display 7 segmentos

Práctica No. 4Circuito Combinacional con Compuertas

Docente Alumno:Ingº. Rosanna Jaimes Sección: 501-G5

Rodríguez, Ricardo C.I. 21426812

Maracay 25 de Septiembre de 2015

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA

COORDINACIÓN DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIONES

NÚCLEO ARAGUA

Pre-Laboratorio

Mapas de Karnaugh

Es un método gráfico utilizado para la simplificación de funciones algebraicas

booleanas para convertir su tabla de la verdad a su circuito lógico correspondiente,

generando expresiones de Sumas de Productos o Producto de Sumas simplificadas.

Externamente, un mapa de Karnaugh muestra todos los valores posibles de las variables de

entrada y salida en una matriz de celdas, en la que cada celda representa un valor binario de

las variables de entrada. El número de celdas de un mapa de Karnaugh es igual al número

de combinaciones de las variables de entrada, al igual al número de filas de una tabla de la

verdad.

Adyacencia de celdas: La adyacencia en los mapas de Karnaugh se define como el cambio

de una única variable. Las celdas que difieren en una única variable son adyacentes, es

decir, físicamente, cada celda es adyacente a otra igual por cualquiera de sus 4 lados. Las

celdas con valores que difieren en más de una variable no son adyacentes, o dicho de otra

forma, una celda no es adyacente a aquellas que tocan diagonalmente alguna de sus

esquinas.

Adyacencia Cíclica: Consiste en la idea de que el mapa de Karnaugh se puede doblar de tal

forma que se toquen en los extremos superior e inferior, y derecho e izquierdo, haciendo

que el mapa adopte la forma particular de una “Dona”. Dicho en otras palabras, las celdas

de la fila superior son adyacentes a las de la fila inferior y las celdas de la columna

izquierda son adyacentes a las situadas en la columna derecha.

Mapas de Karnaugh de 4 variables de entrada

La simplificación de expresiones lógicas mediante el mapa de Karnaugh se logra

por medio de un método gráfico basado en la Suma de Productos (S.D.P.) o Producto de

Sumas (P.D.S.). La construcción del mapa se realiza por medio de una matriz de 2n celdas,

donde “n” representa el número de variables de entrada. En el caso de que se tengan 4

variables de entrada, la matriz a utilizar será de 16 celdas que representan los 16

mintérminos o maxtérminos posibles, en un arreglo 4 x 4.

El mapa se construye a partir de la tabla de la verdad de la función lógica que se

expresa de forma genérica tal y como sigue:

Línea

A B C D Mintérmino/Maxtérmino

Mintérmino mx/Maxtérmino Mx

Función de Salida

0 0 0 0 0 A.B·C·D/ A·B·C·D m0/M0 F(0,0,0,0)

1 0 0 0 1 A·B·C·D/ A·B·C·D m1/M1 F(0,0,0,1)

2 0 0 1 0 A·B·C·D/ A·B·C·D m2/M2 F(0,0,1,0)

3 0 0 1 1 A·B·C·D/ A·B·C·D m3/M3 F(0,0,1,1)

4 0 1 0 0 A·B·C·D/ A·B·C·D m4/M4 F(0,1,0,0)

5 0 1 0 1 A·B·C·D/ A·B·C·D m5/M5 F(0,1,0,1)

6 0 1 1 0 A·B·C·D/ A·B·C·D m6/M6 F(0,1,1,0)

7 0 1 1 1 A·B·C·D/ A·B·C·D m7/M7 F(0,1,1,1)

8 1 0 0 0 A·B·C·D/ A·B·C·D m8/M8 F(1,0,0,0)

9 1 0 0 1 A·B·C·D/ A·B·C·D m9/M9 F(1,0,0,1)

10 1 0 1 0 A·B·C·D/ A·B·C·D m10/M10 F(1,0,1,0)

11 1 0 1 1 A·B·C·D/ A·B·C·D m11/M11 F(1,0,1,1)

12 1 1 0 0 A·B·C·D/ A·B·C·D m12/M12 F(1,1,0,0)

13 1 1 0 1 A·B·C·D/ A·B·C·D m13/M13 F(1,1,0,1)

14 1 1 1 0 A·B·C·D/ A·B·C·D m14/M14 F(1,1,1,0)

15 1 1 1 1 A·B·C·D/ A·B·C·D m15/M15 F(1,1,1,1)

Suma de Productos (S.D.P.) o

Mintérminos: En este caso, las celdas se

disponen tal y como sigue:

Las celdas están dispuestas de tal forma que se cumpla con el principio de la

adyacencia, es decir, que entre celdas inmediatas, se presenta un único cambio en una sola

variable.

El mapa es utilizado de la siguiente manera: Por ejemplo, la celda m12, corresponde

al mintérmino 12, ubicado en la intersección entre la fila donde se ubica el número en

sistema binario 11 y la columna donde se ubica el numero en sistema binario 00. La

reducción por medio de un mapa de 4 variables se realiza agrupando aquellas celdas

adyacentes entre sí o aquellas que se encuentren en los bordes superior e inferior del mapa,

estas deben contener un 1 o un 0 correspondiente a los mintérminos o maxtérminos de la

función de salida, por ejemplo: El termino F(1,1,1,1)=A.B.C.D=1 y se ubica en la celda m 15

conformada por la intersección entre 11 y 11. Luego de haber hecho la agrupación de 1’s o,

se procede con la determinación del término que puede ser escrito por mintérminos. Para

los mintérminos no presentes se coloca un 0 en la celda correspondiente y son descartados.

Por ejemplo:

CD

AB

C D

00

C D

01

CD

11

C D

10

A B 00 m0 m1 m3 m2

A B01 m4 m5 m7 m6

A B 11 m12 m13 m15 m14

A B 10 m8 m9 m11 m10

La siguiente salida viene dada por: F1=∑ ¿¿

m3 ,m5 ,m7 ,m8 , m9 , m10 , m11 ,m12 ,m13¿

.- El primer grupo lo conforman los

mintérminos m1, m3, m5 y m7, en las

columnas solo varía A y en las filas B, por lo tanto da: A . B.

.- El segundo grupo lo conforman los mintérminos m5, m7, m13 y m15. En las columnas

sólo varía B y en las filas sólo varía B, por lo tanto, la ecuación resultante es B.B=B.

.- El tercer grupo lo conforman los mintérminos m8, m10, m12, m14 en las filas sólo varía

B y en las columnas sólo varía A. La ecuación resultante es B.A.

Sumando los mintérminos la salida F1 es A . B+B+B . A

Producto de Sumas (P.D.S.) o Maxtérminos: Es exactamente el mismo procedimiento, pero

con la diferencia de que se colocará un cero en las celas que correspondan a los

maxtérminos de la función de salida y las ecuaciones reducidas que se obtienen, son

producto de sumas. Se presenta el mismo ejemplo anterior pero aplicado para este caso:

La siguiente salida viene dada por: F1=∏ ¿¿

M 3 ,M 5 , M 7 , M 8 ,M 9 , M 10 , M 11 , M 12 , M13 ¿

.- El primer grupo lo conforman los

maxtérminos M1, M3, M5 y M7, en las

columnas solo varía A y en las filas B, por lo

tanto da:A+B.

.- El segundo grupo lo conforman los maxtérminos M5, M7, M13 y M15. En las columnas

sólo varía B y en las filas sólo varía B, por lo tanto, la ecuación resultante es B+B=B.

CD

AB

C D

00

C D

01

CD

11

C D

10

A B 00 0 1 1 0

A B01 0 1 1 0

AB 11 1 1 1 1

A B 10 1 0 0 1

CD

AB

AB

00

A B

01

A B

11

A B

10

AB 00 1 0 0 1

A B01 1 0 0 1

A B 11 0 0 0 0

A B10 0 1 1 0

.- El tercer grupo lo conforman los maxtérminos M8, M10, M12, M14 en las filas sólo varía

B y en las columnas sólo varía A. La ecuación resultante es A+B

Multiplicando los maxterminos la salida F1 es ( A+B ) .¿).(A+B ¿

Condiciones Irrelevantes: Son aquellas entradas que en el circuito no van a suceder, pero

cuando acurren, no inciden en el comportamiento del mismo. En los mapas de Karnaugh se

representan con una “x”, a su vez, estas se pueden agrupar con los unos o con los ceros

dependiendo si se trabaja o por mintérminos

o maxtérminos. Ejemplo:

La siguiente salida viene dada por: F1=∑ ¿¿

m1 ,m4 ,m5 ¿X(m8 ,m12 ¿

F1=A . A+B . A= A+B . A

“X(m8 ,m12 ¿: Son las condiciones irrelevantes”

Consideraciones al utilizar el Mapa de Karnaugh de 4 variables

Las siguientes consideraciones aplican para mintérminos y maxtérminos.

.- Una celda da como resultado un término de cuatro literales.

.- Dos celdas agrupadas dan como resultado un término de tres literales.

.- Cuatro celdas agrupadas dan como resultado un término de dos literales.

.- Ocho celdas agrupadas dan como resultado un término de un literal.

.- Dieciséis celdas agrupadas pueden representan un valor de función igual a 1.

CD

AB

A B

00

A B

01

AB

11

A B

10

A B 00 1 1 0 0

A B01 1 1 0 0

AB 11 x 1 0 0

A B 10 x 0 0 0

Post-Laboratorio

Se diseñó, simuló e implementó un circuito combinacional de compuertas que

produjera el encendido de varios diodos led de forma simultánea mostrando en la salida,

una serie de 11 caracteres utilizando un display de 7 segmentos.

Un display o visualizador de 7 segmentos, es un dispositivo electrónico que

contiene dentro unos leds conectados y con forma de pequeñas líneas que se encuentran

posicionadas adecuadamente. Cada segmento o línea se enciende individualmente, lo cual

permite que se puedan visualizar una cantidad de caracteres. A cada segmento se le asigna

una letra para denotarlos individualmente, tal como lo muestra la Figura 1. El punto

decimal se denomina como “P”, este último es otro led, lo cual totaliza 8 leds en el display.

Figura 1.

Se encuentran 2

tipos de display: El Ánodo común y el Cátodo común. En el ánodo común, los ánodos de

los leds se conectan a un punto común a Vcc y los cátodos se conectan a los pines de

entrada del dispositivo. En el Cátodo común, los cátodos de los leds se conectan a un punto

común a tierra y los ánodos a los pines de entrada del dispositivo.

El circuito a implementar debe lograr el encendido de 11 caracteres, tal y como

sigue:

Se observa que para obtener el circuito lógico que produzca las salidas, es necesario

realizar 11 combinaciones, dado que se desean mostrar 11 caracteres en el encendido. Para

lograr dichas combinaciones se utilizó el sistema de numeración binario, el cual es idóneo

para lograr establecer los estados lógicos de encendido y apagado. Se determinó que son

necesarias 4 (n=4) variables de entrada, estas proporcionan 16 combinaciones (

2n=216=16¿ , un número que se excede pero con el que se pueden lograr las 11

combinaciones.

Se procedió construir la tabla de la verdad con 4 variables, 16 combinaciones y las 7

salidas que representan los 7 segmentos del Display. Para cada combinación se estableció

cual salida se enciende o apaga denotándolo con 1’s y 0’s respectivamente. Para las 5

combinaciones sobrantes, se establecieron condiciones irrelevantes denotándolas con una

“x” en las 7 salidas. Dichas condiciones generan en la salida el encendido de los leds en el

display y que no se toman en consideración ya que no afectan el funcionamiento del

circuito al utilizar las otras combinaciones.

La Tabla de La Verdad se presenta a continuación:

Entradas Salidas Caracter

A B C D Sa Sa Sc Sd Se Sf Sg

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0

0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1

0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1

0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0

1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0

1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1

1 0 1 1 x x x x x x x

1 1 0 0 x x x x x x x

1 1 0 1 x x x x x x x

1 1 1 0 x x x x x x x

1 1 1 1 x x x x x x x

Utilizando la información proporcionada por la de la tabla de la verdad, se procedió

a escribir las formas canónicas de las funciones de las 7 salidas por maxtérminos y

mintérminos. Posteriormente, se hizo la simplificación de dichas funciones utilizando los

Mapas de Karnaugh, adicionalmente, se determinó la función de una salida por métodos del

Algebra de Boole.

Formas Canónicas de la Función de salida y su simplificación

A partir de la verdad, se escribió la forma canónica de cada función de salida como

la Suma de Productos o Mintérminos y el Producto de Sumas o Maxtérminos, considerando

las condiciones irrelevantes. Se logró simplificar utilizando mapas de Karnaugh de 4

variables.

.- Salida a (Sa)

Forma Canónica:

Mintérminos:

A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+

A.B.C.D

Maxtérminos:

(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+

C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)

Simplificación (Mintérminos): Sa=∑ (1¿, 3 ,4 , 7 , 9)¿X(11, 12 ,13 ,14 ,15¿

CD

AB

C D

00

C D

01

CD

11

C D

10

A B 00 0 1 1 0

A B01 1 0 1 0

AB 11 x x X x

A B 10 0 1 X 0

Sa= (C.D.B)+(D.B)+(C.D)=C.D.B.+D.(B+C)

.- Salida a (Sb).

Forma Canónica (Mintérminos):


A.B.C.D

Forma Canónica (Maxtérminos):



Simplificación (Mintérminos): Sb=∑ (0¿ ,1 ,4 ,6 , 7)¿X(11, 12 ,13 ,14 ,15¿

Sb=(A.B.C) + (C.D.A) + (C.B)

= A.C (B+D) + (C.B)

CD

AB

C D

00

C D

01

CD

11

C D

10

A B 00 1 1 0 0

A B01 1 0 1 1

AB 11 x x x x

A B 10 0 0 x 0

.- Salida a (Sc)


A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D



C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)

Simplificación (Mintérminos): SC =∑ (4¿,6 ,7 ,10)¿X(11, 12 ,13 ,14 ,15¿

Sc=B.C.D + B.C + A.C=B.C.D + C(B+A)

.- Salida a (Sd)



A.B.C.D

CD

AB

C D

00

C D

01

CD

11

C D

10

A B 00 0 0 0 0

A B01 1 0 1 1

AB 11 x x x x

A B 10 0 0 x 1




Simplificación: Sd=∑ (3¿,6 ,7 ,8 ,9)¿X(11, 12 ,13 ,14 ,15¿

Sd=A.C + C.D + C.B=A.C + C(D+B)

.- Salida e (Se)


A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+

A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D


CD

AB

C D

00

C D

01

CD

11

C D

10

A B 00 0 0 1 0

A B01 0 0 1 1

AB 11 x x x X

A B 10 1 1 x 0


C+D)

Simplificación (Mintérminos): Se=∑ (0¿ ,1 ,2 ,3 ,4 ,5,6,7,9)¿X(11, 12 ,13 ,14 ,15¿

Sd=A+D

Simplificación (Método de Álgebra de Boole):

Tabla de La Verdad para la salida “e”:

CD

AB

C D

00

C D

01

CD

11

C D

10

A B 00 1 1 1 1

A B01 1 1 1 1

AB 11 x x x X

A B 10 0 1 x 0

Entradas Salidas

A B C D Se

0 0 0 0 1

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

1 0 1 1 x

1 1 0 0 x

1 1 0 1 x

1 1 1 0 x

1 1 1 1 x

Se escribió la ecuación como mintérminos o suma de productos, considerando las

condiciones irrelevantes y se procedió a reducirla utilizando los axiomas del Álgebra de

Boole.

Se=A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D +

A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D

Se=A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.C + A.B.D + A.B.D

Se=A.B.(C+C) + A.B.(C+C) + A.D.(B+B)

Se= A.B + A.B +A.D

Se= A.(B+B) + A.D

Se= A + A.D

Se observa que la expresión obtenida no está tan simplificada como la que se obtuvo

por el método de los Mapas de Karnaugh.

Simplificación alternativa por mintérminos sin considerar las condiciones irrelevantes

Se=A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D + A.B.C.D +

A.B.C.D

Se=A.B.C(D+D) + A.B.C(D+D) + A.B.C(D+D) + A.B.C(D+D) +

A.B.C.D

Se= A.B(C+C) + A.B(C+C) + A.B.C.D

Se= A.(B+B) + A.B.C.D

Se= A + A.B.C.D

Se observa que esta expresión está menos simplificada que la anterior. Lo cual

permite deducir que el método de los mapas es mucho más eficiente al momento de obtener

las expresiones de salida.

.- Salida f (Sf)



A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D+A.B.C.D



C+D)x(A+B+C+D)x(A+B+C+D)

Simplificación: Sf=∑ (1¿, 2 ,3 ,4 , 7 ,9 ,10)¿X(11, 12 ,13 ,14 ,15¿

.- Salida a (Sg)



A.B.C.D+A.B.C.D




Simplificación (Mintérminos): Sg=∑ (0¿ ,4 , 5 ,6 ,7 ,9 , 10)¿X(11, 12 ,13 ,14 ,15¿

Sg = A.C.D + B.C + C.D.B + A.C

Sf= C.D.B + C.D.B + A.B.C + C.D + A.D + A.C

Sf= C(D.B+D.B) + A.B.C + C.D + A.D +

A.C

CD

AB

C B

00

C D

01

CD

11

C D

10

A B 00 0 1 1 1

A B01 1 0 1 0

AB 11 x X x X

A B 10 0 1 x 1

CD

AB

A B

00

A B

01

AB

11

A B

10

A B 00 1 0 0 0

A B01 1 1 1 1

AB 11 x x x x

A B 10 0 1 x 1

Luego de haber obtenido las expresiones de las siete salidas correspondientes a los

segmentos del Display y de haber simulado con simulador Logisim, se procedió a

implementarlas en protoboard. El diseño constó de 11 Circuitos Integrados: 2 Integrados de

Compuertas AND 3 entradas (6 compuertas), 4 Integrados de compuertas AND 2 entradas

(13 compuertas), 4 Integrados de compuertas OR 2 entradas (16 compuertas), 1 Integrado

de compuertas EXOR (1 Compuerta) y 1 Integrado de compuertas NOT (4 Compuertas).

En total, el circuito combinacional consta de 40 compuertas, 1 Dip switch, 4 resistencias de

2.2kΩ y 7 resistencias de 220Ω. La simulación del diseño se muestra en la última página de

este informe.

Simulación las expresiones obtenidas con los Mapas de Karnaugh: Combinación 0101

Simulación con Simplificación Alternativa en la Salida “e” sin considerar las condiciones irrelevantes. Combinación: 0101

display 7 segmentos

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