disolución, es una variable aleatoria. individuo de edad y...
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Vida residual conjunta T x, y, z,…
Tiempo permanecerá el grupo hasta la disolución, es una variable aleatoria.relacionada con la vida residual de cada individuo
manera que si la vida residual del individuo de edad X es 20, y la del individuo de edad Y es 40, lógicamente la vida residual conjunta será el mínimo de los dos, es decir , 20.. Vida residual conjunta, T x, y =T(x,y)=20
Tx,y como tal variable aleatoria tendrá valores X e Y conocidos, edades. Y en base a t , tiempo. Por tanto su función de distribución será:
Su función de distribución será :
o bien
Donde Es la función de supervivencia asociada al mínimo de las T
Hallar la probabilidad de que la vida residual conjunta de una pareja de 30 y 40 años sea inferior a 30 años. Sabiendo que 30p30=0,87 y 30p40=0,84
40,30
30 30 30 40
30 40,30 30 40,30 30 40 30 30
0,87 0,84
(30) 1 1 ( · ) 1 0,7308 0,2692
t x t x
T
p p p p
q p p pF
= = = =
= = − = − = − =
Desarrollando en base a probabilidad de la unión de sucesos
Si l(x)=100-x para 0<x<100
Calcular la probabilidad de que la vida residual conjunta sea inferior a 30 para un grupo de dos personas una de 40 años y la otra de 50
( ) 100 ( ) 1( ) 100 100t x
l x t x t tpl x x x+ − +
= = = −− −
30 50
30 40
( ) 100 ( ) 301 1 0,6 0,4( ) 100 50
( ) 100 ( ) 301 1 0,5 0,5( ) 100 60
l x t x tpl x x
l x t x tpl x x
+ − += = = − = − =
−+ − +
= = = − = − =−
30 40,50 30 40 30 50· 0,5·0,4 0,2p p p= = =
50,40 30 40,50 30 40 30 50( 30) 1 · 1 0,2 0,8T t q p pF = = = − = − =
Otras formas
40,50
30 40,50 30 40 30 50 30 40,50
30 30 40 30 50 30 40 30 5040,50
30 3040,50 40,50
30 40
(1 0,5) (1 0,4)
extinción 1 ( ) 1
· 0,5 0,4 0,2 0,7
1 1 0,7 0,3
( 30)
t xy t x t y t xy
t xy
t txy xy
T
q q q q
q q q q q
q noextinción p
p p p p p
q p
t qF
= + −
= + − = − + − −
= − = −
= + − = + − =
= − = − =
= = +
40,50
30 50 30 40,50 (1 0,5) (1 0,4) 0,3
( 30) 0,8T
q q
tF− = − + − − =
= =
Función de densidad de la vida residual conjuntaderivando
Como en base a tanto instantáneo de mortalidad
Conocemos que el tanto instantáneo de mortalidad conjuntoes igual a la suma de los tantos instantáneos individuales
a)Establecer la función de probabilidad de supervivencia conjunta para un individuos de 40 y otro 50 , en base a ella volver a hallar la probabilidad de quevida residual conjunta sea inferior a 10 años, con Si l(x)=100-x para 0<x<100
40 50
2
40 50
30 40,
40,50
50
2
( ) 100 ( ) 1( ) 100 100
1 1 1 1100 40 60 100 50 50
· 1 · 1 160 50 60 50 3000
3300 90030 13000 3000
1 1,1 0
11013000 300
30
,
t x
t
t t
t t
l x t x t tpl x x x
t t t tp p
t t t t tp p
pt t t
p
si
+ − += = = −
− −
= − = − = − = −− −
= = − − = − − + =
= → = − + =
=
−
− +
= +
40,5040,50 40,500,2 1 1 0,2 0,8 ( 30)t t Tq p tF= ⇒ = − = − = = =
Tanto instantáneo conjunto en función de la probabilidad de supervivencia conjunta
b) En base a la función de supervivencia conjunta para individuos de 40 y 50 años,de antes, calcular el tanto instantáneo para t=30
2
40,50
40,50
2 240,50
11013000 3000
110 2( ) 110 23000 3000(40,50)3000 110 3000 1103000 3000 3
0
000110 60 5030 (40 ,50 )
3000 3300 900 60,08333 (40 )
0(50 )
t
t
t
t tp
d tp tdtt tp t t
si t t t t t
µ
µ µ µ
= − +
− − + −= − = =
− +− +
−= + + = = += +
++=
−
c) Comprobar que para t =30
recordemos que l(x)=100-x 0<x<100
( ) 1 1( )( ) 100 100
1 1 1( ) (40 )100 100 40 60
1 1(50 )100 50 50
(40 ,50 ) (40 ) (50 ) 301 1 1 1(40 ,50 ) 0,08333
60 50 30 20
l xx para un incremento de tl x x x
x t así tx t t t
t conjuntat t
t t t t si t
t tt t
µ
µ µ
µ
µ µ µ
µ
′ −= − = − = ⇒
− −
+ = + = =− − − − −
+ = =− − −
+ + = + + + =
+ + = + = + =− −
Tanto instantáneo y probabilidad de disolución en función de la función de cohorte
d) En base a la expresión anterior calcular la probabilidad de quela vida residual conjunta sea inferior a 30 años ( otra vez)
( ) ( )
40,50
30
40,50 40,500
30 30
40 500 0
30
0
( 30) ·( (40 ) (50 )
1 1· · ( (40 ) (50 ) 1 · 160 50 60 50
50 60 11 · 1 6060 50 60 · 50 60·50
t tT
t t
t q p t t dt
t tp p t t dt dtt t
t t t t dtt t
F µ µ
µ µ
= = = + + + =
= + + + = − − + = − −
− + − = − − = − − −
∫
∫ ∫
∫ ( ) ( ) ( ) ( )30
0
3030 30
00 0
50 60· 5060 · 50
1 1 1 12(50 60 ) (110 2 ) ·2400 0,860·50 3000 3000 3000
110
t tt t dtt t
t t dt t dt t t
− + −− = − −
− + − = − = = =
∫
−∫ ∫
( ) 100 ( ) 1( ) 100 100t x
l x t x t tpl x x x+ − +
= = = −− −
1 1 1( ) (40 )100 100 40 60
1 1(50 )100 50 50
x t así tx t t t
tt t
µ µ
µ
+ = + = =− − − − −
+ = =− − −
Recordemosque antes
Vida residual conjunta hasta la extinción
Variable aleatoria = tiempo resta hasta la extinción del grupo
Máximo de los tiempos hasta el fallecimiento De los individuos , x, y , z……
Si x fallece dentro de 3 años e y dentro de 7T(x)=3 y T(y)=7 ; tiempo hasta disolución será 3, Hasta la extinción 7.Lo que sirve sumando sirve multiplicando, lógicamente
Función de distribuciónProbabilidad de que la extinción se produzcaantes de t
Probabilidad de que la vida residual conjunta hasta la extinción sea menor que t
Conociendo que l(x)=100-x 0<x<100 , dos individuos de 40 y 50 años, probabilidad de que el grupo se extinga antes de 30 años
( ) 100 ( ) 1( ) 100 100t x
l x t x t tpl x x x+ − +
= = = −− −
si l(x)=100-x 0<x<100
30 50
30 40
( ) 100 ( ) 301 1 0,6 0,4( ) 100 50
( ) 100 ( ) 301 1 0,5 0,5( ) 100 60
l x t x tpl x x
l x t x tpl x x
+ − += = = − = − =
−+ − +
= = = − = − =−
30 50 30 50
30 40 30 40
30 40 30 50,, 40,50
0,4 1 0,4 0,60,5 1 0,5 0,5
( ) · · 0,3 (30)t t x t yx yx y
p qp q
t q q q q qF F
= → = − == → = − =
= = = = =
Ya calculado en pag 5
Función de densidad del tiempo hasta la extinción ovida residual hasta la extinción
Derivando la función de distribución
Esperanza de vida conjunta hasta la disolución
Es la esperanza de la variable vida residual hasta la disolución, tiempo medio tarda en disolverse, tiempo tardará por término medio en fallecer el primero
[ ] · ( )E x x f x dx∞
−∞
= ∫Recordemos que en términos generales
En nuestro caso
O bien en base a cantidad de vida y cohorte
Conociendo que l(x)=100-x 0<x<100 , dos individuos de 40 y 50 años, Hallar la esperanza de vida hasta la disolución
infinito actuarial- max(x,y..)∞ =
Recordemosque antes
( ) 100 ( ) 1( ) 100 100t x
l x t x t tpl x x x+ − +
= = = −− −
1 1 1( ) (40 )100 100 40 60
1 1(50 )100 50 50
x t así tx t t t
tt t
µ µ
µ
+ = + = =− − − − −
+ = =− − −
( ) ( )
100 (max( , )
40,5040,500
50 50
40 500 0
50
0
. ·( (40 ) (50 )
1 1·· · ( (40 ) (50 ) · 1 · 160 50 60 50
50 60 1. 1 · 160 50 60 · 50 60·5
x y
t
t t
t p t t dt
t tt p p t t dt t dtt t
t t t tt dtt t
e µ µ
µ µ
−
= + + + =
= + + + = − − + = − −
− + − = − − = − −
∫
∫ ∫
∫ ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
50
0
50 50 502
0 0 050
0
50 60. 60 · 500 60 · 50
1 1 1(50 60 ) .(110 2 ) (110 2 )60·50 3000 3000
2 31 1 1137500 83333,3 ·54166,66 18,055
3000 3000 3000110 2
2 3
t tt t t dtt t
t t dt t t dt t t dt
t t
− + −− − = − −
− + − = − = − =
= − = =
∫
∫ ∫ ∫
−
Esperanza de vida conjunta abreviada
Esperanza de vida conjunta completa
Esperanza de vida conjunta hasta la extinción
Es la esperanza de la variable vida residual hasta la extinción, tiempo medio tarda en extinguirse, tiempo se tardará por término medio en fallecer todos
Recordemos que en términos generales [ ] · ( )E x x f x dx∞
−∞
= ∫
En nuestro caso
O bien
Lo que nos lleva a :
Conociendo que l(x)=100-x 0<x<100 , dos individuos de 40 y 50 años, Hallar la esperanza de vida hasta la disolución
( ) ( )
100 (max( , )
40,5040,500
50 50
40 500 0
50
0
. ·( (40 ) (50 )
1 1·· · ( (40 ) (50 ) · 1 · 160 50 60 50
50 60 1. 1 · 160 50 60 · 50 60·5
x y
t
t t
t p t t dt
t tt p p t t dt t dtt t
t t t tt dtt t
e µ µ
µ µ
−
= + + + =
= + + + = − − + = − −
− + − = − − = − −
∫
∫ ∫
∫ ( ) ( ) ( ) ( )50
0
50 50 502
0 0 050
0
50 60. 60 · 500 60 · 50
1 1 1(50 60 ) .(110 2 ) (110 2 )60·50 3000 3000
2 31 1 ·54166,66 18,05
3000 3000110 2
2 3
t tt t t dtt t
t t dt t t dt t t dt
t t
− + −− − = − −
− + − = − = − =
= =
∫
∫ ∫ ∫
−
Ya hemos calculado antes
100 (max( , )
40,5040,500
60 60
40400 0
60
60 60
0 00
50
50500
. ·( (40 ) (50 ) 18,05
1·· · (40 ) · 1 ·60 60
260 1 1 1 1800. · 30
60 60 60 60 60
·· ·
2
x y
t
t
t
t p t t dt
tt p t dt t dtt
tt dt tdtt
t p
e
e
t
e
µ µ
µ
−
= + + + =
= + = − = −
− = = = = = −
=
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫50
050
50 50
0 00
40,50 40 50 40,50
1(50 ) · 1 ·50 50
250 1 1 1 1250. · 25
50 50 50 50 50
30 25 18,05 36,95
2
tt dt t dtt
tt dt tdtt
t
e e e e
µ + = − = −
− = = = = = −
= + − = + − =
∫
∫ ∫
a)Comprobemos con esperanza de vida para una persona de 40 añosb)Comprobemos con esperanza de vida conjunta hasta disolución de una pareja de 40 y 50 años
60
60 60 60
40400 0 0 0
0
21 11 (60 ) 30
60 60 6060
2t x tx
tp dt p dt dt t dttte e
∞
= = = = − = − = =
−∫ ∫ ∫ ∫
exy
ex
ex
50
0
2 3275000 125000
50 50 45, 833 13, 8886000 6000
50
50 50 2
40,50, 40,500 0
0
2 3110· · (1 )3000 3000
18,05110·
6000 9000
110·2·3000 3·3000
tx y
t tp dt dt
t tt
t tte e
= − + = − +
= = = − + = =
= =− +
− +∫ ∫