diseÑo Óptimo de muros tablestacados anclados

DISEÑO ÓPTIMO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS

JOSE LUIS VELASCO CADAVID

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL

FEBRERO, 2004

DISEÑO ÓPTIMO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS

JOSE LUIS VELASCO CADAVID

Tesis como requisito para optar al título de Magíster en Ingeniería Civil

ASESOR:

PhD Mauricio Sánchez Silva

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVIL Y AMBIENTAL

FEBRERO, 2004

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES MIC 2004-I-78

1

ÍNDICE GENERAL

CAPÍTULO I ........................................................................................................................ 9 ASPECTOS GENERALES ............................................................................................... 10 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 11 1.1 USO DE LOS MUROS TABLESTACADOS ............................................................ 12 1.2 TIPOS COMUNES DE TABLESTACAS.................................................................. 12

1.2.1 TABLESTACAS DE ACERO................................................................................ 13 1.3 TABLESTACAS ANCLADAS.................................................................................... 14 1.4 GUÍA DE DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS..................... 15 1.5 PRESIÓN LATERAL ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS........ 16

1.5.1 PRESIÓN DE TIERRAS ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS..17 1.5.2 PRESIÓN DEBIDA AL DESBALANCE EN EL NIVEL FREÁTICO Y A LA INFILTRACIÓN DEL AGUA......................................................................................... 19

1.6 DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS....................................... 21 1.6.1 DISEÑO DE TABLESTACADAS ANCLADAS MEDIANTE EL MÉTODO DEL EXTREMO LIBRE .......................................................................................................... 22

1.7 CUÑAS Y ANCLAJES ................................................................................................ 24 1.7.1 CAPACIDAD DEL PESO MUERTO .................................................................... 27 1.7.2 LOCALIZACIÓN DEL ANCLAJE........................................................................ 30

1.8 DISEÑO TRADICIONAL DE UN MURO TABLESTACADO.............................. 32 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 41 CAPÍTULO II ..................................................................................................................... 42 ASPECTOS GENERALES ............................................................................................... 43 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 44 2.1 CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL ........................................................................ 45

2 .1.1 ESTADOS LÍMITES ............................................................................................. 45 2.1.1.1 Definición de Falla: .......................................................................................... 45 2.1.1.2 Funciones de Estado Limite: ............................................................................ 47

2.1.2 PROBABILIDAD DE FALLA ............................................................................... 49 2.1.2.1 Espacio de las Variables de Estado: ................................................................. 52

2.1.3 INDICE DE CONFIABILIDAD............................................................................. 53 2.1.3.1 Definición del Índice de Confiabilidad ............................................................ 54 2.1.3.2 Índice de Confiabilidad Primer Orden y Segundo Momento ........................... 56

2.2 OPTIMIZACIÓN ......................................................................................................... 56 2.2.1 Estructuras Óptimas................................................................................................. 57 2.2.2 El modelo de renovación ......................................................................................... 60 2.2.3 Falla por completo debido a cargas invariantes en el tiempo.................................. 60

2.3 MÉTODOS DE MONTE CARLO.............................................................................. 61 2.3.1 Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos ............................. 62 2.3.2 Generación de números aleatorios con una distribución normal estándar .............. 62 2.3.3 Generación de números aleatorios normalmente distribuidos................................. 63 2.3.4 Generación de números aleatorios distribuidos Lognormalmente .......................... 63 2.3.4 Procedimiento general para generar números aleatorios a partir de distribuciones arbitrarias .......................................................................................................................... 64 2.3.5 Precisión de la estimación de la probabilidad ......................................................... 64 2.3.6 Simulación de números aleatorios correlacionados................................................. 65


2

2.3.7 Variables correlacionadas distribuidas arbitrariamente........................................... 69 2.4 ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE ............................................................... 70

2.4.1 Interpretación del modelo........................................................................................ 72 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 75 CAPÍTULO III ................................................................................................................... 77 ASPECTOS GENERALES ............................................................................................... 78 OBJETIVOS ....................................................................................................................... 79 3.OPTIMIZACION DE UN MURO TABLESTACADO ANCLADO.......................... 80

3.1 Modelo Probabilístico ................................................................................................ 80 3.2 Optimización de la profundidad de empotramiento de la tablestaca.......................... 82 3.3 Optimización del área de acero de los anclajes .......................................................... 86 3.4 Optimización del modulo de sección de la tablestaca ................................................ 90 3.5 Optimización de la altura del peso muerto ................................................................. 93 3.6 Optimización de la longitud de los anclajes ............................................................... 96 3.7 Análisis comparativo entre el diseño tradicional y el diseño óptimo probabilístico.. 98 3.8 Optimización de múltiples variables ........................................................................ 100


3

OBJETIVO

El objetivo de esta tesis radica en aplicar las técnicas modernas de optimización al diseño

de muros tablestacados anclados, para así poder realizar un diseño que tenga en cuenta la

incertidumbre de las variables geotécnicas, de los materiales estructurales , y que además

produzca un diseño óptimo a partir de la maxificación de la relación beneficio - costo.

Para lograr este objetivo es necesario realizar un modelo probabilístico del muro, plantear

la ecuación de beneficio en torno a los parámetros de optimización, y hallar el punto que

produce el mayor beneficio, una vez se tienen las coordenadas de este punto es menester

comparar el diseño óptimo con el tradicional para así poder realizar un análisis comparativo

y poder determinar las bondades del diseño óptimo.


4

NOMENCLATURA

As = Área transversal del acero

B( ) = función de beneficio

C( ) = Costo del diseño y la construcción de la estructura

C0 = Costo Inicial

Ca = Coeficiente de presión activa

cnorm( ) = Función de densidad acumulada de la distribución normal

Cp = Coeficiente de presión pasiva

D = Profundidad de empotramiento de la tablestaca

D( ) = Costo de la falla

dx = Diferencial de distancia

E[ ] = Valor esperado

f´c = Resistencia máxima del concreto a compresión

FDP = Función de densidad de probabilidad

Fy = Resistencia del acero a la fluencia

g( ) = Función de estado limite

h1 = Porción del suelo de relleno que se encuentra sumergida

h2= Ubicación del anclaje medida desde la parte superior del relleno

Hm = Altura del peso muerto

hw = Porción del suelo de relleno que se encuentra por encima del nivel freático

L = Longitud de los anclajes

M = Momento

p = vector de parámetros de optimización


5

Pa = Presión activa de tierras

Pf = Probabilidad de falla

Ph = Presión horizontal

Pp = Presión pasiva de tierras

Q = Solicitación

R = Resistencia

S = Módulo de sección de la tablestaca

s = Separación de los anclajes

V = Coeficiente de variación

Z( ) = Función de beneficio neto, función objetivo

Zx = Variable Normalizada de x

â = Índice de confiabilidad, porcentaje de utilidad

ã = Tasa de descuento

ãc = Densidad del concreto

ãs = Densidad del suelo

ì = media

ó = Desviación estándar

Ö( ) = Función de densidad acumulada de la distribución normal

φ = Angulo de fricción interna


6

LISTA DE TABLAS

• Tabla 1.1 Pesos Unitarios de suelos granulares y coeficientes de presión de tierras.

• Tabla 1.2 Parámetros de diseño.

• Tabla 1.3 Resumen diseño estructural.

• Tabla 3.1. Parámetros de las variables aleatorias.

• Tabla 3.2. Parámetros determinísticos.

• Tabla 3.3. Variables de optimización.

• Tabla 3.4 Funciones de costo para la optimización de la profundidad de

empotramiento.

• Tabla 3.5 Funciones de costo para la optimización del área de acero de los anclajes.

• Tabla 3.6 Funciones de costo para la optimización del módulo de sección de la

tablestaca.

• Tabla 3.7 Funciones de costo para la optimización de la altura del peso muerto.

• Tabla 3.8 Funciones de costo para la optimización del la longitud de los anclajes.

• Tabla 3.9 Tabla comparativa entre ambas metodologías.

• Tabla 3.10 Funciones de costo para la optimización múltiple.


7

LISTA DE FIGURAS

• Figura 1.1 Secciones comunes de tablestacas.

• Figura 1.2 Diagrama general muro tablestacado con anclaje pasivo.

• Figura 1.3 Ángulo de fricción del muro.

• Figura 1.4 (a) Presión desbalanceada del agua; (b)reducción promedio del peso

unitario.

• Figura 1.5 Diseño de tablestacas ancladas en suelos granulares mediante el método

del extremo libre.

• Figura 1.6 Diseño de tablestacas ancladas en suelos cohesivos mediante el método

del extremo libre.

• Figura 1.7 Peso muerto corto cerca a la superficie.

• Figura 1.8 Peso muerto continuo cerca de la superficie.

• Figura 1.9 Peso muerto a gran profundidad.

• Figura 1.10 Localización del peso muerto: (a) No ofrece resistencia; (b)Eficiencia

reducida; (c)Máxima capacidad.

• Figura 1.11 Geometría básica del muro tablestacado

• Figura 1.12 Distribución de presiones sobre la tablestaca en kN/m2.

• Figura 2.1 Funciones de Probabilidad de Densidad de carga, resistencia y margen de

seguridad.

• Figura 2.2 Funciones de densidad de probabilidad de demanda Q y resistencia R.

• Figura 2.3 Dominio Seguro y de la falla en un espacio de dos dimensiones.

• Figura 2.4 Índice de Confiabilidad definido como la perpendicular desde el origen

hasta la recta.


8

• Figura 2.5 Función Objetivo.

• Figura 3.1 Probabilidad de falla a la rotación en función de la profundidad de

presión pasiva d.

• Figura 3.2 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en

términos de la profundidad de empotramiento.

• Figura 3.3 Probabilidad de falla de los anclajes en función del área de acero de los

mismos.


términos del área de acero de los anclajes.

• Figura 3.5 Probabilidad de falla a flexión de la tablestaca en función del modulo de sección.


términos del módulo de sección de la tablestaca..

• Figura 3.7 Probabilidad de falla por deslizamiento del peso muerto en función de su

altura.


términos de la altura del peso muerto.

• Figura 3.9 Función de probabilidad de falla en términos de la longitud de los

anclajes.


términos de la longitud de los anclajes

• Figura 3.11 gráfica de los residuos entre el valor real y el predecido.


9

CAPÍTULO I

DISEÑO DETERMINÍSTICO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS


10

ASPECTOS GENERALES

Los muros tablestacados son un tipo muy común de estructuras de retención de tierras,

utilizados en construcciones urbanas y portuarias, conformados por tablestacas que se

hincan sobre el suelo. La estabilidad de estos muros se deriva de la profundidad a la que se

enclavan las tablestacas, y en el caso de muros de gran altura, de la combinación entre

anclajes y la profundidad de penetración de la tablestaca.

El análisis de los muros tablestacados tiene una naturaleza altamente indeterminada debido

a que un gran número de factores afectan los esfuerzos y la estabilidad del muro

tablestacado. En la realización de este documento no se pretende avanzar en la teoría del

cálculo estructural y geotécnico de estos muros, se pretende realizar una análisis conforme

a la práctica común de la ingeniería y comparar las virtudes del diseño probabilístico

óptimo sobre el diseño tradicional.


11

OBJETIVOS

Los objetivos específicos de este capítulo son:

• Resaltar la alta incertidumbre que existe en el análisis y diseño de muros

tablestacados anclados.

• Definir una metodología coherente con la práctica común de la ingeniería para

diseñar muros tablestacados anclados.

• Realizar el diseño de un muro tablestacado anclado común, con el fin de poder

comparar los resultados con los obtenidos mediante el diseño óptimo

probabilístico.

• Plantear la teoría y ecuaciones con las que se realizará el diseño óptimo

probabilístico.


12

1.1 USO DE LOS MUROS TABLESTACADOS

Un muro tablestacado consiste en una serie de tablestacas clavadas una contra otra dentro

del terreno formando un muro vertical continuo con el propósito de retener un banco de

tierra. Los muros tablestacados son utilizados comúnmente para:

1. Construcción de obras en contacto con el agua, en donde la construcción de otro

tipo de obras requiere que se desvié el agua.

2. Construcciones temporales debido al alto valor de salvamento de las tablestacas.

3. Construcciones livianas donde el subsuelo no puede soportar los muros de

contención.

4. Construcciones urbanas en donde debido al poco espacio disponible no se pueden

construir las cimentaciones de los muros de contención

Debido a estas ventajas, los muros tablestacados son comunes en puertos, construcciones en

centros de conservación y astilleros. No se utilizan cuando se requieren muros muy altos

debido a su poca rigidez a la flexión, y no son viables cuando se tienen estratos rocosos que

no permiten la penetración de la tablestaca.

1.2 TIPOS COMUNES DE TABLESTACAS

Las tablestacas son elementos prefabricados que se hincan verticalmente dentro del terreno

para formar un muro. Hay una gran variedad de tablestacas, se utilizan desde tablestacas

livianas en madera o láminas de acero, hasta tablestacas pesadas elaboradas en concreto o


13

elementos estructurales de acero. Las características de las tablestacas de acero se

mencionan a continuación.

1.2.1 TABLESTACAS DE ACERO

Las tablestacas de acero son elementos conformados por láminas de acero, con conectores

que permiten unirlos ente si. Existe una gran variedad de tablestacas en acero; las secciones

Estadounidenses son las que se utilizan normalmente en proyectos de construcción pesada,

estas se dividen según los tipos de conectores, el tipo de dedo y pulgar y el tipo de bola y

cuenca.

Sin embargo los conectores tienen distintas formas que varían según el fabricante, es por

esto que cuando en la construcción de un proyecto se pretende realizar un cambio de

sección se debe tener toda la información del tipo de conector con el fin de chequear la

compatibilidad.


14

Figura 1.1 Secciones comunes de tablestacas

1.3 TABLESTACAS ANCLADAS

Las tablestacas ancladas son muros que derivan una parte de su soporte contra la presión

de tierra actuante mediante el empotramiento de parte de su sección en el terreno, al igual

que un muro en voladizo, y parte de esta mediante anclajes que se ubican cerca de su parte

superior. Este tipo de muros es aconsejable para muros moderadamente altos. Para muros

de más de 10 metros se aconseja colocar dos o más anclajes con el fin de disminuir la

profundidad de penetración de la tablestacas y los esfuerzos por flexión.


15

1.4 GUÍA DE DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS

El procedimiento para diseñar muros tablestacados anclados se menciona a continuación,

cada uno de los pasos nombrados se explicará más adelante.

1. Ensamblar la información general. Esto implica obtener la topografía del lugar

donde se construirá la tablestaca e identificar las dimensiones que controlarán el

diseño como los son la altura del relleno de suelo, la altura de la línea de desagüe, el

nivel máximo del agua, el régimen de las mareas y el nivel mínimo del agua.

2. Analizar las condiciones del subsuelo. Se debe determinar mediante la realización

de un estudio de suelos las propiedades mecánicas del subsuelo, la resistencia al

corte de cada estrato debe ser determinada a partir del ensayo de penetración

estándar para los suelos granulares y el esfuerzo de compresión inconfinada debe

determinarse para los suelos cohesivos. La reducción en la presión tiende a reducir

la resistencia de los suelos al corte, para este caso el ensayo de compresión

inconfinada da resultados inseguros y se deben realizar ensayos adicionales de

laboratorio para predecir este comportamiento del suelo. Adicionalmente se debe

determinar el perfil del suelo mediante perforaciones del suelo que deben

prolongarse hasta que se encuentre una capa de suelo los bastante resistente o un

lecho rocoso. En este perfil se debe dibujar la posible tablestaca y el relleno de suelo

que se piensa utilizar(ver figura 1.2).

3. Seleccionar el tipo de muro a utilizar, tablestaca sola o tablestaca anclada.

4. Calcular la presión de tierras y la presión por sobrecargas.

5. Determinar la penetración de la tablestaca.

6. Determinar el esfuerzo de flexión sobre la tablestaca y diseñar la tablestaca.


16

Línea de desagüe

TablestacaAnclaje

Muerto

7. Diseñar los anclajes.

8. Diseñar el peso muerto o el bulbo donde se anclarán los anclajes.

Figura 1.2 Diagrama general muro tablestacado con anclaje pasivo.

1.5 PRESIÓN LATERAL ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS

Un muro tablestacado puede verse sometido a alguno de los siguientes tipos de presión

lateral:

• Presión de Tierra: Activa y pasiva.

• Presión lateral debida a una sobrecarga

• Presión debida a un desbalance de presiones de agua o por presiones de infiltración

• Barcos halando o impactos

• Fuerzas sísmicas, presión de olas etc.

El procedimiento para el cálculo de la presión de tierras, el desbalance de presiones de agua

y la infiltración se discutirán más adelante, las demás fuentes de presiones laterales no se


17

explican debido a que pertenecen a condiciones extremas que aplican a diseños

particulares.

1.5.1 PRESIÓN DE TIERRAS ACTUANTE SOBRE MUROS TABLESTACADOS

La presión de tierras actuante sobre los muros tablestacados no puede ser calculada

mediante los métodos clásicos (Rankine, Coulomb, etc.), dado que los métodos clásicos se

basan en la condición de que el muro falla lateralmente, por deslizamiento o por rotación

alrededor de la base del muro, esto con el fin de suponer que el suelo desarrolla totalmente

su esfuerzo de corte. Esta condición es cumplida para la mayoría de los muros sin embargo

los muros tablestacados se soportan de manera diferente y son más flexibles, lo que

conlleva a que fallen de manera diferente a la mayoría de los muros de contención. Un

muro tablestacado anclado, bajo la acción de la deflexión elástica del muro, se pandeará, o

se deflectará más en un punto ubicado entre los anclajes y el nivel de desagüe del suelo que

en las demás partes del muro. La distribución de presiones es altamente influenciada por la

elongación de los anclajes y por la penetración de la tablestaca.

La presión de tierras contra la tablestaca puede ser determinada mediante teorías que tienen

en cuenta las condiciones de deformación del muro. Sin embargo este procedimiento es

dispendioso y solamente es recomendado para proyectos de gran envergadura. En la

práctica común de la ingeniería se han desarrollado métodos empíricos y semi-empíricos

para aplicar la teoría clásica a los muros tablestacados. La teoría de Coulomb ha sido

empleada para determinar las presiones pasivas y activas de tierras contra la tablestaca , sin

embargo esta teoría conlleva en algunos casos a valores altos de la presión pasiva de tierras


18

y debe ser utilizada conservadoramente. Los valores del ángulo de fricción del suelo ö y el

ángulo de fricción del muro ä, recomendado para el c álculo de la presión de tierras se

presentan en la tabla 1.1. Los correspondientes valores de los coeficientes de la presión de

tierras Kp y Ka, se presentan en la misma tabla.

Tabla 1.1 Pesos Unitarios de suelos granulares y coeficientes de presión de tierras. Bowles

J.E. (1998)

Min. Max. Min. Max.

φ δ φ δArena LimpiaDensa 19.4 24.7 11.5 13.7 0.20 38.0 20.0 9.0 38.0 25.0Media 19.4 22.9 10.6 12.0 0.25 34.0 17.0 7.0 34.0 23.0Suelta 15.9 22.0 9.9 11.1 0.35 0.30 30.0 15.0 5.0 30.0 20.0Arena con SedimentosDensa 19.4 26.4 12.3 15.5 0.25 34.0 17.0 7.0 34.0 23.0Media 16.7 22.9 10.6 12.0 0.30 30.0 15.0 5.0 30.0 20.0Suelta 14.1 22.0 8.8 11.1 0.50 0.35 26.0 13.0 3.0 26.0 18.0

Peso Unitario Suelo

SumergidoCoeficiente de Presión Activa

RellenosSuelos

inalteradosÁngulos de

Fricción

γ´ Ka

Tipo de SueloPeso Unitario Suelo Seco

Coeficiente de Presión Pasiva

Suelos inalterados

Ángulos de Fricción

γ Kp

*Unidades en kN/m3 y grados.

Figura 1.3 Ángulo de fricción del muro.

δ (activo)δ (pasivo)


19

1.5.2 PRESIÓN DEBIDA AL DESBALANCE EN EL NIVEL FREÁTICO Y A LA

INFILTRACIÓN DEL AGUA

Los muros tablestacados son ampliamente utilizados en construcciones bajo la acción de el

agua. Cuando la marea o el nivel de un río disminuyen, la tablestaca se encuentra sometida

a la máxima acción de la presión de tierras. Durante una tormenta o un deceso rápido del

nivel agua, puede producirse una diferencia considerativa entre los nivel del agua en ambos

lados de la tablestaca, esta condición de diferencia entre los niveles induce una presión

adicional sobre la tablestaca. Luego el agua residente en el suelo se percola hacia abajo a

través de la parte posterior de la tablestaca y luego hacia arriba en el frente de la tablestaca.

La infiltración que se produce arriba reduce el peso efectivo del suelo, y por consiguiente se

reduce la presión pasiva del suelo. Es por esto que es necesario evaluar el desbalance en la

presión de agua y el efecto de la presión debida a la infiltración en los casos en donde existe

diferencia en los niveles del agua.

(a) ( b)

Figura 1.4 (a) Presión desbalanceada del agua; (b)reducción promedio del peso unitario

efectivo de la cuña pasiva debida a la presión generada por flujo del agua ascendente.

D

Hu

10Hu

PermeableD

Hu

10Hu

Permeable

Impermeable


20

La caída de la altura de la cabeza de agua después del deceso de una marea alta o una

creciente depende primordialmente del relleno utilizado. En arena gruesa o grava, la caída

del nivel es imperceptible, sin embargo en arena fina esta caída puede ser importante. Si se

utiliza un relleno con arcilla o limo, la presión hidrostática neta debe suponerse debajo del

nivel máximo posible de la posición del agua.

El desbalance en la presión de agua debe aproximarse por el trapecio de la figura 1.4 (a),

donde ãw es el peso unitario del agua. Si la permeabilidad del suelo varia de manera

considerable en la dirección vertical, la distribución del desbalance de la presión de agua

debe ser determinada a través de la construcción de un flujo de agua neto.

El peso efectivo del suelo detrás de una tabla estática de agua es el peso sumergido del

mismo; bajo la acción de una infiltración ascendente el peso unitario sumergido se reduce

aproximadamente por la siguiente expresión:

D

Hu×=∆ 5.3´γ (1)

Donde γ´∆ es la reducción del peso unitario sumergido en kN/m3. El peso unitario efectivo

que debe utilizarse en el cálculo de la presión pasiva es (ã´ - γ´∆ );

Hu = es la cabeza desbalanceada de agua en metros;

D = como se muestra en la figura tal.

El efecto de la infiltración hacia abajo del suelo ubicado en la parte posterior de la

tablestaca es muy pequeño y por eso se desprecia.


21

1.6 DISEÑO DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS

La estabilidad externa y los esfuerzos internos de la tablestaca anclada dependen de un gran

número de factores que son relativos a la rigidez de la tablestaca, la profundidad de

penetración de la tablestaca, la compresividad relativa del suelo, la deformación del anclaje,

etc. Cada uno de estos factores afecta de una u otra manera el comportamiento de la

tablestaca. Por ejemplo, una tablestaca hincada a una gran profundidad dentro de un suelo

granular tendrá esfuerzos flectores menores a los que tendría la misma tablestaca hincada a

una menor profundidad, esto debido a que el suelo circundante tiende a prevenir la rotación

de la tablestaca.

Debido a la variedad de factores que afectan el comportamiento de la tablestaca, las

tablestacas se diseñan mediante varios métodos (Bowles J.E, 1998):

• El método del extremo libre

• El método del extremo fijo

• El método de Hansen

• Elementos finitos

Todos estos métodos son validos, sin embargo el que da mejores resultados con el menor

número de cálculos es el método del extremo libre y por eso se utilizara para diseñar la

tablestaca anclada de este documento.


22

1.6.1 DISEÑO DE TABLESTACADAS ANCLADAS MEDIANTE EL MÉTODO

DEL EXTREMO LIBRE

El método del extremo libre, o el método del soporte libre de tierra, se encuentra basado en

los siguientes supuestos:

1. La tablestaca es perfectamente rígida en comparación al suelo que la rodea.

2. La presión actuante sobre la tablestaca puede ser calculada utilizando la teoría de

Rankine o Coulomb.

3. La tablestaca puede rotar, pero no puede desplazarse lateralmente en el nivel de los

anclajes. En el momento de la falla la tablestaca se desplaza hacia fuera rotando a

través del nivel de los anclajes.

Con estas suposiciones, el diseño se convierte en un problema simple de estática. El

procedimiento para el diseño de las tablestacas ancladas en suelos granulares y

cohesivos se discute a continuación.

Suelo granular:

1. Seleccionar los valores apropiados para la presión activa y pasiva

2. Calcular el peso del suelo que se encuentra encima y la sobrecarga que se

encuentra en el nivel de drenaje, ãe h

3. Localizar el punto de presión cero )(

´

ap

ae

pp

khy

−××

=γ

4. Calcular momentos sobre el nivel de los anclajes:


23

0)3

2()(

2

11

21 =×++××−×− DyhDppL tapp (2)

Resolver para D1.

5. Calcular la tensión sobre los anclajes 21)(

2

1DppPT ap ×−×−=

6. Determinar el máximo momento flector en el punto de cortante cero, como en el

caso de un miembro ordinario sometido a flexión

7. Seleccionar la sección de la tablestaca que resista el momento actuante

8. Añadir entre un 20% y un 40% a D1 para proporcionar un factor de seguridad, o

dividir pp por un factor de seguridad de 1.5 o 2.0 en los pasos 3 y 4

Suelo cohesivo:

1. Seleccionar los valores apropiados para la presión activa de tierras pa

2. Calcular el peso del suelo que se encuentra encima y la sobrecarga que se

encuentran en el nivel de drenaje, ãe h

3. Evaluar el esfuerzo de compresión inconfinada qu del suelo cohesivo


24

Figura 1.5 Diseño de tablestacas ancladas en suelos granulares mediante el método del

extremo libre.

4. Calcular momentos sobre el nivel de los anclajes

)2

1()2( DhDhqLP teu +××−− γ (3)

Resolver para D.

5. Calcular la tensión sobre los anclajes DhqPT eu ×−−= )2( γ

6. Determinar el máximo momento en el punto de cortante cero.

7. Seleccionar la sección de la tablestaca que resista el momento actuante

8. Añadir entre un 20% y un 40% a D o utilizar entre un 50% y un 75% de qu

en los pasos 4 y 5.

1.7 CUÑAS Y ANCLAJES

En el sistema de tablestacas ancladas una cuña es un miembro que trabaja a flexión y

soporta la reacción lateral que la tablestaca transfiere a los anclajes. Usualmente consiste en

h1

hw

y

D1

Nivel bajo del agua

γKa

γKah1

γeh

γehKa´

L

γ´Ka

P = Presión de tierras arriba del punto a + otras fuerzas horizontales (excepto T)

(Pp –Pa)D1

a

P p–P a

ht

T= Fuerza en los anclajes


25

un par de perfiles en "C" con el alma en posición horizontal. Para tablestacas de gran altura,

las canales deben reforzarse con platinas, además se les debe proveer la suficiente

separación del extremo del anclaje para que la transmisión de la fuerza sea efectiva.

Los anclajes son barras circulares o cuadradas hechas de acero estructural , los cables no

son aconsejables para construcciones permanentes dado que ofrecen muy poca resistencia

ante cargas laterales y de compresión.

Figura 1.6 Diseño de tablestacas ancladas en suelos cohesivos mediante el método del

extremo libre.

En la mayoría de los casos, las cuñas son elementos que trabajan a flexión pura y los

anclajes son elementos que trabajan a tracción pura, si los anclajes se construyen a un

ángulo diferente de 90º con la tablestaca, las cuñas se encuentran sometidas a una

combinación de esfuerzo axial y de flexión. El esfuerzo axial es causado por la componente

D

Pa

γeh

P = Fuerza horizontal total(excepto T)

ht

T= Fuerza en los anclajes

L

2qu-γeh

Línea de desagüe


26

de la tensión sobre el anclaje que es paralela a la cara de la tablestaca; en este caso debe

existir una conexión positiva entre la cuña y los anclajes para transmitir el esfuerzo axial. El

diseño de los anclajes y de las cuñas es bastante elemental, solo se deben chequear los

esfuerzos admisibles sobre los mismos, es por eso que solo se discute la localización de

ambos elementos y la naturaleza de la tensión sobre los anclajes.

A. Localización de las cuñas. Las cuñas son los elementos que se colocan en la parte

exterior o interior de la tablestaca para fijar los anclajes a la misma. A no ser que se desee

una tablestaca con la cara nivelada, la localización más económica de las cuñas es sobre el

nivel más bajo del agua y por fuera de la tablestaca. Cuando las cuñas se colocan arriba del

nivel más bajo del agua se les debe de proveer de drenajes y deben pintarse para protegerlas

de la corrosión.

B. Soporte de los anclajes. Si existe un suelo blando debajo de los anclajes, aún a una

gran profundidad, este se consolidará bajo el peso del relleno y hará que el suelo se asiente.

Un asentamiento pequeño puede causar que el anclaje se hunda bajo el peso del suelo que

se encuentra sobre el, para eliminar los esfuerzos que produce este hundimiento, alguno de

estos métodos se puede utilizar:

1. Soportar los anclajes con pilotes verticales a intervalos entre 6 y 9 metros. Estos

pilotes deben cimentarse sobre suelo firme debajo de la capa compresible.

2. Instalar un tubo largo, y dentro de él colocar el anclaje, de tal forma que el diámetro

interior del tubo sea mayor al asentamiento máximo esperado, de esta manera el tubo se

hundirá con el suelo y el anclaje no sufrirá ningún esfuerzo.

C. Tensión sobre los anclajes. Los anclajes frecuentemente se ven sometidos a una

tensión mayor a la calculada por el método del extremo libre. Para efectos de diseño la


27

tensión se incrementa al menos en un 30% para el anclaje y entre un 50% y un 100% para

el diseño de conexiones y uniones donde un cambio abrupto en la sección transversal

introduce concentraciones de esfuerzos.

1.7.1 CAPACIDAD DEL PESO MUERTO

Los "muertos" (vigas de anclaje, bloques de anclaje, o platinas de anclaje) pueden ser

construidos cerca de la superficie del suelo o a una gran profundidad, y, en distancias cortas

o vigas continuas. La capacidad en cada caso para la fuerza horizontal se discute a

continuación.

1.7.1.1 Peso muerto continuo cerca de la superficie del suelo. Un peso muerto continuo

es aquel cuyo largo es mayor que su profundidad. Si la profundidad del muerto h es menor

un tercio de la profundidad H, figura tal, la capacidad puede ser calculada suponiendo que

la parte superior del peso muerto se extiende hasta la superficie. Entonces la siguiente

ecuación se vuelve cierta:

apult PPT −= (4)

donde Tult = capacidad ultima del peso muerto, kN/m

Pp = Presión total pasiva de tierras, kN/m

Pa = Presión total activa de tierras, kN/m


28

La magnitud de Pp y Pa pueden ser determinadas mediante la teoría clásica de presión de

tierras, como se muestra en la figura 1.8(b), haciendo el supuesto de que la fricción y la

adhesión entre el peso muerto y el suelo es cero. Para un peso muerto en suelo cohesivo, la

distribución de Pp y Pa inmediatamente después de la aplicación de la tensión del anclaje se

refiere a la presión inicial, y se muestra en la figura 1.8 (c). Debe notarse que la presión

activa de tierras, se asume como cero a una profundidad = 2c/ã , que es la profundidad de

las fisuras de tensión. A través del paso del tiempo, la magnitud y distribución de la presión

de tierras tiende a cambiar de manera lenta, ante la falta de información en este sentido, el

peso muerto en suelos cohesivos debe ser diseñado con un factor de seguridad

conservativo.

Figura 1.7 Peso muerto corto cerca a la superficie.

1.7.1.2 Peso muerto corto cerca a la superficie. La figura 1.7 muestra un peso muerto

con una longitud L sometido a una tensión T. Experimentos han demostrado que durante el

momento de la falla se forma una cuña en el suelo que es mayor a la longitud del peso

muerto. La resistencia al deslizamiento a través de la superficies curveadas de la cuña es

indudablemente menor a la resistencia a lo largo de las superficies verticales. La presión

total de tierras en el suelo granular es:

a

e

x

dx

H

HKp0.5 HKa

0.5

Superficie del terrenob

Cuña pasiva Cuña Activa

xγk0


29

∫ +=−H

apa HKKKKdxKHH

XH

0

300 )(

6

1))(( γγ (5)

Entonces la capacidad última de un peso muerto corto en suelo granular cerca de la

superficie es :

ϕγ tan)(3

1)( 3

0 HKKKPPLT apapult ++−≤ (6)

Donde L = es la longitud del peso muerto en metros;

Pp , Pa = Presión pasiva y activa de tierra en kN / m;

Ko = Coeficiente de presión de tierras en descanso. Debe tomarse como 0.4 para diseñar el

peso muerto;

ã = Peso unitario del suelo, kN/m3;

Kp , Ka = Coeficientes de presión pasiva y activa de tierras;

H = Altura del peso muerto;

ö = Ángulo de fricción interna

En suelo cohesivo el segundo término de la ecuación tal debe reemplazarse por la

resistencia cohesiva, entonces:

2)( HqPPLT uapult +−≤ (7)

Donde qu es la resistencia inconfinada del suelo.

1.7.1.3 Peso Muerto a gran profundidad. La capacidad última del peso muerto a una

gran profundidad por debajo de la superficie del suelo (h > H Figura 1.9 es

aproximadamente igual a la capacidad portante de una zapata cuya base se encuentra

localizada a una profundidad correspondiente a la mitad de la altura del peso muerto.


30

(a)

(b) (c)

Figura 1.8 Peso muerto continuo cerca de la superficie.

1.7.2 LOCALIZACIÓN DEL ANCLAJE

El anclaje es inútil si se localiza dentro de la superficie de deslizamiento del suelo de

relleno, ver figura 1.10 (a). La capacidad del peso muerto se ve afectada si se localiza en un

suelo inestable, o si la superficie de falla del suelo interfiere con la cuña pasiva enfrente del

peso muerto, figura 1.10 (b), en este caso la reducción de la capacidad del peso muerto

debe ser determinada.

TFuerza anclaje

h

H

Peso muerto

Superficie del terreno

Cuña activa

Cuña pasiva

Suelo Granular

PaPp

P p=γ

K p

Pa =γK

a H

Pa

Pp

Suelo Cohesivo(Presión Inicial)

2C = qu

2C/γ


31

Figura 1.9 Peso muerto a gran profundidad.

El anclaje no debe construirse en un suelo inestable. La capacidad del peso muerto es

efectiva cuando:

1. La superficie de deslizamiento del relleno no interfiere con la cuña pasiva que se

forma en la parte frontal del peso muerto.

2. El peso muerto es localizado detrás de la línea pendiente que comienza desde la

parte inferior de la tablestaca y forma un ángulo ö con la horizontal, siendo ö el

ángulo de fricción interna del suelo.

Para satisfacer estos requisitos el peso muerto debe localizarse en el área formada por la

líneas ae y bc de la figura 1.10 (c).

(a)

Superficie de deslizamiento

45º + φ/2

h

T H

Peso Muerto

h+H/2

H

T

Zapata


32


φ

b

c

d

a

45º - φ/2

(b) (c)

Figura 1.10 Localización del peso muerto: (a) No ofrece resistencia; (b)Eficiencia

reducida; (c)Máxima capacidad.

1.8 DISEÑO TRADICIONAL DE UN MURO TABLESTACADO

A continuación se presenta el diseño tradicional de un muro tablestacado, esto con el fín de

comparar los resultados de dicho diseño con los obtenidos mediante el diseño óptimo

probabilístico.

Para el diseño del muro tablestacado se tomaron en cuenta los parámetros mostrados en

tabla 1.2:

Tabla 1.2 Parámetros de diseño.

PARÁMETRO VALOR

h1 5.0 m

h2 1.0 m

hw 1.5 m

s 2.5 m

Fy 250 MPa


45º + φ/2


33

Parámetro Valor

Fyanclaje 420MPa

ãs1 18 kN/m3

ãs´1 10 kN/m3

ö1 25º

ãs´2 11 kN/m3

ö2 30º

Donde h1 es la porción del suelo de relleno que se encuentra sumergida, h2 es la ubicación

del anclaje medida desde la parte superior del relleno y hw es la medida de la porción del

suelo de relleno que se encuentra por encima del nivel freático. La variable s es la

separación de los anclajes de la tablestaca, se selecciono un valor característico para

proyectos de este tipo, el parámetro Fy es el esfuerzo de fluencia del acero de la tablestaca

en MPa y la variable Fyanclaje es el esfuerzo de fluencia de los anclajes de la tablestaca en

MPa.

Los parámetros del suelo son ãs1, que es el peso unitario del suelo de relleno seco, ãs´1 es el

peso unitario sumergido del suelo de relleno, ö1 es el ángulo de fricción del suelo de

relleno, ãs´2 es el peso unitario sumergido del suelo que se encuentra debajo del relleno y

ö2 es el ángulo de fricción de dicho suelo.


34

Figura 1.11 Geometría básica del muro tablestacado

Una vez se han definido todos los parámetros del suelo se deben calcular las fuerzas

actuantes sobre la tablestaca para esto se deben calcular los coeficientes de la presión del

suelo:

Kp1 tan 45π

180⋅ φ1+

:=

Kp2 tan 45π

180⋅ φ2+

:=

Ka1 tan 45π

180⋅ φ1−

:=

Ka2 tan 45π

180⋅ φ2−

:=

Donde Kp1 y Ka1 son los coeficientes de presión pasiva y activa del suelo de relleno

respectivamente y Kp2 y Ka2 son los coeficientes de presión de tierras del suelo sobre el

cual se apoya la tablestaca. Reemplazando los valores de la tabla 1.1 se obtienen los

siguientes valores para la presión de tierras:


35

Kp1 2.747=

Kp2 3.732=

Ka1 0.364=

Ka2 0.268=

Estos valores son adimensionales puesto que se trabajan en radianes. Ya calculados los

coeficientes de presión de tierras se pueden calcular las presiones que actúan sobre la

tablestaca conforme a la figura 1.5.

P1 γs1 hw⋅ Ka1⋅:=

P1 9.827=

P2 γs´1 h1⋅ Ka1⋅ P1+:=

P2 28.026=

P3 γs1 hw⋅ γs´1 h1⋅+( ) Ka2⋅:=

P3 20.632=

La presión P1 es la presión justo donde se encuentra el nivel freático, la presión P2 es la

presión donde termina el suelo de relleno y P3 es la presión activa de la parte del suelo

sobre la cual se apoya la tablestaca. Las unidades de estas presiones son kN/m2. Puesto que

la profundidad de la tablestaca es un parámetro desconocido que resulta del diseño, la

presión total pasiva sobre la tablestaca es desconocida, para esto se debe iterar el valor de

esta presión en función de la profundidad de la tablestaca hasta que la sumatoria de

momentos con respecto al punto donde se ubican los anclajes sea igual a 0.


36

Pendiente γs´2 Kp2 Ka2−( )⋅:=

Pendiente 38.105=

yP3

Pendiente:=

y 0.541=

M d( ) P1hw

2⋅ hw

2

3⋅ h2−

⋅ P1 h1⋅ hwh1

2+ h2−

⋅+P2 P1−( )

2h1⋅ hw

2

3h1⋅+ h2−

⋅+P3

2y⋅ hw h1+

y

3+ h2−

⋅+Pendiente

2d

2⋅ h1 hw+ y+

2

3d⋅+ h2−

⋅−:=

La variable pendiente es la pendiente que tiene la distribución de presiones de tierras en el

suelo de cimentación de la tablestaca, y se utiliza para calcular la profundidad de la

tablestaca, y el parámetro y es la parte de la tablestaca sobre la cual actúa una presión

activa. Luego se plantea la ecuación de Momento al nivel de los anclajes como función de

la parte de la profundidad de la tablestaca sobre la cual actúa la presión pasiva de tierras.

Dicha ecuación se resuelve igualando la sumatoria de momentos a cero y se encuentra la

profundidad D1, luego a dicha profundidad se le adiciona el valor de y y se obtiene la

profundidad total de la tablestaca:

D1 1.615=

D D1 y+:=

D 2.156=

Ya teniendo la profundidad total de la tablestaca es posible calcular la presiones a las cual

esta sometida esta:


37

0 2.16 4.33 6.49 8.6680

52.5

25

2.5

3030

80−

Presiones1 h( )

0

h1 hw+ D+0 h

Figura 1.12 Distribución de presiones sobre la tablestaca en kN/m2

Una vez se ha calculado la profundidad de la tablestaca, esta se aumenta en un 40%

siguiendo los lineamientos del diseño tradicional, obteniendo una profundidad suministrada

de 3 metros.

Habiéndose calculado todas las presiones sobre la tablestaca, se debe calcular la tensión

sobre los anclajes, dicha tensión se calcula planteando la ecuación de equilibrio de las

fuerzas que actúan perpendiculares a la tablestaca.

T P1hw

2⋅ P1 h1⋅+

P2 P1−( )

2h1⋅+ P3

y

2⋅+

Pendiente D2⋅

2−:=

T 19.021=

Teniendo la tensión sobre los anclajes por metro lineal de muro, se puede calcular la

tensión neta sobre cada anclaje a partir de la separación de los anclajes, y una vez se tiene

esta tensión se procede a calcular el área de acero requerida a partir del esfuerzo de fluencia

del acero de los anclajes.


38

Tneta s T⋅:=

Tneta 47.551=

AstTneta

fyanclaje 1000⋅:=

Ast 1.132 104−

×=

Esta área correspondería a un anclaje pasivo conformado por una varilla con diámetro de

1/2". Para diseñar la sección transversal de la tablestaca se debe seleccionar el modulo de

sección requerido, a partir del máximo momento actuante sobre la tablestaca. Para calcular

el momento máximo se debe encontrar el punto donde el cortante es igual a cero, para

calcular este punto se supone que se encuentra bajo el nivel freático.

Cortante x( ) T P1hw

2⋅− P1 x⋅−

γs´1 Ka1⋅ x2

⋅2

−:=

x 1=

Cortante x( ) 0=

Mmax P1hw

2⋅ x

hw

3+

⋅ P1 x⋅x

2⋅+ γs´1 x

2⋅

Ka1

2⋅

x

3⋅+ T x hw+ h2−( )⋅−:=

Mmax 11.955=

Cuando se ha calculado el momento máximo sobre la tablestaca, se puede calcular el

modulo de sección requerido limitando el esfuerzo de flexión sobre la misma al esfuerzo de

fluencia del acero de la tablestaca.


39

SMmax

fy 1000⋅:=

S 4.782 105−

×=

Utilizando el modulo de sección requerido se pueden utilizar las tablas que contienen las

propiedades de la tablestacas y seleccionar la sección que más se acerque. La tablestaca

seleccionada es una PSA23 (ver figura 1.1) con un peso de 112.3 kg/m 2.

El siguiente parámetro importante que resulta del diseño de la tablestaca es la altura del

peso muerto, dicha altura debe ser suficiente para que la presión pasiva que desarrolla

pueda soportar la tensión que le transmiten los anclajes.

HmT

0.5 γs1⋅ Kp1 Ka1−( )⋅:=

Hm 0.942=

La altura del peso muerto debe de ser de 0.95 metros, para un peso muerto continuo a lo

largo de la tablestaca. Ya calculada la altura del peso muerto se procede a calcular la

localización del mismo.

LD h1+ h2+

tan φ2( ):=

L 14.127=

A continuación se presenta una tabla con los resultados del diseño tradicional del muro

tablestacado anclado:


40

Tabla 1.3 Resumen diseño estructural.

Parámetro Valor

Profundidad de

empotramiento de

la Tablestaca (D)

3 m

Área de acero de

los anclajes

requerida (Ast)

1.13 cm2

usar 1 varilla # 4

Modulo de sección

requerido de la

tablestaca (S)

4.782 x 10-5 m3

Altura del peso

muerto (Hm)

0.95 m

Longitud del

anclaje (L)

14.5 m


41

CONCLUSIONES

• El diseño de muros tablestacados anclados tiene diversas fuentes de incertidumbre

que son claramente identificables en las solicitaciones de carga sobre el muro

(presión de tierras, infiltración, etc), los parámetros de resistencia del mismo

(esfuerzos resistentes sobre los anclajes, la tablestaca, etc) y los parámetros

geotécnicos (peso unitario del suelo, ángulo de fricción, etc). Es por esto que este

tipo de elementos presenta las condiciones que ameritan la realización de un diseño

óptimo probabilístico que tenga en cuenta la incertidumbre de las variables y que

produzca un beneficio máximo.

• El diseño determinístico tradicional maneja la incertidumbre a partir de los factores

de seguridad, aumentando la profundidad de la tablestaca un 40%. Es claro que este

factor de seguridad introduce un factor de sobre diseño elevado que se ve reflejado

en los costos, si se aumenta por tal cantidad la tablestaca, los anclajes tienden a no

trabajar y el diseñar de los muros tablestacados “anclados” sería innecesario.


42

CAPÍTULO II

OPTIMIZACIÓN DE MUROS TABLESTACADOS ANCLADOS


43

ASPECTOS GENERALES

Este capítulo tiene como fin primordial definir los conceptos de la teoría de la

confiabilidad, la optimización, el análisis de la probabilidad de falla mediante técnicas de

Monte Carlo y la regresión múltiple. La teoría de la confiabilidad estructural es necesaria

para calcular la probabilidad de falla de los diferentes mecanismos de los muros

tablestacados anclados, dicha probabilidad dada la dificultad que presentan las

distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias, su correlación y la no linealidad

de las ecuaciones de estado limite debe ser calculada utilizando métodos de Monte Carlo.

La teoría de la optimización es la parte principal de este documento y es indispensable

enmarcar los lineamientos que se utilizaran para optimizar los muros tablestacados

anclados.

La regresión múltiple se introduce como un método alternativo que permite calcular la

probabilidad de violación de un estado límite en función de 2 o más variables, y de esta

forma optimizarlos al tiempo.


44

OBJETIVOS

• Definir los conceptos básicos de la confiabilidad estructural, esto con el fin de

introducir la teoría de la probabilidad de falla para utilizarla más adelante en el

proceso de optimización.

• Exponer la teoría de los métodos de Monte Carlo que permiten el calculo de

cualquier probabilidad de falla

• Presentar la teoría de la optimización, para realizar posteriormente un análisis de

beneficio - costo para obtener estructuras seguras con un máximo beneficio.

• Introducir el modelo de renovación, modelo de optimización que será utilizado para

optimizar los muros tablestacados.

• Presentar la teoría de la regresión múltiple con el fín de poderla utilizar para

optimizar varias variables al tiempo.


45

2.1 CONFIABILIDAD ESTRUCTURAL

2 .1.1 ESTADOS LÍMITES

2.1.1.1 Definición de Falla:

La definición de falla depende de la función de estado límite, una estructura falla cuando no

puede cumplir la función para la cual fue diseñada. Es por esto que se debe definir la

función para la cual la estructura fue diseñada para así poder determinar cuando alcanza su

estado de falla. Es para esto que se desarrollo el concepto de estado limite con el fin de

definir la falla en el contexto del análisis de confiabilidad estructural. Un estado limite es el

limite entre el funcionamiento deseado e indeseado de una estructura, dicho limite se puede

expresar matemáticamente por una función de estado limite.

El mal funcionamiento de una estructura puede ocurrir por varios modos de falla:

rompimiento, corrosión, deformaciones excesivas, pandeo local etc. Algunas de estas fallas

se pueden presentar de una manera frágil o de una manera dúctil. La ingeniería tradicional

considera cada uno de estos modos de falla de manera separada y cada uno de estos modos

de falla puede definirse utilizando el concepto de estado límite.

En el análisis de Confiabilidad Estructural existen tres tipos de estados límites:

1. Estados limites últimos: están relacionados con la incapacidad de la estructura de

soportar las acciones de la carga, algunos de estos modos de falla son los siguientes:


46

• Excedencia de la capacidad de soportar momentos

• Formación de rotulas plásticas

• Falla del concreto a compresión

• Falla a cortante en el alma de una viga de acero

• Perdida de estabilidad total

• Pandeo del ala

• Pandeo del alma

2. Estados limites de servicio: Se refieren al deterioro gradual, al servicio que presta al

usuario o a los costos de mantenimiento. Pueden estar relacionados directamente o

indirectamente con la integridad estructural. Algunos ejemplos de estos modos de falla son:

• Deflexiones Excesivas

• Vibraciones Excesivas

• Deformaciones permanentes

• Fisuras notorias

3. Estados limites de fatiga: Están relacionados con la pérdida de resistencia de la estructura

ante varios ciclos de carga. Los estados límites de fatiga están relacionados con la

acumulación de daño y eventual falla bajo cargas cíclicas. Se ha observado que un

elemento estructural puede fallar bajo cargas cíclicas a un nivel menor que su capacidad

máxima de carga última. Estos mecanismos de falla incluyen la propagación de fisuras

hasta que se produce la ruptura. Esto puede llevar al colapso total de la estructura.


47

Estas fallas por fatiga son comunes en elementos de acero y en barras de acero de refuerzo,

en el concreto reforzado particularmente en barras sometidas a flexión, también se han

detectado en elementos preesforzados de puentes de concreto postensado. En cualquier

análisis de fatiga se deben tener en cuenta la magnitud y la frecuencia de las cargas

(Nowak, 2000).

2.1.1.2 Funciones de Estado Limite:

Si se define R como la resistencia de un elemento y Q como la solicitación de dicho

elemento la función de estado límite puede definirse para el modo de falla como:

QRQRg −=),( (8)

El estado limite correspondiente al limite entre el funcionamiento deseado e indeseado seria

g = 0, si 0≥g la estructura es segura, si 0<g la estructura no es segura. La probabilidad

de falla, Pf, es equivalente a la probabilidad de que la estructura no sea segura. Esto se

puede expresar de la siguiente manera:

)0()0( <=<−= gPQRPPf (9)

Si R y Q son variables aleatorias continuas, y cada una tiene una función de densidad de

probabilidad como la mostrada en la Figura 2.1, entonces la resta R - Q también es una

variable aleatoria con su propia función de densidad de probabilidad. Esto lo podemos ver

también en la Figura 2.1, la probabilidad de falla corresponde al área sombreada en la

Figura 2.1.


48

Todo lo anteriormente dicho se puede resumir en las siguientes expresiones:

Seguro )arg( aresistenciaefectodec ≤

Falla )arg( aresistenciaefectodec >

El estado de la estructura puede ser descrito utilizando varias variables X1, X2,......., Xn,

variables que describen los parámetros de resistencia y carga, tales como la carga muerta,

altura, profundidad, resistencia a la compresión, momento de inercia, etc. Una función de

estado límite es una función g(X1, X2,......., Xn) de estas variables de tal forma que:

g(X1, X2,......., Xn) > 0 Para una estructura segura

g(X1, X2,......., Xn) = 0 El limite entre una estructura segura e insegura

g(X1, X2,......., Xn) < 0 Para la falla

Figura 2.1 Funciones de Probabilidad de Densidad de carga, resistencia y margen de

seguridad.

Cada función de estado límite esta asociada en particular con un estado límite, a

continuación se presentan ejemplos de funciones de estado límite:

Q, efecto de carga R, resistencia

R-Q, margen seguro

Probabilidad de falla

FDP


49

1. Sea Q el efecto de carga (demanda total) y R la resistencia o capacidad. Entonces la

función de estado límite puede definirse como:

QRQRg −=),( (10)

o como

1/),( −= QRQRg (11)

2. Sea X la resistencia de una viga a cortante y que las demandas de cortante son D de la

carga muerta, L de la carga viva, y E el causado por el sismo, entonces la ecuación de

estado límite se pude definir de la siguiente manera:

ELDXELDXg −−−=),,,( (12)

Como conclusión se puede decir que la ecuación de estado límite es una función que puede

depender de varios factores como dimensiones, componentes de carga, factores de

influencia, parámetros de resistencia, propiedades de materiales etc., y con la ayuda de esta

función es posible calcular la probabilidad de falla de la estructura.

2.1.2 PROBABILIDAD DE FALLA

La probabilidad de falla debe definirse a partir de la función de estado límite ya antes

definida:

QRQRg −=),( (13)

La probabilidad de falla, Pf, puede ser obtenida considerando las funciones de densidad de

probabilidad de las variables aleatorias R y Q que se muestran en la figura 2.2.


50

Figura 2.2 Funciones de densidad de probabilidad de demanda Q y resistencia R.

La estructura falla cuando la carga excede la resistencia. Si R es igual a un valor ri,

entonces la probabilidad de falla es igual a la probabilidad de que la carga sea mayor que la

resistencia, o que P (Q>ri). Entonces, como R es una variable aleatoria hay una

probabilidad asociada para cada valor de ri. Entonces la probabilidad de falla esta

compuesta por la sumatoria de combinaciones de R = ri y Q > ri, que puede escribirse de la

siguiente manera:

∑ ∑ ==>=>∩== )()/()( iiiif rRPrRRQPrQrRPP (14)

En el caso de una función de densidad de probabilidad continua para ambas variables la

sumatoria se convierte en una integral. La probabilidad )/( irRRQP => es igual a

1 - FQ(ri ), en donde FQ(ri ) es la función de densidad de probabilidad acumulada de la

solicitación Q evaluada en el valor de la resistencia ri. En el limite la probabilidad P(R = ri)

� fR(ri)dri, en donde fR(ri) es la función de densidad de probabilidad de la resistencia R

FDP

X

dx

fQ fR

1-FQ(x)


51

evaluada en el valor ri. Aplicando estas equivalencias es posible llegar a la siguiente

expresión (Nowak, 2000):

[ ]∫ ∫∞

∞−

−=−= iiRiQiiRiQf drrfrFdrrfrFP )()(1)()(1 (15)

Si la solicitación Q es igual a un valor especifico qi, entonces la probabilidad de falla es

igual a la probabilidad de que la resistencia sea menor que la solicitación, o P(R < qi),

dado que Q es una variable aleatoria, existe una probabilidad asociada a cada valor de qi.

Entonces la probabilidad de falla esta conformada por la sumatoria de las posibles

combinaciones de Q = qi y R < qi, que puede ser expresada de la siguiente manera:

∑ ∑ ==<=<∩== )()/()( iiiif qQPqQQRPqRqQPP (16)

Aplicando la metodología que se utilizo anteriormente esta expresión se puede rescribir

como:

∫+∞

∞−

= iiQiRf dqqfqFP )()( (17)

En donde FR(qi) es la función de densidad de probabilidad acumulada de la resistencia,

evaluada en el valor de la solicitación qi y fQ(qi) es la función de densidad de probabilidad

de la solicitación evaluada en el valor de la solicitación qi.

Es claro que la evaluación de estas integrales es un proceso complicado que en mucho

casos requiere de de la utilización de métodos numéricos, sin embargo en la practica es

posible calcular dichas probabilidades de una manera mas practica siguiendo los

procedimientos que se explicaran a continuación.


52

2.1.2.1 Espacio de las Variables de Estado:

Las variables de estado son los parámetros básicos de solicitación y resistencia usados para

formular la función de estado limite. Para una función de estado límite con n variables

existen n variables de estado.

Si todas las variables de la solicitación están representadas por la variable Q y todas las

variables de la resistencia por la variable R. entonces el espacio de las variables de estado

es bidimensional como el que se puede ver en la Figura 2.3 A través de este espacio es

posible separar la región de dominio seguro de la región del dominio de la falla por medio

de la de la función de estado limite g(R, Q) = 0.

Como R y Q son variables aleatorias es posible definir una función conjunta fRQ(r, q) en

donde la función de estado limite separa el dominio seguro de el dominio de la falla; por

medio de esta función conjunta es posible calcular la probabilidad de falla integrando dicha

función sobre el dominio de la falla que corresponde a la región en donde g(R, Q) < 0,

como se mencionó antes esta integral es complicada de evaluar y para ello se define el

Índice de Confiabilidad.


53

Figura 2.3 Dominio Seguro y de la falla en un espacio de dos dimensiones. 2.1.3 INDICE DE CONFIABILIDAD

Con el fin de definir posteriormente el Índice de Confiabilidad es oportuno normalizar las

variables R y Q, esta es la forma adimensional de las variables(Nowak, 2000):

R

RR

RZ

σµ−

= (18)

Q

qQ

QZ

σ

µ−= (19)

Las variables ZR y ZQ son denominadas variables transformadas, entonces las variables R y

Q se pueden representar en función de sus variables transformadas de la siguiente forma:

RRR ZR σµ += (20)

QQQ ZQ σµ += (21)

µR

µQ

FALLA(R<Q)

SEGURO(R<Q)

R-Q = 0 Limite de la falla (Función de estado limite)

R

Q


54

La función de estado limite g(R, Q) = R - Q puede expresarse en términos de las variables

transformadas:

( ) QQRRQRQQQRRRQR ZZZZZZg σσµµσµσµ −+−=−−+=),( (22)

Para cualquier valor especifico de g (ZR , ZQ ), esta ecuación representa una línea recta en el

espacio transformado de las variables transformadas ZR y ZQ. La línea que es utilizada en el

análisis de confiabilidad estructural es la correspondiente a g (ZR , ZQ ) = 0 ya que esta es la

línea que divide la zona del dominio seguro del dominio de la falla en el espacio de la

variables transformadas.

2.1.3.1 Definición del Índice de Confiabilidad

El índice de confiabilidad es la distancia mas corta desde el origen de las variables

transformadas hasta la línea g (ZR, ZQ), esta definición fue realizada por Hasofer y Lind

(1974), y puede verse en la figura 2.4.

β

ZR

ZQ

Función de Estado Limite g (ZR, ZQ) = 0

Falla

Seguro

Q

QR

σ

µµ −R

QR

σ

µµ −−


55

Figura 2.4 Índice de Confiabilidad definido como la perpendicular desde el origen hasta la recta.

Como la distancia mas corta entre un punto y una recta es la perpendicular trazada desde el

punto hasta la recta, el índice de confiabilidad â puede calcularse utilizando la siguiente

formula:

22QR

QR

σσ

µµβ

−

−= (23)

Donde â es la inversa del coeficiente de variación de la función g (R, Q), donde R y Q son

variables sin correlación. Para variables normalmente distribuidas R y Q puede demostrarse

que el índice de confiabilidad esta relacionado con la probabilidad de falla de la siguiente

forma:

( )fP1−Φ−=β o ( )β−Φ=fP (24)

Esta definición del índice de confiabilidad puede ampliarse para el caso mas general de n

variables, considerando la función de estado limite g (X1, X2,.....,Xn) donde la Xi variables

no están correlacionadas. El Índice de Confiabilidad puede definirse:

1. Se definen las variables {Z1, Z2,........, Zn}

i

i

X

Xii

XZ

σ

µ−= (25)

2. Plantear la ecuación de estado limite en términos de las nuevas variables trasformadas

(Z1, Z2,......., Zn).

3. El índice de confiabilidad es la distancia mas corta desde el origen del espacio

transformado de n variables y la curva formada por la función g (Z1, Z2,......., Zn) = 0.


56

2.1.3.2 Índice de Confiabilidad Primer Orden y Segundo Momento

Funciones Lineales de Estado Limite

Una función lineal de estado limite de la forma:

∑=

=++++=n

iiinnn XaXaXaXaaXXXg

12211021 ......),.......,,( (26)

Donde ai son términos constantes y Xi son variables aleatorias no correlacionadas.

Aplicando la metodología planteada anteriormente se puede determinar el Índice de

Confiabilidad (Nowak, 2000):

( )∑

∑

=

=

+=

n

iXi

n

iii

ia

Xaa

1

10

σβ (27)

Según esta formula el Índice de Confiabilidad solo depende de las medias y de las

desviaciones estándar de las variables, y es por esto que se dice que es el índice de primer y

segundo momento que corresponden a la media y a la desviación estándar respectivamente.

Vale la pena decir que esta definición del Índice de Confiabilidad no tiene en cuenta la

distribución de probabilidad de cada una de la variables, en el caso de que las variables

estén distribuidas normalmente el índice que se obtiene es exacto, de lo contrario es solo

una aproximación para relacionar el Índice de Confiabilidad y la probabilidad de falla.

2.2 OPTIMIZACIÓN

La pregunta ¿Que tan seguro es seguro? es una pregunta que se ha formulado la Ingeniería

Estructural desde sus comienzos. La Confiabilidad Estructural presenta una solución a este


57

aspecto por medio de la probabilidad de falla de la violación de un estado limite, sin

embargo este parámetro no es suficiente para definir si el riesgo es aceptable o no y poder

así tomar una decisión.

Con el fin de hacer la probabilidad de falla un parámetro mas diciente, se realizan ciertas

comparaciones con probabilidades de riesgo en otros aspectos de la vida, como la

probabilidad de fallecer en un accidente aéreo o la probabilidad de morir de cáncer, se

realizan calibraciones teniendo en cuenta eventos ocurridos en el pasado como fallas

inducidas por eventualidades sísmicas y además se pueden realizar análisis de beneficio

costo teniendo en cuenta la teoría económica.

La aceptación del riesgo depende de la sociedad, la edad, la cultura, la educación de la

persona, de su bagaje cultural y de otros muchos aspectos, sin embargo es importante

diferenciar entre el riesgo colectivo y el riesgo personal, toda persona es libre de llevar su

vida como desee, pero esto no ocurre con el riesgo colectivo, como el riesgo de que un

edificio presente una falla en su estructura, es un riesgo que debe ser manejado por el

estado, pues es el deber de todo estado velar por la seguridad sus ciudadanos.

2.2.1 Estructuras Óptimas

Para que una estructura sea económicamente óptima es necesario que la siguiente ecuación

sea maximizada (Rackwitz, 2000):

)()()()( pDpCpBpZ −−= (28)


58

Todas estas cantidades se asumen cuantificables en términos monetarios, B (p) es el

beneficio que proporciona la estructura, C (p) es el costo del diseño y de la construcción de

la estructura y D (p) es el costo de la falla de la estructura. El valor p es un vector de

parámetros relevantes a la seguridad de la estructura, es el vector de parámetros a

optimizar, que puede ser el volumen de concreto de la estructura, el ancho de un muro, la

cuantía de acero de una viga, etc.

Los valores B (p), C (p) y D(p) deben de ser diferenciables en todo el dominio del vector p,

se supone que B = B (p) , no depende del parámetro de optimización y se mantiene

constante, C (p) aumenta mientras D (p) disminuye conforme el parámetro p aumenta, esto

se puede observar en la figura 2.5.

Figura 2.5 Función Objetivo

El costo C (p) varia según la parte que realice el análisis, ya sea el dueño, el constructor o

el usuario, esto debido a que cada una de las partes maneja tasas diferentes de retorno y de

ganancias Una estructura es razonable solamente si la función objetivo Z (p) es positiva

Costo

Parámetro p

C(p)

B

Optimo

D(p)

Dominio Aceptable


59

para todas las partes involucradas; esta función puede ser negativa para estructuras publicas

o subsidiadas.

Toda estructura debe fallar pasado un tiempo determinado, sin embargo el proceso de

optimización debe llevarse a cabo en el momento de la toma de decisión, correspondiente al

tiempo t = 0, debido a esto todos los costos deben ser descontados a una tasa de interés con

el fin de llevarlos al tiempo t = 0, para esto se supone una función de descuento continuo

que es la que se usa en la mayoría de análisis económicos:

[ ]tt ⋅−= γδ exp)( (29)

Donde ã es la tasa de interés libre de impuestos que se utiliza para descontar los costos, por

ejemplo si se tiene un costo Co de un elemento estructural en el tiempo t, dicho costo

llevado al tiempo presente es equivalente a:

[ ]tCtC ⋅−= γexp)( 0 (30)

Existen dos metodologías para reemplazar estructuras, una es cuando se viola un estado

límite o se produce una falla local y la estructura se rehabilita para continuar con su normal

funcionamiento y la otra cuando se produce una falla general de la estructura, esta es

demolida y se vuelve a construir.

También deben distinguirse las estructuras que fallan por cargas invariantes o que nunca

fallan y las estructuras que fallan en un punto aleatorio del tiempo debido a cargas de

servicio, eventos externos extremos como sismos, huracanes o deterioro causado por la

acción del tiempo. El primer tipo de estructura tiene como implicación que las cargas que

actúan sobre ella no tienen variación en el tiempo. La mayoría de estructuras se ubican


60

dentro del segundo tipo de estructuras que se mencionó anteriormente. Se asume que los

periodos de reconstrucción son demasiado cortos en comparación con el tiempo de servicio

de la estructura esto es importante para los modelos que se explicaran más adelante.

2.2.2 El modelo de renovación

El modelo de Renovación es el modelo más utilizado en la optimización estructural para

modelar el tiempo de vida útil de una estructura y el que mejores resultados produce, se

puede dividir en dos tipos según el tipo de falla, una cuando la estructura falla después de

prestar su servicio debido a cargas invariantes en el tiempo y la otra cuando se produce una

falla aleatoria en el tiempo, para el caso que nos concierne las cargas son invariantes en el

tiempo, por ende no se entrará en detalle en caso de falla aleatoria.

2.2.3 Falla por completo debido a cargas invariantes en el tiempo

La función objetivo para una estructura que falla debido a cargas invariantes en el tiempo

es la siguiente:

)()()()()()()( *** pPHBpCBpHPpCpRBpZ fff +−−=−−= (31)

Rf(p) es la confiabilidad y Pf(p) = 1- Rf(p) es la probabilidad de falla de la estructura

respectivamente, H es el costo directo que produce la estructura en el momento de

presentarse la falla, como la remoción de escombros, costos de demolición y sobre todo el

costo de reducir el riesgo de la vida humana, y B* es el beneficio que produce la estructura.


61

La función objetivo para una estructura que falla y se reconstruye sistemáticamente es

(Rackwitz, 2000):

)(1

)())(()()( *

pP

pPHpCpCBpZ

f

f

−+−−= (32)

El beneficio se asume independiente del parámetro de optimización, y cuando el tiempo

tiende a infinito se define como (Rackwitz, 2002):

γb

B =* (33)

El valor b se supone como un porcentaje del costo inicial de la estructura Co que es el costo

de la estructura independiente del parámetro de optimización p, definiéndose como b = âC0

en donde â varia entre 0 y 0.3.

2.3 MÉTODOS DE MONTE CARLO

El método de Monte Carlo es una técnica especial que se puede utilizar para generar

resultados numéricamente sin realizar experimentos físicos. Se pueden utilizar los

resultados de ensayos y experimentos anteriores para determinar las distribuciones de

probabilidad de las variables de importancia en el problema, luego se utilizan estas

distribuciones para generar muestras de datos numéricos.

Este método se utiliza comúnmente en tres situaciones:

1. Se utiliza para resolver problemas complicados donde una solución exacta o

calculada por métodos aproximados, no es factible o es extremamente difícil. Por

ejemplo, los problemas probabilísticos que comprenden modelos de elementos


62

finitos no lineales son más fáciles de resolver mediante técnicas de Monte Carlo si

se tiene la capacidad computacional necesaria y la información requerida acerca de

las variables aleatorias es conocida.

2. Para resolver problemas complicados, que para ser resueltos mediante métodos

aproximados es necesario realizar simplificaciones, y mediante los métodos de

Monte Carlo se pueden resolver sin realizar suposiciones.

3. También se utiliza para chequear los resultados obtenidos mediante otro tipo de

técnicas de análisis.

2.3.1 Generación de números aleatorios uniformemente distribuidos

La base de todos los procesos de simulación de Monte Carlo es la generación de números

aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, estos números se producen mediante

rutinas de computador que se encuentran incluidas en la mayoría de programas y hojas de

cálculo.

2.3.2 Generación de números aleatorios con una distribución normal estándar

Dado que la distribución de probabilidad normal juega un papel importante en la

confiabilidad estructural, la posibilidad de simular variables distribuidas normalmente es

importante. Primero debe considerarse una distribución normal estándar, para generar un

grupo de números aleatorios distribuidos normalmente z1, z2,......., zn, se debe generar el

grupo de variables aleatorias uniformemente distribuidas u1, u2, ..........,un, entre 0 y 1;

entonces, para cada ui se puede generar el valor zi utilizando la ecuación:


63

)(1ii uz −Φ= (34)

Donde Ô-1 es la inversa de la función de distribución normal acumulada.

2.3.3 Generación de números aleatorios normalmente distribuidos

Si se requiere generar valores con una distribución normal arbitraria, se debe suponer que

se tiene una variable aleatoria normalmente distribuida X con media ìx y una desviación

estándar óx. La relación entre X y la variable normal estándar Z es:

XX ZX σµ += (35)

Entonces si se produce un valor muestral aleatorio distribuido uniformemente zi el valor

correspondiente xi puede ser calculado:

XiXi zx σµ += (36)

2.3.4 Generación de números aleatorios distribuidos Lognormalmente

Sea X una variable aleatoria lognormal con una media ìX y una desviación estándar ó X .

Para generar un valor muestral xi primero se debe generar un número aleatorio distribuido

normalmente ui tal que 10 ≤≤ iu , luego se calcula un valor muestral zi a partir de una

distribución normal estándar utilizando la ecuación (34) y finalmente se utiliza la relación

entre las variables normales y lognormales obteniendo xi (Nowak, 2000):

[ ]XiXi zx lnlnexp σµ += (37)

Donde:

)1ln( 2ln

2 += XX Vσ (38)


64

2lnln 2

1)ln( XXX σµµ −= (39)

2.3.4 Procedimiento general para generar números aleatorios a partir de

distribuciones arbitrarias

A continuación se describe aplicable teóricamente a cualquier tipo de distribución. Se debe

considerar una variable X con una función de distribución acumulada FX(x) y para generar

valores muestrales xi para la variable aleatoria se deben seguir los siguientes pasos:

1. Generar un valor muestral ui para una variable aleatoria uniformemente distribuida

entre 0 y 1.

2. Calcular un valor muestral xi a partir de la siguiente formula:

)(1iXi uFx −= (40)

donde FX-1 es la función inversa de FX .

Este procedimiento es completamente general, sin embargo en algunos casos es difícil

calcular la inversa de la función de distribución de probabilidad acumulada.

2.3.5 Precisión de la estimación de la probabilidad

La teoría expuesta anteriormente es útil para el cálculo de la probabilidad de falla, sin

embargo se debe reconocer que esta es solo un estimativo de dicha probabilidad, sin

embargo este estimativo se mejora cuanto más se aumenta el número de simulaciones.


65

La probabilidad de falla se estima de la siguiente manera:

N

np = (41)

Donde N es el número total de simulaciones y n es el número de veces que el criterio de

falla se cumple, en otras palabras n es el número de veces que se viola el estado límite para

el cual se esta evaluando la probabilidad de falla. Esta probabilidad de falla varía hasta que

converge a un valor determinado dado un numero de simulaciones; entonces sea Preal la

probabilidad correcta teóricamente que se esta tratando de estimar a partir de P . Se puede

demostrar que el valor esperado, la varianza y el coeficiente de variación de la

probabilidad estimada son (Nowak, 2000):

[ ] realPpE = (42)

( )[ ]realrealpPP

N−= 1

12σ (43)

)(

)1(

real

realP PN

PV

−= (44)

Debe observarse que la incertidumbre en la estimación de la probabilidad decrece con el

número de simulaciones, estas relaciones proveen una forma para determinar el número de

simulaciones que son suficientes para estimar una probabilidad y el límite de la

incertidumbre que esta aproximación acarrea.

2.3.6 Simulación de números aleatorios correlacionados

Hasta el momento se ha supuesto que las variables aleatorias no están correlacionadas, sin

embargo en la práctica la mayoría de las variables se encuentran correlacionadas y debe


66

aplicarse un procedimiento para descorrelacionarlas y trabajar con ellas de manera similar a

como se tratarían si no lo estuvieran, dicho procedimiento es exacto si las variables tienen

una distribución normal y para las demás distribuciones en una aproximación.

Sean X1, X2...........Xn variables con una distribución normal correlacionadas y con valores

medios:

{ }nXXXx µµµµ ,........,)(

21= (45)

con una matriz de covarianza (Melchers R.E.,1987):

[ ]

=

),(....),(),(

.......

.......

),(....),(),(

),(....),(),(

21

221212

12111

nnnn

n

n

X

XXCovXXCovXXCov

XXCovXXCovXXCov

XXCovXXCovXXCov

C (46)

Para generar valores aleatorios correlacionados para X1, X2...........Xn es necesario generar

valores aleatorios descorrelacionados Y1, Y2...........Yn de la manera que se presenta a

continuación. Primero se debe calcular X1, X2...........Xn utilizando la transformación:

{ } [ ]{ }YTX = (47)

Donde [T] es la matriz de transformación. Para poder realizar este procedimiento es

necesario calcular la matriz [T], las medias y las varianza de los de las variables

descorrelacionadas Yi.

Aplicando conceptos de álgebra lineal se puede demostrar que si [A] es una matriz

simétrica de n x n, [D] una matriz diagonal y [T] una matriz cuadrada las siguientes

relaciones se cumplen:


67

[ ] [ ] [ ][ ]TATD T= (48)

[ ] [ ][ ][ ]TTDTA = (49)

La matriz [T] contiene los vectores propios ortonormales correspondientes a los valores

propios de la matriz [A]. La matriz [A] es la matriz de covarianza [Cx] de las variables

correlacionadas [X]. La matriz [T] esta conformada por los por los vectores propios

ortonormales correspondientes a los valores propios de la matriz [CX], entonces la primera

columna de la matriz [T] contiene el vector ortonormal propio correspondiente al primer

valor propio, la segunda columna contiene el vector propio correspondiente al segundo

valor propio y así sucesivamente.

La matriz [T] es una matriz ortogonal, esto significa que su inversa es equivalente a su

transpuesta, si la matriz [D] corresponde a la matriz de covarianza [Cy] de las variables

descorrelacionadas [Y], la ecuación [49] se convierte en:

[ ] [ ] [ ][ ]

==

2

2

2

......00

.....

.....

...0

0......0

2

n

i

Y

Y

Y

XT

y TCTC

σ

σσ

(50)

[ ] [ ][ ][ ]TYX TCTC = (51)

Los elementos diagonales de [Cy] contienen las varianzas de las variables

descorrelacionadas Y para realizar la simulación. Las medias de la variables Yi pueden ser

obtenidas mediante:

{ } [ ] { }XT

Y T µµ = (52)


68

Una vez se obtienen los valores de simulación [Y] la ecuación (47) puede utilizarse para

obtener valores simulados de {X}.

Alternativamente a este procedimiento para generar variables aleatorias descorrelacionadas

se puede utilizar la factorización de Cholesky, este es el procedimiento que se utiliza en

este documento y se aplica debido a que simplifica los cálculos y produce buenos

resultados.

Sea una matriz [M] y mediante la factorización de Cholesky se puede calcular una matriz

triangular superior [A] tal que:

[ ] AAM T= (53)

Esta transformación permite simplificar los cálculos de las variables descorrelacionadas y

esto se evidencia a continuación. Sean {X} = X1, X2,........., Xn variables normales

correlacionadas con una matriz de covarianza [Cx] y un vector de medias {ìX}. Los valores

aleatorios descorrelacionados de {X} se pueden calcular de la siguiente manera:

• Calcular la factorización de Cholesky de la matriz de covarianza [Cx] y definir la

matriz [B] = [A]T.

• Luego se debe generar un vector de n componentes calculadas a partir de una

distribución normal estándar, {U}T={ u1, u2, .......,un}.

• Finalmente se debe definir el vector que contiene las variables aleatorias normales

descorrelacionadas como :

[ ] }{}{}{ XUBX µ+= (54)


69

2.3.7 Variables correlacionadas distribuidas arbitrariamente

Como se mencionó anteriormente si las variables aleatorias no tienen una distribución

normal el procedimiento propuesto es solo una aproximación, dicha aproximación se

discute a continuación para variables con una distribución diferente a la normal.

Si {X} = X1, X2,........., Xn son variables aleatorias correlacionadas con una matriz de

covarianza [CX], las variables Xi pueden transformarse a un espacio normal estándar U

mediante la siguiente ecuación:

( )[ ]iXi xFui

1−Φ= para i = 1, 2,.......,n (55)

Donde cada variable de U = {X1, X2,........., Xn} tiene media 0 y desviación estándar 1.

Aunque el espacio de la matriz de covarianza cambia la siguiente relación se cumple:

2121 XXu

XX Fρρ = (56)

Donde ñuX1X2 es el coeficiente que correlaciona u1, u2 en el espacio de la variable

transformada y ñX1X2 es el coeficiente de correlación entre X1 y X2 en el espacio original. F

es un factor que relaciona ñ y ñu de la siguiente manera (Melchers R.E., 1987):

jijjjiii VlVVkhVgVVfedcVbVaF +++++++++= ρρρρ 222 (57)

Los coeficientes a, b, c, d, e, f, g, h, k y l varían según las combinaciones de las

distribuciones de las variables correlacionadas; Vi y Vj corresponden a los coeficientes d

variación. Para el caso de una distribución lognormal, la solución es exacta, y para las

demás distribuciones el error es menor al 2%. Estos factores y su deducción no se presentan

ya que no son relevantes para el desarrollo de este documento. La matriz de covarianza en

el espacio transformado, donde la media es 0 y la desviación estándar 1, es:


70

=

1...

............

...1

...1

21

212

121

xxU

xxU

xxU

xxU

xxU

xxU

U

nn

n

n

C

ρρ

ρρρρ

(58)

El procedimiento se puede resumir:

1. Definir la matriz [CU] con 1 en la diagonal y los coeficientes de relación entre ui y

uj, ñu

ij .

2. Calcular la factorización de Cholesky de la matriz [CU] y definir [B] = [A]T.

3. Generar un vector de n componentes descorrelacionadas obtenidas aleatoriamente a

partir de una distribución normal estándar, [Y]T = {y1, y2,........., yn).

4. Definir el vector de las variables aleatorias normales estándar correlacionadas como

[U] = [B][Y].

5. Transformar la variables normal estándar Ui en la variables deseada Xi mediante la

transformada:

[ ])(1iXi uFx

iΦ= − (59)

2.4 ANÁLISIS DE REGRESIÓN MÚLTIPLE

El objetivo de una regresión múltiple es el de construir un modelo probabilístico que

relacione una variable dependiente con más de una variable independiente o de predicción.


71

Este modelo se puede aplicar cuando se desea relacionar la función de beneficio de un

proceso de optimización, con los parámetros independientes, que puede ser el vector de

parámetros estructurales, área de acero, ancho de una viga, altura de un muro, etc.

Sea k el número de variables independientes ( )2≥k y las variables independientes se

pueden denotar como x1, x2,......., xn. La ecuación general del modelo de regresión múltiple

aditiva es (Devore J., 1998):

exxxY kk +++++= ββββ .......22110 (60)

Donde E(e) = 0 y V(e) = ó2, además se supone que e se encuentra normalmente distribuida.

Sea x*1, x

*2,..........., x

*k valores particulares de x1, x2,..........., xk, entonces la ecuación (60)

implica que:

**110,.....,,

.........*1

* kkxxYxx

kβββµ +++= (61)

Por lo tanto, así como â 0+â1x describe el valor medio de Y como función de x en una

regresión lineal simple, la función de regresión verdadera kk xxx ββββ ++++ .......22110 da

el valor esperado de Y como función de x1, x2,..........., xk.

Si se obtienen datos en función de dos variables x1, y x2, un posible modelo es Y = â0 +

â1x1+ â2x2 + e. Sin embargo, es posible construir otros modelos si se forman

pronosticadores que sean funciones matemáticas de x1 y/o x2. Por ejemplo, con x3 = x2 y

x4=x1x2, el modelo exxxxY +++++= 443322110 βββββ tiene la forma general de la

ecuación (60). En general, no solo es permisible que algunos pronosticadores sean

funciones matemáticas de otras, sino que también son altamente deseables en el sentido qu

el modelo resultante puede ser mucho más satisfactorio para explicar la variación en y que


72

cualquier modelo sin estos pronosticadores. Este análisis también demuestra que la

regresión polinomial es un caso especial de la regresión múltiple. Por ejemplo, el modelo

cuadrático exxY +++= 2210 βββ tiene la forma de la ecuación (60) con k = 2, x1= x y

x2 = x2.

2.4.1 Interpretación del modelo

Para el caso de dos variables independientes, x1 y x2, cuatro modelos útiles de regresión

múltiple son los siguientes:

1. El modelo de primer orden, con

exxY +++= 22110 βββ (62)

2. El modelo de segundo orden sin interacción, con

exxxxY 224

21322110 ........ βββββ ++++= (63)

3. El modelo de primer orden con interacción, con

exxxxY ++++= 21322110 ββββ (64)

4. El modelo de segundo orden completo o cuadrático completo, especificado por

exxxxxxY ++++++= 215224

21322110 ββββββ (65)

Entender las diferencias entre estos modelos es un primer paso importante para construir

modelos de regresión realistas a partir de variables independientes bajo estudio.

El modelo de primer orden es la generalización más fácil de regresión lineal simple.

Expresa que, para un valor fijo de cualquier variable, el valor esperado de Y es una función

lineal de la otra variable y que el cambio esperado en Y para un aumento unitario en x1 (x2)


73

es â1 (â2) independiente del nivel de x2 (x1). Por lo tanto, si se realiza una gráfica de la

función de regresión como función de x1 para varios valores diferentes de x2, se obtienen

como contornos de la función de regresión un conjunto de rectas paralelas. La función

22110 xxY βββ ++= especifica un plano en espacio tridimensional; el modelo de primer

orden dice que cada valor observado de la variable dependiente se desvía de este plano por

una cantidad aleatoria e.

Según el modelo de segundo orden sin interacción, si x2 es fija, el cambio esperado en Y

para un aumento de unidad en x1 es 1331 2 xβββ ++ . Como este cambio esperado no

depende de x2 , los contornos de la función de regresión para valores diferentes de x2

todavía son paralelos entre sí. Sin embargo, la dependencia del cambio esperado respecto al

valor de x1 significa que los contornos son ahora curvas en lugar de rectas. En esta caso, la

superficie de regresión ya no es un plano en el espacio tridimensional sino una superficie

curvada.

Los contornos de la función de regresión para el modelo de primer orden con interacción

son rectas no paralelas. Esto es porque el cambio esperado en Y cuando x1 se aumenta en 1

es 231 xββ + . Este cambio esperado depende del valor de x2, de modo que cada línea de

contorno debe tener una pendiente diferente. La palabra interacción refleja el hecho de que

un cambio esperado en Y, cuando una variable aumenta, depende del valor de la otra

variable.


74

Finalmente, para el modelo de segundo orden completo, el cambio esperado en Y cuando x2

se mantiene fijo mientras x1 aumenta en 1 unidad es 251331 2 xx ββββ +++ , que es una

función de x1 y x2, esto implica que los contornos de la función de regresión son curvados y

no paralelos entre sí.

Se aplican consideraciones semejantes a modelos construidos de más de dos variables

independientes. En general, la presencia de términos de interacción en el modelo implica

que el cambio esperado en Y depende no sólo de la variable que aumenta o disminuye, sino

también de los valores de algunas de las variables fijas. También es posible tener términos

de interacción de orden más alto, por ejemplo x1x2x3 , lo que hace más difícil la

interpretación del modelo.


75

CONCLUSIONES

• La probabilidad de falla es la probabilidad de excedencia de la región límite en

donde se iguala la ecuación de estado límite a 0, esto implica que la probabilidad de

falla es la probabilidad de que se viole un estado límite.

• Los métodos de Monte Carlo son una herramienta útil que permite encontrar la

probabilidad de excedencia de cualquier estado limite sin importar lo complicado de

las distribuciones de las variables aleatorias o de la ecuación de estado limite, su

única falencia radica en que para probabilidades de falla pequeñas deben realizarse

múltiples simulaciones y el costo computacional es elevado.

• Para que una estructura sea optima es necesario que se maximice la función

objetivo de beneficio, función que consta del beneficio en función del vector de

diseño, del costo de diseño y de construcción del proyecto y del costo de la falla del

mismo, todos función del vector de diseño que es el parámetro que se busca

optimizar.

• El modelo de renovación asume que el diseño inicial de una estructura es optimo,

además asume que una vez se viola un estado limite la estructura es reparada y

llevada a su estado inicial.


76

• La regresión múltiple permite calcular la probabilidad de falla de un estado limite

en términos de dos o mas variables, esto es bastante útil ya que si se tiene la

probabilidad de falla en función de los parámetro de optimización estos se pueden

optimizar al tiempo maxificando aun mas la relación beneficio-costo.


77

CAPÍTULO III

DISEÑO ÓPTIMO DE UN MURO TABLESTACADO ANCLADO


78

ASPECTOS GENERALES

El ejemplo de diseño de muros tablestacados anclados que se expuso en el capitulo I, es

retomado y se realiza un diseño optimo basado en la teoría de la confiabilidad, esto con el

fin de poder realizar comparaciones y demostrar las bondades que presenta este método de

diseño.

La metodología de optimización se realiza paso a paso y de manera detallada con el fin de

establecer un procedimiento que pueda ser aplicado en un futuro a cualquier diseño

estructural o modelo mecánico.


79

OBJETIVOS

• Optimizar el diseño un muro tablestacado anclado basándose en la teoría de la

confiabilidad.

• Comparar el diseño optimo con el tradicional y realizar comparaciones económicas.

• Establecer una metodología de optimización de diseños que pueda aplicarse a

cualquier diseño estructural o modelo mecánico.

• Avanzar un poco mas en la optimización de diseños, mediante la exposición de un

ejemplo elaborado que permita demostrar los posible beneficios que este tipo de

teoría podría ofrecer a la ingeniería.


80

3.OPTIMIZACION DE UN MURO TABLESTACADO ANCLADO

3.1 Modelo Probabilístico

A continuación se presentan los parámetros que fueron tenidos en cuenta para optimizar el

diseño del muro tablestacado anclado, la nomenclatura utilizada fue introducida en el

capitulo I y por eso no se vuelve a definir:

Tabla 3.1. Parámetros de las variables aleatorias.

Variable Función de Distribución

Media (µµ)

Desviación Estándar

(σσ)

Coeficiente de Variación

(%)

fy LogNormal 250 MPa 20 MPa 8 fyanclaje LogNormal 420 MPa 21 MPa 5

γs1 Normal 18 kN/m3 1.8 kN/m3 10 φ1 Normal 25° 3° 12

γs′1 Normal 10 kN/ m3 0.8 kN/ m3 8 γs′2 Normal 11 kN/ m3 1.65 kN/m3 15 φ2 Normal 30° 2.1° 7

Los parámetros que se supusieron determinísticos se listan a continuación:

Tabla 3.2. Parámetros determinísticos(ver figura 1.11)

Parámetro Valor

h1 5.0 m

h2 1.0 m

hw 1.5 m

s 2.5 m


81

Las variables de optimización se supusieron todas distribuidas normalmente, para estas

variables no se define media, ni coeficiente de variación con el fin de no sesgar resultados y

solamente se especifica la desviación estándar. Así, el valor que se optimiza corresponde a

la media de la variable en cuestión.

Tabla 3.3. Variables de optimización.

Variable Desviación

Estándar

d 0.005 m

Ast 0.00001 m²

S 0.000001 m³

Hm 0.005 m

L 0.05 m

Para ver la definición de cada variable se debe referir a la sección 1.8 del presente

documento.

El modelo probabilístico de las variables del suelo(peso unitario y ángulo de fricción),

supone que dicho parámetros se encuentran correlacionados, esta aproximación es acertada

ya que entre mayor sea la densidad de un suelo su resistencia al corte es mayor y por ende

su ángulo de fricción interna también lo es.

La matriz que correlaciona los parámetros del suelo es la siguiente:


82

(66)

Donde σγs1 y σφ1 son la desviación estándar del peso unitario y el ángulo de fricción

interna de la porción del suelo 1, σγs´1 es la desviación estándar de la parte del suelo 1 que

se encuentra sumergida, σφ2 y σγs´2 son la desviación estándar del ángulo de fricción

interna y el peso unitario de la porción del suelo 2 respectivamente. Los parámetros ργs1φ1,

ργs2φ2 son los coeficiente de correlación entre el ángulo de fricción interna y el peso

unitario de cada una de las porciones de suelo, y se seleccionaron como 0.3 y 0.35

respectivamente.

Una vez se tiene definida la matriz de correlación se procede a “descorrelacionar” las

variables mediante el método de Cholesky expuesto en la sección 2.3.7.

3.2 Optimización de la profundidad de empotramiento de la tablestaca

El primer parámetro que se debe optimizar es la profundidad de empotramiento de la

tablestaca, esto con el fin de poder conocer todas las fuerzas que actúan sobre la tablestaca

y así poder obtener los demás valores del diseño.

Cx

σγs12

ργs1φ1 σγs1⋅ σφ1⋅

0

0

0


σφ12

ργs1φ1 σγs´1⋅ σφ1⋅

0

0

0


σγs´12

0

0

0

0

0

σγs´22


0

0

0


σφ22

:=


83

Para calcular la profundidad de la tablestaca se realiza la sumatoria de momentos con

respecto a la posición donde se colocan los anclajes y dicho momento se iguala a cero para

restringir la rotación de la tablestaca.

La ecuación de estado límite se presenta a continuación:

ivoMomentopasivoMomentoactsssdGmomento −=)2,2´,1́,1,1,( φγγφγ (67)

La variable d corresponde a la parte de la profundidad de empotramiento de la tablestaca

que se encuentra trabajando bajo la acción de la presión pasiva, el momento activo

corresponde a la sumatoria de momentos de las fuerzas que ejercen una presión activa de

tierras sobre la tablestaca y el momento pasivo al producto de la fuerza pasiva de tierras por

su distancia al punto de aplicación de los anclajes, el cálculo de estos momentos se presenta

en la sección 1.8.

Después de plantear la ecuación de estado límite, se calcula la probabilidad de falla en

función del parámetro de optimización d, este procedimiento consiste en obtener diferentes

puntos de la probabilidad de falla variando la profundidad d y luego aproximar la función

por medio de una regresión.

La probabilidad de falla en función de d, se gráfica a continuación:


84

1.25 1.36 1.47 1.58 1.69 1.80

0.35

0.7

1.05

Profundidad(m)

Prob

abili

dad

de F

alla

1.05

0

f d( )

1.81.25 d

Figura 3.1 Probabilidad de falla a la rotación en función de la profundidad de presión pasiva d. Cuando se ha realizado el análisis de confiabilidad estructural y se ha calculado la

probabilidad de falla en función del parámetro de optimización se deben definir los

aspectos económicos con el fin de poder plantear la relación de beneficio-costo y así poder

llevar a cabo la optimización.

Tabla 3.4 Funciones de costo para la optimización de la profundidad de empotramiento

ITEM Función de costo (US$)

Costo inicial ( ) 50102.11107 +××+= hwhCO

Costo de

construcción 0101072.1)( CddC +×××=

Costo de las

pérdidas OFM CHHH 3=+=

Beneficio OCb 10.0=


85

La variable d en el costo de construcción hace referencia a la profundidad de

empotramiento de la tablestaca.

Para realizar el primer proceso de optimización se supuso un costo del terreno de 50

dólares, una extensión del terreno contenido de 10m, una tasa de descuento γ del 4%, un

costo del acero de 1.2 dólares / kilo y un peso de la sección de la tablestaca de 107 kg / ml.

Al plantear los costos de la primera optimización se realizan varías suposiciones, sin

embargo el modelo económico se ajusta paulatinamente mientras se optimizan los demás

parámetros del diseño.

La función de beneficio es la siguiente:

)(1)(

))(()(0

00)(

zfzf

HzCzCC

zZ−

×+−−×

=γ

β (68)

Donde z es el parámetro de optimización, β0 es el porcentaje del costo inicial que se toma

como beneficio directo, γ0 es la tasa de descuento, C(z) es el costo de construcción, H es el

costo de las pérdidas y f(z) es la probabilidad de falla en función del parámetro de

optimización.


86

Figura 3.2 Funciones de beneficio, costo de construcción y costo de pérdidas en términos

de la profundidad de empotramiento

La función beneficio se observa en la figura 3.2 con color magenta y se define como Z(pp),

la función del costo de construcción es la curva de color rojo definida como C(pp) y la

función del costo de pérdidas es la curva de color azul definida como D1(pp).

El punto óptimo de mayor beneficio es 1.67 m, que equivale a una profundidad total de

empotramiento de 2.21 m, produce un beneficio de 10450 dólares con una probabilidad de

falla de 1.187 x 10-4, probabilidad que representa un seguridad adecuada para cualquier

estructura.

3.3 Optimización del área de acero de los anclajes

Cuando se ha definido la altura total de la tablestaca se pueden conocer todas las fuerzas

que actúan sobre esta, el siguiente paso en el diseño tradicional sería seleccionar el área de

1 2 3 40

5000

1 .104

1.5 .104

Profundidad(m)

19000

500−

C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

41 pp


87

G γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, Ast,( ) Ast fyanclaje⋅ 1000⋅ Tneta γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=

acero de los anclajes, para esto se calcula la fuerza que actúa sobre estos y se chequea el

límite de fluencia.

La ecuación de estado límite para el proceso de optimización de los anclajes es la siguiente:

(69)

Donde Ast es el área de acero de los anclajes que se busca optimizar , fyanclaje es el

esfuerzo de fluencia del acero, y la función Tneta, es la tensión que actúa sobre cada anclaje

que se encuentra espaciado 2.5 m.

La probabilidad de falla de los anclajes en función del área de acero de los mismos es:

Figura 3.3 Probabilidad de falla de los anclajes en función del área de acero de los

mismos

0 2 .105

4 .105

6 .105

8 .105

1 .104

0

0.33

0.67

1

Area de Acero(m2)

Prob

abili

dad

de F

alla

1

0

f2 As( )

0.00010 As


88

Es claro que al aumentar el área de acero de los anclajes la probabilidad de falla debe

disminuir.

Al tener más información acerca de los parámetros estructurales de la tablestaca se

ajustaron los costos de la misma con el fin de realizar un optimización más acertada.

Tabla 3.5 Funciones de costo para la optimización del área de acero de los anclajes


Costo inicial 5042.1780014000071.02.110107 +××××+×××= DoptCO

Costo de

construcción 041478002.1)( CAsAsC +××××=

Costo de las


Beneficio OCb 10.0=

El parámetro Dopt corresponde a la profundidad de empotramiento de la tablestaca que se

optimizó en la sección anterior, se supone un anclaje con un área mínima de 0.000071 m2

correspondiente al área de una varilla # 3, la densidad del acero se supuso como 7800 kg /

m3 y se toman cuatro anclajes debido a que es el número de anclajes que hay por cada 10

metros de tablestaca. Como aún no se ha optimizado el área de la sección de la tablestaca se

supone que esta tiene un peso de 107 kg / ml.


89

El costo de construcción depende del área del acero de los anclajes y se supone una

longitud de 1os mismos de 14 m. El costo del acero se mantiene al igual que la tasa de

descuento de los costos.

Con estos nuevos costos se plantea la ecuación de beneficio.

)(21)(2

))(()(0

00)(

zfzf

HzCzCC

zZ−

×+−−×

=γ

β (70)

La función f2( ) representa la probabilidad de falla por fluencia de los anclajes en función

del área de acero.


del área de acero de los anclajes

El punto de mayor beneficio corresponde a 0.00014 m2 de área de acero, un beneficio de

16830 dólares y una probabilidad de falla de 7.5 x 10-5.

0 1.25 .1042.5 .10

43.75 .10

45 .10

43000

5250

1.35 .104

2.18 .104

3 .104

Area de Acero(m2)

30000

3000−

C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

0.00050 pp


90

Gmomγsa γsb, γs, φa, φb, fy, S,( ) S fy⋅ 1000⋅ Mmax γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=

3.4 Optimización del modulo de sección de la tablestaca

El siguiente paso en el diseño de los muros tablestacados anclados es escoger el modulo de

sección de la tablestaca, y con este modulo de sección se debe escoger una tablestaca que

cumpla los requerimientos de la flexión sobre el muro.

El máximo momento ocurre donde el cortante es mínimo, el planteamiento a seguir para

encontrar el momento máximo se explica en la sección 1.8.

Una vez se plantea la ecuación del momento máximo se define la ecuación de estado límite

como:

(71)

S es el módulo de sección de la tablestaca, fy representa el esfuerzo de fluencia de la

sección y se multiplica por 1000 para mantener las mismas dimensiones. Ambas variables

multiplicadas representan el momento resistente de la sección.

Luego de plantear la función de estado límite en términos de las variables aleatorias y el

parámetro de optimización, mediante las técnicas de Monte Carlo se calcula la función de

probabilidad de falla en términos del módulo de sección de la tablestaca.


91

Figura 3.5 Probabilidad de falla a flexión de la tablestaca en función del modulo de sección

Al tener más información acerca de los costos estos se modifican para acercarse más al

beneficio verdadero.

Tabla 3.6 Funciones de costo para la optimización del módulo de sección de la tablestaca


Costo inicial 5042.17800142.110107 +××××+×××= AsoptDoptCO

Costo de

construcción 0101401852)1(2.1)( CShwhDoptSC +×××++×=

Costo de las


Beneficio OCb 10.0=

0 2 .105

4 .105

6 .105

8 .105

1 .104

0

0.33

0.67

1

Modulo de Sección(m2)

Prob

abili

dad

de F

alla

1

0

f3 a( )

0.00010 a


92

Para calcular el peso de la tablestaca se supone una densidad de 1401852 kg / m4 en

función del modulo de Sección S y de la longitud de la tablestaca. El área de acero de los

anclajes se fija en el punto óptimo y los demás parámetros económicos se dejan igual que

para las optimizaciones anteriores.

La función de beneficio es:

)(31

)(3))(()(

0

00)(

Sf

SfHSCSC

CSZ

−×+−−

×=

γβ

(72)

La función f3 representa la probabilidad de falla a flexión de la tablestaca en función del

modulo de sección S.


del módulo de sección de la tablestaca.

0 4 .10 5 8 .10 5 1.2 .10 41.6 .10 43000

2750

8500

1.43 .104

2 .104


20000

3000−

C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

0.000160 pp


93

Gh γsa γsb, γs, φa, φb, Hm,( ) Hm2

0.5⋅ γsa⋅ Kp φa( ) Ka φa( )−( )⋅ 1⋅ T γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=

El valor óptimo del módulo de sección es 5.18 x 10-5 m3, dicho módulo tiene una

probabilidad de falla de 0.0057 y un beneficio de 6200 dólares.

3.5 Optimización de la altura del peso muerto

Como ya se han encontrado todas las fuerzas sobre la tablestaca y ya se conoce la tensión

sobre los anclajes, el siguiente paso es determinar la altura del peso muerto continuo

cercano a la superficie que debe soportar de manera pasiva la fuerza sobre los anclajes(ver

sección 1.7.1).

El peso muerto soporta la tensión que producen los anclajes mediante la acción de la

presión de tierras pasiva, la ecuación de estado limite por falla al deslizamiento es la

siguiente:

(73)

Donde Hm es la altura del peso muerto, Kp el coeficiente de presión pasiva de tierras, Ka el

coeficiente de presión activa de tierras y T es la tensión por metro lineal de tablestaca.

Una vez se ha planteado la ecuación de estado límite mediante técnicas de Monte Carlo se

calcula la probabilidad de falla en función de la altura del peso muerto.


94

Figura 3.7 Probabilidad de falla por deslizamiento del peso muerto en función de su altura

Siguiendo la filosofía de la optimizaciones anteriores se procede a ajustar las funciones de

costo:

Tabla 3.7 Funciones de costo para la optimización de la altura del peso muerto


Costo inicial 5042.17800142.1101401852 +××××+××××= AsoptSoptDoptCO

Costo de

construcción 02.170105.0105.0170)( ChhhC +××××+×××=

Costo de las


Beneficio OCb 10.0=

El costo inicial se actualiza incluyendo el módulo de sección que se cálculo en la sección

anterior, y para obtener el costo de construcción que depende de la altura del peso muerto,

este se divide en dos partes, el costo del concreto y el costo del acero. Para el costo del

concreto se supone un ancho de 0.5 metros y un costo de m3 de concreto de 170 dólares; y

0 0.24 0.48 0.72 0.96 1.20

0.33

0.67

1

Altura(m)

Prob

abili

dad

de F

alla

1

0

f4 h( )

1.20 h


95

para obtener el costo del acero se supone una cuantía de acero de 70 kg / m3 de concreto y

un costo del kilo de acero de 1.2 dólares.

Luego de actualizar los costos se plantea la ecuación de beneficio dependiente del

parámetro de optimización que es la altura del peso muerto.

)(41

)(4))(()(

0

00)(

Hmf

HmfHHmCHmC

CHmZ

−×+−−

×=

γβ

(74)

La función de beneficio, costo de construcción y costo de las pérdidas se gráfica a

continuación:


de la altura del peso muerto

La altura del peso muerto que produce un mayor beneficio es 0.84 metros, dicho beneficio

es de 1954 dólares y tiene una probabilidad de falla de 5.71 x 10-3.

0 1 2 3 4

0

2000

4000

6000

Profundidad(m)

7000

500−

C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

40 pp


96

GL γsa γsb, γs, φb, L,( ) LD γsa γsb, γs, φb,( ) h1+ hw+

tan φb( )−:=

10 11.6 13.2 14.8 16.4 180

0.37

0.73

1.1

Profundidad(m)

Prob

abili

dad

de F

alla

1.1

0

f5 l 10+( )

1810 l 10+

3.6 Optimización de la longitud de los anclajes

El último parámetro que se obtiene del diseño tradicional es la ubicación del peso muerto

que determina la longitud de los anclajes, la metodología del cálculo se explica en la

sección 1.7.2.

La ecuación de estado limite que determina la falla de los anclajes por estar dentro de la

superficie del suelo es:

(75)

L es la longitud horizontal de los anclajes y D es la profundidad óptima de empotramiento

de la tablestaca. La probabilidad de falla de los anclajes en función de la longitud de los

mismos se calcula mediante las técnicas de Monte Carlo.

Figura 3.9 Función de probabilidad de falla en términos de la longitud de los anclajes

Las ecuaciones de costo se actualizan por última vez.


97

Tabla 3.8 Funciones de costo para la optimización del la longitud de los anclajes


Costo inicial 502.170105.0105.0170

42.1780012.1101401852

+××××+×××

+××××+××××=

HmoptHmopt

AsoptSoptDoptCO

Costo de

construcción 042.17800)( CLAsoptLC +××××=

Costo de las


Beneficio OCb 10.0=

Dentro del costo inicial se incluye el costo del peso muerto y se reduce la longitud del

anclaje a un metro, para calcular el costo de construcción se multiplica el área de acero

óptimo de los anclajes por la longitud y por el costo de acero de 1.2 dólares.

La función de beneficio en términos de la longitud de los anclajes es:

)(51

)(5))(()(

0

00)(

Lf

LfHLCLC

CLZ

−×+−−

×=

γβ

(76)

Donde f5(L) es la función de probabilidad de falla en términos de la longitud de los

anclajes.


98


de la longitud de los anclajes

La longitud óptima de los anclajes es 15.3 metros, produce un beneficio de 3047 dólares y

una probabilidad de falla de 1.17 x 10-4.

3.7 Análisis comparativo entre el diseño tradicional y el diseño óptimo probabilístico

Los resultados de ambos diseños se listan a continuación:

15 20 25

0

2000

4000

6000

Profundidad(m)

7000

500−

C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

2614 pp


99

Tabla 3.9 Tabla comparativa entre ambas metodologías

Parámetro Diseño Tradicional Diseño Óptimo Probabilístico

Profundidad de

empotramiento de la

Tablestaca (D)

3.02 m 2.21 m

Área de acero de los

anclajes requerida (Ast)

1.13 cm2

1.4 cm2

Modulo de sección

requerido de la

tablestaca (S)

4.782 x 10-5 m3 5.18 x 10-5 m3

Altura del peso muerto

(Hm)

0.95 m 0.84 m

Longitud del anclaje

(L)

15.62 m 15.3 m

La diferencia significativa se presenta en la altura total de la tablestaca, la altura del peso

muerto y la longitud de los anclajes. El área de acero de los anclajes es menor en el diseño

tradicional puesto que al ser mayor la profundidad de empotramiento de la tablestaca los

anclajes trabajan menos y por ello se necesita una menor sección de los mismos. El costo

total del diseño tradicional es de 2666 dólares y el del diseño óptimo probabilístico es de

2161 dólares, esto representa un ahorro de 505 dólares en solo una sección de 10 m.


100

R2:

predY mean Y( )−( )2

→

∑

Y mean Y( )−( )2

→

∑0.968=

3.8 Optimización de múltiples variables

Para mostrar el procedimiento de la optimización múltiple se optimizó el área de acero de

los anclajes y la separación de los mismos. El primer paso a seguir es expresar la ecuación

de estado límite en términos de ambos parámetros de optimización, en este caso la

separación de los anclajes y el área de acero:

G γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, Ast, s,( ) Ast fyanclaje⋅ 1000⋅ Tneta γsa γsb, γs, φa, φb, s,( )−:= (77)

La variable Ast es el área de los anclajes y s es la distancia que existe entre ellos.

Después de plantear la ecuación de estado límite se debe aproximar la superficie de

probabilidades de falla en términos de los parámetros de optimización, para esto se hace

uso de la teoría de la regresión múltiple expuesta en la sección 2.4. Para realizar la

regresión múltiple se generan valores de la probabilidad de falla mediante las técnicas de

Monte Carlo variando el área de acero y la separación de los anclajes. Una vez se tienen los

valores generados se aproxima la superficie mediante un polinomio de funciones.

El coeficiente de determinación R2 en este caso fue de 0.968, lo que índica que la

aproximación que se realizó a la superficie fue satisfactoria.

( 78)


101

Donde la función mean( ), representa el valor original de la variable y el parámetro predY

es el valor predecido de la variable mediante la regresión múltiple. Los residuos entre el

valor real y el predecido se grafican a continuación:

0 0.5 1

0.2

0

0.2

Residuals vs. Y scale

scale−

0residi

0.9660 Yi

Figura 3.11 gráfica de los residuos entre el valor real y el predecido

Los costos deben expresarse en términos de ambos parámetros de optimización:

Tabla 3.10 Funciones de costo para la optimización múltiple


Costo inicial 5012.1780014000071.02.110107 +××××+×××= DoptCO

Costo de

construcción 0

101478002.1),( CAs

ssAsC +××××=

Costo de las


Beneficio OCb 10.0=

El costo inicial se define partiendo de un área mínima de acero correspondiente a una

varilla # 3 , y se supone la presencia de un solo anclaje, para definir el costo de

construcción se expresa el mismo en término de los dos parámetros de optimización, As y s.


102

La función de beneficio en términos de ambos parámetros es:

(79)

La función fit( ) corresponde a la aproximación de la superficie de falla que se realizó

mediante la regresión múltiple.

La combinación que produjo un mayor beneficio fue As = 3.1 cm2 y una separación s de

4.03 metros, con un beneficio de 16760 dólares y una probabilidad de falla 4.241 x 10-5.

Z As s,( )β0 C0⋅

γ0C As s,( )− C As s,( ) H+( )

fitAs

s

1 fitAs

s

−

⋅−:=


103

CONCLUSIONES

• El diseño óptimo probabilístico es una herramienta poderosa que reemplaza la teoría

de los factores de seguridad y que puede brindar en muchos casos, como se

demostró en este documento, una economía apreciable a los diseños de obras

civiles.

• La mayoría de los diseños tradicionales producen sobrecostos ya que no tienen en

cuenta el análisis de costos, el beneficio del proyecto, y diseñan en el lado de la

máxima seguridad, sobrediseñando todas las condiciones que se encuentren por

debajo de ese punto. Por ejemplo, un código calcula los factores de seguridad para

la condición de esbeltez máxima de una columna, y le aplica ese factor de seguridad

a todas las columnas que tienen una esbeltez menor sobrediseñándolas.

• Para poder aplicar de manera correcta la teoría de la confiabilidad y de la

optimización a los diseños de proyectos técnicos, se deben realizar modelos

económicos que sean veraces y que se ajusten a la realidad del proyecto, además se

debe tener una base de datos experimentales los suficientemente amplia que permita

calcular las distribuciones de probabilidad y los parámetros de las mismas, para

todas la variables que se incluyen en el diseño de manera confiable.


104

• La optimización múltiple permite optimizar al tiempo varios parámetros del diseño

de un proyecto técnico, sin embargo debe tenerse cuidado con el tipo de

aproximación que se realiza y con los máximos locales que puedan presentarse, para

esto se debe buscar con criterio la combinación de parámetros que produzca el

máximo beneficio.

• Como conclusión final a este documento se debería incluir la posibilidad de realizar

este tipo de análisis en la Norma Sismorresistente Colombiana, cuando se tenga la

suficiente información estadística de las variables de diseño, ya que los beneficios

económicos son evidentes, y en un país como el nuestro en donde los recursos son

limitados el ahorro podría verse reflejado en la elaboración de más proyectos de

infraestructura que nos beneficiarían a todos.


105

BIBLIOGRAFIA

• Andrzej S. Nowak, Kevin R. Collins (2000), Reliability of Structures. McGraw Hill.

• Lind N., Tolerable Risk(2001), Conference report, Safety, risk and Reliability-

Trends in Engineering, Malta, March 21-23, 2001.

• Melchers R.E. (1987), Structural Reliability and Prediction. Ellis Horwood Limited,

New York.

• Nathwani J.S., Lind N.C. and Pandey M.D.(1997), Affordable Safety by Choice: the

Life Quality Method. Institute for Risk Research, University of Waterloo, Ontario

Canada.

• Rackwitz R. (2000), Optimization-The basis of code making and reliability

verification. Structural Safety, Vol. 22, No. 1, pp 27-60.

• Rackwitz R.(2001b), Structural optimization and the Life Quality Index. Proc. of

the ICOSSAR-01 Conference, New Port Beach C.A.

• Tang W., Ang A. (1975), Probability concepts in Engineering planning and design.

John Willey & Sons.

• Tang W., Ang A. (1975), Probability concepts in Engineering safety and risk

assessment. John Willey & Sons, Vol 2.

• Wen Y.K. (2000), Reliability and Performance Based Design. 8th ASCE Special

Conference on Probabilistic Mechanics and Structural reliability. Notre Dame,

2000.

• Bowles J.E. (1998). "Foundation analysis and design", McGraw Hill, New York.


106

• Ellingwood B.(2000). "probability based structural design: prospects for acceptable

risk bases", in 8th International Conference on Applications of Statistics and

Probability in Civil Engineering, R.E. Melchers and M.G. Stwart, Eds. (2000) pp.

11-18, Balkema, July, Sydney.

• Nathwani J.S. Lind N.C. Pandey M.D. (1997). "Affordable Safety by Choice, the

Life Quality Method", Institute for risk research, University of Waterloo-Canada.

• Phoon K.K. Lui S.L. Chow Y.K. (2000). "Simplified reliability-based design of

cantilever walls in cohesionless soils", Procc. thirteenth KKNN Seminar on Civil

Engineering, December 7-8. Taipei Taiwan.

• Rackwitz R. (2002). "Optimization and risk acceptability based on the life quality

index" Structural Safety, vol. 24, pp. 297-331.

• Sánchez-Silva M. Rackwitz R.(2002), To be published). "Implications of the high

quality index in the design of optimum structures to withstand earthquakes".

• Devore J,(1998). "Probabilidad y Estadística para ingeniería y ciencias", Thomson

Editores, México.


107

ANEXO 1

DISEÑO TRADICIONAL MURO TABLESTACADO ANCLADO

Kp2 3.732=

Kp2 tan 45π

180⋅ φ2+

:=

Kp1 2.747=

Kp1 tan 45π

180⋅ φ1+

:=

φ2 30π

180⋅:=γs´2 11:=

φ1 25π

180⋅:=γs´1 10:=γs1 18:=

Parametros del suelo

fyanclaje 420:=

fy 250:=

Materiales

s 2.5:=

Separación de los anclajes

hw 1.5:=h2 1.0:=h1 5:=

Parametros Geométricos

Unidades MPa, kN, m

D

h1

h2 hw

L

hm

Diseño Tradicional

b4 hw h1+y

3+ h2−:=

b3 hw2

3h1⋅+ h2−:=

b2 hwh1

2+ h2−:=

b1 hw2

3⋅ h2−:=

Sumatoria de Momentos con respecto a la posición del anclaje

Presiones1 h( ) γs1 h⋅ Ka1⋅ h hw<if

γs1 hw⋅ Ka1⋅ γs´1 h hw−( )⋅ Ka1⋅+ h hw≥ h hw h1+<∧if

γs1 hw⋅ γs´1 h1⋅+( ) Ka2⋅ γs´2 Kp2 Ka1−( )⋅ h h1− hw−( )⋅− h hw h1+>if

:=

y 0.541=

yP3

Pendiente:=

Pendiente 38.105=

Pendiente γs´2 Kp2 Ka2−( )⋅:=

P3 20.632=

P3 γs1 hw⋅ γs´1 h1⋅+( ) Ka2⋅:=

P2 28.026=

P2 γs´1 h1⋅ Ka1⋅ P1+:=

P1 9.827=

P1 γs1 hw⋅ Ka1⋅:=

Cálculo de Presiones

Ka2 0.268=

Ka2 tan 45π

180⋅ φ2−

:=

Ka1 0.364=

Ka1 tan 45π

180⋅ φ1−

:=

b5 h1 hw+ y+ h2−:=

M d( ) P1hw

2⋅ b1( )⋅ P1 h1⋅ b2⋅+

P2 P1−( )

2h1⋅ b3⋅+

P3

2y⋅ b4( )⋅+

Pendiente

2d

2⋅ b5

2

3d⋅+

⋅−:=

D1 root M d( ) d, 0, 10,( ):=

D1 1.615=

M D1( ) 0=

D D1 y+:=

D 2.156=

0 2.16 4.33 6.49 8.6680

52.5

25

2.5

30

Presiones1 h( )

0

h

Tension sobre el anclaje

T P1hw

2⋅ P1 h1⋅+

P2 P1−( )

2h1⋅+ P3

y

2⋅+

Pendiente D2

⋅2

−:=

T 19.021=

Cálculo del momento máximo

*Se supone que el punto de cortante cero queda localizado por debajo del nivel freático

Cortante x( ) T P1hw

2⋅− P1 x⋅−

γs´1 Ka1⋅ x2

⋅2

−:=

Cortante 0( ) 11.65=

Cortante hw h1+( ) 129.115−=

L 14.127=

LD h1+ h2+

tan φ2( ):=

Localización del Peso Muerto

Hm 0.942=

HmT

0.5 γs1⋅ Kp1 Ka1−( )⋅:=

Cálculo de la altura del Peso Muerto

Ast 1.132 104−

×=

AstTneta

fyanclaje 1000⋅:=

Tneta 47.551=

Tneta s T⋅:=

Cálculo del área requerida de Acero

S 4.782 105−

×=

SMmax

fy 1000⋅:=

Modulo de Sección Requerida

Mmax 11.955=

Mmax P1hw

2⋅ x

hw

3+

⋅ P1 x⋅x

2⋅+ γs´1 x

2⋅

Ka1

2⋅

x

3⋅+ T x hw+ h2−( )⋅−:=

Cortante x( ) 0=

x 1=

x root Cortante x( ) x, 0, hw h1+,( ):=


112

ANEXO 2

DISEÑO ÓPTIMO PROBABILÍSTICO DE UN MURO TABLESTACADO

ANCLADO

σfyanclaje 21=

σfyanclaje µfyanclaje Vfyanclaje⋅:=

Vfyanclaje 0.05:=µfyanclaje 420:=

σlnfy 0.08=

µlnfy 5.518=

µlnfy ln µfy( ) 0.5 σlnfy2

⋅−:=

σlnfy lnσfy

µfy

2

1+

0.5

:=

σfy 20=

σfy µfy Vfy⋅:=

Vfy 0.08:=µfy 250:=

Materiales

Distribuidos Log-Normalmente

s 2.5:=


hw 1.5:=h2 1.0:=h1 5:=


Unidades MPa, kN, m

D

h1

h2 hw

L

hm

Diseño Probabilístico Óptimo

σφ2 0.037=

σφ2 µφ2 Vφ2⋅:=

Vφ2 0.07:=µφ2 30π

180⋅:=

σγs´2 1.65=

σγs´2 µγs´2 Vγs´2⋅:=

Vγs´2 0.15:=µγs´2 11:=

σγs´1 0.8=


Vγs´1 0.08:=µγs´1 10:=

σφ1 0.052=


µφ1 0.436=

Vφ1 0.12:=µφ1 25π

180⋅:=

σγs1 1.8=

σγs1 µγs1 Vγs1⋅:=

Vγs1 0.1:=µγs1 18:=

ργs2φ2 0.35:=

ργs1φ1 0.3:=

Distribuidas Normalmente Correlacionadas


σlnfyanclaje 0.05=

µlnfyanclaje 6.039=

µlnfyanclaje ln µfyanclaje( ) 0.5 σlnfyanclaje2

⋅−:=

σlnfyanclaje lnσfyanclaje

µfyanclaje

2

1+

0.5

:=

Variables de Optimización

σd 0.005:= σAst 0.00001:= σS 0.000001:= σHm 0.005:= σL 0.05:=

Descorrelacion de la variables aleatorias

Cx

σγs12


0

0

0


σφ12


0

0

0


σγs´12

0

0

0

0

0

σγs´22


0

0

0


σφ22

:=

B1 cholesky Cx( ):=

B1

1.8

0.016

0

0

0

0

0.05

0.252

0

0

0

0

0.759

0

0

0

0

0

1.65

0.013

0

0

0

0

0.034

=

U u1 u2, u3, u4, u5,( )

u1

u2

u3

u4

u5

:=

µx

µγs1

µφ1

µγs´1

µγs´2

µφ2

:=

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( ) B1 U u1 u2, u3, u4, u5,( )⋅ µx+:=

y γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( )Pendiente γs φb,( ):=

Pendiente µγs´2 µφ2,( ) 38.105=

Pendiente γs φb,( ) γs Kp φb( ) Ka φb( )−( )⋅:=

P3 µγs1 µγs´1, µφ2,( ) 20.632=

P3 γsa γsb, φb,( ) γsa hw⋅ γsb h1⋅+( ) Ka φb( )⋅:=

P2 µγs1 µφ1, µγs´1,( ) 28.026=

P2 γsa φa, γsb,( ) γsb h1⋅ Ka φa( )⋅ P1 γsa φa,( )+:=

P1 µγs1 µφ1,( ) 9.827=

P1 γsa φa,( ) γsa hw⋅ Ka φa( )⋅:=


Ka µφ2( ) 0.268=

Ka µφ1( ) 0.364=

Ka φ( ) tan 45π

180⋅ φ−

:=

Kp µφ2( ) 3.732=

Kp µφ1( ) 2.747=

Kp φ( ) tan 45π

180⋅ φ+

:=

X1 0.677 0.456, 0.534, 0.05, 0.7,( )

19.219

0.47

10.52

11.082

0.548

=

y µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 0.541=

Función de Estado Límite 1

Profundidad de la Tablestaca

b1 hw2

3⋅ h2−:=

b2 hwh1

2+ h2−:=

P2S γsa φa, γsb,( ) P2 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( )−:=

b3 hw2

3h1⋅+ h2−:=

P3S γsa γsb, γs, φa,( ) P1 γsa φa,( ) hw

2⋅ b1⋅ P1 γsa φa,( ) h1⋅ b2⋅+

P2S γsa φa, γsb,( )2

h1⋅ b3⋅+:=

P4S γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( )2

y γsa γsb, γs, φb,( )⋅ hw h1+y γsa γsb, γs, φb,( )

3+ h2−

⋅:=

P5S γsa γsb, γs, φb, d,( ) Pendiente γs φb,( )2

d2

⋅ h1 hw+ y γsa γsb, γs, φb,( )+2

3d⋅+ h2−

⋅:=

M γsa γsb, γs, φa, φb, d,( ) P3S γsa γsb, γs, φa,( ) P4S γsa γsb, γs, φb,( )+ P5S γsa γsb, γs, φb, d,( )−:=

X u1 u2, u3, u4, u5, u6, d,( )

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4

d qnorm u6 0, 1,( ) σd⋅+

:=

ANALISIS MONTECARLO

MonteCarlo1 d N, iteraciones,( ) suma 0←

Ci 2 j⋅,

rnd 1( )←

Ci 2 j⋅ 1+,

X Ci 2 j⋅,

Ci 2 j⋅,, C

i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, C

i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, d,( ) j←

i 0 iteraciones 1−..( )∈for

j 0 N 1−..( )∈for

Cj2 2 N⋅,

M Cj2 1,

Cj2 5,, C

j2 7,, Cj2 3,, C

j2 9,, Cj2 11,,( )←

Cj2 2 N⋅ 1+,

1← Cj2 2 N⋅,

0>if

Cj2 2 N⋅ 1+,

0← otherwise

suma Cj2 2 N⋅ 1+,

suma+←

j2 0 iteraciones 1−..( )∈for

C0 2 N⋅ 2+,

suma

iteraciones←

suma

iteraciones

:=

Pf MonteCarlo1 0 6, 10000,( ):=

Pf 1=

MONT1 N iteraciones,( )

dj

501+←

PWj

MonteCarlo1 d N, iteraciones,( )←

j 0 50..( )∈for

PW

:=

V MONT1 6 1000,( ):=

i 0 1, 50..:=

1.25 1.36 1.47 1.58 1.69 1.80

0.33

0.67

1

Profundidad(m)

Prob

abili

dad

de F

alla

Vi

fi

501+

i

501+

Optimizacion de la Profundidad de la Tablestaca

Datos Monetarios

Datos en Dolares

*50 dolares costo del terreno

Costo de la estructura independientedel parametro de optimizacion

*Se toma una profundidad de 10m y se supone una sección mínima

Costo kilo de acero = 1.2 dólares

C0 107 h1 hw+( )⋅ 1.2⋅ 10⋅ 50+:= C1 1.2 107⋅ 10⋅:=

C0 8.396 103

×=

Tasa de Interes para Colombia

γ0 0.04:=

Beneficio

β0 0.10:=

Costo de la Tablestaca

C z( ) z C1⋅ C0+:=

C 10( ) 2.124 104

×=

Costo de remocion de escombros y demolicion

HM 3 C0⋅:=

HM 2.519 104

×=

Costo directo de la falla

H HM:=

H 2.519 104

×=

Costo de la Falla

D1 z( ) C z( ) H+( )f z( )

1 f z( )−⋅:=

Funcion de Beneficio

Z z( )β0 C0⋅

γ0C z( )− C z( ) H+( )

f z( )

1 f z( )−⋅−:=

1 2 3 40

5000

1 .104

1.5 .104

2 .104

Profundidad(m)

C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

pp

Optimizacion

pp 1.6:=

Given

pp 1.5>

pp 2.0<

dopt Maximize Z pp,( ):=

Ancho Optimo

dopt 1.667=

Z dopt( ) 1.045 104

×=

f dopt( ) 1.187 104−

×=

D1 dopt( ) 4.243=

pp 0 0.01, 10..:=

1.3 3.47 5.65 7.82 101000

3000

7000

1.1 .104

1.5 .104

Profundidad(m)

Z pp( )

0

pp

M µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, dopt,( ) 25.3−=

D γsa γsb, γs, φb,( ) dopt y γsa γsb, γs, φb,( )+:=

D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 2.209=

Ecuación de Estado Limite 2


T1S γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( ) hw

2⋅ P1 γsa φa,( ) h1⋅+

P2 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( )−( )2

h1⋅+:=

T2S γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( ) y γsa γsb, γs, φb,( )2

⋅:=

T γsa γsb, γs, φa, φb,( ) T1S γsa φa, γsb,( ) T2S γsa γsb, γs, φb,( )+Pendiente γs φb,( ) D γsa γsb, γs, φb,( )2

⋅2

−:=

T µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 14.633=

Tneta γsa γsb, γs, φa, φb,( ) s T γsa γsb, γs, φa, φb,( )⋅:=

Tneta µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 36.583=

Ast γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje,( ) Tneta γsa γsb, γs, φa, φb,( )fyanclaje 1000⋅

:=

Ast µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, µfyanclaje,( ) 8.71 105−

×=

G γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, Ast,( ) Ast fyanclaje⋅ 1000⋅ Tneta γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=

G µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, µfyanclaje, 0,( ) 36.583−=

X u1 u2, u3, u4, u5, u6, u7, As,( )

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4

exp µlnfyanclaje σlnfyanclaje u6⋅+( )As qnorm u7 0, 1,( ) σAst⋅+

:=

ANALISIS MONTECARLO

MC2 Ast N, iteraciones,( ) suma 0←

Di 2 j⋅,

rnd 1( )←

Di 2 j⋅ 1+,

X Di 2 j⋅,

Di 2 j⋅,, D

i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D

i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D

i 2 j⋅,, Ast,( ) j←


j 0 N 1−..( )∈for

Dj2 2 N⋅,

G Dj2 1,

Dj2 5,, D

j2 7,, Dj2 3,, D

j2 9,, Dj2 11,, D

j2 13,,( )←

Dj2 2 N⋅ 1+,

0← Dj2 2 N⋅,

0>if

Dj2 2 N⋅ 1+,

1← otherwise

suma Dj2 2 N⋅ 1+,

suma+←


D0 2 N⋅ 2+,

suma

iteraciones←

suma

iteraciones

:=

Pf MC2 0.000000001 7, 1000,( ):=

Pf 0.876=


dj

100000←

PWj

MC2 d N, iteraciones,( )←

j 0 50..( )∈for

PW

:=

V2 MONT2 7 1000,( ):=

i 0 1, 50..:=

0 2 .10 5 4 .10 5 6 .10 5 8 .10 5 1 .10 40

0.33

0.67

1

Area de Acero(m2)

Prob

abili

dad

de F

alla

V2i

f2i

100000

i

100000

Optimizacion del area de acero del anclaje

Datos Monetarios

Datos en Dolares



*Se toma una profundidad de 10m, se supone una sección minima y una área mínima de acero


C0 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) h1+ hw+( ) 107⋅ 10⋅ 1.2⋅ 0.000071 14⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅+ 50+:=

C0 1.127 104

×= C1 1.2 7800⋅ 14⋅ 4⋅:=


γ0 0.04:=

0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000

5250

1.35 .104

2.18 .104

3 .104

Area de Acero(m2)

C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

pp

pp 0 0.0000001, 0.001..:=

Z As( )β0 C0⋅

γ0C As( )− C As( ) H+( )

f2 As( )

1 f2 As( )−⋅−:=


D1 As( ) C As( ) H+( )f2 As( )

1 f2 As( )−⋅:=

Costo de la Falla

H 3.381 104

×=

H HM:=


HM 3.381 104

×=

HM 3 C0⋅:=


C 0.000071( ) 1.131 104

×=

C As( ) As C1⋅ C0+:=

Costo de la tablestaca

β0 0.10:=

Beneficio

Cortante x γsa, γsb, γs, φa, φb,( ) T γsa γsb, γs, φa, φb,( ) P1 γsa φa,( ) hw

2⋅− P1 γsa φa,( ) x⋅−

γsb Ka φa( )⋅ ⋅2

−:=

*Se supone que el punto de cortante cero queda localizado por debajo del nivel freático

Cálculo del momento máximo

pp 0 0.01, 10..:=

0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000

5250

1.35 .104

2.18 .104

3 .104

Area de Acero(m2)

Z pp( )

0

pp

pp 0 0.0000001, 0.001..:=

D1 Asopt( ) 3.405=

f2 Asopt( ) 7.542 105−

×=

Z Asopt( ) 1.683 104

×=

Asopt 1.399 104−

×=

Acero Optimo

Asopt Maximize Z pp,( ):=

pp 0.001<

pp 0.00001>

Given

pp 0.00001:=

Optimizacion

Cortante 2 µγs1, µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 19.671−=

x h1 hw+:=

x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) root Cortante x γsa, γsb, γs, φa, φb,( ) x,( ):=

x1 µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 0.659=

Cortante x1 µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) µγs1, µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 8.617− 106−

×=

PX1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) P1 γsa φa,( ) hw

2⋅ x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) hw

3+

⋅:=

PX2 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) P1 γsa φa,( ) x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( )⋅x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( )

2⋅:=

PX3 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) γsb x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( )2⋅

Ka φa( )2

⋅x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( )

3⋅:=

PX4 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) T γsa γsb, γs, φa, φb,( ) x1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) hw+ h2−( )⋅:=

PX5 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) PX1 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) PX2 γsa γsb, γs, φa, φb,( )+:=

Mmax γsa γsb, γs, φa, φb,( ) PX5 γsa γsb, γs, φa, φb,( ) PX3 γsa γsb, γs, φa, φb,( )+ PX4 γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=

Mmax µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 6.11=

Ecuación de Estado Límite 3

Momento Resistente

Gmom γsa γsb, γs, φa, φb, fy, S,( ) S fy⋅ 1000⋅ Mmax γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=

X u1 u2, u3, u4, u5, u6, u7, S,( )

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4

exp µlnfyanclaje σlnfyanclaje u6⋅+( )S qnorm u7 0, 1,( ) σS⋅+

:=

ANALISIS MONTECARLO

MC3 S N, iteraciones,( ) suma 0←

Di 2 j⋅,

rnd 1( )←

Di 2 j⋅ 1+,

X Di 2 j⋅,

Di 2 j⋅,, D

i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D

i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D

i 2 j⋅,, S,( ) j←


j 0 N 1−..( )∈for

Dj2 2 N⋅,

Gmom Dj2 1,

Dj2 5,, D

j2 7,, Dj2 3,, D

j2 9,, Dj2 11,, D

j2 13,,( )←

Dj2 2 N⋅ 1+,

0← Dj2 2 N⋅,

0>if

Dj2 2 N⋅ 1+,

1← otherwise

suma Dj2 2 N⋅ 1+,

suma+←


D0 2 N⋅ 2+,

suma

iteraciones←

suma

iteraciones

:=

Pf MC3 0.000000001 7, 1000,( ):=

Pf 0.941=


dj

100000←

PWj

MC3 d N, iteraciones,( )←

j 0 50..( )∈for

PW

:=

V3 MONT3 7 1000,( ):=

f3 x( ) exp 0.060512842− 2.8422633 1012

⋅ x3

⋅− 335.68291 x0.5

⋅−( ):=

i 0 1, 50..:=

0 2 .10 5 4 .10 5 6 .10 5 8 .10 5 1 .10 40

0.33

0.67

1


Prob

abili

dad

de F

alla

V3i

f3i

100000

i

100000

Optimizacion del modulo de sección requerido para la tablestaca

Datos Monetarios

Datos en Dolares



*Se toma una profundidad de 10m, se supone una sección minima y se utiliza el área de acero optima del anclaje


C0 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) h1+ hw+( ) 107⋅ 1.2⋅ 10⋅ Asopt 14⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅+ 50+:=

C0 1.131 104

×= C1 1.2 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( )⋅75.7

0.054 103−

⋅⋅ 10⋅:=


γ0 0.04:=

0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000

2750

8500

1.43 .104

2 .104


C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

pp

pp 0 0.0000001, 0.001..:=

Z S( )β0 C0⋅

γ0C S( )− C S( ) H+( )

f3 S( )

1 f3 S( )−⋅−:=


D1 S( ) C S( ) H+( )f3 S( )

1 f3 S( )−⋅:=

Costo de la Falla

H 3.392 104

×=

H HM:=


HM 3.392 104

×=

HM 3 C0⋅:=


C 0.000071( ) 1.394 104

×=

C S( ) S C1⋅ C0+:=


β0 0.10:=

Beneficio

Optimizacion

pp 0.00001:=

Given

pp 0.00001>

pp 0.001<

Sopt Maximize Z pp,( ):=

Ancho Optimo

Sopt 8.084 105−

×=

Z Sopt( ) 1.345 104

×=

f3 Sopt( ) 0.01=

D1 Sopt( ) 499.465=

pp 0 0.0000001, 0.001..:=

0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000

2750

8500

1.43 .104

2 .104


Z pp( )

0

pp

pp 0 0.01, 10..:=

Cálculo de la altura del Peso Muerto

Hm γsa γsb, γs, φa, φb,( ) T γsa γsb, γs, φa, φb,( )0.5 γsa⋅ Kp φa( ) Ka φa( )−( )⋅

:=

Hm µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 0.826=


Altura del peso propio

Gh γsa γsb, γs, φa, φb, Hm,( ) Hm2

0.5⋅ γsa⋅ Kp φa( ) Ka φa( )−( )⋅ 1⋅ T γsa γsb, γs, φa, φb,( )−:=

X u1 u2, u3, u4, u5, u6, Hm,( )

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4

Hm qnorm u6 0, 1,( ) σHm⋅+

:=

ANALISIS MONTECARLO

MonteCarlo4 Hm N, iteraciones,( ) suma 0←

Ci 2 j⋅,

rnd 1( )←

Ci 2 j⋅ 1+,

X Ci 2 j⋅,

Ci 2 j⋅,, C

i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, C

i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, Hm,( ) j←


j 0 N 1−..( )∈for

Cj2 2 N⋅,

Gh Cj2 1,

Cj2 5,, C

j2 7,, Cj2 3,, C

j2 9,, Cj2 11,,( )←

Cj2 2 N⋅ 1+,

0← Cj2 2 N⋅,

0>if

Cj2 2 N⋅ 1+,

1← otherwise

suma Cj2 2 N⋅ 1+,

suma+←


C0 2 N⋅ 2+,

suma

iteraciones←

suma

iteraciones

:=

Pf MonteCarlo4 1 6, 10000,( ):=

Pf 0=


Hmj

50←

PWj

MonteCarlo4 Hm N, iteraciones,( )←

j 0 50..( )∈for

PW

:=

V4 MONT4 6 1000,( ):=

f4 x( ) exp 0.0040902372− 0.23471807 x⋅+ 4.977246 x2

⋅− 9.7965885 x3

⋅+ 15.479708 x4

⋅−( ):=

i 0 1, 50..:=

0 0.4 0.8 1.2 1.6 20

0.33

0.67

1

Profundidad(m)

Prob

abili

dad

de F

alla

V4i

f4i

50

i

50

Costo de la Falla

H 9.382 103

×=

H HM:=


HM 9.382 103

×=

HM 3 C0⋅:=


C 0.5( ) 3.762 103

×=

C Hm( ) Hm C1⋅ C0+:=

Costo de la Tablestaca

β0 0.10:=

Beneficio

γ0 0.04:=


C1 170 0.5⋅ 10⋅ 0.5 10⋅ 70⋅ 1.2⋅+:=C0 3.127 103

×=

C0 1.2 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( )⋅75.7

0.054 103−

⋅⋅ Sopt⋅ 10⋅ Asopt 14⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅+ 50+:=


*Se supone una profundidad de 1 metro, un ancho de 0.3 metros y una cuantía de acero de 70 kg/m3



Datos en Dolares

Datos Monetarios

Optimizacion de la altura del peso muerto

D1 Hm( ) C Hm( ) H+( )f4 Hm( )

1 f4 Hm( )−⋅:=


Z Hm( )β0 C0⋅

γ0C Hm( )− C Hm( ) H+( )

f4 Hm( )

1 f4 Hm( )−⋅−:=

0 1 2 3 4

0

2000

4000

6000

Profundidad(m)

C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

pp

Optimizacion

pp 1:=

Given

pp 0>

Hmopt Maximize Z pp,( ):=

Ancho Optimo

Hmopt 0.856=

Z Hmopt( ) 3.554 103

×=

f4 Hmopt( ) 3.637 103−

×=

D1 Hmopt( ) 49.633=

pp 0 0.01, 10..:=

0 1 2 3 4500

1625

3750

5875

8000

Profundidad(m)

Z pp( )

0

pp

Localización del Peso Muerto

L γsa γsb, γs, φb,( ) D γsa γsb, γs, φb,( ) h1+ hw+

tan φb( ):=

L µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 15.084=


Localización del Peso Propio

GL γsa γsb, γs, φb, L,( ) LD γsa γsb, γs, φb,( ) h1+ hw+

tan φb( )−:=

GL µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2, 10,( ) 5.084−=

X u1 u2, u3, u4, u5, u6, L,( )

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4

L qnorm u6 0, 1,( ) σL⋅+

:=

ANALISIS MONTECARLO

MonteCarlo5 L N, iteraciones,( ) suma 0←

Ci 2 j⋅,

rnd 1( )←

Ci 2 j⋅ 1+,

X Ci 2 j⋅,

Ci 2 j⋅,, C

i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, C

i 2 j⋅,, Ci 2 j⋅,, L,( ) j←


j 0 N 1−..( )∈for

Cj2 2 N⋅,

GL Cj2 1,

Cj2 5,, C

j2 7,, Cj2 9,, C

j2 11,,( )←

Cj2 2 N⋅ 1+,

0← Cj2 2 N⋅,

0>if

Cj2 2 N⋅ 1+,

1← otherwise

suma Cj2 2 N⋅ 1+,

suma+←


C0 2 N⋅ 2+,

suma

iteraciones←

suma

iteraciones

:=

Pf MonteCarlo5 15 6, 10000,( ):=

Pf 0.034=


Lj

510+←

PWj

MonteCarlo5 L N, iteraciones,( )←

j 0 50..( )∈for

PW

:=

V5 MONT5 6 1000,( ):=

i 0 1, 50..:=

10 12 14 16 18 200

0.37

0.73

1.1

Profundidad(m)

Prob

abili

dad

de F

alla

V5i

f5i

510+

i

510+

Optimizacion del Largo del Anclaje

Datos Monetarios

Datos en Dolares



*Se toma una profundidad de 10m y se supone una sección mínima


C0a Asopt 1⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅ 170 0.5⋅ 10⋅ 0.5 10⋅ 70⋅ 1.2⋅+( ) Hmopt⋅+ 50+:=

C0 1.2 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( )⋅75.7

0.054 103−

⋅⋅ Sopt⋅ 10⋅ C0a+:=

C0 4.146 103

×= C1 Asopt 7800⋅ 1.2⋅ 4⋅:=

15 20 25

0

2000

4000

6000

Profundidad(m)

C pp( )

D1 pp( )

Z pp( )

0

pp

pp 0 0.01, 30..:=

Z z( )β0 C0⋅

γ0C z( )− C z( ) H+( )

f5 z( )

1 f5 z( )−⋅−:=


D1 z( ) C z( ) H+( )f5 z( )

1 f5 z( )−⋅:=

Costo de la Falla

H 1.244 104

×=

H HM:=


HM 1.244 104

×=

HM 3 C0⋅:=


C 10( ) 4.199 103

×=

C z( ) z C1⋅ C0+:=

Costo del Anclaje

β0 0.10:=

Beneficio

γ0 0.04:=


Optimizacion

pp 15:=

Given

pp 13>

Lopt Maximize Z pp,( ):=

Ancho Optimo

Lopt 15.327=

Z Lopt( ) 6.137 103

×=

f5 Lopt( ) 1.055 104−

×=

D1 Lopt( ) 1.759=

pp 0 0.01, 30..:=

14 18 22 26 30500

1375

3250

5125

7000

Longitud(m)

Z pp( )

0

pp


141

ANEXO 3

OPTIMIZACIÓN MULTIPLE

σfyanclaje µfyanclaje Vfyanclaje⋅:=

Vfyanclaje 0.05:=µfyanclaje 420:=

σlnfy 0.08=

µlnfy 5.518=

µlnfy ln µfy( ) 0.5 σlnfy2

⋅−:=

σlnfy lnσfy

µfy

2

1+

0.5

:=

σfy 20=

σfy µfy Vfy⋅:=

Vfy 0.08:=µfy 250:=

Materiales

Distribuidos Log-Normalmente

s 2.5:=


hw 1.5:=h2 1.0:=h1 5:=


Unidades MPa, kN, m

D

h1

h2 hw

L

hm

Diseño Probabilístico Óptimo

Vφ2 0.07:=µφ2 30π

180⋅:=

σγs´2 1.65=


Vγs´2 0.15:=µγs´2 11:=

σγs´1 0.8=


Vγs´1 0.08:=µγs´1 10:=

σφ1 0.052=


µφ1 0.436=

Vφ1 0.12:=µφ1 25π

180⋅:=

σγs1 1.8=

σγs1 µγs1 Vγs1⋅:=

Vγs1 0.1:=µγs1 18:=

ργs2φ2 0.35:=

ργs1φ1 0.3:=

Distribuidas Normalmente Correlacionadas


σlnfyanclaje 0.05=

µlnfyanclaje 6.039=

µlnfyanclaje ln µfyanclaje( ) 0.5 σlnfyanclaje2

⋅−:=

σlnfyanclaje lnσfyanclaje

µfyanclaje

2

1+

0.5

:=

σfyanclaje 21=


σφ2 0.037=

Variables de Optimización

σd 0.005:= σAst 0.00001:= σs 0.05:=

Descorrelacion de la variables aleatorias

Cx

σγs12


0

0

0


σφ12


0

0

0


σγs´12

0

0

0

0

0

σγs´22


0

0

0


σφ22

:=

B1 cholesky Cx( ):=

B1

1.8

0.016

0

0

0

0

0.05

0.252

0

0

0

0

0.759

0

0

0

0

0

1.65

0.013

0

0

0

0

0.034

=

U u1 u2, u3, u4, u5,( )

u1

u2

u3

u4

u5

:=

µx

µγs1

µφ1

µγs´1

µγs´2

µφ2

:=

Pendiente µγs´2 µφ2,( ) 38.105=

Pendiente γs φb,( ) γs Kp φb( ) Ka φb( )−( )⋅:=

P3 µγs1 µγs´1, µφ2,( ) 20.632=

P3 γsa γsb, φb,( ) γsa hw⋅ γsb h1⋅+( ) Ka φb( )⋅:=

P2 µγs1 µφ1, µγs´1,( ) 28.026=

P2 γsa φa, γsb,( ) γsb h1⋅ Ka φa( )⋅ P1 γsa φa,( )+:=

P1 µγs1 µφ1,( ) 9.827=

P1 γsa φa,( ) γsa hw⋅ Ka φa( )⋅:=


Ka µφ2( ) 0.268=

Ka µφ1( ) 0.364=

Ka φ( ) tan 45π

180⋅ φ−

:=

Kp µφ2( ) 3.732=

Kp µφ1( ) 2.747=

Kp φ( ) tan 45π

180⋅ φ+

:=

X1 0.677 0.456, 0.534, 0.05, 0.7,( )

19.219

0.47

10.52

11.082

0.548

=

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( ) B1 U u1 u2, u3, u4, u5,( )⋅ µx+:=

T γsa γsb, γs, φa, φb,( ) T1 γsa φa, γsb,( ) T2 γsa γsb, γs, φb,( )+Pendiente γs φb,( ) D γsa γsb, γs, φb,( )2

⋅2

−:=

T2 γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( ) y γsa γsb, γs, φb,( )2

⋅:=

T1 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( ) hw

2⋅ P1 γsa φa,( ) h1⋅+

P2 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( )−( )2

h1⋅+:=


Ecuación de Estado Limite 2

D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 2.208=

D γsa γsb, γs, φb,( ) dopt y γsa γsb, γs, φb,( )+:=

M µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, dopt,( ) 25.2−=

dopt 1.667:=

M γsa γsb, γs, φa, φb, d,( ) M1 γsa φa,( ) M2 γsa φa, γsb,( )+ M3 γsa γsb, γs, φb,( )+ M4 γsa γsb, γs, φb, d,( )−:=

M4 γsa γsb, γs, φb, d,( ) Pendiente γs φb,( )2

d2

⋅ h1 hw+ y γsa γsb, γs, φb,( )+2

3d⋅+ h2−

⋅:=

M3 γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( )2

y γsa γsb, γs, φb,( )⋅ hw h1+y γsa γsb, γs, φb,( )

3+ h2−

⋅:=

M2 γsa φa, γsb,( ) P2 γsa φa, γsb,( ) P1 γsa φa,( )−( )2

h1⋅ hw2

3h1⋅+ h2−

⋅:=

M1 γsa φa,( ) P1 γsa φa,( ) hw

2⋅ hw

2

3⋅ h2−

⋅ P1 γsa φa,( ) h1⋅ hwh1

2+ h2−

⋅+:=

Profundidad de la Tablestaca

Función de Estado Límite 1

y µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) 0.541=

y γsa γsb, γs, φb,( ) P3 γsa γsb, φb,( )Pendiente γs φb,( ):=

T µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2,( ) 14.664=

Tneta γsa γsb, γs, φa, φb, s,( ) s T γsa γsb, γs, φa, φb,( )⋅:=

Tneta µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, 2.5,( ) 36.66=

Ast γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, s,( ) Tneta γsa γsb, γs, φa, φb, s,( )fyanclaje 1000⋅

:=

Ast µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, µfyanclaje, 2.5,( ) 8.729 105−

×=

G γsa γsb, γs, φa, φb, fyanclaje, Ast, s,( ) Ast fyanclaje⋅ 1000⋅ Tneta γsa γsb, γs, φa, φb, s,( )−:=

G µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ1, µφ2, µfyanclaje, 0, 2.5,( ) 36.66−=

X u1 u2, u3, u4, u5, u6, u7, u8, As, s,( )

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )0

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )1

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )2

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )3

X1 u1 u2, u3, u4, u5,( )4

exp µlnfyanclaje σlnfyanclaje u6⋅+( )As qnorm u7 0, 1,( ) σAst⋅+

s qnorm u8 0, 1,( ) σs⋅+

:=

ANALISIS MONTECARLO

MC Ast s, N, it,( ) suma 0←

Di 2 j⋅,

rnd 1( )←

Di 2 j⋅ 1+,

X Di 2 j⋅,

Di 2 j⋅,, D

i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D

i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, D

i 2 j⋅,, Di 2 j⋅,, Ast, s,( ) j←

i 0 it 1−..( )∈for

j 0 N 1−..( )∈for

Dj2 2 N⋅,

G Dj2 1,

Dj2 5,, D

j2 7,, Dj2 3,, D

j2 9,, Dj2 11,, D

j2 13,, Dj2 15,,( )←

Dj2 2 N⋅ 1+,

0← Dj2 2 N⋅,

0>if

Dj2 2 N⋅ 1+,

1← otherwise

suma Dj2 2 N⋅ 1+,

suma+←

j2 0 it 1−..( )∈for

D0 2 N⋅ 2+,

suma

it←

suma

it

:=

Pf MC 0.00001 2.5, 8, 1000,( ):=

Pf 0.793=

MONT N iteraciones,( )

dj

100000←

s i←

PWj 10⋅ i+ 0,

j←

PWj 10⋅ i+ 1,

i←

PWj 10⋅ i+ 2,

MC d s, N, iteraciones,( )←

i 0 9..( )∈for

j 0 50..( )∈for

PW

:=

V MONT 8 100,( ):=

V0 1 2

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 0 0.04

0 1 0.7

0 2 0.85

0 3 0.89

0 4 0.92

0 5 0.94

0 6 0.95

0 7 0.96

0 8 0.96

0 9 0.97

1·10 -5 0 0.03

1·10 -5 1 0.57

1·10 -5 2 0.77

:=

N rows V( ):= n cols V( ):=

Y V 2⟨ ⟩:= X submatrix V 0, N 1−, 0, n 2−,( ):=

X

0 1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0 0

0 1

0 2

0 3

0 4

0 5

0 6

0 7

0 8

0 9

1·10 -5 0

1·10 -5 1

1·10 -5 2

1·10 -5 3

1·10 -5 4

1·10 -5 5

=

Number of data points: N 510=

Number of coordinates: n 3=

z loess X Y, 0.20,( ):= i 0 N 1−..:=

z

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

1

1.857·10 3

0.172

0.488

0.752

0.903

0.961

0.982

0.988

0.985

0.99

0.99

0.12

0.398

0.628

0.784

0.862

0.898

0.918

0.929

0.94

0.945

0.077

0.316

=

Polynomial fitting function:

fit x( ) interp z X, Y, x,( ):=v

0.00025

2.5

:=

predYi

fit XT( ) i⟨ ⟩

:=

fit v( ) 1.063− 104−

×=

Coefficients for regression equation y = a0 + a1x1 + . . . + anxn

coeffs submatrix z 3, length z( ) 1−, 0, 0,( ):=

coeffsT 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 0.488 0.752 0.903 0.961 0.982 0.988 0.985 0.99 0.99 0.12 0.398=

Residuals: resid predY Y−:=

Original Y data Predicted Y values

Y

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.04

0.697

0.845

0.892

0.917

0.935

0.949

0.955

0.96

0.966

0.027

0.566

0.767

0.845

0.881

0.904

= predY

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

0.172

0.488

0.752

0.903

0.961

0.982

0.988

0.985

0.99

0.99

0.12

0.398

0.628

0.784

0.862

0.898

=

γ0 0.04:=


C1 1.2 7800⋅ 14⋅ 1⋅:=C0 1.124 104

×=

C0 D µγs1 µγs´1, µγs´2, µφ2,( ) h1+ hw+( ) 107⋅ 10⋅ 1.2⋅ 0.000071 14⋅ 7800⋅ 1.2⋅ 1⋅+ 50+:=


*Se toma una profundidad de 10m, se supone una sección minima y una área mínima de acero



Datos en Dolares

Datos Monetarios

Optimizacion del area de acero del anclaje de la separación

0 0.5 1

0.2

0

0.2

Residuals vs. Y

0

Plot of residuals:

scale max resid→( ) 1.1⋅:=

predY mean Y( )−( )2

→

∑

Y mean Y( )−( )2

→

∑0.968=R2:

Beneficio

β0 0.10:=


C As s,( ) As C1⋅10

s⋅ C0+:=

C 0.000071 2.5,( ) 1.128 104

×=


HM 3 C0⋅:=

HM 3.372 104

×=


H HM:=

H 3.372 104

×=

Costo de la Falla

D1 As s,( ) C As s,( ) H+( )

fitAs

s

1 fitAs

s

−

⋅:=

D1 0.00025 2.5,( ) 4.795=


Z As s,( )β0 C0⋅

γ0C As s,( )− C As s,( ) H+( )

fitAs

s

1 fitAs

s

−

⋅−:=

pp 0 0.0000001, 0.001..:=

0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000

5250

1.35 .104

2.18 .104

3 .104

Area de Acero(m2)

C pp 2.5,( )

D1 pp 2.5,( )

Z pp 2.5,( )

0

pp

Optimizacion

As 0.00001:=

s 0>

Given

As 0.000001>

As 0.001<

opt Maximize Z As, s,( ):=

Acero Optimo

opt 3.105 104−

×

4.027

=

Z opt0

opt1,( ) 1.676 10

4×=

fit opt( ) 4.241 105−

×=

D1 opt0

opt1,( ) 1.911=

pp 0 0.0000001, 0.001..:=

0 1.25 .10 42.5 .10 43.75 .10 4 5 .10 43000

5250

1.35 .104

2.18 .104

3 .104

Area de Acero(m2)

Z pp opt1,( )0

pp

pp 0 0.01, 10..:=

diseÑo Óptimo de muros tablestacados anclados

Documents