division-sintetica.pdf
TRANSCRIPT
-
7/21/2019 DIVISION-SINTETICA.pdf
1/2
GUIA DE MATEMATICAS 8
Divisin Sinttica y Regla de Ruffini Pgina 1de 5
DIVISION SITETICA.
La divisin sinttica s e realiza para simplificar ladivisin de un polinomio entre otro polinomio de laforma x c, logrando una manera ms compacta ysencilla de realizar la divisin.
Ilustraremos como el proceso de creacin de ladivisin sinttica con un ejemplo
Comenzamos dividindolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchostrminos durante el procedimiento, los trminos
restados pueden quitarse sin crearninguna confusin, al igual que no es necesario
bajar los trminos . al eliminar estostrminos repetidos el ejercicio nos queda
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en
las columnas de cada potencia y colocando 0 en lasfaltantes se puede eliminar el escribir las potenciasde x, as
Como para este tipo de divisin solo se realiza conpara divisores de la forma x c entonces loscoeficientes de la parte derecha siempre son 1 c,
por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y elsigno negativo, tambin se puede lograr una formams compacta al mover los nmeros hacia arriba,nos queda de la siguiente forma
Si ahora insertamos a la primera posicin delltimo rengln al primer coeficiente del residuo(2), tenemos que los primeros nmeros de est e
rengln son los mismos coeficientes del cociente yel ltimo nmero es el residuo, como evitamosescribir dos veces eliminamos el cociente.
Esta ltima forma se llama divisin sinttica, perocmo hacerla sin tanto paso?, ahora lespresentamos los pasos para llevar a cavo la divisin
sinttica1. Se ordenan los coeficientes de los trminos en
un orden decreciente de potencias de x hastallegar al exponente cero rellenando concoeficientes cero donde haga falta
2. Despus escribimos c en la parte derecha delrengln
3. Se baja el coeficiente de la izquierda al tercerrengln.
4.
Multiplicamos este coeficiente por c paraobtener el primer nmero del segundo rengln(en el primer espacio de la izquierda nunca seescribe nada).
5. Simplificamos de manera vertical para obtener
el segundo nmero del tercer rengln.6. Con este ltimo nmero repetimos los pasos
cuatro y cinco hasta encontrar el ltimonmero del tercer rengln, que ser el residuo.
Ejemplos
Donde -108 es el residuo
Div
Donde 748 es el residuo y pese a n
coeficientes vemos que en el resulttodos los coeficientes necesarios pexponentes.Para generalizar hace falta notar qtenga e l divisor no debe ser necesanegativo. Para el uso de este mtopositivo o negativo.
METODO DE RUF
Si el divisor es un binomio de la foentonces utilizamos un mtodo mhacer la divisin, llamado regla deResolver por la regla de Ruffini la di
(x4
3x2
+2) (x 3)1) Si el polinomio no es completo,aadiendo los trminos que faltan2) Colocamos los coeficientes dellnea.
3) Abajo a la izquierda colocamostrmino independendiente del divi4) Trazamos una raya y bajamos ecoeficiente.
5) Multiplicamos ese coeficiente p
colocamos debajo del siguiente tr
6) Sumamos los dos coeficientes.
GUIA DE MATEMATICAS 8
isin Sinttica y Regla de Ruffini Pgina 2de 5
o tener muchos
ado si aparecenra todos los
e el signo queiamente
do puede ser
INI
rma x a,s breve paraRuffini.isin
lo completamoson ceros.ividendo en una
el opuesto delor.primer
or el divisor y lo
ino.
7) Repetimos el proces
Volvemos a repetir el p
Volvemos a repetir.
8) El ltimo nmero ob9) El cociente es un pouna unidad al dividend
los que hemos obtenid
x3+ 3 x
2+ 6x +18
EJERCICIOS PROPUESTO
1.
(x3+ 2x +70) (x+4)
2. (2x4+ 6x
3+3x
2-x+6)
3. (3-3x3+6x
4) ( x-2)
4.
(2x5+20 ) ( x+2)
5. (2x4- 5x
3-2x
2+x-4)
6. (8 x5+3 x
4-2 x
3+4x
7. (5x4+ x
2- 2x 4)
8. (3x2-2x+1) (x-2)
9.
(5x3+3x2+x-2) (x
10.(x4-7x
3+6x
2-2x+1)
11.(x4-6x
2+3) (x+5)
12.(x6-1) (x+1)
13.
(x3-3x2+2) (x+3)
14.
(x4-6x3+3x2-1) (x
15.(3x3-x+5) (x-2)
16.(6x4-3x
2+9) (x-9)
o anterior.
roceso.
tenido, 56 , es el resto.
inomio de grado inferior eny cuyos coeficientes son
.
:
(x+ 3)
( x-3)
-6) ( x+1)
(x - 2)
+3)
(x+1)
+2)
-
7/21/2019 DIVISION-SINTETICA.pdf
2/2
GUIA DE MATEMATICAS 8
Divisin Sinttica y Regla de Ruffini Pgina 3de 5
TEORIA DEL RESIDUO
El residuo de la divisinde un polinomio P(x), entre un
polinomio de la forma (x a) es el valor numrico de
dicho polinomiopara el valor: x = a.
P(x) Q(x)P(x)= x
4 3x
2+2 Q(x)= x 3
Calculo el resto de l a divisin por el teorema del
resto
P(3) = 34 3 3
2+ 2 = 81 27 + 2 =56
Ejercicios
Halla el resto de las siguientes divisiones:1. (x
5 2x
2 3) (x 1)
R (1) = 15 2 1
2 3 = 4
2. (2x4 2x3+ 3x2+ 5x +10 ) (x + 2)
R (2) = 2 (2)4
2 (2)3
+ 3 (2)2
+ 5(2) + 10 =
= 32 + 16 + 12 10 + 10 = 60
Indica cules de estas divisiones son exactas:
1. (x3 5x 1) (x 3)P (3) = 33 5 3 1 = 27 15 1 0
No es exacta.
2. (x6 1) (x + 1)
P (1) = (1)6 1 = 0
Exacta
3. (x4 2x
3+ x
2+ x 1) (x 1)
P (1) = 14 2 13+ 1 2+ 1 1 = 1 2 + 1 + 1 1 = 0
Exacta
4. (x10 1024) (x + 2)P (2) = (2)10 1024 = 1024 1024 = 0
Exacta
Realiza:
TEOREMA DEL FACTOREl polinomio P(x) es divisible por un polinomio dela forma (x - a) si y s lo si P(x = a) = 0.
Al valorx = ase le llama razo cerode P(x).
Las races o ceros de un polinomioson los valores
que anulan el polinomio.
Ejercicio
Comprueba que los siguientes polinomios tienen
como factores los que se indican:1. (x
3 5x 1) tiene por factor (x 3)
(x3 5x 1) es divisible por (x 3) si y slo si
P(x = 3) = 0.
P(3) = 33 5 3 1 = 27 15 1 0
(x 3) no es un factor.
2. (x6 1) tiene por factor (x + 1)
(x6 1) es divisible por (x + 1) si y slo si P(x =
1) = 0.
P(1) = (1)6 1 = 0
(x + 1) es un factor.
3. (x4 2x
3+ x
2+ x 1) tiene por factor (x 1)
(x4 2x3+ x2+ x 1) es divisible por (x 1 ) si
y slo si P(x = 1) = 0.
P(1) = 14 2 1
3+ 1
2+ 1 1 = 1 2 + 1 + 1
1 = 0
(x 1) esun factor.
4. (x10
1024) tiene por factor (x + 2)
(x10
1024) es divisible por (x + 2) si y slo siP(x = 2) = 0.
P(2) = (2)10
1024 = 1024 1024 = 0
GUIA DE MATEMATICAS 8
Divisin Sinttica y Regla de Ruffini Pgina 4de 5
(x + 2) es un factor.
Calculo las races del polinomio:
Q(x) = x2 x 6
Los divisores del trmino independiente son 1, 2,
3.
Q(1) = 12
1 6 0Q(1) = (1)
2 (1) 6 0
Q(2) = 22 2 6 0
Q(2) = (2)2 (2) 6 = 4 +2 +6 = 0
Q(3) = 32 3 6 = 9 3 6 = 0
x = 2 y x = 3 son las races o ceros delpolinomio: P(x) = x
2 x 6, porque P(2) = 0 y
P(3) = 0.
P(x) = (x + 2) (x 3)
Elige la opcin correcta y explcala:
1. Si x = 5 es raz del polinomio P(x) entonces...
P(x) es divisible por (x + 5)
P(5) = 0
Las dos respuestas anteriores son correctas.
2. Hallar las races de un polinomio consiste en...
hacer la raz cuadrada de dicho polinomio.
buscar los nmeros x = a tales que P(a) = 1
buscar los nmeros x = a tales que P(x) esdivisible por (x a)
3. Dado un polinomio del tipo P(x) = x5+ kx
3 2x
+ c, podemos afirmar que...
siempre tiene alguna raz.
todas sus races sern divisores de k.
todas sus races son divisores de c.
4. Dado un polinomio del tipo P(x) = ax3+ bx
2+
cx, podemos afirmar que...
una de sus races es x = 0.
todas sus races son divisores de c.
todas sus races son divisores de a.
5. Un polinomio primo es aquel que...
slo es divisible por 1.
slo puede descomponerse en un factor de la
forma (x a).
no puede descomponerse en factores.
6. El grado del polinomio que tiene porfactorizacin (x 4) (x 5) 2(x2+ 1) es...
5
4
3
7. De los siguientes polinomios aquel que tiene
por races 4, 4 y 5 es...
(x2 4)(x 5)
7(x2 4)(x + 5)
10(x2 16)(x + 5)
Escoge la opcin correcta:
8. A(x) = x2 3x + 2 tiene...
una raz doble x1= 1 y otra simple x2= 2
dos races simples x1= 3 y x2= 2
dos races simples x1= 1 y x2= 2
9. P(x) = 2x3 2x
2 10x 6 tiene...
una raz doble x1= 1 y otra simple x2= 3
una raz simple x1= 1 y otra doble x2= 3
una raz doble x1= 1 y otra simple x2= 3
10.Un ejemplo de polinomio que ad mite el cerocomo factor es...
(x + 3) (x 2)
(x + 4) x (x 2)(x3- 1)
2x3 3x + 5