diseño, modelización y fabricación de un chasis para una...
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Diseño, modelización y fabricación de un chasis para una motocicleta de
competición Proyecto para optar al Título de Ingeniero Industrial Superior,
especialidad en mecánica de máquinas
Óscar González Fernández
14/09/2012
Tutorado por:
Daniel García Vallejo
Juan Manuel Ayllón Guerola
Escuela Técnica Superior de Ingenierías
Universidad de Sevilla
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Índice
Descripción del proyecto .............................................................. 2 Capítulo I: Concepción ................................................................. 5 1.1 Material ................................................................................. 5 1.2 Definición de variables generales ........................................... 6 Capítulo II: Diseño y optimización ................................................ 9 2.1 Diseño ......................................................................................................................... 9
2.2 Optimización ............................................................................................................ 16
2.2.1 Método matricial 3D ......................................................................................... 24
2.2.2 Descripción del programa ................................................................................. 41
2.2.3 Implementación real del programa .................................................................. 53
Capítulo III: Modelización y simulación: ..................................... 61 3.1 Cálculo a rigidez: ...................................................................................................... 63
3.2 Cálculo de las frecuencias naturales ........................................................................ 70
3.3 Cálculo tensional ...................................................................................................... 73
3.4 Análisis modal .......................................................................................................... 87
Capítulo IV: Conclusiones ........................................................... 91 Capítulo V: Bibliografía .............................................................. 92
Anexo I: ............................................................................... Planos Anexo II: ............................. Esquema del programa del programa
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Descripción del proyecto
El presente proyecto se encuentra integrado en un proyecto de mayor envergadura en el que
se diseña desde cero una motocicleta de 250cc, 4T para la competición Motostudent, junto al
equipo de la Universidad de Sevilla, US-R Engineering. El proyecto se lleva a cabo en la Escuela
Técnica Superior de Ingeniería de la Universidad de Sevilla, en el que se colabora con
profesores de diversos departamentos de la Escuela (Ingeniería Mecánica, Energética,
Organización Industrial,...) y en el que se pretende que los alumnos, que se encuentran en los
últimos cursos, se consideren incluidos dentro de un equipo real de competición y que
consigan autofinanciarse gracias a patrocinio y encuentren proveedores y fabricantes para los
componentes estructurales, electrónicos y motrices que ellos mismos diseñen.
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Concretamente, el presente proyecto, está incluido dentro del departamento estructural del
equipo, concretamente en la parte más importante del mismo: el chasis. Bien es sabida la
función de los bastidores en todo tipo de máquinas y en especial en la industria de la
automoción. Es por ello a continuación se indican alguna de sus funciones más importantes:
- Soporte estructural de la motocicleta, soportando las diferentes cargas a las
que la misma se encuentra sometida, comportándose con una determinada
rigidez estructural, permitiendo cierto grado de deformaciones y siempre
dentro de los límites de la elasticidad de sus componentes.
- Posicionamiento de los diferentes elementos: el chasis sirve para el
alojamiento de los diferentes elementos de la motocicleta y debe aportar
puntos de apoyo fijos para el sistema de suspensión y basculante, la horquilla
delantera, el motor y todos sus componentes, depósito, carenado y asiento del
piloto. Es por este motivo que el entramado estructural del mismo debe tener
una forma tal que permita dar cabida a la gran cantidad de elementos que
aparecen en la misma y que, además, sea una solución de compromiso entre
espacio y peso.
- Proporcionar una adecuada interacción del piloto con la pista. Es fundamental
que una buena geometría permita absorber las cargas que actúan en la
motocicleta, pero también debe permitir que el piloto reciba sensaciones de la
carretera para complementar su conocimiento de la misma. Asimismo, el
chasis debe favorecer una correcta distribución de pesos, evitando la pérdida
de adherencia de alguna de las ruedas y permitiendo un correcto manejo del
conjunto, mediante una adecuada localización del centro de gravedad.
Como todo proyecto de ingeniería, consta de diferentes fases que parten desde el diseño
hasta la final explotación del mismo, pasando por las que a continuación se indican:
- Concepción: En esta fase se definen las características básicas de la estructura,
como su material, perfil de las secciones, especificaciones, geometría
fundamental del conjunto e interacciones con el resto de elementos de la
motocicleta que, a su vez, se encuentran en la misma fase de concepción
inicial. Es por ello que esta fase debe tener una especial comunicación entre
los diferentes departamentos del equipo.
- Diseño: Partiendo de unas prescripciones indicadas en la fase anterior, se
define una geometría que permita cumplirlas. Dado que los medios son
limitados, se podría pensar que la solución puede siempre estar lejos de la
óptima. Esta tesitura ocurre frecuentemente en los proyectos de ingeniería,
dado que el recurso temporal suele estar muy restringido. En este proyecto se
tratará de subsanar este problema, proporcionando una herramienta
matemática que permita acercar el diseño final lo máximo posible a la solución
óptima del mismo, de tal forma que además sirva de herramienta general para
otras estructuras. Para ello se ha realizado un programa en Matlab, el cual,
mediante algoritmos de minimización por restricciones, permita obtener una
solución factible al problema de minimización que se plantea.
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- Modelización y simulación: A pesar de que estas fases se encuentran
embebidas dentro de la fase de diseño, se han separado en este caso dado el
grueso de cada una de ellas. Se podría decir que la fase de diseño sirve para
proporcionar una solución rápida sobre la cual partir en el análisis
pormenorizado del detalle mediante métodos computacionales, tales como el
método de elementos finitos.
- Integración con el resto de componentes: como se indicó anteriormente, el
chasis no es únicamente una estructura que sirva para soportar las cargas, sino
que además debe proporcionar puntos de unión y soporte para los diferentes
elementos que se integran en él. Para ello, una vez definida la geometría, se
deben calcular una serie de elementos adicionales como pueden ser los ejes
del basculante y de unión a las cogidas del motor, los tornillos de sujeción de
las diferentes orejetas (con un apriete adecuado) y los rodamientos que alojen
la horquilla o suspensión delantera.
- Fabricación: La fase final del proyecto previa a la explotación del mismo es la
propia materialización de los componentes ideados. Para ello, se debe
establecer una relación comercial con proveedores que, gracias a una buena
financiación del proyecto, permita una fabricación de los diferentes
componentes. Dentro de esta fase se puede incluir la verificación de los
componentes, el montaje y reglaje de los mismos.
Finalmente, cabe indicar que cada una de las fases constituye un proyecto en sí misma si se
tienen en cuenta la gran cantidad de factores que en ella intervienen. No obstante, la
experiencia de pasadas ediciones así como el aprendizaje de la metodología, permiten alcanzar
soluciones satisfactorias y pretendidamente óptimas en un espacio de tiempo adecuado y
dentro de los límites impuestos por la organización del concurso.
Sin más, se pasa a describir detalladamente las fases del proyecto que se consideran más
importantes de ser descritas en el presente documento, comenzando por la fase de
concepción del prototipo y llegando al apartado de modelización y simulación, ya que el resto
de apartados suponen una actuación conjunta con el resto del equipo.
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Capítulo I: Concepción
En esta fase del proyecto se comienza definiendo la geometría básica de la motocicleta, el
material a emplear y su calidad, perfil de las secciones de la estructura, tipología de los
diferentes sistemas de suspensión, basculante, motorización y posición de la conducción.
En primer lugar, al tratarse de un prototipo de baja cilindrada, se continúa con la tendencia de
estas categorías de construir un chasis multitubular de acero. Los chasis pueden ser de
diferentes tipologías, siendo los de mayor utilización en la actualidad los de doble viga de
aluminio, los de espina dorsal y los multitubulares triangulados, los cuales se indican en la
Figura 1.1.
Figura 1.1 Tipología común de chasis: Doble viga, espina dorsal y multitubular triangulado
La triangulación en una estructura es fundamental dada la mayor rigidez que presenta dicha
tipología, de tal forma que los chasis multitubulares buscan obtener una correcta geometría en
sus diferentes planos (alzado, planta y perfil) que permita un correcto aprovechamiento del
material.
1.1 Material
El material seleccionado es acero de calidad E355 (St-52) DIN 2391 BK, dado que para el perfil
empleado (tubos huecos de 25 mm x 1.5 mm aprox.) la relación entre rigidez y peso tiene una
tendencia más claramente favorecida en el caso del acero. Las características mecánicas del
acero empleado se indican a continuación:
- Límite elástico medio: 48 kg/mm2
- Resistencia a la rotura: 70 - 80 kg/mm2
- Módulo de Young: 210 GPa
- Coeficiente de Poisson: 0,33
- Módulo elástico transversal: 81 GPa
Concretamente, el tubo empleado es procedente de un acero estirado en frío, cuya
denominación es Ducal, de la marca Schröder.
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1.2 Definición de variables generales
Definido el tipo de chasis, se pasa a determinar las dimensiones básicas de la motocicleta. En
esta fase y con la completa colaboración de todos los integrantes del equipo, se fijan los
parámetros siguientes:
- Altura del asiento: Se determina a partir de los valores habituales para
motocicletas de esta cilindrada, así como la altura del piloto para una
adecuada posición de conducción. El valor considerado será de
aproximadamente 750 mm.
- Distancia entre ejes: Dicha distancia tiene una gran influencia en la estabilidad.
Dada la dificultad de establecer un valor a priori, se visitan bibliografías y
catálogos comerciales en los que se indique una distancia recomendada
adecuada. El valor final se encuentra aproximadamente entre 1270 mm
(posición de equilibrio estático) y 1230 mm (posición de máxima compresión
de la suspensión), ya que depende de la posición de la suspensión trasera.
- Ángulo de lanzamiento de la horquilla: La horquilla necesita un ángulo de
lanzamiento* positivo para una correcta estabilidad direccional y que la huella
de la misma se encuentre por detrás del eje de rotación de la misma,
permitiendo la generación de un par que evite que la dirección se
desestabilice. El valor final seleccionado es de 23⁰.
- Longitud del basculante: Esta longitud es importante para el correcto
funcionamiento del sistema de la suspensión, ya que una variación en la
longitud del basculante supone un mayor brazo en el par que generan las
fuerzas en la rueda trasera. La longitud considerada será de 488 mm.
- Inclinación del basculante: La inclinación del basculante viene fijada por la
adecuada alineación de los puntos de salida del piñón del motor, el eje del
basculante y el eje de la rueda. Sin carga, éste deberá tener un cierto ángulo
positivo (el eje del basculante por encima del eje de la rueda) para que una vez
el piloto se monte, se encuentren aproximadamente alineados los citados
puntos y que la cadena no roce con la superficie del basculante y suponga una
pérdida importante de potencia. La inclinación final será de 5,3⁰.
- Altura de la pipa (o cuello) de la dirección: La altura de la pipa de la dirección
viene fundamentalmente determinada por la horquilla delantera. Ésta no
puede verse perjudicada en su recorrido, de tal forma que en ningún instante
del funcionamiento la tija pueda colisionar con algún otro elemento de la
motocicleta, como el carenado de la rueda delantera. La distancia final resulta
ser de 473 mm respecto al eje delantero.
* Ángulo que forma el eje de la horquilla (suspensión delantera) con la vertical medido en sentido horario.
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En la Figura 1.2 se indican los diferentes elementos indicados, así como en el Plano 1 del Anexo
I.
Figura 1.2 Dimensiones generales
Una vez definidos todos los parámetros geométricos en el plano longitudinal de la motocicleta,
se le debe dar una profundidad al conjunto. En primer lugar y, partiendo del tipo de chasis
empleado, se considera que el chasis debe envolver al motor en la dimensión transversal del
mismo, quedando el motor suspendido mediante una serie de cogidas a la estructura. En el
apartado de integración de componentes se revisará con detalle el cálculo de los diferentes
elementos como ejes, cogidas y rodamientos, indicando únicamente en este apartado la
prescripción necesaria en esta materia.
En la mayoría de las motocicletas, el basculante está entre el motor y el chasis, tal y como se
indica en la Figura 1.3. En esta figura se observa el eje del basculante que está biapoyado en
sus extremos en el chasis. El motor se coloca en el centro del eje, con un cierto
descentramiento para permitir que el plano del piñón de salida del motor esté alineado con el
plano del plato de la rueda. Finalmente, el basculante tiene dos brazos, cada uno de los cuales
se dispone a ambos lados del motor y por el interior del chasis. Si se tiene en cuenta el ancho
que debe tener el basculante por requerimientos estructurales, y para alojar el motor, además
de una cierta distancia de holgura entre el basculante y el chasis, se obtiene que el ancho del
conjunto en este plano deberá ser al menos de 265 mm. El resto de dimensiones de barras, se
definirán adecuadamente en la fase de diseño, quedando en la fase de concepción de la
motocicleta indicados únicamente los valores más importantes y que permitan trabajar a los
diferentes departamentos dentro del equipo.
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Figura 1.3 Eje del basculante
Finalmente y, aunque en esta primera fase la concepción de la motocicleta es simultánea, el
departamento encargado de la suspensión trasera introdujo el diseño del mecanismo plano. El
mismo cuenta con dos cogidas al chasis y una al basculante, quedando determinado por las
cotas de la Figura 1.4, lo que llevará a proporcionar una serie de elementos adicionales que
permitan la localización de dichos puntos.
Figura 1.4 Sistema de la suspensión
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Capítulo II: Diseño y optimización
2.1 Diseño
Una vez obtenidas las variables fundamentales de la motocicleta, se comienza la labor
individual de diseño de cada uno de los componentes de la motocicleta. El chasis,
tradicionalmente, se diseña según la rigidez que presente a las deformaciones provocadas por
las cargas externas. A continuación se hace un estudio de las diferentes variables de diseño del
mismo:
Rigidez: Ante la aplicación de una carga (generalmente en la pipa de la dirección) de frenado,
curva, etc. el chasis debe comportarse de tal forma que permita un cierto grado de
deformaciones para que el piloto pueda tener una mejor sensación de conducción de la
motocicleta. A pesar de que este valor es altamente subjetivo, diferentes marcas del mundo
de la competición basan el criterio de diseño de sus chasis en fundamentos como este, en el
que la opinión de sus pilotos es fundamental para el correcto desarrollo y comportamiento de
su producto. Generalmente, estos valores son difíciles de conseguir y son característicos de
cada marca, aunque en este caso se han encontrado valores indicativos en el libro:
“Motocicletas: Comportamiento dinámico y diseño de chasis, el arte y la ciencia” de Tony
Foale. Estos valores son los siguientes:
- Rigidez lateral: debida a la aplicación de una carga lateral (transversal al
sentido de la marcha) y de valor unidad en la pipa de la dirección. El valor de
esta rigidez mínima será de:
- Rigidez vertical: debida a la aplicación de una carga vertical de iguales
características que la anterior. El valor mínimo será:
- Rigidez torsional: en este caso, se debe a la aplicación de dos cargas de valor
unidad en la pipa de la dirección, en sentido contrario y que apliquen un par
sobre la misma, par cuya dirección estará contenida en el plano longitudinal de
la motocicleta. El valor de esta prescripción será de:
Estado tensional: Al tratarse de un elemento que debe soportar elevadas cargas que a
continuación se indican, debe mantenerse dentro de los límites de seguridad del
comportamiento elástico del conjunto. El límite elástico del material considerado (de calidad
E355) fue indicado previamente, por lo que únicamente queda definir el coeficiente de
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seguridad considerado en el cálculo de la tensión equivalente de Von Mises, el cual toma un
valor de N=2. Las hipótesis de carga anteriormente citadas, se indican a continuación:
- Potro de ensayo: La organización establece que la carga que debe soportar la
motocicleta al someterse a un ensayo en un banco debe ser de 2500N
aplicados en el eje delantero y trasero de la misma. Esto, genera un momento
reducido en el cuello de la dirección de valor:
( ( ))
((
) ( ))
- Frenada máxima: Se considera el límite de adherencia entre el neumático delantero y el asfalto, tomando un valor del coeficiente de rozamiento de valor , para vehículos turismo. Se debe tener en cuenta que la motocicleta tiene una huella diferente de contacto y que, por tanto, los valores pueden diferir de estos. Según el estudio “Reed WS, Keskin TA, 1987, Vehicular Response to Emergency Braking en Accident Reconstruction: Automobiles, Tractor-Semitrailers, Motorcycles and Pedestrians, Society of Automotive Engineers.”, se tiene que en función del peso de la motocicleta:
Peso (kgf) Rueda trasera Rueda delantera
100 0,31:0,4 0,53:0,67
150 0,36:0,43 0,62:0,76
200 0,36:0,51 0,63:0,88
Se considera por tanto un valor de para tener en cuenta el caso más
desfavorable, para un peso aproximado de 150kg.
La carga se supone completamente desplazada hacia el mismo, ya que en
grandes frenadas, el desplazamiento de la carga y la inercia pueden hacer que
la rueda trasera pierda contacto con el pavimento. Por ello, considerando las
dimensiones previamente indicadas, esta hipótesis representa una carga en la
pipa de la dirección (transmitida a través de la horquilla) en el plano
longitudinal de la motocicleta, normal al eje de la dirección y un par debido al
brazo que presenta la huella de la rueda con respecto al punto de aplicación
de la carga anteriormente indicada. En la figura 2.1 se indica un esquema
sencillo de esta carga, indicando posteriormente el valor que toma la misma.
Nótese que para estimar esta carga se necesita conocer la masa de la
motocicleta, la cual se ha supuesto de un valor de 100kg (el mínimo es 90kg) y
el peso del piloto, que se estima en 75kg.
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Figura 2.1 Fuerza de frenado
El momento debido a esta fuerza se calcula teniendo en cuenta el radio R de la
rueda delantera y la altura h de la horquilla, así como el ángulo de avance :
( ( ) )
((
) ( )) )
Se observa que esta hipótesis queda asumida si el chasis resiste la carga que la
organización establece para el potro de ensayo, por lo que se obvia
- Curva: en el negociado de las curvas, la motocicleta se inclina notablemente
respecto al plano vertical, de tal forma que la trayectoria se puede realizar sin
tener que girar apenas la dirección. El efecto giroscópico de las ruedas permite
este fenómeno, pero es el rozamiento de las ruedas con la calzada lo que
permite mantener la estabilidad de la misma, al verse afectado el conjunto por
la fuerza centrífuga que hace que la motocicleta tienda a continuar por la
trayectoria tangente. Nuevamente, se establece la hipótesis de máxima
adherencia y se mantiene el coeficiente de rozamiento (aunque al modificarse
la huella del neumático éste se ve modificado), indicándose en la figura 2.2a
un nuevo esquema para la determinación de las cargas:
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Figura 2.2a Curva
En esta hipótesis se deben realizar numerosas suposiciones, las cuales
pretenderán ser suficientemente conservadoras. El modelo para la obtención
de las cargas que se transfieren al chasis en una curva puede ser complicado si
se tienen en cuenta demasiados factores. Una simplificación razonable se
encuentra en el libro anteriormente citado de Tony Foale, Capítulo 4. En éste,
podemos encontrar una serie de gráficos genéricos que nos permitan
establecer una relación (válida para una motocicleta genérica) de la
inclinación, la velocidad y el radio de la curva a tomar. En primer lugar se
supone el ángulo de inclinación de la motocicleta de 45°. En la figura 2.2b se
representa la relación entre estas tres variables:
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Figura 2.2b Radio de curva frente a velocidad
Se tiene por tanto que, para una inclinación supuesta de 45 grados, la
velocidad y el radio de la curva que se describe están relacionados por la curva
de la figura 2.2b. Nótese que la fuerza centrífuga en la curva tiene una relación
cuadrática con la velocidad e inversamente proporcional al radio de la curva. Si
escogemos la curva límite de 45 grados, obtendremos las mayores fuerzas
centrífugas posibles, ya que para determinadas velocidades obtendremos
menores radios de curvatura, siendo esta opción mas desfavorable en
cualquier caso. Finalmente, para elegir una velocidad de paso por curva, se
tiene en cuenta que la máxima velocidad de la motocicleta está en torno a 170
km/h (en recta), de forma que considerar 150km/h se considera muy
conservador. De cualquier forma, se consideran velocidades medias de paso
por curva en circuitos de la categoría Moto3, donadas por la organización del
mundial y resulta que las máximas velocidades se encuentran entorno a 140
km/h: 150km/h. Por tanto, para esta velocidad se obtiene un radio de la curva
de 175m aproximadamente, resultando:
Por tanto, esta fuerza se puede descomponer en dos componentes, una
vertical y otra horizontal:
( )
El momento generado en la pipa será:
( ( ) ) ( )
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- Suspensión trasera: La suspensión trasera se trata de un mecanismo plano de
barras en el que una de ellas se trata de un elemento elástico compuesto por
un muelle y un amortiguador. Al contar un elemento elástico, la fuerza que
realiza en los extremos y que, por tanto, se transmiten a la estructura,
depende del alargamiento del mismo. En la figura 2.3, se indican las cargas
máximas para la hipótesis, siendo las más desfavorables las siguientes:
Figura 2.3 Cargas de la suspensión
En la figura 2.4 se indica la progresividad del sistema de suspensión, así como las cargas sobre
cada uno de los elementos:
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Figura 2.4 Cargas de la suspensión
Frecuencias naturales y modos de vibración: Al tratarse de un sistema estructural con masa,
estará sometido a las vibraciones debidas al funcionamiento del motor de 4T y la carretera. El
estudio de las frecuencias naturales del sistema es fundamental para que la vibración forzada
no se encuentre en zonas peligrosas que provoquen desplazamientos inadmisibles en la
estructura y que puedan desestabilizar la motocicleta o hacerla de difícil conducción. El rango
de funcionamiento del motor tiene un valor máximo de 10000rpm, con lo que se debe evitar
que ninguna de las frecuencias naturales esté en el rango de funcionamiento del mismo, por lo
que se fija un mínimo de 12000rpm para considerar que el sistema está suficientemente
alejado del rango que podríamos llamar inadecuado.
Peso del conjunto: El peso de una motocicleta influye enormemente en el consumo de
combustible de la misma. El chasis debe ser tal que permita proporcionar un valor satisfactorio
para las indicaciones anteriores, pero debe tener un compromiso con el peso del conjunto, ya
que es fundamental, no solo para el consumo, sino para el manejo y la estabilidad de la
motocicleta. Al tratarse de un prototipo para competición, se estima oportuno considerar el
peso como un elemento clave en el diseño del mismo, tratando siempre de minimizarlo.
Tamaño: El conjunto debe ocupar un volumen máximo de manera que la posición de
conducción del piloto sea lo más cómoda posible y, además, esté dentro de las restricciones de
la normativa. Además, debe permitir alojar un carenado comercial que proporcione una mejor
eficiencia aerodinámica.
-0.45 -0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000Reacciones en Bieleta
Fue
rza (
N)
Tiempo (s)
Fx1(chasis)
Fy1(chasis)
Fx2(biela)
Fy2(biela)
Fx3(amort)
Fy3(amort)
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2.2 Optimización
Al comenzar el cálculo de cualquier estructura, surge la duda de saber cuál es la geometría
óptima para obtener el mejor compromiso entre peso, rigidez, estado tensional y frecuencias
naturales. La experiencia y la intuición pueden facilitar el cálculo, pero para una geometría
compleja como la de una motocicleta, puede resultar complicado establecer una solución a
priori que nos permita obtener un buen comportamiento en todos los sentidos-especialmente
en una estructura triangulada sometida a cargas en distintos planos. Por ello, en este proyecto
se plantea resolver un problema de minimización con restricciones que, mediante algoritmos
de búsqueda, permita obtener el resultado óptimo de la disposición de los nodos de la
estructura, partiendo de las condiciones anteriormente indicadas. La estructura del problema
indicado es la siguiente:
( )
( )
Donde cada uno de los elementos se indican a continuación:
- La variable fundamental x del problema constituye las coordenadas espaciales de cada
uno de los nodos de la estructura y es la variable a modificar en cada iteración,
buscando la solución óptima. El vector x, será por tanto:
(
)
Siendo i, el índice del nodo i-ésimo de la estructura. El eje de coordenadas se indica en la
figura 2.5, para determinar correctamente la localización del chasis en el espacio. (La
figura 2.5 representa un resultado de una iteración obtenida tras la ejecución del
programa, donde se representa el chasis modelado por elementos tipo barra):
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Figura 2.5 Ejes Coordenados
- La función a minimizar o función objetivo es el peso del conjunto, quedando definida
ésta por:
( ) ∑∑
( )
Donde:
M, es el conjunto de m barras que unen un nodo i con un nodo j
N, es el conjunto de n nodos
, es la densidad del material, siendo éste acero de
, es el área transversal de la barra que une el nodo i con el j
, es la longitud de la barra que une el nodo i con el j
- Las restricciones indicadas vienen divididas en restricciones lineales de igualdad, lineales
de desigualdad y no lineales, de desigualdad e igualdad. No todas ellas han sido
empleadas en este problema, indicándose a continuación la formulación empleada:
o Restricciones de simetría: el chasis debe ser un conjunto simétrico, respecto al
plano longitudinal de la motocicleta y, por ello, es necesario incluir en el programa
una restricción de igualdad de la forma siguiente:
-0.2-0.1
00.1
0.2
-0.5
0
0.5
10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
Deformada x 10000 veces
y
z
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(
)
(
)
(
)
Donde los nodos i-ésimo y j-ésimo son simétricos y m es el número de barras de la
estructura. Nótese que según los ejes seleccionados, con el plano xz coincidente
con el longitudinal de la motocicleta, se obtiene que la adición de las coordenadas
x de dos nodos simétricos deben ser nula, mientras que la substracción de las
coordenadas y y z respectivamente deben ser nulas.
o Restricciones de volumen, rigidez, tensionales y de frecuencias naturales: estas
restricciones se modelan mediante las restricciones de desigualdad que
pertenecen al vector:
( )
Estas restricciones son no lineales y, aunque posteriormente se detalla el método
de cálculo empleado, a continuación se indican únicamente la forma de las
mismas:
Volumen: Se ha ideado un método que permita evitar que los nodos se
encuentren dentro de una determinada región esférica de radio conocido y
centro prefijado en las condiciones iniciales. Para ello, conocido el centro
( ) de cada región esférica, se obtiene la distancia (d) de cada
punto ( ) al centro de la esfera como sigue:
( ) ( )
( )
Obtenida la distancia al centro, queda únicamente establecer la restricción
como:
(
)
Donde E es el conjunto de e esferas.
Nótese que todas las restricciones deben ser negativas para que sean
verificadas, de tal forma que en este caso, si el nodo se encuentra fuera del
radio de la esfera, , se cumple dicha restricción. Además, se
normaliza cada una de las restricciones a la unidad, de forma que los
desplazamientos de cada una de las variables de diseño del problema no se
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vean afectados por diferencias en los órdenes de magnitud entre las
diferentes restricciones.
Rigidez, tensiones y frecuencias naturales: Para obtener la rigidez del chasis
bajo cada una de las hipótesis (de carga unidad) indicadas previamente, se
ha implementado el método matricial 3D que se indicará en apartados
posteriores. Este método permite obtener, para elementos tipo barra con
seis grados de libertad, los desplazamientos, esfuerzos, frecuencias
naturales y modos de vibración del chasis. Una vez obtenidos los resultados
del método matricial implementado, es sencillo obtener la rigidez del
mismo si se hace la inversa del máximo desplazamiento ante una carga
unidad en la pipa de la dirección, valor que se comprueba con los valores
mínimos como sigue:
(
)
Donde H es el conjunto de h hipótesis para el cálculo de la rigidez.
En el caso de las tensiones, una vez obtenidos los esfuerzos en los extremos
del elemento, se obtienen los diagramas de esfuerzos del mismo y se
pueden obtener las tensiones sencillamente, mediante el criterio de Von
Mises. Para una sección determinada, se consideran las tensiones debidas
al cortante, momento flector, axil y momento torsor. Para no despreciar en
ningún caso posibles esfuerzos cortantes importantes, se evalúa en cada
caso el estado tensional en cuatro puntos de la sección transversal, es decir,
el punto de máximo flector y el punto de máximo cortante, tanto positivos
como negativos. Para un sistema de cargas y tensiones como el de la figura
2.6, se pueden obtener las tensiones como sigue:
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Figura 2.6 Tensiones en la sección
Las ecuaciones que describen el estado tensional de cada una de las
secciones (de diámetro d, área A, momento de inercia I, y momento polar
de inercia J), en primer lugar para el caso general, son las siguientes:
Axial
Cortante:
Flector
Torsor
Siendo la tensión equivalente la indicada por el criterio de Von Mises:
√
Donde la tensión es la tensión obtenida de la suma (con su
correspondiente signo) de las tensiones normales provocadas por el axil y el
momento flector. De la misma manera, es la adición (con su
correspondiente signo) de la tensión tangencial provocada por el torsor y la
provocada por el cortante. Se debe tener en cuenta para esta expresión
que en este caso una de las tres tensiones principales es siempre nula, por
lo que se puede sustituir la expresión general por la indicada.
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Realizando la particularización para cada uno de los puntos de la sección:
Punto 1
Punto 2
Punto 3
Punto 4
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Este estado tensional se evalúa únicamente en los extremos de las barras,
al ser el diagrama de momento flectores de cada una de ellas con una
forma genérica como la indicada en la figura 2.7, al no tener esfuerzos de
barra (no existen cargas puntuales en la longitud de ninguna de las barras ni
existen cargas uniformemente repartidas) y estar biempotrada en sus
extremos:
Figura 2.7. Diagrama de momentos de una barra genérica
Finalmente, se obtiene la restricción debida a las tensiones (añadida al
vector C anteriormente obtenido para el volumen y la rigidez) de la forma
que sigue:
(
)
Para el cálculo de las frecuencias naturales se procede de igual forma que
en los casos anteriores, siendo las restricciones obtenidas de la forma:
(
)
- Existen otro tipo de restricciones que hacen que los nodos no se crucen en el plano
longitudinal de la motocicleta y, además, no se excedan los límites de volumen
anteriormente indicados. Estos límites vienen indicados como sigue:
Siendo , las restricciones a nivel inferior para la coordenada x, definidas como sigue:
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{
Siendo las restricciones de y y z irrelevantes para el evitar que se crucen los nodos en el
plano longitudinal, por tanto, toman el valor del punto más negativo para la coordenada
y y el valor nulo para la coordenada z.
Las restricciones a nivel superior serán tales que el chasis no adquiera unas dimensiones
desmesuradas. Para no realizar un mapeado de cada uno de los nodos y no establecer
una condición dependiente de la posición del nodo, se fija un límite superior en la
longitud del chasis para la coordenada y, es decir, 0,8 m. Para las coordenadas x y z, se
fija el límite en la altura de la pipa de la dirección, es decir: 0,4 m.
( )
( )
Una vez definidas las bases del programa matemático para la optimización del problema, se
pasa a definir detalladamente el modelo estructural empleado para el cálculo matricial.
El algoritmo empleado para realizar la búsqueda de la solución óptima del problema se trata
de una función fmincon implementada en el programa de cálculo matemático Matlab. Esta
función trata de encontrar el mínimo de una función escalar de varias variables partiendo de
una estimación inicial para un problema con restricciones. Generalmente estos problemas son
denominados como: problemas de optimización no lineal con restricciones.
La función trabaja con distintos tipos de restricciones: lineales y no lineales; siendo las lineales
indicadas al comienzo del apartado de tipo matricial, mientras que las no lineales deben ser
referenciadas a funciones que dependan de las variables del problema. Dentro de la citada
función fmincon se tienen diferentes algoritmos que se diferencian entre sí según la forma en
la que manejen el Hessiano (matriz con las derivadas segundas del Lagrangiano) de la función
objetivo, las restricciones de desigualdad e igualdad. Concretamente, el algoritmo que ha
proporcionado buenos resultados en este proyecto se trata del conocido como Interior Point,
el cual trata de resolver el problema mediante la solución de una serie de problemas de
minimización aproximados, de tal forma que se transforman los problemas con restricciones
de desigualdad en una secuencia de problemas con restricciones de igualdad. El algoritmo se
aproxima al mínimo resolviendo los problemas aproximados mediante dos pasos diferentes en
cada iteración: paso directo, realizando un aproximación lineal del problema, o paso mediante
el gradiente conjugado, el cual trata de realizar una aproximación cuadrática del problema en
una región determinada por las restricciones lineales del problema. En líneas generales, el
algoritmo decide hacia donde continuar mediante la minimización de la norma de las
restricciones linealizadas (o aproximadas) en una región con radio R. El tamaño del paso viene
indicado mediante la resolución de un sistema de ecuaciones donde las incógnitas son los
incrementos en las variables básicas del problema y las holguras, siendo éstas inversamente
proporcionales al Hessiano de las funciones indicadas anteriormente.
Página 24
2.2.1 Método matricial 3D
2.2.1.1 Definición del elemento
La implementación del método matricial 3D (obtenido del libro: “Calculo Matricial de
Estructuras de 1° y 2° Orden- Teoría y Problemas, 1° ED. - Ramón Arguelles Álvarez) conlleva la
definición previa del tipo de elemento a emplear en el cálculo. Se considera un elemento viga
3D con seis grados de libertad en cada extremo que cuenta con la formulación indicada en la
Figura 2.8, en ejes principales de barra:
Figura 2.8 Esfuerzos y desplazamientos locales
Como se observa en la figura se tienen seis grados de libertad en cada uno de los nodos.
Independientemente de la figura mostrada, la notación empleada, la cual se considera más
práctica y fácil de entender, es la siguiente:
, desplazamiento generalizado del nodo a de la barra ab, referido a los ejes principales
de la sección. Sus componentes son las siguientes:
Página 25
(
)
, desplazamiento generalizado del nodo b de la barra ab, referido a los ejes principales
de la sección. Sus componentes son las siguientes:
(
)
, esfuerzo generalizado del nodo a de la barra ab, referido a los ejes principales de la
sección. Sus componentes son las siguientes:
(
)
, desplazamiento generalizado del nodo b de la barra ab, referido a los ejes principales
de la sección. Sus componentes son las siguientes:
(
)
Con esta notación, los subíndices hacen referencia a la dirección de los ejes principales del
extremo de la barra, y la primera letra del texto del superíndice, al nodo al que se
encuentran asociados los esfuerzos y desplazamientos y la segunda al otro nodo de la misma
barra. Esta notación permite localizar la barra a la que se hace referencia dentro de un sistema
espacial de barras, ya que a un nodo puede acudir más de una barra.
Página 26
2.2.1.2 Ecuaciones y matrices de rigidez
Para establecer la relación entre desplazamientos y esfuerzos de barra en la notación indicada
y, teniendo en cuenta que no existen cargas de barra y, por tanto, las reacciones de barra se
pueden obviar, resulta:
,{ }
{ }- *
[ ] [ ]
[ ] [ ]
+,{ }
{ }- ,
{ }
{ }-
Donde, como se indica, las reacciones de barra son nulas:
,{ }
{ }-
Las submatrices de rigidez indicadas son las siguientes:
[ ]
(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
[ ]
(
)
Donde se tiene que los coeficientes indicados son:
Página 27
, coeficiente de número n asociado a la posible articulación de los extremos de la barra con
relación al eje principal . Dado que en este caso, las barras se consideran biempotradas,
todos los coeficientes toman el valor de la unidad.
, coeficiente de número n asociado a la posible articulación de los extremos de la barra con
relación al eje principal . Al igual que en el caso anterior, al tener barras biempotradas en
toda la estructura, los coeficientes se consideran de valor unidad.
Una vez definida la estructura del cálculo matricial en coordenadas locales, se pasa al modelo
de la estructura en coordenadas globales, haciendo el correspondiente ensamblaje de las
matrices. Bien es sabido que una carga sobre la estructura provoca una serie de
desplazamientos globales en cada uno de los nodos de la misma, los cuales tienen una
formulación:
(
)
Y que se relacionan con las cargas en los nodos (que incluye las ligaduras libres y las reacciones
en las ligaduras impedidas que inicialmente son desconocidas) mediante la siguiente
expresión:
* + , -* +
Donde:
P, es el vector de cargas de nodos que incluye las ligaduras anteriormente indicadas
K, matriz completa de rigidez que representa el número de ecuaciones del sistema y, por
tanto, el número de filas y columnas de la matriz de rigidez completa. El número de
ecuaciones será 6 x número de nodos
, vector desplazamientos de nodos. Se conocen los desplazamientos asociados a los
grados de libertad impedidos (coacciones) y desconocidos los desplazamientos de los
grados de libertad libres.
Este sistema de ecuaciones es fácilmente resoluble al poder reducir la matriz de rigidez en
coordenadas globales al considerar únicamente los desplazamientos no nulos (y las filas de la
matriz de rigidez asociados a ellos) y obteniéndolos de la forma:
Página 28
* + , - * +
Nótese que los desplazamientos nulos están asociados a las reacciones, por lo que en esta
ecuación no se incluyen las mismas en * + . Obtenidos los desplazamientos desconocidos,
se establece de nuevo la ecuación general y se obtienen los valores de las reacciones como:
* + * + * +
Donde * + es el vector de cargas externas.
2.2.1.3 Ecuaciones y matrices de cambio de base
A continuación se pasa a definir el conjunto de matrices de cambio de base. De forma general,
existirán cambios de base de coordenadas globales del sistema a coordenadas locales de las
barras. Posteriormente, para obtener los esfuerzos en ejes principales de barra (planos
principales de inercia) se debe convertir a este último sistema, pero dado que nos
encontramos con un sistema de barras de sección transversal circular hueca, no existen planos
principales generales, por lo que los ejes principales de barra coinciden con los locales. No
obstante, para poder mantener la generalidad del programa para cualquier tipo de estructura,
se pasará a describir e implementar el sistema de matrices para poder realizar el cambio de
base y que éste sea independiente del elemento seleccionado. Se ha de notar que este sistema
de coordenadas locales se emplea para evitar utilizar los cosenos directores y hacer más
sencillamente el cambio de base en dos etapas.
En la figura 2.8 se muestran los sistemas de coordenadas globales y locales de barra:
Como se observa, los ejes locales están únicamente asociados al eje axial de la barra. Se
representan por xaux, yaux y zaux y son determinados automáticamente: el eje local xaux es el eje
axial de la barra en el nodo de menor numeración (nodo a), el eje local yaux es el eje
perpendicular al plano definido por el eje global Z y el eje xaux. Finalmente, el eje local zaux es el
eje perpendicular a los dos anteriores. Con esto, se define la matriz de cambio de base de ejes
generales a ejes locales de barra como sigue:
√
Donde y son las coordenadas de los nodos a y b de una barra de longitud
:
(
)
Página 29
(
)
Donde convierte los desplazamientos globales en el nodo de menor numeración de
una barra ab (nodo a) a desplazamientos locales. La matriz realiza la misma operación
pero para el nodo de mayor numeración, es decir, el nodo b.
Por tanto, para obtener los desplazamientos y esfuerzos locales en función del desplazamiento
global, se tienen las siguientes ecuaciones:
Para cambiar de ejes locales a globales, se utilizan las matrices traspuestas, ya que las matrices
de cambio de base son ortogonales e unitarias:
Finalmente, si el eje auxiliar xaux es paralelo al eje global Z, el eje yaux queda indefinido, por lo
que deberá establecerse algún método para determinarlo. En este caso, el eje local yaux
coincidirá con el eje global Y, siendo la matriz de cambio de base de la forma que sigue, en
caso de coincidir el eje x con el sentido positivo del eje Z:
(
)
Y de la siguiente forma en caso de que coincida con el sentido negativo del mismo:
(
)
Para finalizar la definición de las matrices de cambio de base, se pasa a definir el cambio
realizado entre ejes locales de barra y ejes principales de la misma. Para ello, se realiza una
rotación respecto al eje xaux, con un valor del ángulo que se denominará como β, medido en el
nodo a desde el eje local yaux al eje principal de la sección yp y en sentido antihorario. Esto se
representa en la figura 2.10:
Página 30
Figura 2.10 Cambio de ejes locales a principales de barra.
Para determinar el ángulo β, se deben determinar previamente los cosenos directores del eje
yp en el nodo menor mediante las ecuaciones siguientes:
(
)
si el eje local xaux no es paralelo al eje
global Z
si el eje local xaux es paralelo al eje global Z
Por tanto, las matrices para cada uno de los nodos quedan definidas como:
(
)
(
)
Finalmente, para convertir los esfuerzos y desplazamientos en ejes principales a locales:
Para cambiar de ejes principales de barra a ejes auxiliares se utilizan las matrices traspuestas:
Página 31
Finalmente, para concluir la definición matemática del problema, se retoma la formulación
indicada al comienzo:
,{ }
{ }- *
[ ] [ ]
[ ] [ ]
+,{ }
{ }-
Desarrollando la expresión y aplicando las transformaciones indicadas, se tiene:
Por tanto, queda fácilmente identificado el sistema matricial:
{* + * +
} *
+ {* + * +
}
Donde:
Una vez definido el método de generación de las matrices, queda únicamente definir la matriz
global a través del bien conocido método de ensamblaje, completamente análogo al de 2D,
pero con submatrices de 3x3 en lugar de 2x2. Posteriormente se simplifica el sistema como se
indicaba previamente y se obtienen las matrices reducidas, que permitirán obtener las
incógnitas de desplazamientos y reacciones, quedando cerrado el problema
matemáticamente.
Con la implementación del método matricial 3D se pueden obtener eficientemente las
matrices de rigidez de la estructura completa, con la que se pueden obtener tanto esfuerzos
como deformaciones y, por tanto, evaluar los valores de los esfuerzos locales mediante las
Página 32
transformaciones anteriormente citadas. Con estos esfuerzos y desplazamientos, se pueden
obtener, respectivamente, las tensiones (según el método indicado anteriormente) para cada
una de las barras y las deformaciones, obteniendo por tanto la rigidez de la estructura al hacer
la inversa del máximo desplazamiento. Quedan por tanto, definidas las restricciones
concernientes a rigidez, tensiones y volumen.
2.2.1.4 Ecuaciones y matrices de masa
A continuación, se hará la descripción de la implementación del análisis modal de la
estructura. Para ello, es necesario previamente obtener la matriz de masa, del mismo tamaño
que la matriz de rigidez global, (obtenida del libro: “Theory of Matrix Structural Analysis”, J.S.
Przemieniecki) y posteriormente obtener los modos y frecuencias de vibración del sistema
formado por la ecuación diferencial de segundo orden y homogénea:
, - , -
Donde [M] es la matriz global de masa del sistema y [K] es la matriz global de rigidez. El vector
representa cada una de los grados de libertad del sistema, es decir, cada uno de los
desplazamientos y rotaciones presentes en los nodos de la estructura.
Para obtener la matriz de masa global, se debe hacer el análisis dinámico de cada uno de los
elementos, para posteriormente realizar el ensamblaje de cada una de las matrices de masa
elementales obtenidas previamente.
Para poder realizar este procedimiento, se deben hacer consideraciones particulares como que
cada elemento es susceptible de ser representado por desplazamientos estáticos. Dado que se
va a tratar el problema desde un punto de vista computacional, es preferible calcular las
matrices de masa de elementos desacoplados en coordenadas locales y, posteriormente,
realizar la transformación de estas matrices al sistema global de referencia para la estructura
ensamblada. De forma general, la matriz de masa de un elemento se calcula mediante la
expresión:
∫
Donde la matriz se refiere a todos los desplazamientos nodales en coordenadas locales. Tal y
como se ha indicado anteriormente, los desplazamientos locales y los globales están
relacionados mediante la expresión:
Donde ya han sido analizadas las correspondientes matrices de cambio de base. Si se realiza la
derivada de segundo orden de ambos términos, resulta evidente:
Ahora bien, es necesario aplicar el principio de trabajos virtuales para las fuerzas de inercia, de
forma que de ahora en adelante se cambiará la notación hasta ahora empleada para mantener
Página 33
la notación clásica del principio de trabajos virtuales. Por esto, se considera que el vector de
grados de libertad nodales en coordenadas locales pasa a denominarse:
Y el vector en coordenadas globales pasa a ser:
Por esto, que indicando de nuevo las expresiones anteriores:
De esta forma, se puede formular mediante la nomenclatura clásica el principio de trabajos
virtuales mediante un desplazamiento virtual:
Y como el trabajo virtual de las fuerzas de inercia debe ser independiente del sistema de
referencia, se debe cumplir:
( ) ( )
Esto quiere decir que tanto en el sistema de referencia local (coordenadas ) como en el
global (coordenadas ) las fuerzas de inercia ,( ) ( )- obtenidas a partir del
principio de d’Alembert deben realizar un trabajo virtual , ( )- que sea
idéntico en ambos casos. Nótese que es la matriz de masa en coordenadas locales y es la
matriz de masa en coordenadas globales.
Por tanto, si combinamos las expresiones anteriores, se obtiene:
( )
De donde, al tener que y son arbitrarios, se deduce que:
Por lo que se obtiene la misma transformación que en las matrices de rigidez anteriormente
representadas, es decir:
, -
, -
Finalmente, se pueden combinar estas expresiones con la integral inicial para obtener la matriz
de masa de un elemento, para llegar a la transformación generalmente conocida que resulta
(en las coordenadas inicialmente presentadas):
∫
Página 34
Por tanto, se tiene que:
∫
Expresión que representa la matriz de masa global en función de los desplazamientos globales
de la estructura.
Una vez obtenida esta matriz, se debe realizar la matriz de masa global para la matriz
completa, realizando el ensamblaje de los diferentes elementos. Este procedimiento es
completamente análogo al de la matriz de rigidez completa de la estructura en coordenadas
globales.
Se debe tener en cuenta una consideración importante en este apartado: para determinar la
matriz de rigidez fueron consideradas fuerzas externas aplicadas en los nodos (por lo que las
reacciones de barra eran nulas). En el caso de la matriz de masa, se deben considerar fuerzas
de inercia aplicadas en la estructura ensamblada, es decir, que en caso de contar con masas
concentradas, se deberán tener en cuenta en la matriz global de masa, de forma que:
Donde representa las masas concentradas y M es la matriz completa de masa, en
coordenadas globales y considerando las masas concentradas. En este caso particular, no se
tienen en cuentan las masas concentradas, dada la dificultad de cuantificar las mismas a priori.
Entiéndase que estas masas concentradas pueden ser los elementos auxiliares como
rodamientos, motor, suspensión y demás elementos que serán soportados por el chasis de la
motocicleta y que, debido a su gran variedad y complejidad geométrica, no son considerados
en el análisis inicial. De cualquier modo, este análisis deberá ser verificado posteriormente
mediante un método computacional más complejo, tal como un análisis mediante elementos
finitos tridimensionales e, incluso, un análisis modal experimental, ya que al no considerar las
masas concentradas no nos encontramos del lado de la seguridad.
A continuación se pasa a describir detalladamente la matriz de masa seleccionada para la
obtención de las frecuencias naturales y los modos de vibración de la estructura. Como se ha
citado anteriormente, se realizará el análisis de la misma en coordenadas locales, para
posteriormente pasar al ensamblaje global de la estructura. Los doce grados de libertad
considerados tienen la notación y son representados en la figura 2.11:
* +
Los cuales se relacionan mediante la matriz de funciones de forma a con los desplazamientos
de forma:
Página 35
Figura 2.11 Grados de libertad del elemento
Por tanto, la matriz de funciones de forma resulta ser:
(
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) )
Donde las coordenadas adimensionales para una longitud l del elemento son:
En las figuras siguientes (2.12, 2.13 y 2.14) se representan algunos de los modos de vibración
que anteriormente se han indicado en :
Página 36
Figura 2.12 Cuarto Modo de vibración
Figura 2.13 Quinto modo de vibración
00.2
0.40.6
0.81
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0-0.25
-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
(Axial) (Flexión Horizontal)
(
Fle
xió
n V
ert
ica
l)
00.2
0.40.6
0.81
-1
-0.5
0
0.5
1-0.2
-0.15
-0.1
-0.05
0
(Axial) (Flexión Horizontal)
(
Fle
xió
n V
ert
ica
l)
Página 37
Figura 2.15 Noveno modo de vibración
Se puede realizar la integración a lo largo del volumen del elemento de tal forma que:
∫
∭
Por tanto, la matriz completa del elemento, siendo esta de 12x12, resulta ser la combinación
de cuatro submatrices de 6x6, tal y como se indicó previamente en el desarrollo de la matriz
de rigidez:
*[
] [ ]
[ ] [ ]
+
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
10
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(Axial) (Flexión Horizontal)
(
Fle
xió
n V
ert
ica
l)
Página 39
Donde, al igual que en el caso de la matriz de rigidez, se tienen en cuenta los momentos de
inercia de la sección transversal e , así como el momento de inercia polar J.
Una vez obtenida la matriz de masa del problema, se pueden obtener los modos y frecuencias
de vibración del sistema a partir de la ecuación diferencial de segundo orden y homogénea
anteriormente indicada:
Como se conoce la relación entre la aceleración y el desplazamiento:
( )
Se tiene por tanto que resolver el problema de autovalores y autovectores definido por:
( )
Por tanto, se puede escribir como:
De donde se sabe que las frecuencias naturales al cuadrado son los autovalores de la matriz
y que el autovector del correspondiente autovalor es el modo de vibración del sistema.
Se debe tener en cuenta que la estructura a calcular se encuentra restringida debido a una
serie de apoyos. Por este motivo, la matriz de masa y la matriz de rigidez no serán las mismas
que la general, ya que se deben eliminar ciertos grados de libertad. Éstas quedarán
representadas como sigue:
Es importante hacer esta distinción, ya que la motocicleta, bajo ninguna situación se va a
encontrar sometida a una vibración libre sin restricciones. La diferencia entre los tres
diferentes tipos de vibraciones a los que puede verse sometida se representan en la figura
2.16, para el caso de vibración libre, vibración estáticamente restringida (isostático) y vibración
hiperestáticamente restringida:
Página 40
Figura 2.16 Vibraciones libres (a), isostáticas (b) e hiperestáticas (c)
Para la obtención de los modos y frecuencias naturales de vibración, se realiza la misma
operación de eliminación de filas y columnas que se realiza en la obtención de la matriz de
rigidez reducida en el método matricial, previo a la resolución del sistema para obtener las
reacciones y los desplazamientos de los nodos no restringidos.
Finalmente, el análisis se ha realizado bajo la suposición de ausencia de amortiguamiento
estructural, lo cual se considera más conservador.
Página 41
2.2.2 Descripción del programa
Una vez realizada la descripción de las bases teóricas del modelo, se pasará a describir el
programa realizado en Matlab. Este programa cuenta con la integración de todos los métodos
anteriormente indicados, además de funciones auxiliares que facilitan la programación y la
implementación de los procedimientos. Además, se incluyen una serie de elementos de
comprobación de la bondad del método, que se describirán posteriormente. La estructura
fundamental del programa se indica en las figuras del Anexo II.
De cara a realizar la comprobación de los resultados, se ha implementado la optimización de
vigas discretizadas con los mismos elementos que componen la estructura del chasis. La figura
2.17 representa la estructura citada:
Figura 2.17 Estructura de prueba
Esta estructura se puede encontrar soportada en sus extremos de tres formas diferentes:
biapoyada, biempotrada o en voladizo. De cara a comprobar la bondad, en primer lugar, del
programa creado según los principios anteriormente indicados, se realiza el cálculo de los tres,
sometiendo la viga a una carga centrada en el caso de la biapoyada y biempotrada; y a una
carga en el extremo en el caso de la viga en voladizo.
Dado que se trata de una estructura reticulada, el cálculo teórico para la comprobación se
hace más complicado de hacer manualmente, por lo que, para poder comprobar que el
método está bien implementado, la viga se reducirá a una línea discretizada en varios nodos
longitudinalmente. Este cálculo es fácilmente comprobable con la teoría de la resistencia de
materiales.
00.2
0.40.6
0.81
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
xy
z
Página 42
La sección transversal se trata de una sección circular hueca de las siguientes características:
El material será acero como el estructural empleado para el chasis, la longitud será 1m y la
carga en el extremo de 100N.
Para una discretización longitudinal en 9 nodos, se obtiene la figura 2.17:
Figura 2.17 Discretización en 9 nodos
El valor de la máxima deflexión en el extremo para este caso será:
Siendo el giro en esta sección de un valor:
Para obtener un análisis de convergencia adecuado, se realiza este mismo ensayo con más
elementos:
Elementos/longitud 9 21 41 101 201
Desplazamiento (m)
Giro (rad) 1ª Frec. Nat. (rpm)
00.2
0.40.6
0.81
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
x
Deformada x 10 veces
y
z
Página 43
El resultado teórico para este caso, resulta ser el siguiente:
Donde :
En el caso de la viga biapoyada, se tiene lo representado en la figura 2.18:
Figura 2.18 Viga biapoyada
Para este caso, se hace el mismo análisis de convergencia que en el caso anterior y se obtiene:
Elementos/long 9 21 41 101 201
Desplazamiento (m)
Giro central (rad)
1ª Frec. Nat. (rpm)
El valor de la máxima deflexión en el centro de la sección para este caso donde n=2 se trata de:
00.2
0.40.6
0.81
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
x
Deformada x 100 veces
y
z
Página 44
, -
Finalmente, para comprobar el caso de la viga biempotrada, se realiza el ensayo de igual
manera, resultando la geometría indicada en la figura 2.19:
Figura 2.19 Viga biempotrada
Elementos/long
9 21 41 101 201
Desplaz. (m)
Giro central (rad)
1ª Frec. Nat. (rpm)
Donde se observa una convergencia en todo caso, siendo los desplazamientos teóricos
coincidentes a los desplazamientos de las vigas discretizadas. Al observarse una convergencia
en todos los casos, se acepta la bondad del modelo y se utiliza para la representación de la
estructura.
A continuación se probará el programa de minimización con restricciones, para comprobar si el
mismo funciona adecuadamente. Para ello, se plantearán distintas situaciones de carga en las
que se solicitará al programa la realización de la optimización de las vigas en diferentes
situaciones de carga, tratando de, como se comentó anteriormente, minimizar el peso total de
la estructura.
00.2
0.40.6
0.81
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
x
Deformada x 1000 veces
y
z
Página 45
Se comienza por el caso de la viga biapoyada sometida a una carga vertical en el centro de la
misma. Las premisas son minimizar el peso únicamente teniendo en cuenta un criterio
tensional y de rigidez, es decir, las tensiones, las menores posibles y la rigidez lo mayor posible.
El resultado de la función objetivo tras varias iteraciones es la representada en la figura 2.20:
Figura 2.20 Optimización de una viga biapoyada
0 2 4 6 8 10 12 141600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
Iteration
Fun
cti
on
va
lue
Current Function Value: 1682.56
Página 46
Siendo el resultado de la optimización el representado en la figura 2.21:
Figura 2.21 Optimización de una viga biapoyada
Si se observa más detenidamente la estructura en la figura 2.22:
Figura 2.22 Detalle de la optimización
00.2
0.4
0.60.8
1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
Deformada x 10000000 veces
y
z
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Deformada x 10000000 veces
y
z
Página 47
Se observa que el programa ha reducido al máximo la sección transversal de la viga y ha
mantenido el plano de mayor inercia (plano horizontal) con una dimensión suficiente para que
la flexión en el plano vertical no provoque una deformación excesiva. Además, se observa que
e la estructura se ha rebajado en la zona intermedia, asemejándose al alma de los perfiles en I,
que son bien conocidos por aprovechamiento del material a flexión y son ampliamente
utilizados.
A continuación se analiza la viga en voladizo, bajo las mismas indicaciones que en el caso
anterior, se tiene el conjunto de datos representados en la figura 2.23-2.24:
Figura 2.23 Iteración de la viga en voladizo
0 5 10 15 201000
1200
1400
1600
1800
2000
2200
Iteration number
fval
Página 48
Figura 2.24 Viga en voladizo optimizada
Se observa que en la geometría general se ha disminuido al máximo la sección en la zona en la
que no es necesaria debido a criterio tensional, pero que por otra parte, se ha mantenido la
inercia como en el caso anterior, es decir, se ha reducido la misma en el plano vertical para
mantenerla en un número adecuado en el plano horizontal. Tal y como se observa en la figura,
se ha degenerado en una estructura de espiga, ya que la tensión en el extremo es mínima
teóricamente. Finalmente, en la zona de transición se observa la geometría de la misma como
un perfil en I, es decir, los nodos interiores se “juntan” mientras que los exteriores se
mantienen a cierta distancia para dotar de mayor inercia en dicho a la sección (figura 2.25)
Figura 2.25 Detalle de la viga en voladizo.
00.2
0.40.6
0.81
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
x
Deformada x 10000000 veces
y
z
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Deformada x 10000000 veces
y
z
Página 49
A continuación se analiza la viga biempotrada, en este caso con un mayor número de nodos, se
tienen los resultados siguientes, representados en la figura 2.26:
Figura 2.26 Iteración de la viga biempotrada
Es interesante también hacer la comparación entre los resultados obtenidos para la viga
biempotrada y la viga biapoyada. Para este último caso se obtuvo un peso final, tras 14
iteraciones de valor superior a 1700kg. En el caso de la viga biempotrada, al contar con una
mayor rigidez en los apoyos al estar impedido el giro, el peso de la misma se puede disminuir
más, ya que parece ser que el criterio de búsqueda prima en cierto modo la rigidez por encima
de las tensiones. Los resultados geométricos son representados en la figura 2.27 y 2.28, donde
se observa la máxima deformada del primer modo de vibración de la geometría:
0 5 10 15 20 25 30 351600
1700
1800
1900
2000
2100
2200
Iteration
Fun
cti
on
va
lue
Current Function Value: 1658.56
Página 50
Figura 2.27 Viga biempotrada
Figura 2.28 Representación deformada e indeformada de la viga biempotrada optimizada
0
0.5
1
-1
0
1-1
-0.5
0
0.5
1
x
Deformada x 10000000 veces
y
z
00.2
0.40.6
0.81
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
x
Modo de vibración número: 1. Frecuencia: 51080.1202rpm
y
z
Página 51
Figura 2.29 Detalles de la iteración de la viga biempotrada
Es interesante de nuevo analizar estos detalles: al igual que ocurría con los dos casos
anteriores, la viga biempotrada es optimizada de forma que la sección en los apoyos sea lo
mayor posible y así compensar las tensiones debidas al empotramiento. Dado que la rigidez
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Modo de vibración número: 1. Frecuencia: 51080.1202rpm
y
z
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Modo de vibración número: 1. Frecuencia: 51080.1202rpm
y
z
Página 52
parece no ser un criterio decisivo en la geometría general del conjunto, es decir, la restricción
se ve satisfecha con holgura, la sección en la zona intermedia se ve reducida al plano de mayor
inercia y mantiene las premisas anteriormente indicadas.
Página 53
2.2.3 Implementación real del programa:
Aunque el objetivo fundamental del programa es la generación de una estructura del chasis
óptima bajo unas restricciones, se observa que, dentro de su generalidad, se puede conseguir
que éste trabaje adecuadamente para otros tipos de estructuras, como pueden ser las vigas
anteriormente indicadas o, de forma genérica, cualquier tipo de estructura modelable con los
elementos indicados. Se queda abierta la puerta del programa a establecer otros tipos de
elementos, tales como placas o láminas y a discretizar las barras que constituyen la estructura
de cara a obtener resultados que converjan más rápidamente.
En el caso del modelo del chasis empleado, se genera una solución básica del problema de
forma que varios puntos, indicados en la figura 2.30 son fijos y no se pueden modificar ya que
deben interaccionar con otros elementos tales como la horquilla delantera o el conjunto
basculante-suspensión trasera.
Figura 2.30 Puntos fijos de la estructura
Para aportar una solución inicial y sin necesidad de introducirla “a mano”, el programa ha sido
realizado de forma que distribuya los nodos linealmente entre los puntos fijos de los sendos
cordones superiores e inferior del chasis, de forma que resulte una configuración en celosía de
las barras entre cordones superior e inferior de un mismo lateral del chasis. En función del
número de nodos que se decida introducir, se tendrá una configuración diferente (nótese que
este número debe ser siempre par) y por tanto se consideran opciones factibles los valores 4,6
y 8.
Para cada una de las configuraciones, se obtienen los resultados y se decide finalmente, tal y
como se detalla a continuación, por aquel que cumpla con las restricciones y que, además,
tenga una fabricación e integración con el resto de componentes que satisfaga las
necesidades.
Página 54
Según la configuración de 4 nodos móviles, los resultados obtenidos son los siguientes,
representados en las figuras 2.31:
Figura 2.31a Iteración en 4 nodos
0 0.5 1 1.5 26.65
6.7
6.75
6.8
6.85
6.9
6.95
7
7.05
7.1
Iteration
Fun
cti
on
va
lue
Current Function Value: 6.6757
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
Deformada x 10000 veces
y
z
Página 55
Figura 2.31b Geometría del chasis de 4 nodos
Figura 2.31c Geometría lateral del chasis de 4 nodos
Figura 2.31d Solución de 4 nodos con deformada
-0.100.10.20.30.40.50.60
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
x
Deformada x 10000 veces
z
-0.2
0
0.2
-0.2-0.100.10.20.30.40.50.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
y
Deformada x 10000 veces
z
Página 56
Esta configuración es la que menor peso tiene de todas, pero no cumple con las restricciones
de rigidez que se le solicitan, ya que el vector resultado de las restricciones no lineales de
rigidez es (deberían ser todos negativos):
(
)
En cuanto a la configuración de 6 nodos, la solución es satisfactoria en todos los sentidos ya
que en comparación con la de 4 nodos, tiene un mayor peso, pero cumple con las restricciones
de rigidez, mientras que en comparación con la estructura de 8 nodos, se tiene un peor
comportamiento mecánico (aunque satisfactorio) pero con un menor peso. Los resultados de
ambos casos se encuentran representados a continuación, observándose los valores de la
primera frecuencia naturales para ambas configuraciones. Comenzando por el caso de seis
nodos:
Figura 2.32a Iteración en 6 nodos
0 0.5 1 1.5 27.1
7.12
7.14
7.16
7.18
7.2
7.22
7.24
Iteration
Fun
cti
on
va
lue
Current Function Value: 7.10305
Página 57
Figura 2.32b Geometría general de 6 nodos con deformada
Figura 2.32c Geometría general de 6 nodos con deformada II
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
Deformada x 10000 veces
y
z
-0.2
0
0.2
-0.200.20.4
0.60
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
x
Deformada x 10000 veces
y
z
Página 58
Figura 2.32d Primer modo de vibración de 6 nodos
En cuanto al caso de 8 nodos:
Figura 2.33a Iteración con 8 nodos
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
Modo de vibración número: 1. Frecuencia: 21052.1394rpm
y
z
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 47.84
7.85
7.86
7.87
7.88
7.89
7.9
7.91
7.92
7.93
7.94
Iteration
Fun
cti
on
va
lue
Current Function Value: 7.84627
Página 59
Figura 2.33b Geometría general del chasis de 8 nodos
Figura 2.33c Geometría lateral del chasis de 8 nodos
En ambos casos se observa un buen comportamiento de la estructura, estando las
restricciones satisfechas en ambos casos. Dado que el peso de la estructura de 6 nodos es
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0.60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
Deformada x 10000 veces
y
z
-0.2-0.100.10.20.30.40.50.6
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
x
Deformada x 10000 veces
y
z
Página 60
menor al de la estructura de 8, se considera que este caso es más satisfactorio, de forma que
la solución definitiva de los nodos móviles es:
(
)
Finalmente, de cara a detallar y comparar los resultados de la solución obtenida con el modelo
en Matlab, con el modelo realizado en Ansys, se indican las diez primeras frecuencias naturales
siendo el primer modo de vibración de flexión lateral, representado en las figuras 2.32.
(
)
Página 61
Capítulo III: Modelización y simulación:
Una vez obtenida una solución óptima en función de los requerimientos citados, se pasa a
modelar el conjunto en un programa que permita realizar un cálculo de los elementos del
chasis de una forma más precisa. Para ello se pasará a realizar el cálculo según el método de
los elementos finitos, empleando software disponible en el Dpto. de Ingeniería Mecánica de la
ESI de la Universidad de Sevilla. La modelización del mismo se representa en la figura 3.1,
incluyendo ciertos elementos auxiliares como la suspensión, detalle del cuello de la dirección,
y cogidas del motor:
Figura 3.1a Renderizado del chasis I
Página 62
Figura 3.1b Rendezizado lateral del chasis
Figura 3.1c Renderizado del conjunto
Se debe, a continuación, establecer la misma relación de comprobaciones que en las realizadas
en el caso anterior. Para ello, se comienza realizando la comprobación a rigidez del conjunto
en un modelo más sencillo que el 3D.
Página 63
Para la comprobación general de que la estructura es suficientemente rígida, se realizará un
modelo de elementos finitos tipo barra (BEAM) de tal forma que se pueda determinar
rápidamente la bondad de la estructura. Posteriormente, en base al modelo en 3D del chasis,
se comprobarán las hipótesis de tensiones y frecuencias naturales, quedando comprobadas las
de integración con el resto de elementos en el modelado del conjunto.
Se comienza por tanto con la generación de la estructura lineal en un programa de cálculo por
elementos finitos. La estructura obtenida en el modelo de Matlab se exporta a éste y se
realizan comprobaciones de rigidez, tensiones y frecuencias naturales. Se hará para todos los
casos un análisis de la malla, es decir, se comprobará la convergencia de la misma para
asegurar el buen comportamiento del modelo.
Para el primer caso, se cuenta con una discretización de la barra en 8 tramos circunferenciales,
siendo este primer modelo el indicado en la figura 3.2:
Figura 3.2a Elementos con 8 divisiones
3.1 Cálculo a rigidez:
Se indican a continuación los gráficos obtenidos del programa de elementos finitos para
posteriormente, una vez obtenidos todos los análisis de convergencia de la malla,
representarlos en la tabla correspondiente que se encuentra al final de este apartado. Para
ello se aplica una carga de valor unidad en el cuello de la dirección, de forma que se obtenga
un desplazamiento que, al hacer su inversa, nos proporcione la rigidez del conjunto en cada
eje, es decir, rigidez lateral, vertical y torsional.
Página 69
Figura 3.4d Cálculo de la rigidez torsional
Se observa que el mallado de la estructura es satisfactorio desde el mallado más grueso (que
cuenta con 8 elementos en cada circunferencia, es decir, la barra está dividida en 8 tramos de
igual arco) hasta el mallado más fino, con 32 elementos que discretizan circunferencialmente
el tubo.
Número de elementos Desplazamiento lateral (mm)
Desplazamiento vertical (mm)
Desplazamiento torsional (mm)
8
16
32
Se aceptan por tanto los resultados del modelo como válidos, aunque se hace notar lo
siguiente: las rigideces obtenidas en este caso son mucho mayores respecto al caso anterior ya
que las barras han cambiado su diámetro. En el modelo generado en matlab, las barras son de
25x2mm, mientras que, tras el análisis tensional del modelo 3D se obtienen tensiones debido a
concentradores de tensión inadmisibles, debiéndose cambiar en ciertas zonas el diámetro de
las barras para poder salvar este inconveniente. De cualquier modo, la geometría empleada en
el cálculo de este modelo es la misma que la obtenida mediante el programa de matlab.
Página 70
3.2 Cálculo de las frecuencias naturales
Dado que la resolución del modelo de líneas no revela los concentradores de tensiones, en
este caso se realiza únicamente el análisis adicional de las frecuencias naturales de vibración,
dejando el análisis tensional para el modelo en tres dimensiones del conjunto. Para ello, se
emplea el mismo programa de elementos finitos y se obtienen, para el caso de máximo
número de elementos en cada barra:
(
)
(
)
Se observa que las frecuencias son parecidas a las obtenidas al método programado en
matlab, aunque no iguales debido a la variación de las secciones de las barras. Para comprobar
la bondad del método programado en matlab, se propone el mismo cálculo con las mismas
secciones, donde se obtiene, a título de comprobación y mera comparación de resultados de
las frecuencias lo siguiente:
(
)
(
)
(
)
Donde se observan dos circunstancias. En primer lugar y dada la modelización del elemento
tipo barra del modelo matricial, existen ciertas discrepancias entre los valores de las
frecuencias naturales y aunque no es de un orden de magnitud, el error es considerable y el
modelo de matlab resulta incompleto en este sentido. Por otra parte, la formulación del
elemento parece ser adecuada para capturar los diferentes modos de vibración presentes, en
Página 71
cuanto a número de grados de libertad se refiere, aunque cabe plantearse que la no división
del elemento en diversos tramos sea muy adecuada. Si se realiza una comparativa entre el
primer modo obtenido en cada uno de los programas, se observa que el primer modo de
vibración es el semejante en ambos, obteniendo únicamente discrepancias en las frecuencias
naturales:
Figura 3.5a Obtención del primer modo de vibración mediante el modelo de matlab
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
-0.2
0
0.2
0.4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
Modo de vibración número: 1. Frecuencia: 21052.1394rpm
y
z
Página 73
3.3 Cálculo tensional
En este apartado se hará el estudio tensional del modelo anteriormente dimensionado, de
acuerdo a las cargas presentes en el mismo. Para ello, se recuerda brevemente que se
someterá al conjunto a cuatro hipótesis de carga, cada una de las cuales se indicarán a
continuación: frenada, curva, suspensión y potro de ensayo. Las propiedades del material se
recuerdan a continuación:
- Límite elástico medio: 48 kg/mm2
- Resistencia a la rotura: 70 - 80 kg/mm2
- Módulo de Young: 210 GPa
- Coeficiente de Poisson: 0,33
- Módulo elástico transversal: 81 GPa
La geometría definitiva del chasis no varía de la obtenida del cálculo mediante el modelo de
Matlab, aunque sí se han hecho algunas modificaciones en el diámetro de algunas de las
barras del mismo, aumentando éstas hasta los valores indicados en los planos. Además se han
realizado modificaciones en las sujeciones de los elementos, como la suspensión trasera y el
motor, detalles de las cuales se representan en los planos. El modelo de elementos finitos
tiene una gran cantidad de elementos que dificultan el cálculo con una geometría compleja
que incluya los redondeos correspondientes en las soldaduras de los materiales. Se considera
que los modelos empleados obtienen resultados suficientemente acordes a la realidad, siendo
los detalles del mallado representados en las figuras siguientes:
Figura 3.6a Mallado
Página 75
Se trata por tanto que en el mallado tengamos siempre una relación de aspecto del elemento
adecuada y que no tengamos elementos con una dimensión característica muy superior a otra
dimensión del mismo, de forma que los resultados sean suficientemente fiables.
De cara a dar unos detalles sobre el mallado realizado:
- Mallado:
o Número total de nodos: 2110693
o Número total de elementos: 1145339
o Tipo de elemento: Tetraédrico con interpolación parabólica en las
aristas de máximo tamaño 0,002m
En cuanto a los criterios de seguridad empleados, se debe tener en cuenta las limitaciones del
modelo empleado en cuanto a precisión del número de elementos. Aunque pueda parecer que
el número de elementos es muy grande, en realidad en algunas zonas del chasis sería
necesario realizar un refinamiento, pero dada la ausencia de memoria en el ordenador
empleado, se considera que los resultados son suficientemente fiables.
El criterio de seguridad empleado debe tener en cuenta que los concentradores de tensión
presentes en la estructura modelo pueden hacer parecer que la misma falla, aunque tal y
como se ha comentado con los fabricantes del chasis, existen dos factores importantes que
permiten considerar que estamos del lado de la seguridad. En primer lugar, la soldadura de
acero conseguida se puede considerar mucho más resistente que el propio tubo de acero a
soldar, por lo que los concentradores en esta zona tienen un mayor rango de tensiones
disponibles. Por otra parte, como se ha indicado anteriormente, la soldadura supone en cierto
modo un radio de acuerdo entre las aristas de la intersección de los tubos pero que, para
simplificar la geometría del modelo y reducir el coste computacional, ha sido omitida ya que
de otra forma el modelo no podía ser resuelto. Con estas consideraciones, se realiza el análisis
tensional en elementos finitos del conjunto, siendo los resultados, los indicados a
continuación.
- Frenada:
Figura 3.6a Fuerza de frenado
Página 76
Los resultados obtenidos son los siguientes:
- Máximo desplazamiento =
- Máxima tensión = 620 MPa (en presencia de concentrador de tensiones, ver
imágenes)
Figura 3.6b Distribución global de tensiones. Frenado I
Página 78
Figura 3.6d Detalle de la distribución de tensiones. Frenado I
Figura 3.6e Detalle de la distribución de tensiones. Frenado II
Se observa que, en todas las figuras, los concentradores de tensión se encuentran en las zonas
de unión de los tubos donde, como se ha indicado anteriormente, no se ha modelado la
soldadura. De cualquier modo, se observa que el valor de la tensión máxima no está en el
Página 79
rango de rotura (70 kg/m2), aunque sí supera el valor del límite elástico (40 kg/m2 en una
pequeña región.
- Curva:
Figura 3.7a Fuerzas en curva
Los resultados obtenidos son los siguientes:
- Máximo desplazamiento =
- Máxima tensión = 643,38 MPa (en presencia de concentrador de tensiones,
ver imágenes)
Página 80
Figura 3.7b Distribución global de tensiones. Curva I
Figura 3.7c Distribución global de tensiones. Curva II
Página 81
Figura 3.7d Detalle de la distribución de tensiones. Curva I
Figura 3.7e Detalle de la distribución de tensiones. Curva II
Página 82
- Suspensión
- Figura 3.8a Cargas de la suspensión
Los resultados obtenidos en el mallado grueso son los siguientes:
- Máximo desplazamiento =
- Máxima tensión = 667 MPa (en presencia de concentrador de tensiones, ver
imágenes)
Página 83
Figura 3.8b Distribución global de tensiones. Suspensión I
Figura 3.8c Distribución global de tensiones. Suspensión II
Página 84
Figura 3.8d Detalle de la distribución de tensiones. Suspensión I
Figura 3.8e Detalle de la distribución de tensiones. Suspensión II
Se observa en este caso que la presencia de aristas vivas en las placas, tiene una influencia en
la concentración de tensiones bastante importante, circunstancia que no se dará en la
realidad.
Página 85
- Potro de ensayo:
Las cargas del potro de ensayo se aplican en ambos ejes, delantero y trasero, siendo el valor de
la misma:
Los resultados obtenidos en el mallado grueso son los siguientes:
- Máximo desplazamiento =
- Máxima tensión = 805 MPa (en presencia de concentrador de tensiones, ver
imágenes)
Figura 3.9a Distribución global de tensiones. Potro de ensayo I
Página 86
Figura 3.9b Distribución global de tensiones. Potro de ensayo II
Figura 3.9c Detalle de la distribución de tensiones. Potro de ensayo I
Se observa en esta figura que la zona de concentración de tensiones tiene una influencia muy
pequeña en cuanto a espacio pero muy importante en el valor de la tensión máxima. De
nuevo, se explica esta circunstancia teniendo en cuenta que no están representados los radios
de acuerdo y que esta carga será aplicada únicamente una vez en la prueba de la competición.
Página 87
Figura 3.9d Detalle de la distribución de tensiones. Potro de ensayo II
Finalmente, se concluye el cálculo tensional indicando que en todas las hipótesis de carga
existen únicamente pequeñas zonas de concentración de tensiones en las que aparecen
tensiones elevadas, de las cuales ya se ha realizado la pertinente aclaración.
3.4 Análisis modal
Para concluir el análisis de elementos finitos realizado del conjunto, se realiza el análisis modal
del mismo. Los resultados obtenidos difieren de los obtenidos en Matlab y el modelo de líneas
por una sencilla razón: la inclusión de una barra adicional en la parte frontal para soportar el
motor. Las frecuencias se ven notablemente reducidas, ya que el modo de vibración de esta
barra tiene una menor frecuencia y, por tanto, disminuye la frecuencia natural de vibración de
la estructura. De cualquier forma, las frecuencias naturales de vibración no se encuentran
dentro del rango de funcionamiento del motor. Por otra parte, para estar del lado de la
seguridad y teniendo en cuenta que las frecuencias reales de vibración son inferiores a las
obtenidas del modelo, se observa que los primeros modos no son excitados por el motor, es
decir, según se representa en la figura 3.10a, donde se tiene un modo de vibración de flexión
lateral de la estructura y la barra de la cogida delantera, la excitación vibracional provocada
por el motor no afecta a este modo de vibración, ya que la vibración proveniente del mismo es
perpendicular a la dirección del movimiento del modo de vibración.
Por otra parte, el segundo modo de vibración (representado en la figura 3.10b) ya tiene una
frecuencia natural más alejada incluso del régimen de giro del motor y además, no se
encuentra ninguna excitación que pueda excitar este modo a esta frecuencia. Se podría citar la
excitación procedente del pavimento, pero la frecuencia de ésta es muy inferior a la natural.
Página 88
Los resultados obtenidos de las diez primeras frecuencias naturales son los siguientes:
(
)
Figura 3.10a Primer modo de vibración
Página 89
Figura 3.10b Segundo modo de vibración
Finalmente para concluir con el análisis modal, se realiza una comparativa del tercer modo de
vibración de la estructura, que parece tener una cierta similitud con los encontrados mediante
Matlab y el modelo de barras, siendo la frecuencia ligeramente inferior, posiblemente por la
presencia de la barra delantera, además de los pletinas de cogida a la suspensión, que parecen
tener una gran importancia en este modo:
Figura 3.10c Tercer modo de vibración
Página 90
Finalmente y para concluir el proyecto, se indica que el resto de componentes de la
motocicleta a dimensionar son diseñados en común con el resto de integrantes del equipo, de
tal forma que el apartado de integración del chasis con el resto de componentes no se
considera adecuado incluirlo en el presente documento ya que es trabajo común con otros
estudiantes. Simplemente citar en los apartados de cálculo en los que se ha realizado una
parte importante del trabajo, los cuales son:
o Cálculo a fatiga de los ejes del basculante y eje de la bieleta de la
suspensión trasera.
o Cálculo y selección de los cojinetes del eje de la bieleta.
o Cálculo y selección de rodamientos del cuello de la dirección y eje del
basculante.
Página 91
Capítulo IV: Conclusiones
El objetivo de este apartado es realizar una revisión del proceso seguido para el diseño del
chasis, obteniendo una serie de conclusiones que puedan ser aplicables a futuros trabajos.
En primer lugar, cabría analizar si los objetivos propuestos se han ido cumpliendo a lo largo de
la realización del proyecto. Al comienzo del mismo se planteaba realizar una herramienta que
permitiera la obtención sencilla de una geometría de partida para el cálculo del conjunto. El
resultado es, desde mi punto de vista, bastante interesante, ya que puede tratarse de una
herramienta de utilidad para casos en los que la programación se pueda adaptar a las
necesidades específicas del proyecto. A pesar del gran número de horas de programación, el
programa finalmente ha obtenido resultados interesantes, no únicamente en la obtención de
la geometría del chasis, si no también en los ensayos realizados para comprobar su
funcionamiento. En cuanto al diseño del chasis, ha supuesto una herramienta de utilidad para
probar diferentes geometrías, las cuales, a pesar de obtener una estética quizás más atractiva
para el conjunto, resultaron escasamente funcionales, desde el punto de vista de los criterios
citados.
En el caso del cálculo por elementos finitos y, en comparación con el programa anteriormente
citado, cabe decir que los resultados obtenidos son bastante próximos, dentro de lo que la
formulación del mismo permite, al caso de un programa comercial de elementos finitos.
Evidentemente, no se debe olvidar que el programa fue diseñado como una herramienta
rápida para obtener una geometría inicial factible y que aproveche adecuadamente los
recursos disponibles, minimizando el peso y manteniendo una relación adecuada rigidez/peso.
Es por este motivo que no se pretende considerar esta herramienta como un programa que
proporcione resultados definitivos.
Finalmente, los resultados globales de la experiencia tanto en el equipo de la motocicleta
como en la realización del proyecto han sido bastante positivos, habiendo obtenido una masa
total del conjunto de:
Teniendo en cuenta que los chasis de motocicletas comerciales suelen encontrarse en torno a
los 7 kg y que, el motor en este caso no se considera portante, el resultado se considera muy
satisfactorio, tanto en resultados obtenidos como en experiencia y conocimientos adquiridos.
Página 92
Capítulo V: Bibliografía
La bibliografía empleada en este documento es la siguiente:
- Calculo Matricial de Estructuras de 1° y 2° Orden- Teoría y Problemas, 1° ED. -
Ramón Arguelles Álvarez.
- Theory of Matrix structural analysis. J.S. Przemieniecki.
- Mechanical Vibrations, 2° ED. - Singiresu S. Rao.
- Reed WS, Keskin TA, 1987, Vehicular Response to Emergency Braking en
Accident Reconstruction: Automobiles, Tractor-Semitrailers, Motorcycles and
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- Documentación y ayuda de Matlab.
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