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Facultad de Qumica e Ingeniera Qumica - UNMSM

Estadstica Aplicada a la Ingeniera

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DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA MEDIA ( DESCONOCIDA) Para tamaos de muestra grandes (n > 30) debemos conocer la desviacin estndar de la poblacin o sustituirla razonablemente por la desviacin estndar muestral s. Para valores de n pequeos, suponiendo que la muestra proviene de una poblacin normal puede probarse que

Teorema 1. Si x es la media de una muestra aleatoria de tamao n

tomada de una poblacin normal que tiene media y variancia 2, entonces

tx

s n

es el valor de una variable aleatoria con distribucin t y parmetro = n - 1.

La forma global de la distribucin t es similar a la de una distribucin normal (ambas tienen forma de campana y son simtricas con respecto al origen). Como la distribucin normal estndar, la distribucin t tiene

media 0, pero su variancia depende del parmetro (nu), denominado

nmero de grados de libertad. La variancia de la distribucin t excede

a 1, pero se aproxima a ese nmero cuando n . En realidad, puede

mostrarse que la distribucin t con grados de libertad se aproxima a la

distribucin normal estndar cuando .

La tabla 4 contiene algunos valores de t para diferentes valores de ,

donde t es tal que el rea bajo la distribucin t a la derecha de l es

igual a . En esta tabla la columna de la izquierda contiene valores de

, en el primer rengln estn los valores de reas correspondientes a la cola derecha de la distribucin t y los nmeros que aparecen en la



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tabla en s son valores de t para > 0,50, pues por al simetra de la

distribucin t1- = -t. Por tanto, el valor de t correspondiente al rea de

la cola situada a la izquierda de es -t. La distribucin normal estndar ofrece una buena aproximacin a la distribucin t para muestras de tamao 30 o mayor. En la prctica, es necesario asegurarse principalmente de que la poblacin que estamos muestreando tenga la forma de una campana y que no sea demasiado asimtrica.

Ejemplo : Un fabricante de fusibles asegura que, con una sobrecarga del 20%, sus fusibles se fundirn al cabo de 12,40 minutos en promedio. Para probar esta afirmacin, una muestra de 20 de los fusibles fue sometida a una sobrecarga de un 20%, y los tiempos que tardaron en fundirse tuvieron una media de 10,63 minutos y la desviacin estndar de 2,48 minutos. Si se supone que los datos constituyen una muestra aleatoria de una poblacin normal, tienden a apoyar o refutar la afirmacin del fabricante?

Solucin : Primero se calcula 19,32048,2

40,1263,10

t



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el cual es un valor de una variable aleatoria que tiene distribucin t con

= 20 - 1 = 19 grados de libertad. Ahora bien, en la tabla 4 se tiene

que, para = 19, la probabilidad de que t exceda 2,861 es 0,005 y que en consecuencia, la probabilidad de que t sea menor que -2,861 tambin es 0,005. En vista que t = -3,19 es menor que 2,861 y 0,005 es una probabilidad muy pequea, se concluye que los datos tienden a refutar la afirmacin del fabricante. Con toda seguridad, la media del tiempo en que se funden sus fusibles con una sobrecarga del 20% es menor que 12,40 minutos.

DISTRIBUCIN MUESTRAL DE LA VARIANCIA

En esta seccin hablaremos de la distribucin muetral terica de la variancia muestral para muestras aleatorias de poblaciones normales. Puesto que s2 no puede ser negativa, sospecharamos que esta distribucin muestral no es una curva normal; en realidad, est

relacionada con una distribucin gamma con = /2 y = 2, y se

denomina distribucin ji-cuadrada. Especficamente tenemos

Teorema 2. Si s2 es la variancia de una muestra aleatoria de

tamao n tomada de una poblacin normal cuya variancia es 2, entonces

2

2

2

1

n s

es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribucin ji-cuadrada

con parmetro = n - 1.

Ejemplo : Una ptica adquiere cristales para montarlos en anteojos, y sabe por experiencia que la variancia de refraccin de esta clase de cristales es 1,26*10-4. Como es importante que los diversos cristales tengan un ndice de refraccin muy parecido, la empresa rechaza uno de tales cargamentos si la variancia muestral de 20 cristales escogidos al azar excede 2,00*10-4. Suponiendo que los valores muestrales pueden considerarse como una muestra aleatoria de una poblacin normal, cul es la probabilidad de que un cargamento sea rechazado a

pesar que 2 = 1,26*10-4?



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Solucin Sustituyendo en la frmula para el estadstico ji-cuadrada, se obtiene

2,30

1026,1

1000,2194

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y despus encontramos en la tabla 5 que, para 19 grados de libertad

1,30205.0 . As pues, la probabilidad de que un buen cargamento sea

rechazado errneamente es menor que 0,05.



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Un problema muy semejante al de encontrar la distribucin de la variancia muestral es el de calcular la razn de las variancias de dos muestras aleatorias independientes. Este problema es importante ya que aparece en pruebas en las cuales queremos determinar si dos muestras provienen de poblaciones que tienen variancias iguales. Si es as, las dos variancias muestrales deben ser muy semejantes; es decir, su razn debe ser muy cercana a 1. Para determinar si su razn es muy grande o muy pequea, recurriremos a la teora dada en el siguiente teorema:

Teorema 3. Si s12 y s2

2 son la variancias de muestras aleatorias independientes de tamao n1 y n2, respectivamente, tomadas de dos poblaciones normales que tienen la misma variancia, entonces

Fs

s

1

2

2

2

es un valor de una variable aleatoria que tiene distribucin F con parmetros

1 = n1 - 1 y 2 = n2 - 1.

La distribucin F est relacionada con la distribucin beta y sus

dos parmetros 1 y 2, se denominan grados de libertad del

numerador y denominador respectivamente. Como requeriramos una

tabla demasiado grande para dar valores de F correspondiendo a

numerosas y diferentes probabilidades de la cola del lado derecho , y

como = 0,05 y = 0,01 son los que ms se utilizan en la prctica, la tabla 6 slo contiene valores de F0,05 y de F0,01 para varias

combinaciones de valores de 1 y 2.



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Ejemplo Si dos muestras independientes de tamao n1 = 7 y n2 = 13 se toman de una poblacin normal,cul es la probabilidad de que la variancia de la primera sea al menos tres veces ms grande que la de la segunda?

Solucin En la tabla 6 encontramos que F.05 = 3,00 para 1 = 7 - 1 y 2 = 13 - 1 = 12; por tanto, la probabilidad deseada es 0,05. Tambin es posible utilizar la tabla 6 para encontrar valores de F correspondientes a las probabilidades de cola izquierdas de 0,05 o 0,01.

Escribiendo F(1,2) para F con 1 y 2 grados de libertad, simplemente usamos la identidad

12

211;

1;

F

F

Ejemplo Encuntrese el valor de F.95 (correspondiente a la

probabilidad de cola izquierda de 0,05) para 1 = 10 y 2 = 20 grados de libertad.

Solucin Empleando la identidad y la tabla 6, obtenemos

36,077,2

1

)10;20(

1)20;10(

05,0

95,0 F

F

Obsrvese que los teoremas 2 y 3 requieren la suposicin de que estamos muestreando poblaciones normales. A diferencia de la distribucin t, las desviaciones con respecto a una distribucin normal subyacente (como una cola larga) pueden tener graves efectos en estas



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distribuciones muestrales. En consecuencia, es mejor hacer una transformacin que se aproxime a la normal, antes de utilizar las distribuciones muestrales expuestas en esta seccin.

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