doctorado en ciencias veterinarias de la unne

Doctorado en Ciencias Veterinarias de la

UNNE

Diseño Experimental 2019

Un experimento factorial no constituye un

nuevo diseño experimental, sino un diseño para

la formación de los tratamientos, y pueden ser

conducidos bajo los lineamientos de cualquier

diseño experimental tal como el DCA, el

DBCA o el DCL

Experimentos factoriales

Un experimento factorial es aquél en el que se

estudian simultáneamente varios factores, de

modo que los tratamientos se forman por todas

las combinaciones de los niveles de los factores

Ventajas y desventajas de los experimentos factoriales

Ventajas

* Permite obtener más información que en unexperimento unifactorial, ya que se estudian losefectos principales, los efectos simples y lasinteracciones entre los factores.

* Todas las unidades intervienen en laformación de los efectos principales y de lainteracción, por lo que el número de repeticioneses elevado para estos casos.

Desventajas

* Se requiere un mayor número de unidades

experimentales que en los experimentos unifactoriales.

* Dados que todos los niveles de un factor se

combinan con todos los niveles de los otros, por

requerimiento del análisis estadístico, algunas

combinaciones que no son de interés se incluyen también

en el experimento.

* El análisis estadístico y la interpretación de los resultados

son más complicados que en los experimentos

unifactoriales. La dificultad aumenta cuando hay más

factores.

Notación y definiciones

Factor

Tipo de tratamiento

Niveles de un factor

Categorías distintas del factor

Tipos de factores

Factores cuantitativos

Factores cualitativos

Tipos de experimentos factoriales

Definidos por el número de factores y niveles

Notación de factoriales

2 Factores con 2 niveles cada uno : 2 x 2

2A2B

22

3 Factores con 3 niveles cada uno:3 x 3

3A3B3C

33

1 Factor con 2 niveles y 1 con 3 niveles:2 x 3

2A3B

Ejemplo 1

En una prueba de engorde de novillos se decidiósuplementar la alimentación estándar con 4 nivelesde proteína y 3 niveles de vitamina.

Factorial 4x3:

P1V1 P2V1 P3V1 P4V1

P1V2 P2V2 P3V2 P4V2

P1V3 P2V3 P3V3 P4V3

Ejemplo 2

› Se desea estudiar el efecto de 4 suplementos con 2antibióticos sobre el contenido de proteina bruta en lecheobtenida de Holando argentina.

Ejemplo 3

› Considérese un experimento para evaluar rendimientos devariedades de soja.

› Supóngase que tambien es de interés un segundo factor,distancia entre surcos.

› Se puede planear un experimento con dos factores en el quelos tratamientos consisten en todas las combinaciones entrevariedades y distancias.

Ejemplo 4

Un experimento para comparar los efectos delfósforo y potasio en distintos niveles. Seestudiaran todas las combinaciones conjuntas.

• Factor A:• Niveles a1, a2, a3

• Factor B:• Niveles b1, b2, b3

• Tratamientos:b1 a1b1

a1 b2 a1b2 b3 a1b3b1 a2b1

a2 b2 a2b2 b3 a2b3b1 a3b1

a3 b2 a3b2 b3 a3b3

Nomenclatura

Efectos en los experimentos factoriales

Efecto simple

Comparación entre los niveles de un factor a unsolo nivel de otro factor

Efecto principal

Comparación entre los niveles de un factorpromediados para todos los niveles de otro factor

Efecto de interacción

Miden las diferencias entre los efectos simplesde un factor a distintos niveles de otro.

Modelo estadístico lineal

Dos factores, A y B; A a “i” niveles, B a “j” niveles

En un DCA el modelo aditivo lineal es:

rkbjai

y ijkijjiijk

...1 ...1 ...1

En un DBCA el modelo aditivo lineal es:

rkbjai

y ijkkijjiijk

...1 ...1 ...1

Estimación de los efectos (DCA)

Los parámetros del modelo se estiman por el

método de los mínimos cuadrados, minimizando la

siguiente expresión:

Supuestos del modelo estadístico

22 i j k

ijjiijk

i j k

ijk yQ

Con las siguientes restricciones:

j

iji

iji j

ji 0 0 0 0

La aplicación del método proporciona las siguientes

estimaciones:

.ijijkijk...j....i.ijij

....j.j.....i...

yyˆ yyyyˆ

yyˆ yyˆ yˆ

2

1 1 1.

2

1 1........

2

1 1 1 1 1.....

2.....

2...

a

i

b

j

n

kijijk

a

i

b

jjiij

a

i

b

j

n

k

a

i

b

jjiijk

yyyyyyn

yyanyybnyy

Partición de la suma de cuadrado total

Análisis de la variancia

Análisis de la variancia para un diseño de

tratamientos con dos factores. Diseño

completamente al azar (DCA), efectos fijos.

Fuente de Variación

g.l. SC CM F

Factor A a-1 SCACMA=SCA/(a-1) CMA/ CME

Factor B b–1 SCB CMB=SCB/(b-1) CMB/ CME

Interacción AB

(a-1)(b-1) SC(AB) CM(AB)/(a-1)(b-1) CMAB/ CME

Error ab(r-1) SCE CME/ ab(r-1)

Total rab-1 SCTotal

HIPÓTESIS (modelo a efectos fijos)

Para la interacción

H0: ()11 = ()12 = . . . = ()ij i=1 . . . a; j=1 . . . b

H1: al menos un ()ij difiere de los restantes

Para los efectos principales

H0: 1 = 2 = . . . = i i=1 . . . a

H1: al menos un i difiere de los restantes

H0: 1 = 2 = . . . = i j=1 . . . b

H1: al menos un i difiere de los restantes

Errores estándares (una media)

rCMESceldasdemediaslasPara

arCMESBfactorelPara

brCMESAfactorelPara

ijy

jy

iy

.

..

..

*

*

Errores estándares (diferencia de dos medias)

rCMESceldas de medias las Para

arCMESB factor el Para

brCMESA factor el Para

jiij

jj

ii

yy

yy

yy

2

*2

*2

' .'.

' ....

'....

Un ejemplo:

Factor A con 2 niveles y Factor B con 2 niveles = 4 Tratamientos.

Repeticiones = 5.

Diseño: Completamente Aleatorizado.

Modelo Lineal Aditivo: Yij = µ + i + ij

Hipótesis: H0: i = 0

Ha: i ≠ 0

FV GL SC CM F

Tratam.

3

1539,41

513,14

21,60**

Error

16 379,92 23,75

Total 19 1919,33

ARREGLO FACTORIAL 2x2

ARREGLO FACTORIAL 2x2

Un ejemplo:

Factor A con 2 niveles y Factor B con 2 niveles = 4 Tratamientos.

Repeticiones = 5.

Partición de los GL tratamientos:

Diseño: Completamente Aleatorizado.

Modelo Lineal Aditivo: Yijk = µ + i + βj + (β)ij + ijk

Hipótesis: H0: i = 0 H0: βj = 0 H0: (β)ij = 0

Ha: i ≠ 0 Ha: βj ≠ 0 Ha: (β)ij ≠ 0

FV GL SC CM F FV GL SC CM F

A 1 1256,75 1256,75 52,92

B 1 8,71 8,71 <1

Tratam.

3

1539,41

513,14

21,60

AB 1 273,95 273,95 11,5

Error

16 379,92 23,75 Error 16 379,92 23,75

Total 19 1919,33 Total 19 1919,33

Cuatro lotes de 6 animales, cada uno de igual peso

inicial, fueron sometidos a diferentes tipos de

alimentos durante un cierto período, acusando los

siguientes aumentos de peso:

Tratamientos

a1b1 a1b0 a0b1 a0b0

64 78 75 55

72 91 93 66

68 97 78 49

77 82 71 64

56 85 63 70

95 70 76 68

Total 432 503 456 372

Medias 72 83,3 76 62

EJEMPLO FACTORIAL 2X2

Entero (a1)

A: Grano de Maíz

Molido (a0)

Con vitamina (b1)

B: Vitamina

Sin vitamina (b0)

AB

Total Mediab1 b0

a1 432 503 935 77,92

a0 456 372 828 69,00

Total 888 875 1763

Media 74,00 72,92 73,458

Variable N R² R² Aj CV

peso 24 0,41 0,32 14,18

Cuadro de Análisis de la Varianza

F.V. SC gl CM F p-valor

Modelo 1485,13 3 495,04 4,56 0,0137

A 477,04 1 477,04 4,40 0,0490

B 7,04 1 7,04 0,06 0,8016

A*B 1001,04 1 1001,04 9,22 0,0065

Error 2170,83 20 108,54

Total 3655,96 23

Análisis de la varianza

Medias ajustadas, error estándar y número de observaciones

Error: 108,5417 gl: 20

A Medias n E.E.0 69,00 12 3,011 77,92 12 3,01


Error: 108,5417 gl: 20

B Medias n E.E.0 72,92 12 3,011 74,00 12 3,01


Error: 108,5417 gl: 20

A B Medias n E.E.0 0 62,00 6 4,251 1 72,00 6 4,250 1 76,00 6 4,251 0 83,83 6 4,25

Gráfico de la interacción A*B

Un proceso de producción química consiste de unaprimera reacción con un alcohol y una segundareacción con una base. Se realizó un experimentofactorial 3 x 2, con tres alcoholes y dos bases, concuatro reacciones réplica en un diseño totalmente alaleatorizado. Los datos se reunieron como porcentajede la reacción.

EJEMPLO DISEÑO FACTORIAL – DOS FACTORES CUALITATIVOS

BaseAlcohol

1 2 3

191,3 89,8 89,3 88,1 89,5 87,6

90,7 91,4 90,4 91,4 88.3 90,3

287,3 89,4 92,3 91,5 93,1 90,7

91,5 88,3 90,6 94,7 91,5 89,8

Base

Alcohol

A

1 2 3 Total

B

1 363,3 352,9 355,7 1078,2

2 356,5 369,1 365,1 1090,7

Total 719,8 728,3 720,8 2168,9


Variable N R² R² Aj CV porc 24 0,4820 0,3381 1,5855

Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)

F.V. SC gl CM F p-valorModelo 34,3833 5 6,8767 3,3499 0,0259base 6,6150 1 6,6150 3,2225 0,0894alcohol 5,4758 2 2,7379 1,3338 0,2883 base*alcohol 22,2925 2 11,1463 5,4298 0,0143Error 36,9500 18 2,0528Total 71,3333 23


Error: 2,0528 gl: 18

base Medias n E.E. 2 90,8917 12 0,41361 89,8417 12 0,4136


Error: 2,0528 gl: 18

alcohol Medias n E.E. 2 91,0375 8 0,50663 90,1000 8 0,50661 89,9625 8 0,5066


Error: 2,0528 gl: 18

base alcohol Medias n E.E. 2 2 92,2750 4 0,71642 3 91,2750 4 0,71641 1 90,8000 4 0,71641 2 89,8000 4 0,71642 1 89,1250 4 0,71641 3 88,9250 4 0,7164

Alcohol base Resumen porcen1 1 Media 90,80001 2 Media 89,1250

2 1 Media 89,80002 2 Media 92,2750

3 1 Media 88,92503 2 Media 91,2750

Contrastes

base*alcohol SC gl CM F p-valorbas1 vs bas2 en a1 5,6112 1 5,6112 2,7335 0,1156bas1 vs bas2 en a2 12,2513 1 12,2513 5,9681 0,0251bas1 vs bas2 en a3 11,0450 1 11,0450 5,3805 0,0323Total 28,9075 3 9,6358 4,6940 0,0136


alcohol Variable N R² R² Aj CV 1 porc 8 0,3309 0,2194 1,5287

Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)F.V. SC gl CM F p-valorModelo 5,6113 1 5,6113 2,9670 0,1358base 5,6113 1 5,6113 2,9670 0,1358Error 11,3475 6 1,8913Total 16,9588 7





Se diseñó un experimento factorial para estudiar el efecto de laalimentación temprana de calostro sobre los niveles deinmunoglobulina, en terneras. El factor A fue la cantidad de alimentosuministrado (0,5 ó 1,5 kg.) y el factor B fue el momento de laprimera alimentación (1, 4, 7 y 10 horas) después de nacidas. Untiempo después el experimento se repitió. Considerar los dosexperimentos como bloques. Los valores registrados fueron unidadesturbidimétricas relativo al sulfato de bario estándar de 20, cuando lasangre se muestreó 48 horas después del nacimiento. El calostro fuemezclado para eliminar la variación entre madres.

Bloque CantidadMomento de la primera

alimentación1 4 7 10

1 0,5 12,9 5,6 2,8 1,2

1 1,5 11,7 10,7 9,9 7,4

2 0,5 11,0 5,0 2,0 1,1

2 1,5 14,0 13,7 12,4 7,2

EJEMPLO DISEÑO FACTORIAL – DOS FACTORES CUANTITATIVOS


Variable N R² R² Aj CV Unidades 16 0,964 0,923 15,945

Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)

F.V. SC gl CM F p-valor

Modelo 306,580 8 38,323 23,332 0,000Bloque 1,103 1 1,103 0,671 0,439Cantidad 128,823 1 128,823 8,431 <0,0001 Momento 142,673 3 47,558 28,954 0,000Cantid.*Mom. 33,983 3 11,328 6,896 0,0169 Error 11,498 7 1,643

Total 318,078 15

Momento SC gl CM F p-valor

lineal/0,50 124,61 1 124,61 75,84 <0,0001

cuadrático/0,50 14,58 1 14,58 8,87 0,0206

cubico /0,50 0,44 1 0,44 0,27 0,6194

lineal/1,50 31,33 1 31,33 19,07 0,0033

cuadrático/1,50 5,12 1 5,12 3,12 0,1207

cubico/1,50 0,58 1 0,58 0,35 0,5727

Error 11,498 7 1,643

Cantidad 1 -1

Momento L -3 -1 1 3 -3 -1 1 3

Momento Q 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1

Momento C -1 3 -3 1 -1 3 -3 1

Cant.x M.L -3 -1 1 3 3 1 -1 3

Cant.x M.Q 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1

Cant.x M.C -1 3 -3 1 1 -3 3 -1

Contrastescantidad*momento SC gl CM F p-valor Contraste1 15,48800 1 15,48800 9,42953 0,0180Contraste2 18,49000 1 18,49000 11,25723 0,0122Contraste3 0,00450 1 0,00450 0,00274 0,9597Total 33,98250 3 11,32750 6,89650 0,0169

Coeficientes de los contrastescantidad*momento Ct.1 Ct.2 Ct.3 0,50:1,00 -3,00000 1,00000 -1,000000,50:4,00 -1,00000 -1,00000 3,000000,50:7,00 1,00000 -1,00000 -3,000000,50:10,00 3,00000 1,00000 1,000001,50:1,00 3,00000 -1,00000 1,000001,50:4,00 1,00000 1,00000 -3,000001,50:7,00 -1,00000 1,00000 3,000001,50:10,00 -3,00000 -1,00000 -1,00000

doctorado en ciencias veterinarias de la unne

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