diversas rutas al caos en el circuito de chua · han modificado el voltaje de un capacitor del...

112

C i e n c i a y t e c n o l o g í a

InvEstIgaCIón UnIvErsItarIa MUltIDIsC Ipl InarIa - año 7, nº7, DICIEMBrE 2008

Diversas rutas al caos en el circuito de Chua

Andrés Zapata Vázquez1, Francisco Vidal Caballero Domínguez1, 2

1Universidad Simón Bolívar2Tecnológico de Estudios Superiores de Ecatepec

Resumen

El presente trabajo muestra las diversas rutas al caos que presenta el circuito de Chua. Mediante una adecuada selección de parámetros se realizaron los diversos planos de fase que permiten observar la formación de 1, 2 y 3 atractores extraños; posteriormente se mo-dificaron los parámetros para desaparecer dichos atractores. Finalmente se obtuvieron los exponentes de Lyapunov para la confirmación de este comportamiento.

Palabras clave: circuito de Chua, atractores extraños, circuitos no lineales, caos.

Abstract

This study shows the different routes to chaos existing in Chua’s circuit. By selecting the most adequate parameters, different phase charts were elaborated in order to observe the formation of 1, 2 and 3 strange attractors. After that, these parameters were modified to make such attractors disappear. Finally Lyapunov’s exponents were obtained to confirm such chaotic behavior.

Keywords: Chua’s circuit, strange attractors, non-linear circuits, chaos.

Introducción

A pesar de las ventajas que poseen los modelos determinísticos no lineales, la singularidad, mul-tiplicidad de soluciones, estabilidad y la aparición del comportamiento caótico (Drazin, 1992) son fenómenos que deben ser considerados cuando se realizan simulaciones. De este modo iniciamos nuestra descripción de un sistema no lineal, el cual se define como un conjunto de ecuaciones algebraicas o en ecuaciones diferenciales ordinarias, parciales o modos mixtos, donde las soluciones o salidas no son proporcionales al comportamiento en la entrada (como en los sistemas lineales). La expresión que representa lo anterior es la siguiente:

(1)

Donde es el vector de ecuaciones (sean diferen-ciales o parciales), es el vector de variables inde-pendientes y el vector de parámetros o valores

constantes durante la solución del sistema. Lo ante-rior puede ejemplificarse con valores de operación como flujos, volúmenes y propiedades tales como la función de la temperatura en un reactor de tanque agitado (Shacham et. al., 1994), las resistencias y los capacitores que forman parte de un circuito (Chua y Lin, 1990; Chua, 1993 y Chua et al., 1993a-b) o las direcciones y las propiedades dependientes de los materiales con los que se construye un brazo de robot (Tian y Collins, 2004).

Multiplicidad de soluciones

Sí = 0, entonces se tiene la solución a un sistema algebraico conocido como estado estacionario, punto fijo o de equilibrio. A partir de lo anterior podemos definir la multiplicidad como: “los diversos conjuntos de variables dependientes que resuelven el sistema”.

113



Pero en caso de existir más de una solución, la pre-gunta es: ¿cuál de todas las soluciones será la mejor? Esto es difícil de responder pues son función de los valores de . Imaginemos que para un conjunto de condiciones ( ) un proceso aumenta su producción, pero al presentar multiplicidad debe analizarse detenidamente, pues con pequeñas perturbaciones (que aparecen de modo natural) en el sistema, pue-den conducirlo a condiciones de baja producción, es decir, a una solución menos favorable. La dinámica no lineal -disciplina que se encarga del estudio de estos fenómenos-, recomendaría encontrar todas las soluciones. Hecho lo anterior deben clasificarse para obtener el estudio global de cualquier sistema con estas características.

El problema planteado por la expresión (1) es típico para la dinámica no lineal. Existe una herramienta gráfica que puede plasmar la multiplicidad de solu-ciones y se conoce como diagrama de bifurcación. La figura 1 muestra un ejemplo de estos diagramas: al aumentar el número de ecuaciones aumenta el número de parámetros y por ende el número de soluciones independientes. El análisis de cada parámetro que es modificado (generalmente uno a la vez) debe ser sistemático, de lo contrario la información carece de una estructura lógica y no podríamos relacionar los diversos comportamientos con los valores modificados de los parámetros.

Figura 1. Diagrama de bifurcación.

El esquema representa un cable a l < lo. El sistema es estable, a medida que se alarga, en el intervalo lo < l < lc se vuelve inestable, la línea punteada indica que el sistema puede evolucionar a la rama superior o inferior. Para mayores valores existe una defor-mación mayor si es que no se rompe, esto es indicado por la línea punteada en la abscisa.

Fuente: Drazin, 1992.

Los puntos de equilibrio (denotados como ) son importantes en cualquier análisis de dinámica no lineal, pues permiten una comparación de las di-versas soluciones. La solución de un problema de este tipo es por aproximaciones basadas en la serie de Taylor de forma vectorial, por estar involucradas varias variables de proceso:

(2)

significa que los parámetros se mantienen cons-tantes de modo que sólo aparecerá . Nótese que la serie no se ha cortado, esto es indicado por los puntos suspensivos; sin embargo, se elije truncar en el segundo término. La expresión (2) estrictamente representa una suma de vectores donde es una matriz denominada jacobiano de las funciones, evaluado en el estado estacionario; así los elemen-tos de la matriz representan las derivadas parciales evaluadas en :

(3)

Con los elementos anteriores y el procedimiento descrito por Burden y Faires (2003) se implementa una solución numérica conocida como Método de Newton Raphson multivariable:

(4)

Donde s+1 significa los valores actuales a partir de valores anteriores; s cuando los valores de la diferen-cia absoluta entre s+1 y s tienden a una tolerancia previamente establecida (por ejemplo 0.000001). Normalmente estos métodos convergen a la solución cuando .

114



Singularidad

A partir de la aplicación del método de Newton Raphson observamos que el jacobiano previamente establecido aparece como una matriz inversa. Algunos sistemas de estudio contienen en la solución una gran cantidad de ceros en esta entidad matricial, también llamada matriz dispersa. Este tipo de sistemas se conocen como singulares, por esta razón los cálculos deben realizarse con tamaños de paso muy pequeños o cambiar por procedimientos quasi Newton (Burden y Faires, 2003), los cuales resuelven este problema.

Estabilidad

El concepto de estabilidad es uno de los más im-portantes en dinámica no lineal y se relaciona con el comportamiento del sistema cuando se somete a pequeñas perturbaciones lejos del conjunto límite: si la perturbación es absorbida, el sistema retorna al mismo estado y se describe como localmente estable. Si las perturbaciones son grandes, el sistema de aleja del conjunto límite; estas ideas básicas de estabilidad provienen de A. M. Lyapunov, por esta razón se co-noce como estabilidad Lyapunov (Scott, 1991).

Sea Dx el vector de pequeñas perturbaciones de sistema de 2 ecuaciones, el cual se encuentra en estado estacionario x1

S y x2S:

(5)

Para obtener la tasa de cambio de las perturbaciones se sustituye (5) en (2):

(6)

Como =0, entonces se resuelve la aproximación del sistema por sumas de términos exponenciales:

(7)

l1 y l2 son las raíces de la ecuación característica o valores propios (eigen values) del sistema, los cuales son definidos de la siguiente manera:

(8)

Por medio de esta ecuación es posible determinar la estabilidad del sistema; sí l es positiva, la solución crecerá monótonamente y su estado será inestable, pero si ambas l tienen valor negativo, entonces el estado permanecerá estable.

Scott y Gray (1990) realizan un análisis basado en la naturaleza de la soluciones de (8): por la solución de la fórmula cuadrática, se consideran varias posibilidades para los signos de la traza (-Tr (J), multiplicación de los elementos de la diagonal de la matriz), el determi-nante (Det (J)) y el discriminante (Tr (J)2-4det (J)) del jacobiano. La figura 2 muestra el mapeo de todas las soluciones de segundo orden; si las raíces se localizan exactamente en la curva Tr (J)2-4Det (J)=0, el siste-ma posee sólo la parte compleja, las exponenciales complejas tienen una relación con senos y cosenos de acuerdo con la fórmula de Euler:

(9)

Por esta razón los sistemas se mantienen en oscilación.

Figura 2. Diagrama de estabilidad local y la naturaleza de los estados estacionarios, en función de los valores Tr(J) y Det(J).

Fuente: Drazin. 1992

115



Comportamiento caótico

Sea la siguiente expresión una solución de un sistema de tres ecuaciones diferenciales:

(10)

Ya establecimos que en un sistema de 2 ecuaciones los comportamientos de múltiple oscilación definen tra-yectorias; para estas trayectorias los valores de l representan sólo la parte compleja. No así en el caos, pues las órbitas pueden contraerse o expandirse, en cuyo caso los exponentes de Lyapunov dan un estimado de este comportamiento: son un exponente positivo pequeño, por esa razón permite que los exponentes complejos pue-dan atraer la solución en un estado quasi estable. Los exponentes de Lyapunov pueden determinarse por varios métodos; sin embargo, entre todos ellos el algoritmo de Wolf (Wolf et al., 1985) es utilizado ampliamente.

El circuito de Chua

El circuito de Chua se representa por un modelo no lineal, a ciertos valores de sus parámetros genera caos y produce un sinnúmero de comportamientos y toda una familia de atractores extraños. El circuito ha sido ampliamente estudiado (Zhong y Ayrom, 1985; Matsumoto et al., 1986a, 1988b), ya que su importancia radica en ser un sistema real físico (Yalcin et al., 2000), si bien recientes investigaciones han propuesto modificaciones de su configuración original (Barboza y Chua, 2008). Por otra parte, Cruz-Hernández y Romero-Haros (2008) han modificado el voltaje de un capacitor del modelo original por la introducción de un retraso para transmitir información encriptada confidencial. Otra innovación fue realizada por Fortuna et al. (2007) al construir un circuito orgánico basado en un transistor con una delgada capa de silicio (OTFT).

Como ya fue definido en Balbuena et. al. (2007), el circuito está compuesto por 5 elementos lineales: 2 capa-citores C1 y C2, un inductor L y 2 resistencias R y R0. Adicional a lo anterior, se añade un elemento no lineal llamado diodo de Chua, según se ilustra en la figura 3.

Figura 3. Diagrama para el circuito de Chua.

Fuente: Chua et. al. 1993a

116 InvEstIgaCIón UnIvErsItarIa MUltIDIsC Ipl InarIa - año 7, nº7, DICIEMBrE 2008

El circuito trabaja de la siguiente manera:

1. El inductor L y su resistencia R0 la resistencia R y los 2 capacitores C1 y C2 proporcionan oscilaciones amortiguadas.

2. El diodo ocasiona un efecto negativo Ri3, este elemento es lineal y no proporciona por sí solo un com-portamiento caótico, pero actúa como fuente de control.

3. El diodo proporciona la no linealidad al circuito, contiene dos resistencias internas R1 y R2. De este modo coloca en paralelo a R con R2 y si el voltaje aumenta el diodo se enciende.

El circuito puede describirse mediante el sistema de ecuaciones diferenciales presentado en la sección método.

Objetivo

El objetivo principal del presente trabajo es el estudio de los atractores extraños que se presentan en el cir-cuito de Chua al modificar sus diversos parámetros. La importancia de estos estudios radica en la aplicación en sincronización de medios de comunicación, encriptación de señales y transmisiones seguras.

Método

El sistema es estudiado con base en un conjunto de parámetros diferentes de cero (Balbuena et. al. 2007), las definiciones de los parámetros adimensionales pueden consultarse en el apéndice A.

(11)

Donde u1 es el voltaje adimensional en el capacitor 1; u2 es el voltaje adimensional en el capacitor 2 e i3 es la intensidad de corriente en la submalla izquierda (ver figura 3). Estos parámetros se tomaron del trabajo de Bilotta, Pantano y Stranges (2007). Por su parte, Balbuena et. al. (2007) utilizaron el método de Runge Kutta Fehlberg de orden 5 para integrar el sistema (11). En este trabajo se seleccionó el método de Euler implícito (backward) o método de Gear de primer orden (Gear, 1971) con un paso de integración de 0.00001 seg. Incluido en Visual Simulator (VisSim 3.0 (FAP) ®Visual Solution). La figura. 4 muestra la codificación en este software.


117InvEstIgaCIón UnIvErsItarIa MUltIDIsC Ipl InarIa - año 7, nº7, DICIEMBrE 2008

Figura 4. Codificación del sistema de Chua en VisSim 3.0 FAP.

Los integradores del sistema se representan como 1/s donde se alimenta la condición inicial, las gráficas funcionan en tiempo real además de permitir guardar los datos en un archivo, en este caso se llama origin 2. Los parámetros se modifican en la caja denominada con el mismo nombre.

Resultados

La tabla 1 muestra el espectro de parámetros que fueron estudiados en este trabajo. Comencemos por la pri-mera fila de la tabla 1, la cual representa el conjunto de condiciones utilizadas en la simulación. Los resultados se plasman en las figuras. 5.1 y 5.2, la columna izquierda contiene el comportamiento temporal del voltaje adimensional del capacitor 2 (u2); mientras que la columna derecha es la generación del plano de fase de la intensidad de corriente (i3) adimensional vs. el voltaje adimensional del capacitor 1 (u1). Todos los atractores poseen la misma escala para observar cómo las amplitudes aumentan o disminuyen según sea el caso.

Tabla 1. Valores de los parámetros en las diversas simulaciones

1

2

3

4

5

6

E1

E2

E3

-0.1333

-0.1333

-0.1333

-0.1333

-0.1333

-0.1333

-0.1333

-0.1333

-0.1333

1

1

1

1

1.271

1.271

1.271

1.271

1.271

8.2

10.0

10.0

12.7

10

10

10

10

10

0.31

0.326

0.315

0.315

0.31

0.31

0.326

0.326

0.326

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

-0.1

-0.98

-0.98

-0.98

-0.98

-0.98

-0.98

-0.98

-1.08

-1.18

-2.4

-2.4

-2.4

-2.4

-2.4

-2.4

-2.4

-2.4

-2.4

-1.1337901

0.57415754

0.57415754

0.57415754

0.57415754

-1.1337901

0.57415754

0.57415754

0.57415754

0.17026396

0.57415754

0.57415754

0.57415754

0.57415754

0.17026396

0.57415754

0.57415754

0.57415754

1.6076974

0.808478

0.808478

0.808478

0.808478

1.6076974

0.808478

0.808478

0.808478

# C1 C2 G L R0 Ga Gb V1(0) V2(0) i3(0)

Los valores en negritas fueron obtenidos a partir del análisis de los parámetros


118



Regresando al plano de fase 5.2, es importante observar cómo la amplia gama de órbitas giran en torno a un punto, el cual se conoce como atractor extraño con coordenadas (-1.11, 1.25). La diferencia entre los valores de la figura 5.2 con 5.4 es el aumento de la magnitud del capacitor 2 y las condiciones iniciales (fila 2 en la tabla 1); esta modificación no refleja un aumento de las frecuencias de u2, tampoco en i3; sin embargo, el aumento en u1 es evidente.

La figura 5.4 comparada con la 5.6 presenta una disminución en el valor del inductor (fila 3 en la tabla 1). La figura temporal (5.5) muestra una modulación de los quasi periodos y una ampliación en las frecuencias de u2; al observar el plano de fase, la aparición de 2 atractores es el cambio más importante. Ahora las órbitas giran en torno a ambos; en la parte media se muestra una torsión y representa el punto de inflexión de la figura 5.6 (i3 vs. U1).

La figura 5.8 comparada con 5.6 demandó un aumento en el capacitor C2 (fila 4 en la tabla 1). El resultado es un aumento en las órbitas que rodean a los atractores y se observa mejor la separación, pues en la parte media las órbitas se entrelazan, lo que puede sugerir un tercer atractor en juego.

La figura. 5.10 permite observar la aparición del tercer atractor en la parte media. Esto ocurre por una disminu-ción simultánea del capacitor 2 y el inductor (fila 5 de la tabla1). Se observa también un aumento de amplitud mostrado en la figura 5.9, por esta razón la figura 5.10 muestra una mayor definición en los atractores de los extremos; es como una lata abierta con sus 2 tapas.

En la figura 5.12 todos los parámetros fueron modificados, por esta razón se cambiaron las condiciones iniciales; el cambio más significativo es el cambio de las órbitas en los atractores de los extremos.

La tercera órbita formada en la parte media no es muy visible en el plano estudiado, así que se retomó un plano de fase del voltaje adimensional del capacitor 2 (u2) vs. El voltaje adimensional del capacitor 1 (u1) también fue realizado. La figura 6.1 representa la fila 3 de la tabla1. Observemos cómo la figura sólo cambia la perspectiva. Sin embargo, la figura 6.2 representa mejor definida a la figura 5.10; de este modo fue posible observar al atractor intermedio, las tapas mostradas en la figura 5.10 se encuentran de perfil y sólo se observa la sombra de los atractores extremos.

Podemos enunciar que el estudio planeado termina aquí, pues al parecer se han modificado todos los paráme-tros, incluso las condiciones iniciales, lo que permite también validar el trabajo pues la generación del caos es por esta vía (Epstein y Pojman, 1998).

Sin embargo, queda una interrogante: ¿será posible disminuir ahora el número de atractores y generar sola-mente el que aparece en la parte inferior derecha de los planos de fase? Al observar la tabla 2 sólo los rangos del diodo no fueron modificados (columnas 7 y 8 de la tabla 2); por esta razón se eligió modificar estos valores, hacer las simulaciones y dibujar el plano de fases. Los resultados se muestran en la figura 7, las condiciones de las simulaciones están en las filas E1, E2 y E3 de la tabla 1.

Tabla 2. Exponentes de Lyapunov de las diversas simulaciones realizadas

1

2

3

4

5

6

E1

E2

E3

0.1348

0.1042

0.1234

0.1957

0.1909

0.1512

0.1914

0.1035

0.1205

# Simulación l

119



El aumento del valor de la resistencia en el diodo (Ga, fila E1 de la tabla 2) permite observar una disminución directa al voltaje de la malla 1 (u1) desapareciendo el atractor superior (ver figura 7.1). Posteriormente des-aparece el intermedio (ver figura 7.2) y finalmente se acortan las órbitas y giran en torno al atractor inferior (ver figura 7.3.).

Por otra parte, cuando están definidos los atractores, el centro que los define no cambia. Así por ejemplo, se observa que en la figura 5, fases 1 y 2, se modifica la amplitud pero la coordenada (-1.11, 1.259) es la misma, al igual que en los tres atractores de la figura 6 y el atractor inferior de la figura 7 en sus fases 2 y 3, en los cuales el valor es de aproximadamente (1.28, -1.47).

Figura 5. Generación de los atractores mediante el cambio de los parámetros.

120



Figura 6. Comprobación de la presencia del atractor intermedio mediante la generación del plano de fase u2 vs. u1;

Consultar resultados para mayor detalle

121



Figura 7. Desaparición de atractores mediante modificación de parámetros

Para comprobar el comportamiento caótico es necesario el cálculo de los exponentes de Lyapunov; en este caso utilizamos el algoritmo de Wolf. Los resultados se muestran en la tabla 2. Estos valores son similares a los reporta-dos por Bilotta et al. (2007), pues para condiciones similares reportan l=0.10466 (lo denomina PC8) comparados con la corrida #2, l=0.1042 y E2, l=0.1035 respectivamente.

Discusión

El presente trabajo puede comparase con el de Bilotta et al. (2007), quien ofrece una amplia revisión de todas las condiciones y parámetros de este modelo, pero no sustenta la forma en que los atractores son modificados; nues-tra discusión va en este sentido y las relaciones aquí mencionadas, pues las modificaciones se realizaron de forma sistemática. Si el conjunto de datos generados de esta forma se alimenta a una red neuronal, iniciaría su proceso de entrenamiento y posteriormente se realizaría el pronóstico de los comportamientos descritos por el circuito. En la literatura ya existe una propuesta (Arena et. al. 1995), pero los autores sólo sustituyen 3 neuronas por las tres submallas que forman el circuito original, por tanto una futura aplicación puede dirigirse en este sentido.

Conclusión

La modificación de los parámetros adimensionales del modelo de Chua ha permitido variar el número de atracto-res extraños presentes en este sistema caótico; esta forma sistemática no ha sido abordada en estudios anteriores. Todos los datos generados se han plasmado en gráficas como el plano de fases y las gráficas temporales. Además los cálculos de los exponentes de Lyapunov permiten validar el presente estudio.

122



Referencias

Arena, P., Baglio, S., Fortuna, L. y Mangaro, G. (1995). Chua`s cir-cuit can be generated by CNN cells. IEEE Transactions on circuits and systems 1: Fundamental theory and applications. 42(2), 123-125.

Balbuena, J., Beltrán, C., Ponce, J., Rodríguez, A. y Caballero, F. (2007). Formación de oscilaciones y caos en el circuito de Chua. Investigación universitaria multidisciplinaria. 6(6), 67-76.

Barboza, R. y Chua, L. (2008). The four-element chua`s circuit. International Journal of Bifurcation and Chaos, 18, (4) 943–955.

Bilotta, E., Pantano, P. y Stranges, F. (2007) A Gallery of Chua attractors: part II. International journal of Bifurcation and Chaos. 17, 293-380.

Burden, R. y Faires, J. (2003). Análisis numérico. México: Thomp-son.

Chua, L. O. (1993) Global unfolding of Chua oscillators. IEICE Trans. Fundam. Electron. Commun. Comput. Sci. E76-A, 704-734.

Chua, L. O. y Lin, G. N. (1990) Canonical realization of Chua’s circuit family. IEEE Trans. Circuits Syst. 37,885-902.

Chua, L., Wu, C., Huang, A. y Zhong, G. (1993a). A universal circuit for studying and generating chaos. II. Strange attractors. IEEE Trans. Circuits Syst. I: Fund. Th. Appl. 40, 732-744.

Chua, L., Wu, C., Huang, A. y Zhong, G. (1993b). A universal circuit for studying and generating chaos. II. Strange attractors. IEEE Trans. Circuits Syst. I: Fund. Th. Appl. 40, 745-761.

Cruz-Hernández, C. y Romero-Haros, N. (2008). Communicating via synchronized time-delay Chua`s circuit. Communica-tions in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 13 645–659.

Drazin, P. G. (1992). Nonlinear systems. UK: Cambridge University Press.

Epstein, I. R. y Pojman, J. A. (1998). An Introduction to Nonlinear chemical Dynamics. Oscillations, Waves, Patterns, and Chaos. UK: Oxford University Press.

Fortuna, L., Frasca, M., Umana, E., La Rosa, M., Nicolosi, D. y Sicur-rella, G. (2007). Organic Chua`s circuit. International Journal of Bifurcation and Chaos, 17(9), 3035–3045

Gear, C. W. (1971), Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, USA: Prentice Hall.

Matsumoto, T., Chua, L. O. y Ayaki, K. (1988). Reality of chaos in the double scroll circuit: A computer assisted Prof. IEEE Trans. Circuits Syst. 35,909-925.

Matsumoto, T., Chua, L. O. y Kobayashi, K. (1986). Hyperchaos: Laboratory experimental and numerical confirmation. IEEE Trans. Circuits Syst. 33, 1143-1147.

Parker T. S. y Chua L. O. (1989). Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Berlin, Springer-Verlag.

Scott, S.K. (1991). Chemical Chaos. UK: Clarendon Press.

Shacham, M., Brauner, N. y Cutlip, M. (1994). Exothermic CSTRs Just how stable are the multiple steady states? Chemical engineering education, winter, 30-35.

Tian, L. y Collins, C. (2004). A dynamic Recurrent neural Network-*Based Controller for a Rigid-Flexible manipulator system. Mechatronics 14, 471-490.

Wolf, A., Swift, J., Swinney y Vastano, J. (1985). Determining lyapunov exponents from a time series. Physica. 16D, 285-317.

Yalcin, M., Suykens, J. y Vandewalle, J. (2000). Experimental confir-mation of 3- and 5-scroll attractors from a generalized Chua’s circuit. IEEE Trans. Circuits Syst. 47, 425-429.

Zhong, G. y Ayrom, F. (1985b) Experimental confirmation of chaos from Chua’s circuits. IEEE Trans. Circuits Syst. 13, 93-98

Apéndice

Nomenclatura y definición de los parámetros adimensionales utilizados en la simulación:

C1 (nF) Capacitor en el circuito.

C2(nF) Capacitor en el circuito.

G(mS) Constante de tiempo.

L(J/kg K) Inductor en el circuito.

R0 (W) Resistencia en el circuito.

R (W) Resistencia en el circuito.

Ga Constante de tiempo del diodo de Chua.

Gb Constante de tiempo del diodo de Chua.

a (adim) Relación de capacitores.

b (adim) Parámetro adimensional.

Y (adim) Parámetro adimensional .

i3 (mA) Intensidad de corriente.

E (V) Voltaje de referencia.

l (s-1) Valores propios de la ecuación características si l>0 es el exponente de Lyapunov.

diversas rutas al caos en el circuito de chua · han modificado el voltaje de un capacitor del...

Documents