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División de Ciencias Básicas e Ingeniería Licenciatura en Ingeniería en Energía

Proyecto Terminal II Energía Nuclear

Análisis dimensional y coeficientes de las ecuaciones de transporte de fusión

Alumno:

Mario Chepe Pérez

Asesor:

Dr. Rodolfo Vázquez Rodríguez

México D.F. 28 de abril de 2016.

PC.12

Sello

PC.12

Sello

Ingeniería en Energía Proyecto T. 2: Análisis dimensional y …

1

Nomenclatura: -------------------------------

2 1

1 Fuerza del ión ,iA m s

3 Potencia de disipación por la raciación del plasma ,rad

WP

m

Campo magnético poloidal ,PB T

0 Campo magnético poloidal efectivo ,PB T

Campo eléctrico paralelo ,V

Em

Componente axial del campo eléctrico ,o

VE

m

2 Densidad de corriente paralela promedio ,J

A

m

3Potencia de radiación ,brem BremsstrahP ng

W

mlu

3Potencia de radiación Ciclotrónica ,cyc

WP

m

3Potencia generada en el plasma ,R

WP

m

3Presión de electrón promedio en las ecuaciones de transporte ,e

JP

m

3Presión de ión promedio en las ecuaciones de transporte ,i

JP

m

2Flux de calor radial promedio de los electrones ,e

Wq

m

2Flux de calor radial promedio de los iones ,i

Wq

m


2

3Densidad del especie i ,i

átomosn

m

Energía de reacción en [eV],E

Masa del electron [ ],em kg

Masa del ión [ ],im kg

3

La tasa de Energía Producida por Energía Suministrada ,.seg

Rm

Radio menor en Ecuación de Transporte ,r m

3 1Término fuente de partículas ,n mS s

3Término fuente de la energía de los iones por unidad de volumen / ,i W mS

3Término fuente de la energía de los electrones por unidad de volumen / ,e W mS

Temperatura en grados Kelvin,T

Temperatura de los electrones expresado en unidad de energía para las ecuaciones de transporte [ ],eT J

Temperatura de los iones expresado en unidad de energía para las ecuaciones de transporte [ ],iT J

Velocidad m/ s ,v

Carga de la partícula, en unidades de la carga del protón,Z

Eje perpendicular mayor al plano de un torus en las ecuaciones de transporte,Z

Reacción Deuterio-Deuterio,D D

Reacción Deuterio-Tritio,D T

1/2 1/2e.s.u statcoulomb 1 ,erg cm

-----------------------

lasEn rergí eacca suminis iones tetrada en elplasma m rmonuclearesas Energía producida por las ,

Energía suministrada en elplasma

segundos Tiempo de confinamiento [ ],

2 1FluxdePartícula [ ],i i m s


3

Conductividad paralela ,*

A

V m

Tiempo de colisión de los electrones [ ],e s

Radio de giro poloidal [ ],m

Frecuencia de transferencia de momentum electron-ion por colisión ,ei Hz

1Momento magnético ,i

m

0

Aspecto de radio inverso adimensional ,r

R

Constantes de expansión adimensional,h

Subíndices:

brem Bremsstrahlung,

Radiation (radiación),rad

Cyclotronic (Ciclotrónica),cyc

(Inside dentro),in

(Produce Producidd ),oprod

Electrón,e

Ión, especie ,i i

Constantes:

10velocidad de la luz 2.9970 10 / ,c X cm seg

16 1Constante de Boltzmann 1.380 10 ,X erg Kk

19 carga del electró .6021n 1 9 10 ,Xe C

27 2 Constante de Planck 6.625 10 / ,X g cmk m seg

28Masa delelectrón 9.10938 10 ,e Xm gm

7

0

24 10 / ,Permeabilidad del va X Nc Aío


4

Índice

Página

1. Introducción 5

2. Análisis de Ecuaciones de Transporte para Confinamiento Magnético

7

3. Constantes para los Cálculos de las Ecuaciones de Transporte de Fusión

11

4. Modelo de Aproximación de Partícula

y Ecuaciones de Balance de Energía 13

4.1. Análisis de parámetros y

constantes del modelo 14

5. Conclusiones y Observaciones 16 Bibliografía 17


5

1. Introducción

Para producir grandes cantidades de energía en un reactor de fusión, que se pueda aprovechar para

generar potencia, se espera que la energía de salida exceda sustancialmente a la energía de entrada;

pero las condiciones mínimas de operación se obtienen cuando estas energías se igualan. La energía

de ignición debe ser más que suficiente para calentar el plasma y compensar las pérdidas por

radiación.1

En los últimos años la comunidad científica avanza con más ideas sobre fusión nuclear, a través del

confinamiento magnético, lo cual se ha demostrado, y se espera que la factibilidad se de en breve.

Para lograr confinar el plasma, se han estado desarrollando y perfeccionando dispositivos para

mantenerlo y estabilizarlo, uno de ellos es el llamado tokamak, que confina el plasma entre líneas

de campos magnéticos producidos a través de un gran embobinado diseñado cuidadosamente en

la forma de un toroide.

Tras varios experimentos realizados en los años 30’s, acercándose cada vez más a estabilizar el

plasma. En los 50’s las máquinas de fusión comienzan a ser construidos por laboratorios y centros

de investigaciones de países como la Unión Soviética, el Reino Unido, los Estados Unidos de

Norteamérica, Francia, Alemania y Japón.

Uno de los principales descubrimientos, ocurrieron en 1968 en la Unión Soviética, donde se

alcanzaron los primeros tiempos prolongados de confinamiento en un diseño que ellos mismos

llamaron tokamak.

En 1983 entró en operación JET (Joint European Torus) en el Reino Unido, fue el primer paso hacia

el desarrollo de éste tipo de reactores. Y en 1991, JET junto con más de 40 laboratorios Europeos se

logró controlar la energía por fusión nuclear.

1 El criterio de J. D. Lawson, analiza la capacidad de producir grandes cantidades de potencia en reactores termonucleares. Considerando un balance en cada reactor, y algunos criterios con el cual ha de satisfacer en sistemas de producción de potencia.


6

Japón lanza el tokamak JT-60 en operación en 1985, 2 un diseño similar al JET, pero los resultados

experimentales obtenidos por el reactor, llamó la atención del ITER (International Thermonuclear

Experimental Reactor) para considerarlo en los futuros tokamaks del mundo.

En 1988 Tore Supra, 3 entró en operación en el centro de investigaciones Cadarache, Bouches-du-

Rhône in Provence, Francia, en la actualidad siguen investigando los fenómenos físicos y nuevas

tecnologías para producir el plasma en niveles más estables y periodos prolongados para su

confinamiento.

Éstos y otros países más, comenzaron a desarrollar su propio reactor de fusión. Incluso proyectos y

asociaciones como:

Proyecto internacional ITER,4 en Cadarache, France, de una potencia de 500 MW; el cual

comenzó su construcción en el 2010, el cual se espera terminar en el 2020.

La construcción del DEMO (DEMOnstration Power Plant); una planta de energía de fusión

nuclear propuesto, que se pretende construir sobre el reactor de fusión nuclear

experimental ITER, con una capacidad de 2000 MW.

CFETR (China Fusion Engineering Test Reactor), pretende ser la siguiente generación de

reactores tokamak y complementando con el proyecto ITER, la primera fase de

operación se estima entre los años 2030 2038, y la segunda fase entre 2038 2045.5

2 "JT-60 página oficial", [base de datos en línea], consultado en mayo 2015, http://www-jt60.naka.jaea.go.jp/english/index-e.html 3 “Sitio oficial del centro de investigaciones Cadarache”, [base de datos en línea], consultado en mayo 2015, http://www-fusion-magnetique.cea.fr/cea/ts/ts.htm. 4 “Sitio oficial ITER”, [base de datos en línea], consultado en junio del 2015, https://www.iter.org/. 5 Jinxing Zhenga, Xufeng Liua, Yuntao Songa, Yuanxi Wana, Jiangang Lia, Sontao Wua, Baonian Wana, Minyou Yeb, Jianghua Weia, Weiwei Xua, Sumei Liua, Peide Wenga, Kun Lua, Zhengping Luoa, “Concept design of CFETR superconducting magnet system based on different maintenance ports”, Elsevier, Vol. 88, 2013.


7

2. Análisis de Ecuaciones de Transporte para Confinamiento

Magnético

De la ley de la conservación de la partícula, para un radio circular considerado largo en la sección

transversal de la banana. Despreciando los cambios de la superficie magnético, con r independiente

del tiempo, se obtiene la ecuación:

3 1

Γ10,

eern

m st r r

(1.1)

-2 -13-3 -1

[m][m s ][m ] 1[ ]0, m s

[s] [m][m]

La ecuación de conservación de energía para los electrones:

0 30

1

5Γ

32 Γ3 1, /

2 4

e e e

e e e i Pe e ii i i

i e e

r q Tm n T T rBP cE P

T A W mt r r m r r n r

(1.2)

Donde las constantes son:

4

2 1

1

19

1

2

1/ ( , ) /

1.602176565 10

,

( )[ ] ,

1

i i i ne ne e i

n

A Z g A Z m s

kgTesla T

s

e X

A

JV

Analizando sus unidades:

2 2 1

32 11 2 1

3 3 1 1 1

3

5[ ] [ ] [ ][ ]

2 [ ][ ][ ][ ][ ]

[ ] [ ][ ]

3 [ ] 1 3[ ][ ][ ] [ ][ ] [ ]

2 [ ] [ ] [ ][ ]

iJm kg m J mAV s Vm mT

s m k

m Wm J m sJmm s

m J m sm mmg s m m

La ecuación de conservación de energía para los iones

1

3Γ Γ3 1 5

2 2

e e e ii e e i

i i i i i

i i e e

m n T TP Pr q T T A

t r r Z m n r

(1.3)

Donde la presión promedio del ion se define como:


8

𝑃𝑖 = 𝑛𝑇𝑖 (𝐽𝑚−3)

Sus unidades correspondientes:

2 2 1

32 11 2 1

3

3 3

5[ ] [ ] [ ][ ]

2 [ ][ ][ ][

3 [ ] 1 3[ ][ ][ ]

2 [ ] [ ] [][ ]

[ ] [ ][ ]][ ]

iJm kg m J

s m

m Wm J m sJmm s

m Jk

m smsm mg

Ecuaciones de Maxwell de forma unidimensional

0 0 , PB E Tct sr

(1.4)

2 1

3

[ ] [ ] ,

[ ] [ ]

T m kg Vm

s mVAs

Siguiendo este orden para englobar la serie de ecuaciones antes descritas, se tienen que expresar

0 1Γ , , , , , e e i iiq q AE , en términos de 0, T , T , Be e i Pn y sus derivativos. Acompañados de las

siguientes ecuaciones:

1

21 2

' 2 1211 1 12 13

||Γ

ln

/,

e ee

e e e

e po

nn K A K K m s

B

c E hT

r

(1.5)

analizando las unidades para el giro-radio poloidal de los electrones e , revisado de: Tabla 8F1

Fusion Research [1] y de F.L. Hilton et. al. [2]:

1/22

,e e

p

e

m T

eB (1.6)

2

[ ][ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ]e e

kg J kg J kg JJ s

kgCT kg CCC sAs

Se comienza analizar las unidades para (1.5):

2 3 2 2 3 1

2 1 2 1

3 2 3 2

1 [ ] [ ] [ ][ ][ ]

[ ] [ ] [ ]

J s m m J T m m Vmm s m s

s m V s Tm J s J s

.

Siguiendo con la ecuación:


9

1

2 2123

212 1 2

||

2 2

5Γ ´ ,

2

/ln e e ee

e e e e e e

e po

c E hT K n T Wq T n T K A K

B mr

(1.7)

Al analizar la fuerza simple 1́eA ,ecuación (6.123) de F.L. Hilton et. al. [2], se llega que sus

unidades son J

m

, por lo tanto:

3 12 2 2 2

-2 -1

2 3 3 2 3 2

[ ][ ]5 1 [ ] [ ] [ ][ ][ ] ,

2 [ ] [ ][ ]

[ [ ]] ][

m J V mW J s m J m J T mJ m s

m m V smJ

sm J s J s T

1

12

213 1 23 33 2

ln' ,/

/

s e e e

e

p

J J n T T AK A K K E

c B rh mh

(1.8)

con la conductividad paralela, de la Tabla 8F1 Fusion Research [1]:

12

||

0.460.29 ,

1.08

e e

e i

n e

m Z

(1.9)

en función de las constantes de la [Tabla 1]. Sus unidades son:

3

|| 3

[ ][ ][ ]

[ ]

m C s A

kg m kg

Por lo tanto las unidades de (1.8), son:

2 4 2 4 2

2 3 32 2 3 3

1,

A A J A m J A m J kg m VJ

m m V mm m Am m J

A

m kgJ

La fuerza simple:

1 2

1 2 2

*

,ln ln ln ln5'

2 1

ie e i ie

i e

i

e

gp T T p TA

r r Z T r r

(1.10)

[ ] [ ] [ ]

[

5 [

] [ ] [ ]

]

2 [ ]

J J J

m m m m

J J

m

21 2

2 2

2

3 2

*

1/, /

, 1

i i e ii iii

i e

g T ZT Wq K

mn

r

(1.11)


10

22 1

2 2 2 3

2

2

1 ,

[

]

W m J WJ m s

m J s m s m

J s

m

2 1

1 2 3

*

/,

1

e i

i

e

ZA m s

(1.12)

1 2, ,ii i i

T JT g Unidades

r m

(1.13)

Las ecuaciones anteriores engloban una aproximación de acoplamiento débil.

Sin embargo en la solución de la ecuación (1.8), para 0E , es usando las consideraciones que

|| 0/E h E , || || 0/sJ h E [con

|| , dado en (1.9)], con:

|| 2/ .

4

porBc AJ h

r r m

(1.14)


11

3. Constantes para los Cálculos de las Ecuaciones de Transporte de

Fusión

Los coeficientes de los cuales aparecen en las ecuaciones de transporte de fusión, 2' ,mnk s k y

1 2, ig , han sido resueltas por las siguientes ecuaciones.

Para encontrar los coeficientes de transporte de electrón, en las ecuaciones analíticas anteriores,

se han desarrollado:

3/2 2 3/2

*(0)

1/2 3/2

* * *

/1

1 1

para 1, 1

o

2, 2.

mn mn e

mn mn

mn e mn e mn e

c b vK K

a v b v c v

m n

m n

(2.1)

Y para los coeficientes de transporte de electrón. Para una sección de la banana, en un régimen

3/2

*iv y * 1iv , se calculan mediante:

3/2 2 3/2

2 2 *(0)

2 2 1/2 3/2

2 * 2 * 2 *

/1.

1 1

i

i i i

c b vK K

a v b v c v

(2.2)

Donde

(0)

2 2 2 20.66, 1.03, 0.31, 0.74.K a b c

La frecuencia de rebote en la colisión del ion *iv dependiente de la región de la banana

3/2

*iv , los coeficientes adimensionales de conductividad térmica 1 2, ig , se han

aproximado mediante:

1/2

*1 2 1/2

*

1.17 0.35, 5 / 2 .

1 0.7

ii

i

vg y

v

(2.3)


12

Mientras que si en esa sección de la banana, *iv es desconocida, se usa:

2 3

*1 2 2 3

*

5 / 2 2.1, .

1

ii

i

y vg

v

(2.4)

Tabla 1. Coeficientes de transporte Spitzer-Härm (kmn), para varios valores de carga iónica efectiva (Zeff.)

Zeff =1 Zeff =2 Zeff =4 Zeff =∞

K11 1.98 2.32 2.67 3.39 K12 1.38 2.05 2.91 2.16 K22 4.17 6.75 10.01 20.32

Tabla 2. Coeficientes numéricos para las ecuaciones de transporte.

A Zi = 1

mn K m n( 0 ) amn bmn cmn

1 1 1.04 2.01 1.53 0.89

12 1.20 0.76 0.67 0.56 22 2.55 0.45 0.43 0.43

13 2.30 1.02 1.07 1.07

23 4.19 0.57 0.61 0.61

33 1.83 0.68 0.32 0.66 B.

Zi = 2


11 0.86 2.18 1.17 0.79

12 0.95 0.78 0.50 0.51

22 1.99 0.46 0.26 0.34

13 1.87 0.89 0.62 0.69

23 3.72 0.52 0.34 0.38 33 1.56 0.56 0.25 0.58 C Zi = 3


11 0.76 2.30 0.98 0.74

12 0.83 0.80 0.42 0.48 22 1.71 0.46 0.22 0.30

13 1.65 0.79 0.56 0.51 23 3.54 0.48 0.33 0.28 33 1.42 0.47 0.20 0.51


13

4. Modelo de Aproximación de Partícula y Ecuaciones de Balance

de Energía

En ésta sección se analizan las ecuaciones y constantes, que modelan el comportamiento de las

partículas impuras, presentes dentro del reactor. El balance de partículas alfa, está dada por:

2

,2

DTdn n n

vdt

(3.1)

Con sus unidades:

2 3

3 3 3

1 1 1,

m

m s m s m s

Con n y DTn las densidades de partículas alfa y DT, respectivamente.

Ahora con una fuente S de retroalimentación y un tiempo de confinamiento DT de las

partículas DTn :

2

2 .2

DT DT DT

DT

dn n nv S

dt

(3.2)

Con sus unidades:

2 3

3 3 3 3

1 1 1 12 ,

m

m s m s m s m s

y la presencia de partículas impuras:

.I II

I

dn nS

dt (3.3)

De unidades:

3 3 3

1 1 1,

m s m s m s


14

El balance de energía:

2

,2

DTrad aux

E

ndE Ev Q P P

dt

(3.4)

unidades:

2 3

3 3 3 3 3

1.

J J m W WJ

m s m s m s m m

4.1. Análisis de parámetros y constantes del modelo

Donde E , es la energía del plasma, auxP es la potencia auxiliar de entrada. La cantidad de energía

radiada en una transición, definida en una distribución Maxweliana de velocidades y por la

aproximación de Born:

1/25 6

2

3

2 2

3 3rad e i

e e

kT eP Z n n

m hm c

Donde las constantes son:

k= como la constante de Boltzmann, 16 11.380 10X erg K

c= velocidad de la luz 102.9970 10 / .X cm seg

e = carga del protón, 104.803 10 . . .X e s u

T Temperatura en K.

h Constante de Planck, 27 26.625 10 / .X gmcm seg

n Densidad de la partícula, por 3.cm

1/2 1/2[e.s.u statcoulomb 1 ]erg cm

Z Carga de la partícula, en unidades de la carga del protón.

289.10938 10em Masadel electró X gn m


15

Sustituyendo las constantes y en por iZn se obtiene:

1/21/2

16 1 5 10 63 2

27 2 10

1

3

/2

28 28

2 (1.380 10 ) 2 (4.803 10 )

3( ) 3(6.625 10 / .)( )(2.9970 19.10938 10 9.10938 10 0 / .)rad i

erg cmx erg K T xP Z

x gmn

x gmcm seg Xx cm s ggm e

7 3 2 1/2

3

21.42641 10rad i

ergsP Z n T

cmx

seg

Convertido al S.I.

71 1 10erg

Watts xseg

3 2 1/2 72

3

71.42641 10 1 10rad i

ergs ergP Z n T x

cm seg segx

34 2 1/2 31.4 10radP x n T Wcm (3.5)

La reactividad DT v , altamente no lineal, positivo y establecido en función de la temperatura

del plasma:

2 3 412 3 4 5 6exp

r

av a a T a T a T a T

T

(3.6)

Con las constantes:

T(D,N)4HE

a1 -21.377692

a2 -25.204054

a3 -0.071013427

a4 0.000193755

a5 4.92466E-06

a6 -3.98366E-08

r 0.2935

En la evolución de la ecuación (3.6), se requiere la condición del número atómico efectivo effZ ,

en función de la densidad de los electrones, es decir:


16

2 24,

i ii DT i Ieff

e

n Z n n z nZ

n n

(3.7)

unidades:

3

3.eff

mZ

m

Con

2 3 1DT I e DT I In n n n n n n z n (3.8)

3;

2

2

3 2 3 1DT I I

E nT

ET

n n z n

(3.9)

3

JE

m .

5. Conclusiones y Observaciones

El estudio de las ecuaciones y coeficientes de transporte, está basada para casos particulares. En un

confinamiento con geometría toroide, con longitud de radio toroidal largo. Considerando solamente

las colisiones Coulomb. Éste tipo de teoría, es llamado Teoría de Coeficientes de Transporte

Neoclásica. El cual ha sido utilizado parar predecir las condiciones de energía (conducción de calor

en Tokamaks) y comportamiento de las partículas en difusión, en plasmas de corrientes no tan altas.

Debido a la gran cantidad de parámetros involucrados en las ecuaciones, es complicado identificar

qué unidades le corresponde a cada uno. Sin embargo, al realizar un análisis a fondo de todos los

coeficientes involucrados. Siguiendo las leyes de conservación de materia y energía, junto con los

métodos utilizados en su obtención. No hay mayor problema en identificar sus unidades.


17

Bibliografía

1. Dolan Tomas James, “Fusion Research: Principles, Experiments and Technology”,

Pergamon Press, ISBN O-08-025565-5, 1980.

2. F. L. Hinton and R.D. Hazeltine, “Theory of plasma transport in toroidal confinement

systems”, Universidad de Texas, Fusion Research Center, 1976.

3. E. Schuster M. Krstic, and G. Tynan, “Nonlinear Burn Control in Fusion Reactors”,

University of California San Diego, La Jolla, California, ISBN 92093-041.

4. Kammash Terry, "Fusion reactor physics: principles and technology", Michigan, Ann

Arbor Science, 1982.

5. Lawson J.D., "Some criteria for a power producing thermonuclear reactor", Proceedings

of the Physical Society, vol. 70, 1957.

6. Weston M. Stacey, "An Introduction to the physics and technology of magnetic

confinement fusion" Atlanta GA, Wiley-VCH, 2010.

división de ciencias básicas e ingeniería licenciatura en...

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