamá te encarga que compres: • Cuatro cajas de chocolates. ¿Cuántos chocolates compraste en total?
4 X ____ = _____ chocolates • Tres botes de galletas. ¿Cuántas galletas compraste en total?
3 X ____ = _____ galletas • Cuatro bolsas de dulces. ¿Cuántos dulces compraste en total?
4 X ____ = _____ dulces
5 chocolates
5 chocolates
5 chocolates
5 chocolates
6 galletas
6 galletas
6 galletas
8 dulces 8 dulces
8 dulces 8 dulces
112
Hoja de trabajo (2) Planteamiento de problemas de razón
En una tienda venden unos animalitos de plástico. Cada uno tiene su precio • Cuánto pagarías si compras 8 dinosaurios
8 X ____ = _____ pesos • Cuánto pagarías si compras 5 leones
5 X ____ = _____ pesos • Cuánto pagarías si compras 4 tortugas
4 X ____ = _____ pesos • Cuánto pagarías si compras 6 tiburones
6 X ____ = _____ pesos
7 pesos 8 pesos 5 pesos 6 pesos
113
Problemas verbales de adición y substracción ¿Qué queremos? • Resolver distintos tipos de problemas de adición y substracción de una etapa. • Utilizar diferentes estrategias para resolver los problemas. ¿Qué necesitamos? • Tarjetas que contengan un enunciado en el que se plantee un problema de cambio
aumentando, cambo disminuyendo, combinación o comparación. Pueden tenerse once grupos de tarjetas correspondientes a los diferentes tipos de problemas que se pueden generar. Para su elaboración tome en cuenta cantidades de uno, dos y tres dígitos.
¿Cómo le hacemos? • Lea o muestre al niño, para su lectura, una tarjeta. Si lo lee hágalo en forma
pausada y cerciórese que el niño comprendió el enunciado. • Favorezca el uso de estrategias más complejas en la resolución de los problemas.
114
Reparto de una barra de chocolate ¿Qué queremos? • Descomponer una cantidad en diferentes partes. ¿Qué necesitamos? • Cubos que se ensamblan entre sí (cubos
unifijos). • Hoja de trabajo. ¿Cómo le hacemos? (1) • Proporcione diez cubos que representan a una barra de chocolate con diez
porciones. • Solicite que se reparta la barra entre dos niños de diferentes maneras. Use la hoja
de trabajo anexa para registrar los cambios efectuados. ¿Cómo le hacemos? (2) • Cuando el niño se ha familiarizado con la modalidad anterior, se puede aumentar el
número de partes de la barra (lo cual se puede marcar en el rectángulo que aparece en la hoja de trabajo y anotar el número correspondiente en el círculo que aparece abajo) o aumentar el número de barras a repartir.
115
Hoja de trabajo Reparto de una barra de chocolate entre dos niños
Juan Pepe Juan Pepe
Juan Pepe Juan Pepe
Juan Pepe Juan Pepe
116
Serpientes y escaleras ¿Qué queremos? • Perfeccionar el conocimiento de la serie numérica oral. • Realizar diferentes actos de conteo. • Resolver distintas situaciones de adición y substracción ¿Qué necesitamos? • El juego de mesa serpientes y escaleras. • Dados con números escritos y con puntos. ¿Cómo le hacemos? (1) • El juego se desarrolla de la manera tradicional. Sin embargo, se pueden modificar
los números de las casillas para comenzar desde un número específico y no necesariamente desde el uno, con la intención de que el niño enuncie diferentes segmentos de la serie numérica.
¿Cómo le hacemos? (2) • El juego se desarrolla de la manera tradicional. La variación consiste en el tipo de
dados (numéricos y con puntos) que se vayan a utilizar. De esta manera se pueden usar únicamente dos dados numéricos, de puntos o una combinación de ambos.
¿Cómo le hacemos? (3) • El juego se puede aprovechar para plantear distintas situaciones de adición y
substracción. Por ejemplo, al caer en una casilla con la cola de una serpiente se puede preguntar por el número de casillas que se retrocedió; al caer en una casilla con una escalera se puede preguntar sobre el número de casillas que se avanzó. También se puede preguntar por la casilla a la que se accedería si se juntasen los puntos de dos participantes.
117
Tablero numérico ¿Qué queremos? • Mejorar el dominio de la serie numérica oral. • Mejorar el dominio del sistema de numeración escrito. ¿Qué necesitamos? • Un tablero numérico (del 1 al 100) con fichas removibles o impreso. ¿Cómo le hacemos? (1) • En un tablero como el que se muestra a continuación remueva las fichas de una
hilera y colóquelas en desorden a la derecha del tablero. • El niño debe colocarlas en el orden correspondiente al tiempo que dice el número
que aparece en cada una de las fichas.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 56
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 53 59
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 51
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 57
54 52
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 55 58
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 60
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
118
¿Cómo le hacemos? (2) • En un tablero como el que se muestra a continuación remueva de una a dos fichas
de cada una de las hileras y póngalas a la derecha del tablero. • El niño debe colocar cada ficha en el lugar que le corresponde y al mismo tiempo
decir el nombre del número que aparece en la ficha. • Si se está trabajando con un tablero impreso ocultar, sucesivamente, los números
con la punta del dedo y pedir al niño que diga y escriba el número correspondiente.
1 2 3 4 6 7 8 9 10 24
11 12 13 14 15 16 17 19 20 61
21 22 23 25 26 27 28 29 30 5 70 98
31 32 33 34 35 36 37 38 40 18
46 41 43 44 45 47 48 49 50 86
42
51 52 53 54 56 57 58 59 60
39 62 63 64 65 66 67 68 69
71 72 73
74 75 76 77 78 79 80 55
81 82 83 84 85 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 99 100
118
Cuarta parte
Guías de apoyo
119
Guía para el funcionamiento de las sesiones de trabajo con los niños
El propósito de las sesiones de trabajo, tanto individuales como grupales, consiste en propiciar una mejoría en las competencias aritméticas de los niños. Las acciones que se desarrollan antes, durante y después de las sesiones se organizan en tres fases de un ciclo que se repite en cada una de éstas y que permite obtener información sobre el tipo de estrategias empleadas por los niños ante las actividades didácticas propuestas. Dicha información sirve de base para la planeación de la siguiente sesión.
Planeación de las sesiones La planeación consiste en seleccionar la o las actividades didácticas que se llevarán a cabo en el transcurso de la sesión. Es necesario: • incluir actividades didácticas que promuevan un cambio, en las estrategias de
los niños, que se dirija hacia la utilización de estrategias más elaboradas, y • seleccionar las actividades en base al desempeño de los niños en las sesiones
anteriores. Realización de las sesiones Las sesiones tienen una duración de 45 minutos aproximadamente. En éstas, el instructor: • dispone los elementos necesarios para la puesta en marcha de las actividades
didácticas, • lleva a cabo una serie de acciones y emplea un discurso que promueve el
conocimiento aritmético de los niños, • observa y hace un registro de las estrategias de los niños. Análisis de las sesiones Al término de la sesión, el instructor analiza lo acontecido en ésta, el cual sirve de base para planear la siguiente sesión. De esta manera, se lleva a cabo: • un análisis de la idoneidad de las actividades didácticas, • un análisis de las estrategias de los niños, y • un informe de la sesión.
Planeación
RealizaciónAnálisis
Sesión 1
Planeación
RealizaciónAnálisis
Sesión 2
120
A continuación se destacan algunos aspectos importantes que deben tomarse en cuenta para el adecuado desarrollo de las sesiones. La interrelación actividad didáctica, acciones del instructor y acciones del niño. Ante la presentación de una actividad didáctica el niño puede responder de diferentes maneras. Las acciones y actitudes del instructor deben permitir que el niño obtenga un significado para sí mismo de la actividad y favorecer el uso de estrategias que conduzcan a una solución adecuada de la actividad. En la siguiente figura se muestran las diferentes respuestas que los niños pueden dar ante una actividad y las acciones y actitudes que el instructor puede realizar para lograr su cometido.
ante ésta el niño puede:
Ante las respuestas del niño el instructor puede desplegar las siguientes acciones y, en forma permanente, mostrar las siguientes actitudes: Acciones • Sugiere una estrategia diferente: “¿Qué pasaría si lo haces así?” • Demuestra una forma de solución: “Observa como lo hago yo” • Repite la actividad tal y como la planteó al inicio: “Te lo voy a decir de nuevo” • Reestructura la actividad inicial: “ Y si lo ponemos de esta manera” Actitudes • Observa tanto el resultado como el proceso o estrategia de solución. • Concibe el error como: a) una estrategia que indica la forma en la que el niño
concibe y encara la situación que se le presenta; b) una señal didáctica que permite orientar la presentación de actividades.
• Maneja los espacios entre la presentación de las situaciones y la respuesta del niño.
• Parte de las estrategias que posee el niño para alentar el uso de estrategias más complejas.
• Acepta el uso de soluciones no convencionales.
• no responder o no hacer nada • resolverla de manera apresurada • usar una estrategia no orientada a la solución • usar una estrategia orientada a la solución poco funcional • usar una estrategia orientada a la solución pertinente
El instructor propone una actividad didáctica
121
Tipos de preguntas que favorecen el aprendizaje del niño Es importante destacar que el discurso que emplea el instructor durante las sesiones tiene efectos que pueden ser benéficos o contraproducentes en el aprendizaje del niño. Con frecuencia, cuando las respuestas de los niños no coinciden con las esperadas por el instructor, éste: • tiende a descalificar la respuesta del niño diciéndole que no es correcta la
respuesta o que no está bien lo que hizo, e • intenta mostrarle la forma “correcta” de resolver la actividad.
Estas actitudes del instructor no favorecen el aprendizaje del niño porque por más que se le diga que no es correcta la respuesta, el niño seguirá respondiendo de la manera en la que lo ha venido haciendo ya que sus respuestas han sido efectivas en cierto tipo de situaciones. Sin embargo, probablemente lo que no sabe es que algunas estrategias no son las adecuadas para manejar otro tipo de situaciones más complejas. Por tanto, el instructor debe procurar que el niño se percate de la diferencia de las situaciones planteadas y promover el uso de diferentes vías de solución sin que esto signifique la imposición de una forma “correcta” de resolver la actividad, ya que más que una única forma existen varias maneras de resolución. Algunas son más tardadas y elementales y otras son más económicas y efectivas. Procurar que el niño tenga un dominio de éstas últimas es la labor del instructor. Para lograrlo, éste puede auxiliarse del empleo de una variedad de preguntas que estimulan la reflexión acerca de las actividades y tienden puentes hacia la adopción de estrategias más elaboradas.
A continuación se presentan diferentes tipos de preguntas que son de gran utilidad al momento de trabajar con los niños. Reflexión acerca de la estrategia empleada ante una situación planteada.
• ¿Me puedes decir cómo le hiciste? • ¿Cómo encontraste la respuesta? • Para que yo sepa como hacerlo dime ¿cómo lo resolviste?
Uso de una estrategia diferente. • ¿Crees que puedas hacerlo de otra manera? • ¿Quién lo hizo de otra forma? (Cuando se trabaja en grupo). • Y si hago esto (modificar la situación planteada inicialmente) ¿cómo lo
puedes resolver? Recuerdo de acciones hechas con anterioridad.
• ¿Te acuerdas como lo acabas de resolver? • ¿Te acuerdas cómo lo hicimos ayer?
Recuerdo de los pasos en una secuencia de acciones. • Ya hiciste esto. Ahora ¿qué más tienes que hacer? • Después, ¿qué sigue?
Comparación de estrategias • Vamos a fijarnos como lo hicieron los demás compañeros. ¿Es igual o
diferente a como tú lo hiciste? ¿Por qué? • Esto que acabas de hacer ¿en qué es diferente a como lo habías hecho
antes?
122
Guía para la descripción de estrategias
Al describir una estrategia es importante que se consideren los siguientes elementos:
1. Descripción de la situación didáctica planteada al niño. 2. Descripción de la ejecución del niño ante la situación
Por cada una de las acciones realizadas por el niño hay que incluir: • Un dibujo que represente la acción • Un texto que describa la acción
3. Observaciones del instructor en relación con las características de la ejecución
Ejemplo
Se le planteó al niño el siguiente problema: Juan tiene 8 canicas, luego su hermana le regaló 2 canicas más. ¿Cuántas canicas tiene ahora Juan?
Observaciones
Como puede apreciarse en la ilustración, para resolver el problema planteado el niño utilizó una estrategia de modelado directo denominada contar todo.
El niño pone8 fichas
Después ponedos fichas
Junta los dos conjuntos
4
1
2
3
5
6
7
8
9
10
Cuenta todas las fichas
Tiene 10fichas
123
Guía para la elaboración de los informes de las sesiones grupales Componentes • Título Informe de sesiones grupales • Información general ubicada en el extremo superior derecho Niños participantes: Grado escolar: Fecha: Sesión: Instructores: Elaboración del informe: • Propósitos Describir las estrategias que se pretenden fomentar • Actividades didácticas Especificar las actividades didácticas realizadas durante la sesión • Descripción general Hacer una descripción del desenvolvimiento de la sesión • Descripción de estrategias significativas Tomando como base la Guía para la descripción de estrategias, incluir la descripción de las estrategias que cada uno de los niños emplea para resolver la actividad didáctica planteada. Si la actividad se repite varias veces durante la sesión elegir la estrategia que, a su juicio, sea más representativa del comportamiento del niño. Trate de dar cuenta de la estabilidad o del cambio en las estrategias. • Valoración comparativa de las estrategias de los niños Analizar las diferentes respuestas dadas por los niños ante las actividades didácticas planteadas en la sesión. • Sugerencias para la próxima sesión Sobre la base de lo observado en la sesión, especificar las actividades didácticas y estrategias que es conveniente trabajar en la siguiente sesión.
124
Guía para la elaboración de los informes de las sesiones individuales
Componentes • Título Informe de sesiones individuales. • Información general ubicada en el extremo superior derecho Nombre del niño: Grado escolar: Fecha: Sesión: Instructores: • Propósitos Describir las estrategias que se pretenden fomentar • Actividades didácticas Especificar las actividades didácticas realizadas durante la sesión • Descripción general Hacer una descripción del desenvolvimiento de la sesión • Descripción de estrategias significativas Tomando como base la Guía para la descripción de estrategias, incluir la descripción de, al menos tres estrategias que se consideren significativas. Trate de dar cuenta de la estabilidad o del cambio en las estrategias. • Valoración de las actividades propuestas y de las estrategias de los niños Proporcionar información sobre la idoneidad de las actividades así como de las estrategias de los niños. • Sugerencias para la próxima sesión Sobre la base de lo observado en la sesión, especificar las actividades didácticas y estrategias que es conveniente trabajar en la siguiente sesión.
125
Guía para la elaboración del informe de las respuestas de los niños dadas a la EICA
Componentes • Título Informe de las respuestas dadas a la Evaluación Informal de Conocimientos Aritméticos • Datos de identificación Nombre del niño Expediente Fecha de nacimiento Edad actual Grado escolar Aplicador Fecha de aplicación • Aspectos a evaluar 1. Sistema de numeración verbal
1.1 Serie numérica desde el inicio 1.2 Serie numérica desde un segmento
2. Procesos de cuantificación 2.1 Conteo y principio de cardinalidad 2.2 Conteo hacia delante 2.3 Conteo de grupos
3. Sistema de numeración escrito 3.1 Lectura de números 3.2 Escritura de números 3.3 Valor posicional
4. Procesos de comparación 4.1 Relación mayor menor 4.2 Relación parte parte todo 4.3 Igualdad
5. Problemas aditivos verbales 5.1 Cambio 1 5.2 Cambio 2 5.3 cambio 3 5.4 Combinación 5.5 Comparación
6. Operaciones de suma y resta Por cada uno de los aspectos incluir:
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• Instrucciones Incluir únicamente las palabras que se le dicen al niño. Estas vienen en cursivas
en la EICA. • Ejecución del niño Describir gráficamente la ejecución del niño. Considerar la representación gráfica
que permita informar de mejor manera las acciones del niño. • Observaciones Tomando como base la sección Aspectos a observar de la EICA, valorar la respuesta del niño en términos de la efectividad de su respuesta, del tipo y calidad de la misma. Es conveniente incluir todos aquellos aspectos que se consideren importantes y que den información sobre la respuesta del niño. Ejemplo: 1. Sistema de numeración verbal 1.1. Serie numérica desde el inicio • Instrucciones Cuenta en voz alta y despacio hasta el número que te sepas. • Ejecución del niño
-¿Qué sigue del 39?
• Observaciones La enunciación de la serie numérica es incorrecta. El niño se detiene en el número 39. La detención de la serie ocurrió en el segmento denominado del 16 en adelante. • Casos específicos En el caso de los PAVs especificar si el resultado fue correcto o incorrecto y guiarse por la sección de Aspectos a observar contenida en la EICA.
En la solución de las operaciones es importante describir el proceso empleado por el niño en la resolución de la operación.
1, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 1011, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26,27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,35, 36, 37, 38, 39.
Ninguno
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Guía para la elaboración del informe parcial del desempeño del niño
Componentes Carátula
1. Informe de avances del niño 2. Protocolo de la prueba aplicada 3. Fundamentación de la prueba 4. Resultados
4.1. Descripción de la ejecución del niño en cada uno de los reactivos. Hacerlo de manera semejante a la que se hace cuando se describen las ejecuciones en los informes individuales.
4.2. Valoración diagnóstica. Emitir diversos juicios que permitan obtener una visión general del desempeño del niño en la prueba aplicada.
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ZARAGOZA
PROGRAMA DE ATENCION AL BAJO RENDIMIENTO ESCOLAR
Informe parcial del desempeño del niño
Elaboración: Niño:
Expediente: Grado escolar:
Fecha:
128
Guía para la elaboración del informe de intervención El informe de intervención se entregará en un fólder con las siguientes características: • Datos del niño y de los estudiantes en la pestaña.
Ejemplo: Juan Pablo Ríos Hernández. Exp. 99201 Carmen y Francemy • Ficha de identificación en la contraportada anterior Componentes Carátula
1. Información general
• Nombre del niño: • Fecha de nacimiento: • Edad actual: • Grado actual: (Si hay grados repetidos especificar grados y número de
repeticiones). • Situación escolar: (Especificar si el niño aprobó o reprobó el grado escolar). • Fecha de admisión: • Número de sesiones trabajadas: • Nombre de los psicólogos:
2. Propósitos Enliste en forma clara y específica los propósitos que guiaron la intervención. Dicho de otra manera, especifique las estrategias que se pretendieron fomentar en el niño para que éste lograra un mejor desempeño en aritmética.
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MEXICO FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ZARAGOZA
PROGRAMA DE ATENCION AL BAJO RENDIMIENTO ESCOLAR
Informe de intervención
Elaboración: Niño:
Expediente: Grado escolar: Semestre: 99/2
Fecha:
129
Ejemplos: • Durante la intervención se pretendió que el niño fuese capaz de: • Utilizar el conteo hacia delante para resolver problemas de adición y
substracción • Resolver problemas de cambio, combinación y comparación con números de
dos cifras. • Reconocer números de tres cifras y entre varios de éstos especificar el mayor y
el menor. • Dominar la serie numérica de 100 en 100. 3. Estructura y dinámica de la intervención Haga una descripción general del o de los escenarios en los que se llevó a cabo la intervención, de la duración de las sesiones, su periodicidad, la dinámica de trabajo y los participantes. 4. Actividades realizadas Construya una tabla en la que aparezcan los siguientes elementos: Sesión Fecha Propósitos Actividades * *En la parte de actividades incluir el nombre de las mismas y si se tomaron de algún lado, especificarlo. 5. Resultados 5.1. Descripción de los cambios en las estrategias del (la) niño(a) En este apartado se debe dar cuenta, de la manera más específica y convincente, de los cambios en los comportamientos aritméticos como resultado de la intervención. Recomendaciones • Para elaborar esta parte es conveniente preguntarse:
• ¿Qué cosas no podía realizar el niño al inicio de la intervención y ya pudo realizarlas en el transcurso o al final de ésta?
• ¿Realizó estrategias más elaboradas para resolver situaciones que antes resolvía con estrategias más elementales?
• Describa el mayor número de cambios. Esto le dará más solidez al trabajo realizado.
• Recuerde que afirmar que se dio el cambio no basta. Es indispensable que quede demostrado a través de las muestras del trabajo realizado por el niño, las que se tomarán de los informes de las sesiones individuales.
5.2. Evaluación de las actividades didácticas Es de suponerse que de las actividades didácticas que se realizaron algunas le resultaron mejor que otras. El propósito de este apartado es el de conocer su opinión fundamentada de la efectividad de las actividades. Para esto, basándose en la tabla que aparece en el apartado 4 construya una tabla en la que especifique
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qué tan efectiva fue cada actividad propuesta. Al término de la tabla, por cada una de las actividades fundamente la opción elegida. Actividades Poco
efectiva Efectiva Muy
efectiva 6. Recomendaciones En este apartado incluya dos tipos de recomendaciones: las primeras en términos de las estrategias o comportamientos aritméticos que es necesario fomentar en el niño y las segundas acerca de las actividades más adecuadas para lograr el empleo de las estrategias propuestas. En ambos casos fundamente sus afirmaciones.
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Bibliografía
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