4

AÑO

División de polinomios:

Horner

División de polinomios

Es aquella operación algebraica que tiene como objetivo encontrar dos únicos polinomios llamados cociente entero q(x) y residuo R(x) a partir de otros dos polinomios llamados dividendo D(x) y divisor d(x).

D(x)

R(x)

d(x)

q(x)

la

Identidad fundamental

Propiedades Clases de división

es 1 exacta

D(x) d(x).q(x) + R(x)

d(x) 0

El grado del dividendo es mayor o por lo menos igual al grado

del divisor: D° d°

R(x) 0

para: x = 1 2 inexacta

D(1) d(1).q(1) + R(1)

Suma de coeficientes

del dividendo

El grado del cociente es igual

al grado del dividendo menos el grado del divisor: q° = D° - d°

R(x) 0

para: x = 0 3

D(0) d(0).q(0) + R(0)

Término independiente del dividendo

El grado máximo del resto es igual al grado del divisor

disminuido en 1: R°max. = d° - 1

Para todos los métodos es necesario que el dividendo y

divisor estén ordenados y completos en forma descendente, si falta algún término completar con el cero.

Por ejemplo, así en la división:

2x5 3x2 - 1

2x3 - x2 6

completando con ceros se tiene:

2x5 0x 4

0x3 3x2

0x - 1

2x3 - x2 0x 6

Método de Horner Para este método sólo se utilizarán coeficientes empleando el siguiente esquema:

Con su

1. Se distribuyen los coeficientes del dividendo en forma

horizontal. 2. Se distribuyen los coeficientes del divisor en forma

vertical donde el primero de ellos lleva signo propio y los restantes se colocan con signo cambiado.

3. La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor. Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares cómo lo indica el número que representa el grado del divisor.

4. Se dividen los primeros coeficientes del dividendo y divisor, siendo este el primer coeficiente del cociente.

5. Se multiplica el primer coeficiente del cociente por los términos que cambiaron de signo y los resultados se escriben en fila a partir de la segunda columna; se reduce los coeficientes de la segunda columna dividiendo este resultado entre el primer coeficiente del divisor, el resultado es el segundo coeficiente del cociente.

6. Se continuará hasta completar los coeficientes del mismo signo

Con signo

cambiado

D D I V I D E N D O

I

V

I

S

O

R C O C I E N T E R E S I D U O

cociente y residuo.

Problemas resueltos 1. Dividir:

Solución:

Utilizando el esquema de Horner:

1 a b c d e 2

4x5 - 12x4 13x3

12x2 - x 1

2x2 - 3x 1

0 0 a

2

0

2

b

2

0

c

2+a

4

Solución: Utilizando el esquema de Horner:

a

En el residuo:

b c+a 0 0

2 4 -12

3 6

-1

13 12 -1 1

-2

-9 3

3 -1

- d + b2 = 0 2 = - d

... (1) b

- e + c2 + a4 = 0 ... (2) Reemplazando (1) en (2):

2

27 -9 - d

- d

2 -3 1

9 25 -8 e + c b

+ a = 0

- El divisor: 2x2 - 3x + 1

b

cd ad2

es de grado: d° = 2, entonces separamos dos

columnas para el residuo.

- D 5

q° = 5 - 2 = 3; R° 1

d 2

e - + = 0 b b2

Transformando:

eb2 - cbd + ad2 = 0

ad2 + b2e = cdb - Finalmente:

q(x) = 2x3 - 3x2 + x + 9

R(x) = 25x - 8

4. Determinar “” para que el polinomio:

x4 + y4 + z4 - (x2y2 + y2z2 + x2z2) sea divisible por (x + y + z).

2. La siguiente división:

ax 5 bx 4

1

(x - 1)2

es exacta. Hallar “a” y “b”.

Solución:

; x IR - {1}

Solución:

Calculando el residuo de la división:

- Se iguala el divisor a cero:

x + y + z = 0

- Con la anterior, se cumple:

x4 + y4 + z4 = 2(x2y2 + y2z2 + x2z2)

En toda división exacta se establece que es posible

invertir los coeficientes del dividendo y divisor y ésta seguirá siendo exacta.

Ordenando y completando se tiene:

ax5 bx4

0x3 0x2

0x 1

x2 - 2x 1

Utilizando el esquema de Horner:

- Reemplazando en el dividendo:

R = 2(x2y2 + y2z2 + x2z2)

- (x2y2 + y2z2 + x2z2) - Como es divisible entonces: R 0 2(x2y2 + y2z2 + x2z2) (x2y2 + y2z2 + x2z2) Finalmente: = 2

Problemas para la clase

1 1 0

2 2

-1

0 0 b a

-1

4 -2

6 -3

1. Dividir:

10x 4 6x3 - 37x2

36x - 12

5x2 - 7x 3

8 -4 e indicar el resto.

1 2 3 4 (b + 5) (a - 4)

a) 2x + 1 b) 2x - 1 c) 3x + 1

En la columna del residuo: b + 5 = 0 b = - 5 a - 4 = 0 a = 4

d) 3x - 1 e) 3x - 3 2. Dividir:

3. La siguiente división:

ax4 + bx3 + cx2 + dx + e ÷ (x2 - 2) es exacta. Calcular el valor de: ad2 + b2e

12x 4 - 14x3 15x2 - 6x 4

4x2 - 2x 1

e indicar la suma de coeficientes del cociente.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

3. Calcular “m.n”, en la siguiente división exacta.

8x 4 6x3 - 23x2

mx - n

4x2 - 3x 1

a) 15 b) 19 c) 11 d) 48 e) 60

4. Calcular “m + n + p”, si la división:

8x5 4x 3

mx 2 nx p

2x 3 x 2

3

deja como resto:

R(x) = 5x2 - 3x + 7

a) 32 b) 23 c) 21 d) 15 e) 12

5. En la división:

6x3 - 12x2 3ax a

3x2 3

el residuo toma la forma “mx + m”. Calcular “m + a”.

a) 21 b) - 21 c) 30 d) - 30 e) 9

6. Calcular “a - b” en la siguiente división exacta.

7. En la siguiente división exacta:

6x 4 11x3

Bx2 - 7x - 3B

3x2 4x 5

Hallar el valor de “B”.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

8. Calcular “A - B” si la división es exacta:

x7 Ax B

x2 x 1

a) 3 b) - 2 c) 2 d) 1 e) - 1

9. Si la división:

x5 3x 4 - 3x3 - 4x2

Ax B

x2 2x - 2

deja por resto: 2x - 1, calcular “A + B”.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 23 e) 24

10.En la división:

ax 4 bx3 - 4x2

19x 14

3x2 - x 7

2x 4 5x3

Ax A

x2 - x 1

el residuo es un término constante, indique dicho resto.

a) 13 b) - 13 c) 7 a) -1 b) -4 c) -2

d) - 7 e) 3 d) -8 e) -3

Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :

A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B.

D. No se puede determinar.

E. ¡NO DEBE USAR ESTA OPCIÓN!

Preg. Información Columna A Columna B

Al dividir:

11

se obtiene:

6x 4 13x3

6x2 - 3x 5

2x2 3x 2

q(2) R(-1)

q(x) = cociente

R(x) = residuo

a) 4 - x b) 4x c) x d) x + 4 e) x - 4

Preg. Información Columna A Columna B

Dividir:

12

4x 4 3x2

8x - 5

2x2 x - 1

Suma de coeficientes del cociente

Término independiente

del residuo

La división:

13 x5 3x 4 - 3x3 - 4x2

Ax B

x2 2x - 2

deja como resto “2x - 1”.

Dada la división exacta:

14 8x 4 - 2x3 7x2

mx n

4x2 x 2

A B

A - B - 25

m - n

m

B2

n - m

n

Al dividir:

15

6x 4 Ax3

Bx2 Cx D

3x2 2x - 1

A - C B - D

se obtiene un cociente cuyos coeficientes son números enteros consecutivos y un resto igual a “2x + 7”.

Suficiencia de Datos

En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas:

A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos.

16.En la división:

6x5 - 2ax 4 5bx2

cx

3x2 - x 3

I. D(x) = d(x) q(x) + R(x)

II. q(x) = x2 - 5x + 2 18.Si:

P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + 3x + 1

se divide por: x2 - x + 1.

Calcule “a + b + c”.

I. Suma de coeficientes del cociente es 22. II. Suma de coeficientes del residuo es 9.

19.Si la siguiente división:

2x 4 3x2

(A 1)x (B - 3)

2x2 2x 3

deja como residuo: R(x) = x + 3.

Hallar:

a3 b3

c3

Hallar “A.B”

3

I. Los coeficientes del cociente disminuyen de 2 en 2. II. El residuo es un polinomio de grado 0.

17. El residuo en la siguiente división:

a) 9 b) - 9 c) 0 d) 11 e) 21

20.En la división indicada:

x6 - 25x2 x - 4

3

ax5 bx4

cx3 2x2 - 5x - 3

2x3 x2 - x - 2

es: 7x2 + 8x - 3. Calcular “a + b + c”.

Hallar el residuo.

x - 5x

3

K1

K2

4 -12

6 -18

-14 42

2 3 -7

a) 10 b) 4 c) 6 d) 3 e) N.A.

a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7

a) 10 b) 8 c) 4 d) 6 e) N.A.

21.Si: {m; n} ZZ y al efectuarse la división:

x3 - x

el resto obtenido es: 6ab + b2. Calcular:

x2 mx n 3a2

b2

2

se obtiene como resto 6. Calcular “m + n”.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 5 e) 4

22.Calcular: (m + p)n, si la siguiente división:

a

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

27. Si la división:

tiene residuo:

mx 4 nx 3

px 2 17x - 5

2x 2 - x 2

R(x) = 6x - 3

Ax 4 - 7x3 Bx2

15x - 9

4x2 - 3x 2

deja como residuo: 2x - 3

Hallar “A - B”.

y un cociente cuya suma de coeficientes es 4.

a) 10 b) 70 c) - 70 d) 100 e) - 7

a) 12 b) - 14 c) 28

d) - 12 e) 14

28.En el esquema de Horner mostrado:

23.Calcular “b - a” si al dividir:

ax 4 bx3

13x 18

3x2 - x 7

se obtiene como resto “2x - 3”.

1

m

2 Determinar:

3 a 1

9 d

e

n -2 p

b c

f

g h

4 -3

24.Al efectuar:

2x5 7x 4 - 3x3

5x 1

x3 3x2 - 4x K

(m +n + p) - (a + b + c)

a) 12 b) 18 c) 14 d) 17 e) N.A.

29.Si el polinomio: se obtiene un residuo de primer grado. Calcular dicho

resto. es divisible por:

ax7 + bx5 - 1 mx5 + nx4 + px3 - x - 1

a) 13x + 4 b) 14x + 3 c) 12x + 4 d) 13x + 3 e) 12x + 3

calcular el valor de “ab + mn + p”.

25.En la división:

6x5 - x 4 ax3 - 3x2

4

3x3 - 2x2 - x - 2

30.En el esquema de Horner mostrado:

se obtiene como resto: bx + c. Indique “a + b + c”.

a) 3 b) - 4 c) - 2 d) - 1 e) 2

A1 A2 A3 A4 A5

6 8

26.En la división:

9x 4 6ax 3

(a2 3b)x 2

abx 9a2

3x 2 ax - b

se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo.

Autoevaluación

1. Dividir:

x 4 4x3

6x2 - 7x 2

x2 2x 1

a) - 25 b) 25 c) 24

d) 21 e) 0

Indicar el resto. 4. Calcular “ab” si la división:

a) 1 - 10x b) 1 + 11x c) 1 - 11x ax 4 bx3

7x2

10x 3

d) 10x - 2 e) 4x - 1

es exacta.

3x2 x 3

2. Calcular “a + b” si la siguiente división:

5x 4 4x 3 - 13x 2

ax (b 1)

x 2 2x - 1

deja como residuo a: -12.

a) 1 b) 27 c) 16 d) 4 e) 2

5. Si:

a) 2 b) 3 c) - 3 x5

3x 4 - 3x 3 - 4x 2

(A - 1)x (B 1)

d) - 2 e) 1

3. Calcular (mn)2 si la siguiente división:

6x 4 5x3

2mx - 3n

2x2 x 3

x 2 2x - 2

deja como resto 4x - 10, calcular “A + B”. a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 0

es exacta.

4

AÑO

- a

a

División de polinomios:

Ruffini - Teorema del Resto

Método de Ruffini Se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado

Solución: Por Ruffini:

3x - 1 = 0 3

5 -17 8 7

de la forma: ax + b ; a 0 x =

1 1 3

2 -5 1

Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes cumpliendo el siguiente esquema:

3 6 -15 3 8

1 2 -5 1

D I V I D E N D O

Como:

q° = 4 - 1 = 3

Coeficientes del cociente

ax + b = 0

x = - b

a

C O C I E N T E R E S T O

q = x3 + 2x2 - 5x + 1

R = 8

Teorema del Resto Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un polinomio de primer grado de la forma: ax + b, y en algunos casos

Problemas resueltos 1. Dividir:

especiales. Sea P(x) un polinomio no constante. El resto de dividir P(x)

3x5 - 2x 4 7x3 - 11x2

5x 1

x - 2

por (ax + b) donde: a 0, viene dado por P

b

Solución: Por Ruffini:

x - 2 = 0 x = 2

3 -2 7 6 8

3 4 15

-11 5 1 30 38 86

19 43 87

Demostración: Sea la división: P(x) ÷ (ax + b), de residuo “R”. De la identidad fundamental, se tiene:

P(x) (ax + b)q(x) + R

b

Como:

resto En esta identidad “R” se obtiene cuando: x = -

a

q° = 5 - 1 = 4

- b

= a - b b q -

b + R P -

b = 0 + R

q(x) = 3x4 + 4x3 + 15x2 + 19x + 43 P

a

a

a

R(x) = 87 a

0

Observación: Si el divisor: ax + b; a 1, luego de dividir Finalmente:

- b

por Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.

R = P

2. Dividir:

3x 4 5x3 - 17x2

8x 7

3x - 1

Regla para calcular el Resto - Se iguala el divisor a cero. - Se calcula el valor de la variable que aparece con

frecuencia en el dividendo.

- El valor obtenido se reemplaza en el dividendo.

Problemas resueltos 1. Hallar el resto de dividir:

Solución:

Por Ruffini, ordenando y completando:

2x2 5x 3

x - 2 + 1 = 0 1 0 (3 2 - 2) 0 0 (2 2 + 7)

2x - 1 x = 2 - 1 2 - 1 (3 - 2 2) 1 2 - 1 3 - 2 2

Solución:

Siguiendo la regla antes mencionada:

- 2x - 1 = 0

1

1 2 - 1

Finalmente: R(x) = 10

(1 + 2) 1 2 - 1 10 resto

- x = 2

1 2

1

5. Hallar el residuo en la siguiente división:

(x - 4)4 (x - 2)5

- Resto = 2 + 5 + 3

2

1 5

2 x2 - 6x 8

Resto = 2

+ 2 + 3 Resto = 6

Solución: Aplicando la identidad fundamental:

D(x) d(x).q(x) + R(x) 2. Calcular el residuo en la división:

(x 1)(x - 2)(x 4)(x - 5)(x 7)(x - 8) 1

(x 9)(x - 10)

Donde: R°máx.

= d° - 1 Reemplazando datos:

(x - 4)4 + (x - 2)5 (x2 - 6x 8) q(x) + 2do grado

R(x) 1er grado

Solución: Multiplicando convenientemente se tiene:

* 1er grado R (x) = ax + b

(x 2 - x - 2)(x 2 - x - 20)(x 2 - x - 56) 1

x 2 - x - 90

Hacemos el cambio: x2 - x = y

(x - 4)4 + (x - 2)5 (x2 - 6x + 8)q(x) + ax + b Para: x = 4

(y - 2)(y - 20)(y - 56) 1

y - 90

(4 - 4)4

0

+ (4 - 2)5 = (42 - 6(4) 8) q(4) + 4a + b

0

32 = 4a + b ...... (1) - y - 90 = 0 y = 90 - Resto = (90 - 2)(90 - 20)(90 - 56) + 1

- Resto = (88)(70)(34) + 1 = 210 441

Para: x = 2

(2 - 4)4 + (2 - 2)5

0

= (22 - 6(2) 8) q(2) + 2a + b

0

3. Calcular el resto en:

2y13 - 21y10 y 8 - y7

3y 4 2y 1

y2 - 2

De (1) y (2):

16 = 2a + b ...... (2)

4a b 32 ......(1) 2a b 16 ......(2)

Solución:

Aplicando la regla:

- y2 - 2 = 0 y2 = 2 Dando forma al dividendo:

2(y2)6y - 21(y2)5 + (y2)4 - (y2)3y + 3(y2)2 + 2y + 1

Reemplazando: y2 = 2

- Resto = 2(2)6y - 21(2)5 + (2)4 - (2)3y + 3(2)2 + 2y + 1

Resto = 128y - 672 + 16 - 8y + 12 + 2y + 1

Resto = 122y - 643

4. Hallar el residuo en:

Restando: 2a = 16 a = 8; b = 0 Luego: R(x) = ax + b = 8x

Problemas para la clase

1. Dividir:

4x 4 x2 - 3x 4

2x - 1

e indicar el producto de coeficientes del cociente.

x5 (3

2 - 2)x 3 2

2 7

a) 2 b) - 2 c) 4

x - 2 1 d) - 4 e) 6

a) 50 b) 53 c) 51 d) 52 e) 60

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

2. Hallar el residuo en la siguiente división:

5x 4 16x3 - 8x 2

x 3

a) - 4 b) 4 c) - 6

d) - 24 e) - 2 10.Al dividir:

a) 1 b) - 2 c) - 1 d) 4 e) 10

3 x 4 - 2

2 x 3 - (2

x -

3 - 1)x 2 -

6

6 x m

3. Hallar el residuo en:

15x4 - 8x3 - 9x2 7x 1

5x - 1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Calcular el valor de “a”, si la división:

x3 - ax2 - 2ax - a2

x - a - 3

se obtuvo como resto: 3m - 4. Calcular “m”.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

11.Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división: (n IR)

nx 4 (3 - n2 - n)x 3

(5n - 3)x 2 - 8nx - 8n2

x - n - 1

si el resto es 64.

da residuo: 7a + 2

a) 8 b) 5 c) - 5 d) 6 e) - 6

5. Hallar el resto en la división:

x 4

x 2

a) 16 b) - 16 c) 0 d) 1 e) 1024

6. Calcular el resto de la división:

(2x 3)5 (x 3)4 - 6x

x 2

a) 1 b) - 6 c) - 3 d) 12 e) 40

7. Calcular el resto en la siguiente división:

12.Hallar el resto en la división:

3x7 2x6

5x 4 x3

x 4

x3 - 1

a) 9x + 1 b) 7x + 9 c) 7x + 2 d) 4x + 14 e) 9x + 7

13.Hallar el resto en:

x70 x60

x 40 x20

7

x10 1

a) 8 b) 9 c) 10 d) 7 e) 6

14.Hallar el resto en:

x 3 (x - 3)3 5(x 2

1) - 15x 14 2

4x 40 8x39

1

x 2

x - 3x 1

a) 14 b) 8 c) 26 d) 15 e) 13

8. Calcular el resto de:

(x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 4

x 2 8x 11

a) - 9 b) - 10 c) - 11 d) - 12 e) - 13

9. Hallar el resto en la división:

(x 6 - 6x 6)2002 (x 6 - 6x 4)2003 - 2(x 6 - 6x) - 14

Comparación cuantitativa A continuación se propone en cada pregunta, dos expresiones o enunciados matemáticos y se pide determinar la relación entre ambos, considerando las siguientes alternativas :

A. La cantidad en A es mayor que en B. B. La cantidad en B es mayor que en A. C. La cantidad en A es igual a B. D. No se puede determinar.

x6 - 6x 5 E. ¡ N O DEBE USAR ESTA OPCIÓN!

Preg. Información Columna A Columna B

15.

En la siguiente división:

2x 32 bx 5

x - 1 la suma de coeficientes del cociente entero es

64. Efectúe la siguiente división:

Residuo b

Suma de coeficientes

16. x5 (3 2 - 2)x 3

2 2 7 del cociente Residuo

x - 2 1

17.

18.

19.

En la siguiente división:

3nx5 (n 3)x 4

2(2n - 1)x 3 - 4nx 2 9nx - 2n

3x - 2

se obtiene un cociente entero cuya suma de coeficientes es igual al duplo del resto. Al efectuar la división por la regla de Ruffini, se obtuvo el siguiente esquema:

4 -3 -b a

2 8a c m

x 4 b d n

* “R1” es el residuo de dividir: (3x3 - 5x - 8)2 - 4(x + 3) + 7

entre: (x - 2)

* “R2” es el residuo de dividir: x300 - 25x298 + x2 + x + 9

entre: (x - 5)

Grado del polinomio

cociente n

a + b + c n + d

R

1 R

2

Suficiencia de datos

En cada caso se plantea un problema y se ofrecen dos datos o dos series de datos para resolverlo. Debe determinar qué datos se necesitan y marcar de acuerdo a estas alternativas:

A. El dato I es suficiente y el dato II no lo es. B. El dato II es suficiente y el dato I no lo es. C. Es necesario utilizar I y II conjuntamente. D. Cada uno de los datos por separado, es suficiente. E. Se necesitan más datos.

20.Hallar el término independiente del polinomio P(x); si:

P(x + 2) = P(x + 4) + 4 + P(x)

I. Al dividir P(x) ÷ (x - 2) se obtuvo “5” como residuo. II. Al dividir P(x) ÷ (x - 4) se obtuvo “4” como residuo.

21.Hallar el resto en la siguiente división:

(x - 4)4 (x - 2)5

x2 - 6x 8

I. D(x) d(x).q(x) + R(x); R° < d° II. q(x) = x2 + x + 2

22.En la división:

[x3 - (m - 1)x2 + 2m] ÷ (x - 1)

el resto obtenido es nulo. Hallar “m”.

a) - 1 b) - 2 c) - 3

d) - 4 e) - 5 23.Hallar el valor de “a”, si al dividir:

x a17 x a16

x a15 ... x2

x 1

x - 1

se observa que la suma de los coeficientes del cociente

es igual a 90 veces su resto.

A B C D E F

-1 1 3 5 7 9

e d c b a 0

a) - 6 b) - 2 c) - 3 d) - 4 e) - 5

a) 161 b) 162 c) 163

d) 164 e) 165 24.Del esquema de Ruffini:

29.Calcular el residuo de dividir:

(x 1)8 - x 8 7

2x2 2x 1

a) 1 b) 3 c) 7 d) x + 1 e) x - 1

Determinar la suma de coeficientes del polinomio

dividendo.

a) 10 b) - 40 c) 40

d) 50 e) - 50 25.Hallar el resto de dividir:

2x120 1

x 2 - x 1

Autoevaluación

1. Hallar el cociente en la división:

3x 4 x3

6x2 5x - 1

3x 1

a) x3 + 2x + 1 b) x3 + 2x - 1 a) 2x - 3 b) - 2x + 3 c) x - 3 c) x3 + 2x2 + 1 d) x3 + 2x2 - 1 d) 3x + 3 e) 5x - 1 e) x3 + x2 + 2x - 1

26.Calcular el valor de:

2. Hallar el residuo en la división:

n 2

R = 2 n-2

8x5

- x 4

16x3

- 2x2 4

si el residuo de la división:

x 2n1

x 2n-1

22n

es 256.

8x - 1

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

3. Determinar el residuo en la siguiente división:

2x30 - 128x24 8x15 - 32x13

4x - 5 1

a) 8

1 b)

4 1

c) 2

x - 2

d) 1 e) 2 27. Dado el polinomio:

P(x) = ( 2 + 1)x4 + 2 2 x - 3 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4. Hallar el resto en:

Evaluar: P( 2 - 1)

(x - 4)20 (x - 4)10

x - 5

x - 1

a) 1 b) 2 + 1 c) 2 - 1

d) - 2 e) - 3 28.Determine el valor de “m” para que la división:

(x2 - y2 z2 )(x2

y2 - z2 ) mx2 yz

x y z

arroje como residuo un polinomio idénticamente nulo.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

5. Hallar el resto en la división:

x5

x 2

a) - 32 b) 32 c) 31 d) - 31 e) 1