Division sinteticatambien conocida como

Algoritmo de Horner o Regla de Ruffini

Egor Maximenko

ESFM del IPN

1 de agosto de 2012

AlgoritmoFormulasComo funcionaEn forma de tabla

AplicacionesCalculo de los valores de polinomiosExpansion del polinomio en potencias de un binomioBusqueda de ceros enteros de un polinomio

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn :

f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0

xn−1 :

f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0

xn−1 : f1 = q1 − cq0

=⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0

xn−1 : f1 = q1 − cq0

=⇒ q1 = cq0 + f1

xn−2 :

f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2. . .

x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0

xn−1 : f1 = q1 − cq0

=⇒ q1 = cq0 + f1

xn−2 : f2 = q2 − cq1

=⇒ q2 = cq1 + f2. . .

x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0

xn−1 : f1 = q1 − cq0

=⇒ q1 = cq0 + f1

xn−2 : f2 = q2 − cq1

=⇒ q2 = cq1 + f2

. . .

x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0

xn−1 : f1 = q1 − cq0

=⇒ q1 = cq0 + f1

xn−2 : f2 = q2 − cq1

=⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 :

fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0

xn−1 : f1 = q1 − cq0

=⇒ q1 = cq0 + f1

xn−2 : f2 = q2 − cq1

=⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2

=⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0

xn−1 : f1 = q1 − cq0

=⇒ q1 = cq0 + f1

xn−2 : f2 = q2 − cq1

=⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2

=⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 :

fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0

=⇒ q0 = f0

xn−1 : f1 = q1 − cq0

=⇒ q1 = cq0 + f1

xn−2 : f2 = q2 − cq1

=⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2

=⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1

=⇒ r = cqn−1 + fn

FormulasDividir un polinomio f (x) entre un binomio (x − c) significa hallarun polinomio q(x) y un numero r tales que

f (x) = (x − c)q(x) + r .

Escribamos esta igualdad con mas detalles:

f0xn + f1x

n−1 + f2xn−2 + . . .+ fn−1x + fn =

=(x − c) (q0xn−1 +q1x

n−2 +q2xn−3 + . . .+ qn−2x +qn−1 ) +r .

Igualemos los coeficientes:

xn : f0 = q0 =⇒ q0 = f0xn−1 : f1 = q1 − cq0 =⇒ q1 = cq0 + f1xn−2 : f2 = q2 − cq1 =⇒ q2 = cq1 + f2

. . .x1 : fn−1 = qn−1 − cqn−2 =⇒ qn−1 = cqn−2 + fn−1

x0 : fn = r − cqn−1 =⇒ r = cqn−1 + fn

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1

q0

−3

q1

−6

q2

−4

r

· +· +· +

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1

q0

−3

q1

−6

q2

−4

r

· +· +· +

Escribimos los coeficientes del polinomio dado: f0, f1, f2, f3.Si dividimos entre (x − c), entonces en la segunda fila en laizquierda escribimos c .

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1

q0

−3

q1

−6

q2

−4

r

· +· +· +

Preparamos celulas vacıas para el residuo ry los coeficientes del cociente q0, q1, q2.

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1

q0

−3

q1

−6

q2

−4

r

· +· +· +

q0 := f0 =

1

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1q0

−3

q1

−6

q2

−4

r

· +· +· +

q0 := f0 = 1

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1q0

−3

q1

−6

q2

−4

r

· +

· +· +

q1 := c · q0 + f1 = 2 · 1− 5 =

−3

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1q0

−3q1

−6

q2

−4

r

· +

· +· +

q1 := c · q0 + f1 = 2 · 1− 5 = −3

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1q0

−3q1

−6

q2

−4

r

· +

· +

· +

q2 := c · q1 + f2 = 2 · (−3) + 0 =

−6

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1q0

−3q1

−6q2

−4

r

· +

· +

· +

q2 := c · q1 + f2 = 2 · (−3) + 0 = −6

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1q0

−3q1

−6q2

−4

r

· +· +

· +

r := c · q2 + f3 = 2 · (−6) + 8 =

−4

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1q0

−3q1

−6q2

−4r

· +· +

· +

r := c · q2 + f3 = 2 · (−6) + 8 = −4

Como funciona

Usando la division sintetica dividamos el polinomiof (x) = x3 − 5x2 + 8 entre el binomio x − 2.

1

f0

−5

f1

0

f2

8

f3

2c

1q0

−3q1

−6q2

−4r

· +· +· +

Respuesta: q(x) = x2 − 3x − 6, r = −4;f (x) = (x − 2)(x2 − 3x − 6)− 4.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1

2 − 2 − 5 11 − 8

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1

2 − 2 − 5 11 − 8

Dibujamos una tabla de dos filas, copeamos en ellalos coeficientes de f y el numero c (si dividimos entre x − c).

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1

2 − 2 − 5 11 − 8

Copeamos el mayor coeficiente:

2.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2

− 2 − 5 11 − 8

Copeamos el mayor coeficiente: 2.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2

− 2 − 5 11 − 8

Calculamos: (−1) · 2 + 0 =

−2.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2

− 5 11 − 8

Calculamos: (−1) · 2 + 0 = −2.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2

− 5 11 − 8

Calculamos: (−1) · (−2) + (−7) =

−5.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5

11 − 8

Calculamos: (−1) · (−2) + (−7) = −5.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5

11 − 8

Calculamos: (−1) · (−5) + 6 =

11.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5 11

− 8

Calculamos: (−1) · (−5) + 6 = 11.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5 11

− 8

Calculamos: (−1) · 11 + 3 =

−8.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5 11 − 8

Calculamos: (−1) · 11 + 3 = −8.

Division sintetica escrita en forma de tabla

Mostremos como escribir brevemente la division del polinomiof (x) = 2x4 − 7x2 + 6x + 3 entre el binomio x + 1:

2 0 − 7 6 3

− 1 2 − 2 − 5 11 − 8

Respuesta: q(x) = 2x3 − 2x2 − 5x + 11, r = −8.

Calculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x) = q(x) · (x − c) + r .

Sustituimos x por c :f (c) =

Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

Respuesta: f (3) = 16.

Calculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x) = q(x) · (x − c) + r .

Sustituimos x por c :f (c) = ?

Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

Respuesta: f (3) = 16.

Calculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x) = q(x) · (x − c) + r .

Sustituimos x por c :f (c) = r .

Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

Respuesta: f (3) = 16.

Calculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x) = q(x) · (x − c) + r .

Sustituimos x por c :f (c) = r .

Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

Respuesta: f (3) = 16.

Calculo de los valores de polinomios

Suponemos que:

f (x) = q(x) · (x − c) + r .

Sustituimos x por c :f (c) = r .

Teorema del resto (teorema de Bezout).El valor del polinomio f (x) en un punto ces igual con el resto al dividir f (x) entre (x − c).

Calculemos el valor de f (x) = x3 − 3x2 + 7x − 5 en el punto 3:

1 −3 7 −5

3 1 0 7 16

Respuesta: f (3) = 16.

Expansion del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).

1 3 −2 4

−2 1 1 −4 12

−2 1 −1 −2

−2 1 −3

−2 1

x3 + 3x2 − 2x + 4

= (x2 + x − 4)(x + 2) + 12

= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.

Expansion del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).

1 3 −2 4

−2 1 1 −4 12

−2 1 −1 −2

−2 1 −3

−2 1

x3 + 3x2 − 2x + 4 = (x2 + x − 4)(x + 2) + 12

= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.

Expansion del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).

1 3 −2 4

−2 1 1 −4 12

−2 1 −1 −2

−2 1 −3

−2 1

x3 + 3x2 − 2x + 4 = (x2 + x − 4)(x + 2) + 12

= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.

Expansion del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).

1 3 −2 4

−2 1 1 −4 12

−2 1 −1 −2

−2 1 −3

−2 1

x3 + 3x2 − 2x + 4 = (x2 + x − 4)(x + 2) + 12

= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.

Expansion del polinomio en potencias de un binomio

Usando el algoritmo de Horner, desarrolemosf (x) = x3 + 3x2 − 2x + 4 por las potencias de (x + 2).

1 3 −2 4

−2 1 1 −4 12

−2 1 −1 −2

−2 1 −3

−2 1

x3 + 3x2 − 2x + 4 = (x2 + x − 4)(x + 2) + 12

= ((x − 1)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (((1 · (x + 2)− 3)(x + 2)− 2)(x + 2) + 12

= (x + 2)3 − 3(x + 2)2 − 2(x + 2) + 12.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X

−1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X

2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −6

1 1 − 1 1 0 − 6

X

−1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X

2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X

−1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X

2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X

−1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X

2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X

−1 1 −3 5 −6 0

− 1 1 − 4 9 −15

X

2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X −1 1 −3 5 −6 0

− 1 1 − 4 9 −15

X

2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6)

= (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X

2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6)

= (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X

2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6)

= (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X

2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6)

= (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X 2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X 2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.

Respuesta: −1, 2.

Busqueda de ceros enteros de un polinomio

Usando el algoritmo de Horner, calculemos los ceros del polinomio:

f (x) = x4 − 2x3 + 2x2 − x − 6.

Si un polinomio tiene coeficientes enteros, hay que buscar susceros enteros entre los divisores del coeficiente constante:±1,±2,±3,±6.

1 −2 2 −1 −61 1 − 1 1 0 − 6

X −1 1 −3 5 −6 0− 1 1 − 4 9 −15

X 2 1 −1 3 0

f (x) = (x + 1)(x3 − 3x2 + 5x − 6) = (x + 1)(x − 2)(x2 − x + 3).

El polinomio x2 − x + 3 no tiene ceros enteros porque D < 0.Respuesta: −1, 2.