DOCIMASIA O PRUEBA DE HIPTESIS

IntroduccinUn segundo bloque de instrumentos para la inferencia estadstica son las pruebas de hiptesis: Evalan la evidencia de una afirmacin sobre la poblacin. Hay situaciones en las que ms que conocer el valor concreto del parmetro, queremos tomar una decisin acerca de este. Formular una hiptesis sobre el valor del parmetro y contrastarla con los datos de la muestra para comprobar si estos la apoyan o la desmienten. En estadstica una afirmacin sobre la poblacin se plantea en forma de hiptesis de trabajo. Las dos hiptesis que se plantean son complementarias se llaman: Hiptesis nula (H0) Hiptesis alternativa o de investigacin (H1) Las hiptesis hacen referencia a los parmetros de la poblacin.

Planteamiento General: Hiptesis estadstica

Regla de decisinUna prueba de hiptesis es un procedimiento que especifica: 1. Para qu valores muestrales la decisin ser no rechazar la hiptesis nula (regin de aceptacin). 2. Para qu valores muestrales la hiptesis nula ser rechazada a favor de la alternativa (regin de rechazo).

Evaluacin del errorAl tomar la decisin acerca de la veracidad de Ho, podemos cometer dos tipos de error: Rechazar H0 cuando de hecho es cierta: error de tipo I Aceptar H0 cuando realmente es cierta H1: error de tipo II

Observacin: el error tipo I = nivel de significacin =

En esquema:Planteamiento del problema Hiptesis nula y alternativa

Fijar Test estadstico

Decisin No rechazar la hiptesis nula Rechazar la hiptesis nula (aceptar la hiptesis alternativa)

Establecer regiones De rechazo y Aceptacin

Ejemplo

Solucin

Ejemplo

Solucin

El valor p o mnimo nivel de significacin

Cuanto ms pequeo sea el p-valor mayor es la evidencia en contra de Ho.

Dcima para una media poblacional ( conocida)Caso I H o : = 0 H a : < 0 Caso II H o : = 0 H a : 0 Prueba Estadstica: Poblacin Normal Caso III Ho : =0 Ha : >0

Z =

x o

nZ se distribuye como una normal estndar. bilateral

Decisin Si Zcal < -Z entonces se rechaza Ho Si |Zcal |>Z/2 entonces Si Zcal >Z entonces se rechaza Ho se rechaza Ho

EjemploEn estudios previos se ha determinado que el nivel promedio de cantidad demandada de cierto servicio es 220 mensualmente. Un empresario piensa que en realidad el nivel es ms alto de lo que se indica y para probar su afirmacin se asume que la demanda es normal con desviacin estndar de 13 ( = 13). Para una muestra de 20 meses, habr suficiente evidencia estadstica para apoyar la afirmacin del empresario?. 217 233 218 223 235 224 225 242 245 219 238 221 216 234 217 199 226 236 202 248

Solucin Ho: = 220 (el nivel promedio de demanda es 220). La hiptesis alterna es Ha: > 220 (el empresario piensa que el nivel promedio de demanda esmayor de 220). Los resultados son los siguientes: One-Sample Z: Demanda Test of mu = 220 vs > 220 The assumed standard deviation = 13 Variable N Mean StDev SE Mean Z P Demanda 20 225.900 13.094 2.907 2.03 0.021 Interpretacin: El valor del P-value (el rea a la derecha de 2.03) es .021 menor que el nivel de significacin =0.05, por lo tanto; se rechaza la hiptesis nula y se concluye de que s hay evidencia estadstica de que el nivel promedio de demanda es mayor de 220. O sea los resultados apoyan lo que afirma el empresario.

EjemploSe quiere probar la hiptesis de que las mediciones de un instrumento tienen promedio superior a 10,2. Si se toman tres lecturas y se encuentra un promedio muestral de 10,24333 y una varianza de 0,0002333 unidades cuadrticas, los datos apoyan la afirmacin?

Dcima para una media poblacional ( desconocida)Caso I Ho : = o Ha : < 0 Caso II H o : = o Ha : o Prueba Estadstica Una muestra pequea (n < 30) tomada de la poblacin normal Caso III H o : = o Ha : > o

t =

x s n

o

bilateral t se distribuye como una t-student con n-1 g.l.

DecisinSi tcal < -t entonces Si |tcal |>t/2 entonces Si tcal > t entonces

se rechaza Ho

se rechaza Ho

se rechaza Ho

EjemploLos tiempos de atencin (en minutos) de 12 clientes para un servicio dado son los siguientes: 3.1 0.9 2.8 4.3 0.6 1.4 5.8 9.9 6.3 10.4 5 11.5

Probar la hiptesis que el tiempo promedio de duracin es menor de 9 minutos.

SolucinOne-Sample T: tiempo Test of mu = 9 vs < 9 Variable N Mean StDev SE Mean T P tiempo 12 5.16667 3.75967 1.08532 -3.53 0.002 Interpretacin: El valor del P-value es .002 menor que el nivel de significacin =0.01, por lo tanto; se rechaza la hiptesis nula y se concluye de que s hay evidencia estadstica de que el tiempo promedio de atencin es menor de 9.

Inferencia para ProporcionesCuando estamos interesados en estimar la proporcin p estimado de ocurrencia de un evento. Se necesita definir una variable aleatoria X que indique el nmero de veces que ocurre el evento en una muestra de tamao n y con probabilidad de xito, p. Se puede mostrar que cuando el tamao de muestra es grande, tal que np > 5, entonces el estadsticoZ = p p p (1 p ) n

se distribuye aproximadamente como una normal estndar. Aqu p representa la proporcin poblacional que se desea estimar, y la proporcin muestral es: x p= n

Dcima para una proporcinCaso I Ho : p = p0 Ha : p < p0 Caso II Ho : p = p0 Ha : p p0 Caso III Ho : p = p0 Ha : p > p0

Prueba Estadstica (Aproximada)

Z=

p p p (1 p ) nbilateral

DecisinSi Zcal Z / 2 entonces se rechaza Ho Si Zcal >Z entonces se rechaza Ho

EjemploEn 1995 en una zona metropolitana, se report que dos de cada 5 personas reunan el perfil del consumidor de cierto bien. En una encuesta reciente hecha en 2005 a 1225 personas se encontr que 478 de ellos coincidan con dicho perfil. Piensa usted que existe evidencia para afirmar de que el perfil del consumidor ha cambiado con respecto a 1995? Utilice = 0.90

Solucin:Hay que hallar un intervalo de confianza del 90% para la proporcin p, y probar la siguiente hiptesis:H 0 : p = 0.4 (la proporcin no cambi de 1995 a 2005). H a : p 0.4 (la proporcin cambi de 1995 a 2005).

Test of p = 0.4 vs p not = 0.4Sample 1 X 478 N 1225 Sample p 0.390204 90% CI Z-Value (0.367280, 0.413128) -0.70 P-Value 0.484

Interpretacin: Viendo que el P-value es 0.484 mucho mayor que 0.10 se llega a la conclusin de que no hay suficiente evidencia de que la proporcin de personas con el perfil deseado haya cambiado de 1995 a 2005.

Errores tipo I y IIEjemplo: Suponga las hiptesis Ho : = 0 vs. Ha : = 1 (1 < 0)

= P(Rechazar Ho / Ho : = 0) = P ( X < k / Ho : = 0 ) = P(Aceptar Ho / Ho : = 1) = P ( X > k / H1 : = 1 )