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Curso: 4to año de formación matemática

Docente: Lic. Santiago Quelali Arpita

INVESTIGACIÓN OPERATIVA

PROGRAMACIÓN LINEAL

1.1. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

1.2. FORMULACION DE UN PROBLEMA LINEAL

1.3. SOLUCION GRAFICA DE UN PROBLEMA LINEAL

1.4. CASOS ESPECIALES DE PROBLEMAS LINEALES

1.4.1. Problemas Infactibles

1.4.2. Problemas no Acotados

1.4.3. Problemas con Restricciones Redundantes

1.4.4. Problemas con Múltiples Soluciones

1.5 Problemas de Aplicación

1.1. INTRODUCCION A LA PROGRAMACION LINEAL

La programación lineal es una técnica matemática que permite la asignación de recursos

de la mejor manera posible. Esto implica la determinación de los valores óptimos de un

conjunto de variables que deben satisfacer un cierto número de limitaciones sobre los

valores que pueden tomar, con el fin de obtener el mayor o menor grado de satisfacción

posible.

Esta técnica se utiliza para solucionar

problemas principalmente de la economía

y de la industria que se pueden encontrar

en ámbitos disparejos como inversiones,

control de la producción, distribución de

productos, control de la contaminación,…

Como ejemplos de problemas donde la PL desarrolla un papel fundamental, podríamos

citar:

1.2. FORMULACION DE UN PROBLEMA LINEAL

Partiendo de una situación real se crea un modelo para su resolución matemática. Este

proceso de formulación del modelo de un problema es muy importante ya que

dependiendo del modelo que se construya se obtendrá una solución u otra del

problema.

Para ver los pasos que hay que seguir en la construcción de un modelo de un problema

lineal vamos a utilizar el siguiente ejemplo: Una fábrica produce a partir de cuatro

sustancias: M, N, P y Q dos productos denominados A y B. Para producir estos dos

productos no hay ninguna limitación de las sustancias M y N pero la fábrica solo dispone

de 50 unidades de sustancia P y de 25 unidades de sustancia Q. A continuación, se

recogen en la siguiente tabla las cantidades necesarias de cada una de estas sustancias

para la fabricación de los dos productos, así como el precio de venta de cada unidad de

producto vendida a la semana y el precio de costo de los mismos:

Producto A Producto B Disponibilidad

1. A partir de los recursos disponibles, determinar

las unidades a producir de cada bien de forma que

se maximice el beneficio de la empresa.

2. Elegir materias primas en procesos de

alimentación, para obtener mezclas con unas

determinadas propiedades al mínimo coste.

3. Determinar el sistema de distribución que

minimice el coste total de transporte, desde diversos

almacenes a varios puntos de distribución.

4. Desarrollar un plan de producción que,

satisfaciendo las demandas futuras de los productos

de una empresa, minimice al mismo tiempo los

costes totales de producción e inventario.

Sustancia P 12 5 50

Sustancia Q 3 4 25

Precio de Venta

en euros

40 45

Precio de Costo en euros 10 20

El problema del gerente de esta fábrica radica en determinar qué cantidad de cada

producto debe fabricar de manera que el beneficio semanal sea el máximo.

Antes de plantear el modelo de este problema lineal hay que determinar tres elementos:

1. Variables de decisión:

Son las incógnitas de nuestro problema, habitualmente; se les denomina

0 se asigna con x, y, z, o x1, x2,……...

En este problema las variables de decisión son:

2. Restricciones:

Son las limitaciones que hay que imponer a las variables de decisión.

En este problema no hay limitación de las sustancias M y N pero si de las sustancias

P e Q de manera que para cada una de ellas se debe cumplir que recurso utilizado ≤

recurso disponible

Además de estas restricciones hay que considerar que no se pueden fabricar

unidades negativas de un producto por lo que añadiremos las siguientes restricciones:

x ≥ 0 e y ≥ 0 que denominan restricciones no negatividad.

a) Sustancia P: 12𝑥 + 5𝑦 ≤ 50

b) Sustancia Q: : 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 50

x: Número de unidades de la sustancia A a

fabricar en una semana

y: Número de unidades de la sustancia B a

fabricar en la semana

3. Funciona Objetivo:

Se trata de indicar como es matemáticamente el objetivo del problema, que es o

maximizar o minimizar una función.

En este problema hay que conseguir que el beneficio semanal sea el máximo

por lo tanto la función objetivo será de maximización.

Beneficio semanal del producto A: precio de venta-precio de costo

40 – 10 = 30 Euros

Beneficio semanal del producto B: precio de venta-precio de costo

45 – 20 = 25 Euros.

Con estos tres elementos definimos ya podemos escribir el modelo de nuestro problema

linea

Máx. z = 30x + 25y

12x + 5y ≤ 50

Sujeto a 3x + 4y ≤ 25

x ≥0 , y ≥ 0

1.3 SOLUCION GRAFICA DE UN PROBLEMA LINEAL

El procedimiento gráfico solamente lo utilizaremos para la resolución de problemas lineales

con dos variables de decisión. Este procedimiento tiene las siguientes fases:

.

Otra forma de calcular la solución óptima de un problema es realizar los pasos 1, 2 y

3 y variar el paso 4 de la siguiente manera:

Se representan en el sistema de coordenadas cartesianas las denominadas líneas

de isobeneficio (si el problema lineal consiste en maximizar) o las líneas de isocosto (si

el problema lineal consiste en minimizar). Estas líneas son líneas paralelas a la función

objetivo que indican valores de z iguales a cantidades arbitrarias. Si el problema

tiene como objetivo maximizar se desplazan las líneas de isobeneficio alejándose del

origen de coordenadas y si tiene como objetivo minimizar se desplazan las líneas de

isocosto acercándose al origen de coordenadas de manera que aquel punto en el

que la línea de isobeneficio o isocosto sea tangente a la región factible es la solución

del problema lineal (punto óptimo).

1.4. CASOS ESPECIALES DE PROBLEMAS LINEALES

1.4.1. Problemas Infactibles

. Este caso suele presentarse cuando nos hemos equivocado al formular el

problema lineal

1) Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas en el que las variables de decisión están representadas por los ejes.

2) Dibujar las restricciones del problema incluyendo las de no negatividad. La intersección de todas las restricciones determina lo que se denomina región factible. Si la región factible de un problema es vacía, se dice que dicho problema es infactible.

3) De todos los puntos de la región factible (puntos que

satisfacen todas las restricciones), se determinan los vértices ya que en uno de ellos será la solución del problema.

4) Se evalúa la función objetivo en todos los vértices de la

región factible y se elige como solución óptima aquel vértice

que maximice o minimice (según sea el caso) el valor de la

función objetivo

Máx. z = 2x + y

x + y ≥ 6

3x + 2y ≤ 6

Sujeto a x≥0,y≥

Como se ve en la figura las restricciones r1 y r2 no tienen ningún punto común

por lo que el problema no tiene solución.

1.4.2. Problemas no Acotados

Este caso se presenta cuando no es posible elegir un punto de la región factible como

punto óptimo ya que siempre es posible encontrar otro punto que mejore el valor de la

función objetivo obtenido con el punto anterior.

Máx. z = x + 3y

y ≥ x

y ≥ 2

Sujeto a

x ≥ 0, y≥0

En el ejemplo se ve como la región factible es ilimitada y como el problema es de

maximización, dado un punto de la región factible siempre es posible encontrar otro cuyo

valor de z sea mayor y por tanto no es posible determinar la solución del problema.

1.4.3. Problemas con restricciones redundantes

Este caso se presenta cuando el problema tiene restricciones que no

intervienen en la determinación de la región factible. Una restricción redundante no influye

en la solución de un problema pero si puede dificultar su resolución ya que aumenta el

tamaño del mismo.

Máx. z = 2x + 5y

3x + y ≤ 6

Sujeto a x + y ≤ 6

x + 2y ≤ 6

x≥0, y≥0

En el ejemplo observamos que la región factible queda determinada únicamente

por las restricciones r1 y r3, no interviniendo en su determinación la

restricción r2. Por tanto, r2 es una restricción redundante.

1.4.4. Problemas con Múltiples Soluciones

Este caso se presenta cuando una de las restricciones es paralela a la función

objetivo.

Máx. z= 2x + 4y

3x + y ≤ 6

Sujeto a x+ 2y ≤ 6

x≥0, y≥0

En ejemplo se observa que r2 es paralela a la función objetivo por lo que al trazar la

línea de isobeneficio y acercarla al origen de coordenadas, vemos que es tangente a la

región factible en el punto A y en el punto B y por ello en los infinitos puntos del segmento

AB. Por ello el problema tiene infinitas soluciones óptimas.

De los casos anteriormente descritos se puede deducir que un problema lineal puede tener

0 soluciones (si el problema es infactible), 1 solución o infinitas soluciones. Lo que no es

posible es que el problema tenga un número finito de soluciones diferentes de 1.

SISTEMA DE INECUACIONES

Hallar la solución del sistema de inecuaciones

a){2𝑥 + 𝑦 ≤ 42𝑥 − 3𝑦 > 6

b) {𝑥 + 𝑦 ≥ 3𝑥 ≥ 2𝑦 < 5

SOLUCIÓN GRAFICA EN GEOGEBRA

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

Para resolver los problemas de programación lineal, fundamentalmente existen dos

métodos:

Método gráfico y algebraico

Método simplex: simplex algebraico, simplex por tablas

1. Método gráfico y algebraico

Para hallar el máximo o mínimo de una figura Z, f(x, y), G(x, y), mediante el método gráfico

se afecta fundamentalmente una búsqueda tentativa en los extremos o vértices del

semiplano de solución del sistema de restricciones.

Esta búsqueda tentativa en los extremos del sistema de restricciones, sirve de sustento

teórico de los otros métodos de programación lineal.

Ejemplos:

1. Hallar el mínimo y máximo de la función objetivo Z, sujetos a los sistemas de restricción.

Z 3x y 1

Sujeto a:

x y 12

x 4

y 2

x 0,y 0

Solución:

Z 3x y 1

1V (4,8): Z(x,y) 3(4) 8 1 21

2V (10,2): Z(x,y) 3(10) 2 1 33

MÁXIMO

3V (4,2): Z(x,y) 3(4) 2 1 15 MÍNIMO

2. Hallar el máximo y mínimo de la función objetivo Z 2x 5y 8 , sujetos a los sistemas

de restricción:

Sujeto a:

x y 16

4x y 16

2x y 12

y 1

x 0,y 0

Solución:

Z 2x 5y 8

1V (0,16): Z(x,y) 2(0) 5(16) 8 88 MÁXIMO

2V (15,1): Z(x,y) 2(15) 5(1) 8 43

3

11 11V ,1 : Z(x,y) 2 5(1) 8 24

2 2

MÍNIMO

4V (2,8): Z(x,y) 2(2) 5(8) 8 52

3. Hallar el máximo de la función objetivo Z 2000x 5000y , sujetos a los sistemas de

restricción:

2x 3y 3

2x y 9 0

2x 5y 5 0

Solución:

Z 2000x 5000y

1V (5,1): Z(x,y) 2000(5) 5000(1) 15000

No negatividad MÁXIMO

Problemas de aplicación

1. Se dispone de 600 gramos de un determinado

fármaco para elaborar pastillas grandes y

pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas

30 g, se necesitan al menos 3 pastillas grandes, y

al menos el doble de pequeñas que de las grandes.

Cada pastilla grande proporciona un beneficio de

2bs y la pequeña de 1bs. ¿Cuántas pastillas se han

de elaborar de cada clase para que el beneficio sea

máximo.

Solucion:

x = pastillas grandes

y = pastillas pequeñas

FUNCIÓN OBJETIVO f(x,y) 2x y

Fármaco

Pastillas grandes Cantidad 40g

Precio 2bs

Pastillas

pequeñas

Cantidad 30g

Precio 1bs

40x 30y 600

x 3

2x y

f(x,y) 2x y

1V (6,12): f(6,12) 2(6) 12 24 MÁXIMO

2V (3,6): f(3,6) 2(3) 6 12

3V (3,16): f(3,16) 2(3) 16 22

2. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde se van a trabajar

electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado es necesario que haya mayor

o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no

supere al doble de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos.

El beneficio de la empresa por jornada es de 250bs por electricista y 200bs por

mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo

beneficio y cuál es este?

Solución:

x = electricistas

y = mecánicos

FUNCIÓN OBJETIVO

f(x,y) 250x 200y

y x

y 2x

x 30

y 20

x 0;y 0

f(x,y) 250x 200y

1V (10,20): f(10,20) 250(10) 200(20) 6500

2V (20,20): f(20,20) 250(20) 200(20) 9000

3V (0,0): f(0,0) 250(0) 250(0) 0

Respuesta. Se han de elaborar 6

pastillas grandes y 12 pastillas

pequeñas para que el beneficio

sea máximo.

Respuesta.20

electricistas y 20

mecanicos.

3. Un negocio se dedica a la fabricación de sillas y mesas, fabricar cada uno consume una

cantidad de tiempo en horas de los departamentos corte y ensamble. Los

departamentos tienen disponibles una limitada cantidad de horas de trabajo: 120 horas

para corte y 90 horas para ensamble. Cada uno de los productos ofrecen a la empresa

la siguiente contribución: 50bs para las mesas y 80bs para las sillas. La información

anterior mas los consumos de tiempo de cada producto se resume en la siguiente tabla:

Proceso

Consumo de tiempo por cada

unidad de producto, por producto

Tiempo disponible en

cada departamento,

en horas Mesas (x) Sillas (y)

Corte 1 2 120

Ensamble 1 1 90

Contribución 50 80

Determinar la cantidad de mesas y sillas para obtener la máxima ganancia:

Solución:

FUNCIÓN OBJETIVO (x,y)f 50x 80y

x 2y 120

x y 90

x 0;y 0

(x,y)f 50x 80y

1 (0,60)V (0,60): f 50(0) 80(60) 4800

2 (60,30)V (60,30): f 50(60) 80(30) 5400

3 (90,0)V (90,0): f 50(90) 80(0) 4500

4 (0,0)V (0,0): f 50(0) 80(0) 0

Respuesta. Para obtener la

máxima ganancia debe

fabricarse 60 mesas y 30 sillas.

4. Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas.

El fabricante dispone para la confección de 750 metros de tejido de algodón y 1000

metros de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 metro de algodón y 2 metros de

poliéster. Para cada chaqueta se necesita 1.5 metros de algodón y 1 metro de poliéster.

El precio del pantalón se fija en 50bs y el de la chaqueta en 40bs. ¿Qué número de

pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante para los almacenes para que

estos consigan un beneficio máximo?

Pantalones (x) Chaquetas (y) Disponibles

Algodón 1 1.5 750

Poliéster 2 1 1000

Solución:

FUNCIÓN OBJETIVO (x,y)f 50x 40y

3x y 750

22x y 1000

x 0;y 0

(x,y)f 50x 40y

1 (0,500)V (0,500): f 50(0) 40(500) 20000

2 (375,250)V (375,250): f 50(375) 40(250) 28750

3 (500,0)V (500,0): f 50(500) 40(0) 25000

4 (0,0)V (0,0): f 50(0) 40(0) 0

Respuesta. El fabricante debe

suministrar 375 pantalones y 250

chaquetas para conseguir el

beneficio máximo.

5. Un agrónomo dispone de 100 hectáreas (Ha) de terreno, 160kg de abono y 1100bs para

inverir. Esta disponibilidad de recursos desea emplear en dos cultivos A y B. El cultivo

A requiere de 1kg de abono, 10bs de inversión, produciendo un beneficio de 40bs por

Ha. El cultivo B requiere de 4kg de abono, 20bs de inversión, dando un beneficio de

120bs por Ha. Hallar el máximo beneficio. Ordenando en una tabla los datos del

problema, determinando a partir de ella la función objetivo Z (el beneficio) además de

su sistema de restricciones.

Cultivo A B Total disponible

Ha de terreno x y 100

Kg de

abono/Ha 1 4 160

Inversión/Ha 10 20 1100

Solución:

FUNCIÓN OBJETIVO (x,y)f 40x 120y

x y 100

x 4y 160

10x 20y 1100

x 0;y 0

(x,y)f 40x 120y

1 (0,40)V (0,40): f 40(0) 120(40) 4800

2 (60,25)V (60,25): f 40(60) 120(25) 5400

3 (90,10)V (90,10): f 40(90) 120(10) 4800

4 (100,0)V (100,0): f 40(100) 120(0) 4000

5 (0,0)V (0,0): f 40(0) 120(0) 0

Respuesta. Para obtener el

máximo beneficio el cultivo A

requiere 60 Ha de terreno y el

cultivo B requiere 25 Ha de

terreno.