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UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO

DIVISIÓN DE CIENCIAS EN INGENIERÍAS CAMPUS LEÓN

CARACTERIZACIÓN DE UN LCD Y APLICACIONES ÓPTICAS

PRESENTA:

REBECA BALTAZAR BARRÓN

PARA OBTENER EL GRADO DE LICENCIATURA EN INGGENIERIA FÍSICA

ASESORA: DRA AMALIA MARTÍNEZ GARCÍA

CO-ASESORA: DRA. ISABEL DELGADILLO CANO

ABRIL 2013

LEÓN, GUANAJUATO, MÉXICO

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AGRADECIMIENTOS:

“Nunca olvides quien te ayudó, quien estuvo contigo, quien te enseñó”

Dedico esta tesis como forma de agradecimiento por su ayuda y paciencia a todos

aquellos que han estado conmigo al tanto de mi progreso académico.

De manera específica agradezco a la Dra. Amalia Martínez García, investigadora del

Centro de Investigaciones en Óptica, por darme su apoyo y tiempo para el desarrollo de la

presente tesis; a la Dra. Isabel Delgado Cano por su guía en la realización de trámites

administrativos en la División de Ciencias e Ingenierías de la Universidad de Guanajuato; a

los profesores por su tiempo y dedicación, que mediante sus clases han inculcado los

conceptos de física en mi cabeza y han brindado su amistad; a las instituciones

gubernamentales que me han dado apoyo económico (PRONABES); a la Universidad de

Guanajuato, por acogerme en sus instalaciones, así como al Centro de Investigaciones en

Óptica por el uso del Laboratorio de Metrología II; a mis amigos que me han compartido sus

ánimos; a mi mamá y hermanos por su apoyo y a Alberto que me ha tenido muchísima

paciencia.

II

ÍNDICE

ÍNDICE DE FIGURAS........................................................................................................................................... II

CAPÍTULO 1 LA ECUACIÓN DE ONDA EN ÓPTICA CLÁSICA........................................................... 3

1.1 INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................. 3 1.2 LA ECUACIÓN DE ONDA .................................................................................................................. 3

1.2.1 SOLUCIÓN DE ONDAS PLANAS ................................................................................................... 6 1.2.2 ONDAS ESFÉRICAS......................................................................................................................... 8 1.2.3 MÉTODO DE TRANSFORMADA DE FOURIER........................................................................... 8 1.2.4 REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DEL OSCILADOR ARMÓNICO..... 10 1.2.5 UNA NOTA EN LA ECUACIÓN DE UN PLANO ......................................................................... 13

1.3 EXPERIMENTO DE INTERFERENCIA DE YOUNG..................................................................... 14 1.4 REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE UNA ONDA EN UNA INTERFAZ...................................... 19

CAPÍTULO 2 LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN ....................................................................................... 25

2.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 25 2.2 EL CAMPO ÓPTICO INSTANTÁNEO Y LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN ............................... 26 2.3 FORMAS ESPECIALES (DEGENERADAS) DE LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN................... 29 2.4 PARÁMETROS ELÍPTICOS DE LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN.............................................. 31 2.5 APLICACIONES DE POLARIZACIÓN............................................................................................ 37 2.6 PANTALLA DE CRISTAL LÍQUIDO............................................................................................... 38

CAPÍTULO 3 EFECTO TALBOT.................................................................................................................. 41

CAPÍTULO 4 OBTENCIÓN DE LA FASE DE UN PATRÓN DE FRANJAS ........................................ 49

4.1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................... 49 4.2 ALGORITMO DE FASE DE CUATRO PASOS ............................................................................... 52 4.3 ALGORITMOS DE RECONSTRUCCIÓN DE FASE ...................................................................... 53 4.4 RESUMEN DE LAS TÉCNICAS DE MODULACIÓN .................................................................... 55 4.5 ERRORES ASOCIADOS A LOS ADF .............................................................................................. 60

4.5.1 ERRORES ALEATORIOS ............................................................................................................... 62 4.5.2 ERRORES SISTEMÁTICOS ........................................................................................................... 63

4.6 PRINCIPALES VENTAJAS ............................................................................................................... 66

CAPÍTULO 5 PARTE EXPERIMENTAL .................................................................................................... 69

5.1 CARACTERIZACIÓN DE UN LCD.................................................................................................. 69 5.1.1 OBSERVACIÓN DE PIXELES ....................................................................................................... 75 5.1.2 OBTENCIÓN DE IMÁGENES DE TALBOT DE UNA REJILLA GENERADA MEDIANTE EL LCD 80 5.1.3 VISIBILIDAD DE LAS FRANJAS .................................................................................................. 81

5.2 OBTENCIÓN DE TOPOGRAFÍA DE UN OBJETO......................................................................... 84

CAPÍTULO 6 CONCLUSIONES.................................................................................................................... 89

APÉNDICE A ......................................................................................................................................................... 90

APÉNDICE B ......................................................................................................................................................... 92

BIBLIOGRAFÍA.................................................................................................................................................... 95

I

II

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1.1 Obtención de la ecuación de onda. Movimiento de una cuerda bajo tensión........................................ 4 Figura 1.2 Propagación de ondas planas. ................................................................................................................ 6 Figura 1.3 Ondas de dos fuentes puntuales superpuestas espacialmente λ>>− 12 SS . .................................... 15 Figura 1.4 Reflexión y transmisión de una onda en la interfaz de dos medios. ..................................................... 20 Figura 2.1 Propagación del campo óptico transversal........................................................................................... 27 Figura 2.2 Una onda polarizada elípticamente y la elipse de polarización........................................................... 29 Figura 2.3 Elipse de polarización rotada................................................................................................................ 32 Figura 2.4 Esquema de las moléculas de la pantalla LCD. a) Haz de luz. b) Polarizador. c) Electrodo. d) Giro nemático. e) Electrodo. f) Analizador. g) Luz resultante. h) Suministro de corriente. Imagen superior, sin campo eléctrico. Imagen inferior, con campo eléctrico...................................................................................................... 40 Figura 3.1 Localización de los planos de la imagen Talbot después de la rejilla, para una longitud de onda de luz.............................................................................................................................................................................. 41 Figura 3.2 Red de difracción. .................................................................................................................................. 42 Figura 3.3 Rejilla de periodo d................................................................................................................................ 43 Figura 3.4 Difracción con dos orificios. ................................................................................................................. 43 Figura 3.5 Análisis de ángulos en la difracción con dos orificios.......................................................................... 44 Figura 3.6 Luz en fase.............................................................................................................................................. 44 Figura 3.7 Luz monocromática vista de lado.......................................................................................................... 45 Figura 3.8 Ondas planas a través de la rejilla con diferente inclinación. ............................................................. 46 Figura 4.1 Patrón de franjas con un corrimiento de fase de cuatro pasos: a) 0, b) π/2, c) π y d) 3π/2. .............. 53 Figura 4.2 a) Fase envuelta, b) Reconstrucción de fase (fase desenvuelta); ambas en unidades de radianes..... 55 Figura 4.3 Principales moduladores analógicos temporales. ................................................................................ 59 Figura 5.1 Montaje experimental para la medida del ángulo de giro de la celda de cristal líquido. a) Láser. b) Filtro espacial. c) Lente colimadora. d) Polarizador. e) LCD. f) Analizador. g) Fotodetector. θ1 ángulo del polarizador, θ2 ángulo del analizador, ξ ángulo de giro (nemático)...................................................................... 70 Figura 5.2 Intensidad de luz trasmitida vs ángulo. ................................................................................................. 71 Figura 5.3 Intensidad vs ángulo en un rango de 60º a 90º. .................................................................................... 71 Figura 5.4 Intensidad vs ángulo (0º≤θ2≤360º). ....................................................................................................... 72 Figura 5.5 Visualización de una imagen puesta en el LCD. a) Imagen negra. b) Proyección de la imagen en un plano de observación. .............................................................................................................................................. 72 Figura 5.6 Intensidad con una imagen negra en el LCD vs ángulo θ2................................................................... 73 Figura 5.7 Visualización de una imagen puesta en el LCD. a) Imagen blanca. b) Proyección de la imagen en un plano de observación. .............................................................................................................................................. 73 Figura 5.8 Intensidad con una imagen blanca en el LCD vs ángulo θ2. ................................................................ 74 Figura 5.9 Variación de intensidad con respecto al cambio de nivel de gris. ....................................................... 75 Figura 5.10 Imagen de prueba para ver píxeles. .................................................................................................... 76 Figura 5.11 Imagen inicial con resolución 1024x768 píxeles. Esquema del arreglo de observación de imagen en píxeles. a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) LCD. f) Objetivo de microscopio. g) Polarizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora. ........................................................................................................................... 77 Figura 5.12 Imagen inicial con resolución 1024x768 píxeles. ............................................................................... 77 Figura 5.13 Desplazamiento lateral de la imagen, se deja de ver la línea vertical del centro. ............................ 77 Figura 5.14 Imagen inicial con resolución 800x600 píxeles. ................................................................................. 78 Figura 5.15 Desplazamiento vertical de la imagen, se conserva la proporción de píxel a píxel. ......................... 78 Figura 5.16 Desplazamiento horizontal de la imagen, se conserva la proporción de la imagen. ........................ 79 Figura 5.17. Montaje del arreglo para observar la influencia de la relación del número de píxeles entre la pantalla de la computadora y la pantalla de cristal líquido en la resolución de la imagen observada en h). a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) LCD. f) Objetivo de microscopio. g) Polarizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora. .......................................................................................................................................... 79 Figura 5.18 Programa para calcular las distancias Talbot. .................................................................................. 80 Figura 5.19 Esquema del arreglo de observación de la imagen Talbot. a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) Polarizador. f) LCD. g) Analizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora. ................................... 81 Figura 5.20 Autoimágenes Talbot captadas por una CCD generadas en una LCD correspondiente a: a) franjas verticales, b) franjas horizontales............................................................................................................................ 81

III

Figura 5.21 Patrón de franjas de visibilidad 1. ...................................................................................................... 82 Figura 5.22 Estructura de programa generador de franjas cosenoidales. ............................................................ 82 Figura 5.23 Pantalla en ejecución de programa generador de franjas. ................................................................ 83 Figura 5.24 Objeto para obtención de forma. a) Navaja 1020, b) parte superior de navaja................................ 85 Figura 5.25 Proyección de franjas sobre el objeto desfasadas a) 0 π, b) π/2, c) π, d) 3π/2. ................................. 85 Figura 5.26 a) Fase envuelta, b) fase desenvuelta. ................................................................................................. 86 Figura 5.27 Obtención de la topografía del objeto. a) vista en ángulo. b) vista superior. c) vista frontal. d) vista lateral........................................................................................................................................................................ 86

1

RESUMEN

El cristal líquido es un material con varias aplicaciones útiles en la vida cotidiana de

las personas desde algunos años después de que se le descubrió; así como también, ha tenido

aplicaciones en la mejora de técnicas de laboratorio. Esta tesis trata de la caracterización de

una pantalla de cristal líquido nemático (LCD por sus siglas en ingles: Liquid Crystal

Display). Se obtienen resultados referentes a la evaluación de la topografía de un objeto de

prueba donde se utiliza la LCD para generar una rejilla cosenoidal y mediante el efecto de

Talbot aplicar la técnica de proyección de franjas.

La organización del trabajo de tesis corresponde a:

Capítulo 1: Se presenta una revisión teórica del tratamiento de la luz como onda

electromagnética así como el concepto de interferencia.

Capítulo 2: Se describe la polarización de la luz así como la obtención de las

ecuaciones correspondientes a polarización elíptica, circular y lineal. Se describe que es un

cristal líquido. También se presentan algunas de sus aplicaciones. Dado que un LCD funciona

en parte por el ajuste de dos polarizadores, se introduce en este capítulo una breve

descripción de su funcionamiento.

Capítulo 3: Se da una explicación del efecto de Talbot así como la obtención de las

distancias de Talbot.

Capítulo 4: Se explica la técnica de corrimiento de fase para obtener la fase en un

patrón de franjas. Se presenta un análisis de los errores asociados. Se mencionan las

principales ventajas del algoritmo correspondiente a la técnica de corrimiento de fase.

Capítulo 5: Corresponde a la parte experimental que presenta la caracterización del

LCD, efecto de Talbot así como resultados experimentales de la evaluación de la topografía

para un objeto de prueba.

Capítulo 6: Se presentan algunas conclusiones del trabajo.

Apéndice A: Desarrollo algebraico de señales cosenoidales para la obtención de la

ecuación de interferencia.

2

Apéndice B: Desarrollo algebraico de la técnica de desplazamiento de fase.

3

CAPÍTULO 1

LA ECUACIÓN DE ONDA EN ÓPTICA CLÁSICA

1.1 INTRODUCCIÓN

El concepto de interferencia de ondas, desarrollado en mecánica en el siglo XVIII, fue

introducido en la óptica por Thomas Young al comienzo del siglo XIX. En el siglo XVIII los

físicos matemáticos Euler, d’Alembert, y Lagrange desarrollaron la ecuación de la mecánica

newtoniana e investigaron la propagación de ondas y ondas estacionarias. No siempre fue

apreciado que Young tomara las ideas desarrolladas en un campo, como la mecánica, y luego

los aplicara en otro campo completamente diferente como el de la óptica.

Además del concepto de interferencia de ondas, Young encontró que era también

necesario usar otra idea de la mecánica. Él descubrió que la superposición de ondas era

insuficiente para describir el fenómeno de interferencia óptica. Para describir el patrón de

interferencia tomó también prestado el concepto de energía de la mecánica. Este concepto se

había desarrollado en el siglo XVIII, y la relación entre la amplitud de onda y su energía fue

entendida claramente. Es decir, el desarrollo de la mecánica del siglo XVIII fue crucial en el

trabajo de Young y en el desarrollo de la óptica en la primera mitad del siglo XIX. Es difícil

imaginar el rápido progreso que tuvo lugar en la óptica sin estos previos desarrollos. Para

tener un mejor entendimiento de la ecuación de onda de cómo surgió de la mecánica y se

aplicó en la óptica, se obtiene la ecuación de onda de las leyes de movimiento de Newton.

1.2 LA ECUACIÓN DE ONDA

Se considera una cuerda homogénea l fija en ambos extremos y bajo tensión 0T ,

como se muestra en la Figura 1.1. Se hace la suposición de que los desplazamientos laterales

son pequeños con respecto a l . El ángulo entre algún segmento pequeño de la cuerda y la

línea recta (discontinua) unida a los puntos de soporte es suficientemente pequeño, entonces

)sin(θ es aproximadamente )tan(θ . Similarmente, la tensión 0T en la cuerda se asume que

4

Ax

yTTTF

∂∂

=≈= 010101 )tan()sin( θθ

no es alterada por el desplazamiento lateral; entonces, el movimiento es restringido al plano

xy .

Figura 1.1 Obtención de la ecuación de onda. Movimiento de una cuerda bajo tensión.

La ecuación diferencial del movimiento es obtenida al considerar un elemento

pequeño ds de la cuerda y es mostrado en forma exagerada como el segmento AB en la

Figura 1.1. La componente y de la fuerza actuando en ds consiste de 1F y 2F . Si 1θ y 2θ son

pequeños, entonces

(1.1a)

(1.1b)

donde las derivadas son parciales debido a que y es dependiente del tiempo t , así como de

la distancia x . Los subíndices significan que las derivadas son evaluadas en los puntos A y

B respectivamente. Entonces por el teorema de expansión de Taylor,

(1.2a)

(1.2b)

Bx

yTTTF

∂∂

=≈= 020202 )tan()sin( θθ

2

2 2A

y y y dx

x x x

∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂

2

2 2B

y y y dx

x x x

∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂

θ1

θ1

θ2

T0

T0

F2

F1

A

B

C

dy

dx

x

y

ds

•

•

5

ρν 02 T

=

en la que las derivadas sin subíndices son evaluadas en el punto medio de ds . El resultado de

la fuerza en la dirección y es

(1.3)

Si ρ es la masa por unidad de longitud de la cuerda, la reacción inercial (fuerza) del

elemento ds es )( 22 tyds ∂∂ρ . Para desplazamientos pequeños, ds puede ser escrita como

dxds ≅ . La ecuación de movimiento es entonces obtenida al igualar la reacción inercial a la

fuerza aplicada (1.3), entonces se tiene

(1.4)

La ecuación (1.4) es la ecuación de onda en una dimensión. En óptica, ),( txy es

comparado con la “perturbación óptica” ),( txu . Además, el radio de tensión de la densidad

en la cuerda es encontrado al estar relacionado con la velocidad de propagación ν por la

ecuación

(1.5)

La ecuación (1.5) es fácil de encontrar por un análisis dimensional de la ecuación

(1.4). La ecuación (1.4) puede entonces ser escrita como

(1.6)

que es la forma que aparece en óptica. La ecuación (1.6) describe la propagación de una

perturbación óptica ),( txu en una dirección x a un tiempo t . Para una onda propagándose

en tres dimensiones es fácil de mostrar que la ecuación de onda es

(1.7)

donde 222 zyxr ++= . La ecuación (1.7) puede escribirse como

dxyx

TFF

∂∂

=−2

2

012

yx

Ty

t 2

20

2

2

∂∂

=∂∂

ρ

),(1

),(2

2

22

2

txutv

txux ∂

∂=

∂∂

),(1

),(),(),(2

2

22

2

2

2

2

2

trutv

truz

truy

trux ∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

6

(1.8)

en la cual, 2∇ es el operador Laplaciano

(1.9)

Debido a la importancia fundamental de la ecuación de onda, tanto en mecánica como

en óptica, se ha investigando a fondo. La ecuación (1.7) se resolverá en varias maneras.

1.2.1 SOLUCIÓN DE ONDAS PLANAS

Sea ),,( zyxr�

un vector de posición de un punto P en el espacio, y ˆ( , , )x y zs s s s un

vector unitario en una dirección fija. Una solución de la ecuación (1.7) tiene la forma

(1.10)

Se dice que representa una solución de onda plana, ya que en cada instante de tiempo

u es constante en cada uno de los planos

(1.11)

que es la ecuación de un plano.

La Figura 1.2 muestra un sistema de coordenadas cartesianas Ox , Oy , Oz . Ahora se

escogen un nuevo sistema de ejes coordenados ξO , ζO , ηO , con ζO en la dirección

s r ζ⋅ =�

.

Figura 1.2 Propagación de ondas planas.

),(1

),(2

2

22 tru

tvtru

∂∂

=∇

2

2

2

2

2

22

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

≡∇

ˆ( , )u u s r t= ⋅�

s r cte⋅ =�

x

•

z

y

η

ζ

ξ

r�

O

•

s

7

Entonces, ( ) ( )x xζ ζ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ , etcétera, así

(1.12a)

y se puede escribir

(1.12b)

Donde 1222 =++ zyx sss , se encuentra fácilmente que

(1.13)

así que la ecuación (1.8) e convierte en

(1.14)

Entonces, la transformación (1.12) reduce la ecuación de onda de tres dimensiones a

una ecuación de onda de una dimensión. Estableciendo

(1.15)

y sustituyendo en (1.14) se encuentra que

(1.16)

la solución de (1.16) es

(1.17)

Entonces la solución general de (1.14) es

(1.18)

donde 1u y 2u son funciones arbitrarias. El argumento de u no cambia cuando ),( tζ es

reemplazado por ),( τντζ ++ t , donde τ es un tiempo arbitrario. Entonces, )(1 ντζ +u

representa una perturbación que se propaga con una velocidad ν en dirección negativa ζ .

ζ=++ zsysxs zyx

ζζζ ∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂

zyx sz

sy

sx

uu2

22

ζ∂∂

=∇

01

2

2

22

2

=∂∂

−∂∂

utv

uζ

qvtpvt =+=− ζζ

02

=∂∂

∂u

qp

)()( 21 qupuu +=

1 2ˆ ˆ( ) ( )u u s r vt u s r vt= ⋅ − + ⋅ +� �

8

1 2( ) ( )( , )

u r t u r tu r t

r r

ν ν− += +

Similarmente, )(2 ντζ −u represente una perturbación que se propaga con velocidad ν en

dirección positiva ζ .

1.2.2 ONDAS ESFÉRICAS

Ahora se considera soluciones que representan ondas esféricas, es decir,

(1.19)

Donde 222 zyxrr ++== . Usando las relaciones

(1.20)

Después de calcular, se encuentra que

(1.21)

La ecuación de onda (2.8) es entonces

(1.22)

Siguiendo como (1.14), la solución de (1.22) es

(1.23)

Donde 1u y 2u son funciones arbitrarias. El primer término en (1.23) representa una onda

esférica que diverge del origen mientras que el segundo término es una onda esférica que

converge hacia el origen; ν es la velocidad de propagación en ambos casos.

1.2.3 MÉTODO DE TRANSFORMADA DE FOURIER

El método para resolver la ecuación de onda requiere una considerable cantidad de

visión y experiencia. Sería deseable tener un método formal para resolver la ecuación

( , )u r t=

., etcxrr

x

rr

xx ∂∂

⋅=∂∂

⋅∂∂

=∂∂

( )2

22

1u ru

r r

∂∇ =

∂

( )2 2

2 2 2

10ru ru

r tν∂ ∂

− =∂ ∂

9

∫∞

∞−

= ωωζπ

ζ ω deUtu ti),(2

1),(

∫∞

∞−

−= dtetuU tiωζωζ ),(),(

2 2

2 2

1( , ) ( , )

2i tu t U e dωζ ζ ω ω

ζ π ζ

∞

−∞

∂ ∂=

∂ ∂∫

2

2

2

2 ),(),(

v

UU

ωζωωζ

ζ

−=

∂

∂

ζζ ωωωζ ikik eBeAU −+= )()(),(

diferencial parcial de este tipo. Esto puede hacerse mediante el uso de transformadas de

Fourier.

Entonces considerando la ecuación de onda de una dimensión

(1.24)

El par de ecuaciones correspondiente a la transformada de Fourier de ),( tu ζ es

definida en el dominio del tiempo t , como:

(1.25a)

y

(1.25b)

Se puede escribir entonces

(1.26)

entonces, la ecuación (1.24) es transformada a

(1.27)

La ecuación (1.27) es reconocida inmediatamente como la ecuación de un oscilador

armónico cuya solución es

(1.28)

Donde k ω ν= . Se nota que las constantes de integración ( )A ω y ( )B ω , pueden ser

escritas como funciones de ω debido a que la diferenciación parcial en (1.24) con respecto a

),(1

),(2

2

22

2

tut

tu ζν

ζζ ∂

∂=

∂∂

∫∞

∞−

−=∂

∂ωωωζ

πζ ω deUtu

tti))(,(

2

1),( 2

2

2

10

[ ]∫∞

∞−

−+= ωωωπ

ζ ωζζ deeBeAtu tiikik )()(2

1),(

−+

+=

vtu

vtutu

ζζζ 21),(

ζ . Se puede demostrar que (1.28) es la solución correcta al hacer la diferencial de acuerdo a

(1.27). La solución de (1.24) puede entonces ser encontrada al sustituir ),( ωζU en (1.28)

dentro de la transformada de Fourier ( , )u tζ en (1.25a)

(1.29)

o

(1.30)

De la definición de transformada de Fourier, de la ecuación (1.25), se puede ver que

(1.31)

que es equivalente a la solución (1.18).

La transformada de Fourier es usada a lo largo de la física y proporciona una poderosa

herramienta para resolver ecuaciones diferenciales. Finalmente, las ecuaciones de la

transformada de Fourier y la transformada de Fourier inversa muestran una solución senoidal

más simple de la ecuación de onda.

(1.32)

Donde A y B son constantes. Se puede revisar que (1.32) es la solución de onda

(1.24).

1.2.4 REPRESENTACIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DEL OSCILADOR

ARMÓNICO

Antes de terminar la discusión de la ecuación de onda, también es útil analizar la

ecuación del oscilador armónico. De la mecánica, la ecuación diferencial del oscilador

armónico en movimiento es

( , ) sin( ) sin( )u t A t k B t kζ ω ζ ω ζ= + + −

∫∫∞

∞−

−∞

∞−

+ += ωωπ

ωωπ

ζ ζωζω deBdeAtu vtivti )()( )(2

1)(

2

1),(

11

xxm

kx

dt

d 202

2

ω−=−=

20d xdxν ν ω= −

222

02

22Ax

v+−=

ω

220

2 xAxdt

dv ω−==

(1.33a)

o

(1.33b)

Donde m es la masa del oscilador, k es la constante de fuerza del resorte, y 0 2 fω π= es la

frecuencia angular donde f es la frecuencia en ciclos por segundo.

La ecuación (1.33b) puede ser resuelta multiplicando ambos lados de la ecuación por

dx dt ν= , donde ν es velocidad

(1.34a)

o

(1.34b)

Integrando ambos lados de (1.34b), se tiene

(1.35a)

donde 2A es la constante de integración. Resolviendo para ν , se tiene

(1.35b)

que se puede reescribir como

(1.36)

La solución de (1.36) es muy conocida del cálculo integral y es

(1.37)

kxxdt

dm −=

2

2

xdt

dxv

dt

dv 2

0ω−=

0sin( )x a tω δ= +

2 2 20

dxdt

A xω=

−

12

0 0 0sin( ) sin( ) cos( ) cos( )sin( )t t tω δ ω δ ω δ+ = +

0 0( ) sin( ) cos( )x t A t B tω ω= +

donde a y δ son constantes de integración. La ecuación (1.37) puede ser reescrita de otra

forma al usar la expansión trigonométrica:

(1.38)

entonces,

(1.39)

donde

(1.40)

Otra forma de (1.39) es la expresión )cos( 0tω y )sin( 0tω en términos de exponenciales,

esto es,

(1.41a)

(1.41b)

sustituyendo (1.41a) y (1.41b) en (1.39) y agrupando términos, conduce a

(1.42a)

donde

(1.42b)

Donde C y D son constante complejas. Entonces, se ve que la solución del oscilador

armónico se puede escribir en términos de cantidades reales o cantidades complejas.

La forma de la ecuación (1.35a) es de particular interés. La ecuación diferencial

(1.33a) describe claramente el movimiento de la amplitud del oscilador armónico.

Manteniendo la forma de la ecuación (1.33a) y multiplicándola por dx dt ν= , se puede

escribir

0 0

0cos( )2

i t i te et

ω ω

ω−+

=

0 0

0sin( )2

i t i te et

i

ω ω

ω−−

=

cos( ), sin( )A a B aδ δ= =

0 0( ) i t i tx t Ce Deω ω−= +

,2 2

A iB A iBC D

− += =

13

Ckxmv

+−

=22

22

s r cte⋅ =�

ˆˆ ˆr xi yj zk= + +�

ˆˆ ˆˆ x y zs s i s j s k= + +

(1.43)

ahora integrando ambos lados, nos lleva a

(1.44)

Donde C es una constante de integración. Por tanto, con solo hacer una integración,

nos lleva a una nueva forma de describir el movimiento del oscilador armónico. Al comienzo

del siglo XVIII el significado de la ecuación (1.44) no era claro, pero poco a poco los físicos

se fueron dando cuenta de que (1.44) describe el movimiento del oscilador armónico de una

manera totalmente nueva, es decir, la descripción del movimiento en términos de energía. Los

términos 2 2mν y 2 2kx− corresponden respectivamente a la energía cinética y la energía

potencial del oscilador armónico. Por lo tanto, desde el principio en el desarrollo de la física

se hizo una conexión entre la amplitud y la energía del movimiento oscilatorio. La energía de

una onda puede ser obtenida simplemente por el cuadrado de la amplitud. Este punto es

introducido debido a su relación con el experimento de interferencia de Young. En óptica, sin

embargo, la energía se conoce como la intensidad.

1.2.5 UNA NOTA EN LA ECUACIÓN DE UN PLANO

Retomando que la ecuación de un plano es

(1.11)

que describe el plano de la Figura 1.2. Inspeccionando la figura, se ve que r�

es un vector con

su origen en el origen de las coordenadas, entonces

(1.45)

donde i , j y k son vectores unitarios. Similarmente, de la Figura 1.2 se ve que

(1.46)

Supóngase ahora un vector 0r�

a lo largo de s y el plano es perpendicular a s .

d dmv v kx x

dt dt= −

14

0ˆ ( ) 0s r r⋅ − =� �

s r ζ⋅ =�

Entonces OP es el vector 0r r−� �

y es perpendicular a s . Por lo tanto, la ecuación del plano es

(1.47)

o

(1.48)

donde 0s rζ = ⋅�

es una constante. Así, la solución de onda plana surge del hecho de que el

frente de onda es caracterizada por un plano de extensión infinita.[1]

1.3 EXPERIMENTO DE INTERFERENCIA DE YOUNG

Alrededor del año 1800, Thomas Young realizó un simple, pero importante

experimento óptico conocido como el experimento de interferencia de dos pequeñas

perforaciones. Él demostró que este experimento podría entenderse en términos de ondas; el

experimento dio el primer apoyo claro para la teoría ondulatoria de luz. Con el fin de

entender el patrón que observó, él adoptó las ideas desarrolladas en mecánica y las aplicó en

óptica, un enfoque muy novedoso y radical. Hasta la aparición del trabajo de Young, muy

pocos progresos se habían hecho en la óptica desde las investigaciones de Newton (con la

teoría corpuscular de la luz) y Huygens (la teoría de onda de la luz). El simple hecho es que

para el año 1800, además de la ley de Snell de refracción y las pocas cosas aprendidas de la

polarización, no existía una base teórica para continuar. El trabajo de Young dio el primer

paso en el desarrollo y la aceptación de la teoría ondulatoria de la luz.

El experimento llevado a cabo por Young es mostrado en la Figura 1.3. Una fuente de

luz, σ , es colocada detrás de dos agujeros 1S y 2S , equidistantes de la fuente separadas una

distancia a mayor que la longitud de onda λ , donde las ondas son monocromáticas de la

misma frecuencia y polarizadas linealmente que se desplazan en un medio homogéneo. Los

agujeros actúan como fuentes secundarias de luz que se encuentran en fase, y los haces de

ellos se superponen en la pantalla Σ en un punto arbitrario P que se encuentra lo

suficientemente lejos de las fuentes como para percibir los frentes de ondas como planos.

Notablemente, cuando la pantalla es entonces observada, no se ve una distribución uniforme

de la luz. En cambio, se observa un patrón distinto que consiste en bandas brillantes alternado

15

)cos(),( 11011 εω +−⋅= trkEtrE��

)cos(),( 22022 εω +−⋅= trkEtrE��

...21 ++= EEE��

con bandas oscuras. Para explicar este comportamiento, Young asume que cada uno de los

agujeros 1S y 2S emiten ondas. Siendo sus campos eléctricos

(1.49a)

(1.49b)

Figura 1.3 Ondas de dos fuentes puntuales superpuestas espacialmente λ>>− 12 SS .

De manera general, el campo eléctrico E�

en el espacio, es la suma de los campos 1E�

,

2E�

,... provenientes de diversas fuentes, es decir

(1.50)

La perturbación óptica, o la luz del campo E�

, varía en el tiempo a un ritmo

extremadamente rápido, aproximadamente de Hz14103.4 × a Hz14105.7 × , haciendo que el

campo actual sea una cantidad impráctica para detectar.

La irradiancia I puede ser medida directamente con sensores, entonces el estudio de

interferencia es estudiada a través de la irradiancia. La irradiancia relativa dentro de un

mismo medio es dada por

S1

S2

a P

Σ

16

EEE��

⋅=2

)()( 21212 EEEEE

��+⋅+=

221

22

21

2 2 EEEEE��

⋅++=

(1.51)

que es el promedio temporal de la magnitud de la intensidad de campo eléctrico al cuadrado,

en consecuencia

(1.52)

ahora se tiene

(1.53)

y por tanto

(1.54)

Tomando el tiempo promedio de ambos lados, se tiene que la irradiancia está dada por

(1.55)

que proviene de

(1.56)

El último término es conocido como el término de interferencia. Al evaluar en

instantes específicos da la forma

(1.57)

usando la identidad trigonométrica

(1.58)

se tiene:

(1.59)

Recordando que el tiempo promedio de una función ( )v t en un intervalo T es

(1.60)

El periodo τ de una función armónica es 2π ω y para la interferencia se tiene que

2121 IIII ++=

2

TI E=

�

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2 01 02 1 1 1 1

2 2 2 2

cos cos sin sin

cos cos sin sin

E E E E k r t k r t

k r t k r t

ε ω ε ω

ε ω ε ω

⋅ = ⋅ ⋅ + + ⋅ +

× ⋅ + + ⋅ +

� ��

� ��

0

1( ) ( )

T

v T v t dtT

= ∫

2 2 21 2 1 22I E E E E E= = + + ⋅

� � � � �

( ) ( )1 2 01 02 1 1 2 2cos cosE E E E k r t k r tω ε ω ε⋅ = ⋅ ⋅ − + ⋅ − +� ��

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sin sinA B A B A B± = ∓

17

)cos(2

12211020121 εε −⋅−+⋅⋅=⋅ rkrkEEEE

��

21)(cos2 =tω

21)(sin 2 =tω

0)sin()cos( =tt ωω

)cos( 2211 εεφ −⋅−+⋅= rkrk��

)cos(2 02012112 φEEEEI��

⋅=⋅=

)cos(020112 φEEI =

2

2012

11E

EI ==�

T τ>> . En este caso el coeficiente 1 T frente a la integral tiene un efecto dominante.

Después de multiplicar y promediar la ecuación (1.59) se tiene

(1.61)

usando

(1.62)

(1.63)

(1.64)

ver apéndice A, el término de interferencia es por tanto

(1.65)

Donde

(1.66)

es la diferencia de fase resultante de la combinación de una diferencia de longitud de camino

y una diferencia de ángulo de fase inicial. Si 01E y 02E son perpendiculares 12 0I = e

1 2I I I= + . Estos estados ortogonales se combinan pero la distribución del flujo quedara

inalterada

Una situación común es cuando 01E es paralela a 02E , donde la irradiancia se reduce

al valor calculado como una superposición de ondas, teniendo de condición

(1.67)

esto puede escribirse más oportunamente dando cuenta de que

(1.68a)

(1.68b)

por lo que el término de interferencia queda

2

2022

22E

EI ==�

18

)cos(2 2112 φIII =

)cos(2 2121 φIIIII ++=

,...5,3,2 2121min πππφ ±±±=−+= IIIII

)]cos(1[2 0 φ+= II

2

)cos(1

2cos

AA +±=

(1.69)

donde la irradiancia total es

(1.70)

En varios puntos del espacio, la irradiancia resultante puede ser mayor, menor o igual

a 1 2I I+ dependiendo del valor de 12I , es decir, dependiendo de δ . El máximo de la

irradiancia se obtiene cuando cos( ) 1φ = de modo que

(1.71)

En este caso de interferencia constructiva total, el desfase entre las dos ondas es un

múltiplo entero de 2π mientras que las perturbaciones están en fase. Cuando 0 cos( ) 1φ< <

las ondas están fuera de fase, 1 2 maxI I I I+ < < y el resultado se denomina interferencia

constructiva. Con 2φ π= , cos( ) 0φ = , las perturbaciones ópticas están desfasadas 90� e

1 2I I I= + . Para 0 cos( ) 1φ> > − disponemos de las condiciones de interferencia destructiva

1 2 minI I I I+ > > . Una irradiancia mínima se produce al estar las ondas desfasadas 180� , los

valles se superponen a las crestas, cos( ) 1φ = − y

(1.72)

que es la interferencia destructiva total.

Otro caso se da cuando las amplitudes de las dos ondas que llegan al punto P son

iguales ( 01 02E E=��

). Puesto que las contribuciones de la irradiancia de ambas fuentes son

iguales, 1 2 0I I I+ = . La ecuación (1.70) puede escribirse

(1.73)

Usando la formula del ángulo medio

(1.74)

se puede reescribir

,...4,2,02 2121max ππφ ±±=++= IIIII

19

1 11( ) 0ik x ik xu x Ae Be x− += + <

2 22 ( ) 0ik x ik xu x Ce De x− += + >

=2

cos4 20

φII

(1.75)

de la que se deduce que min 0I = cuando (2 1)mφ π= + , e max 04I I= cuando 2mφ π= con

1, 2, 3,...m = ± ± ± .[2]

1.4 REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE UNA ONDA EN UNA INTERFAZ

La teoría de onda y la ecuación de onda nos permiten tratar un problema importante,

que es la reflexión y transmisión de ondas en la interfaz entre dos diferentes medios. La luz se

encuentra al ser parcialmente reflejada y parcialmente trasmitida en la frontera de dos medios

caracterizados por diferentes índices de refracción. El tratamiento de este problema se realizó

por primera vez en mecánica, sin embargo, mostró como la ciencia de la mecánica facilitó el

camino para la introducción de la ecuación de onda en la óptica.

Dos medios pueden ser caracterizados por su habilidad de soportar dos diferentes

velocidades 1ν y 2ν . En la Figura 1.4 se muestra una onda incidente yendo de la izquierda a la

derecha que es parcialmente transmitida y reflejada en la interfaz (en el límite).

La solución de la ecuación de onda en forma compleja es

(1.76)

Donde k ω ν= . El factor de tiempo i te ω se ha suprimido. El término ikxAe− describe

la propagación a la derecha, y el término ikxBe+ describe la propagación a la izquierda. El

campo de la izquierda a la derecha en el límite puede ser descrito por una superposición de

ondas propagándose hacia la derecha y la izquierda, esto es

(1.77a)

(1.77b)

Donde 1 1k ω ν= y 2 2k ω ν=

( ) ikx ikxu x Ae Be− += +

20

CBA =+

CkCkAk 211 =−

+

−=

21

21

kk

kkAB

k1

v1

k2

v2

x<0

0

x>0

x

x=0

Figura 1.4 Reflexión y transmisión de una onda en la interfaz de dos medios.

Ahora, evaluando A , B , C y D , se asume que en la interfaz en el campo es

continuo, esto es

(1.78)

y las pendientes de 1( )u x y 2 ( )u x son continuas en la interfaz, es decir:

(1.79)

Se asume que no existe una fuente de ondas en el medio de la derecha, 0D = . Esto

significa que la onda con propagación de izquierda del lado izquierdo de la interfaz sólo se

debe al reflejo de la onda incidente.

Con 0D = , y aplicando las condiciones de frontera en (1.78) y (1.79) a (1.77a) y

(1.77b) se encuentra que

(1.80a)

(1.80b)

Resolviendo para B y C en términos de la amplitud de la onda incidente, A , se

encuentra

(1.81a)

(1.81b)

+=

21

12

kk

kAC

1 20 0( ) ( )

x xu x u x

= ==

1 20 0

( ) ( )x x

u x u xx x= =

∂ ∂=

∂ ∂

21

)()()(1 xuxuxu ri +=

)()(2 xuxu t=

)()( * xuxu iii =ε

)()( * xuxu rrr =ε

)()( * xuxu ttt =ε

tri εεε +=

xiki Aexu 1)( −=

xikr Bexu 1)( +=

xikt Cexu 2)( −=

El término B es asociado con la onda reflejada en (1.77a). Si 1 2k k= , los dos medios

son los mismos, entonces (1.81a) y (1.81b) muestran que 0B = y C A= , por lo que no hay

onda reflejada, y se tiene una onda completamente transmitida como se esperaba.

Se puede escribir (1.77a) como la suma de una onda incidente 1( )u x y una onda

reflejada 2 ( )u x :

(1.82a)

y se puede escribir (1.77b) como una onda trasmitida

(1.82b)

Las energías correspondientes a )(xui , ( )ru x y ( )tu x , son entonces los cuadrados de

estas cantidades. Podemos usar cantidades complejas para evitar la formalidad del

procedimiento del tiempo promedio y definir la energía de estas ondas

(1.83a)

(1.83b)

(1.83c)

El principio de conservación de energía requiere que

(1.84)

Los campos )(xui , )(xur y )(xut de (1.77a) y (1.77b) son

(1.85a)

(1.85b)

(1.85c)

Las energías correspondientes de las ecuaciones (1.85) son sustituidas en (1.84),

encontrando

(1.86a)

o

(1.86b)

2 2 2A B C= +

2 2

1B C

A A + =

22

2

21

21

+−

=kk

kkR

1

21

2

kkA

C

+=

Las cantidades ( )2B A y ( )2

C A son los coeficientes de reflexión y transmisión

normalizados, que se escriben como R y T respectivamente. De (1.86b) se tiene

(1.87a)

donde

(1.87b)

(1.87c)

de (1.81a) y (1.81b). La ecuación (1.87b) y (1.87c) pueden ser encontradas al

satisfacer la condición de conservación (1.87a).

Los coeficientes B y C un comportamiento interesante, de (1.81a) y (1.81b) se

escriben

(1.88a)

(1.88b)

donde

(1.88c)

Ahora, si 2 0v = , esto es, que no hay propagación en el segundo medio, (1.88c) se

convierte en

(1.89)

Con este límite evaluado, se ve que (1.88a) y (1.88b) es

2

21

12

+=

kk

kT

1

2

1

2

1

1

kk

kk

A

B

+

−=

1R T+ =

2

2 1

01 2

limv

k v

k v→= = ∞

2 2 1

1 21

k v v

k vv

ω

ω= =

23

1 11( , ) ( ) 0ik x ik xi tu x t e Ae Be xω −= + <

(1.90a)

(1.90b)

La ecuación (1.90a) demuestra que es una inversión de fase de 180� (π rad) de la

reflexión total. Entonces, la onda reflejada está completamente fuera de fase con la onda

incidente, y se tiene cancelación total. Este comportamiento es descrito por el término ondas

estacionarias. Ahora derivamos la ecuación, la cual muestra que la onda resultante no se

propaga.

El campo de la izquierda de la interfaz es dado por (1.77a) y es

(1.91)

Donde se reintroduce el factor tiempo (antes suprimido) i te ω . De (1.90ª) se puede

escribir

(1.92a)

(1.92b)

(1.92c)

donde

(1.92d)

(1.92e)

La velocidad de fase pv de una onda puede ser definida en términos de amplitud

como

(1.93)

aplicando (1.93) en (1.92d) y (1.92e) respectivamente, se encuentra que

πieA

B=−= 1

0=A

C

1 1

1 1

1

( ) ( )

( , ) ( )

( , ) ( , )

ik x ik xi t

i t k x i t k x

u x t Ae e e

Ae Ae

u x t u x t

ω

ω ω

−

− +

− +

= −

= −

= −

1( )( , ) i t k xu x t Ae ω −− =

1( )( , ) i t k xu x t Ae ω ++ =

( )( )p

utv

ux

∂∂= −

∂∂

24

0)()( =++−= pp vvv

)sin(2),( 11 xkAetxu tiω=

1

( )pvk

ω−+ =

1

( )pvk

ω− =

(1.94a)

(1.94b)

entonces, la velocidad total de la onda es

(1.95)

Entonces, la velocidad resultante de la onda es cero de acuerdo a (1.95); esto es, la

onda no se propaga y queda estática en su lugar. La ecuación de la onda estacionaria es dado

por (1.92a), que se puede escribir como

(1.96)

Se acostumbra a tomar la parte real de (1.96)

(1.97)

donde se ha omitido el subíndice 1. Se ve que no hay propagador t kxω − , entonces (1.97) no

describe la propagación.

Así, se ve que la ecuación de onda y la teoría de onda conducen a una descripción

correcta de la transmisión y reflexión de una onda en una frontera. Mientras que este

comportamiento fue estudiado por primera vez en la mecánica en el siglo XVIII. Esto se hizo

por primera vez por Fresnell, quien encontró las ecuaciones de la reflexión y transmisión en

una interfaz entre dos medios caracterizados por índices de refracción 1n y 2n [1].

Ahora con esta base, se continúa con el estudio de una propiedad interesante de la luz,

su polarización.

{ }1( , ) Re ( , ) 2 cos( )sin( )u x t u x t A t kxω= =

25

)cos(),( 0 xxx rktutru δω +⋅−=��

)cos(),( 0 yyy rktutru δω +⋅−=��

)cos(),( 0 zzz rktutru δω +⋅−=��

CAPÍTULO 2

LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN

2.1 INTRODUCCIÓN

Christian Huygens fue el primero en sugerir que la luz no es una cantidad escalar

basado en su trabajo de propagación de la luz a través de los cristales. Esta naturaleza

vectorial de la luz es llamada polarización. Si seguimos la mecánica y comparamos un medio

óptico con un medio elástico isotrópico, éste debe ser capaz de soportar tres oscilaciones

independientes (perturbaciones ópticas): ( , )xu r t , ( , )yu r t y ( , )zu r t . En correspondencia se

requiere de tres ecuaciones de onda independientes para describir la propagación, es decir,

(2.1)

donde v es la velocidad de propagación de la oscilación y ( , , )r r x y z=� �

. En un

sistema cartesiano, las componentes ( , )xu r t�

y ( , )yu r t�

se dice que son las componentes

transversales, y la componente ),( truz

� se dice que es la componente longitudinal cuando la

propagación es en la dirección z . Esto, de acuerdo a la ecuación (2.1), las componentes del

campo óptico se pueden expresar como:

(2.2a)

(2.2b)

(2.2c)

En 1818 Fresnel y Arago llevaron a cabo una serie de investigaciones fundamentales

basadas en el experimento de interferencia de Young usando luz polarizada. Después de una

considerable cantidad de experimentos, ellos se vieron obligados a concluir que la

componente longitudinal (2.2c) no existe. Esto es, que la luz consiste solamente de

componentes transversales (2.2a) y (2.2b). Si se toma la dirección de propagación en la

dirección z , entonces el campo óptico en el espacio libre puede ser descrito solamente por

22

2 2

1( , ) ( , ) , ,i iu r t u r t i x y z

tν∂

∇ = =∂

� �

26

)cos(),( 0 xxx EtzE δτ +=

)cos(),( 0 yyy EtzE δτ +=

(2.3a)

(2.3b)

Donde 0xu y 0 yu son las amplitudes máximas xδ y yδ son fases arbitrarias.

Las ecuaciones (2.3) representan las componentes de polarización de los campos

ópticos, siendo una interesante propiedad de la naturaleza de la luz.

2.2 EL CAMPO ÓPTICO INSTANTÁNEO Y LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN

Las ondas se dicen que son “instantáneas” en el sentido de que el tiempo de duración

de la onda que pasa por un ciclo completo es 1510− segundos. Los campos ópticos

transversales propagándose en la dirección z se muestran en la Figura 2.1. Las componentes

trasversales son representadas por

(2.4a)

(2.4b)

donde t kzτ ω= − es definido como el propagador. Los subíndices x y y se refieren a los

componentes del campo eléctrico en las direcciones x y y , 0xE y 0 yE son las amplitudes

máximas, y xδ y yδ son las fases respectivamente. Los campos de propagación ( , )xE z t y

( , )yE z t dan lugar a una resultante vectorial. Este vector describe un lugar geométrico de

puntos en el espacio donde la curva generada por estos puntos puede ser encontrada. Con este

fin, las ecuaciones (2.4) son rescritas como

(2.5a)

(2.5b)

por lo tanto,

(2.6a)

)cos(),( 0 xxx kztutzu δω +−=

)cos(),( 0 yyy kztutzu δω +−=

0

cos( )cos( ) sin( )sin( )xx x

x

E

Eτ δ τ δ= −

0

cos( )cos( ) sin( )sin( )yy y

y

E

Eτ δ τ δ= −

0 0

sin( ) sin( ) cos( )sin( )yxy x y x

x y

EE

E Eδ δ τ δ δ− = −

27

xy δδδ −=

z

Ex

Ey

(2.6b)

Elevando al cuadrado y sumándolas, se obtiene

(2.7a)

donde

(2.7b)

Figura 2.1 Propagación del campo óptico transversal.

La ecuación (2.7a) es reconocida como la ecuación de una elipse y muestra que en

cualquier instante de tiempo el lugar de puntos descritos por el campo óptico a medida que se

propaga es una elipse. Este comportamiento habla de como es la polarización óptica, y por lo

tanto, la ecuación (2.7a) es llamada polarización elíptica. En la figura (2.2) la elipse es

mostrada inscrita en un rectángulo cuyos lo lados son paralelos a los ejes de coordenadas

siendo sus longitudes 02 xE y yE02 .

Para determinar los puntos donde la elipse es tangente a los lados de el rectángulo, se

reescribe (2.7a) como

(2.8)

La solución de esta ecuación cuadrática es

222

2 20 0 0 0

2 cos( ) sin ( )y yx x

x y x y

E EE E

E E E Eδ δ+ − =

0 0

cos( ) cos( ) sin( )sin( )yxy x y x

x y

EE

E Eδ δ τ δ δ− = −

( ) ( )2 2 2 2 2 20 0 0 0 02 cos( ) sin ( ) 0x y x y x y y x xE E E E E E E E Eδ δ− + − =

28

yx EEA 00 ),cos(: ++ δ

)cos(,: 00 δyx EEB ++

yx EEC 00 ),cos(: −− δ

)cos(,: 00 δyx EED −−

(2.9)

En la parte superior e inferior de la elipse, donde es tangente al rectángulo, la

pendiente es cero. Ahora, diferenciando (2.9), estableciendo ' 0y y xE dE dE= = , se

encuentra

(2.10a)

Sustituyendo en (2.9), el valor correspondiente de yE es

(2.10b)

Similarmente, al considerar (2.9) donde la pendiente es ∞='yE en el lado del

rectángulo, los puntos tangentes son

(2.11a)

(2.11b)

Las ecuaciones (2.10) y (2.11) muestran que la longitud máxima de los lados de la

elipse son 0x xE E= ± y yy EE 0±= . La elipse es tangente a los lados del rectángulo en

( )0 0, cos( )x yE E δ± ± y ( )0 0cos( ),x yE Eδ± ± . Se ve que (2.10) y (2.11) muestran que los

extremos de xE y yE son xE0± y yE0± respectivamente.

En la Figura 2.2 la elipse es mostrada tocando al rectángulo en el punto A , B , C , y

D , cuyas coordenadas son

(2.12a)

(2.12b)

(2.12c)

(2.12d)

( )1 20 0 2 20

0 0

cos( ) sin( )y x yy x x

x x

E E EE E E

E E

δ δ= ± −

0 cos( )x xE E δ= ±

0y yE E= ±

xx EE 0±=

)cos(0 δyy EE ±=

29


Figura 2.2 Una onda polarizada elípticamente y la elipse de polarización.

La presencia de los “términos cruzados” en (2.7a) muestra que la elipse de

polarización es, en general, rotada, y esta propiedad es mostrada en la figura (2.2) donde la

elipse es mostrada rotada a través de un ángulo ψ .

Hay ciertas formas degeneradas de la elipse de polarización que son continuamente

encontradas en el estudio de la luz polarizada. Estos son casos en que xE0 ó yE0 son cero, o

xE0 ó yE0 son iguales o donde δ es 0 , 2π , ó π radianes.

2.3 FORMAS ESPECIALES (DEGENERADAS) DE LA ELIPSE DE

POLARIZACIÓN

La elipse de polarización

(2.7a)

se degenera en formas especiales para ciertos valores de 0 xE , 0 yE y δ .

Casos:

1. 00 =yE . En este caso ( , ) 0yE z t = y

(2.4a)

2E0x

A

B

C

D

• •

•

•

ξ

η

y

x 0

2E0y ψ

222

2 20 0 0 0


x y x y

E EE E

E E E Eδ δ+ − =

30

)cos(),( 0 yyy EtzE δτ +=(2.4b)

se reducen a

(2.13a)

(2.13b)

En este caso hay solo una oscilación en la dirección x . La luz tiene entonces

polarización lineal en dirección x y se le llama luz polarizada linealmente horizontal.

Similarmente, si 00 =xE y 0),( ≠tzE y , entonces se tiene una oscilación lineal a lo largo de

el eje y , y se habla de luz polarizada linealmente vertical,

2. 0=δ ó πδ = , la ecuación (2.7a) se reduce a

(2.14)

que se puede reescribir como

(2.15)

obteniendo que

(2.16)

Esta ecuación es reconocida como la ecuación de una línea recta con pendiente

xy EE 00± pasando por el origen. Entonces se dice que es luz linealmente polarizada con

pendiente xy EE 00± . El valor 0=δ da una pendiente negativa, y el valor πδ = da una

pendiente positiva. Si yx EE 00 = , entonces se ve que

(2.17)

El valor positivo representa una luz polarizada linealmente a �45+ , y el valor

negativo representa luz polarizada linealmente a �45− .

xx

yy E

E

EE

0

0±=


0),( =tzEy

0200

20

2

20

2

=±+y

y

x

x

y

y

x

x

E

E

E

E

E

E

E

E

0

2

00

=

±

y

y

x

x

E

E

E

E

xy EE ±=

31

120

2

20

2

=+y

y

x

x

E

E

E

E

120

2

20

2

=+E

E

E

E yx

3. 2πδ = ó 23πδ = . La elipse de polarización ahora se reduce a

(2.18)

Esta es la ecuación estándar de una elipse. Se nota que 2πδ = ó 23πδ = da

polarización elíptica idéntica.

4. 000 EEE yx == y 2πδ = ó 23πδ = . La polarización elíptica ahora se reduce a

(2.19)

que describe la ecuación de un círculo. Entonces, para esta condición de luz se dice que es

polarización circular derecha o izquierda ( 2πδ = y 23πδ = , respectivamente). La

ecuación (2.19) muestra que por si sola no puede determinar si el valor de δ es 2π ó 23π .

2.4 PARÁMETROS ELÍPTICOS DE LA ELIPSE DE POLARIZACIÓN

La elipse de polarización tiene la forma

(2.7a)

donde y xδ δ δ= − . En general, los ejes de la elipse no se encuentran en las direcciones Ox y

Oy . En la ecuación (2.7a) la presencia del término “producto” x yE E muestra que es en

realidad una elipse rotada; en la forma estándar de una elipse, el término producto no está

presente. Ahora se busca la relación entre los parámetros de la elipse de polarización xE0 ,

yE0 , δ , el ángulo de rotación ψ y otro parámetro importante que es el ángulo de elipticidad

χ .

En la Figura 2.3 se muestra una elipse rotada, dejando los ejes iniciales Ox y Oy no

rotados, y teniendo 'Ox y 'Oy como nuevos ejes a lo largo de la elipse rotada. Además,

teniendo )0( πψψ ≤≤ como el ángulo entre Ox y 'Ox del eje mayor.

2 22 22

2 2 2 20 0 0 0


x y x y

E EE E

E E E Eδ δ+ − =

32

)sin()cos(' ψψ yxx EEE +=

)cos()sin(' ψψ yxy EEE +−=

)'cos(' δτ += aEx

)'sin(' δτ +±= bEy

Figura 2.3 Elipse de polarización rotada.

Las componentes 'xE y 'yE son

(2.20a)

(2.20b)

Si a2 y b2 ( ba ≥ ) son las longitudes del eje mayor y menor, respectivamente,

entonces la ecuación de la elipse en términos 'Ox y 'Oy puede ser escrita como

(2.21a)

(2.21b)

donde τ es el propagador y 'δ es una fase arbitraria. El signo ± describe los dos posibles

sentidos en los que el punto final del campo vectorial puede describir la elipse.

La forma de (2.21) es escogida debido a que es fácil de ver que conduce a la forma

estándar de la elipse, llamada

(2.22)

Se pueden relacionar a y b de (2.21) a los parámetros xE0 y yE0 de (2.7a)

recordando que las ecuaciones originales para el campo óptico son

(2.23a)

a b

• •

•

•

x'

y'

y

x 0

ψ

1''

2

2

2

2

=+b

E

a

E yx

)cos(0

xx

x

E

Eδτ +=

33

(2.23b)

Se sustituye (2.21) y (2.23) en (2.20), expandiendo términos se obtiene

(2.24a)

(2.24b)

Igualando coeficientes de )cos(τ y )sin(τ , se llega a las siguientes ecuaciones:

(2.25a)

(2.25b)

(2.25c)

(2.25d)

Elevando al cuadrado y sumando (2.25a) y (2.25b) y usando xy δδδ −= , se encuentra

que

(2.26a)

Similarmente, de (2.25c) y (2.25d) se encuentra

(2.26b)

de aquí

(2.27)

Ahora, multiplicando (2.25a) por (2.25c), (2.25b) por (2.25d), y sumando, esto da

(2.28)

Además, dividiendo (2.25d) entre (2.25a) y (2.25c) entre (2.25b) da

)cos(0

yy

y

E

Eδτ +=

( )( ) ( ) )sin()sin()sin()cos()cos()cos()sin()sin()cos()cos(

)'sin()sin()'cos()cos(

00 ψδτδτψδτδτ

δτδτ

yyyxxx EE

a

−+−

=−

( )( ) ( ) )cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin()sin()cos()cos(

)'sin()cos()'cos()sin(

00 ψδτδτψδτδτ

δτδτ

yyyxxx EE

b

−+−−

=+±

)sin()cos()cos()cos()'cos( 00 ψδψδδ yyxx EEa +=

)sin()sin()cos()(ins)'sin( 00 ψδψδδ yyxx EEa +=

)cos()sin()(ins)(ins)'cos( 00 ψδψδδ yyxx EEb −=±

)cos()cos()(ins)(cos)'sin( 00 ψδψδδ yyxx EEb −=±

)cos()sin()cos(2)(sin)(cos 0022

022

02 δψψψψ yxyx EEEEa ++=

)cos()sin()cos(2)(cos)(sin 0022

022

02 δψψψψ yxyx EEEEb −+=

20

20

22yx EEba +=+

)sin(00 δyxEEab =±

34

x

y

E

E

0

0)tan( =α

)cos()2tan()2tan( δαψ =

(2.29a)

o

(2.29b)

que relaciona el ángulo de rotación ψ a xE0 , yE0 y δ .

Se nota que en términos de la fase δ , el ángulo de rotación ψ es igual a cero solo

para �90=δ o �270=δ . Similarmente, en términos de amplitud, solo si xE0 o yE0 es igual

a cero ψ es cero.

Un método alternativo para determinar ψ es al transformar (2.7a) directamente a

(2.22). Se muestra escribiendo (2.20a) y (2.20b) como

(2.30a)

(2.30b)

Las ecuaciones (2.30) pueden obtenerse de (2.20) al resolver para xE y yE o,

equivalentemente, reemplazando ψ por ψ− , xE por 'xE , y yE por 'yE . Al sustituir (2.30a)

y (2.30b) en (2.7a), el término cruzado desaparece solo can la condición dada por (2.29)

Es útil introducir un ángulo auxiliar ( )0 2α α π≤ ≤ para la elipse definida por

(2.31)

Entonces (2.29) es fácil de demostrar mediante el uso de (2.30) para reducirse a

(2.32)

la cual se puede expresar como

(2.33)

Se puede ver que para 0=δ o π , el ángulo de rotación es

)cos()(tan1

)tan(2)cos(

2)2tan( 22

02

0

00 δα

αδψ

−==

yx

yx

EE

EE

( ) )2sin()cos(2)2sin( 002

02

0 ψδψ yxyx EEEE =−

20

20

00 )cos(2)2tan(

yx

yx

EE

EE

−=

δψ

)sin(')cos(' ψψ yxx EEE −=

)cos(')sin(' ψψ yxy EEE −=

35

αψ ±=

)sin()2sin()2sin( δαχ =

(2.34)

Para 2πδ = o 23π se tiene 0=ψ , esto es, el ángulo de rotación es también cero

Otro importante parámetro de interés es el ángulo de elipticidad χ . Esto es definido

por

(2.35)

Se ve que para la polarización lineal de la luz 0=b , entonces 0=χ . Similarmente,

para la polarización circular de la luz b a= , entonces 4πχ ±= . Por lo que (2.35) describe

los extremos de la elipticidad de la elipse de polarización.

Usando (2.27), (2.28), (2.31) y la identidad

se encuentra que

(2.36)

Usando (2.35) es fácil de ver que el lado izquierdo de (2.36) se reduce a sin(2 )χ ,

entonces se puede escribir (2.36) como

(2.37)

que es la relación entre la elipticidad χ de la elipse de polarización y los parámetros xE0 ,

yE0 y δ .

Se nota que solo para 2πδ = o 23πδ = , (2.37) se reduce a

(2.38)

Lo cual es esperado.

En resumen se tiene que los parámetros elípticos xE0 , yE0 y δ de la elipse de

)sin()2sin()sin(22

20

20

00

22 δαδ =+

=+

±

yx

yx

EE

EE

ba

ab

)(tan1

)tan(2)cos()sin(2)2sin( 2 θ

θθθθ

+==

44)tan(

πχ

πχ ≤≤

−±=

a

b

αχ ±=

36

polarización son relacionados al ángulo de polarización ψ y al ángulo de elipticidad χ por

las siguientes ecuaciones:

(2.39a)

(2.39b)

donde 20 π≤≤ a y

(2.39c)

(2.39d)

(2.39e)

Se hace énfasis en que la elipse de polarización puede describirse o bien en términos

de orientación y ángulos de elipticidad ψ y χ en el lado izquierdo de (2.39a) y (2.39b), o los

ejes mayor y menor 0xE y 0 yE y el corrimiento de fase δ del lado derecho del (2.39a) y

(2.39b).

Se puede distinguir dos casos de polarización de acuerdo al sentido de rotación del

vector que describe la elipse. La terminología tradicional, se basa en el comportamiento

aparente del campo E�

cuando se ve de frente al observador. Entonces, la polarización es de

mano derecha cuando un observador mira en dirección de donde viene la luz, el punto final

del vector que describe la elipse en el sentido de las agujas del reloj. Si se considera el valor

de (2.4) para dos instantes de tiempo separados por un cuarto de periodo, se ve que en este

caso 0)sin( >δ , o por (2.39), 40 πχ ≤< . Para la polarización de la mano izquierda es el

caso contrario, para un observador que mira en la dirección desde la cual se propaga la luz el

vector eléctrico que parece describir la elipse es en sentido contrario, en este caso 0)sin( <δ ,

y entonces 04 <≤− χπ .[1]

a

b±=)tan(χ

πψδαψ ≤≤= 0)cos()2tan()2tan(

44)sin()2sin()2sin(

πχ

πδαχ ≤≤−=

20

20

22yx EEba +=+

x

y

E

E

0

0)tan( =α

37

2.5 APLICACIONES DE POLARIZACIÓN

La luz polarizada y sus aplicaciones aparecen en muchas ramas de la ciencia e

ingeniería. Estos incluyen astrofísica (radiación de sincrotrón, física solar, dispersión

atmosférica), química (sacarimetría, actividad óptica, polarización de fluorescencia),

microscopía (el microscopio de polarización), y por supuesto, óptica [polarización por

reflexión de vidrios (dieléctricos) y metales, cristales líquidos, películas delgadas, electro-

óptica, etcétera]

La polarización de la luz fue descubierta por primera vez por Erasmus Bartholinus

(1625-1698) mientras investigaba la transmisión de la luz no polarizada a través de un cristal

de espato de Islandia (calcita). Es un hecho notable que a pesar de toda la investigación sobre

materiales en los últimos 300 años, de los materiales sintéticos o naturales, muy pocos se han

encontrado que se pueden utilizar para crear y analizar luz polarizada. Los cristales tienen la

más amplia aplicación en la región del visible del espectro electromagnético, como son la

calcita, cuarzo, mica y el turmaline. La calcita y el cuarzo son cristales uniaxiales y

relativamente fáciles de entender en términos de su comportamiento de polarización

La polarización de la luz cambia cuando la luz es reflejada por un material dieléctrico,

el cambio de polarización además ocurre cuando la luz es reflejada (transmitida) por metales

y semiconductores.

Por muchos años, un material sintético se buscó que pudiera crear luz polarizada, este

fue finalmente realizado con la invención de Polaroid por Edwin Land. Polaroid es un

polarizador dicroico que crea la luz polarizada por la absorción diferencial de un haz de luz

incidente. Para muchas aplicaciones Polaroid es un sustituto útil para polarizadores de calcita,

que son muy caros.

El principio de funcionamiento de muchos moduladores espaciales de luz de cristal de

estado sólido y líquido, se basa en la modulación de la polarización. La modulación se logra

mediante la alteración del índice de refracción del material modulador, por lo general con un

campo magnético o eléctrico. Los materiales cristalinos son una clase especialmente

importante de modulador de materiales debido a su uso en electro-óptica, en sistemas

robustos y también debido a la posibilidad de poner los sistemas ópticos en chips de circuito

integrado.[3]

38

En seguida se describe de manera muy general el funcionamiento de un LCD.

2.6 PANTALLA DE CRISTAL LÍQUIDO

Las Pantallas de Cristal Líquido (LCD del inglés, Liquid Crystal Display), están

altamente difundidas en la actualidad. Son muy útiles porque permiten mostrar información o

datos de manera muy clara. La mayoría de los electrodomésticos y diversos equipos

electrónicos traen uno o varios de ellos porque presentan la gran ventaja de bajo consumo de

potencia. La importancia de los LCD se debe a los cristales líquidos. En sí, estas dos palabras

suenan contradictorias, pero este material es la razón por la cual este dispositivo funciona.

El cristal líquido fue descubierto por el botánico austriaco Fredreich Rheinizer en

1888. "Cristal líquido" no es ni sólido ni líquido (un ejemplo es el agua jabonosa).

A mediados de 1960, los científicos demostraron que los cristales líquidos cuando son

estimuladas por una carga eléctrica externa pueden cambiar las propiedades de la luz que

pasa a través de los cristales.

Los primeros prototipos (finales de 1960) eran demasiado inestables para la

producción masiva. Pero todo eso cambió cuando un investigador británico propone un

material estable, de cristal líquido (bifenilo).

Los moduladores de luz son dispositivos que permiten variar, de manera controlada,

la distribución espacial de fase y/o amplitud de un haz que ha sido reflejado o refractado por

este dispositivo.[4][5]

Existen diferentes tipos de cristales líquidos, que dependen del acomodo molecular a

través de la misma estructura cristalina, estos son: smectic, ferroeléctrico, nemático y

colestérico. El usado en este trabajo de tesis es del tipo nemático, sus moléculas tienen una

orientación paralela en todo el volumen del cristal, a demás de tener su centro de gravedad

localizado aleatoriamente, lo que le da estabilidad. Tanto la orientación de sus moléculas

como sus propiedades ópticas pueden ser controladas por medio de un diferencial de

potencial. El nombre nemático proviene de la palabra griega “hebra de hilo” ya que sus

moléculas se asemejan a hebras apuntando a un sentido en común.

El giro molecular es una propiedad de los LCDs nemáticos (Figura 2.4), que surge

cuando se coloca el cristal en dos placas de vidrio con dos direcciones de pulido diferentes,

39

haciendo que la molécula gire en el traslado de un vidrio al otro.

Por lo general, el LCD contiene dos polarizadores lineales colocados en sus dos caras

y con sus ejes a cierto ángulo, dependiendo del giro molecular. Al aplicar un voltaje

adecuado, las moléculas modifican su transmitancia debido a la alineación con la dirección

del campo eléctrico aplicado.[3]

La orientación de las moléculas de un cristal liquido esta determinada por la

adaptación a las superficies. En un dispositivo Twsted Nematic TN, las direcciones de

alineación de la superficie de los dos electrodos son perpendiculares entre sí, y así se

organizan las moléculas en una estructura helicoidal.

Cuando se aplica un voltaje a través de los electrodos, una fuerza de giro orienta las

moléculas de cristal líquido paralelas al campo eléctrico, que distorsiona la estructura

helicoidal, esto reduce la rotación de la polarización de la luz incidente, y el dispositivo

aparece gris. Si la tensión aplicada es lo suficientemente grande, las moléculas de cristal

líquido en el centro de la capa son casi completamente desenrolladas y la polarización de la

luz incidente no es rotada ya que pasa a través de la capa de cristal líquido. Esta luz será

principalmente polarizada perpendicular al segundo filtro, y por eso será bloqueada y el píxel

aparecerá negro. Por el control de la tensión aplicada a través de la capa de cristal líquido en

cada píxel, la luz se puede permitir pasar a través de distintas cantidades, constituyéndose los

diferentes tonos de gris.

40

Figura 2.4 Esquema de las moléculas de la pantalla LCD. a) Haz de luz. b) Polarizador. c) Electrodo. d) Giro nemático. e)

Electrodo. f) Analizador. g) Luz resultante. h) Suministro de corriente. Imagen superior, sin campo eléctrico. Imagen

inferior, con campo eléctrico.

E

a) b) c) d) e) f) g)

h)

41

CAPÍTULO 3

EFECTO TALBOT

El efecto Talbot es un fenómeno de estructura fractal considerado como un ejemplo

de la belleza de la física. Puede ser explicado a partir de relaciones trigonométricas y también

algebraicamente con la ecuación de intensidad proveniente de la ecuación de onda. Este

efecto se basa en la difracción.

El efecto óptico de Talbot fue observado por primera vez en 1836 por Henry Fox

Talbot que estudió el comportamiento de la luz en la región inmediatamente detrás de una

rejilla justo después de que la luz ha sido difractada.

El efecto Talbot se puede describir como la autoimagen de una rejilla de difracción, es

decir, a distancias regulares de la rejilla, la luz difractada a través de ella forma una imagen

perfecta de la rejilla (Figura 3.1).

Figura 3.1 Localización de los planos de la imagen Talbot después de la rejilla, para una longitud de onda de luz.

A distancias regulares Tz , la luz que emana de la rejilla forma imágenes perfectas de

la misma, que se refiere a las imágenes primarias Talbot (Figura 3.1). A mitad del camino

entre estas imágenes, la luz forma otras auto-imágenes que están desplazadas por medio

periodo de la rejilla original, que se conoce como imágenes secundarias Talbot. La distancia

Rejilla

Fase inversa de la

imagen Talbot

Subimágenes Talbot

Imagen Talbot

Imagen Talbot

Fase inversa de la

imagen Talbot

zT

42

de Talbot depende de la longitud de onda de la luz, lo que significa que las imágenes Talbot

de diferentes colores (frecuencias) aparecen a diferentes distancias, lo que es el origen de las

bandas de color observadas, de manera alternada, por Talbot.

El primer cálculo de la distancia Talbot se llevó a cabo por Lord Rayleigh en un

documento de 1881 titulado “On copying diffraction-gratings, and on some phenomena

connected therewith”. Se da cuenta de haber redescubierto el trabajo olvidado de Talbot y

señala que:

“En el curso del verano pasado, sin embargo, encontré por casualidad que Fox

Talbot había hecho, hace muchos años, algunas observaciones del mismo tipo; y la lectura

de ellos me indujo a cambiar algo mi línea propuesta de ataque”.

La “línea de ataque” de Rayleigh fue en el desarrollo de un método óptico para la

creación de nuevas rejillas de difracción. Al colocar un material fotográfico en la posición de

un plano de autoimagen Talbot, se pude grabar una imagen casi perfecta de la rejilla original,

que a su vez puede ser utilizado como una rejilla nueva.

Pasaron 80 años para completar la teoría del efecto Talbot por Cowley y Moodie en la

década de 1950, y Winthrop y Worthington en la década de 1960. Ellos demostraron que hay

una familia infinita de imágenes Talbot entre las imágenes primaria y secundaria, estas

imágenes contraídas se mencionan como imágenes de Talbot fraccionadas.

El efecto Talbot tiene una estructura auto-similar, en 1996, Berry y Klein demostraron

que este efecto posee una estructura fractal.

A continuación se describe este fenómeno de una manera cualitativa y luego teórica.

Una red de difracción (Figura 3.2) es un dispositivo que utiliza las propiedades

ondulatorias de la luz separando las diferentes longitudes de onda en diferentes direcciones

Figura 3.2 Red de difracción.

Rojo Verde

Verde

Rojo

Rejilla

Luz blanca

43

d

Punto de observación

La luz blanca se divide en sus colores constituyentes en la transmisión a través de la

rejilla; estos colores primarios viajan en direcciones diferentes. Este fenómeno es muy útil en

las aplicaciones de la óptica, y se puede utilizar para hacer un monocromador de luz o un

espectrómetro de luz.

Un monocromador se utiliza para seleccionar sólo un color de luz de un rayo de luz

blanca, mientras que un espectrómetro se usa para medir por separado el brillo de los colores

individuales de la luz.

Una rejilla de difracción (Figura 3.3) es un material delgado y traslúcido grabado con

un patrón periódico. La forma más sencilla de una red de difracción es una pantalla opaca que

se ha cortado en franjas a intervalos regulares.

Figura 3.3 Rejilla de periodo d.

La difracción en una rejilla se puede explicar al considerar sólo dos orificios

colocados a una distancia d utilizando básicamente el mismo cálculo que se usa para

explicar el experimento de la doble rendija de Young, luego este análisis se aplica para más

cantidad de orificios.

Supongamos que una sola frecuencia de onda ilumina un par de orificios separados

por una distancia d (Figura 3.4).

Figura 3.4 Difracción con dos orificios.

d

44

d

λ

Si d es muy grande, se puede considerar la siguiente Figura 3.5

Figura 3.5 Análisis de ángulos en la difracción con dos orificios.

Usando trigonometría, se tiene que la luz del orificio 2 tiene que viajar una distancia

)sin(θd más allá de la luz del agujero 1. Si esa distancia es igual a una longitud de onda de

la luz, entonces la luz de los dos agujeros permanece en fase e interfiere de forma

constructiva en el punto de observación (Figura 3.6)

Figura 3.6 Luz en fase.

Si se cumple esta condición en un par de agujeros, para todos lo demás pares se puede

escribir la condición de interferencia constructiva de la luz procedente de la rejilla como:

(3.1)

Donde λ es la longitud de onda de la luz. Si esta condición no se cumple, entonces la

luz que emana de los agujeros estará cada vez más fuera de fase a mayor distancia y si hay

d θ

θ

dsin(θ)

1

2

...3,2,1)sin( == nnd λθ

45

combinación de frecuencias como en la luz blanca, éstas se separarán, debido a que el ángulo

depende de la longitud de onda, los colores diferentes (frecuencias diferentes) viajan en

distintas direcciones produciendo el espectro de color que se observa por ejemplo en discos

compactos.

Los agujeros de una rejilla de difracción están separados por distancias comparables,

pero en general más grandes que una longitud de onda

Una onda plana monocromática es una onda de frecuencia única, cuyo frente de onda

(superficie de fase constante) forma planos. El frente de onda de la luz vista en dos

dimensiones, se puede esquematizar como en la Figura 3.7, donde la onda se propaga fuera

del plano de la rejilla 0=z , en ángulo θ y con una longitud de onda de λ . Si viajamos en

dirección x o en dirección z , vemos que la onda plana se repite en distancias xλ y zλ

respectivamente (nota: no confundir con componentes vectoriales).

Figura 3.7 Luz monocromática vista de lado.

A partir de esta representación, se puede usar la relación del inverso del cuadrado de

la altura, desde la hipotenusa de un triángulo, que es igual a la suma de los inversos

cuadrados de los catetos

(3.2)

Debido a que la rejilla tiene un periodo d en la dirección x , se deduce que la luz que

emana de la reja también debe tener un periodo d en la dirección x . Esto significa que solo

las ondas planas que emanan de la rejilla pueden satisfacer dn x =λ , donde n es un entero,

λ

θ λz

x

z

λx

222

111

zx λλλ+=

46

ilustrando esto se muestra en la siguiente Figura 3.8.

Figura 3.8 Ondas planas a través de la rejilla con diferente inclinación.

Por regla general, d es bastante mayor que λ , lo que hace que los ángulos de las

ondas planas sean muy pequeños.

(3.3)

En esencia, esta descripción es el concepto matemático conocido como series de

Fourier, que establece que una señal periódica se puede describir en su totalidad en términos

de funciones periódicas de cada vez menor longitud de onda que se repiten en la distancia d .

Así que, las ondas planas que se propagan solo fuera de una rejilla de difracción, tiene

longitudes de onda horizontal de

(3.4)

Entonces, sustituyendo en la ecuación (3.2)

(3.5)

Debido a que la longitud de onda vertical solamente puede tomar valores especiales,

se puede demostrar que hay distancias verticales en los que todas las ondas planas que

regresan a su relación de la fase inicial.

Para demostrarlo, sea la fase zkz=φ donde z es la distancia de propagación y el

número de onda

λx=d 2λx=d

λ>>d

n

dx =λ

2

1

−

=

d

nz

λ

λλ

47

(3.6)

Entonces cuando la fase de una onda plana es π2 , la distancia zz λ= , usando la

ecuación (3.5) en (3.6)

(3.7)

Usando la expansión binomial:

(3.8)

se tiene que

(3.9)

para el caso

(3.10)

se tiene que

(3.11)

El segundo término es múltiplo de π2 , entonces, cada onda desde la rejilla, tendrá la

misma fase en la distancia z que satisface (3.10).

Resolvemos para z en (3.10)

(3.12)

Que es la primera distancia Talbot.[6][7]

2

12

−=d

nzzk z

λλπ

211

22 x

x −≈−

zd

nzk z

−=

2

2

2

22 λπλπ

12 2

=zd

λ

λ

22dz =

zzk

λπ2

=

222

nzzkz

z πλπ

−=

49

CAPÍTULO 4

OBTENCIÓN DE LA FASE DE UN PATRÓN DE

FRANJAS

4.1 INTRODUCCIÓN

Medir, es una de las bases de la ciencia, es comparar con un patrón de referencia para

poder expresar una cantidad (mensurado) y sea comunicable esa información con alguien

más. Se pueden hacer mediciones de distancias desde escalas menores a micrómetros, hasta

kilómetros, estas mediciones se pueden hacer con diferentes métodos, desde comparar

directamente con algún patrón (pie, regla, brazo) o deducir con cálculos a partir de datos de

un arreglo experimental.

Las mediciones más finas deben tener una planeación estructurada y deben hacerse lo

más detallado posible, llegando a ser incluso arte.

Una buena parte de las diferentes técnicas que conforman la Metrología Óptica

proporcionan la información del mensurando a través de la fase óptica en forma de

variaciones espaciales de la intensidad, los denominados patrones de franjas. El proceso de

decodificación que proporciona la distribución espacial de la fase óptica (el mapa de fase)

empleando uno o varios de estos patrones de franjas se denomina habitualmente Método de

Evaluación de la Fase y constituye una importante herramienta mensural en tanto en cuanto

suministra la información del mesurando, definida habitualmente en un espacio bi o

tridimensional, en un formato bidimensional. Esto último ha contribuido al empleo de estos

métodos, desde los albores de la Óptica, en la medida de diversas magnitudes físicas en

múltiples campos de la ciencia y de la ingeniería. Sin embargo, su uso ha estado inhibido

durante un largo periodo de tiempo por la necesidad de llevar a cabo el proceso de forma

manual, en donde en un principio, la cuantificación de la fase se realizaba mediante la

localización de los puntos extremos de los patrones de franjas observados directamente o

previamente fotografiados. Estas medidas tediosas y rutinarias resultaban poco eficaces

debido a la gran cantidad de medidas realizadas a mano y a la necesidad de distinguir por

50

parte del mensurador entre datos de franjas reales y ruido presente en el patrón. La posterior

aparición en la década de los 60 de cámaras de televisión de estado sólido y computadoras

permitió la adquisición y almacenamiento de los patrones de franjas en un formato adecuado

para su posterior manipulación. Esto permitía, mediante programas de computadora

específicamente desarrollados, la realización de medidas rápidas y promediadas, con el fin de

aumentar el contraste, reducir el ruido y localizar más fácilmente los puntos extremos del

patrón. Estas técnicas iniciales fueron rápidamente superadas por las nuevas técnicas de

procesado de imagen a mediados de la misma década que proporcionaban el mapa de fase

directamente. El desarrollo de computadoras en términos de velocidad y capacidad de

almacenamiento, así como su abaratamiento, universalizó el uso de estas técnicas y propició

su vertiginoso desarrollo, siendo actualmente una de las herramientas metrológicas más

potentes y que presenta una mayor versatilidad respecto a sus campos de aplicación.

Por todo ello, los métodos de evaluación de los patrones de franjas se han convertido

en uno de los principales tópicos de investigación a nivel mundial en el campo de la

Metrología Óptica, siendo muy numeroso el conjunto de los grupos de investigadores que

dedican actualmente sus esfuerzos a diseñar nuevos métodos, mejorar los ya existentes o

implantarlos en nuevas aplicaciones. Esto queda puesto de manifiesto analizando, desde

finales del siglo pasado, el aumento del número de publicaciones referidas a los mismos,

vertiginoso sobre todo a partir de la década de los 80, en comparación con otros tópicos en

Metrología Óptica.

Los métodos de evaluación pueden ser completamente clasificados en dos grandes

grupos atendiendo a la necesidad de una portadora espacial como elemento básico del método

(Tabla 4.1). De esta forma, podemos distinguir entre a) métodos con portadora espacial como

el Método de Desplazamiento de Fase con Portadora Espacial (MDFPE), la Detección

Síncrona Espacial (DSE), Método Moiré Lógico (MML), el Método Moiré Multiplicativo

Analógico (MMMA), la evaluación por transformada de Fourier (ETF), el Método de Ajuste

Sinusoidal (MAS) o el Método de los Sistemas Dependientes de los Datos (MSDD); y b)

métodos sin portadora espacial como el Método Temporal de Desplazamiento de Fase

(MTDF), el Método Espacial de Desplazamiento de Fase (MEDF), la Detección Síncrona

(DS), el Método Heterodino (MH), la Interferometría con Realimentación de la Fase de

Referencia (IRFR) o el Método de Modulación Sinusoidal de la Fase (MMSF). La mayor

51

parte de ellos asume una dependencia sinusoidal entre la intensidad y la fase, no existiendo

un método que sea apropiado en todas las situaciones. Así mientras la mayoría de los

métodos con portadora espacial hacen uso de un único patrón de franjas (excepto el

MMMA), siendo por ello adecuados para la medida de la fase en situaciones de rápida

variación del mensurando y/o ruido, los métodos sin portadora espacial presentan un mayor

rango de medida.

Por otra parte, una serie de estos métodos (MDFPE, DSE, MML, MMMA, MAS,

MTDF, MEDF y DS) emplean los Algoritmos de Desplazamiento de Fase (ADF), con

carácter general o para ciertos de éstos, como herramienta para obtener la fase óptica a través

de una función trigonométrica inversa cuyo argumento es una combinación de valores de

intensidad desplazados en fase, estos últimos obtenidos a partir de uno o varios patrones de

franjas. Estos ADF, que datan al menos de 1966, permiten calcular la fase con su polaridad

en un intervalo de tiempo relativamente corto, con una baja complejidad computacional

(incluso en presencia de fronteras o discontinuidades) y sin necesidad de interacción por parte

del mensurador una vez que los valores de intensidad han sido obtenidos. Estas razones

justifican su uso en la mayoría de los actuales dispositivos ópticos de medidas comerciales.

Tabla 4.1 Clasificación de los Métodos de Evaluación. Se señalan aquellos que emplean ADF

Con portadora espacial Sin portadora espacial

MDFPE MTDF

DSE MEDF

MML DS

MMMA MH

ETF IRFR

MAS MMSF

MSDD

52

2 cos ( 1)2n A B A BI I I I I nπ

φ = + + + −

Una forma óptica de medir distancias es mediante el análisis de patrones periódicos,

los patrones más comunes son franjas pero también pueden ser cualquier otro patrón

periódico, a los cuales se aplican corrimientos de fase controlados, a continuación se explica

las bases teóricas de esto.

4.2 ALGORITMO DE FASE DE CUATRO PASOS

El algoritmo de cuatro pasos requiere que cuatro interferogramas separados del objeto

de prueba sean grabados y digitalizados. Un cambio de fase óptico de �90 se introduce en el

haz de referencia entre cada interferograma grabado secuencialmente.

Entonces tomando la irradiancia total de la interferencia de dos ondas

(4.1)

se le puede agregar una diferencia de fase dado por un nφ∆ donde

(4.2)

Por lo tanto, resultan cuatro ecuaciones que describen los cuatro patrones de

intensidad de los interferogramas medidos:

(4.3)

Entonces, para el algoritmo de cuatro pasos se tiene:

(4.4)

En la Figura 4.1 se muestra patrones de franjas con un corrimiento de fase entre sí de

2π .

( )

( )

1

2

3

4

2 cos

2 cos2

2 cos

32 cos

2

A B A B

A B A B

A B A B

A B A B

I I I I I

I I I I I

I I I I I

I I I I I

φ

πφ

φ π

πφ

= + +

= + + +

= + + +

= + + +

1 2 1 22 cos( )I I I I I φ= + +

( )1 1,2,3, 4...2n n nπ

φ∆ = − =

53

Figura 4.1 Patrón de franjas con un corrimiento de fase de cuatro

pasos: a) 0, b) π/2, c) π y d) 3π/2.

Estas cuatro ecuaciones con tres cantidades desconocidas ( AI , BI y φ ) pueden

resolverse para encontrar el valor de φ en cada punto del interferograma.

Despejando φ , como se muestra en el apéndice B se tiene que

(4.5)

Aplicando arctan a ambos lados de la ecuación[8]

(4.6)

4.3 ALGORITMOS DE RECONSTRUCCIÓN DE FASE

Debido a la periodicidad de la función trigonométrica inversa empleada, los

algoritmos de desplazamiento de fase (ADF) proporcionan el valor de la fase en módulo π ;

)(

)()tan(

31

42

II

II

−−−

=φ

−−−

=)(

)(arctan

31

42

II

IIφ

b)

c)

d)

a)

54

no obstante, es posible identificar el cuadrante en el que se encuentra φ si se tienen en cuenta

los signos del correspondiente argumento. Por ejemplo, cuando los algoritmos de

desplazamiento de fase expresados por la ecuación (4.4) se programan utilizando los lenguaje

Mathcad se suele emplear la función ATAN2(N,D) que realiza automáticamente la

corrección de cuadrantes. Los ADF, por tanto, proporcionan valores de la fase φ en el rango

[0, 2 ] radπ , los denominados valores principales. De esta forma los resultados obtenidos

presentan una discontinuidad cada vez que la fase aumenta o disminuye en 2 radπ respecto

a una cierta fase arbitraria (a la que usualmente durante el cálculo se le asigna el valor de

cero). Como habitualmente se requiere obtener los valores continuos de la fase φ es

necesario resolver estas discontinuidades. Este proceso se denomina reconstrucción de la fase

(“phase unwrapping”) y se lleva a cabo sumando o restando valores 2 p radπ (siendo p un

número entero que se corresponde con el denominado orden de las franjas) cada vez que se

detecta una discontinuidad en los valores principales de la fase φ , con objeto de obtener la

fase reconstruida Rφ (Figura 4.2)

Se han diseñado distintos algoritmos de reconstrucción de la fase que llevan a cabo

este proceso definiendo criterios para la identificación correcta de las discontinuidades en los

correspondientes valores principales. Todos estos algoritmos exhiben un alto grado de

complejidad en el procesamiento presentando como contrapartida un tratamiento bastante

eficaz de los puntos problemáticos en el proceso de reconstrucción, es decir, los valores de

intensidad que: a) presentan un ruido comparable a la amplitud de las franjas; b) contienen

puntos con baja modulación; c) muestran cambios abruptos de fase debidos a

discontinuidades; o d) presentan una densidad de muestreo demasiado baja. Sin embargo,

ninguno de ellos puede dar cuenta de todos los posibles efectos que pueden aparecer, estando

cada uno de ellos dedicado a resolver parcialmente el problema y necesitándose en muchos

casos información adicional. Es por ello que actualmente no existe ningún proceso de

reconstrucción de fase que se encuentre totalmente automatizado, siendo éste uno de los

campos de investigación al cual se está dedicando más esfuerzo dentro del ámbito de la

evaluación de la fase óptica.

55

Figura 4.2 a) Fase envuelta, b) Reconstrucción de fase (fase desenvuelta); ambas en unidades de radianes.

4.4 RESUMEN DE LAS TÉCNICAS DE MODULACIÓN

Podemos clasificarlas diferentes técnicas de modulación de fase de los valores de

intensidad I atendiendo a su origen en dos grandes grupos (Tabla 4.2): analógicas (temporal

o espacial; continua o discreta) y digitales. A continuación presentaremos una descripción de

las mismas, mencionando las principales estrategias que se utilizan en cada caso para llevar a

cabo su implementación concreta.

Tabla 4.2 Las técnicas de modulación y su relación con los diferentes Métodos de Evaluación de Fase (MTDF: Método Temporal de Desplazamiento de Fase; DS: Detección Síncrona; MMMA: Método Moiré Multiplicativo Analógico; MDFPE: Método de Desplazamiento de Fase con Portadora Espacial; MAS: Método de Ajuste Senoidal; MEDF: Método Espacial de Desplazamiento de Fase; MML: Método Moiré Lógico; DSE: Detección Síncrona Espacial).

Analógica Digital

Temporal Espacial

Continua Discreta Continua Discreta

MTDF

MDFPE

MAS

MMMA MMMA

MEDF

MML DSE

a) b)

56

a) Modulación analógica temporal

La modulación analógica temporal (empleada en los MTDF, DS y MMMA) puede

llevarse a cabo de forma continua o discreta, siendo la diferencia entre ambas una variación

no significativa, respecto a los algoritmos de desplazamiento de fase (ADF), en la

modulación. En este caso el dispositivo analógico que lleva a cabo el proceso de introducir

deliberadamente una fase adicional variable en los valores de intensidad (es decir, de modular

la fase) se denomina modulador de fase, aunque este proceso puede ser el inducido por los

cambios lentos y la inestabilidad del propio mensurando. Existen distintas técnicas para

realizar este proceso, pudiéndose distinguir primariamente entre moduladores mecánicos y no

mecánicos, según sea necesario o no el desplazamiento, lineal o angular, de algún

componente del modulador para su operación. Durante este proceso, o bien uno (o varios) de

los frentes de onda que proporcionan el patrón de franjas sufren un desfase que se refleja en

este último, o bien se modula directamente el patrón de franjas. Los principales moduladores

de fase se han representado en Figura 4.3 y son explicados en detalle a continuación.

Dentro de los moduladores mecánicos empleados están:

i) El modulador formado por un conjunto de transductores piezoeléctricos (PZT)

que definen la posición de una superficie del sistema óptico. La aplicación de un voltaje

eléctrico al mismo provoca su contracción o expansión, que se traduce en un movimiento de

la superficie óptica y, por tanto, en una separación relativa entre los frentes de onda que da

lugar al consiguiente desplazamiento de fase en el patrón de franjas. Este sencillo modulador

presenta una serie de limitaciones debido a su histéresis y no linealidad, siendo además difícil

de emplear para posicionar elementos ópticos grandes y pesados.

ii) El modulador formado por una fibra óptica por la que viaja uno de los frentes

de onda y un cilindro PZT, donde, en su configuración más típica, la primera se enrolla en el

exterior del segundo. Al igual que en el caso anterior, la aplicación de un voltaje eléctrico

provoca una expansión radial del cilindro, que da lugar a una variación de las dimensiones de

la fibra y de su índice de refracción, induciendo un desplazamiento de fase. De hecho, en

general puede emplearse cualquier fenómeno físico que cause una modificación en el camino

óptico correspondiente a las fibras, como por ejemplo una variación de temperatura. Los

principales inconvenientes de este modulador mecánico radican en la aparición de una cierta

57

variación en la polarización, junto con la presencia de no linealidades entre el voltaje

eléctrico aplicado y la profundidad de modulación.

iii) Una lámina plano-paralela introducida en el camino de uno de los frentes de

onda presentando una cierta inclinación con respecto a la dirección de propagación del

mismo. Variando el ángulo respecto a la incidencia normal del haz se pueden obtener una

serie de desplazamientos de fase en el mismo, siempre y cuando la lámina sea de alta calidad

a fin de obtener un valor uniforme para la fase adicional.

iv) Un compensador de cuña situado en una configuración similar a la de la

lámina plano-paralela, donde en este caso la fase adicional se introduce en uno de los frentes

de onda mediante una traslación de una de las partes del compensador perpendicularmente a

la dirección de incidencia. Al igual que ocurre con la lámina plano-paralela, el compensador

debe ser de alta calidad con objeto de tener un valor uniforme de la fase adicional.

v) Red de difracción (lineal o radial; de reflexión o de transmisión) situada

perpendicularmente a la dirección de uno o varios frentes de onda, que resultan difractados

por la misma, o el patrón de franjas directamente. En este caso la traslación de la red en su

propio plano proporciona un desplazamiento de fase independiente de la longitud de onda de

la fuente de iluminación y proporcional al orden de difracción y/o a la frecuencia de la red. A

fin de no modificar significativamente al mensurando se requiere una red de calidad que

presente variaciones espaciales de menor magnitud que su periodo. Si los efectos difractivos

son relevantes se hace necesario evitar el empalme de los distintos haces difractados, así

como el disponer de una misma eficiencia para todos los órdenes.

vi) Componentes polarizadores situados perpendicularmente a la dirección de

propagación de los haces. Aparte de los desplazamientos lineales anteriormente descritos, se

pueden utilizar movimientos de rotación aplicados a dispositivos ópticos de cambio de

polarización (como láminas de 2λ ó 4λ y polarizadores) cuando los haces presentan una

polarización mutuamente perpendicular, con el fin de producir un desfase relativo entre

ambos múltiplo de radπ para una rotación completa de los mismos. En este caso los

distintos valores de la fase adicional se obtienen variando el ángulo de azimut de ciertos

componentes, que puede ser determinado de una manera muy precisa.

Como alternativa a los moduladores mecánicos (que presentan un ancho de banda

58

típicamente en el rango de los kHz, o a lo sumo decenas de kHz), se han diseñado otros

moduladores que prescinden del movimiento mecánico de distintos componentes para

obtener la fase adicional, los denominados moduladores no mecánicos (con un ancho de

banda del orden de los MHz, e incluso GHz). Entre estos últimos podemos destacar:

vii) La modulación directa de un láser diodo, cuando éste se emplea como fuente

de iluminación. Esto se consigue variando la corriente o la temperatura de la región activa del

láser diodo que provoca una variación de la longitud de onda, obteniéndose una fase

adicional α que es proporcional a dicha variación de la longitud de onda y a la diferencia de

camino óptico entre haces. El hecho de que la fase de referencia dependa en este caso de la

diferencia de camino óptico implica que ésta debe ser controlada cuidadosamente y que esta

técnica sólo puede ser aplicada en aquellas disposiciones en las cuales ésta no tenga un valor

nulo.

viii) Las pantallas de cristal líquido, que presentan una birrefringencia inducida

controlada con un bajo voltaje eléctrico sin sufrir fenómenos de histéresis como los sistemas

PZT, presentando una alta flexibilidad de diseño. Su principal limitación es el bajo rango de

modulación en la fase obtenido junto con la aparición no deseada de una posible modulación

en intensidad y una no uniformidad espacial en el desplazamiento de fase relativo.

Por último, otros moduladores no mecánicos que pueden ser utilizados para producir

el desplazamiento de fase son cámaras de presión, moduladores electro-ópticos, o

moduladores acusto-ópticos.

59

Figura 4.3 Principales moduladores analógicos temporales.

Mecánicos

PZT Espejo

PZT

Fibra óptica

Superficie de referencia

PZT

i) ii)

vi)

Polarizador

λ/4

λ/2

Polarizador

λ/4

Polarizador

λ/4

λ/2

iii) iv) v)

Lámina planoparalela

Compensador de cuña

Rejilla de difracción

60

Figura 4.3 Continuación.

b) Modulación analógica espacial

Estas técnicas pueden a su vez ser divididas en: a) continuas, en donde el

desplazamiento de fase entre valores de intensidad se obtiene introduciendo una portadora

espacial en un único patrón de franjas (empleadas habitualmente en los MDFPE y MAS); y

b) discretas (que se utilizan en el MEDF), en donde se producen simultáneamente n patrones

de intensidad desplazados en fase y separados en el espacio empleando redes de difracción o

componentes polarizadores.

c) Modulación digital

En este caso los valores de intensidad que se emplean en los ADF procedentes de un

único patrón (utilizados en los MML y DSE), se obtienen realizando el proceso de

modulación electrónicamente o por computadora.

4.5 ERRORES ASOCIADOS A LOS ADF

Existen numerosas fuentes de error que afectan a las medidas realizadas con los

métodos de evaluación que hacen uso de los ADF, unos de carácter general debidos a la

No Mecánicos

Láser diodo

Pantalla de cristal líquido

vii) viii)

61

propia formulación de estos algoritmos y comunes, por tanto, a todos los métodos de

evaluación en los que son empleados, y otros de índole específica cuyo origen se encuentra

en la manera en que son implantados los ADF en los distintos métodos de evaluación. Estas

fuentes de error modifican la exactitud y repetibilidad de las medidas obtenidas y es, por ello

que, para minimizar su efecto en la fase φ resulta importante el identificar y cuantificar la

influencia en los resultados de cada una de ellas.

En la literatura científica se han publicado distintos estudios sobre los errores

asociados a los ADF llevados a cabo empleando diversas estrategias. Una primera

aproximación al estudio de la influencia de estos errores consiste en la simulación por

computadora de los distintos tipos de error para los ADF más comunes. Estos cálculos

numéricos se llevan a cabo introduciendo artificialmente en los datos de entrada el error

considerado, calculando la fase φ con los mismos y obteniendo el error en la fase φ∆ por

diferencia con el valor de la fase exacto (calculado mediante el mismo ADF a partir de los

datos sin error). Este sencillo método de análisis proporciona una información numérica del

efecto que provoca una determinada fuente de error en un cierto ADF, permitiendo incluso la

elección del algoritmo más adecuado dentro del conjunto analizado. La Tabla 4.3 muestra los

principales tipos de error que pueden afectar a los ADF.

Tabla 4.3 Errores asociados a los ADF

Aleatorios Sistemáticos

Turbulencias y corrientes laminares de aire Aberraciones del sistema óptico

Derivas térmicas y relajación mecánica Franjas parásitas

Vibraciones Calibración

Ruido óptico No sinusoidalidad

Ruido electrónico Detección

Cuantización

62

Aunque la naturaleza de los errores es compartida, en mayor o menor medida, por

todos los métodos de evaluación que emplean los ADF, su efecto sobre la fase φ puede

diferir en uno u otro caso. No existe, en nuestro conocimiento, ningún algoritmo inmune a

todos los tipos de error, siendo habitual que la reducción o cancelación de un cierto error por

parte de uno de éstos, conlleve un aumento de la sensibilidad a otros tipos de error. Asimismo

se observa que algunos ADF son más sensibles que otros a ciertos errores, mientras que

determinados errores afectan por igual a todos ellos. De esta forma, el ADF más apropiado en

cada caso depende de las peculiaridades de la aplicación concreta.

4.5.1 ERRORES ALEATORIOS

Este tipo de errores, también denominados errores ambientales o estocásticos, son

comunes a prácticamente todos los métodos de evaluación causando una degradación tanto

de la exactitud como de la repetibilidad de las medidas y sus efectos pueden ser reducidos

diseñando estrategias específicas en cada caso.

Entre las diversas fuentes de errores aleatorios podemos destacar:

a) Turbulencias y corrientes laminares de aire. Los efectos de las primeras

pueden ser reducidos protegiendo los caminos ópticos, mientras que los debidos a los

segundas se limitan si se emplea una configuración óptica perpendicular al flujo.

b) Derivas térmicas y relajación mecánica. Para que su efecto sobre la medida no

sea relevante se debe proveer aislamiento térmico y un tiempo de espera suficientemente

largo para que el sistema alcance la estabilidad. Esto último se ve favorecido empleando

materiales con bajo coeficiente de expansión y alta conductividad calorífica, con lo que se

alcanza el equilibrio rápidamente.

c) Vibraciones. Si las vibraciones son de alta frecuencia en comparación con la

frecuencia temporal a la que se adquieren los patrones (que es típicamente de la decena de

Hz), se produce una reducción de la modulación. Si las vibraciones son sinusoidales y la

frecuencia de vibración es baja respecto a la adquisición, el empleo de ciertos ADF puede

colaborar a reducir su efecto. En este último caso, aparece un error en la fase de φ∆ que

presenta una dependencia en la fase φ con una frecuencia espacial doble de la

63

correspondiente a las franjas. Los procedimientos más usuales para mitigar su efecto

consisten en el empleo de: i) componentes rígidos, con elevado amortiguamiento interno y

aislados de las perturbaciones exteriores mediante suspensiones pasivas o incluso activas; ii)

técnicas ópticas con configuraciones de camino óptico común; iii) ADF con un elevado

número de valores de intensidad, y iv) ADF de 2(+1) patrones.

d) Ruido electrónico. Tiene su origen en el propio proceso de fotodetección y en

la amplificación de la señal detectada y es debido, entre otras causas, a la agitación térmica de

los portadores de carga y a la naturaleza discreta de la energía luminosa.

e) Ruido óptico (“Speckle”). Ruido de alta frecuencia cuyo efecto puede ser

eliminado mediante diversos métodos: el filtrado espacial digital de los patrones

reemplazando el valor de la intensidad en cada punto por el promedio, el promedio

ponderado o la mediana de las intensidades medidas en ese punto o sus vecinos; el filtrado

coherente de los valores de intensidad; el empleo de un difusor rotatorio que produce un

ruido óptico variable con el tiempo que resulta promediado durante el periodo de integración

del sistema de adquisición; el empleo de ADF específicos; etc.

4.5.2 ERRORES SISTEMÁTICOS

Los errores sistemáticos, también denominados deterministas, han sido estudiados

ampliamente ya que su influencia sobre la exactitud de la medida es apreciable. Los efectos

de prácticamente todos ellos pueden ser convenientemente reducidos e incluso cancelados

mediante la elección adecuada del correspondiente ADF. Estos errores son:

a) Aberraciones del sistema óptico que da lugar al patrón de franjas o del

modulador de fase empleado. Su efecto sobre la fase φ puede ser cancelado mediante un

adecuado proceso de calibración.

b) Franjas parásitas. Cuando se utilizan fuentes de iluminación de alta coherencia

temporal se pueden producir franjas parásitas producidas por la interferencia de haces

adicionales. En ciertos casos, el error que aparece presenta una dependencia con la fase de

igual frecuencia que la del patrón si la fase del haz adicional es constante sobre la imagen y

64

su efecto puede ser minimizado mediante un ADF genérico que combinan los usuales

patrones desplazados con otros adicionales en los cuales se ha introducido un desfase de

p rad uno de los haces o se ha bloqueado éste.

c) Errores de calibración en la fase adicional nφ∆ . Posiblemente sean éstos los

errores más problemáticos que puedan sufrir los ADF, no en vano están íntimamente

relacionados con la propia naturaleza de los mismos. Es por ello que su estudio se ha

convertido en uno de los principales tópicos en el ámbito de la evaluación mediante los

mismos, estando su efecto sobre la fase φ ampliamente estudiado y analizado.

Este error aparece cuando existe una discrepancia entre el valor real y el valor

nominal de la fase adicional nφ∆ . Estas inexactitudes en nφ∆ , de carácter lineal o de orden

superior con nφ∆ , provocan en la mayoría de los casos un error en la fase φ de doble

frecuencia que la de los valores de intensidad. En principio, el efecto del error lineal nφ∆

puede ser cancelado a la vez que se reduce el efecto de no linealidades de orden superior,

empleando algoritmos que calculen la diferencia de fase relativa nφ∆ analíticamente en cada

punto por separado a partir de los propios patrones como, por ejemplo, el algoritmo de

Carré[9]. La mencionada dependencia del error con la fase φ , por otra parte, nos indica una

manera simple de compensarlo mediante la media aritmética de conjuntos de patrones

desplazados globalmente 2π . Esto se debe a que el error presenta en ambos casos un mismo

periodo pero con un desfase de radπ , con lo que al promediar éste se reduce. Así, por

ejemplo, se obtiene la fase φ con un cierto grado de insensibilidad a errores lineales en la

fase adicional nφ∆ mediante un sencillo ADF.

Asociados con los anteriores errores de calibración espacialmente uniformes, se

encuentran los correspondientes a la variación espacial no uniforme de la fase adicional

(como los debidos a grandes aperturas numéricas en los casos que emplean un sistema PZT,

uno de los más utilizados en los sistemas metrológicos comerciales, o al empleo de celdas de

cristal líquido como modulador). Esta variación efectiva en nφ∆ puede llegar a ser alta,

produciendo un error que presenta una dependencia complicada con la fase. Este error puede

ser cancelado utilizando ADF con desplazamiento relativo de fase compensado. Al igual que

65

ocurre con la mayoría de los errores sistemáticos, también en este caso puede ser minimizado,

incluso para grandes aberturas numéricas, con el empleo de algoritmos con un mayor número

de patrones.

d) Perfil no sinusoidal de las franjas. Como ya hemos indicado, la mayoría de los

ADF asumen que los valores de intensidad tienen un perfil cosenoidal, ecuación (4.4).

Cuando estos algoritmos se usan directamente para analizar patrones que no tienen este perfil,

aparece un error con una dependencia en la fase φ complicada que depende del ADF

empleado y de la amplitud de las distintas componentesarmónicas de orden superior y cuyo

efecto puede ser minimizado empleando ADF genéricos con un mayor número de patrones.

e) Errores en la detección. Por una parte, los ADF asumen que el proceso de

fotodetección se produce linealmente, es decir, que existe una relación lineal entre la

intensidad de incidencia de cada elemento del detector y su señal de salida. El efecto que

produce este tipo de error sobre la fase medida resulta ser análogo al producido por el perfil

no sinusoidal de las franjas, en tanto en cuanto la no linealidad del proceso de fotodetección

da lugar a la aparición de términos de intensidad con dependencias armónicas en la fase

típicamente de segundo y tercer orden, pudiendo por ello considerarse como un caso

particular del anterior.

f) Error de cuantización. El error de cuantización está inducido por la

discretización de los valores de intensidad previa a un tratamiento informático. Este último

proceso usualmente se realiza mediante un convertidor analógico-digital (A/D), en el cual

una señal continua se transforma en una señal digital de valores discretos de intensidad. Los

convertidores usuales utilizan 8 bits, lo que significa que existen 28=256 niveles discretos de

cuantización. En la práctica suele suceder que, en zonas de baja visibilidad, el número

efectivo de niveles de cuantización (es decir, los niveles presentes entre el máximo y el

mínimo de intensidad alcanzables al variar la fase a lo largo de un ciclo en cada punto del

detector) disminuye y el error nφ∆ aumenta. La manera más eficaz de reducir este error es

acondicionar la salida de la cámara de TV al convertidor A/D, de modo que se aproveche

todo el rango dinámico de éste. Sin embargo también se puede reducir utilizando ADF con un

mayor número de patrones. Así, por ejemplo, si la diferencia de fase nφ∆ es constante entre

los n patrones de franjas entonces el error en la fase φ∆ debido al empleo de Q niveles de

66

cuantización, expresado en forma de la desviación estándar en la fase φ , es inversamente

proporcional a la raíz cuadrada del número de patrones. Un tratamiento más general indica

que, empleando 8 o más bits, el error en la fase φ es despreciable si los valores de intensidad

cubren todo el rango de cuantización, dependiendo primordialmente su valor de la presencia

de ruido en los mismos.

4.6 PRINCIPALES VENTAJAS

Los ADF presentan, en general, como principales ventajas las siguientes:

a) Baja sensibilidad al ruido estacionario, a la intensidad promedio local, a la

visibilidad y a las variaciones locales de ganancia del detector que adquiere los valores de

intensidad.

b) Se pueden emplear con patrones que presente un bajo contraste.

c) La exactitud de los resultados está en último término limitada por la relación

señal-ruido de los patrones de franjas que proporcionan los valores de intensidad (errores de

cuantización, etc.). El efecto de los errores sistemáticos puede ser reducido a un nivel en el

cual sólo el ruido aleatorio limita la exactitud de la medida.

d) Pueden hacerse totalmente automáticos.

e) El signo de la fase φ se determina unívocamente en cada punto.

f) La resolución espacial es alta ya que el número de puntos de medida coincide

con el número de elementos detectores empleados para adquirir los valores de intensidad

(típicamente 512x512 puntos).

g) Al calcular la fase φ sobre una red fija de puntos (la matriz de elementos

detectores del sistema digitalizador de imagen), se asegura una fidelidad geométrica alta y un

muestreo uniforme incluso en los bordes o presencia de discontinuidades. En este caso, las

aberraciones del sistema formador de imagen producen una distorsión que tiene un valor

típico menor del 5%.

h) La potencia de cálculo actualmente disponible, incluso en computadoras

67

personales, permite realizar las operaciones que proporcionan la fase φ en tiempo cuasi-real.

Asimismo estos algoritmos presentan como principal limitación el hecho de que la

máxima variación de la fase φ entre puntos sucesivos está limitada a un valor de radπ±

debido a los requisitos impuestos por el sistema de adquisición. Con respecto a los errores

asociados a los ADF, no existe en la actualidad un ADF que sea insensible a todas las

posibles fuentes de error sistemático, siendo habitual que la reducción de una de ellas al

emplear un ADF determinado conlleve la del aumento de sensibilidad a otra u otras fuentes

de error. Los ADF que mejor comportamiento presentan frente al conjunto de errores

sistemáticos son aquellos que emplean un número elevado de valores de intensidad, pero

éstos requieren en ciertos casos un exhaustivo control de las condiciones estocásticas para

evitar una excesiva influencia del conjunto de los errores aleatorios, Por lo tanto, se hace

necesaria una solución de compromiso a la hora de elegir el ADF a emplear, ya que el

empleo de un número pequeño de valores de intensidad reduce la influencia de los errores

aleatorios así como el espacio de almacenamiento y tiempo de procesado, mientras que un

elevado número de ellos reduce el de los errores sistemáticos[10].

69

CAPÍTULO 5

PARTE EXPERIMENTAL

5.1 CARACTERIZACIÓN DE UN LCD

La utilización de LCDs comerciales como moduladores espaciales de luz plantea

varios problemas de índole práctico. En primer lugar, el usuario carece de información

precisa acerca de los parámetros físicos que caracterizan la estructura helicoidal de las

celdas, como son el giro molecular, la birrefringencia del material en ausencia de campo

eléctrico o la orientación de las moléculas en la cara de entrada del dispositivo. Estos

parámetros determinan el comportamiento modulador del LCD, por lo que se hace

necesario un estudio previo de “ingeniería inversa” que permita hallar el valor de estas

magnitudes físicas que se desconocen a priori. Para ello, se puede aplicar alguna de las

técnicas que habitualmente se emplean en el control de calidad del procedimiento de

fabricación de las celdas de cristal líquido, y que permiten verificar si los parámetros de

éstas se hallan dentro de las tolerancias deseadas. Un método monocromático muy simple

consiste en el ajuste numérico de las curvas de irradiancia obtenidas al situar el LCD

(desconectado) entre dos polarizadores lineales. Su principal inconveniente es que los

valores que se obtienen de los parámetros desconocidos están sujetos a ambigüedades, por

lo que se hace necesaria la utilización de técnicas adicionales que las eliminen[11].

El dispositivo de cristal líquido nemático de giro helicoidal empleado es una

pantalla HOLOEYE, modelo LC 2002. El tamaño del área activa es de 26.6mm×20.0mm y

está constituida por 832×624 píxeles, siendo la distancia de centro a centro de los píxeles

de 32µm tanto en la dirección horizontal como en la vertical. El LCD fue colocado entre

dos polarizadores. Éstos se montaron en soportes giratorios no comerciales que poseen una

precisión máxima de un grado. Para realizar el experimento se montó en el laboratorio el

sistema óptico que se muestra en la Figura 5.1. Como fuente de iluminación se usó un láser

diodo, que emite a 532nm y que genera un haz polarizado. Para medir la intensidad usamos

un fotómetro comercial. Los datos experimentales se tomaron variando el ángulo del

70

analizador ( 2θ ) entre 0º y 90º en intervalos de 5º. Para 2θ usamos el convenio de signos

habitual, según el cual un ángulo es positivo cuando, mirando a la fuente, gira en el sentido

contrario a las agujas del reloj.

Figura 5.1 Montaje experimental para la medida del ángulo de giro de la celda de cristal líquido. a) Láser. b) Filtro

espacial. c) Lente colimadora. d) Polarizador. e) LCD. f) Analizador. g) Fotodetector. θ1 ángulo del polarizador, θ2 ángulo

del analizador, ξ ángulo de giro (nemático).

El polarizador es colocado de tal manera que su eje coincida con el eje de

polarización de la luz que proviene del láser. En este caso º01 =θ . El eje de polarización del

analizador es colocado también a un ángulo de º02 =θ . Sin la presencia del LCD, la

intensidad medida por el fotodetector es la intensidad máxima transmitida a través de los dos

polarizadores, midiendo esta intensidad se obtuvo un valor de 0.287mW. Al colocar ahora el

LCD apagado entre los polarizadores se detectó un valor de intensidad de 0.009mW lo cual

significa que el LCD ha cambiado la polarización de la luz de entrada. Para encontrar el

ángulo ξ que correspondería al ángulo de giro del LCD, se gira el analizador en el sentido de

las manecillas del reloj a diferentes valores de 2θ . Cuando el eje del analizador coincide con

el eje de polarización de la luz de salida, se obtiene una intensidad máxima, lo cual

correspondería al ángulo de giro ξ . La Figura 5.2 muestra que el ángulo de giro está entre 00

y 900. Para obtener una mayor resolución, se gira el analizador en el intervalo de 600 y 900

ahora cada 5º, (Figura 5.3).[12]

a) b)

c)

d)

e)

f) g)

θ1

θ2

X

X

Y

Y

ξ

71

Figura 5.2 Intensidad de luz trasmitida vs ángulo.

Figura 5.3 Intensidad vs ángulo en un rango de 60º a 90º.

Este ángulo máximo es aproximadamente 80º, que es interpretado como el ángulo de

giro de las moléculas del LCD.

Posteriormente se tomaron datos experimentales variando 2θ entre 00 y 3600 en

intervalos de 100, esto con la finalidad de apreciar que la variación de intensidad es cíclica al

cambiar el ángulo (Figura 5.4).

72

Figura 5.4 Intensidad vs ángulo (0º≤θ2≤360º).

Durante el análisis del LCD se observó la variación de la intensidad que se transmite

cuando se tiene el LCD activado y se envía, mediante la computadora, una imagen de escala

de nivel de grises fija en 0 (Figura 5.5), al cambiar el ángulo del analizador comenzando en

0° hasta llegar a 180°, se mide la variación de la intensidad (Figura 5.6)[11].

Figura 5.5 Visualización de una imagen puesta en el LCD. a) Imagen negra. b) Proyección de la imagen en un plano de observación.

a) b)

73

Figura 5.6 Intensidad con una imagen negra en el LCD vs ángulo θ2.

Cuando el LCD transmite una imagen de escala de nivel de grises fija en 255 (Figura

5.7) y se varió el ángulo del analizador comenzando en 0° hasta llegar a 180°, (Figura 5.8).

Figura 5.7 Visualización de una imagen puesta en el LCD. a) Imagen blanca. b) Proyección de la imagen en un plano de observación.

a) b)

74

Figura 5.8 Intensidad con una imagen blanca en el LCD vs ángulo θ2.

Se hace notar que al ángulo de 0° la imagen negra (0) permite la mayor transmisión

de intensidad de luz y la imagen blanca (255) deja pasar un mínimo de luz, al cambiar el

ángulo del analizador a 90° los contrastes proyectados son correspondientes a la señal

mandan al LCD, es decir, la imagen negra deja pasar el mínimo y la imagen blanca permite

pasar el máximo de luz.

Por lo que la polarización de la luz también se ve influenciada por la señal que puede

transmitir LCD proveniente de la computadora. Por lo que se hace un análisis del cambio de

intensidades transmitidas del láser con respecto a la señal que se le proyecta en el LCD.

Ahora se mantiene el analizador en un ángulo fijo y se varía la imagen del LCD de 0 a 255 en

escala de grises (Figura 5.9), a continuación se mide la intensidad del haz del láser.[13]

75

Figura 5.9 Variación de intensidad con respecto al cambio de nivel de gris.

La gráfica muestra que tienen puntos de inflexión para cada ángulo del analizador,

asimismo, se observa que de 0 a 100 de gris la intensidad de la luz no varía, también tiende a

mantenerse constante de 225 a 255, por lo que el rango en que la intensidad varia

significativamente es de 100 a 225, significando que para alguna imagen transmitida en el

LCD que abarque una gran cantidad de tonalidades no todas serán notables, por lo que es

recomendable (si no afecta alguna medición) que la imagen sea reescalada para estar en el

rango en que la variación es casi lineal. También se aprecia que no hay una transmisión de

luz completa debido a la absorción de los materiales y tampoco hay una atenuación total.

El ángulo del analizador ayuda a seleccionar el contraste deseado de la imagen

indicada por la computadora que se proyectará en la pantalla, por lo que en las siguientes

observaciones se usa un analizador puesto a 80º que es el ángulo que, en forma normal,

permite un mayor paso de luz y la variación entre 100 y 225 de gris es casi lineal.

5.1.1 OBSERVACIÓN DE PIXELES

Tanto el LCD como un CCD son aparatos que contiene un arreglo en forma matricial

donde se colocan segmentos o píxeles de materiales especializados para su aplicación

conectados por una red conductora que se conecta al circuito que controla la salida o entrada

de una señal dada. En el caso del LCD, los píxeles de cristal líquido están conectados a través

76

de transistores de película fina (Thin-Film Transistor TFT) a través de los cuales llega la

cantidad de voltaje que es controlado por un circuito de interfase entre la señal emitida por la

computadora y el cristal líquido, para formar una imagen requerida y vista en la pantalla de la

computadora.

El manual de operación del LCD muestra que la pantalla es de 832x624 píxeles de

64 mµ cada uno, pero no muestra a qué resolución debe estar la señal de la computadora que

le transfiere la información de la imagen que se muestra en el LCD en escala de grises; el

equipo que se usó muestra las opciones de 1024x768 y 800x600 píxeles, por lo que probando

con ambas resoluciones a simple vista, muestra imágenes que coinciden con lo visto en la

computadora, pero haciendo una observación a través de un objetivo de microscopio se

aprecia que hay una variación de la imagen.

Haciendo una imagen de líneas horizontales y verticales que forman patrones de

frecuencia conocida (Figura 5.10) se colocan en la pantalla de la computadora haciendo que a

la vez se aprecie en el LCD, junto a este se coloca un objetivo de microscopio DIN40 y se

hace incidir un haz colimado, por lo que se puede formar una imagen amplificada en una

pantalla blanca.

Figura 5.10 Imagen de prueba para ver píxeles.

77

Figura 5.11 Imagen inicial con resolución 1024x768 píxeles. Esquema del arreglo de observación de

imagen en píxeles. a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) LCD. f) Objetivo de

microscopio. g) Polarizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora.

Observando para una resolución de la computadora de 1024x768 píxeles la imagen es

borrosa (Figura 5.12); si hay desplazamiento de la posición de la imagen en la computadora,

la imagen en el LCD se hace aun más borrosa (Figura 5.13).

Figura 5.12 Imagen inicial con resolución 1024x768 píxeles.

Figura 5.13 Desplazamiento lateral de la imagen, se deja de ver la línea vertical del centro.

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

78

Cuando la resolución de la pantalla de la computadora es de 800x600 píxeles se puede

contar el mismo número de píxeles en la imagen del LCD (Figura 5.14); cuando hay un

desplazamiento en la pantalla de la computadora no hay pérdidas de píxeles en la imagen del

LCD (Figura 5.15 y Figura 5.16).

Figura 5.14 Imagen inicial con resolución 800x600 píxeles.

Por lo que la imagen a resolución de 800x600 píxeles, se aprecian los píxeles de las

líneas correctamente según la imagen de la computadora

Figura 5.15 Desplazamiento vertical de la imagen, se conserva la proporción de píxel a píxel.

79

Figura 5.16 Desplazamiento horizontal de la imagen, se conserva la proporción de la imagen.

De las pruebas anteriores, se tiene que la resolución de la imagen es óptima cuando la

relación entre los píxeles del LCD y la computadora es 1:1. Al igual se procura centrar la

imagen en el LCD (Figura 5.17).

Figura 5.17. Montaje del arreglo para observar la influencia de la relación del número de píxeles

entre la pantalla de la computadora y la pantalla de cristal líquido en la resolución de la imagen

observada en h). a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e) LCD. f) Objetivo de

microscopio. g) Polarizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora.

a)

b) c)

d) e) f)

g)

h)

i)

80

5.1.2 OBTENCIÓN DE IMÁGENES DE TALBOT DE UNA REJILLA GENERADA

MEDIANTE EL LCD

Se implementó un programa en LabVIEW (Figura 5.18) para el cálculo de las

distancias Talbot. El arreglo óptico (Figura 5.19) para la obtención de las imágenes de Talbot

consiste en un láser, cuyo haz es expandido mediante un objetivo de microscopio (60X) y a su

vez el haz es filtrado mediante un pequeño orificio (20µm) para evitar luz espuria; se coloca

luego una lente colimadora a su distancia focal (f=15cm) con respecto al objetivo; luego el

LCD posterior a la lente colimadora. Una vez generada la rejilla cosenoidal en el LCD se

procede a la localización de la imagen de Talbot de la rejilla, tomando en consideración el

cálculo mediante el programa implementado en LabVIEW. Para una mejor observación de la

imagen de Talbot se trabaja en condiciones de oscuridad en el laboratorio. Las imágenes de

Talbot son captadas mediante una cámara CCD (sin lente) colocada en las distancias de

Talbot. La Figura 5.20 muestra la imagen de Talbot que corresponde a una rejilla binaria de

líneas verticales, de un periodo de 8 píxeles, es decir, 256µm. La distancia Talbot corresponde

aproximadamente a 24.6cm. La Figura 5.20 corresponde a imágenes captadas por una CCD

para el caso de rejillas binarias de líneas horizontales y verticales de un mismo periodo. Se

observa que la distancia de Talbot en este caso es de aproximadamente 25.3cm por lo que su

periodo calculado es de 259µm, debido posiblemente a las microconexiones de los píxeles del

LCD.

Figura 5.18 Programa para calcular las distancias Talbot.

81

a) b) c) d) e) f) g) h) i )

Figura 5.19 Esquema del arreglo de observación de la imagen Talbot. a) Láser. b) Objetivo. c) Pinhole. d) Diafragma. e)

Polarizador. f) LCD. g) Analizador. h) Pantalla blanca. i) Computadora.

a) b)

Figura 5.20 Autoimágenes Talbot captadas por una CCD generadas en una LCD correspondiente a:

a) franjas verticales, b) franjas horizontales.

5.1.3 VISIBILIDAD DE LAS FRANJAS

El patrón de franjas es generado a través de una función cosenoidal (Ecuación 4.1),

donde se tendrá un valor máximo y uno mínimo en intensidad. La calidad de las franjas es

evaluada a través de la ecuación de la visibilidad (V )[8]:

(5.1)

La Figura 5.21 muestra un patrón de franjas cuya visibilidad corresponde a uno.

max min

max min

I IV

I I

−=

+

82

Figura 5.21 Patrón de franjas de visibilidad 1.

Mediante un programa estructurado en el software LabVIEW 8.6 Professional

Development System (Figura 5.22) se generan franjas senoidales, con periodos cuantificados

en píxeles, en escala de grises, con contraste variable controlado mediante los valores

asociados al fondo y amplitud. Haciendo uso del algoritmo de corrimiento de fase de las

franjas (ecuación 4.3) se obtiene la fase del patrón de franjas corrimiento de las franjas.

Figura 5.22 Estructura de programa generador de franjas cosenoidales.

Al hacer la ejecución, el programa muestra una ventana de 800 x 600 píxeles con las

franjas correspondientes a los datos que se le indiquen, como se observa en la Figura 5.23.

83

Figura 5.23 Pantalla en ejecución de programa generador de franjas.

Haciendo esto, se cargan las franjas en la pantalla LCD comenzando con 10 píxeles de

periodo realizando un barrido en toda la escala de contrastes de grises para evaluar las franjas

proyectadas sobre una pantalla de superficie plana, capturando las imágenes con una cámara

CCD puesta en ángulo con respecto al plano de referencia.

En total se tomaron 36 imágenes de combinaciones de fondo con amplitud. La Tabla

5.2 muestra la visibilidad del patrón de franjas cuando se tienen variaciones en los valores de

la amplitud y el fondo de las franjas.

Tabla 5.1. Visibilidad de las franjas.

Fondo

Amplitud 0 51 102 153 204 255

0 0.272 0.275 0.382 0.570 0.568 0.559

51 0.280 0.348 0.554 0.573 0.573 0.561

102 0.338 0.497 0.570 0.566 0.559 0.573

153 0.480 0.571 0.571 0.566 0.559 0.566

204 0.566 0.566 0.558 0.566 0.559 0.566

255 0.564 0.533 0.558 0.566 0.559 0.573

84

La visibilidad depende del contraste, pero el LCD tiene contrastes similares en los

rangos extremos, por esa razón hay valores de visibilidad que se repiten en la tabla.

La Tabla 5.2 muestra algunas imágenes de rejilla con el valor de fondo y amplitud

asociados.

Tabla 5.2 Algunas imágenes con variación de fondo y amplitud.

(255,0)

(255,153)

(255,255)

(153,0)

(153,153)

(153,255)

(0,0)

(0,153)

(0,255)

5.2 OBTENCIÓN DE TOPOGRAFÍA DE UN OBJETO

Los valores seleccionados para la generación de la rejilla corresponden a los valores

de fondo 255 y amplitud 255, correspondientes a una visibilidad máxima del patrón de

franjas de 0.573. Para la obtención de la fase de las franjas se utiliza la técnica de corrimiento

de fase de cuatro pasos ya explicada en el capítulo 4. En esta sección se reporta una posible

aplicación del uso del LCD en la obtención de la topografía de un objeto de prueba,

utilizando el efecto de Talbot. La técnica consiste en la proyección de franjas[14] sobre el

85

objeto de prueba el cual es colocado en la distancia Talbot. Inicialmente las franjas son

proyectadas en un plano de referencia, obteniendo la fase de éstas. Posteriormente es

colocado el objeto de prueba fijándolo en el plano de referencia. Se toma una segunda imagen

que corresponde a las franjas proyectadas sobre el objeto. Se obtiene la fase de las franjas que

corresponde a éstas. El objeto bajo estudio corresponde a una navaja textil tipo 1020[15][16]

(Figura 5.24a) colocada en la primera imagen de Talbot, la cual es de 77cm. La fuente de

iluminación corresponde a láser que emite en el verde y que corresponde a una longitud de

onda de 532nm. Las franjas corresponden uno a uno con las franjas de la pantalla LCD pero

con un corrimiento de π .

Figura 5.24 Objeto para obtención de forma. a) Navaja 1020, b) parte superior de navaja

La topografía obtenida corresponde a una de las secciones de la muesca de la navaja

(Figura 5.24b). La Figura 5.25 muestra las franjas proyectadas con un corrimiento de 2π .

Figura 5.25 Proyección de franjas sobre el objeto desfasadas a) 0 π, b) π/2, c) π, d) 3π/2.

Posteriormente se aplicó el algoritmo de obtención de fase, donde primero se obtiene

la fase envuelta y después se hace el desenvolvimiento de fase[8].

a) b) c) d)

a) b)

86

Figura 5.26 a) Fase envuelta, b) fase desenvuelta.

A continuación, se calcula la topografía del objeto (Figura 5.27) mediante el uso de la siguiente ecuación[14]

(5.2)

donde φ corresponde a la diferencia de fase asociada al plano de referencia y la asociada al

objeto, θ es el ángulo de observación y p es el periodo de la rejilla proyectada.

El periodo de la franjas fue de 20 píxeles, es decir, 0.64mm, y el ángulo de

observación θ es de 5º. Se realizaron ajustes de promedio para reducir los relieves no

deseados.

Figura 5.27 Obtención de la topografía del objeto. a) vista en ángulo. b) vista superior. c) vista frontal. d) vista lateral.

a) b)

( )2 sin

pz

φπ θ

=

z [µm] y [pixeles]

x [p

íxel

es]

x

[píx

eles

]

y [pixeles]

z

[µm

]

y [pixeles] x [píxeles]

z

[µm

]

a) b)

c) d)

87

El grosor del objeto de prueba de acuerdo a la gráfica mostrada en la Figura 5.27, es

aproximadamente de 72µm. El grosor reportado por el fabricante de las cuchillas es de

65µm[16], esto indica que el error es de 7µm, lo cual corresponde al 10.7% de error en la

medición calculado mediante la ecuación:

(6.3)

donde 0M es la medida obtenida mediante la técnica óptica, refM es la medida dada por el

fabricante y considerada como la medida de referencia.

Algunos factores que contribuyen al error en la medición de la topografía del objeto

son: la visibilidad de las franjas proyectadas no corresponden a uno, se está incluyendo el

espesor de la cinta doble cara usada para pegar la navaja a la pantalla, posición aproximada

del objeto de prueba en la distancia Talbot, el perfil de las franjas capturadas ya no

corresponde a un perfil exactamente cosenoidal, entre otros.

ref

ref

Error 100oM M

M

−= ×

89

CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES

En este trabajo se hizo la implementación de herramientas computacionales, teóricas

y experimentales enfocadas hacia la caracterización de una pantalla LCD. Se presentan

resultados preliminares de una aplicación del LCD para la obtención de la topografía de un

objeto, para ello se generó una rejilla cosenoidal y se aplicó en el efecto de Talbot.

Mediante el uso del LCD es posible aplicar la técnica de desplazamiento de fase, pues

los patrones de franjas son generados desde la computadora hacia el LCD con el corrimiento

en fase deseado sin la necesidad de utilizar métodos mecánicos para hacer cambios de fase de

las franjas.

El tamaño del objeto bajo estudio queda restringido al tamaño del LCD, es decir, el

tamaño máximo del objeto que se puede estudiar es de 21x26mm.

Con respecto a la caracterización del LCD, se encuentra que el ángulo de giro, ξ , es

de 80º. La imagen generada en el LCD debe estar reescalada entre 100 a 225 en escala de

grises. La resolución en píxeles entre la señal enviada de la computadora hacia el LCD debe

ser aproximadamente la misma para no perder resolución en la imagen proyectada del LCD

en una pantalla de observación.

Una pantalla de cristal líquido de transmisión es un instrumento capaz de manejar no

solo franjas, sino también otras figuras como patrones para evaluar elementos ópticos,

hologramas generados por computadora, patrones de difracción, entre otros.

Por lo tanto, la pantalla de cristal líquido LC 2002 de la marca Holoeye ha servido

como una herramienta en la obtención de forma de un objeto, aunque no se pueden formar

franjas de una visibilidad más aceptable, su versatilidad de uso y manejo es mayor que usar

otros dispositivos que requieren procesos mecánicos para realizar el desfase de franjas. El uso

de polarizadores en posición adecuada es esencial para ésta y otras aplicaciones.

90

APÉNDICE A

En las señales cosenoidales puras el valor medio es cero, pero en señales complejas, el

valor medio siempre representa el valor de componente continua asociada a la señal. Sea

0

1( ) ( )

T

mV v T v t dtT

= = ∫

Donde ( )2( ) cosv t α= y k r tα ω= ⋅ −� �

Y su expansión ( ) ( )2 1 1cos cos 2

2 2α α= +

Entonces a través de sustituciones

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0

0 0 0

1 1 1cos 2

2 2

1 1 1 1cos 2 cos 2 sin 2 sin 2

2 2 2

1 1 1 1 1 1cos 2 cos 2 sin 2 sin 2

2 2 2

sin 21 1 1 1 1cos 2

2 2 2

T

m

T

m

T T T

m

m

V k r t dtT

V k r t k r t dtT

V dt k r t dt k r t dtT T T

TTV k r

T T T

ω

ω ω

ω ω

ωω

= + ⋅ −

= + ⋅ − ⋅

= + ⋅ − ⋅

= + ⋅ +

∫

∫

∫ ∫ ∫

� �

� ��

� ��

� � ( ) ( )cos 2sin 2

2 2

1

2

T

m

Tk r

V

ωω

→∞

⋅

=

� �

Se demuestra que

( )2 1cos

2k r tω⋅ − =� �

El valor medio de las funciones 2cos ( )x calculado en un intervalo de tiempo largo

comparado con el periodo de las ondas es ½

De manera similar para ( )2( ) sinv t α=

91

( )

( )

2

0

2

1 1sin cos 2

2 2

1 1 1cos 2

2 2

1

21

sin2

T

m

T

m

V dtT

V

k r t

α α

α

ω

→∞

= −

⇒ = −

=

⋅ − =

∫

� �

Para ( ) ( )2 2( ) sin cosv t α α=

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

2 2

2 2 2

1 1sin cos 2

2 21 1

cos cos 22 2

1 1 1 1sin cos cos 2 cos 2

2 2 2 2

1 1 1 1sin cos cos 2 cos 2 cos 2

4 4 4 4

α α

α α

α α α α

α α α α α

= −

= +

= − +

= − + −

( ) ( )( )

( )

( ) ( )

2 2

0

2

01

4

2 2

1sin cos

1 1 1cos 2

4 4

0

sin cos 0

T

m

T

T

m

T

m

V dtT

V dtT

V

k r t k r t

α α

α

ω ω

→∞

→∞

=

= −

=

⋅ − ⋅ − =

∫

∫��

� ��

92

APÉNDICE B

La ecuación de interferencia dada por

( )2 cos 1 1,2,3...2n A B A BI I I I I n nπ

φ = + + + − =

Es aplicada para cuatro pasos, teniendo

( )1 2 cosA B A BI I I I I φ= + +

2 2 cos2A B A BI I I I Iπ

φ = + + +

( )4 2 cosA B A BI I I I I φ π= + + +

4

32 cos

2A B A BI I I I Iπ

φ = + + +

Aplicando la identidad trigonométrica de

( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sin sinA B A B A B± = ∓

Se hace la sustitución de los cosenos

( ) ( ) ( )cos cos cos sin sin sin2 2 2

π π πφ φ φ φ + = − = −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cos cos cos sin sin cosφ π φ π φ π φ+ = − = −

( ) ( ) ( )3 3 3cos cos cos sin sin sin

2 2 2

π π πφ φ φ φ + = − =

Teniendo ahora para los cuatro pasos lo siguiente

( )1 2 cosA B A BI I I I I φ= + +

( )2 2 sinA B A BI I I I I φ= + −

( )3 2 cosA B A BI I I I I φ= + −

93

( )4 2 sinA B A BI I I I I φ= + +

Restando 2 4I I− y 1 3I I−

( ) ( )( )

2 4 1 3

2 4

4 sin 4 cos

( ) 4 sin

A B A B

A B

I I I I I I I I

I I I I

φ φ

φ

− = − − = −

− − =

Dividiéndolas se obtiene la tangente

( ) ( )( )

2 4

1 3

tanI I

I Iφ

− −=

−

Donde la fase es

( ) ( )( )

2 41

1 3

, tanI I

m nI I

φ − − −

= −

Que está relacionada con la diferencia de camino óptico de acuerdo a la superficie

donde se observen esas franjas.[8]

95

BIBLIOGRAFÍA

[1] GOLDSTEIN D. “Polarized Light”, 2nd ed., rev and expanded Editorial Marcel Dekker, (2003).

[2] HECHT E. “OPTICS”, 3ª ed. Editorial Adison-Wesley, (1998).

[3] MORA M. “Aplicaciones de cristales líquidos a pruebas ópticas no destructivas”, Tesis doctorado, Centro de Investigaciones en Óptica, Guanajuato, México, (2002).

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