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Instituto de Mecnica Estructural y Riesgo Ssmico

HORMIGN II Unidad 7:

DISEO Y ANLISIS DE LOSAS DE HORMIGN ARMADO UTILIZANDO

MTODOS PLSTICOS.

Profesor: CARLOS RICARDO LLOPIZ.

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Contenido

7.1 INTRODUCCIN. TIPOS DE LOSAS

7.2 DIFERENTES MTODOS PARA EL ANLISIS Y DISEO DE LAS LOSAS

7.3. ANLISIS POR LA TEORA DE LA PLACA ELSTICA 7.3.1 HIPTESIS 7.3.2 ECUACIN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEMENTO VIGA Y ELEMENTO LOSA 7.3.3 SOLUCIN POR EL MTODO ELSTICO

7.4 CLCULO DE LOSAS DE HORMIGN ARMADO UTILIZANDO LA TEORA PLSTICA 7.4.1 GENERALIDADES 7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DCTIL PARA LA APLICACIN DE LOS MTODOS PLSTICOS

7.5 MTODO DE HILLERBORG 7.5.1 INTRODUCCIN 7.5.2 FUNDAMENTO DEL MTODO DE LAS FAJAS DE HILLERBORG 7.5.3 PROCESO DE DISEO 7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIN DEL MTODO DE HILLERBORG 7.5.5 LNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS ESQUINAS DE LAS LOSAS 7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LOS LADOS DE LA LOSA 7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIN No 1

7.5.8 EJEMPLO DE APLICACIN No 2 7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA

7.6 MTODO DE LAS LNEAS DE ROTURA 7.6.1 INTRODUCCIN FUNDAMENTOS 7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA 7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA 7.6.4 COMPORTAMIENTO REAL DE LA LOSA 7.6.5 FORMULACIN DE MECANISMOS DE COLAPSO. REGLAS PRCTICAS 7.6.6 MOMENTOS DE RESISTENCIA NOMINAL EN LAS LNEAS DE FLUENCIA 7.6.7 DETERMINACIN DE LA CARGA LTIMA 7.6.8 RAZONES POR LAS QUE LA CARGA LTIMA OBTENIDA POR LAS LNEAS DE ROTURA EN LA PRCTICA NO RESULTA SOBRESTIMADA

7.6.9 ANLISIS POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 7.6.9.1 FUNDAMENTOS 7.6.9.2 EVALUACIN DEL TRABAJO INTERNO

7.6.9.2.1 TRABAJO A LO LARGO DE LAS LNEAS DE FLUENCIA 7.6.9.2.2 EJEMPLO DE APLICACIN No1 7.6.9.2.3 DISIPACIN DE ENERGA EN UNA ZONA RGIDA 7.6.9.2.4 EJEMPLO DE APLICACIN No2

7.6.9.2.5 EJEMPLO DE APLICACIN No3

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7.7 APLICACIONES PRCTICAS 7.7.1 DEFINICIN DE ACCIONES SOBRE LAS LOSAS 7.7.2 MTODOS DE ANLISIS 7.7.3 LOSAS EN UNA SOLA DIRECCIN. MTODOS APROXIMADOS 7.7.4 REDISTRIBUCIN DE ESFUERZOS 7.7.5 REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ 7.7.6 CALCULO DE DEFORMACIONES

7.7.6.1 INTRODUCCIN 7.7.6.2 DEFORMACIN DIFERIDA

7.7.6.3 VIGAS Y LOSAS EN UNA DIRECCIN 7.7.6.4 LOSAS EN DOS DIRECCIONES

7.7.6.4.1 LOSAS SIN VIGAS INTERIORES 7.6.4.2 LOSAS CON VIGAS INTERIORES

7.7.7 REQUISITOS DE ARMADURAS

7.8 FLEXIBILIDAD DE LOS DIAFRAGAMAS 4.8.1 GENERALIDADES 4.8.2 FUERZAS DE INERCIA DE LOS PISOS 4.8.3 DETERMINACIN DE LAS ACCIONES DE DIAFRAGMAS

7.9 REFERENCIAS

7.10 APENDICE A: Tablas del ACI-318

filename Emisin 1

Emisin 2

Emisin 3

Emisin 4

Emisin 5

Emisin 6

Emisin 7

Obs.

Losas.doc Mar 1987

Mar 1992

Feb 2001

Abr 2003

Set 2003

Mar 2004

Jun 2007

Pginas 53 53 53 34 47 104 77

Apnd. C en excel

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Emisin 9

Losas.doc Abril 2008

Octubre 2009

Pginas 78 71

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7.1 INTRODUCCIN. TIPOS DE LOSAS

Las losas son elementos estructurales planos cuyo espesor es pequeo comparado con sus otras dimensiones, y que formando parte de los entrepisos, tienen como funcin estructural el soporte directo de las cargas que actan sobre ellos, y la transmisin de las mismas hacia otros elementos estructurales como vigas, columnas y tabiques.

El tipo de carga ms comn que deben soportar las losas son las cargas verticales, provenientes de su peso propio y de elementos que forman parte de los entrepisos designadas como cargas permanentes y cuya notacin es D (Dead load) y sobrecargas de uso como el peso de muebles, personas, etc. designadas como cargas de uso o accidentales, con notacin L (Live load). Sin embargo, en zonas de alta sismicidad, como la que corresponde a la zona de Cuyo, las losas de hormign armado tienen una importante misin en cuanto se refiere a la transmisin de acciones inerciales que se generan durante la ocurrencia de movimientos ssmicos. En estos casos, las fuertes aceleraciones que se inducen en un edificio debido a los movimientos de su base, generan fuerzas inerciales, tanto horizontales como verticales, que los entrepisos deben absorber y ser capaces de transmitir a los elementos con suficiente rigidez y resistencia lateral.

Las losas pueden clasificarse en general en dos categoras, de acuerdo al tipo de apoyo:

(i) Losas apoyadas en vigas, ver Fig. 7.1(a) (ii) Losas sin vigas (entrepisos sin vigas).

En el caso de losas sin vigas las cargas que ellas soportan son transmitidas a columnas o tabiques, y se distinguen tambin dos casos, segn que la columna posea o no capitel. Las Figs. 7.1(b) y (c) ilustran este tipo de losas.

En casos de losas apoyadas sobre vigas, como se muestra en Fig. 7.1(a), las cargas son transmitidas a vigas perimetrales del panel de losa. Dependiendo de la relacin Ly/Lx, las losas se pueden armar con armadura principal en una o dos direcciones. Cuando la relacin de luces es mayor que 2, en general se puede considerar a la losa formada por un haz de fajas paralelas a la direccin de la menor luz y de ancho unitario. Sin embargo, siempre es colocada una armadura de reparticin en direccin perpendicular a la armadura principal. En las fajas adyacentes a las vigas de borde se debe tener en cuenta que aquella hiptesis simplificadora ya no es vlida y se debera proveer armadura adicional paralela a la armadura de reparticin para compensar los esfuerzos adicionales que all se generan. Sin embargo, la cantidad y forma de disposicin de las barras de acero en las losas ser una funcin de la filosofa de diseo y anlisis en sus diversos mtodos que ms adelante se aplicar en detalle. Es decir entonces que existe otra posible clasificacin que es:

(i) Losas en dos direcciones. (ii) Losas en una direccin.

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Fig. 7.1 Distintos tipos de losas.

De acuerdo a los materiales y procedimientos con que son construidas las losas, stas se clasifican en:

(i) losas tipos macizas o slidas. (ii) losas nervuradas. (iii) losas tipos alivianadas con elementos prefabricados.

Las losas macizas son aquellas que en todo su espesor, generalmente constante, estn constituidas por hormign con la adecuada cantidad de armadura generalmente dispuesta en dos direcciones perpendiculares y que deben tomar los esfuerzos de traccin generados por los momentos flectores, torsores y el corte.

Las losas tipo nervuradas, que son una especie de variante de la losa slida, estn constituidas por nervios de hormign armado en forma de seccin T y separados una distancia entre s que deben satisfacer ciertos requerimientos para su

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eficacia en resistencia y rigidez. La Fig.7.1(d) indica un esquema de losa tipo nervurada. El uso de este tipo de losa permite una considerable reduccin del volumen, y por lo tanto del peso propio de la estructura resistente de la losa, al sustituir por vaco una considerable zona del hormign que al estar en traccin no colaborara para la resistencia. Por el contrario, permite el uso de nervios de profundidad considerable que pueden aumentar notablemente no slo la resistencia sino tambin la rigidez del entrepiso por lo que su uso es muy atractivo para cubrir grandes luces. Note que la reduccin de peso propio tambin implica reduccin de fuerzas inerciales que se pueden inducir durante un sismo. Las losas nervuradas se pueden reforzar con armadura principal en una o dos direcciones, segn la relacin de luces y especificaciones que se vern ms adelante. La Fig. 7.2 muestra un caso utilizado en nuestro medio en losas nervuradas de edificios. Muchas veces en lugar de los elementos cermicos se colocan elementos de poliestireno expandido, como encofrado perdido, que resultan en una losa mucho ms liviana y con muy buenas caractersticas de aislacin trmica. Esto tambin es usado en nuestro medio.

Fig. 7.2 Caso de Losa nervurada donde Se usan ladrillos cermicos como separadores de nervios.

Por ltimo, es importante mencionar el tipo de losas ms comnmente utilizado en nuestro medio para construcciones bajas y que son las losas tipo alivianadas con elementos premoldeados. Podran considerarse como un caso especial de las losas nervaduras, pero es conveniente colocarlas como un tercer tipo pues existen diferencias constructivas y de funcionamiento entre ellas. Por ejemplo, los nervios, que son viguetas prefabricadas, corren en una sola direccin, teniendo como elementos de relleno entre s a elementos cermicos huecos que se los considera como estticamente inactivos, pero que permiten la composicin de una superficie inferior plana sobre la cual puede aplicarse directamente el cielorraso. Adems esos elementos de relleno sirven como aislante. La Fig. 7.3(a) indica los componentes de la losa alivianada prefabricada. Las viguetas, elementos (1) en la figura, son generalmente de hormign armado pretensado. El elemento (2) es generalmente un cermico, o de poliestireno expandido, que en nuestro medio tiene una altura de12.50 cm o 16.50 cm en casos especiales. El elemento (3) es la capa de

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compresin, generalmente entre 3 a 5 cm de espesor, y que lleva una malla de reparticin de acero.

Tienen la ventaja de un rpido armado en obra con un sistema de apuntalamiento similar al que se muestra en la Fig. 7.3(b), formando parte de un sistema de piso como se ilustra en la Fig. 7.3(c). La Fig. 4.4 muestra detalles tpicos de apoyos en vigas de hormign armado.

Fig. 4.3(a) Componentes de losas prefabricadas alivianadas.

Fig. 7.3(b) Apuntalamiento en losas alivianadas.

Fig. 7.3(c) Vista del sistema de pisos teniendo como elemento resistente la losa prefabricada.

Fig. 7.4 Detalles tpicos de apoyos de losas prefabricadas en vigas.

7.2 DIFERENTES MTODOS PARA EL ANLISIS Y DISEO DE LAS LOSAS

En general pueden distinguirse dos filosofas para el anlisis y/o diseo de sistemas de losas de hormign armado:

1. Mtodos basados en la teora elstica. 2. Mtodos basados en la teora plstica o anlisis lmite.

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Existen adems algunos mtodos que usan fundamentos de ambas teoras. Cualquiera sea el mtodo elegido, las losas deben satisfacer las siguientes condiciones:

(i) que bajo cargas de servicio, las deformaciones y fisuras deben permanecer dentro de los lmites aceptables.

(ii) que bajo estados de cargas excepcionales, posean una adecuada ductilidad y coeficiente de seguridad elevado para evitar el colapso de la misma. Es decir, cumplir requisitos de resistencia y ductilidad.

7.3 ANLISIS POR LA TEORA DE LA PLACA ELSTICA 7.3.1 HIPTESIS

La teora clsica de anlisis elstico se basa en las siguientes hiptesis:

a. la losa se comporta como formada de material istropo, homogneo y elstico para estados de carga de servicio, y por lo tanto en ese rango es vlida la ley de Hooke

b. el espesor de la losa es suficientemente pequeo como para que se ignoren las deformaciones por corte, pero a su vez ese espesor es suficiente como para ofrecer resistencia a flexin (y no comportarse como una membrana), y que las deformaciones en su plano sean despreciables

c. la flecha en un punto cualquiera de la placa es pequea con respecto a su espesor

La distribucin de momentos y corte en las placas obtenidas a partir de esta teora elstica es tal que:

1. las condiciones de equilibrio son satisfechas en cada punto de la losa 2. se deben satisfacer las condiciones de contorno 3. las tensiones son proporcionales a las deformaciones, o en otras

palabras, los momentos flectores son proporcionales a las curvaturas lo cual implica relacin constitutiva seccional lineal

7.3.2 ECUACIN DE EQUILIBRIO. DIFERENCIA ENTRE ELEMENTO VIGA Y ELEMENTO LOSA

Es importante reconocer el diferente comportamiento y mecanismo de resistencia de un elemento plano como el caso de una viga de un elemento tridimensional como es el caso de un elemento losa, cuando ambos estn bajo la accin de, por ejemplo, una carga uniformemente repartida q. La Fig. 7.5 muestra el caso de un elemento de viga en equilibrio. De la Fig. 7.5(a) el equilibrio de cargas verticales nos indica que:

0. = dxdxdVVdxqV

o sea:

9

qdxdV

= (7.1)

siendo V el corte sobre las caras del elemento viga. De la Fig. 7.5(b), del equilibrio de momentos respecto al punto A, resulta:

02/.. =

+

+++ dx

dxdMMdxdx

dxdVVdxdxqM

y despreciando los trminos diferenciales de orden superior

Vdx

dM= (7.2)

o, para relacionar momento con cargas:

qdx

Md=2

2

(7.3)

siendo las ecuaciones (7.1) y (7.3) las que definen las relaciones estticas de un elemento bidimensional sometido a flexin.

Figura 7.5. Equilibrio del elemento de viga

Diferente es el estado de equilibrio que se origina al analizar un elemento placa, tridimensional, tal cual se muestra en Fig. 7.6. En ese caso la condicin de equilibrio de fuerzas verticales resulta en:

qdy

dVydx

dVx=+ (7.4)

y del planteo de la ecuacin de equilibrio de momentos segn Fig. 7.6(b), se tiene:

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2

2

dxMd x +

dxdyMd xy22 + q

dyMd y

=2

2

(7.5)

Fig. 7.6. Equilibrio del elemento losa.

Se ven claramente ahora los distintos mecanismos de resistencia al comparar las ecuaciones (7.1) con (7.4) y (7.3) con (7.5). En el caso de viga slo tenemos un momento M que es el que est en el plano de las cargas. Para el caso del elemento placa tenemos ms posibilidades, ya que son tres momentos de resistencia, dos de flexin y uno de torsin.

Las ecuaciones vistas anteriormente no resuelven totalmente el problema, pues el mismo se debe completar al establecer la compatibilidad de deformaciones y las relaciones constitutivas.

Por compatibilidad de deformacin:

1

2

dx elstica

q

11

dxd

===

longitud de unidadRotacin

curvatura

pero Z d w ejesegnntoesplazamie

dxdw

==

por lo tanto

ilidade compatibecuacin ddx

wd 2

2

=

y por relacin constitutiva:

EIq

EIdxMd

dxwd

o bien EIM

dxwd

EIM

====1

2

2

4

4

2

2

De esta manera se llega a establecer la relacin entre las flechas w(x,y), y la carga q que acta sobre el elemento. Para el caso de viga la ecuacin es:

EIq

dxwd

=4

4

(7.6)

donde EI es el mdulo de rigidez flexional de la viga, siendo E = mdulo de elasticidad del material (hormign) I = momento de inercia de la seccin.

Para el caso del elemento losa, se obtiene la ecuacin de Lagrange, que es una ecuacin diferencial parcial de cuarto orden, con dos variables independientes:

Dq

dywd

dydxwd

dxwd

=++ 4

4

22

4

4

4

2 (7.7)

donde ),( yxww = w es la flecha en un punto cualquiera de la losas de coordenadas (x,y), en

la direccin de la carga q.

D = rigidez a flexin de la placa = E. h3 / 12 (1- ) h = espesor de la losa. = mdulo de Poisson.

7.3.3 SOLUCIN POR EL MTODO ELSTICO

El procedimiento general para solucionar el problema elstico de la viga o de la losa es idntico en ambos casos, y consiste en determinar la ecuacin para la

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deformada de la viga o losa (ecuacin de la elstica que define la flecha), y luego por derivacin de esa ecuacin obtener los esfuerzos internos. La ecuacin de la elstica debe satisfacer la ecuacin diferencial (7.6) para las vigas y (7.7) para las losas, como as tambin las condiciones de contorno. Luego entonces los esfuerzos internos quedan determinados a travs de las siguientes ecuaciones:

a. Momentos de flectores:

+= 2

2

2

2

dywd

dx

wdDM x (7.8.a.)

+= 2

2

2

2

dxwd

dy

wdDM y (7.8.b.)

b. Momentos de torsores:

( ).dxdy

wdDM xy

= 1

2

(7.9)

c. Esfuerzos de corte:

+=

dydM

dxdMV xyxx (7.10.a.)

+=

dxdM

dydMV xyyy (7.10.b.)

d. Reacciones:

+= 2

3

3

3

2dxdy

wd)(

dxwdDRx (7.11.a.)

+= 2

3

3

3

2dydx

wd)(

dywdDRy (7.11.b.)

La solucin de la ecuacin de Lagrange, desafortunadamente no es sencilla, y slo se han encontrado soluciones para un nmero limitado de casos. Con los mtodos ortodoxos de integracin se pudieron al principio resolver casos muy particulares como los de losa rectangular simplemente apoyada o empotrada, placa circular, algunos tipos de placas elpticas y triangulares, todos con carga uniformemente repartida o cargas concentradas simtricamente.

Las primeras soluciones para la ecuacin de Lagrange fueron encontradas por Navier en 1820, quien us las series dobles de Fourier para describir las deformaciones y cargas de placas rectangulares simplemente apoyadas y con carga arbitraria, ref. [2].

Una solucin ms general se obtiene por aplicacin del mtodo de Levy, quien propuso un mtodo exacto para el caso de una placa con dos lados opuestos

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simplemente apoyados y pudiendo los otros dos lados admitir condiciones de contorno arbitrarias. Para este caso utiliz series simples de Fourier. Tambin por el mtodo de Levy se pueden obtener soluciones aproximadas para el caso de placas rectangulares muy largas con condiciones de borde arbitrarias en todos sus lados, ref. [2]. Cuando se menciona la palabra mtodo exacto hay que reconocer las limitaciones que implica al tratarse de losas de hormign armado, salvo que estrictamente se hable del estado sin fisuracin alguna.

La aplicacin de los mtodos energticos para la solucin de placas fue desarrollado por Ritz, basado en el principio de que la energa total de una placa deformada es mnima cuando existe equilibrio. Los mtodos de Rayleigh, Galerkin y Kantorovich estn basados en aquel principio.

Otras soluciones en el rango elstico para placas han sido los obtenidos a partir del mtodo de las diferencias finitas y el mtodo de los elementos finitos, ref.[9]. Ambos son mtodos aproximados derivados de la teora elstica.

Por ltimo es importante destacar el advenimiento de otros mtodos aproximados, los que simplificando el planteo matemtico llevan a soluciones ms generales. Algunos de estos mtodos, si bien tienen sus fundamentos en la teora elstica, tienen en cuenta en forma parcial el efecto de las deformaciones plsticas. Uno de estos procedimientos es el de Marcus y otro de los ms utilizados es el de Siess-Newmark. Este ltimo es un procedimiento que se puede comparar directamente con el mtodo de distribucin de momentos de Cross utilizado en vigas.

7.4 CLCULO DE LOSAS DE HORMIGN ARMADO UTILIZANDO LA TEORA PLSTICA 7.4.1 GENERALIDADES

El anlisis lmite o del estado ltimo reconoce que, debido a la plasticidad, es posible que ocurra una redistribucin de los momentos y los cortes ms all de los lmites dados por la teora elstica antes de que se alcance la capacidad ltima de la losa.

Esta redistribucin de momentos es factible cuando la seccin de hormign armado no est sobre armada. Una vez alcanzada la resistencia de fluencia, la seccin puede incrementar notablemente sus valores de curvatura con poca variacin con relacin a la resistencia que corresponde al comienzo de plasticidad de la armadura traccionada. De esta forma, el anlisis lmite permite evaluar la carga ltima o mxima de la losa y la redistribucin de momentos y cortes para esta carga, suponiendo que las secciones de la losa son lo suficientemente dctiles como para permitir que ocurra la redistribucin de esfuerzos internos.

Para determinar la carga ltima de un sistema de losas de hormign armado existen, de acuerdo a los teoremas de Prager, dos alternativas: un mtodo basado en el lmite superior o un mtodo apoyado en los teoremas del lmite inferior.

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Los mtodos basados en los teoremas del lmite inferior dan como resultado una carga ltima que o bien es la correcta o est por debajo de este valor; es decir, la carga ltima nunca es sobre estimada: se est del lado de la seguridad. El mtodo ms conocido en este grupo es el de las fajas de Hillerborg.

Los mtodos basados en teoremas del lmite superior, por el contrario, llevan a una carga ltima que es o la correcta o una que supera este valor. A este grupo corresponde el mtodo basado en la teora de las lneas de fluencia (a veces llamadas lneas de rotura) de Johansen. En ste se postulan una serie de mecanismos de colapso para el sistema de losas en estudio y de su anlisis, aquel que conduzca a la menor carga ltima se toma como el correcto o el ms aproximado. Si no fuera el valor correcto la solucin sobre estimara en cierto rango la carga mxima que el sistema puede soportar.

Los trabajos de Prager y Hodge sobre anlisis lmite indican que la solucin exacta para placas no es siempre posible de obtener. En general la carga ltima o de colapso estar comprendida entre estos dos lmites, superior e inferior. Una solucin rigurosa de una placa en particular tender a que las cargas ltimas obtenidas por los dos procedimientos converjan, y de ocurrir este caso indicara que se ha encontrado la solucin exacta. Sin embargo, en hormign armado y en el rango inelstico, hablar de exactitud no es apropiado. Cualquier solucin, en la prctica, slo ser aproximada.

Como se ver luego, el mtodo de las fajas de Hillerborg es un mtodo de diseo, mientras que el de las lneas de fluencia es de anlisis. La Fig. 7.7 indica en forma esquemtica el significado de los valores dados por los teoremas de Prager.

Fig. 7.7 Significado de los teoremas de Prager.

7.4.2 NECESIDAD DE UN COMPORTAMIENTO DCTIL PARA LA APLICACIN DE LOS MTODOS PLSTICOS

La Fig. 7.8 ilustra la relacin constitutiva de una seccin de hormign armado, es decir el diagrama momento-curvaturas a travs del factor de rigidez de flexin EI.

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Fig. 7.8 Diagrama Momento vs. Curvatura de una seccin dctil.

De acuerdo a la teora elstica, los momentos son proporcionales a las curvaturas de las secciones de la losa, y por lo tanto, slo existe una distribucin de momentos elsticos para una capacidad de momento determinada. Sin embargo, de acuerdo a la teora plstica, cualquier nmero de distribucin de momentos es posible, dado que en rango inelstico los momentos no dependen de la curvatura.

Es por ello que si se selecciona una distribucin de momentos que es diferente a la que resultara de la aplicacin de la teora elstica, debe ocurrir una redistribucin de momentos antes de que se alcance la carga ltima. Rigurosamente hablando, aun en el diseo por la teora elstica se requiere de alguna redistribucin de momentos a menos que en los momentos usados para diseo de la armadura se haya tenido en cuenta la compleja distribucin de rigideces que existen en una losa una vez que el hormign se ha fisurado en las zonas ms solicitadas. Por lo tanto, las soluciones que dan los anlisis lmites slo pueden ser aplicados a losas de hormign armado con secciones razonablemente dctiles. En la seccin 4.6.8 de este trabajo se dan algunos valores de ductilidad en funcin de la cuanta de las losas.

La relacin momento curvatura de la Fig. 7.8 es aproximadamente trilineal, en la que las discontinuidades de la curva con el correspondiente cambio brusco de pendiente y reduccin de rigidez EI es debida a: (i) fisuracin del hormign en traccin; (ii) primera fluencia del acero en traccin; y (iii) deformacin ltima del hormign en compresin. El factor de ductilidad de curvaturas, para el caso de material con comportamiento linealmente elstico-perfectamente plstico, LE-PP, est dado por:

y

u

=

De esta manera con seccin de hormign poco armada, las secciones de la losa tendrn suficiente ductilidad. Es decir, el diagrama M-, tendr un tramo casi horizontal bastante amplio despus de la primera fluencia del acero, lo que permitir la redistribucin de momentos de las zonas ms solicitadas hacia las que an estn por debajo de momento de fluencia. Esto permite que con la plastificacin casi total, se pueda alcanzar la carga ltima supuesta.

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7.5 MTODO DE HILLERBORG 7.5.1 INTRODUCCIN

Hillerborg sugiri en el ao 1956 un mtodo para el anlisis de las losas referido como teora del equilibrio y basado en el teorema del lmite inferior. Este mtodo de diseo puede ser enunciado as: Si es posible encontrar una distribucin de momentos que satisfaga las ecuaciones de equilibrio de la placa y sus condiciones de borde para una carga externa dada, y siendo la placa capaz de soportar dichos momentos, entonces la carga externa representar un lmite inferior a la real capacidad ltima de la placa.

El objetivo fundamental de Hillerborg fue presentar un mtodo de diseo plstico que fuera simple y arrojara resultados del lado de la seguridad. La solucin as obtenida para la placa es tal que:

(i) son satisfechas las condiciones de equilibrio en todos los puntos de la placa. (ii) la condicin de resistencia a nivel de fluencia My no es excedida en ningn

punto de la placa, es decir:

( )[ ] ( )[ ]yqu yxMyxM ,, siendo el primer miembro el momento actuante en la placa en el punto (x,y) bajo la carga de colapso qu, y el segundo miembro la resistencia de fluencia en ese punto.

(iii) son satisfechas adems las condiciones de contorno de la placa. Note que el mtodo no habla explcitamente de:

a. condiciones de la losa para el estado de servicio b. ductilidad de las secciones

pero ambas condiciones son importantes de verificar antes de que se adopte el diseo definitivo.

7.5.2 FUNDAMENTO DEL MTODO DE LAS FAJAS DE HILLERBORG. Ya se vio anteriormente y qued expresado en la ecuacin (7.5) que el

equilibrio de un elemento de placa queda expresado a travs de la siguiente ecuacin:

2

2

dxMd x

+ dxdy

Md xy22 + qdy

Md y=2

2

(7.12)

donde Mx y My son los momentos flectores por ancho unitario en las direcciones x e y, mientras que Mxy es el momento torsor unitario y q la carga uniformemente distribuida por unidad de rea en el elemento (dx.dy).

De acuerdo a la teora del lmite inferior, cualquier combinacin de Mx, My y Mxy que satisfagan la ecuacin (7.12) en todos los puntos de la losa y las condiciones de contorno bajo la accin de la carga ltima qu, ser una solucin de diseo vlida siempre y cuando se provea la armadura capaz de soportar aquellos momentos. Por lo tanto, la carga ltima puede ser arbitrariamente distribuida entre cada uno de los tres trminos de la ecuacin de equilibrio antes escrita. Por ejemplo,

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qdy

Mddx

Md yx=+ 2

2

2

2

(7.12a)

es la variante ms simple del mtodo de Hillerborg y aparece cuando se impone que Mxy=0, es decir que la carga sea totalmente soportada por flexin segn las direcciones x e y. As entonces la losa se puede visualizar como compuesta de dos sistemas de fajas independientes (la torsin ya no las conecta) y que corren en direccin paralela a los ejes x e y. Esto es posible cuando no es condicin imprescindible movilizar los mecanismos de resistencia a torsin para que la losa pueda resistir la accin externa, es decir, que si hay torsin la misma es por compatibilidad (no por equilibrio). Este caso se designa como Mtodo Simple de las Fajas, para diferenciarlo de un trabajo posterior de Hillerborg que introduce el Mtodo Avanzado de las Fajas (1964), en el que se analizan casos ms complejos de losas con re-entrantes, orificios, soportes sobre columnas y otros que necesitan considerar la torsin.

De esta manera, la Ecuac. (7.12a) se puede reemplazar por dos ecuaciones independientes que representan la accin de las fajas sin interaccin de torsin:

2

2

dxMd x

= -q (7.13a)

2

2

dyMd y

= -(1-)q (7.13b)

donde es un factor de distribucin de cargas, seleccionado por el diseador y que est comprendido entre:

0 1

Si =1.0 implica que toda la carga es soportada por la flexin de las fajas en la direccin x, y por el contrario, si = 0 toda la carga es tomada por flexin de la faja paralela a y.

Una caracterstica de este mtodo, presente tambin en el mtodo de las lneas de fluencia, es que para la distribucin de momentos entre las secciones de flexin positiva y negativa, y entre las secciones que se apoyan en dos direcciones, la decisin es dejada al diseador. Esa libertad que el mtodo provee al proyectista puede ser peligrosa si al no ser adecuadamente utilizada puede conducir al diseo de losas que, aunque satisfagan los requerimientos de resistencia, puede que no cumplan con los requisitos de flecha y de fisuracin mximas admisibles para el estado de cargas de servicio. Este es un requisito de rigidez. Se entiende que las secciones de la losa no deben sobre armarse para evitar la posibilidad de roturas frgiles por falta de ductilidad. El hecho de asignar momentos con cierta libertad debe entonces asegurar las condiciones de servicio. En 1972 el cdigo ingls ya recomendaba que cuando se utilizaba el mtodo de las fajas la relacin entre momentos negativos y positivos debera estar comprendida entre 1.0 y 1.5.

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7.5.3. PROCESO DE DISEO El proceso de diseo es bastante simple y puede ser resumido en los

siguientes pasos, los que se grafican en la Fig. 7.9: 1. considerar la losa como formada por una malla de tiras o fajas, paralelas a las

direcciones x e y, 2. dividir la losa en regiones o zonas de distribucin de las cargas, 3. asignar valores de para cada regin, y que no necesitan ser estrictamente 0

1, sino intermedios 4. aplicar la carga sobre cada una de las fajas, y en correspondencia con los

coeficientes de distribucin, 5. separar la faja de la losa y con las condiciones de borde reales y el estado de

cargas correspondientes, proceder a la evaluacin de los esfuerzos internos, momentos y cortes, y las reacciones,

6. verificar que las deformaciones sean similares para cualquier punto de encuentro de dos fajas perpendiculares. Si las deformaciones difieren demasiado se debe cambiar el sistema de distribucin de cargas.

7. proveer la armadura adecuada para soportar los esfuerzos computados.

Fig. 7.9 Etapas para aplicar el mtodo de las fajas de Hillerborg.

7.5.4 EJEMPLO DE APLICACIN DEL MTODO DE HILLERBORG.

Se aplicar el mtodo descrito para el diseo de una losa cuadrada, simplemente apoyada y que debe soportar una carga uniformemente repartida por unidad de rea qu. De las varias soluciones posibles, se presentan tres de muy simple desarrollo.

La primer solucin puede obtenerse al considerar un coeficiente de distribucin = 0.50 constante para toda la superficie de la

placa, tal cual se muestra en la Fig. 7.10. Esto implica que la mitad de la carga es asignada uniformemente a las fajas en cada direccin. El momento mximo es (qu.l2/16), y tiene un valor constante en las secciones de la mitad de la luz a travs de todo el ancho y largo de la losa.

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Fig. 7.10 Losa cuadrada simplemente apoyada. Caso de = 0.5

La segunda solucin se obtiene al dividir la losa en 3 regiones que corresponden a la zona central, parte media de las fajas laterales y esquinas de la losa, tal cual se ve en la Fig.7.11. Al asignar los valores de = 1.0, = 0.5 y = 0. 0, quedan definidas 3 zonas. Note que en cada regin la sumatoria de los coeficientes de la reparticin en la direccin x e y debe ser igual a 1.0, es decir que en cada regin la carga a distribuir es qu. En esta solucin hay slo dos tipos de fajas, la aa y la bb. Ahora el mximo momento resulta ser (5/64 qu.l2), y la distribucin de mximos momentos es ahora constante en la mitad del ancho y en la mitad del largo de la placa, como muestra la figura.

Fig. 7.11. Losa cuadrada simplemente apoyada variando segn fajas paralelas.

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La tercera solucin consiste en dividir la losa en regiones con lneas no paralelas a los ejes x o y. En este caso se toman 2 diagonales, llamadas lneas de discontinuidad, tal como lo muestra la Fig.7.12., quedando la losa fraccionada en 4 tringulos. En este caso se considera que cada regin transmite la totalidad de su carga al apoyo ms cercano. El momento mximo es ahora [(1/8).qu.l2] y la distribucin de los momentos mximos es una funcin parablica a travs de la luz l de la losa.

Fig. 7.12 Losa cuadrada apoyada con distribucin triangular de cargas.

Una cuarta variacin posible, cuya resolucin se deja como ejercicio para el lector, se podra haber obtenido al proponer una distribucin de cargas con coeficientes escalonados como muestra la Fig. 7.13.

Fig. 7.13 Distinta configuracin de valores de para distribucin de cargas en una losa cuadrada simplemente apoyada.

De las tres soluciones resueltas, se puede observar la variedad de distribucin de momentos. Todas satisfacen las condiciones de equilibrio y contorno. Para este caso de losa simplemente apoyada el uso de la esttica fue suficiente para la determinacin de los

esfuerzos que solicitan a la placa, a travs de cada faja. Es de inters observar el costo relativo que le corresponde a cada solucin con

respecto a los requerimientos de acero para los tres casos aqu analizados. El rea de armadura es proporcional al momento por ancho unitario. Suponiendo que todas las barras necesarias para los mximos momentos se prolonguen hasta los apoyos,

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y que se use la misma altura de losa, la cantidad de acero requerida en cada caso ser proporcional al rea del diagrama de momentos mximos (Mx). Esas reas resultan:

(1/16. qu. l3) (3/64.qu .l3 = 333.211 lqu ) (1/24.qu.l3)

para las soluciones 1, 2 y 3 respectivamente. La relacin entre esas reas es, entonces, 1.0, 0.75 y 0.67, e indican los costos relativos entre las soluciones.

La solucin tres aparece como la ms econmica, pero esta conclusin puede variar si las barras no se continan en toda la longitud l, sino hasta donde sean necesarias. Adems, segn la solucin tres, las barras deberan colocarse a distancias que variaran en forma continua, lo que no es nada prctico. Lo que realmente se hace es colocar a lo largo y a lo ancho de la placa bandas con cierto ancho prctico y con idntica armadura, tal cual se ver en ejemplos ms adelante.

7.5.5 LNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LAS ESQUINAS DE LAS LOSAS.

Las lneas de las losas que indican la distribucin de cargas en forma diferente se conocen como lneas de discontinuidad. Estrictamente, estas lneas de discontinuidad pueden entrar a una esquina de losa con cualquier ngulo, pero stos son seleccionados sobre la base de que los momentos den una mayor economa de armadura y que estn razonablemente de acuerdo con una distribucin de momentos elstica. Hillerborg sugiri las siguientes reglas:

1. donde se encuentren los lados simplemente apoyados, o dos empotrados, o con iguales condiciones de borde, la lnea de discontinuidad debe ser la bisectriz del ngulo, segn indica las Figs. 7.14(a) y 7.14 (b).

2. si un lado es simplemente apoyado y el otro es empotrado, la lnea de discontinuidad ser como lo indica la Fig. 7.14(c).

Fig. 7.14 Posicin de lneas de discontinuidad en las esquinas a 90o. (a) ambos lados simplemente apoyados, (b) ambos lados empotrados y (c) combinacin.

Hillerborg comenta en sus trabajos que la distribucin de cargas ms econmica para el caso de una losa rectangular con todos sus lados simplemente apoyados como el caso de la Fig.7.15 ocurre cuando el ngulo para el lado mayor es:

)/(tan 1 yx LL= para Lx Ly

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Fig. 7.15 Lneas de discontinuidad.

7.5.6 BANDAS DE ARMADURA. LNEAS DE DISCONTINUIDAD ORIGINADAS POR LOS LADOS DE LA LOSA.

El problema que se presenta cuando la armadura es diseada de acuerdo a los momentos obtenidos del mtodo de las fajas con lneas de discontinuidad originadas por las esquinas de las losas es que sobre una gran porcin de la losa, si esta es rectangular, o cuadrada con condiciones de borde diferente en los lados que se encuentran, se requerir una variacin continua del espaciamiento entre las barras de acero. Esto es impracticable, y lo que Hillerborg sugiere es la colocacin de la armadura en forma uniforme en bandas de ancho razonable, y con un momento de diseo para cada banda tomando como el momento mximo promedio para las fajas que corresponden a esa banda.

Fig. 7.16 Lneas de discontinuidad que arrojan momentos uniformes en las bandas.

Wood y Armer han sealado que en lugar de complicar los clculos del momento al usar regiones triangulares o trapezoidales que se originan por las lneas de discontinuidad de las esquinas de las losas,

es conveniente trazar aquellas lneas paralelas a los lados de la losa, con lo que no es necesario tomar promedios de los momentos. La Fig.7.16 muestra el esquema para este procedimiento. El ejemplo planteado en la Fig.7.13 es otro caso.

Como ejemplo de aplicacin se muestra el caso de la losa rectangular simplemente apoyada de la Fig.7.17. Para este caso es conveniente tomar cuatro bandas con un ancho tal que franjas de borde sean de la luz menor de la losa (en

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este caso Ly/4). Por simple equilibrio de aplicacin de la esttica (ecuaciones de equilibrio) los momentos en la fajas son resueltos.

Fig. 7.17 Momentos Flectores y reacciones de apoyos para una losa uniformemente cargada con todos los lados simplemente apoyados.

Otro ejemplo es presentado en la Fig.7.18, donde la losa tiene dos lados simplemente apoyados y dos empotrados.

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En este caso, las lneas de discontinuidad se ubican de tal forma de tener en cuenta la mayor capacidad de traccin de cargas del lado fijo con respecto al simple apoyo. Aparece entonces un coeficiente que indica la extensin de las bandas. Para este ejemplo, Hillerborg sugiri tomar a Ly/2 como ancho de la faja central en la direccin x, y a (Lx-Ly /2) para el ancho de la franja central en la direccin y, como es el caso de las franjas centrales de la losa central simplemente apoyada, segn se vio en la Fig. 7.17.

Fig. 7.18 Momentos flectores para una losa uniformemente cargada con dos lados adyacentes empotrados y los otros dos simplemente apoyados.

Pese a que las bandas quedan como estructuras hiperestticas, los momentos pueden ser fcil y rpidamente calculados al tomar como referencia las secciones donde el corte es nulo. Para el caso de banda en la direccin x, utilizando

25

el esquema de la Fig.7.19, se obtienen momentos y reacciones. Para el caso de las fajas centrales en la direccin y, utilizando como base los conocimientos de esttica aplicados en la Fig.4.20., y si se toma como distancia del apoyo derecho hasta el punto de corte nulo = mximo momento a yL= , entonces el esquema de la Fig. 7.21 servir para el clculo de los momentos y reacciones. El valor de a seleccionar depender de la relacin entre el momento negativo y el positivo. Se ve claramente en la Fig.7.18. que la relacin vale:

R = M(-) / M(+) = (1-2 ) / 2 (7.14) por lo que se tiene:

0.366 0.387 0.414 R 2.0 1.5 1.0

Los valores de se toman normalmente entre 0.36 y 0.40. La tcnica de elegir anchos desiguales para las regiones externas, a los efectos de obtener una zona con momento positivo constante, y a travs de un valor de que es una funcin de la relacin R que el diseador desea, es slo necesaria cuando las condiciones de apoyo de cada extremo de la faja son diferentes. Si ambos extremos son fijos o simplemente apoyados = 0.50, tal cual se ve en la Fig.7.17. Adems, la relacin entre el mximo momento negativo y el mximo positivo para el caso de ambos extremos empotrados no es una funcin de , sino una decisin del diseador.

Fig. 7.19. Resolucin de una faja empotrada y apoyada sometida a carga discontinua qu.

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Fig. 7.20.

Solucin de faja empotrada y apoyada sometida a carga continua qu.

Fig. 7.21

Una solucin plstica de viga empotrada y apoyada bajo carga continua qu.

7.5.7 EJEMPLO DE APLICACIN No 1.

Dada la losa rectangular de 9mx6m segn la Fig.7.22., con dos lados simplemente apoyados y dos empotrados, sobrecarga de servicio uniformemente repartida de 700 kgr/m2, usar hormign de fc= 250 kgr/cm2 y acero de fy= 4200 kgr/cm2. Disear el panel con la armadura necesaria. Verificar el corte.

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(c) Armadura Superior (d) Armadura Inferior

Fig. 7.22 Ejemplo No 1

Pasos a seguir: 1. Estimacin de altura y peso propio:

Segn el CIRSOC 2005, la altura mnima, para apoyos sobre vigas de cierta rigidez, debe ser:

mm

fl

h

yn

909361400

8.0

+

+

(7.15)

h = espesor de la losa. nL = luz libre mayor de la losa. yf = resistencia a fluencia de la armadura [MPa].

= relacin de esbeltez de la losa = luz mayor/luz menor.

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Para este caso: Ln = 900 cm = 9/6 = 1.5 hmin= 20cm

Se adopta h = 25 cm simplemente para seguir con el ejemplo tomado en ref[1], pues se podra adoptar 200mm de altura total.

Entonces resulta la carga por peso propio igual a: 0.25m x 2400 kgr/m3 = 600 Kgr/m2

2. Calcular la carga ltima para el diseo:

Aplicando el criterio del ACI-318, (note que en versin 2005 los factores de amyoracon de cargas son 1.2 para D y 1.6 para L: se sigue ejemplo de versin anterior) donde

qu = 1.4 x qu (D) + 1.7 qu (L) qu = 1.4 x 600 + 1.7 x 700 = 2030 krg/m2

donde qu(D)= carga de peso propio (muerta). qu(L)= sobrecarga de servicio (accidental).

3. Calcular los momentos sobre las fajas:

Segn Fig. 7.22(b). Para ello hay que definir el coeficiente , el cual es una funcin de R. Si se toma esa relacin igual a 2, (note que la solucin esttica dara R= 1.78 segn Fig. 7.20), resulta = 0.336. La Fig.7.22(b) ilustra los diagramas de momentos, y los valores numricos son dados en la tabla correspondiente a esa figura.

4. Armadura de losas.

Es conveniente verificar primero el momento resistente que corresponde a la cuanta mnima, que se define para control de tensiones de retraccin y temperatura. Si se toma como cuanta mnima 0.18% (ACI-318-2005) resulta:

cmcm

As25.100

0018.0 minmin ==

Asmin= 4.5 cm2/m

utilizando barras de 10mm cada 18cm, la armadura es

As = [(100/18) + 1] x 0.79 cm2 = 5.17cm2/m

y se utilizar el criterio del ACI-318 para determinar la resistencia a flexin, al usar el diagrama de compresin de tensiones equivalentes de Whitney:

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Mu= As fy [d 0.59 c

ys

bffA`

] Donde:

d = h r = 25 3 =22cm r = recubrimiento de la armadura

y para = 0.9 como coeficiente de reduccin de resistencia, se tiene

(Mu min)resist. = 4394 kgrm/m

y es claro, entonces, que las nicas fajas que requieren armadura por sobre la mnima son las que estn en la banda central 1-1.

Para el momento negativo se adopta = 12mm cada 9 cm

As = 13.56cm2/m = 0.0054 = 0.54% Mu = 11057 Kgrm/m > 9793 kgrm/m

Verificar si esta armadura no supera la mxima permitida por requerimientos de ductilidad. Para zonas ssmicas el ACI-318 estipula que

b 50.0 (7.16)

donde la cuanta balanceada es:

ys

s

y

cb fE

Ef

f+

=

.003.0003.0

.

1.'.85.0 (7.17)

y en este caso resulta: %4.2024.0 ==b y %54.0%2.15.0 >=b

Para calcular hasta donde debe extenderse la armadura superior del momento negativo, un criterio es prolongarla hasta el punto donde el momento se hace nulo y adicionar un tramo igual a h o a 12 . En la Fig.7.22(c) se determina la longitud de las barras negativas dentro de la placa (para el apoyo tambin se debe prolongar). Para h= 25 cm y 12 = 14.4 cm la longitud requerida es 1.61m + 0.25 m =1.81 m adoptndose l(-) = 2.0m.

Para el momento positivo mximo, dado que es la mitad del M(-)max , se puede adoptar 12 mm cada18cm, con lo que As = 6.78cm2/m, y

Mu = 5718 kgrm/m > 4896 kgrm/m

5. Detalle de armadura.

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La Fig.7.22(d) indica el detalle de armado. Tngase en cuanta la armadura mnima requerida por especificacin de cdigos.

6. Verificacin al corte.

El Cdigo ACI-318-2005 estipula que si el corte demanda o requerido, vu, obtenido a partir del anlisis estructural, cumple vu < vc, no se necesita armadura de corte, donde la tensin de corte requerida o demanda es:

vu = Vu / b.d

siendo vc el corte aportado por el hormign solamente y viene dado por:

2/40.825053.0'53.0 cmkgrfv cc ===

(note que esta expresin es idntica a utilizar la de 17.0 cc fv = en MPa) y afectado por el factor = 0.75 (ACI-318-2005), resulta vc = 6.30 Kgr/cm2, que es el corte mximo que puede soportar el hormign sin armadura de corte.

vu = (1 - ) qu . Ly = 7722 kgr/m y entonces resulta:

vu = 3.50 kgr/cm2 < 6.30 kgr/cm2

Esto normalmente ocurre en las losas de hormign armado donde el esfuerzo que controla es el de flexin, y no es necesario en la mayora de los casos utilizar el acero para soportar esfuerzos de corte, es decir el trmino vs que corresponde al mecanismo de reticulado, como se ver en el captulo de corte, no es movilizado.

7.5.8 EJEMPLO DE APLICACIN No 2.

Un panel interior rectangular de una losa continua posee una luz de 4m x 6m, segn Fig.7.23. Soporta una carga uniforme de servicio de L=700 kgr/m2 y la carga D es slo el peso propio de la losa. Usar fc y fy como Ejemplo No 1. Para este caso =0.50.

1. Espesor de la losa. para = 1.5 s = 1.0 l= 600cm

hmin = 13cm se adopta h = 14 cm d = 11cm

2. Carga ltima de diseo. qu = 1.7 x 700 + 1.4 x 2400 x 0.15 = 1700 kgr/m2

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Fig. 7.23. Ejemplo No 2

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3. Determinacin de los momentos de diseo para las fajas tpicas. En este punto el diseador debe tomar una decisin con respecto a la relacin

entre momento negativo mximo y momento positivo mximo. Se adopta una relacin de 1.5. De esta manera, los momentos de diseo se pueden determinar obteniendo los momentos estticos para cada faja y asignando 60% de este al momento negativo y 40% al positivo.

faja 1-1 Mestt. = qu LY2/8 = 7650 kgr

faja 2-2

Para este caso el momento esttico se obtiene al reconocer el esquema de Fig. 7.23, del que resulta:

Mest. = q (L1)2/2 , y en este caso es q = qu/2 y L1 = Ly/4 Mest. = qu Ly2/64 = 956 kgrm

(note que para la faja 1-1 es q =qu y L1 = Ly/2).

faja 3-3 q = qu L1 = Ly / 4 Mest. = qu Ly2/32 = 1912 kgrm

faja 4-4 Los momentos son la mitad de los de la faja 3-3.

Una vez obtenidos los momentos estticos, se le asigna el 60% para el momento negativo y el 40% para el positivo, segn se ve en la tabla de la Fig. 7.23.

4. Armaduras. Para la cuanta mnima, 0.18%, Asmin = 2.52 cm2/m y adoptando 8mm cada 20 cm As = 2.51 cm2/m

Mu = 1390 kgrm/m

La faja 1-1 requiere ms armadura que la mnima. Con 8mm cada 7cm, As=7.64cm2/m, y corresponden las siguientes resistencias:

Mn = 3450 Kgrm/m, resistencia nominal.

Md = 0.90 x 3450 = 3105 kgrm/m > Mu = 3090 kgrm/m

Para la armadura negativa se adopta 10mm cada 7cm, con lo cual As = 12 cm2/m Mn = 5100 Kgrm/m, resistencia nominal.

Md = 0.90 x 5100 = 4590 kgrm/m = Mu = 4590 kgrm/m

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5. Detalle de armado.

Se muestra en Fig.7.23.

6. Verificacin al corte.

Vu = qu Ly/2 = 3400 kgr/m vu = 3400 /100 x 11 = 3.09 kgr/cm2 < Vd = 6.30 kgr/cm2

7.5.9 BANDAS DE RESISTENCIA.

El mtodo de las fajas simples de Hillerborg no puede resolver el caso de losa con aberturas, entrantes de esquinas y entrepisos sin vigas soportados por columnas, sin el uso de franjas de mayor resistencia que ayuden a distribuir las cargas a los soportes.

Una banda o franja de resistencia es una faja de ancho razonable que contiene una concentracin de armadura y por lo tanto acta como una viga dentro de la losa. Esa faja de losa puede tener profundidad mayor que el resto del panel si fuera necesario.

El uso de las bandas de resistencia se puede apreciar en los casos presentados en las Figs. 7.24, 7.25, 7.26 y 7.27 Como ejemplo de aplicacin se puede consultar a Ref. [1], pg. 242.

Fig. 7.24. Losas con carga uniforme y re entrantes.

Fig. 7.25 Losas triangulares con carga uniforme soportadas en dos lados.

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Fig. 7.26(a ) Losa con carga uniforme y con una columna como soporte (b) Losa con carga uniforme y un lado libre de apoyo.

Fig. 7.27 Losa con carga uniforme, apoyos simples y con aberturas.

7.6 MTODO DE LAS LNEAS DE ROTURA. 7.6.1 INTRODUCCIN FUNDAMENTOS.

El mtodo para el anlisis lmite de losas de hormign armado conocido como teora de las lneas de fluencia fue iniciado por Ingerslev (1923) y luego extendido por Johansen (1943). A diferencia del mtodo de Hillerborg, el mtodo de las lneas de rotura responde a la teora del lmite superior, por lo que tericamente es un mtodo que tiende a sobreestimar la capacidad resistente de la losa. Esta carga ltima de la losa es evaluada al postular un mecanismo de colapso que es compatible con las condiciones del borde.

El mecanismo de rotura queda dibujado al trazar sobre el panel las lneas de articulacin plstica o lneas de fluencia. La Fig. 7.28(a) muestra el resultado de un ensayo sobre losa rectangular y la (b) indica un tipo de mecanismo de colapso para un panel de losa cuadrada con apoyo simple. En esas lneas crticas se considera que se han alcanzado los momentos de resistencia ltimos de la seccin. La carga ltima es luego evaluada siguiendo el principio de los trabajos virtuales o las

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ecuaciones de equilibrio. Las regiones de la losa comprendidas entre las lneas plsticas no son examinadas para asegurar que en ellas no se excede el lmite de resistencia, pero ello nicamente ocurrira si se utilizara un mecanismo de colapso incorrecto. Por lo tanto, al utilizar este mtodo, es necesario examinar todos los mecanismos posibles por los que la losa puede fallar para asegurar que, mediante la eleccin de la carga ltima menor entre todos los mecanismos, la capacidad de la losa no fue sobre evaluada.

Fig. 7.28 (a) Distribucin real fisuras para una losa rectangular simplemente apoyada y sometida a carga uniforme, (b) Lneas de fluencia de una losa cuadrada apoyada y con

carga uniforme.

Los mecanismos de colapso correctos para los casos ms comunes son bastante conocidos (se han realizado numerosos ensayos al respecto) y por lo tanto el diseador no se ve confrontado con el problema de dilucidar si existen otros posibles modos de falla como alternativas a los propuestos.

Debe quedar muy claro que la teora de las lneas de fluencia supone un modo de falla por flexin, esto es, que la losa tiene suficiente resistencia al corte como para prevenir una falla por corte.

En definitiva el mtodo del lmite superior postula un mecanismo de colapso para la losa a carga ltima tal que:

(i) los momentos de las articulaciones plsticas no son mayores que el momento resistente ltimo de la seccin.

(ii) el mecanismo de colapso es compatible con las condiciones de contorno de la losa.

7.6.2 ARMADURA DE LA LOSA. La teora de las lneas de fluencia es aplicable a losas que son armadas en

forma uniforme (note la diferencia sustancial respecto del mtodo de Hillerborg). Esto significa que el rea seccional de acero por ancho unitario se asume como constante a travs de la losa, pero puede ser diferente para la armadura en cada direccin y diferente para la armadura superior e inferior. Para tales losas el momento resistente ltimo por ancho unitario tendr un valor constante a lo largo de cualquier lnea recta en el plano de la losa. Generalmente la armadura es colocada en dos direcciones perpendiculares.

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En cuanto a distancia entre las barras de acero, el cdigo ACI-318-2005, y el CIRSOC-201-2005, establecen que en zonas crticas la armadura principal no debe exceder 2 veces el espesor de la losa h. En cuanto a cuanta, la mnima est dada por la expresin 0.756/fy[MPa]= 0.18% para el acero de fy= 420MPa=4200 kgr/cm2, y en este caso la separacin mxima debe ser menor de 5 veces la altura de la losa y no superar 450 mm. Para la cuanta mxima, se impone el lmite que c/d0.0286, ver luego. Esto es para tener seguridad de que es posible la redistribucin de esfuerzos.

7.6.3 DUCTILIDAD DE LAS SECCIONES DE LA LOSA.

Tal como se mencion en la seccin 7.4.2, es necesario que las secciones sean lo suficientemente dctiles como para permitir que ocurra la rotacin plstica en las zonas crticas mientras que la articulacin plstica se va extendiendo a las otras zonas de la losa. Ello posibilitar la significativa redistribucin de momentos que es necesaria para que la losa pueda desarrollar el mecanismo de colapso propuesto, es decir que se alcance la plastificacin casi total de la losa. Slo en ese caso es posible evaluar la capacidad a partir de la contribucin de todas las lneas que han fluido.

Uno de los parmetros ms influyentes en la capacidad de absorcin y de disipacin de energa que tendr la seccin es la cuanta de armadura de traccin. La Fig. 7.36 muestra una seccin de losa de hormign armado que ser analizada para dos tipos de acero, fy = 2400 kgr/cm2 y fy = 4200 kgr/cm2 (aceros tipo I y tipo III en nuestro medio), tomando diferentes cuantas para ver su influencia en el valor de la ductilidad de curvaturas.

La siguiente tabla resume los resultados de ese anlisis:

Tabla 7.1 Momentos y Ductilidades para diferentes cuantas de acero y diferentes calidades de acero.

fy = 240 Mpa = 2400 kgr/cm2 Momentos (tcm)

% Mcrk My Mu s(%) 0.3 36 46 49 38 5.5 0.5 36 75 80 21 3.1 1 37 145 152 9 1.4

1.5 39 212 216 5 0.8 2 40 277 271 4 0.5

fy = 420 Mpa = 4200 kgr/cm2 Momentos (tcm)

% Mcrk My Mu s(%) 0.2 36 57 59 18 4.4 0.3 36 85 88 11 2.8 0.5 36 137 140 6 1.5 1 38 266 254 3 0.6

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Estos valores fueron calculados mediante el programa de anlisis de secciones de hormign armado sometido a flexocompresin MOCURDU (MOment CURvature DUctility), Ref. [10], segn los lineamientos propuestos por Park y Paulay, Ref. [5].

La nueva norma ACI-318-2005, ref.[13] y el CIRSOC-2005, ref.[14], exigen que para usar un coeficiente de reduccin de capacidad igual a 0.90, es decir que corresponda a flexin, la deformacin del acero en la zona traccionada debe se mayor del 0.50%. Sin embargo, el requerimiento de la norma ACI-318-1999, ref.[15] que exiga para redistribucin mx

38

7.6.5 FORMULACIN DE LOS MECANISMOS DE COLAPSO. REGLAS PRCTICAS.

Una vez que el mecanismo de colapso se ha desarrollado, las deformaciones plsticas a lo largo de las lneas de fluencia son mucho mayores que las deformaciones elsticas de los segmentos o zonas de losas entre esas lneas, y por lo tanto en teora es razonable suponer que las zonas de losa entre lneas de rotura son y se conservan planas. Esto significa, en otras palabras, que el modelo matemtico para representar la ley constitutiva es de seccin rgidamente elstica-perfectamente plstica, RE-PP, tal como lo muestra la Fig.7.30. En consecuencia, las deformaciones elsticas son ignoradas. Slo interesa llegar a formar la rtula plstica, y de all en ms se considera que la seccin tiene la ductilidad requerida.

Fig. 7.30 Relacin M- idealizada como RE-PP

Las reglas prcticas bsicas que pueden enunciarse como generales para la formulacin de un correcto mecanismo, y que pueden verificarse segn la Fig. 7.31, son las siguientes:

1. Las lneas de fluencia (ab, bc, etc) son rectas y siempre terminan en los contornos de la losa o en otra lnea de rotura.

2. La losa queda dividida en forma completa por las lneas de articulacin plstica en zonas rgidas (1, 2, 3 y 4) que permanecen como planos rgidos (planos inclinados). Por lo tanto cada zona rgida debe tener un eje de rotacin.

3. Los ejes de rotacin de las zonas rgidas generalmente yacen a lo largo de las lneas de apoyo. Si es simplemente apoyado, la articulacin de apoyo es el eje. Si es empotrado, se formar una lnea de articulacin plstica que servir como eje de rotacin. Si el apoyo se realiza sobre columnas, el eje de rotacin debe pasar por sobre el eje de las columnas.

4. Por compatibilidad de deformaciones, una lnea de rotura debe pasar a travs de la interseccin de los ejes de rotacin de las dos zonas rgidas que esa lnea de fluencia divide (caso de la lnea ab que divide 1 y 3 y se encuentra con el punto de interseccin de e1e1 y e3e3).

De esta manera, en forma simple se pueden formular los mecanismos de colapso de losas que se muestran en la Fig. 7.32.

39

Fig. 7.31Lneas de fluencia. Zonas rgidas. Ejes de rotacin.

Fig. 7.32 Ejemplos de configuraciones de lneas de fluencia para losas con carga uniforme.

40

7.6.6 MOMENTOS DE RESISTENCIA NOMINAL EN LAS LNEAS DE FLUENCIA.

Para una lnea de fluencia que ocurre perpendicular a la direccin de las armaduras, para el estado lmite esquematizado en la Fig. 7.33, el momento resistente nominal est dado por la expresin, ref. [5], por:

=

c

ysysn bf

fAdfAM

`

59.0 (7.19)

(a) porcin de losa (b)seccin transversal (c) deformaciones (d) tensiones Fig. 7.33 Hiptesis para evaluacin de la resistencia nominal a flexin.

Para el diseo se debe usar, ACI-318-2005, un coeficiente de reduccin de capacidad = 0.9, en el caso que la deformacin mxima de traccin, s, supere el valor de 0.5% (para redistribucins 0.75%). Para el caso comn de losa armada en ambas direcciones x e y, los momentos por unidad de ancho Mnx y Mny sern, en general, diferentes, porque las reas de acero Asx y Asy, y las profundidades efectivas, dx y dy, sern diferentes en ambas direcciones. Adems, con frecuencia es necesario determinar el momento resistente nominal por unidad de ancho a lo largo de una lnea de fluencia que est con un ngulo diferente a 90 con respecto a los ejes x e y (caso de las lneas ab en la Fig. 7.31). Para este caso general, tal como se demostrar a continuacin, existirn, adems de momentos flectores, momentos torsores a lo largo de las lneas plsticas. Para obtener ese momento flector Mn y torsor Mnt se puede aplicar el criterio de fluencia de Johansen. Este criterio supone que:

1. la lnea de fluencia real puede ser remplazada por una lnea tipo escaln, es decir discontinua, de pasos paralelos a x e y, tal como se ve en la Fig. 7.34.

2. los momentos torsores que actan en esos escalones segn x e y son nulos (notar que en Fig. 7.34 no existen torsores en los escalones ac y bc ).

3. la resistencia de la seccin no se ve influenciada por la posibilidad de que las barras de acero se doblen en la fisura, tal cual se ve en la Fig. 7.34, o por condicin de flexin biaxial en la zona de compresin del hormign.

4. el acero que cruza la lnea de rotura en ambas direcciones est en fluencia.

41

Los ensayos sobre losas han demostrado que este criterio es bastante exacto.

De acuerdo a la Fig.7.34, los componentes Mnx y Mny que contribuyen al momento de resistencia nominal de flexin Mn y al momento de resistencia nominal a torsin Mnt, pueden encontrarse al considerar el equilibrio de un pequeo elemento triangular tomado de la lnea de fluencia. Tomando momentos respecto al lado ab, el momento ltimo de resistencia, por ancho unitario que acta perpendicular a la lnea de fluencia es:

senbcMacMabM nynxn ..cos... +=

22 .cos. senMMM nynxn += (7.20)

y tomando momento con respecto a un eje perpendicular al lado ab, el momento torsor por ancho unitario a lo largo de la lnea de articulacin es:

cos....cos..cos..... senabMsenabMbcMsenacMabM nynxnynxunt ==

( ) cos..senMMM uyuxunt = (7.21)

Si fuera Mnx = Mny, resulta:

Mn = Mnx = Mny Mnt = 0 (7.22)

y para este caso la losa dice isotrpica, pues Asx = Asy y los momentos resistentes ltimos son iguales para todas las direcciones. En este caso, es evidente que no hace falta calcular el momento que acta perpendicular a la lnea de rotura, ya que slo basta calcular uno de los momentos con respecto a la direccin de las armaduras.

Fig. 7.34(a) Criterio de fluencia para losas de hormign armado. Elemento de losa con un campo de momentos aplicados y lneas de fluencia.

42

Fig. 7.34 (b) Lnea de fluencia con ngulo arbitrario y armadura ortogonal, y equilibrio de un elemento de losa pequeo en la lnea de fluencia

Cuando uyux MM , es evidente que el momento ltimo de resistencia depende de la inclinacin de la lnea de fluencia, y que existe, adems, momento torsor. En este caso la losa se llama ortotrpica.

7.6.7 DETERMINACIN DE LA CARGA LTIMA. El primer paso para la solucin de una losa por el mtodo de las lneas de

fluencia consiste en, de acuerdo a las reglas prcticas ya enunciadas, postular los mecanismos de colapso. En general, los modelos o configuraciones de lneas plsticas tendrn dimensiones incgnitas que permiten ubicar correctamente las lneas de rotura y, adems, podr existir ms de una familia de lneas de articulacin (varios mecanismos de colapso) para una losa en particular. El diseador deber asegurar que todos los modos posibles de falla son explorados, pues el correcto es el que da la menor carga ltima y, entonces, si un modelo de rotura no se postul, la carga ltima as calculada podra resultar sobrevaluada (mtodo inseguro).

La carga ltima puede ser calculada de dos maneras diferentes: (i) utilizando el principio de los trabajos

virtuales. (ii) aplicando las ecuaciones de equilibrio.

Cada mtodo tiene sus ventajas sobre el otro, dependiendo del caso particular a analizar.

Fig. 7.35 Curvas tensin-deformacin del acero. (a) Modelo LE-PP que exige el cdigo para flexin. (b) Modelo LE-LP que tiene en cuenta de alguna manera cierto endurecimiento de post fluencia. (c) Modelo ms real.

43

7.6.8 RAZONES POR LAS QUE LA CARGA LTIMA OBTENIDA POR LAS LNEAS DE ROTURA EN LA PRCTICA NO RESULTA SOBRESTIMADA.

El mtodo de las lneas de fluencia, como ya se mencion, est basado en la teora del lmite superior. Tericamente entonces, se constituye en un mtodo inseguro. Sin embargo, hay dos razones, entre otras, que hacen que en la prctica la carga ltima est del lado de la seguridad:

1. La relacin momento-curvatura adoptada para el diseo se idealiza a un comportamiento rgidamente elstico-perfectamente plstico. Sin embargo, el diagrama real es otro, en el cual la resistencia ltima de la seccin de hormign armado es mayor si se tiene en cuenta el efecto del endurecimiento del acero despus de la fluencia. La Fig. 7.35 indica este aspecto.

2. No se consideran los efectos de accin de membrana de la placa, como as tambin la contribucin de los momentos torsores.

Fig. 7.36 Estados de deformacin y tensin para (a) fluencia, (b) resistencia nominal.

La Fig. 7.36 muestra las suposiciones usuales para evaluar los momentos para estado de fluencia y de rotura en flexin. Cuando el hormign en compresin alcanza el valor de 0.003 la deformacin del acero puede ser muchas veces mayor, por lo cual la tensin y contribucin al momento de rotura puede ser bastante mayor que la postulada por los cdigos con su modelo sin endurecimiento.

7.6.9 ANLISIS POR EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES. 7.6.9.1 Fundamentos.

Supongamos que un cuerpo rgido se encuentra en equilibrio bajo la accin de un sistema se fuerzas. Si a ese cuerpo se le da un desplazamiento virtual (pequeo y compatible con las condiciones de vnculo), la suma del trabajo realizado por las fuerzas ser nulo, pues la resultante de las fuerzas es cero. Para analizar una losa por el mtodo del trabajo virtual, se debe postular un mecanismo de colapso con las lneas de fluencia. Los segmentos o elementos de placa en que la losa queda dividida, pueden ser considerados como cuerpos rgidos porque las deformaciones de la losa cuando su flecha aumenta slo se producen en las lneas plsticas. Los segmentos de losa estn en equilibrio bajo la accin de las cargas

44

externas y los momentos flectores, torsores y el corte a lo largo de las lneas de rotura. A un punto convenientemente elegido de la losa se le induce un desplazamiento en la direccin de la carga. Los desplazamientos resultantes de todos los puntos de la losa, (x,y), y la rotacin de los segmentos de losa con respecto a las lneas de articulacin plstica se pueden obtener en funcin de y de las dimensiones de los elementos de placa. Existir trabajo realizado por las cargas exteriores, We, en cada uno de los elementos de placa, y trabajo de los esfuerzos internos a lo largo de las lneas de fluencia, Wi. As, entonces:

We = Wi (7.23)

Las reacciones en los apoyos no contribuyen al trabajo pues no sufren desplazamiento. Adems, el trabajo realizado por los esfuerzos internos en las lneas de rotura es slo debida a los momentos flectores, porque las acciones a cada lado de las rtulas plsticas son iguales y opuestas, tal cual se ve en la Fig. 7.37, y para cualquier desplazamiento de las placas rgidas no hay movimiento relativo de los lados de las lneas de rotura en correspondencia con las fuerzas de torsin o de corte. Sin embargo, s existe una rotacin relativa en la direccin de Mun, tal como se ve en la Fig. 7.37(b). Por lo tanto, el trabajo no es slo de flexin.

Fig. 7.37 (a) Acciones en una lnea de fluencia, (b) rotacin relativa de los cuerpos rgidos en la direccin de Mn.

7.6.9.2 Evaluacin del trabajo interno. El trabajo interno se puede obtener por tres caminos diferentes:

(i) trabajo a lo largo de las lneas de fluencia. (ii) trabajo realizado en cada regin rgida. (iii) mtodo de las fuerzas nodales.

A continuacin se vern los dos primeros mtodos con sus correspondientes ejemplos de aplicacin:

7.6.9.2.1 Trabajo a lo largo de las lneas de fluencia.

Para el caso de trabajo a lo largo de las lneas de fluencia, se debe encontrar el valor de Mn. La Fig. 7.38. muestra una lnea de rtula plstica que divide dos regiones cuyos ejes de rotacin son e1e1 y e2e2. En esa figura se demuestra que:

Wi = mn ( 1.L.cos 1 + 2.L.cos 2) (7.24)

45

mn = momento nominal por ancho unitario y por unidad de longitud de lnea de rotura.

1 = rotacin de la regin 1. 2 = rotacin de la regin 2. L.cos 1 = proyeccin de la lnea de rotura al eje de rotacin de la zona 1. L.cos 2 = proyeccin de la lnea de rotura al eje e2e2.

Fig. 7.38 Trabajo a lo largo de una lnea de fluencia.

7.6.9.2.2 Ejemplo de aplicacin No1.

Tmese el caso de una losa cuadrada simplemente apoyada, bajo carga uniforme qu, segn Fig. 7.39. La losa est armada isotrpicamente, por lo que Mn = Mx = My.

Considerando la lnea AB, separe las regiones 1 y 2, y el trabajo interno a lo largo de esa lnea vale:

L/..21 = , si 0.1= L/21 =

2/LXoYBsobreEjesproyLineaA =

[ ] nni mLLLLmABW 2)2/)(/2()2/)(/2()( =+=

nii mABWTW 8)(.4)( ==

46

Fig. 7.39 Ejemplo de aplicacin No 1 de lneas de fluencia.

Para el trabajo externo se toma cada sector de placa rgida por separado con la carga que acta sobre cada regin (y no el total de la losa).

12/.3/1..2/..2/1)1( 2LqqLLW uue ==

y por simetra

3/.)1(.4)( 2LqWTW uee ==

La ecuacin de trabajo dice que:

We = Wi 8mn 3/. 2Lqu= 2/.24 Lmq nu =

Note que el mtodo de las lneas de rotura es un mtodo de anlisis y no de diseo directo. Al evaluar la carga qu se puede evaluar el coeficiente de seguridad que se tiene al comparar con la carga que la losa soportar en la realidad.

7.6.9.2.3 Disipacin de energa en una zona rgida.

Dado que para la mayora de las losas rectangulares el acero es colocado paralelo a sus lados y en las direcciones x e y, y, dado que los momentos nominales Mnx y Mny son conocidos, es conveniente separar los componentes del trabajo interno segn x e y. Adems, se extender el concepto para expresar la energa de disipacin para una zona rgida limitada por las lneas de fluencia y su eje de rotacin.

47

Fig. 7.40 Lnea de fluencia inclinada con respecto a la direccin de las armaduras.

Supngase la lnea de rotura de la Fig. 7.40, la cual sobrelleva una rotacin n , y sometida a un

momento Mn por unidad de longitud (y por ancho unitario). El trabajo interno a lo largo de esa lnea de fluencia es:

senLsenMLMLsenMMLMLW onyonxonyxonnoi .cos.cos.)cos()( 22 +=+==

y finalmente: oyuyoxuxi XMYMLoW ....)( += (7.25)

Note que el primer trmino representa las proyecciones del momento, de la rotacin y de la lnea de fluencia sobre el eje de Mx, es decir sobre el eje y. El segundo trmino lo es para las proyecciones sobre el eje de My, es decir sobre el eje x.

Se aplicar este concepto para encontrar el trabajo interno en una zona rgida como la que muestra la Fig. 7.41. Considerando a la lnea de fluencia como ABC que rodea esa regin 1, y siendo la rotacin de la regin, entonces, por aplicacin de la ecuacin (7.25), se tiene:

yxuxxuyyuxi LLMLMLMW )./.(.0... 1 =+=

ya que el vector que representa la rotacin de la regin no tiene proyeccin sobre el eje de Mny (eje de x).

Fig. 7.41 Regin o zona rgida. Acciones. Deformaciones. Armaduras y momentos nominales resistentes.

1.0

A

1

48

Para calcular el trabajo interno no es recomendable mezclar los dos mtodos aqu implicados: o se utiliza la ecuacin (7.24) o la expresin (7.25).

7.6.9.2.4 Ejemplo de aplicacin No 2. Tmese el caso de la losa rectangular simplemente apoyada, ortotrpicamente armada, segn Fig. 7.42. Carga uniforme qu.

a) para calcular el trabajo interno se utiliza el concepto de trabajo en zonas rgidas. En este caso la armadura no es la misma para ambas direcciones, sino que nynx MM por lo que es necesario hacer su diferenciacin. Note que la armadura que es paralela al eje x es la que produce el momento resistente Mnx, y la proyeccin de la representacin vectorial de ese momento es sobre el eje y; por eso el eje y es el eje de Mnx y tambin de x . A la armadura paralela al eje y le corresponde Mny que tiene proyeccin vectorial sobre el eje x, al igual que y . Es conveniente trabajar con la siguiente tabla:

Fig. 4.42. Ejemplo No. 2 de Lneas de Fluencia.

componente de rotacin

componente de trabajo zona

x y Mnx. x .Yo Mny. y .Xo AED 1/ L 0 ynx LLM )./.( 1 0 ABEF 0 yL/.2 0 xyny LLM )./2.( BCF 1/ L o ynx LLM )./.( 1 0

DEFC 0 yL/.2 0 xyny LLM )./2.(

Mny

Mnx

49

Es conveniente suponer que el desplazamiento virtual 0.1= , por lo que el trabajo interno total es:

yxnyynxi LLMLLMW /..4/.2 1 +=

b. trabajo externo. Se evala para cada zona rgida por separado:

11 ...6/13/1).2/.(.)4()1( LLqLLqWW yuyuee ===

Dividiendo el trapecio en 2 tringulos y 1 rectngulo central:

+==

21

.

2).2(

31

.

21

.

2..2.)3()2( 11 yxyuee

LLL

LLqWW

)2/..()4/..()6/..( 11 LLqLLqLLq yuyxuyu +=

y el trabajo externo total es: )2.3(

6.

1LLLq

W xyu

e =

c. ecuacin de trabajo: We = Wi

y finalmente:

+

=

yy

xy

y

xny

ynx

u

LL

LLL

LLM

LL

Mq

12

1

23

212 (7.26)

Todas las cantidades de la ecuacin (7.26) son conocidas, excepto L1 que es un parmetro de la configuracin de las lneas de fluencia que hay que determinar. Como este mtodo est basado en la teora del lmite superior, se debe buscar el valor de L1 para el cual el valor de la carga qu resulta mnima. Para ello se aplica el principio de la carga mnima que expresa:

01

=

dLdqu

para obtener el mnimo. (7.27)

Para resolver la derivada de la carga es conveniente colocar:

21

`.`.

v

vuvu

v

uddLdqu

=

= (7.28)

50

y para este caso es: ( )21/1.12` LLMu yux = yLv 2' =

finalmente, reemplazando en la ecuacin (7.28) y ordenando los trminos se llega a:

0431

2

1=

+

ny

nx

yx

y

ny

nx

y MM

LL

LL

MM

LL

de donde:

+

=

ny

nx

x

y

ny

nx

ny

nx

x

y

y MM

LL

MM

MM

LL

LL

2/12

1 3.21

remplazando la ecuacin (7.26): 2

2/12/122 3

.24

+

=

ny

nx

x

y

x

y

ny

nxy

nyu

MM

LL

LL

MML

Mq

Note que si la losa es isotrpica la solucin se simplifica al colocar Mnx = Mny.

7.6.9.2.5 Ejemplo de aplicacin No 3. Tmese la losa cuadrada, con dos lados simplemente apoyados, un lado empotrado y el otro libre. Carga uniforme. Armadura isotrpica. Ver Fig. 7.43.

Fig. 7.43 Ejemplo No 3 de anlisis por lneas de fluencia.

51

En este caso Mnx = Mny = Mn para momento positivo.

Mny = Mn para momento negativo.

a. trabajo interno:

Nuevamente conviene trabajar con el concepto de trabajo en zona rgida, y se puede hacer la siguiente tabla resumen:

componente de rotacin componente de trabajo Regin x y positivo negativo

ADEF 1 0 Mn. 1 .L 0 BCEF 1 0 Mn. 1 .L 0 AFB 0 3 Mn. 3 .L Mn. 3 .L

y haciendo la sumatoria, y colocando ( )31 f= , queda:

++=

n

nni M

MLLLMW `1.2

21

1 (7.29) b. trabajo externo:

( )3262

1242

2 1311111LLLqLLLLLLLq uu +

+

por lo que:

=

LLLWe 11

3.

311

4

(7.30) c. ecuacin de trabajo:

igualando (7.29) y (7.30)

++

=

LLL

MM

LLM

q nn

n

u

12

1

311

`12

24 (7.31)

y, nuevamente falta determinar el valor de L1 para el cual qu se hace mnima. Para ello se puede plantear, como el caso anterior:

01

=

dLdqu

52

La expresin que se obtendra de aqu sera un poco complicada de manejar matemticamente, por lo que una solucin expeditiva para resolver el problema es hacerlo numricamente. Para ello se coloca la siguiente igualdad:

++

=

LL

MM

LL

MLq n

n

n

u

1

12

311

`12

24

haciendo 1LL = , y adoptando una relacin para Mn y Mn, por ejemplo que Mn= Mn, resulta:

3/1212.4

.

2

+

=

n

u

MLq

Se quiere obtener el valor de para el cual el primer miembro es mnimo. Entonces resulta:

0.1 0.2 0.7 0.8 0.9 1.0 qu.L2/Mn 49.65 30.0 17.9 17.7 17.8 18.0

y se ve que para = 0.8 ocurre el mnimo buscado. Ese valor se remplaza en la ecuacin (7.31) y as se obtendr el valor mnimo de qu para este estado de cargas.

7.7.1 REDISTRIBUCIN DE ESFUERZOS Las condiciones que se imponen son:

(i) Los momentos no se deben haber obtenidos de mtodos aproximados. (ii) Slo es posible cuando t 0.0075 = 0.75 % en la seccin donde se vaya

a disminuir el momento. (iii) Se deben recalcular los momentos en tramo para mantener el equilibrio

despus de la redistribucin. (iv) MR = ME donde = 1000 t 0.20 = 20 %

En sus comentarios, la norma aclara que los estudios demuestran que la fisuracin y las flechas en losas y vigas diseadas con momentos redistribuidos bajo cargas de servicio no son significativamente mayores que los que se obtendran si los elementos fueran diseados con los resultados directos de la teora elstica.

7.7.2 REQUERIMIENTOS DE RIGIDEZ.

Tanto para vigas y losas en una direccin por un lado como para losas cruzadas por otro, la norma acepta dos formas de satisfacer los requisitos de rigidez:

53

(i) adoptando alturas mnimas, es decir limitando la esbeltez de la pieza, va tablas o frmulas empricas, o bien

(ii) evaluando numricamente las flechas y verificar que no excedan los lmites permisibles que se dan en tablas.

Como mdulo de elasticidad del hormign se puede tomar la expresin:

MPafE cc 215004700 ==

en este caso (note que la versin anterior CIRSOC 201-1982, para este hormign, le asignara 30000 MPa, es decir casi un 40 % mayor), cuya interpretacin grfica se ve en Fig. 7.44.

Fig. 7.44. Interpretacin Grfica del Mdulo de Elasticidad del Hormign.

Como ya se expres entes, salvo un estudio ms detallado, la nueva norma exige que se calcule el mdulo de rigidez a flexin, (EI), tomando como valor de y para el Momento de Inercia un valor designado como Inercia Efectiva, y que se evala mediante esta expresin:

gcra

cr

ga

cr

e IIMM

IMM

I

+

=

33

1

donde:

Ma= momento actuante mximo para carga de servicio en el momento que se evala la flecha. En la seccin 9.5.2.4 la norma establece que en elementos continuos se puede adoptar Ie promedio para seccin a M+ y M- (secciones crticas).

Mcr= momento para el estado lmite de fisuracin, que se puede evaluar mediante:

t

grcr y

IfM =

fr = mdulo de ruptura o resistencia del hormign a flexin por traccin, y se calcula como se vio en la seccin II.3.1.7 del captulo II. Ig = momento de inercia de la seccin bruta de hormign 12/3hbw yt = distancia del baricentro de la seccin de hormign (sin armadura) a la fibra extrema traccionada.

54

La Fig. 7.45 muestra parte de la notacin involucrada. La Fig. 4.46 muestra la interpretacin grfica del los momentos de inercia sin fisurar, fisurado y efectivo en el diagrama M-deformacin. La Fig. 4.47 indica el concepto de seccin transformada.

Fig. 7.45. Nomenclatura en la seccin transversal a Flexin.

Fig. 7.46. Interpretacin de los momentos de inercia para seccin fisurada.

Fig. 7.47. Seccin de Hormign Armado Fisurada Transformada.

7.7.3 CALCULO DE LAS DEFORMACIONES 7.7.3.1 Introduccin

La prediccin de las deformaciones en elementos de hormign armado es dificultosa. Secciones con armadura no simtrica conducen a deformaciones por contraccin del hormign que se deben sumar a las deformaciones debidas a cargas verticales. Adems la fluencia lenta del hormign lleva a un aumento de las deformaciones para cargas permanentes de servicio. Las deformaciones debidas a contraccin y fluencia a su vez son funciones de la temperatura, humedad,

55

condiciones de curado, edad del hormign, etc. La disminucin de la rigidez de flexin debido a la fisuracin del hormign tiene tambin un efecto importante. Con el mtodo que se explicita a continuacin, se estima que el clculo de deformaciones puede tener un error del 20%, lo cual es suficientemente aceptable para la mayora de los casos prcticos.

El control de deformaciones ante cargas gravitatorias para elementos de hormign armado est asociado con las cargas de servicio. Cuando deban considerarse tambin deformaciones que aparecen por el transcurso del tiempo, solamente la carga permanente y aquella porcin de carga accidental que acta en forma permanente deben afectarse a deformaciones diferidas. El tipo de ocupacin o uso determinar qu porcin de la carga accidental debe considerarse. Por ejemplo, en el caso de edificios de departamentos tal vez slo el 20% o 25 % de la carga accidental deba tomarse como carga sostenida. En un edificio destinado a depsito, tal vez el 80% o 100 % de carga accidental deba considerarse como participante en contribuir a deformaciones diferidas.

7.7.3.2 Deformacin diferida

La deformacin de elementos de hormign armado se incrementa con el tiempo. Las deformaciones adicionales a la instantnea son causadas por la contraccin y flexin del hormign. La deformacin diferida debe tenerse en cuenta pues en ciertas circunstancias puede alcanzar valores de 2 a 3 veces el que corresponde a deformacin instantnea.

La contraccin del hormign en secciones no armadas simtricamente causa una distribucin no uniforme de deformaciones en la seccin la cual resulta en una curvatura de contraccin. La curvatura es mayor en elementos de hormign con armadura simple, debido a que la contraccin del hormign no es impedida en la zona de compresin. En miembros a flexin la armadura mayor est en la zona de traccin. Por lo tanto la curvatura de contraccin tendr el mismo signo que las curvaturas provocadas por cargas transversales (gravitatorias, por ejemplo). Adems, esas tensiones de traccin inducidas por contraccin ms las inducidas por cargas incrementa la fisuracin del hormign en traccin. La deformacin lenta del hormign resulta adems en un acortamiento de la parte comprimida, por lo tanto causa una curvatura adicional.

Es evidente que las deformaciones adicionales debidas a contraccin y fluencia se pueden reducir en forma substancial con la presencia de armadura de compresin. En el caso de igual armadura superior e inferior, la curvatura por contraccin sera nula. La armadura de compresin tambin reduce la deformacin de fluencia debido a que mientras las deformaciones de compresin aumentan con el tiempo, parte de las tensiones de compresin inducidas son gradualmente transferidas al acero. Adems del contenido y distribucin de acero, las deformaciones del hormign con el tiempo dependen de condiciones de humedad, temperaturas, curado, edad del hormign, relacin tensin a resistencia, y otros factores ms.

56

La norma NZS:3101 da esta expresin :

kcp = [2 - 1.2(As/As)] 0.6 (7.43)

como factor por el cual hay que multiplicar la deformacin instantnea para obtener la deformacin adicional, es decir : t = i + kcp . i (7.44) donde : t = deformacin total i = deformacin instantnea kcp = coeficiente de deformacin adicional

El ACI-318-2005 da una expresin con ms penalidad sobre las deformaciones diferidas, ya que propone:

501

+=

= factor que depende del tiempo al cual se considera la deformacin, e igual a 2 para 5 aos o ms. = cuanta de armadura de compresin. Esta debe tomarse en la mitad de la luz para tramos simples y continuos, y en el punto de apoyo para voladizos.

Note que para As= 0, =0, y ambas expresiones coinciden en que Kcp= 2.

7.7.3.3 Vigas y losas en una direccin. La Fig.7.48 muestra las relaciones que se deben cumplir de (h/l) altura total de

losa vs. luz de clculo de las losas en una direccin, para el caso en que dichos elementos NO soporten elementos susceptibles de daarse por grandes deformaciones. En el Apndice, pg. 25, est la tabla 9.5.(a) que da el CIRSOC.

En realidad la expresin a cumplir es que: ( )700/40.0 yb fhh +=

Fig. 7.48. Relacin de esbelteces para distintas condiciones de apoyo en losas macizas (no nervuradas) apoyadas en una direccin si no soportan elementos frgiles. Ver tabla 9.5(a)

en Apndice A, pg. 30.

57

para hormign densidad normal, y donde h es la altura total de la losa, hb la altura bsica y fy la tensin de fluencia del acero. Se ve que para el acero ADN-420 el factor de correccin es 1.0.

Si se deseara adoptar una altura menor o bien el elemento soportara en forma directa elementos susceptibles de daarse por grandes flechas, entonces se debe evaluar la flecha:

(i) mtodo elstico pero en condicin de seccin fisurada, con Ie. (ii) para flecha diferida, considerar la parte de carga accidental que se puede

considerar como permanente. (iii) el p-C101-2002 dice en la seccin 4.5 que para la sobrecarga se debe

considerar la distribucin que para el efecto que se estudia provoque la situacin ms desfavorable.

(iv) agregar cualquier efecto de carga concentrada si correspondiera.

Note que si el elemento debe soportar elementos susceptibles de daarse, la condicin es que f l/480, pero si no hay tales elementos, debe ser f l/240. Ver tabla 9.5(b) en Apndice A, pg. 84. En este caso l es la luz de clculo.

En el apndice C se puede ver la aplicacin de verificacin de condiciones de rigidez a las losas del edificio de siete pisos que ha sido tomado como ejemplo.

7.7.7.4 Losas en dos direcciones.

El p-C-201, seccin 9.5.3 establece que para el caso de losas que se puedan definir como rectangulares y en las que la relacin de luz mayor a menor, medida a ejes de apoyos, sea igual o menor que 2.0, se deben distinguir los casos que se muestran en la Fig. 10. A los efectos de satisfacer los requerimientos de rigidez, tal cual se expres, se deben:

(i) Adoptar tablas o frmulas , o bien (ii) Evaluar flechas y verificar contra valores admisibles.

7.7.7.4.1 Losas sin vigas interiores.

Para el caso de losas SIN vigas interiores, distingue entre los casos de las Figs. 7.1(b) y (c), y los espesores mnimos para el caso de acero ADN-420 se resumen en la Fig. 7.49.

De todas maneras, para losas sin bacos la altura mnima debe ser 120 mm, mientras que si tiene bacos, se puede reducir a 100 mm.

La Fig. 7.50(a) y (b) muestran las condiciones a cumplir por los bacos y capiteles en el caso de losas sin vigas. El baco, seccin 13.3.7.1, se debe prolongar en cada direccin a partir del eje de apoyo, una distancia mayor de (l/6), l=luz, medida de centros de apoyos en