distribuciones continuas
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1 Distribuciones continuas
Algunos modelos de probabilidad son frecuentemente
usados para representar la funcion de densidad de
probabilidad de variables aleatorias continuas. Aquel-
los mas utilizados son descritos a continuacion.
1.1 Distribucion Uniforme continua, U[α,β]
Es una generalizacio de la distribucion Uniforme disc-
reta, y es el modelo mas simple de una variable aleato-
ria continua.
Definicion. Una variable aleatoria X tiene distribucion
Uniforme continua de parametros α y β con α < β,
ambos reales, si su funcion de densidad de probabili-
dad esta dada por
fX (x) =
{
1β−α
, α ≤ x ≤ β
0 si no
El grafico de fX (x) tiene la siguiente forma,
-4 -2 0 2 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
α β
Figure 1: Funcion de densidad de la U[α,β].
Ejemplos.
1. Si X ∼ U[α,β], la esperanza es
E (X) =∫ β
α
x
β − αdx =
x2
2 (β − α)
∣
∣
∣
∣
∣
β
α
=α + β
2.
2. Su varianza es
V (X) = E
(
X2)
− E2 (X)
=∫ β
α
x2
β − αdx −
(
α + β
2
)2
=(β − α)2
3−
(
α + β
2
)2
=(β − α)2
12.
3. Su funcion de distribucion acumulada es
FX (x) =∫ x
α
1
β − αdz =
0, x < αx−αβ−α
, α ≤ x ≤ β
1, x ≥ β
y su grafico es
Ejemplo. La escala de una balanza de palanca insta-
lada en un laboratorio tiene el valor de una division
igual a un gramo. Al medir la masa de los compo-
nentes quımicos de una mezcla, la lectura se toma
con una precision hasta una division entera redonde-
ando con el error mınimo.
0 5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
α β
Figure 2: Funcion de distribucion acumulada de la
distribucion U[α,β].
¿Cual es la probabilidad de que el error absoluto de la
determinacion de la masa no exceda la magnitud de
una desviacion estandar?
Supongamos que la aguja de la balanza se distribuye
uniformemente entre cero y un gramo.
Luego, la desviacion estandar es
σ =
√
(β − α)2
12=
√
(1 − 0)2
12=
1
2√
3
Por otro lado, el error de la determinacion de la masaes pequeno, o sea menor a σ, si la aguja marca en elconjunto
[0, σ] ∪ [1 − σ, 1]
Por tanto, la probabilidad que estamos buscando es
P ([0, σ] ∪ [1 − σ, 1]) = P ([0, σ]) + P ([1 − σ, 1])
= 2P ([0, σ]) = 2∫ σ
0dx
= 2σ =1√3
= 0.577 35.
1.2 Distribucion Exponencial, E (λ)
Definicion. Diremos que una variable aleatoria X
tiene distribucion Exponencial con parametro λ > 0
si su funcion de densidad de probabilidad es
fX (x) =
{
λe−λx, x > 00, x ≤ 0
El grafico de fX (x) se ilustra en la siguiente figura:
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Figure 3: Funcion de densidad de probabilidad de la
distribucion E (λ).
Por otro lado, es facil verficar que
E (X) =∫ ∞
0xλe−λxdx =
1
λ
y
V (X) = E
(
X2)
− E2 (X)
=∫ ∞
0x2λe−λxdx − 1
λ2=
1
λ2
Su funcion de distribucion acumulada es
FX (x) = 1 − e−λx,
si x > 0, y es cero si x ≤ 0.
La distribucion Exponencial tiene una relacion intere-
sante con la distribucion de Poisson: Si en una unidad
de tiempo se observan n conteos con distribucion P (λ),
entonces el tamano de los intervalos de tiempo entre
cada conteo distribuye E (λ).
Ejemplo. El tiempo de vida (en horas) de cierto tipo
de lamparas es una variable aleatoria T ∼ E (0.002).
De aquı se tiene entonces que la vida media de este
tipo de lamparas es
E (X) =1
0.002= 500
horas, y la probabilidad de que el tiempo de vida sea
mayor que el tiempo medio es
P (X > 500) = 1 − P (X ≤ 500) = 1 − FX (500)
= e−0.002·500 = e−1 = 0.3679.
1.3 Distribucion Normal, N(
µ, σ2)
Esta es la distribucion mas importante de la Estadıstica
debido, fundamentalmente, a que en muchas oca-
ciones es razonable suponer que los errores de medicion
tienen distribucion Normal y porque posee propiedades
matematicas deseables.
Definicion. Diremos que una variable aleatoria X
tiene distribucion Normal con parametros µ y σ2, donde
µ ∈ R y σ > 0, si su funcion de densidad esta dada
por
fX (x) =1√
2πσ2exp
{
−1
2
(x − µ)2
σ2
}
,
donde x ∈ R.
El siguiente grafico ilustra esta funcion de densidad
para los parametros µ y σ2,
Algunas propiedades son:
1. E (X) = µ y V (X) = σ2.
2. limn→±∞
fX (x) = 0.
3. fX (x) es simetrica en torno a µ, es decir, fX (µ + x) =
fX (µ − x) para todo x ∈ R.
-4 -2 0 2 4
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
µ
Figure 4: Funcion de densidad de probabilidad de la
distribucion N(
µ, σ2)
.
La distribucion acumulada de la Normal no tiene una
forma analıtica explıcita. Luego, para calcular prob-
abilidades con variables aleatroias normales es nece-
sario el uso de metodos numericos para el calculo de
integrales.
Las areas bajo la curva Normal han sido calculadas
para la llamada distribucion normal estandar, esta es
la distribucion Normal con parametros µ = 0 y σ2 =
1.
La siguiente tabla muestra la funcion de distribucion
acumulada para la distribucion N (0, 1). Esta es de-
notada por Φ (x), o sea,
Φ (x) =∫ x
−∞1√2π
exp
{
−x2
2
}
dx.
¿Como utilizar la tabla?
Ejemplos.
1. P (Z ≤ 1.73) = Φ (1.73) = 0.9582.
2. P (Z > 1.73) = 1 − Φ (1.73) = 1 − 0.9582 =
0.041 8.
3. Φ (−1.73) = P (Z ≤ −1.73) = P (Z ≥ 1.73) =
0.0418.
4. P (−1.73 ≤ Z ≤ 0) = P (0 ≤ Z ≤ 1.73)
= P (Z ≤ 1.73) − 0.5 = 0.9582 − 0.5 = 0.4582.
5. P (0.47 ≤ Z ≤ 1.73) = Φ (1.73)−P (Z < 0.47) =
0.9582 − 0.6808 = 0.277 4.
6. P (−1.73 ≤ Z < −1.28) = P (1.28 < Z ≤ 1.73) =
Φ (1.73)−Φ(1.28) = 0.9582− 0.8997 = 0.0585.
Pero, ¿como podemos calcular probabilidades con otras
distribuciones normales?
Proposicion. Si X ∼ N(
µ, σ2)
, entonces la variable
aleatoria Z definida por
Z =X − µ
σ
tiene distribucion normal estandar.
Ejemplos.
1. Si X ∼ N(
µ, σ2)
, calcular P (a < X ≤ b).
P (a < X ≤ b) = P
(
a − µ
σ<
X − µ
σ≤ b − µ
σ
)
= P
(
Z ≤ b − µ
σ
)
− P
(
Z ≤ a − µ
σ
)
= Φ
(
b − µ
σ
)
− Φ
(
a − µ
σ
)
.
2. Si X ∼ N (3, 16), calcular P (2 ≤ X ≤ 5).
P (2 ≤ X ≤ 5) = P
(
2 − 3
4≤ X − 3
4≤ 5 − 3
4
)
= P (−0.25 ≤ Z ≤ 0.5)
= P (Z ≤ 0.5) − P (Z ≤ −0.25)
= Φ (0.5) − [1 − Φ(0.25)]
= 0.6915 − 1 + 0.5987
= 0.2902.
Por tanto, P (2 ≤ X ≤ 5) = 0.2902.
3. ¿Cual serıa el primer y tercer cuartil de X ∼N (3, 16)?
(a) Hasta el tercer cuartil se acumula un 75% de
la probabilidad. Luego, por definicion de Q3
se tiene:
0.75 = P (X ≤ Q3) = P
(
Z ≤ Q3 − 3
4
)
Por tanto, si z0.75 es el punto de la distribucion
normal estandar hasta donde se acumula un
75% de la probabilidad entonces
Q3 − 3
4= z0.75 = 0.675,
por lo que Q3 = 5.7.
(b) Hasta el primer cuartil se acumula un 25% de
la probabilidad. Luego, por definicion de Q1
se tiene:
0.25 = P (X ≤ Q1) = P
(
Z ≤ Q1 − 3
4
)
Por tanto, si z0.25 es el punto de la distribucion
normal estandar hasta donde se acumula un
25% de la probabilidad entonces
Q1 − 3
4= z0.25 = −z0.75 = −0.675,
por lo que Q1 = 0.3.
Finalmente, el intervalo intercuartılico de X ∼N (3, 16) es IQR = 5.7 − 0.3 = 5. 4.