PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ESCUELA DE INGENIERIA

EVALUACIN DE MTODOS DE

ANLISIS INELSTICO EN SAP PARA

ESTRUCTURAS DE HORMIGN

ARMADO

EDUARDO JOS MEDINA MONCAYO

Tesis para optar al grado de Magster en Ciencias de la Ingeniera

Profesor Supervisor: RAFAEL RIDDELL C.

Santiago de Chile, (Agosto, 2010)

2010, Eduardo Jos Medina Moncayo

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

ESCUELA DE INGENIERIA

EVALUACIN DE MTODOS DE

ANLISIS INELSTICO EN SAP PARA

ESTRUCTURAS DE HORMIGN

ARMADO

EDUARDO JOS MEDINA MONCAYO

Tesis presentada a la Comisin integrada por los profesores:

RAFAEL RIDDELL C.

JORGE VSQUEZ P.

RODRIGO MUJICA V.

MARIO DURAN T.

Para completar las exigencias del grado de Magster en Ciencias de la Ingeniera

Santiago de Chile, (Agosto, 2010)

ii

A mi Madre, hermana, mi novia linda y

amigos, que me apoyaron mucho.

iii

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a todos aquellos que de una forma u otra ayudaron y apoyaron la realizacin

de esta investigacin.

Al profesor Rafael Riddell que con su continuo apoyo y consejos oportunos lograron el

fin trmino de este trabajo.

iv

NDICE GENERAL

Pg

DEDICATORIA ...................................................................................................... ii

AGRADECIMIENTOS ........................................................................................... iii

NDICE DE TABLAS ............................................................................................. vi

NDICE DE FIGURAS ............................................................................................ vii

RESUMEN ............................................................................................................... viii

ABSTRACT ............................................................................................................. ix

1. INTRODUCCIN 1

1.1 General 1

1.2 Investigacin Bibliogrfica 5

1.2.1 Curvas esfuerzo deformacin materiales usados en SAP2000 5

1.2.2 Parmetros no lineales usados en SAP2000 21

1.2.3 Observaciones del modelamiento del hormign armado 32

1.3 Contenido del estudio . 57

2. IMPLEMENTACIN MATEMTICA DEL MARCO DE CONCRETO

REFORZADO EXPERIMENTALMENTE ANALIZADO BAJO

DESPLAZAMIENTOS CONTROLADOS

POR SOZEN Y GULKAN 1971 . 59

2.1 Evaluacin del modelo matemtico usando metodologas

tradicionales en SAP2000 V.11. . 61

2.1.1 Evaluacin del modelo matemtico usando Hinges como

elementos inelsticos . 61

2.1.2 Evaluacin del modelo matemtico usando Links como

elementos inelsticos . 84

2.1.3 Evaluacin del modelo matemtico usando el mtodo del

v

Puntal-Tensor (Modelo S3) .. 88

2.1.4 Propuesta modelo hbrido Puntal-Tensor . 95

2.2 Anlisis de los problemas encontrados en la implementacin del

modelo del marco Sozen y Gulkan. .. 98

3. VIGA EN VOLADIZO DE BERTERO, POPOV Y WANG (1974) . 100

3.1 Evaluacin del modelo matemtico usando metodologas

tradicionales en SAP2000 V.11 . 100

3.2 Evaluacin del modelo matemtico usando el mtodo del Puntal-

Tensor (Modelo S3) 104

3.3 Propuesta modelo hbrido Puntal-Tensor . 107

3.4 Anlisis de los problemas encontrados en la implementacin de la

Viga de Popov . 109

4. ESTUDIO EN SIMULADOR SSMICO DE UN MARCO DE HORMIGN

ARMADO, P. HIDALGO Y R. W. CLOUGH 1974

. 110

4.1 Evaluacin del modelo matemtico usando metodologas

tradicionales en SAP2000 V.11 . 114

4.2 Evaluacin del modelo matemtico usando el mtodo del Puntal-

Tensor 116

4.3 Propuesta modelo Hbrido Puntal-Tensor . 120

4.4 Anlisis de los problemas encontrados en la implementacin del

Prtico de Hidalgo-Clough 123

CONCLUSIONES 124

BIBLIOGRAFIA 127

vi

A N E X O S ... 132

Anexo A : Procedimiento matemtico de SAP ante input de desplazamiento... 132

Anexo B: (Marco Sozen-Gulkan) respuesta cclica; Modelo matemtico usando

Hinges como elemento inelstico . 133

vii

NDICE DE TABLAS

Pg.

Tabla 1-1 Resultados comparativos del comportamiento inelstico de Links en

SAP2000 31

Tabla 1-2 Resistencia efectiva de elementos Strut de hormigones aplicadas en regiones

D de sistemas de nudos. . 57

viii

NDICE DE FIGURAS

Pg.

Fig. 1-1 Curvas de esfuerzo deformacin para el acero de refuerzo 6

Fig. 1-2 Regiones en la curva de esfuerzo deform acero de refuerzo .. 7

Fig. 1-3 Curva esfuerzo deform modelo simple hormign armado ... 10

Fig. 1-4 Curva del modelo no confiando de Mander . 14

Fig. 1-5 Curva esfuerzo deform para el modelo confinado de Mander 15

Fig. 1-6 Curva de esfuerzo deform para el modelo confinado y no confinado de mander

. 20

Fig. 1-7 Curva A-B-C-D-E-F de fuerza desplazamiento la misma curva es usada para el

caso de momento rotacin 24

Fig. 1-8 Representacin de la definicin de los links en SAP2000 . 26

Fig. 1-9 Caractersticas del Link no lineal 28

Fig. 1-10 Ejemplo y caractersticas del modelo inelstico .. 29

Fig. 1-11 Comportamiento histertico de los links plsticos 29

Fig. 1-12 Comportamiento histertico Links (2) .. 30

Fig. 1-13 Comportamiento histertico Links (3) .. 31

Fig. 1-14 Respuesta del modelo inelstico implementado 32

Fig. 1-15 Tipos de Degradacin definidas por el FEMA 440 .. 36

Fig. 1-16 Modelo elastoplstico de no degradacin 38

Fig. 1-17 Modelo de endurecimiento de resistencia sin degradacin . 40

Fig. 1-18 Modelos de histresis .. 42

Fig. 1-19 Modelo de Pinching . 43

ix

Fig. 1-20 Modelos combinados de degradacin de rigidez y degradacin cclica de

resistencia (a) degradacin moderada de rigidez y degradacin cclica de resistencia y (b)

degradacin severa de rigidez y degradacin de resistencia cclica. (Ruiz-Garcia and

Miranda, 2005) ......................... 45

Fig. 1-21 Comportamiento histertico para modelos sujetos al protocolo de carga 1 con

(a) degradacin de resistencia cclica, (b) degradacin en cada ciclo 47

Fig. 1-22 Protocolo de carga 1 usado para ilustrar los efectos de degradacin de

resistencia cclica y en cada ciclo . 47

Fig. 1-23 Protocolo de carga para ilustracin de diferencias en degradacin de resistencia

y degradacin de resistencia en cada ciclo . 48

Fig. 1-24 Resultados historia de carga, ejemplo 48

Fig. 1-25 Descripcin del modelo puntal-tensor 49

Fig. 1-26 Propiedades de esfuerzo deformacin puntal-tensor. 51

Fig. 1-27 Propiedades del modelo puntal-tensor de esfuerzo deformacin .. 52

Fig. 1-28 Modelos STM de viga en voladizo (Modelo de N.H.T. To J. M. Ingham y B.J.

Davidson 55

Fig 2.1 Esquema representativo del marco 59

Fig 2.2 Historia de desplazamientos controlados .. 60

Fig. 2.3 Eleccin de rotulas plsticas en SAP2000 63

Fig. 2.4 Figura No. 2.4 Definicin rotulas plticas de columnas .. 64

Fig. 2.5 Definicin rotulas plticas vigas SAP2000 .. 66

Fig. 2.6 Definicin secciones transversales SAP2000 .. 68

Fig. 2.7 Definicin seccin de la Vigas SAP2000 69

Fig. 2.8 Definicin de historia de Carga en SAP2000 .. 70

x

Fig. 2.9 Esquema Ubicacin de rotulas plsticas . 71

Fig. 2.10 Respuesta total del modelo de rotulas plsticas . 72

Fig. 2.11 Primer Ciclo de desplazamiento controlado . 73

Fig. 2.12 Corte basal para el primer ciclo 73

Fig. 2.13 Corte basal vs desplazamiento para el primer ciclo . 74

Fig. 2.14 Comparacin respuesta elstica e inelstica para el primer ciclo . 75

Fig. 2.15 Push over Marco Sozen y Gulcan . 76

Fig. 2.16 Comparacin corte basal vs desplaz. con Takeda y Kinematic 77

Fig. 2.17 Comparacin pushover con Takeda y Kinematic para rtulas plsticas 77

Fig. 2.18 Momento curvatura en la viga .. 78

Fig. 2.19 Momento curvatura de la columna .. 79

Fig. 2.20 Comparacin momento curvatura de la viga confinado y no confinado 79

Fig. 2.21 comparacin momento curvatura columna confinada y no confinadas . 80

Fig. 2.22 Comparacin V vs D para Takeda confinado y no confinado ... 81

Fig. 2.23 Grfica comparativa de historia de desplazamientos e historia de fuerzas 83

Fig. 2.24 Modelo en SAP2000 usando Links inelsticos . 84

Fig. 2.25 Loops experimentales vs modelo de links . 86

Fig. 2.26 Representacin de reas equivalentes elementos longitudinales .. 89

Fig. 2.27 Representacin de reas equivalentes elementos transversales 90

Fig. 2.28 Representacin de reas equivalentes elementos diagonales 91

Fig. 2.29 Configuracin del modelo puntal tensor del marcos 93

Fig. 2.30 Loops experimentales vs modelo de puntal tensor .. 94

Fig. 2.31 Loop ciclo experimental vs ciclo modelo puntal tensor .. 95

xi

Fig. 2.32 Modelo hbrido Marco Sozen . 96

Fig. 2.33 Resultados para el modelo hbrido puntal-tensor .. 97

Fig. 3.1 Esquema viga 33 . 101

Fig. 3.2 Historia de desplazamiento Viga 33 .. 102

Fig. 3.3 Esquema respuesta para el modelo SAP usando Hinges . 103

Fig. 3.4 Esquema viga modelo puntal tensor . 105

Fig. 3.5 Esquema respuesta para el modelo Puntal-Tensor .. 106

Fig. 3.6 Modelo hbrido para el caso de la viga Popov 108

Fig. 3.7 Respuesta modelo hbrido viga de Popov .. 109

Fig. 4.1 Sismo TAFT, N69W Comp, July 1953 .. 111

Fig. 4.2 Esquema del montaje experimental . 113

Fig. 4.3 Modelo SAP de la estructura 114

Fig. 4.4 Respuesta desplazamiento de Cubierta vs Tiempo .. 115

Fig. 4.5 Respuesta desplazamiento de Entrepiso vs Tiempo . 116

Fig. 4.6 Esquema prtico modelo puntal tensor . 118

Fig. 4.7 Respuesta desplazamiento de Cubierta vs Tiempo 119

Fig. 4.8 Respuesta desplazamiento de Entrepiso vs Tiempo .. 119

Fig. 4.9 Modelo hbrido puntal-tensor . 121

Fig. 4.10 Respuesta desplaz de Cubierta vs Tiempo mod hbrido .. 122

Fig. 4.11 Respuesta desplazamiento de Entrepiso vs Tiempo . 122

xii

RESUMEN

El objetivo principal de este trabajo es analizar y comparar el

comportamiento de estructuras tpicas de hormign armado bajo historias de carga,

desplazamientos y sismos con diferentes metodologas de modelamiento matemtico.

Para lograr este objetivo se decidi escoger el programa comercial SAP

2000, ya que es el software ms usado entre los ingenieros estructurales. Dentro del

mismo se escogieron diferentes elementos inelsticos para el modelamiento, como por

ejemplo links, hinges y por ltimo se implement el concepto de modelamiento a travs

de metodologa de puntal-tensor. Es importante aclarar que todos los modelos

implementados en este trabajo corresponden a estudios realizados en laboratorios de

diferentes partes de los Estados Unidos y cuentan con resultados experimentales de

importante uso para la comparacin.

Entre los modelos implementados, est el prtico de Sozen, la viga de Popov

y Bertero y el prtico de 2 pisos realizado por Clough e Hidalgo. Los dos primeros

fueron ensayados con historia de desplazamiento, y el ltimo bajo diferentes tipos de

sismos ocurridos en Norteamrica.

xiii

ABSTRACT

The main objective of this study is to analyze and compare the behavior of reinforced

concrete structures under typical load histories, movements and earthquakes with

different methods of mathematical modeling.

To achieve this objective it was decided to choose the commercial program SAP 2000,

as it is the most widely used software among structural engineers. Within the same

inelastic different elements were chosen for modeling, such as links, hinges and finally

implemented the concept of modeling methodology through prop-tensor. It is important

to clarify that all the models implemented in this paper are studies in laboratories in

different parts of the United States and experimental results have important use for

comparison.

Among the models implemented, is the gateway to Sozen, the beam of Popov and

Bertero and two-story portico by Clough and Hidalgo. The first two were tested with a

history of displacement, and the last under different types of earthquakes occurred in

North America.

1

1. INTRODUCCIN

1.1 General

La filosofa de diseo sismo resistente actual que se usa en Norteamrica y

Sudamrica tiene como objetivo fundamental prevenir el colapso de las estructuras

para un sismo severo y asegurar que no haya ningn tipo de dao para un sismo

frecuente. Sin embargo el estado del arte actual no puede garantizar el punto exacto

de comportamiento de los edificios, en otras palabras no est lo suficientemente

desarrollado como para explicar la capacidad real de las estructuras.

Los cdigos modernos usan diferentes metodologas de anlisis ssmico, como por

ejemplo: (1) Mtodos estticos lineales (LSP), (2) Mtodos dinmicos lineales

(LDP), (3) Mtodos estticos no-lineales (NSP), (4) Mtodo dinmico no-lineal

(DNP). Su nivel de precisin relativa se incrementa del (1) al (4). Sin embargo la

capacidad del software para realizar cada uno de estos mtodos tambin se

aumenta. Adicionalmente la complejidad de los mtodos lleva consigo una serie de

simplificaciones y suposiciones que dificultan la completa compresin de los

mismos.

En primera instancia los mtodos de anlisis estticos lineales (LSP) se basan

principalmente en aplicar una fuerza lateral equivalente para obtener los

desplazamientos y las fuerzas de diseo. Dentro del mismo se asumen dos hiptesis

importantes; la primera es que el mtodo implica que las acciones equivalentes de

diseo son capaces de representar la accin smica, lgicamente esto es una

2

simplificacin que debe cumplir con los requerimientos para algunas edificaciones

de acuerdo con la norma de diseo. Por otro lado el mtodo implica que se puede

obtener una medida adecuada de la estructura usando un modelo elstico lineal. La

pregunta que surge con estas dos importantes hiptesis es como lograr verificar la

estructura ante el colapso o como disear los elementos para lograr que se

deformen de acuerdo a su esperada ductilidad.

Otro de los mtodos ms usados actualmente es el mtodo de anlisis dinmico

lineal (LDP), esta metodologa usa el mismo modelo lineal elstico que el LSP.

Cabe destacar que tampoco tiene en cuenta los efectos reales del comportamiento

no lineal. Para saber la demanda a la cual someteremos la estructura en este

mtodo, se puede usar el espectro de diseo ssmico que imponga la norma para el

caso del mtodo de anlisis modal espectral o varios registros en el caso del mtodo

de historia de respuesta.

En el mtodo de anlisis esttico no lineal (NSP) las cargas estticas laterales

equivalentes son aplicadas incrementalmente al modelo matemtico de la

estructura, hasta que se sobrepasa una deformacin esperada. Las deformaciones y

las fuerzas internas son monitoreadas continuamente. Es un procedimiento paralelo

al LSP, pero con dos diferencias importantes; primero, en el NSP, el

comportamiento no lineal entre la carga y la deformacin de cada elemento

individual, se debe modelar directamente en el modelo matemtico. Y en segunda

instancia, en el NSP los efectos ssmicos son definidos en trminos de una

deformacin esperada ms que en una seudo carga lateral. Por tal motivo este

3

mtodo define capacidades diferentes de comportamiento. Por ltimo y no menos

importante esta metodologa requiere mayor capacidad computacional que los

anteriores pero posee una mejor aproximacin del comportamiento de las estructura

ante sismos, sin embargo, el mtodo NSP se queda corto en los cambios no lineales

dinmicos de respuesta de la estructura causado por la degradacin cclica y la

distribucin de resistencia. Por este motivo tiene deficiencias en la determinacin

de fuerzas locales y demandas de deformaciones plsticas, particularmente cuando

los modos superiores tienen gran importancia en la influencia de la estructura.

El mtodo de anlisis dinmico no lineal (NDP), se basa en la solucin de la

ecuacin dinmica de movimiento a partir de varias excitaciones ssmicas, as

mismo considera la no linealidad de los materiales que componen los elementos, se

debe tener en cuenta que todas las masas del edificio deben ser definidas y ubicadas

de tal forma que capturen adecuadamente los efectos inerciales verticales y

horizontales.

A lo largo del tiempo, investigadores de todo el mundo han realizado ensayos

experimentales de elementos de hormign armado, con el fin de comparar su

comportamiento real con respecto a las distintas metodologas antes expuestas,

entre ellos se encuentran; el marco de concreto reforzado de Sozen y Gulkan 1971,

siendo este un modelo a escala reducida que fue ensayado en la Universidad de

Illinois sujeto a desplazamiento cclico controlado y cuya respuesta ha sido

ampliamente usada en casos semejantes obteniendo buenos resultados, por otro

lado viga en volado de Bertero, Popov y Wang 1974, ensayada en la Universidad

4

de California en Berkeley para investigar el efecto de grandes fuerzas de corte en la

resistencia, rigidez y capacidad de absorcin de energa de hormign armado y por

ltimo, el prtico realizado por Clough e Hidalgo, siendo este un estudio de

investigacin de escala reducida, donde se estudia el comportamiento dinmico de

una estructura de dos pisos. Un alto porcentaje de los mismos han demostrado

inexactitudes entre los mtodos analticos y experimentales, lo que ha llevado a

varios mtodos alternativos de anlisis como por ejemplo el mtodo analtico no

lineal del puntal-tensor.

El mtodo de puntal-tensor (STM) es la representacin discreta de un campo de

esfuerzos desarrollada en estructuras de hormign armado sometidas a acciones

externas. El puntal y el tensor son elementos uniaxiales que determinan los campos

de esfuerzos de compresin y tensin respectivamente. Ahora bien, los puntos de

conexin de los puntales y tensores corresponden a zonas nodales de esfuerzos

biaxiales o triaxiales, donde se lleva a cabo un cambio de direccin de las fuerzas

internas.

El procedimiento convencional de diseo de estructuras de hormign armado puede

dividirse en tres estados: (a) Seleccionar las dimensiones del elemento, (b)

Determinacin de la cantidad, posicin y detallamiento del refuerzo, de acuerdo a

criterios de resistencia ltima. (c) Satisfaccin de las deformaciones bajo las cargas

de servicio. Tradicionalmente, el STM se ha utilizado slo para el segundo estado

del diseo, sin embargo en este trabajo se usar como metodologa de anlisis

5

ltimo prediciendo de buena forma la relacin no lineal de fuerza deformacin del

elemento.

El objetivo fundamental de este trabajo es utilizar metodologas convencionales de

anlisis aplicadas a casos experimentales e investigaciones realizadas en aos

anteriores para compararlas contra los resultados de aplicar el mtodo de puntal-

tensor.

1.2 Investigacin bibliogrfica

1.2.1 Curvas esfuerzo deformacin materiales usados en SAP2000

Todos los tipos de materiales tienen curvas de esfuerzo deformacin representativa

y que son definidas a partir de una serie de parmetros caractersticos. El hormign

y el acero de refuerzo en SAP2000 tienen definidos la posibilidad de especificar

dichos parmetros de acuerdo a una serie de modelos, como por ejemplo, el modelo

simple y el modelo de Mander y para el acero de refuerzo el modelo simple y el

modelo de Park.

Las curvas con las que cuenta SAP2000 se aplican a todos los materiales y estn

definidas por una serie de puntos de esfuerzo deformacin (,f). El primero de estos puntos debe ser (0,0). El SAP2000 tiene la caracterstica que las curvas

introducidas por el usuario pueden ser las estndares o normalizadas. Las curvas

normalizadas son graficadas f/fy versus /y, Donde y=fy/E, estas expresiones se pueden ver con mayor claridad en las grficas de la figura No. 1. El programa

6

almacena las curvas de esfuerzo deformacin del usuario como curvas

normalizadas. De esta manera, si el valor de E o fy del material, cambian, la curva

de esfuerzo deformacin del material automticamente cambia.

Figura 1-1 Curvas de esfuerzo deformacin para el acero de refuerzo

: Deformacin del refuerzo.

f: Esfuerzo del refuerzo

E: Modulo de elasticidad

fy: Esfuerzo de fluencia para el refuerzo

fu: Capacidad ltima del esfuerzo del refuerzo.

sh: Deformacin en el refuerzo al principio de la zona de endurecimiento.

u: Deformacin ltima del refuerzo.

7

Parmetros de la curva esfuerzo deformacin del acero de refuerzo: Hay dos

tipos de modelos para ser usados en el SAP2000 y ellos son; el modelo simple y el

modelo de Park. Los dos son idnticos, excepto en la regin de endurecimiento

donde el modelo simple usa una curva parablica y el modelo de Park usa una

forma emprica. Los siguientes parmetros, definen la curva del acero de refuerzo

que se pueden ver en la Figura No. 1-2:

La deformacin de fluencia, y, es determinada a partir de y=fy/E. La curva de esfuerzo deformacin tiene definidas tres regiones. Existe una regin elstica, una

regin perfectamente plstica, y una zona de endurecimiento de deformacin. En

SAP2000 son usadas diferentes ecuaciones para cada zona. A continuacin se

presentan las ecuaciones que las definen.

Figura 1-2. Regiones en la curva de esfuerzo de formacin del acero de refuerzo.

8

Para y (regin elstica)

f = E

Para y < sh (Regin perfectamente plstica)

f = fy

Para sh < u (Regin de endurecimiento)

Para el modelo simple,

Para el modelo de Park,

Donde:

9

En los dos modelos que pueden ser usados, el simple y el Park existe la opcin de

usar los valores por defecto que usa Caltrans para las curvas. Estos valores son

dependientes del dimetro del refuerzo.

Con As como rea de refuerzo,

Modelo simple para la curva esfuerzo deformacin en el hormign armado en

SAP2000: La porcin a compresin del modelo simple de esfuerzo deformacin

consiste en una curva (Ver figura No. 3) con una porcin parablica y una porcin

lineal. Las siguientes variables definen el modelo simple de esfuerzo deformacin

del hormign.

: Deformacin en el hormign.

f: Esfuerzo en el hormign

fc: Esfuerzo a la compresin del hormign.

c: Deformacin correspondiente al fc.

10

u: Deformacin ltima del hormign.

El modelo simple de esfuerzo deformacin del hormign armado para SAP2000 se

define con las siguientes curvas:

Para c (Porcin parablica)

Para c < u (Porcin lineal)

El esfuerzo a tensin de fluencia en la curva del modelo simple es tomado como

106.45(fc)^0.5 Kg/cm2.

Figura 1-3. Curva esfuerzo deformacin del modelo simple del hormign armado

11

Modelo Mander para la curva esfuerzo deformacin en el hormign armado

en SAP2000:

El modelo de Mander esfuerzo deformacin est basado en el siguiente documento:

Mander, J.B., M.J.N. Priestley, and R. Park 1984. Theoretical Stress-Strain Model

for Confined Concrete. Journal of Structural Engineering. ASCE. 114(3). 1804-

1826.

El modelo de Mander de hormign armado calcula la resistencia a la compresin y

la deformacin ltima como funcin del confinamiento (Refuerzo transversal) del

acero. En el SAP2000 son posibles los siguientes tipos de curvas esfuerzo

deformacin segn el modelo de Mander.

Mander Concreto no confinado.

Mander Concreto Confinado Seccin Rectangular.

Mander Concreto Confinado Seccin Circular.

Para el caso del modelo no confinado de Mander puede ser generado a partir de las

propiedades del material solamente. Para el modelo de Mander confinado se

requiere las propiedades del material y de la seccin transversal. Para SAP 2000 las

12

siguientes secciones tienen las caractersticas asociadas al modelo confinado de

Mander:

Seccin rectangular

Seccin circular.

Ahora bien, para el caso en el que se desea definir la seccin transversal se puede

definir el modelo confinado de Mander a partir de las siguientes secciones:

Solido Rectangular

Solido circular

Polinomio.

Hexgono de Caltrans

Octgono de Caltrans.

Circular de Caltrans.

Cuadrado de Caltrans

Cuando un material con las caractersticas apropiadas es definido para el modelo de

Mander confinado, el SAP2000 lo usa. En caso contrario el software usar el

modelo de esfuerzo deformacin no confinada de Mander para el hormign

armado.

13

Curva del modelo no confinado de Mander para el hormign armado: La

porcin de compresin del modelo de esfuerzo deformacin no confinado de

Mander consiste en una porcin curva y en una porcin lineal. Los siguientes

parmetros definen la curva en mencin

: Deformacin del hormign.

f: Esfuerzo del hormign.

E: Modulo de elasticidad

fc: Resistencia a la compresin del hormign

c: Deformacin del hormign fc.

u: Capacidad ltima de deformacin del hormign.

La curva de esfuerzo deformacin no confinado de Mander est definida por las

siguientes ecuaciones.

2c (Porcin curva),

Donde:

x = /c

14

Para 2c < u (Porcin lineal),

Donde r fue definido previamente. La resistencia a tensin del modelo no confinada

se toma como 106.45(fc)^0.5 Kg/cm2.

Figura 1-4. Curva del modelo no confinado de Mander

Curva del modelo confinado de Mander para el hormign armado: Para la

porcin a compresin del modelo confinado de esfuerzo deformacin, la resistencia

a la compresin y la deformacin ltima del concreto confinado est basada en el

confinamiento (Refuerzo transversal) del acero. Los siguientes parmetros son

definidos para el modelo de esfuerzo deformacin

: Deformacin concreto.

15

f: Esfuerzo del concreto.

E: Modulo de elasticidad (Modulo tangente)

Esec: Modulo de elasticidad secante.

fc: Resistencia a la compresin del hormign armado no confinado.

fcc: Resistencia a la compresin del hormign confinado. Dependiente del

acero de confinamiento.

c: Deformacin del hormign a fc.

u: Deformacin ltima del hormign para el caso no confinado y deformacin de astillamiento del concreto para el caso confinado.

cc: Deformacin del concreto a fcc.

Figura 1-5 Curva esfuerzo deform. Para el modelo confinado de Mander.

16

cu: Deformacin ltima del hormign para el caso del hormign confinado; esta variable es dependiente del acero de confinamiento, provista en la

seccin.

El esfuerzo del concreto est definido por la siguiente ecuacin:

Donde:

Resistencia a la compresin del hormign en el modelo confinado de Mander

fcc. : Las siguientes variables son usadas en la definicin de la resistencia:

Ac: rea del centro del hormign medida desde eje central hasta el eje central

del acero de confinamiento.

Acc: rea del centro de hormign excluyendo el refuerzo longitudinal;

Acc=Ac(1-cc).

Ae: rea efectiva realmente confinada.

17

Asc: rea del estribo circular o de la espiral de confinamiento.

AsL: rea total de todos los refuerzos longitudinales.

Asx: rea del estribo rectangular extendido en la direccin X-X.

Asy: rea del estribo rectangular en la direccin Y-Y.

bc: Distancia eje centroidal a eje centroidal entre el permetro rectangular del

estribo que se extiende en la direccin Y-Y.

dc: Distancia eje centroidal a eje centroidal entre el permetro rectangular del

estribo que se extiende en la direccin X-X.

ds: dimetro del estribo circular o del espiral del acero de confinamiento

desde el eje centroidal al eje centroidal del acero.

fc: Resistencia a la compresin del hormign armado no confinado.

fL: Presin lateral en el hormign confinado provista por el acero de

confinamiento.

fL: Presin efectiva lateral en el concreto confinado provista por el acero de

confinamiento.

fyh: Esfuerzo de fluencia del acero de confinamiento.

Ke: Coeficiente que mide la efectividad del acero de confinamiento.

18

S: Distancia longitudinal desde el eje centroidal al eje centroidal entre el

estribo o espiral.

s: Distancia libre longitudinal entre el estribo o espiral.

w: Distancia transversal libre entre las barras adyacentes longitudinales con

los cruces.

cc: Cuanta de acero longitudinal; cc=AsL/Ac.

s: Cuanta volumtrica del refuerzo transversal de confinamiento al centro de concreto.

x: Cuanta de acero para los estribos rectangulares extendindose a lo largo de la direccin X-X; x=Asx/sdc.

y: Cuanta de acero para los estribos rectangulares extendindose a lo largo de la direccin Y-Y; y=Asy/sbc.

Para el caso de centros circulares:

19

Para centros rectangulares:

Despus que fLX y fLY son conocidos, fcc es determinada usando criterios de falla

multiaxial en trminos del esfuerzo de confinamiento que fue publicado en el

artculo de la referencia, Mander et al. (1984).

20

Deformacin ltima a la compresin del hormign en el modelo confinado de

Mander cu. :

La variable cu es funcin del acero de confinamiento. La siguiente figura muestra la curva de esfuerzo deformacin del modelo de Mander para el caso confinado y

no confinado. La diferencia entre los dos casos se muestre en tono achurado. 20

Figura 1-6 Curva de esfuerzo deformacin para el modelo confinado y no

confinado de Mander.

21

La regin achurada de color gris mostrada en la figura 6 representa la capacidad

adicional que provee el confinamiento del acero en cuanto a la energa de

deformacin acumulada.

Suponga que A1 es el rea achurada entre el modelo de Mander confinado y no

confinado y A2 es el rea bajo la curva de esfuerzo deformacin del acero

confinado. Adicionalmente suponga que s es la razn volumtrica entre el acero de confinamiento y el centro de hormign. Entonces, igualando energas bajo las

curvas de esfuerzo deformacin del concreto y del acero de confinamiento se

obtiene:

A1 = sa2

SAP2000 determina el valor apropiado de deformacin ltima del concreto, cu, por ajuste y error, igualando las energas como se explic anteriormente. Cuando la

relacin A1=sA2 es satisfecha, el valor correcto de cu ha sido encontrado.

La resistencia de fluencia a traccin en las curvas de esfuerzo deformacin para el

modelo de Mander Confinado es tomado como 7.5(fc)^0.5 psi.

1.2.2 Parmetros no lineales usados en SAP2000.

El software comercial SAP2000, fue desarrollado por Computers and Structures

Inc. Este programa tiene una interfaz muy amigable y dispone de una gran variedad

de elementos lineales y no lineales, que permiten modelar una gran variedad de

22

estructuras. Existen diferentes formas de evaluar el comportamiento inelstico en

SAP 2000, entre ellas se puede destacar el uso de elementos Hinges y de elementos

Links.

Elementos Hinges: Las propiedades de rtula plstica son ampliamente usadas

para el caso de hormign armado, tal como lo recomienda el ATC-40, en el mismo

documento se hacen diferenciaciones entre vigas y columnas con respecto a las

deformaciones mximas (Rotacin). Es posible en SAP2000 introducir rotulas

plsticas en cualquier lugar a lo largo de la longitud libre de cualquier elemento

tipo frame u objeto tendn. Cada rtula representa el comportamiento concentrado

de postfluencia en uno o ms grados de libertad. Las rtulas solo afectan al

comportamiento de la estructura en anlisis estticos no lineales o en anlisis de

historia de respuesta de integracin directa.

Las rtulas solo pueden ser introducidas en elementos frame y puede ser asignada

al mismo en cualquier ubicacin. En SAP 2000 estn disponibles rtulas plsticas

que definen el comportamiento de momento, torsin, fuerza axial y corte. Existe

tambin la posibilidad de rtulas acopladas de P-M2-M3 que fluyen de acuerdo a

las reglas de interaccin entre la fuerza axial y la flexin biaxial. Se puede colocar

ms de una rtula en la misma posicin, por ejemplo, se puede asignar rotulas M3

(Momento) y V2 (Corte) al final de cada elemento frame. SAP2000 sigue las

caractersticas de las rtulas de acuerdo al FEMA-356 (FEMA, 2000).

23

La prdida de resistencia es permitida en las propiedades de las rtulas. Pero deben

ser usadas cuidadosamente. Una perdida repentina de resistencia es irrealistica y

puede llegar hacer bastante difcil de analizar. SAP 2000 recomienda considerar la

prdida de resistencia cuando es necesario.

Para cada grado de libertad de fuerza (Axial o corte), se puede especificar un

comportamiento plstico de fuerza desplazamiento. Para cada grado de libertad de

momento (Flexin o torsin) se puede especificar un comportamiento plstico de

momento rotacin. Cada propiedad de la rtula deber tener especificadas unas

propiedades plsticas para cada uno de los seis grados de libertada. La carga axial y

los dos momentos pueden estar acoplados a travs de una superficie de interaccin.

Los Grados de libertad que no se especifican permanecen elsticos.

Cada rotula plstica puede ser modelada como un punto discreto de rtula. Todas

las deformaciones plsticas, ya sean de desplazamiento o rotacin, ocurrirn dentro

de este punto de rtula. Esto significa que se debe asumir la longitud para cada

rtula justo cuando la deformacin plstica o la curvatura plstica ocurren. Algunas

recomendaciones estn dadas en el FEMA-356. Normalmente es una fraccin de la

longitud del elemento, y muy frecuentemente es del orden de la altura de la seccin,

particularmente para rtulas de momento-rotacin.

Se puede aproximar la plasticidad que est distribuida a lo largo de la longitud del

elemento insertando ms rtulas. Ciertamente, adicionar mayor cantidad de rtulas

24

tendr un mayor costo computacional, sin embargo no ser muy significante si no

estn efectivamente en fluencia.

Para cada grado de libertad, se puede definir una curva de fuerza-desplazamiento

(Momento-Rotacin) que dan el valor de fluencia y la deformacin siguiente a la

fluencia. Esto se puede observar en la figura 13.

Figura 1-7 Curva A-B-C-D-E-F de fuerza desplazamiento la misma curva es usada

para el caso de momento rotacin

La forma de esta curva mostrada es usada para el caso en el que se implementen

hinges dentro del modelo. Se deben tener en cuenta los siguientes puntos:

El Punto A siempre est en el origen.

El punto B representa la fluencia.

25

El punto C representa la capacidad ltima en el anlisis de Pushover. Sin embargo es necesario especificar una pendiente positiva desde C

hasta D, para cualquier otro propsito.

El punto D representa la resistencia residual para el anlisis de pushover. Sin embargo es necesario especificar una pendiente positiva

desde D hasta E, para cualquier otro propsito.

El punto E representa la falla total.

Adicionalmente se puede especificar medidas adicionales de deformacin en los

puntos IO (Inmmediate Occupancy), LS (Life safety), y CP (Collapse prevention).

Estas son informaciones adicionales que son reportadas en los anlisis de resultados

y usadas para el diseo basado en el desempeo. No tienen ningn efecto en el

comportamiento de la estructura.

Elementos Links: Los links son usados para unir dos nudos. Estos links pueden

tener comportamiento lineal, no lineal y dependiente de frecuencias, todo esto de

acuerdo a los tipos de propiedades asignadas a los elementos y a los tipos de

anlisis que sern implementados.

Cada elemento Link est compuesto por 6 diferentes Springs, uno para cada uno

de los 6 grados de libertad (Axial, Corte, Torsin, y flexin pura).

26

Hay dos categoras que definen los links, lineales/no lineales y dependientes de

frecuencia. Las propiedades lineales/ no lineales deben ser asignadas a cada link.

En cambio para el caso en dependencia de frecuencias caso es opcional.

Existen diferentes tipos de comportamiento de links que pueden ser usados, pero

para este trabajo de investigacin se usar el Multi-linear Plastic. Y para este

caso se tiene la siguiente representacin de los tipos dentro del software SAP2000.

Figura 1-8 Representacin de la definicin de los links en SAP2000

Con el fin de verificar el uso de este elemento inelstico, se ha decidido

implementar el ejemplo 6-009 de los manuales del SAP 2000. Este ejemplo usa una

27

estructura de un solo grado de libertad para corroborar el comportamiento de los

elementos plastic kinematic link. Se ha definido caractersticas de fuerza

deformacin multilineales diferentes para el comportamiento a compresin y a

tensin. As mismo se ha usado un anlisis no lineal esttico para empujar el

elemento link a un desplazamiento positivo de 12 pulgadas. Posteriormente, un

segundo caso de carga no lineal se ha considerado al final de las condiciones del

caso de primera carga y es usada para generar un desplazamiento negativo de 12

pulgadas. Los resultados de fuerza del link a varias deformaciones son comparados

con las caractersticas definidas de fuerza deformacin.

El modelo de SAP2000 consiste en un solo nudo, etiquetado como 1 y un elemento

Link. El modelo esta creado en un plano XZ. Solamente el grado de libertad Uz fue

activado para el anlisis. El Link del tipo Plastic Kinematic es modelado como un

nico nudo en el nudo 1. Esto significa que un lado del link est conectado al suelo

y el otro extremo est conectado al nudo 1. El link es orientado de tal forma que su

eje positivo local 1 concuerda con el eje paralelo positivo Z. Esta es la orientacin

por defecto del nudo de un elemento Link individual. Solamente el grado de

libertad U1 es definido para este elemento.

Para este ejemplo solamente las propiedades no lineales del link fueron relevantes y

el nico caso de carga fue el no lineal. Las caractersticas de fuerza deformacin

estn definidas en la siguiente figura:

28

Figura 1-9 Caractersticas del Link no lineal

El peso del link fue definido como 1 Kip. Esta es la nica carga actuando sobre el

link, y es aplicada como una carga gravitacional actuando en la direccin Z.

Se usaron dos casos de carga no lineal de desplazamiento controlado en este

ejemplo. Fueron denominadas NLSTAT1 y NLSTAT2. La NLSTAT1 inicia desde

condiciones iniciales de cero y empuja al link a un desplazamiento positivo de 12

pulgadas. El caso NLSTAT2 inicia desde las condiciones finales del NLSTAT1 y

empuja el link desde las 12 pulgadas positivas a 12 pulgadas negativas.

29

Figura 1-10 Ejemplo y caractersticas del modelo inelstico

Para el comportamiento histertico del link se ha definido la siguiente grfica:

Figura 1-11 Comportamiento histertico de los links plsticos

El segmento D-E y D-C representa el comportamiento elstico. Los segmentos E-F,

F-G, C-B y B-A representan el comportamiento de deformacin plstico. Se asume

que la carga es positiva e inicia desde cero en el punto D y procede a lo largo de D-

E-F-G hasta alcanzar el punto X. Una vez en el punto X la carga cambia de

direccin.

30

Figura 1-12 Comportamiento histertico Links (2)

Cuando la carga pasa a travs del punto E y continua hacia el punto F, el punto E es

trasladado junto con la carga a lo largo del segmento E-F y justo cuando llega al

punto F, el punto E y F estn en la misma posicin. Igualmente cuando la carga

pasa a travs del punto F y procede el punto X, el punto E y el F son trasladados

con la carga a lo largo del segmento F-G hasta que la carga alcanza el punto X. Los

puntos X, E y F estn en la misma posicin.

As como la situacin del punto E, el punto C y D tienen un mismo patrn hacia el

punto C y D, respectivamente. Similarmente como el punto F es empujado, el

punto B tiene un comportamiento similar hacia el punto B. Esto se muestra en las

figuras

31

Figura 1-13 Comportamiento histertico Links (3)

Cuando ocurre la descarga, se sigue el patrn X-D-C-B-A y luego contina con

la pendiente definida por B-A (Mostrado en la figura anterior).

A continuacin se muestran los resultados comparativos entre SAP y un anlisis

independiente del Software.

TABLA 1-1 Resultados comparativos del comportamiento inelstico de Links en

SAP2000.

32

Posteriormente se grafican las fuerzas versus deformacin de los Links.

Figura 1-14 Respuesta del modelo inelstico implementado.

1.2.3 Observaciones acerca del modelamiento del hormign armado.

Uno de los aspectos ms importantes del modelamiento de elementos de hormign

armado usando mtodos no-lineales, es tener la seguridad que los modelos

utilizados representan con una confiabilidad aceptable el comportamiento de la

estructura real analizada.

Para evaluar esta confiabilidad se han tomado una serie de investigaciones de

ensayos de elementos estructurales realizados en laboratorios y se compararon las

respuestas reales con los resultados obtenidos con los modelos analticos.

33

Los estudios que se han realizado han demostrado que la rigidez que presentan los

elementos de hormign una vez ocurrido el agrietamiento se reduce enormemente.

Las disposiciones del FEMA 273 y ATC 40 (Ver referencias) recomiendan usar

para las columnas Ie=0.7Ib y para las vigas Ie=0.5Ib, Siendo Ib e Ie el momento de

inercia de la seccin bruta y efectiva, respectivamente, otros estudios tambin

tienen muchos comentarios al respecto (Ver referencia Hidalgo-Clough pgina 158,

159). Por otro lado el ACI 318 recomienda usar para las vigas Ie=0.35Ib, valor que

es finalmente utilizado en las modelaciones realizadas en este trabajo debido a que

evidenci una mejor representacin de la respuesta real de los elementos.

La unin viga-columna no se model como 100% rgida, ya que las investigaciones

realizadas en 1987 (Hidalgo, Jordn y Luders) muestran que el nudo es solo

parcialmente rgido, y que la longitud del segmento rgido correspondiente a l,

depende a su vez de la geometra del nudo. La idea de esta prctica es demostrar

que la no consideracin efectivamente no tena un efecto sobre lo que se hace en la

prctica.

Otro de los parmetros importantes a considerar en la modelacin es la razn p

entre la rigidez elstica y la rigidez de postfluencia.

Fillippou e Issa (1988) sostiene que usar la razn entre la rigidez elstica y de

postfluencia de la relacin momento-curvatura terica en la relacin momento-

rotacin subestima la rigidez de postfluencia de elementos flexurales. La relacin

momento-rotacin es usada en los modelos con plasticidad concentrada (Links).

34

Por otro lado y dado que SAP 2000 usa diferentes tipos de Sketch histerticos se

hace necesario describir brevemente los efectos de los diferentes comportamientos

histerticos.

Comportamiento histertico: Durante aos se han investigado el comportamiento

de estructuras sometidas a cargas cclicas y se ha concluido que la degradacin de

la resistencia y rigidez bajo este efecto es un fenmeno real y muy determinante en

la posibilidad de la inestabilidad dinmica lateral.

El FEMA P440A de Junio de 2009, es un muy buen ejemplo de un estudio

exhaustivo desarrollado a partir de 160 sistemas de nico grado de libertad y ms

de 600 sistemas de mltiples grados de libertad. Cada sistema fue sujeto a un

anlisis dinmico incremental con 56 movimientos del suelo escalados a diferentes

niveles de intensidad. Esta investigacin arroj ramificaciones prcticas que se

pueden resumir a continuacin:

El comportamiento de estructuras reales puede incluir prdida de capacidad a carga vertical por desplazamientos que son significativamente menores a los

asociados con el colapso.

Histricamente el trmino Backbone curve se refiere a muchas cosas diferentes. Por esta razn, dos nuevos trminos han sido introducidos para distinguir entre los

diferentes aspectos del comportamiento histertico. Estos son Force-displacemente

capacity boundary, y cyclic envelope.

35

Los parmetros no lineales deben estar basados en condiciones lmite de capacidad de fuerza desplazamiento ms que en la envolvente cclica. Determinar

la capacidad ltima de fuerza-desplazamiento a partir de resultados de ensayos

usando un solo protocolo de ciclo de carga puede traer resultados muy

conservativos para la determinacin del mximo desplazamiento.

Por otro lado el FEMA 440 Improvement of Nonlinear Static Seismic Analysis

Procedures (FEMA, 2005), fue comisionado para evaluar y desarrollar mejoras en

los procedimientos de anlisis estticos no lineales predominantes en la prctica. En

esa investigacin se ha encontrado una serie de desviaciones entre los anlisis

estticos no lineales y los anlisis no lineales de respuesta de historia de respuesta y

se atribuyen a los siguientes factores: (1) imprecisin en la aproximacin de iguales

desplazamientos para rangos de periodos cortos, (2) efectos P-delta de

inestabilidad, (3) suposiciones del vector de carga esttico, (4) degradacin de

rigidez y resistencia, (5) efectos de mltiples grados de libertad, y (6) efectos de

interaccin suelo-estructura.

El FEMA 440 identifica dos tipos de degradacin inelstica para osciladores de un

solo grado de libertad.

36

Figura No. 1-15 Tipos de degradacin definidas por el FEMA 440

La degradacin cclica (1) se caracteriza por prdida de resistencia y rigidez que

ocurren en ciclos subsiguientes, en cambio la degradacin en el ciclo (2) est

caracterizada por la prdida de resistencia y rigidez negativa que ocurren durante

un mismo ciclo. De acuerdo al FEMA 440, esta distincin es fundamental realizarla

ya que las consecuencias del uso de una curva u otra son inmensamente grandes. En

general sistemas con curvas de degradacin cclica (1), han mostrado una respuesta

dinmica estable, mientras que en el caso de degradacin en el ciclo (2) tienen

tendencia a la inestabilidad dinmica y potencialmente al colapso.

El objetivo principal del proyecto del FEMA 440A que fue comisionado bajo el

proyecto del ATC-62, fue la investigacin exhaustiva de los componentes y la

respuesta global de la degradacin de resistencia y rigidez, usando el FEMA 440

como punto de partida.

37

Muchos modelos han sido propuestos a travs de los aos con el objetivo de

caracterizar el comportamiento no lineal de los componentes estructurales y estimar

de buena forma la respuesta de los sistemas estructurales. Los modelos histerticos

van desde el simple comportamiento elasto-plastico hasta las complejas

degradaciones de rigidez y resistencia curvilneas. A continuacin se resumen las

ms importantes

Comportamiento elastoplstico: Muchos de los estudios que han considerado

comportamientos no lineales han usado modelos de histresis que no consideran

degradacin o modelos en los cuales la rigidez lateral y la resistencia lateral de

fluencia permanecen constante a travs de la duracin de la carga. El tipo de

modelo ms simple y ms comnmente usado como modelo de no deterioro es el

modelo elastoplstico, el cual es un sistema de comportamiento lineal elstico hasta

que la resistencia de fluencia es alcanzada Figura 2. En la zona de fluencia, la

rigidez cambia desde una rigidez elstica hasta una rigidez cero. Durante el ciclo de

descarga, la rigidez es igual a la rigidez elstica de la carga.

38

Figura No. 1-16 Modelo elastoplstico de no degradacin

Algunos ejemplos del uso de este modelo se incluye en los estudios de Berg and Da

Deppo (1960), Penzien (1960a, 1960b), y Veletsos y Newmark (1960). El ltimo

estudio fue el primero en notar que el desplazamiento lateral mximo de sistemas

de moderados, largos periodos y de un solo grado de libertad (SDOF) con

comportamiento elastoplstico tena, en promedio, cerca del mismo que los

sistemas lineales elsticos. Sus observaciones son conocidas como Aproximacin

de iguales desplazamiento. Esta aproximacin ampliamente usada implica que el

mximo desplazamiento de sistemas con periodos moderados y largos y de no

degradacin son proporcionales a la intensidad del movimiento del suelo, lo que

significa que si la intensidad del movimiento del suelo es duplicada, el

desplazamiento mximo ser en promedio, aproximadamente el doble de grande.

Veletsos y Newmark tambin observaron que el desplazamiento mximo para

periodos cortos de sistemas de un solo grado de libertad (SDOF) con

39

comportamientos elastoplstico es, en promedio, mayores que aquellos sistemas

lineales elsticos, y su incremento en el desplazamiento mximo lateral son ms

grandes que el incremento de intensidad del movimiento del suelo. De esta manera

la aproximacin de igual desplazamiento se observa que es menor que la aplicada a

estructuras de periodos cortos.

Muchos estudios posteriores han corroborado esta temprana observacin (Miranda,

1993, 2000; Ruiz-Garcia and Miranda, 2003; Chopra and Chintanapakdee, 2004).

Estas observaciones formaron las bases del coeficiente de modificacin de

desplazamiento C1, que tiene en cuenta el efecto inelstico en el mtodo de los

coeficientes para la estimacin del desplazamiento mximo.

Comportamiento de endurecimiento de resistencia: Otro modelo histertico

comnmente usado de no degradacin es el modelo de endurecimiento por

resistencia, el cual es similar al modelo elastoplstico, excepto que la rigidez de

post-fluencia es mayor que cero (Ver figura 3), las aplicaciones inciales de este

modelo incluyen aquellas realizadas por Caughey (1960a, 1960b) y Iwan (1961).

La rigidez positiva de post-fluencia es tambin referida al endurecimiento de

esfuerzo porque muchos materiales exhiben ganancias en rigidez (Endurecimiento)

cuando estn sujetos a grandes niveles de esfuerzos despus de pasar por la

fluencia. El endurecimiento de los componentes, conexiones, y sistemas despus de

la fluencia inicial es causada por eventuales desplazamientos de toda la seccin del

elemento, o fluencia secuencial de los elementos que quedan en el sistema.

40

Figura No. 1-17 Modelo de endurecimiento de resistencia sin degradacin

Aunque muchos estudios haban considerado comportamientos elasto-plsticos y de

endurecimiento por resistencia, no fue hasta hace poco, que estudios estadsticos a

fondo, encontraron cantidades diferentes con respecto a los desplazamientos

mximos y fueron usados un alto rango de periodos de vibracin, un completo

rango de rigideces post-elsticas, y un largo nmero de movimientos ssmicos.

Muchos estudios recientes han entregado informacin cuantitativa de los efectos

promedios de la rigidez positiva post-fluencia en la respuesta y la variabilidad en la

respuesta para diferentes registros. Todos estn de acuerdo en que para estructuras

con periodos moderados y largos, la presencia de rigidez post-elstica positiva

entrega reduccin relativamente pequeas (menos del 5%) en el desplazamiento

mximo (Ruiz- Garcia y Miranda, 2003; Chopra y Chintanapakdee, 2004).

Comportamiento de degradacin de rigidez: Algunos componentes estructurales y

sistemas pueden exhibir algunos niveles de degradacin de rigidez cuando estn

41

sujetos a ciclos de descarga. Esto es especialmente cierto para componentes de

concreto reforzado sujetos a varios ciclos de carga y descarga. La degradacin del

concreto reforzado es usualmente el resultado de agrietamientos, perdida de

trabadura o de interaccin con alto esfuerzo de corte o con altos esfuerzos axiales.

El nivel de degradacin de rigidez depende de las caractersticas de la estructura.

(Propiedades del material, geometra, niveles de detallamiento de ductilidad, tipo de

conexiones), as como la historia de carga (intensidad en cada ciclo, nmero de

ciclos, secuencia de carga).

La siguiente figura muestra 3 modelos diferentes de degradacin de rigidez, en el

primer modelo la rigidez de carga y descarga es la misma, y la degradacin de

rigidez se da como incremento en el desplazamiento. En el segundo modelo la

rigidez de carga decrece como funcin del desplazamiento mximo, pero la rigidez

de descarga se mantiene constante e igual a la rigidez inicial. En el ltimo modelo,

las dos rigideces de carga y descarga se degradan como funcin del desplazamiento

mximo.

Para medir los efectos de degradacin de rigidez, muchos estudios han comparado

la respuesta mxima de la degradacin de rigidez con aquellos sistemas con

modelos elasto-plsticos y bilineales de endurecimiento de rigidez. (Clough 1966;

Clough and Johnston 1966; Chopra and Kan, 1973; Powel and Row, 1976; Mahin

and Bertero, 1976; Riddell and Newmark, 1979; Newmark and Riddell, 1980; Iwan

1980; Otani, 1981; Nassar and Krawinkler 1991; Rahnama and Krawinkler, 1993;

42

Shi and Foutch, 1997; Foutch and Shi, 1998; Gupta and Krawinkler, 1998; Gupta

and Kunnath, 1998; Medine 2002; Medina and Krawinkler, 2004; Ruiz-Garcia and

Miranda, 2005.

Figura No. 1-18 Modelos de histresis

Estos estudios han concluido que para estructuras de periodos cortos con modelos

de degradacin de rigidez experimentan un desplazamiento mximo que es; en

promedio, mayor que los casos realizados con sistemas con modelos histerticos

elastoplstico o bilineales de endurecimiento de rigidez. Los estudios anteriores

tambin han examinado los efectos de degradacin de rigidez en estructuras sujetas

a registros de movimiento en roca o en suelos estables. Ruiz-Garca and Miranda

(2006b) examinaron los efectos de la degradacin de rigidez en estructuras sujetas a

estas caractersticas, especialmente estructuras con periodos cortos y en el cual el

periodo predominante es el del suelo.

Comportamiento del Pinching: los componentes estructurales y las conexiones

presentan un fenmeno llamado pinching, cuando estn sujetas a ciclos de

descarga. El comportamiento de Pinching es caracterstico por una gran

43

reduccin de rigidez durante la recarga, y una recuperacin de la rigidez cuando el

desplazamiento es impuesto en la direccin opuesta, Esto se puede observar con

mayor claridad en la Figura No. 1-19.

Figura No. 1-19 Modelo de Pinching

Este comportamiento de Pinching es caracterstico del hormign armado, de

componentes de madera, de ciertos tipos de albaileras y de los marcos

arriostrados de acero estructural. En el concreto reforzado, el pinching es

tpicamente producido por las fisuras cuando el desplazamiento impuesto es en una

sola direccin. La recuperacin parcial de la rigidez ocurre cuando las fisuras son

cerradas durante el desplazamiento impuesto en la otra direccin. El nivel de

pinching depende de las caractersticas de la estructura (Ej. Propiedades del

material, geometra, detallamiento para nivel de ductilidad y las conexiones), as

como la historia de carga (Intensidad en cada ciclo, nmero de ciclos y la

secuencia de carga).

Bastantes estudios han demostrado que en estructuras de periodos moderados y

altos, el pinching o la combinacin del mismo con la degradacin de rigidez

44

tienen solo un pequeo efecto en la demanda mxima de desplazamiento (Otani,

1981; Nassar and Krawinkler 1991; Rahnama and Krawinkler, 1993; Shi and

Foutch, 1997; Foutch and Shi, 1998; Gupta and Krawinkler, 1998; Gupta and

Kunnath, 1998; Medina 2002; Medina and Krawinkler, 2004; Ruiz-Garcia and

Miranda, 2005).

Estos y otros estudios han mostrado que sistemas de periodos grandes y moderados

con un 50% de reduccin en la capacidad de disipacin de energa histertica

debido al pinching, experimentan un desplazamiento mximo, que en promedio,

es similar al de estructuras con comportamientos histerticos elastoplsticos o

bilineales de endurecimiento de rigidez. Esta observacin es particularmente

interesante porque es contraria a lo ampliamente generalizado en la que estructuras

con comportamiento elastoplstico o bilineal exhiben mejores comportamientos

que estructuras con pinching por la presencia adicional de capacidad de

disipacin histertica de energa.

Sin embargo los mismos estudios, tambin han mostrado que sistemas de periodos

cortos con Pinching experimentan desplazamiento peak que tienden a ser

mayores que esos experimentados por sistemas con comportamientos histerticos

elastoplstico o bilineales de endurecimiento de rigidez.

Degradacin de rigidez combinado con ciclos de degradacin de resistencia:

Muchos estudios han evaluado esta combinacin de parmetros (Gupta and

Kunnath, 1998; Song and Pincheira, 2000; Medina 2002; Medina and Krawinler,

45

2004; Ruiz-Garcia and Miranda, 2005; Chenouda, and Ayoub, 2007). Ejemplos de

este comportamiento se muestran a continuacin:

Figura No. 1-20 Modelos combinados de degradacin de rigidez y degradacin

cclica de resistencia (a) degradacin moderada de rigidez y degradacin cclica de

resistencia y (b) degradacin severa de rigidez y degradacin de resistencia cclica.

(Ruiz-Garcia and Miranda, 2005)

La figura (a) muestra un sistema con degradacin moderada de rigidez y

degradacin cclica de resistencia (MSD), y la figura (b) muestra un sistema con

degradacin severa de rigidez y degradacin cclica de resistencia (SSD). En estos

sistemas, la resistencia lateral es reducida como funcin de la demanda mxima de

desplazamiento as como la demanda de energa histertica. Estos estudios han

demostrado, que para sistemas de periodos moderados o largos con esta

combinacin de parmetros, tendrn un desplazamiento promedio, similar a los

46

sistemas evaluados con un comportamiento elastoplstico o bilineal de

endurecimiento de resistencia.

Diferencia entre degradacin de resistencia cclica y en el ciclo: El FEMA 440

identifica claramente esta distincin, ya que es muy importante porque las

conclusiones encontradas y observadas son muy diferentes. Respuestas dinmicas

con ciclos de degradacin de resistencia son generalmente estables, mientras que el

modelo de degradacin de resistencia en el ciclo puede llegar hacer dinmicamente

inestable.

La siguiente figura compara el comportamiento histertico de dos sistemas sujetos

al protocolo de carga de la figura No. 22. Este protocolo de carga comprende seis

ciclos completos (doce mitades de ciclo) con un incremento lineal de amplitud de

deriva de 0.8% en cada ciclo. El ciclo en la figura 21 (a) tiene una degradacin

cclica y el sistema de la figura 21 (b) tiene una degradacin en cada ciclo. Cuando

se somete a este protocolo de carga, ambos modelos histerticos exhiben similares

niveles de degradacin de resistencia y de rigidez, y similares comportamientos

globales. Su comportamiento bajo diferentes protocolos de carga, pueden llegar

hacer muy diferentes.

47

Figura No. 1-21 Comportamiento histertico para modelos sujetos al protocolo de

carga 1 con: (a) degradacin de resistencia cclica, (b) degradacin en cada ciclo.

Figura No.1-22 Protocolo de carga 1 usado para ilustrar los efectos de degradacin

de resistencia cclica y en cada ciclo.

Un segundo protocolo de carga, es mostrado en la Figura No. 23, idntico al primer

protocolo en los primeros 4 ciclos, pero durante el quinto ciclo se le impone un

desplazamiento adicional lateral de una razn de deriva de 7.0 %.

48

Figura No.1-23 Protocolo de carga para ilustracin de diferencias en degradacin

de resistencia y degradacin de resistencia en cada ciclo.

La siguiente figura compara el comportamiento histertico de los dos sistemas

sujetos a la carga mostrada. Inicialmente las respuestas son similares. Durante el

quinto ciclo y medio, la respuesta diverge. El modelo con degradacin cclica (a) es

capaz de sostener la resistencia lateral sin perderla durante el incremento de razn

de deriva. En contraste el modelo con degradacin dentro de cada ciclo (b),

experimenta una rpida perdida de resistencia en la medida que se incrementa la

razn de deriva (Para mayor detalle ver FEMA 440).

Figura No. 1-24 Resultados historia de carga, ejemplo.

49

Metodologa alternativa de Strut-tie para estructuras de hormign armado: El

ACI en el Apndice A introduce los conceptos fundamentales del modelo Puntal-

Tensor. Definindolo como un modelo de cercha de un elemento estructural, o de

una Regin-D de este elemento, hecho con puntales y tensores conectados en los

nodos, capaces de transferir las cargas mayoradas a los apoyos o hacia las regiones

B adyacentes (Apndice A ACI 318).

Figura No. 1-25 Descripcin del modelo puntal-tensor.

Una de las razones de la implementacin de este mtodo es porque las tcnicas

tpicas de anlisis por el mtodo de los elementos finitos son tpicamente complejas

y no son tan exactas en los estados post agrietamiento y post fluencia, debido a las

simplificaciones usadas para los modelos de los materiales en el hormign armado.

Esta metodologa es ampliamente usada no solo para el dimensionamiento de los

50

elementos, sino tambin para obtener la capacidad de transmitir la carga en el caso

de detalles en hormign armado.

La metodologa de Strut and Tie es simple de comprender, pero requiere suficiente

conocimiento en los patrones de cargas internas, el cual es dictaminado por el

arreglo de refuerzo, la geometra de los detalles y las condiciones de soporte y de

carga.

Algunas investigaciones (N.H.T. To, J.M. Ingham & B.J. Davidson 2003)

trabajaron en el comportamiento no lineal de tres vigas en voladizo de concreto

reforzado y tres uniones de puentes de hormign armado a escala real analizados

usando modelos de Strut-tie cclicos no lineales. Los modelos de Strut and Tie

(STM) son una representacin discreta del campo de esfuerzos desarrollada en

estructuras de hormign armada cuando estn sujetas a la accin externa.

Para la investigacin anteriormente nombrada se emple el programa Ruaumoko

(Carr 1998), con los adecuados modelos de esfuerzo-deformacin para el concreto

y el acero. Es muy importante resaltar que el objetivo de esa investigacin no fue

obtener una rplica exacta del mecanismo de transferencia de esfuerzos cuando una

estructura est sujeta a la accin cclica. El objetivo de esta investigacin fue

representar solo una simple herramienta de diagnstico para los anlisis ssmicos y

el diseo de estructuras complicadas.

51

Idealizacin uniaxial del modelo STM: El desarrollo del modelo fibra usado en

STM est basada, para el caso de la investigacin descrita, por Tjokrodimuljo

(1985), quien ensayo setenta prismas de concreto reforzado con cargas axiales

cclicas, para investigar la respuesta de histresis del hormign y el refuerzo en las

zonas flexurales de hormign armado de vigas y columnas. Tjokrodimuljo encontr

una tpica forma para la relacin de esfuerzo vs deformacin y que se muestra en la

figura 1-26.

a. Respuesta de elementos de b. Comportamientos Tie

Hormign en los elementos de acero

Donde fd es la resistencia efectiva a la compresin de los Strut de hormign y fdt

es la resistencia a la tensin efectiva de los Ties de acero

Figura No. 1-26 propiedades de esfuerzo de formacin puntal-tensor

52

En esta figura se ilustra el contraste de los Efectos de esfuerzos de contacto por el

esfuerzo a compresin que no es cero junto con el cero de deformacin en el patrn

de carga. Esto ocurre por el efecto de trabazn de las partculas en las grietas del

concreto y su responsabilidad parcial por la elongacin de los miembros flexurales

cuando estn sujetos a acciones cclicas (Fenwick et al 1996). Para replicar este

comportamiento, el elemento Tie de comportamiento elastoplstico perfecto y

que es puesto paralelo con el elemento Strut que fue desarrollado usando el

modelo histertico de Strut de albailera desarrollado por Crisafulli 1997. Las

caractersticas de esfuerzo-deformacin de estas se muestran en la figura 1-27.

c) Elemento Strut d) Respuesta analtica combinada del

tie and Strut

Figura 1-27. Propiedades del modelo puntal-tensor de esfuerzo-deformacin.

53

La rigidez y la resistencia de los Tie de concreto fueron escogidos para ayudar a

proveer los efectos de Esfuerzos de contacto y de Rigidez de tensin. La

resistencia de compresin para el esfuerzo de contacto fue escogida como 0.05fd

(Douglas (1996)). Y la resistencia a tensin de los Ties de hormign fue tomada

como 0.5fdt, donde fd es la resistencia efectiva a la compresin de los Strut de

hormign y fdt es la resistencia a la tensin efectiva de los Ties de concreto. El

comportamiento histertico de estas combinaciones es mostrado en la Figura 1-27d.

Procedimiento de formulacin del STM: se ha propuesto (Non-linear Strut and Tie

analysis of concrete frames, Nicholas H. T. To, Sri Sritharan M. ASCE, Jason M.

Ingham M. ASCE) dos procedimientos para modelar esta metodologa, el primero

de ellos es el denominado Formulacin Monotnica, usada para el caso de

anlisis de Push Over muy til para la prctica comn en las oficinas de diseo y

sus facilidades para la identificacin de las secuencias de falla de los componentes

del sistema estructural y del detallado del refuerzo. Por otro lado se encuentra la

formulacin de los modelos cclicos desarrollados primeramente para predecir la

respuesta de sistemas estructurales sujetos a ciclos de carga y descarga y anlisis

dinmicos.

El procedimiento completo del modelamiento del STM se describe con detalle en

To et al. (2003). La estrategia empleada en la formulacin del procedimiento de

STM requiere dividir la estructuras en regiones separadas. Existen dos tipos de

regiones, B y D. B (de Bernoulli), estas son regiones donde convencionalmente

54

la teora flexural se mantiene y D (de Disturbed), donde la distribucin interna de

esfuerzo deformacin esta significativamente perturbada por las discontinuidades

en la geometra fsica de las acciones externas aplicadas. El mecanismo de

transferencia de fuerzas en estas dos zonas es significativamente diferente, cada una

es independientemente analizada y diseada usando diferentes aproximaciones.

La formulacin del modelo adopta el patrn de fuerzas que ocurre en las regiones B

en el primer estado de lmite de fluencia (siendo este el caso en el que fluye el

refuerzo extremo sometido a tensin o cuando las fibras a compresin del hormign

alcanzan una deformacin de aproximadamente 0.002) en combinacin con el

patrn de fuerzas que se desarrolla en las regiones D en el estado ltimo (cuando

los componentes estructurales alcanzan su capacidad mxima de carga y

experimentan significativas deformaciones inelsticas y daos estructurales con la

consecuente degradacin de resistencia). El uso de esta combinacin de patrones de

fuerza en los diferentes estados es preferible porque facilita la posibilidad de usar

un solo modelo para el anlisis en las regiones donde se alcanzan estados elsticos

e inelsticos.

Regiones B: Para regiones denominadas de este tipo en estructuras como vigas y

columnas, el anlisis de las secciones sometidas a las fuerzas a compresin estn

basadas en la compatibilidad Bernoulli de la condicin que las secciones planas

permanecen planas durante la accin de los esfuerzos. Los resultados analticos de

fuerza de la seccin son usados para determinar las reas efectivas y la resistencia

55

de los miembros del modelo. Los elementos del modelo son localizados con

respecto al centroide de fuerzas medidos a partir del primer estado de fluencia para

cada direccin de la accin. El primer estado de fluencia est definido por el

comienzo de la fluencia del refuerzo en el hormign que alcanzan un valor de

deformacin de 0.002, cualquiera que ocurra primero.

Figura No. 1-28 Modelo STM de viga en voladizo. (Modelo de N.H.T. To, J. M.

Ingham y B.J. Davidson)

En la figura 28, se observa una viga en voladizo modelada con la metodologa

STM, la cual adicionalmente es una tpica estructura con clara representacin de la

regin B. Debe notarse que el grado de inclinacin de los elementos diagonales,

estn entre 31 y 59 grados, de acuerdo a CEB-FIP (1978). As mismo se ilustra en

esta figura los elementos de fibra uniaxial A, que representan la zona flexural. Por

otro lado los elementos B son los encargados de modelar el refuerzo transversal y

los tipo C son elementos construidos con los denominados Strut de hormign

56

organizados junto con los Tie de hormign para representar las zonas diagonales

del concreto.

Regiones D: Las estructuras donde se debe considerar regiones D. tal como nudos,

deben ser modificadas a partir de los modelos monotnicos reportados en la

literatura (Ingham et al. (1997)), debido a la alta irregularidad en la distribucin de

esfuerzos no es posible evaluar esta zona a partir de los mtodos convencionales de

la mecnica de slidos, adicionalmente estas zonas estn sujetas a combinaciones

de flexin, corte y de carga axial. La resistencia experimental medida del refuerzo

ha sido usada como la resistencia efectiva de los elementos Struts-Ties, mientras

que la resistencia efectiva de los Struts se determina usando la tabla 1 de acuerdo

a las condiciones anticipadas de los Strut cuando estn sujetos a acciones cclicas

(Sritharan and Ingham (2002)). Ms an, 0.5(fc)0.5 (Mpa) (Priestley et al. (1996))

ha sido usada para analizar la resistencia efectiva de los Ties de hormign. Todos

los miembros son localizados en el centroide de las fuerzas del correspondiente

mecanismo de transferencia de fuerzas.

RESISTENCIA EFECTIVA DE

LOS STRUT CONDICIONES DE LOS STRUT

0.68fc

Este valor es adoptado de los Struts localizados en

regiones donde se espera poco agrietamiento. Un

ejemplo de esta aplicacin es en nudos preesforzados.

57

0.51fc

Este valor es apropiado para Strut de concreto cuando

el refuerzo cercano no est sujeto a elevado deformacin

de endurecimiento. ( 0.01).

0.34fc * Este es el valor mximo de esfuerzo permisible para

Strut de concreto cuando hay un potencial desarrollo

de significativa deformacin inelstica ( > 0.02) en las cercanas del refuerzo.

* Para 0.01 < < 0.02, considera una interpolacin lineal para obtener los esfuerzos permisibles apropiados.

TABLA 1-2 Resistencia efectiva de elementos Strut de hormigones aplicadas en

regiones D de sistemas de nudos.

1.3 Contenido del estudio

El objetivo principal de este estudio es la realizacin del anlisis inelstico de una

serie de estructuras analizadas y ensayadas experimentalmente previamente en

diferentes institutos mundiales. Este anlisis fue realizado bajo los programas

comerciales usados actualmente y bajo las metodologas usuales y las nuevas

metodologas de puntal-tensor.

58

En el primer captulo se realiza la implementacin matemtica del marco de

concreto reforzado experimentalmente analizado bajo desplazamientos controlados

por Sozen y Gulkan en 1971. Se estudia bajo modelos aplicando el software

comercial SAP 2000 y bajo la metodologa de puntal tensor. Adicionalmente

despus de estos dos anlisis se realiza un estudio usando Pushover. Posteriormente

se decide realizar un modelo hbrido en el cual se postula una nueva propuesta de

modelamiento usando el mtodo puntal-tensor en las zonas de posible plasticidad y

elementos frames para las otras regiones.

En el segundo captulo se realiza el estudio de la viga en voladizo de Bertero,

Popov y Wang de 1974. Inicialmente se realiza la evaluacin del modelo

matemtico usando metodologas tradicionales en SAP 2000 y posteriormente se

realiza la evaluacin usando el mtodo del puntal tensor. Y tal como se hizo en el

primer modelo, se plantea un modelo hbrido en el cual se aplican las mejores

resultados obtenidos en los dos primeros modelos de prueba.

El captulo tercero trata sobre el anlisis del estudio en simulador ssmico de un

marco de hormign armado, P. Hidalgo y .R. W. Clough en 1974. Igualmente se

realiza la evaluacin del modelo matemtico usando metodologas tradicionales en

SAP2000 y la evaluacin del modelo matemtico usando metodologas del puntal-

tensor y un modelo hbrido que aplique los dos conceptos anteriores.

59

2. IMPLEMENTACIN MATEMTICA DEL MARCO DE CONCRETO

REFORZADO EXPERIMENTALMENTE ANALIZADO BAJO

DESPLAZAMIENTOS CONTROLADOS POR SOZEN Y GULKAN-1971

Con el fin de probar las capacidades del software SAP2000 v.11.0.0 en cuanto a anlisis

inelstico se refiere, se usar para ello el marco en hormign armado a escala reducida

probado por Gulkan y Sozen en la Universidad de Illiniois en 1971, sujeto a

desplazamiento cclico controlado. Dado que para ese caso se usaron varias series, se

tomar la serie F como representativa de la comparacin, se debe tener en cuenta que se

trata de uno de los ensayos sobre la estructura virgen (Ver figura No. 2.2).

En primera instancia se definen la geometra y configuracin de los elementos tal

como lo define la siguiente figura:

Figura No. 2.1 Esquema representativo del marco

60

Hay que notar que la resistencia lograda por el marco durante los ensayos fue

aproximadamente un 10% menor a la esperada. Lo mismo ocurre con la rigidez inicial,

lo que segn los autores puede ser parcialmente explicada con la presencia de pequeas

fisuras en las esquinas de todas las muestras analizadas. Ambas circunstancias se

verifican tambin en los modelos analizados.

A continuacin se muestra la historia de desplazamiento usada:

Figura No. 2.2 Historia de desplazamientos controlados. Corresponde a la serie F

61

2.1 Evaluacin del modelo matemtico usando metodologas

tradicionales en SAP2000 V. 11.

2.1.1 Evaluacin del modelo matemtico usando Hinges como

elemento inelstico

En primera instancia se especifican al software SAP2000 los materiales a usar.

Para ello, y gracias a los resultados experimentales de ensayos de cilindros y del

acero de refuerzo se introdujeron las grficas correspondientes a esfuerzo-

deformacin de los mismos.

Posteriormente se definen los elementos Rotulas Plsticas teniendo en cuenta

que se toman para cada columna y viga con deformacin controlada, esto se puede

ver con ms claridad en la Figura 2.3, donde se ha colocado una impresin de

pantalla con el men inicial de eleccin de Hinges Properties, una vez elegida

esta opcin en el men descrito anteriormente se adicionan como add Properties

los nombres de los elementos a ser usados. Para este caso y dado el uso de

elementos columnas y vigas se decide tomar como nombres de las rtulas plsticas

Col y Vig. Los elementos Hinges llamados como col tienen como caracterstica

que son elementos sometidos a cargas axiales y flexin ver figura 2.4 y esto es

definido en la opcin de P-M3 Interaction, el SAP 2000 tiene la posibilidad de

involucrar estos dos campos de esfuerzos. Adicionalmente, se puede observar en

62

las opciones que se tiene en SAP2000 para el caso del elemento col, que se puede

elegir entre el tipo de especificacin del hinge, para este caso se toma la alternativa

de Moment Curvatura, ya que permite definir la longitud de la rotula. Otro de los

temas de los cuales se puede elegir, es las condiciones de dependencia de simetra

o no simetra para el momento curvatura, la cual fue elegida como condicin

simtrica de momento-curvatura por la simpleza del comportamiento de esfuerzos

en este caso en particular, una vez elegidos los parmetros anteriores y en la parte

inferior de la pantalla (ver figura 2.4) se modifica la curva de datos de momento

curvatura de acuerdo a la informacin presentada por el ensayo experimental

SAP2000 una vez tomada esta casilla, abre otra ventana donde el usuario puede

introducir 5 puntos (A, B, C, D, E) de la curva anteriormente descrita.

63

Eleccin de las rtulas plsticas

Figura No. 2.3 Eleccin de rotulas plsticas en SAP2000

64

Definicin rtula plstica columnas

Figura No. 2.4 Definicin rotulas plticas de columnas en SAP2000

El valor de B en curvatura no se puede modificar. Y el trmino denominado SF, se refiere a safe factor, que en este caso fue escogido como el momento de fluencia. Y para el caso de curvatura fue elegida la curvatura de fluencia y.

65

En el caso de los parmetros para las hinges de las vigas, se toma la eleccin de

Vig de la figura 2.3 y dado que se trata de un elemento sometido principalmente a

flexin, entonces se define como deformacin controlada sometida a M3 o

momento en el eje fuerte. Posteriormente y tal como sucedi para el caso de la

definicin de la rtula en las columnas se introducen los puntos de momento vs

rotacin para definir la rtula plstica de las vigas (Ver Figura 2.5)

Figura 2.5 Definicin de rtula plstica en la viga

66

Definicin de la seccin transversal:

Figura No. 2.5Definicin rotulas plticas vigas SAP2000

Ahora bien, con respecto a la seccin transversal, todas las dimensiones y

propiedades fueron definidas por medio del mdulo SD section data que dan la

posibilidad de introducir las relaciones esfuerzo vs deformacin de cada material

constituyente, en este caso (Acero y Hormign). Es importante tambin resaltar

que los estribos dan un confinamiento adicional a las secciones por lo que se

define este parmetro por medio del modelo de Mander (Mander, J.B., M.J.N.

Priestley, and R. Park 1984. Theoretical Stress-Strain Model for Confined

Concrete. Journal of Structural Engineering. ASCE. 114(3). 1804-1826).

En la figura 2.6 se puede observar la definicin de las Secciones transversales.

Cabe destacar que en SAP 2000 es posible definir la seccin transversal

geomtrica pero a su vez se puede incluir el refuerzo transversal. En la figura en

67

mencin se observa las ventanas referenciadas a la definicin geomtrica de la

seccin transversal de la columna, se introduce la opcin de SD Section data y

posteriormente se introduce la alternativa de Section Designer, desde aqu se

abre una nueva ventana donde el usuario puede introducir la figura geometrica

como si se tratara de un programa del tipo CAD. Adicionalmente cuando se desean

definir las propiedades de dicha seccin se puede definir cada posicin del

refuerzo y lo ms importante se puede definir la curva constitutiva del hormign y

del acero. Ver figura 2.6. Si bien es cierto la definicin de la curva est basada en

parmetros establecidos de acuerdo a modelos, sigue siendo de gran ayuda para el

usuario.

As como en el caso de la columna tambin se ha definido las caractersticas de la

seccin de la viga (Ver figura 2.7) donde igualmente se introduce en el SAP 2000

la opcin de SD Section y se define las dos curvas constitutivas, del acero y del

hormign.

68

Figura No. 2.6 Definicin secciones transversales en SAP2000

69

Definicin seccin de la viga

Figura 2.7 Definicin seccin de la Viga SAP2000

70

El ejercicio se hizo bajo una historia de desplazamientos controlados, por lo que es

necesario definirlo de esta forma en SAP2000. Es importante recalcar que en el

software SAP2000 v.11.01 es necesario restringir el grado de libertad de

desplazamiento en la direccin de aplicacin del desplazamiento cclico, con el fin

de que se aplique fcilmente la funcin impuesta en el experimento. Igualmente se

le aplica un desplazamiento unitario en este nodo para que haga las veces de un

load case o carga esttica, pero que en realidad ser una carga seudoesttica.

Figura 2.8 Definicin de la historia de carga en SAP2000

71

Posteriormente se varia la intensidad de carga amplificando por un

factor de carga definida arriba (Figura 2.8).

Posteriormente y teniendo el anlisis de carga definido, se asignan a cada elemento

Viga o Columna la posicin de las rtulas plsticas o lugares de mayor

probabilidad de ocurrencia de plasticidad por efecto de la excitacin externa,

obteniendo el siguiente esquema representativo.

Figura No. 2.9 Esquema ubicacin de rotulas plsticas

72

Figura No. 2.10 Respuesta total de todo el sistema estructural para el caso del

modelo con rotulas plsticas.

Adicionalmente a la respuesta total obtenida se realiz un anlisis del

comportamiento de un ciclo de carga para el modelo de rtulas plsticas.

Obsrvese (figura No. 2.10) lo interesante que el modelo estructural est

aproximadamente 10% por debajo del experimental en trminos de corte basal

(Ver anexo para ms detalle), lo que implica una resistencia adicional del marco

experimental

Apliquemos solo un ciclo de carga como se observa y se obtiene el siguiente

resultado

73

Figura No. 2.11 Primer ciclo de desplazamiento controlado

Figura No. 2.12 Corte basal para el primer ciclo

74

975.4

1838.1 1875.2

1875.7

1876.2

1876.6

1877.1

1877.6

1878.1

1878.6

1879.1

1879.6

1880.1

1880.6

1881.0

330.0

1881.8

1882.61884.01884.81885.91887.0

2500.0

2000.0

1500.0

1000.0

500.0

0.0

500.0

1000.0

1500.0

2000.0

2500.0

0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

CORT

EBA

SAL(Kg)

DESPLAZAMIENTO(cm)

OUTPUTCORTEBASALVSDESPLAZAMIENTO

NOLINEAL

Figura No. 2.13 Corte basal vs desplazamiento para el primer ciclo

En la grfica No. 213 se puede observar que la estructura analizada entra en rango

inelstico en 1829.1 Kg.

Posteriormente se realiz un estudio comparativo entre el sistema estructural sin

considerar los elementos Rtulas plsticas, es decir, la estructura como sistema

totalmente elstico y el modelo de rtulas plsticas y se grfica en el mismo plano

obteniendo lo siguiente:

75

975.4

1838.1 1875.2

1875.7

1876.2

1876.6

1877.1

1877.6

1878.1

1878.6

1879.1

1879.6

1880.1

1880.6

1881.0

330.0

1881.8

1882.61884.01884.81885.91887.0

975.4

1950.8

2926.1

3901.6

4876.9

5852.3

6827.7

7803.1

8778.5

9753.9

10729.2

11704.7

12680.0

13655.4

14630.8

12420.0

10209.0

7998.3

5787.2

3576.5

1365.5845.2

4000.0

2000.0

0.0

2000.0

4000.0

6000.0

8000.0

10000.0

12000.0

14000.0

16000.0

0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

CORT

EBA

SAL(Kg)

DESPLAZAMIENTO(cm)

OUTPUTCORTEBASALVSDESPLAZAMIENTO

NOLINEALLINEAL

Figura No. 2.14 Comparacin respuesta elstica e inelstica para el primer ciclo

Si se aplica un estado de desplazamiento totalmente esttico con un valor de 0.762

cm que corresponde al mximo del primer ciclo resulta una cortante basal de

14864.89 Kg. que equivale a un 1.57% del valor obtenido por el anlisis en el

tiempo lineal. La diferencia se presenta debido a que el tiempo de aplicacin del

desplazamiento debera ser ms largo, para que realmente se considere un modelo

seudoesttico.

Si se realiza un anlisis de Pushover del prtico con control de deformaciones se

obtiene lo siguiente

Se observa igualmente que 1829.1 Kg es el valor lmite mximo de fuerza para que

la estructura deje de comportarse linealmente y pase a tener un comportamiento

inelstico. Comparado contra el corte basal aproximado del modelo experimental

76

se obtiene 0.0071 % de diferencia, lo que demuestra nuevamente el buen

comportamiento del modelo, de acuerdo a los pa