INTRODUCCION

Varias de las distribuciones de probabilidad discretas que veremos en

este informe se basan en experimentos o procesos en los que se realiza

una secuencia de pruebas llamadas pruebas de Bernoulli.

Una prueba de Bernoulli tiene uno de dos resultados mutuamente

exclusivos, que por lo regular se denotan (éxito y fracaso).

Las características de las pruebas de Bernoulli son:

La prueba tiene uno de dos resultados mutuamente exclusivos.

(Denotamos el resultado uno con éxito y otro con fracaso)

Los resultados son exhaustivos es decir, no hay otros resultados

posibles.

La probabilidad de éxito y fracaso se denotan con p y q.

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Proceso de Bernoulli – Distribución Binomial

Experimento de Bernoulli

Es un experimento que puede arrojar 2 resultados posibles. A uno de los

resultados se lo denomina arbitrariamente "éxito" y al otro "fracaso". El

experimento de Bernoulli lleva asociada una probabilidad (la probabilidad de

"éxito").

Veamos el ejemplo siguiente:

Ejemplo

Si voy a tirar un dado, y lo que voy a observar es si sale o no sale un 5,

entonces esto puede ser visto como un experimento de Bernoulli constituido

así:

Éxito: que salga un 5

Fracaso: que no salga un 5

Probabilidad de éxito: p = 1/6

Probabilidad de fracaso: q = 1-p = 5/6

En ese ejemplo vemos que llamamos "éxito" a que salga un 5, porque

justamente estábamos observando si iba a salir o no un 5. El hecho de llamar a

algo "éxito" o "fracaso" no tiene nada que ver con que sea "bueno" o "malo"

respectivamente, sino con el hecho de que haya dado positiva o negativa la

observación que queríamos hacer.

Como vimos, p es la probabilidad de éxito, es decir, la probabilidad de que se

cumpla la condición que queríamos observar. Y la probabilidad de fracaso, es

decir, de no-éxito, 1-p, a menudo se encuentra escrita como q.

Proceso de Bernoulli

Consiste en hacer n veces un experimento de Bernoulli, teniendo en cuenta:

- Que las condiciones no varían. (Ejemplo: la moneda que arrojo n

veces sigue siendo la misma y no se deforma). Es decir, que la

probabilidad p de obtener un éxito en la 5ta vez es la misma que la de

obtener un éxito en la 8va vez.

- Que cada uno de los experimentos es independiente (Ejemplo: que

haya salido cara en la 5ta vez que tiré la moneda, no me afecta lo que

salga en la 8va vez).

Se definen las siguientes variables:

n : la cantidad de veces que se hace el experimento

p : la probabilidad de que un experimento arroje éxito.

k : la cantidad de veces que se obtiene éxito en las n veces que se hace el

experimento.

Ejemplo

Si arrojo una moneda 8 veces, con probabilidad 0,5 de que salga cara

(considerando cara como éxito) y sale cara 5 veces, tengo:

n = 8

p = 0,5

k = 5

Generalmente conocemos el valor de p, y entonces nos preguntamos cuántos

éxitos obtendremos haciendo el experimento una determinada cantidad de

veces, o cuántas veces tendremos que hacer el experimento para obtener una

determinada cantidad de éxitos.

De esta forma obtenemos 2 distribuciones:

- Binomial: consiste en preguntar por la cantidad de éxitos en n veces.

Es decir, dado n, calcular la distribución de k.

- Pascal: consiste en preguntar por la cantidad de veces necesarias para

obtener k éxitos. Es decir, dado k, calcular la distribución de n.

Y además:

- Geométrica: caso particular de Pascal cuando k = 1, es decir, consiste en

preguntar por la cantidad de veces necesarias para obtener el primer éxito.

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el

número de éxitos en una secuencia de n ensayos independientes de Bernoulli con

una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

"¿Cuál es la probabilidad de obtener x éxitos en n intentos?"

Si

X:Bi (n ; p)

es decir: X es una variable binomial con parámetros n y p

es decir: X es la variable que representa la cantidad de éxitos obtenidos en n

experimentos de Bernoulli independientes cada uno con probabilidad de éxito p

n es un número natural

p es un número real entre 0 y 1

Propiedades reproductivas

Si tenemos

m variables Xi

Xi:Bi(ni,p)

Xi independiente de X j para i ≠ j

Es decir, la suma de m variables binomiales independientes cada una con igual p y

con su propio n resulta ser una variable binomial con el mismo p que las anteriores

y n dado por la suma de los n de las variables originales.

Estrategia

Sabemos que nos encontramos frente a la necesidad de emplear una distribución

binomial cuando:

- Nos dan una determinada cantidad de elementos (piezas, intentos,

etc.)

- Cada uno de esos elementos puede o no cumplir con una

determinada condición (que la pieza sea defectuosa, que el intento

haya salido bien, etc.)

- Nos dan o es posible calcular la probabilidad de que un elemento

cumpla con la condición

- Nos preguntan cuál es la probabilidad de que determinada cantidad de

elementos, de los n que hay en total, cumplan con la condición.

Por lo general estos problemas se resuelven encontrando la forma de calcular la

probabilidad de que un elemento cumpla con la condición sin importar cuántos

elementos haya. Luego tomaremos una variable X que representará cuántos

elementos de los n que hay en total cumplen con la condición. Sus parámetros

serán:

p: la probabilidad de que un elemento cumpla con la condición n: la cantidad de

elementos que hay en total.

Siempre comenzaremos por suponer que los n elementos son independientes

entre sí, es decir, que el hecho de que un elemento cumpla o no con la condición

no afecta la probabilidad de que los demás la cumplan o no. De lo contrario no

podríamos usar la distribución binomial porque no estaríamos cumpliendo con las

características del proceso de Bernoulli.

Si X está distribuida binomialmente con n y p, P(X = x) tendrá valor no nulo x

[0 ; n]. Todos los demás x tienen probabilidad nula. De todas las distribuciones

que estudiaremos, ésta es la única que está acotada tanto superior como

inferiormente.

Aspecto

p pequeño (0,2) p mediano (0,5) p grande (0,8)

Vemos que todos los valores entre 0 y n tienen probabilidad no nula, aunque la

probabilidad de los valores cercanos a n será muy pequeña si p es chico, y la

probabilidad de los valores cercanos al 0 será muy pequeña si p es grande.

Ejercicios:

1.- La últ ima novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el

punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de

4 amigos son af icionados a la lectura:

¿Cuál es la probabi l idad de que en el grupo hayan leído la

novela 2 personas?

(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2

2.- Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabi l idad

de que salgan más caras que cruces.

(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

3.- La probabi l idad de que un artículo producido por una fábrica

sea defectuoso es p 0.002. Se envió un cargamento de 10.000

artículos a unos almacenes. Hal lar el número esperado de

artículos defectuosos, la varianza y la desviación t ípica.