7/25/2019 Distribuciones de Los Estimadores

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DISTRIBUCIONES DE LOS ESTIMADORES

Sea X una poblacin de distribucin normal, N(,) de la cual se extrae una

muestra de n elementos {x1,x2, , xn}

ada obser!acin muestral xi, tendr" tambi#n la misma distribucin N(,)

$or lo tanto si

[ ]

1 2

1 2

1 2

1 2

...

...( )

1( ... )

1( ) ( ) ... ( )

...( )

n

n

n

n

x x xX

n

x x xE X E

n

E x x xn

E x E x E xn

E Xn

+ + +=

+ + + =

= + + +

= + + ++ + +

= =

%ecordemos &ue las obser!aciones muestrales son independientes, en

consecuencia

[ ]

1 2

1 2

1 22

1 22

2 2 2 2 2

2 2

...

...( )

1( ... )

1( ) ( ) ... ( )

...( )

n

n

n

n

x x xX

n

x x xVar X Var n

Var x x xn

Var x Var x Var xn

nVar X

n n n

+ + +=

+ + + =

= + + +

= + + +

+ + += = =

'ueda demostrado &ue la distribucin de la media muestral es

(0,1)X

N

n

Ntese &ue esta ormula puede usarse solo si es conocido

istribucin de la !arian*a muestral

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2 2 22 1 2

22 22

1 2

2

( ) ( ) ... ( )

1

( 1)...

n

n

x X x X x XS

n

x Xx X x Xn S

+ + + =

= + + +

omo la parte derec+a de la ecuacin es una suma de cuadrados de !ariables

aleatorias independientes, con distribucin normal estandari*ada, se tiene

)1()1( 2

2

2

nSn

$or lo tanto

2

2

( 1)( 1)

*( 1)

X

Xnt n

Sn Sn

n

=

inalmente la distribucin de la media muestral es-

1. Si conocemos

(0,1)X

N

n

2. Si no conocemos

( 1)X

t nS

n

/a distribucin de la !arian*a muestral es

)1()1( 2

2

2

nSn

/a distribucin de la proporcin muestral , cuando la muestra es suicientemente

0rande para aplicar el eorema entral del /mite,

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(0,1)* (1 )

pN

n

Comparacin de proporciones y comparacin de medias

3samos la si0uiente propiedad de las distribuciones normales

1. $ropiedad de la normal- si X e 4 son independientes

),(

),(

),(

22

yxyx

yy

xx

NYX

NY

NX

+

2. 5xtensin de la propiedad

Si sumamos X16X266Xn 7 todas las !ariables spn

independientes 7 con la misma distribucin N(,) entonces

X16X266Xnsi0ue una),*( nnN

istribuciones de la proporcin

La distribucin del estimador es:

)1,0()1()1(

)()(

2

22

1

11

2121 N

n

pp

n

pp

pp

+

aso de medias 8a7 tres sub casos

i. onocemos las des!iaciones est"ndar poblacionales 1 7

2 entonces la distribucin del estimador es-

)1,0()()(

2

2

2

1

2

1

2121 N

nn

XX

+

ii. Si no conocemos 1ni 29 7 n1: ;< n2: ;< 7 entonces la

distribucin es-

1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

( ) ( )(0,1)

X XN

S S

n n

+

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iii. Si no conocemos 1ni 29 7n1= ;< n2= ;< 7 entonces la

distribucin del estimador es

)2(11

2

)1()1(

)()(21

2121

2

22

2

11

2121 +

+++

nnt

nnnn

SnSn

XX

Siempre &ue 1> 2

aso de !arian*as

)1(),1(2

2

2

1

22

2

22

1

1

1

)1(

)1(

mnF

m

n

m

n

/as aplicaciones de estas distribuciones son principalmente-

1. /a estimacin por inter!alos de conian*a2. /a prueba de +iptesis param#trica

3. /a deduccin de las distribuciones de otros estimadores comoen el caso de los estimadores de la re0resion