diseño est acero

8/15/2019 Diseño Est Acero

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Fundamentos Elementalespara el An álisis y Diseño de Estructuras de

Acero

Diego Miramontes De Le´ on


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Índice general

1. Introducci´ on 7

1.1. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Teoŕıas de dise ño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.1. Diseño por esfuerzos permisibles . . . . . . . . . . . . . 81.2.2. Diseño por factores de carga y resistencia . . . . . . . . 91.2.3. Diseño plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Tensión 152.1. Diseño de miembros en tensi ón . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1. Diseño por esfuerzos permisibles . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. Diseño por factores de carga y resistencia . . . . . . . . 16

2.2. Estructuras hiperest´ aticas en tensi ón . . . . . . . . . . . . . . 212.2.1. Solucíon elástica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.2. Comportamiento elasto-plástico . . . . . . . . . . . . . 242.2.3. Análisis plástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Flexión 253.1. Introduccí on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Diseño por esfuerzos permisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.1. Especicacíon AISC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Diseño por factores de carga y resistencia . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1. Resistencia a exión, especicación AISC . . . . . . . . 29

3.3.2. Secciones compactas con exión al rededor del eje menor 313.3.3. Secciones no compactas con exión en su eje mayor . . 313.3.4. Secciones no compactas exionadas al rededor de su

eje menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3.5. Ángulos dobles y Tes exionadas al rededor de su eje

mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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4 ÍNDICE GENERAL

3.3.6. Resistencia a exíon, especicaciones NTC-DCEM . . . 33

3.3.7. Resistencia de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4. Resistencia a fuerza cortante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.4.1. Criterio por esfuerzos permisibles . . . . . . . . . . . . 393.4.2. Diseño por factores de carga y resistencia, especica-

ción AISC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4.3. Diseño por factores de carga y resistencia, especica-

ción NTC-DCEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5. Soporte lateral en vigas (atiesadores) . . . . . . . . . . . . . . 45

3.5.1. Atiesadores, especicación AISC . . . . . . . . . . . . . 453.5.2. Atiesadores, especicación NTC-DCEM . . . . . . . . . 48

4. Compresi´ on 514.1. Diseño por esfuerzos permisibles . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. DFCR, especicaci ón AISC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.1. Pandeo por exión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.2.2. Pandeo por torsi ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2.3. Pandeo por exión-torsi ón . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2.4. Secciones asimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.2.5. Pandeo local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3. DFCR, especicaci ón NTC-DCEM . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.1. Estado ĺımite de inestabilidad por exi´ on . . . . . . . . 594.3.2. Pandeo por torsi ón o por exo-torsión . . . . . . . . . 60

4.4. Flexión y biexión compuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4.1. Diseño por esfuerzos permisibles . . . . . . . . . . . . . 614.4.2. Diseño por factores de carga y resistencia . . . . . . . . 62

5. Placas 715.1. Ecuacíon de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.1. Método de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.1.2. Método de Diferencias nitas . . . . . . . . . . . . . . 825.1.3. Método de los elementos nitos . . . . . . . . . . . . . 835.2. Diseño de trabes armadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.1. Diseño por esfuerzos permisibles . . . . . . . . . . . . . 855.2.2. Diseño por factores de carga y resistencia AISC . . . . 885.2.3. Diseño por factores de carga y resistencia NTC . . . . 94


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ÍNDICE GENERAL 5

6. Conexiones 103

6.1. Conexiones remachadas o atornilladas . . . . . . . . . . . . . . 1046.1.1. Pernos en tensi ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.1.2. Combinacíon tensi ón cortante . . . . . . . . . . . . . . 108

7. Placas base 1117.1. Placas base cargadas axialmente . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.1.1. Diseño por factores de carga y resistencia AISC . . . . 1117.2. Placas base en exión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.2.1. Diseño por FCR AISC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.3. Pernos de anclaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.3.1. Estado ĺımite por tensi´ on del anclaje . . . . . . . . . . 1167.3.2. Estado ĺımite de falla por extracci´on . . . . . . . . . . 116


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6 ÍNDICE GENERAL


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Caṕıtulo 1

Introducci´ on

Las estructuras de acero presentan algunas ventajas con respecto a otrosmateriales. El proceso constructivo diere del empleado con otros materialesy su análisis y diseño también. El acero suele considerarse como un materialhomogéneo e isotr ópico, y su diseño requiere un proceso determinado paracada tipo de solicitaci ón. En este texto se analiza la tensi´on, compresión,cortante, exi ón y torsión por separado, correspondiendo en la mayoŕıa de loscasos a elementos estructurales determinados, por ejemplo, barras, columnas,vigas, placas, etc. El material incluye el an´alisis y diseño de trabes armadasy marcos, en los que deben incluirse los efectos locales y de pandeo.

1.1. ObjetivoEl diseño estructural tiene por objetivo satisfacer los requisitos de resis-

tencia, servicio y economı́a.

El requerimiento de resistencia se reere a la integridad general dela estructura sometida a condiciones de carga extrema. Se espera quela estructura soporte sobrecargas ocasionales sin ocasionar desastresseveros y daño durante su vida útil.

El servicio se reere a las propiedades de funcionamiento de la estruc-tura relacionadas con su apariencia, mantenimientoy durabilidad bajocondiciones de carga normales o de servicio. La deexión, vibraci ón,deformaciones permanentes, agrietamiento y corrosi´ on son algunas con-sideraciones de diseño asociadas al servicio.

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8 CAP ́ITULO 1. INTRODUCCI ÓN

La econoḿıa se relaciona con todos los conceptos como el material,

construcci ón y costos de mano de obra requeridos por el diseño, fabri-cación, erección y mantenimiento de la estructura.

1.2. Teoŕıas de dise˜ noEn general existen tres teoŕıas :

Diseño por esfuerzos permisibles

Diseño por factores de carga y resistencia

Diseño plástico

1.2.1. Dise˜ no por esfuerzos permisibles

Esta teorı́a se basa en una formulaci´ on elastica lineal, y se a empleado du-rante muchas décadas para el dise˜ no de edicios y puentes. Aun sigue siendopreferida por ingenieros estructuristas relacionados con el dise˜ no de edi-cios de acero. En el diseño por esfuerzos permisibles o esfuerzos de trabajo,indexesfuerzos de trabajo los esfuerzos calculados en miembros bajo cargasde servicio son comparados con algunos esfuerzos prestablecidos llamadosesfuerzos permisibles . Estos esfuerzos son a menudo expresados como unafunción del esfuerzo de uencia F y , o del esfuerzo de tensión F u del materialdividido por un factor de seguridad. El factor de seguridad se agrega paratomar en cuenta los efectos de sobrecargas, baja resistencia y aproximacio-nes usadas en el análisis estructural. El formato general para el dise˜no poresfuerzos permisibles tiene la forma :

RnF.S.

=m

i=1Qni (1.1)

Donde :Rn =Resistencia nominal del elemento estructural expresado en unidades de

esfuerzo.Qni =Esfuerzo de servicio o de trabajo calculado con la carga de servicio deltipo i aplicada.F.S.=Factor de seguridad, donde i es el tipo de carga (muerta, viva, viento,etc).m=N úmero de tipos de carga considerados en el diseño.


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1.2. TEOR ́IAS DE DISE ˜ NO 9

1.2.2. Dise˜ no por factores de carga y resistencia

Probablemente puede considerarse como un procedimiento de dise˜ no ba-sado en estados ĺımite . Un estado ĺımite se dene como una condición en lacual la estructura o un elemento estructural se vuelve inseguro (por ejemplo,excedencia de un esfuerzo ĺımite) o inservible para la funci ón para la cualfue diseñada (por ejemplo, violaci ón de un estado ĺımite se servicio). En unestado ĺımite, la estructura o un elemento estructural se dise˜ na de acuerdoa sus ĺımites de utilidad quienes pueden ser de resistencia o de servicio. Enel desarrollo del diseño por factores de carga y resistencia (DFCR), tanto losefectos de las cargas como el de las resistencias se consideran como variablesaleatorias. Sus variaciones e incertidumbres se han representado por curvasde distribuci ón de frecuencias. El diseño se considera satisfactorio de acuerdoal criterio de resistencia, si la resistencia excede al efecto de las cargas porun margen adecuado.

Figura 1.1: Distribuci ón de frecuencias para cargas y resistencias

Teóricamente la estructura no fallar´ a a menos que el efecto de la cargaQ exceda la resistencia R, lo cual se representa por el área sombreada en lagura 1.1.

Entre m ás pequeña sea esta área menor ser á la probabilidad de que laestructura falle. En el dise ño actual se aplica un factor de resistencia φ a laresistencia nominal de la estructura para tomar en cuenta cualquier incerti-


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Cuadro 1.1: Factores de carga y combinaciones

1.4D1.2(D+F+T)+1.6(L+H)+0.5( Lr o S o R)

1.2D+1.6( Lr o S o R)+(0.5L o 0.8W)1.2D+1.3W+0.5L+0.5( Lr o S o R)

1.2D+1.0E+0.5L+0.2S0.9D+(1.3W o 1.0E)

dumbre asociada con el c álculo de la resistencia y un factor de carga se aplicaa cada tipo de carga para tomar en cuenta las incertidumbres asociadas en elcálculo de las magnitudes de las cargas. Dependiendo del reglamento usado,se aplican diferentes factores de carga para reejar el grado de variación delas incertidumbres asociadas con los tipos de carga. En general, se utiliza unfactor de carga menor para una carga más predecible y viceversa. Matem áti-camente el formato para el Dise ño por Factores de Carga y Resistencia es:

φRn ≥m

i=1

γ iQni (1.2)

Donde :φRn representa la resistencia de dise ño y

mi=1 γ iQni representa la resistencia requerida o el efecto de la carga para una

combinación dada de cargas. La tabla 1.2.2 muestra ejemplos de combina-ciones dadas por la ASCE 1998. Para un dise ño seguro, se deben investigartodas las combinaciones y dise ñar con el peor escenario.

D=carga muertaE=carga por sismo

F=carga por uidosH=carga debida al peso del suelo y presión del suelo y aguaL=carga vivaLr carga viva en azoteaR=carga por lluviaS=carga por nieve


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T= carga por autodeformaci´ on

W=carga por vientoNota.- El factor de carga viva en la 3a, 4a y 5a combinaci ón será igual a 1.0para cocheras, áreas para reuniones p úblicas y todas las áreas donde la cargaviva sea mayor a 4.79kN/m 2

1.2.3. Dise˜ no pĺastico

En este método se hace uso del hecho que las secciones tienen una reser-va en resistencia m ás allá de la condición de uencia. Cuando una secci ónest á en exión, la uencia en la sección transversal ocurre de manera progre-siva, comenzando por las bras m ás elejadas del eje neutro y terminando enlas bras más cercanas a él. Este fen ómeno de uencia progresiva, referidocomo plasticaci´ on , signica que la sección no falla a la primera uencia.El momento adicional que la secci ón transversal puede soportar en excesodel momento correspondiente a la primera uencia vaŕıa, dependiendo de laforma de la sección transversal. Para calcular esta reserva en capacidad, seusa un término llamado factor de forma , denido como la relación entre elmomento pl ástico y el momento de uencia. El momento pl ástico provoca laplasticaci ón completa de la sección transversal, originando una articulaci´ onplástica. El momento de uencia provoca únicamente la uencia de las brasextremas. El factor de forma para secciones I roladas en caliente sujetas aexión al rededor de su eje fuerte tiene un valor de 1.15. El valor es de 1.50cuando la sección se exiona al rededor de su eje débil.

Para una estructura est´ aticamente indeterminada, la falla no ocurre alaparecer la primera articulací on plástica. Después de la uencia completa dela sección transversal, ocurre una redistribuci´ on de momentos, en la cual laporción de la estructura quien no ha llegado a la uencia, continúa soportan-do alguna carga adicional. La falla ocurre s ólo cuando un número sucientede secciones han plasticado, form ándose más articulaciones pl ásticas, conlo que la estructura se hace inestable. Cuando el número de articulaciones

plásticas es suciente para provocar la falla estructural, se forma un meca-nismo de colapso plástico.En el diseño plástico, el factor de seguridad se aplica a las cargas, para

obtener cargas factorizadas. Se dice que el dise ño ha satisfecho el criterio deresistencia si el efecto de las cargas no excede la resistencia plástica nominaldel elemento estructural. El diseño plástico tiene la forma :


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Rn ≥γ m

i=1Qni (1.3)

Donde :Rn = Resistencia pl ástica nominal del miembroQni = Efecto nominal de las cargas del tipo i γ = Factor de cargai = Tipo de cargam = n úmero de tipos de carga.

En el diseño de edicios de acero, el factor de carga está dado por la espe-cicación AISC como 1.7 si Qn consiste solamente de cargas gravitacionales

muertas y vivas , y 1.3 si Qn consiste de cargas gravitacionales muertas yvivas actuando junto con cargas por viento o sismo.

En la propuesta de Normas técnicas complementarias para el Dise˜ no yConstrucci ón de Estructuras Metálicas (NTC-DCEM) del 2001, el criteriode diseño propuesto incluye tanto métodos el´ asticos como plásticos. En estoscriterios se deben revisar diferentes estados ĺımite de falla y de servicio. Parael análisis y diseño se considerarán dos tipos de estructuras :

Tipo 1Marcos rı́gidos o estructuras cont́ınuas, en las que se consideran nudos

ŕıgidos. Son aplicables métodos elásticos o plásticos cuando se satisfacenlos siguientes requisitos :

1. El valor mı́nimo garantizado del esfuerzo de uencia F y no esmayor que el 80 % de su esfuerzo mı́nimo de ruptura F u ni que4500kg/cm 2 (450MPa).

2. La curva esfuerzo-deformación debe garantizar la redistribuciónde momentos. Para ello debe presentar una zona de cedencia, dedeformación creciente para un esfuerzo constante correspondientea un alargamiento máximo no menor de 1 %, una zona de endure-

cimiento por deformaci ón, y el alargamiento correspondiente a laruptura no debe ser menor de 20 %.

3. Las relaciones ancho/grueso de los perles cumplen los requisitosde las secciones tipo 1 o 2 cuando los efectos śısmicos no soncŕıticos, y el de las secciones tipo 1 cuando lo son (sección 2.3.1NTC-DCEM).


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4. Los miembros están contraventeados lateralmente (secci´ on 3.3.2.1

NTC-DCEM).5. Se colocan atiesadores dobles, en los dos lados del alma, en las sec-

ciones de los miembros quienes reciben cargas concentradasen lasque aparezcan articulaciones plásticas en el eventual mecanismode colapso.

6. Ninguno de los miembros de la estructura que interviene en elmecanismo de colapso está sometido a cargas que puedan producirfalla por fatiga, ni son posibles fallas de tipo fr ágil ocasionado porcargas de impacto, bajas temperaturas u otros factores.

7. Se cumplen las condiciones indicadas en las secciones 1.5.1.2 y1.5.1.3 para estructuras diseñadas pl ásticamente.

Tipo 2Estructuras formadas por miembros unidos por conexiones quienes per-miten rotaciones relativas, y quienes son capaces de transmitir la to-talidad de las fuerzas normales y cortantes, y no más del 20% de losmomentos resistentes de dise ño de los miembros considerados. Las es-tructuras tipo 2 pueden usarse en :

• Elementos secundarios

• En la estructura principal si se usan :◦ Muros◦ Contraventeos◦ Marcos ŕıgidos◦ Lo anterior combinado con losas o diafragmas horizontalespara resistir las fuerzas horizontales.

Métodos de análisis para estructuras tipo 1

Se tendr án en cuenta los efectos geométricos de segundo orden (P-∆).

Si el diseño se basa en un an álisis plástico, las resistencias necesarias sedeterminarán por medio de un an álisis plástico de segundo orden. Cuandolas fuerzas y momentos internos de dise ño se obtengan por medio de unanálisis elástico,éste será de segundo orden, en donde los factores que no seconsideran en el análisis, se incluyen de manera indirecta, en las f órmulas dediseño.


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Caṕıtulo 2

Tensi´ on

2.1. Dise˜no de miembros en tensi´ onLos miembros en tensión se diseñan para evitar, bajo condiciones de carga

normales, los siguientes modos de falla :

Fluencia de la sección gruesa

Fractura en la secci ón neta efectiva

Cortante en bloque

Ruptura de cortante a lo largo del plano de los sujetadores

Aplastamiento en los oricios para los sujetadores y

Traslape

Además, se debe evitar la falla de los sujetadores (v.g. pernos, tornillos,remaches, etc). Tambíen, excepto para barras en tensi´ on, la esbeltez de losmiembros en tensi ón, obtenida dividiendo la longitud del miembro entre sumenor radio de giro debe ser preferentemente menor a 300.

2.1.1. Dise˜ no por esfuerzos permisiblesEl esfuerzo a tensión calculado f t no debe exceder :

Para la uencia de la secci ón gruesa

f t ≤0,6F y (2.1)

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16 CAP ́ITULO 2. TENSI ÓN

Para la fractura de la secci ón neta efectiva

f t ≤0,5F u (2.2)Mientras que la secci´ on gruesa es el área nominal de la seccíon transversal

del miembro, el ´ area neta efectiva es el menor valor de la sección transversaltomando en cuenta la presencia de oricios y el efecto del retrazo de cortante .Esto se calcula por la ecuación :

Ae = U An = U Ag −m

i=1dni t i +

k

j =1

s2

4g jt j (2.3)

donde U es el coeciente de reducción dado por Munse y Chesson :

U = 1 − x̄l ≤0,90 (2.4)

Para prevenir la falla por cortante en bloque (o bloque de cortante) yruptura de cortante, la resistencia respectiva se obtiene por :

RBS = 0,30AvF u + 0 ,50AtF u (2.5)

F v = 0,30F u (2.6)

Donde :

Av= área neta en cortante

At= área neta en tensi´on

F u =mı́nima resistencia a tensi´ on


Especicaci´ on AISC, 1999

Los miembros diseñados a tensi ón para cargas axiales factorizadas, deacuerdo a la tabla 1.2.2, deben satisfacer la condici´on :

φtP n ≥P u (2.7)Donde, la resistencia de dise ño se calcula por :


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2.1. DISE ̃ NO DE MIEMBROS EN TENSI ÓN 17

φt P n = 0,90[F yAg] (2.8)Donde :

0.90=Factor de resistencia para tensi´ on

F y=Esfuerzo mı́nimo de uencia del material

Ag=Secci ón transversal gruesa del miembro

La fractura para la secci ón neta efectiva est á dada por :

φtP n = 0,75[F u Ae] (2.9)

Donde :

0.75=Factor de resistencia para fractura en tensi´ on

F u =Resistencia ḿınima a tensi´ on

Ae= Área neta efectiva dada por la ecuaci´on 2.3

El cortante en bloque se calcula como sigue :Si F u Ant ≥0,6F u Anv (uencia por cortante-fractura por tensi´ on),

φt P n = 0,75[0,60F yAgv + F u Ant ] ≤0,75[0,6F u Anv + F u Ant ] (2.10)Si F u Ant < 0,6F u Anv (fractura por cortante-uencia por tensi´ on),

φtP n = 0,75[0,60F u Agv + F yAgt ] ≤0,75[0,6F u Anv + F u Ant ] (2.11)Donde :

0.75=Factor de resistencia para cortante en bloque

Agv= ´Area gruesa para cortante

Ant = Área neta en tensi ón

Anv = Área neta en cortante

Agt = Área gruesa en tensi ón


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Especicaci´ on NTC-DCEM

En el diseño de miembros a tensi ón, se consideran los estados ĺımite de

a) ujo pl´ astico en la secci´ on total (ec. 2.12) y

b) fractura en el ´ area neta (ec. 2.13)

La resistencia de diseño Rt es el menor valor obtenido con :

R t = F R At F y (2.12)

R t = F R AeF u (2.13)donde :

F R =0.90 para el ujo pl ástico en la sección total y F R =0.75 para lafractura en la secci ón neta

At= Área total de la secci ón transversal del miembro

Ae= Área neta efectiva

En miembros sin agujeros, conectados por medio de soldaduras en todas

las partes que componen su secci ón transversal, en proporción a sus áreas, elárea neta es igual al área total.

Área neta

El área neta a tensión (NTC-DCEM 2.1.2) se obtiene sumando los pro-ductos del grueso de cada una de las partes que lo componen por su anchoneto, quien se determina como sigue :

a) En el cálculo del área neta de barras en tensión o en cortante, el anchode los agujeros para remaches o tornillos se toma 1.5mm ( 116 pulgada)mayor que el diámetro nominal del agujero, medido normalmente a ladirección de los esfuerzos.

b) Cuando hay varios agujeros en una normal al eje de la pieza, el anchoneto de cada parte de la secci ón se obtiene restando al ancho total lasuma de los anchos de los agujeros.


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2.1. DISE ̃ NO DE MIEMBROS EN TENSI ÓN 19

c) Cuando los agujeros est́an en zigzag, se deben estudiar todas las tra-

yectorias posibles para determinar a cual de ellas corresponde el anchoneto menor, quien es el que se utiliza para calcular el área neta.El ancho neto de cada una de las partes que forman la sección, co-rrespondiente a cada trayectoria, se obtiene restando del ancho totalla suma de los anchos de todos los agujeros que se encuentran sobrela trayectoria escogida, y sumando para cada espacio entre agujeros lacantidad s2/ 4g, donde s es la separación longitudinal centro a centroentre los dos agujeros considerados ( paso ) y g la separación transversalcentro a centro entre ellos ( gramil ).

El ancho total de ángulos se toma igual a la suma de los anchos de lasdos alas, menos el grueso. La distancia transversal entre agujeros situadosen alas opuestas, es igual a la suma de los dos gramiles, medidos desde losbordes exteriores del ángulo, menos el grueso de éste.

Área neta efectiva

El área neta efectiva de miembros en tensión o en compresión se calculacomo sigue :

a) Cuando la carga se transmite directamente a cada una de las partes de

la sección transversal del miembro, por medio de remaches, tornillos osoldaduras colocados en todas ellas, en proporción a sus áreas trans-versales :

En miembros a tensi ón,

Ae = An (2.14)

En miembros a compresi ón,

Ae = At (2.15)

b) Cuando la carga se transmite por medio de tornillos o remaches coloca-dos en alguna de las partes que componen la secci ón, pero no en todas,el área neta efectiva es :


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Miembros en tensi ón,

Ae = U An (2.16)

Miembros en compresión,

Ae = U At (2.17)

c) Cuando la carga se transmite por medio de soldaduras colocadas enalguna de las partes de la sección, pero no en todas, el área neta efectivaestá dado por la misma ecuaci ón 2.17.

U es un coeciente de reducción de área dado por la ecuaci ón 2.4. Sinembargo, se pueden utilizar los siguientes valores de U para los siguientescasos :

I) Conexiones remachadas o atornilladas,

1. U =0.90 para secciones laminadas o soldadas H o I con patines deancho no menor de 2/ 3 del peralte y tés estructurales obtenidasde ellas o formadas por dos placas soldadas, conectadas por lospatines con tres o m ás conectores en cada ĺınea en la direcci ón de

los esfuerzos.2. U =0.85 para secciones laminadas o soldadas que no cumplan con

las condiciones anteriores, tés estructurales obtenidas de ellas, oformadas por dos placas soldadas, y todas las secciones restantes,incluidas las formadas por varias placas, con tres o más conectoresen cada ĺınea en la direcci ón de los esfuerzos.

3. U =0.75 en todos los miembros que tengan sólo dos conectores encada ĺınea en la direcci ón de los esfuerzos.

4. U =0.80 en ángulos conectados por una sola ala con :

• U =0.80, Cuatro o más conectores en la dirección de los es-fuerzos.• U =0.60, Menos de cuatro conectores en la dirección de losesfuerzos.

II) Conexiones soldadas


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2.2. ESTRUCTURAS HIPEREST ÁTICAS EN TENSI ÓN 21

• Cuando la fuerza de tensi ón o compresión se transmite por mediode soldaduras transversales colocadas en algunas de las partes quecomponen la sección, pero no en todas, el área neta efectiva esigualal área de los elementos conectados directamente.

• Cuando la fuerza de tensi ón o compresión se transmite a una placapor medio de soldaduras colocadas a lo largo de sus dos bordeslongitudinales, en el extremo de la placa :

◦ U =1.00, si l ≥2d◦ U =0.87, si 2d > l ≥1,5d◦ U =0.75, si 1,5d > l ≥d

donde : l es el ancho de la soldadura, y d es el ancho de la placa(distancia entre soldaduras)

Problemas

Calcule el área neta en cada caso :Problema 1, gura 2.1Problema 2, gura 2.2.

Figura 2.1: Placa a tensión

2.2. Estructuras hiperestáticas en tensi´ onComo ocurre con las estructuras hiperestáticas en exión, puede presen-

tarse una redistribución de fuerzas para el caso de la tensión. La reserva en


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Figura 2.2: Placa a tensi´on s=2.5”, g=6”

capacidad resistente de los elementos de una estructura conducir´ a a la de-terminaci ón de la carga portante para diferentes condiciones de deformaci´on.Es aśı posible determinar la resistencia de una estructura para la uencia enalgunos elementos, mientras otros no rebasan su ĺımite el´ astico. Para estu-diar estas condiciones, se analizar á la estructura mostrada en la gura 2.3,en la cual se determinar á la carga de colapso y se trazar á la gráca P-δ .Además para presentar el c álculo de la resistencia por tensi ón dada antes, serevisar á una sección determinada.

Figura 2.3: Barra ŕıgida


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2.2. ESTRUCTURAS HIPEREST ÁTICAS EN TENSI ÓN 23

2.2.1. Solucí on elástica

Las barras tendr´an las mismas propiedades, por lo que la ecuaci ón deequilibrio, para un alargamiento δ será :

T 1 + T 2 + T 3 = P (2.18)

Por campatibilidad se tiene :

1 = 3 = δ l

(2.19)

2 = δ 2l (2.20)

Por comportamiento :

σ = E (2.21)

T = σA (2.22)

Entonces :

T 1 = T 3 = A E δ l (2.23)

T 2 = A E δ 2l

(2.24)

de modo que :

AE 2δ l +

δ 2l

= P (2.25)

por lo que :

P = 2,5 AE δ l

(2.26)

Para un comportamiento puramente el´ astico se requiere que δl < y . Labarra central tendr´ a un medio de la deformación en las barras extremas.


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2.2.2. Comportamiento elasto-plástico

Si se asume que δl = y entonces :

σy = E δ yl

= E y (2.27)

Entonces la carga correspondiente será :

P = 2,5Aσy (2.28)

En donde s ólo las barras extremas est án en uencia.

2.2.3. Análisis plásticoSi se considera un comportamiento elasto-plástico para el acero, la carga

P para la uencia de las tres barras será :

P = 3,0Aσy (2.29)

Se requiere que 1 = 2 = 3, es decir δ p = 2 2 o también :

2 = 2δ l

Entonces δ p debe ser lo doble del valor anterior.Por último, si δ p > 2δ la carga de colapso no aumentar á.


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Caṕıtulo 3

Flexi´ on

3.1. Introducci´ onDependiendo de la relaci ón ancho/grueso, las secciones de acero usadas

en exión se clasican en compactas , no compactas y esbeltas .

Compactas son las que pueden desarrollar un momento pl´ astico en susección transversal y soportar dicho momento a través de una rotaci´ onimportante sin fracturarse. La secci´ on se considera compacta si todoslos elementos que la componen tienen relaciones ancho/grueso menoresque un valor lı́mite denotado por λ p.

No compactas son las secciones quienes no pueden desarrollar un es-fuerzo plástico en su sección tranvsersal completa o no pueden soportaruna rotaci ón plástica grande para el momento M p, probablemente debi-do al pandeo local de los patines o del alma. La sección se cpnsidera nocompacta si uno o más de sus elementos componentes tienen relacionesancho/grueso entre λ p y λr .

Esbeltas son las secciones que fallan por pandeo local mucho antes quese alcance el momento plástico M p. La sección se considera esbeltasi uno o más de sus componentes tienen relaciones ancho/grueso queexceden λr

NOTA.- * ecuaciones aplicables para sismo.El diseño de miembros a exión debe satisfacer al menos los siguientes

criterios :

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3.2. DISE ̃ NO POR ESFUERZOS PERMISIBLES 27

Resistencia a la exión

Resistencia al cortante

Resistencia a cargas concentradas

Deexión permisible

3.2. Dise˜no por esfuerzos permisibles

3.2.1. Especicaci´ on AISC

El esfuerzo calculado a exión f b, no debe exceder el esfuerzo permisibleF b. En todas las ecuaciones F y no debe exceder de 65Ksi. Para seccionescompactas que se exionan al rededor de su eje mayor, para Lb ≤Lc :

F b = 0,66F y (3.1)

Donde Lc es el menor valor de :

76bf

F y(3.2)

20, 000(d/A f )F y

(3.3)

para secciones I y en canal, y

[1950 + 1200(M 1/M 2)](b/F y) ≥1200(b/F y) (3.4)para secciones caja y tubos circulares y rectangulares, en donde bf es el

ancho del pat́ın (en pulgadas), d es el peralte total de la sección, Af es elárea del pat́ın a compresi´on (in 2), b es el ancho de la sección transversal yM 1/M 2 es la relación entre los momentos menor y mayor en los extremos dela longitud no soportada de la viga.

Para Lb > L c, el esfuerzo permisible en tensión es :

F b = 0,60F y (3.5)

y el esfuerzo permisible a compresión es el mayor de los valores dadospara las siguientes condiciones ;


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28 CAP ́ITULO 3. FLEXI ÓN

Si

102, 000 C bF y ≤ lr T < 510, 000 C bF yF b =

23 −

F y lr T 2

1530x103 C bF y ≤0,60F y (3.6)

Si

lr T ≥ 510, 000 C bF y170, 000 C b

lr T

2 ≤0,60F y (3.7)

12, 000 C bl d/A f ≤0,60F y (3.8)

Donde :

l=Distancia entre las secciones tranbversales soportadas contra el giro o des-plazamiento lateral del pat́ın de compresi´ on.r T =Radio de giro de la secci ón, incluyendo el pat́ın de compresión más 1/ 3del alma comprimida, tomado al rededor de un eje en el plano del alma.Af = Área del pat́ın a compresión.d=Peralte de la sección transversal.C b = 12,5 M max / (2,5M max + 3 M A + 4 M B + 3 M C ). Además los momentos son: máximo, a un cuarto, en el centro y tres cuartos respectivamente. Conser-vadoramente C b puede tomarse como la unidad.

Para secciones compactas exionadas al rededor de su eje menor, en dondeel pandeo lateral por torsión no occure, sin considerar el valor de L

b, el

esfuerzo permisible a exión es :

F b = 0,75F y (3.9)

Para secciones no compactas exionadas al rededor de su eje mayor, paraLb ≤Lc,


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3.3. DISE ̃ NO POR FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA 29

F b = 0,60F y (3.10)Para Lb > L c el esfuerzo está dado por las ecuaciones 3.5 a 3.8

3.3. Dise˜no por factores de carga y resisten-cia

3.3.1. Resistencia a exi´ on, especicaci´ on AISC

El momento nominal M n de una sección, depende de su longitud no so-portada Lb y la longitud necesaria para desarrollar una articulaci´ on plástica.Una correcta descripci ón de este comportamiento est´a descrita por Bon Lo-renz (1) en las guras 3.1 a 3.4. Las expresiones presentadas m ás adelantecorresponden a las especicaciones AISC 2001.

Figura 3.1: Momento nominal en zona 1

Donder y=radio de giro al rededor del eje menor

E =m ódulo de elasticidad

F yf =resistencia de uencia del pat́ın


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X 1 = ( π/S x ) (EGJA/ 2X 2 = (4 C w/I y)(S x /GJ )2

F L =valor menor de ( F yf −F r ) o F ywF yf =esfuerzo de uencia del pat́ın (ksi)

F yw =esfuerzo de uencia del alma (ksi)

F r =10ksi para formas roladas y 16.5ksi para formas soldadas

S x=m ódulo de sección al rededor del eje mayor*

I y=momento de inercia al rededor del eje menor

J =constante de torsi´ on (in 4)

C w=constante de alabeo ( in 6)

G=m ódulo de cortanteA= área de la sección transversal

M p=momento pl´astico resistente= F yZ x

M r = F yf S x


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F y=esfuerzo de uencia

Z x=m ódulo plástico al rededor del eje mayor

NOTA.- Los valores anteriores de L p son válidos sólo si el coeciente deexión C b = 1. Si C b > 1 el valor de L p puede incrementarse, sin embargo, sise usan los valores dados aun para C b > 1 se obtendrán valores conservadoresde la resistencia a exión.

3.3.2. Secciones compactas con exi´ on al rededor deleje menor

Sin considerar Lb, el estado ĺımite ser á la formación de una articulaci ónplástica :

φbM n = 0,90M p = 0,90F yZ y (3.11)

3.3.3. Secciones no compactas con exi´ on en su eje ma-yor

Para Lb ≤L p (pandeo local del pat́ın o del alma),

φbM n = φbM n = 0,90 M p −(M p −M r )λ −λ pλ r −λ p

(3.12)


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donde :

L p = L p + ( Lr −L p)M p −M nM p −M r

(3.13)

Para pandeo local del patı́n en secciones I :

λ = bf 2t f

(3.14)

Para pandeo local del pat́ın en canales :

λ = bf t f

(3.15)

Para pandeo local del alma :

λ = hc

tw(3.16)

Donde :

bf =ancho del patı́n.

tf =espesor delpatı́n.


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hc=doble distancia desde el eje neutro hasta la cara interior del pat́ın

a compresión menos la costura o radio de la esquina.tw=espesor del alma.

Para L pp < L b ≤Lr (pandeo lateral inel ástico por torsi ón) est á dado porla ecuación ?? excepto que el ĺımite debe ser remplazado por 0 ,90M np .Para Lb > L r (pandeo lateral el ástico por torsi ón) φbM n es el mismo que

para el caso de miembros de sección compacta (ecsuaciones ?? y 3.11).

3.3.4. Secciones no compactas exionadas al rededor

de su eje menorSin considerar el valor de Lb, el estado lı́mite ser á elpandeo local del patı́n

o del alma y φbM n está dado por la ecuación 3.11?.

3.3.5. Ángulos dobles y Tes exionadas al rededor desu eje mayor

Para secciones con relaciones de esbeltez menores a los ĺımites correspon-dientes λr :

φbM n = 0,90π EI yGJ Lb B + √ 1 + B 2 ≤0,90 (βM y) (3.17)

Donde :

B = ±2,3 dLb I yJ (3.18)

Se usará el signo positivo de B si la longitud total del atiesador a lo largode la longitud libre del miembro est á en tensión. β = 1,5 para atiesadores entensi ón y β = 1,0 en compresión.

3.3.6. Resistencia a exi´ on, especicaciones NTC-DCEM

Aplicable a vigas laminadas, vigas formadas con l ámina delgada y trabeshechas con placas soldadas de sección I o en cajón. También es aplicable


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a barras macizas de secci ón circular, cuadrada o rectangular exionadas al

rededor de su menor momento de inercia y a barras de secci ón circular hueca.Los estados ĺımite a considerar son :

Formaci ón de un mecanismo con articulaciones pl ásticas.

Agotamiento de la resistencia en miembros quienes no admiten redis-tribuci ón de momentos.

Iniciación del ujo plástico en la sección crı́tica

Pandeo lateral por torsi´on.

Pandeo local del pat́ın comprimido.

Pandeo local del alma por exi ón.

Plasticaci ón del alma por cortante.

Pandeo local del alma por cortante.

Tensi ón diagonal en el alma.

Flexión y fuerza cortante combinadas

Otras formas de pandeo del alma, producidas por fuerzas transversales.

Fatiga.

Es necesario identicar los tipos de secciones. Para ello se muestra la tabla3.3.6. Las secciones tipo 4 (secciones esbeltas) tienen como estado ĺımite deresistencia, el pandeo local de alguno de sus elementos planos.

Los valores para almas exocomprimidas de la tabla 3.3.6 son :

A=2 ,45 E/F y 1 −0,4P u

P y

B=3 ,71 E/F y 1 −0,6P uP yC=5 ,6 E/F y 1 −0,74P uP y


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3.3.7. Resistencia de dise˜ no

Miembros en los que el pandeo lateral no es cŕıtico ( L ≤ Lu pat́ıncomprimido soportado lateralmente en forma continua)a) Secciones tipo 1 ó 2

M R = F R ZF y = F R M p ≤F R (1,5M y) (3.19)b) Secciones tipo 3

M R = F R SF y = F R M y (3.20)

donde S =m ódulo de sección elástico. L=distancia entre seccionesde la viga soportadas adecuadamente :

1) Miembros de sección transversal I :

Lu =√ 2πX u EC aGJ 1 + 1 + X 2u (3.21)

Lr =√ 2πX r EC aGJ 1 + 1 + X 2r (3.22)

E =204000 Mpa y G=78400 Mpa

X u = 4,293C ZF yGJ C aI y = 3 ,220X r (3.23)

X r = 43

C ZF yGJ

C aI y

(3.24)

2) Miembros de sección rectangular maciza o hueca :

Lu = 0,91 E

CZF y I yJ (3.25)Lr = 2,92

E CZF y I yJ = 3,22Lu (3.26)

En secciones I o H cuyos patines tienen relaciones ancho/gruesoentre secciones tipo 2 y 3, exionadas al rededor de cualquie-ra ejes centroidales principales, M R estar á comprendido entre


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F R M p y F R M y por interpolaci ón lineal, teniendo en cuenta

que les corresponden las relaciones ancho/grueso 0 ,38 E/F yy 0,58 E/F y respectivamente.Si la exión es alrededor del eje de mayor momento de inercia,se comprobar á que la relación ancho grueso del alma no exce-de de la que corresponde a M R , por lo que se interpolar á li-nealmente entre 3 ,71 E/F y y 5,60 E/F y correspondientes aF R M p y F R M y respectivamente.

c) Para secciones tipo 4 :Cuando los patines cumplen con los requisitos de las secciones tipo1, 2 ó 3, y las almas son de tipo 4, :Si la relación peralte/espesor del alma h/t < 5,60 ES/M R ensecciones I o H,

M R p = M R 1 − ar

1200 + 300a rht −5,60 ES M R ≤M r (3.27)

Donde :

◦ ar =cociente de las áreas del alma y pat́ın comprimido ( a r ≤10).

◦ h y t peralte y grueso del alma,respectivamente.◦ S =m ódulo de sección de la seccíon completa, respecto al pat́ıncomprimido.◦ M R =Resistencia de dise˜no a exión (M R ≤F R M y)

Si sobre la trabe armada act´ua una fuerza de compresi ón, la cons-tante 5 ,60se multiplica por 1 −0,65P u /P y.Cuando las almas cumplen con los requisitos de las secciones 1, 2ó 3, y los patines son del tipo 4 :

M R = F R S eF y (3.28)

Donde :

◦ S e=m ódulo de sección elástico efectivo, donde el ancho efec-tivo se calcula por :be = b si λ ≤0,673be = ρb si λ > 0,673 (3.29)


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Donde :

ρ = (1 −0,22λ)/λ (3.30)λ =

1,052√ k

bt f E (3.31)

b=ancho total del elemento plano t=grueso del elemento plano k=coeciente de pandeo de placas, igual a 4 ,0 para ele-mentos atiesados soportados por un alma en cada bordelongitudinal.

Para placas en miembros a compresi´on f = F n quien esel esfuerzo cŕıtico de pandeo nominal del miembro (NTC-3.2.3)

k=0.43 en anchos efectivos de elementos planos no atie-sados comprimidos uniformemente.

Como alternativa, S e puede determinarse usando un ancho efectivode 1,47t E/F y en patines soportados a lo largo de sus dos bordesparalelos a la direcci ón de los esfuerzos y de 0,58t E/F y cuandosólo está apoyado en uno de sus bordes, donde b/t ≤60.

Miembros en los que el pandeo lateral es crı́tico ( L > L u )a) Para secciones tipo 1 o 2 con dos ejes de simetŕıa, exionadas al

rededor del eje de mayor de momento de inercia :Si M u > 23M p

M R = 1,15F r M p 1 − 0,28M p

M u ≤F r M p (3.32)Si M u ≤ 23 M p M R = F r M u (3.33)En vigas de seccón I o H (tres placas soldadas) :

M u = πCL EI yGJ + πE L

2

I yC a

= πE

CL I y J 2,6 + πL2

C a (3.34)


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3.4. RESISTENCIA A FUERZA CORTANTE 39

En miembros de sección transversal de caj ón (rectangular hueca)

C a = 0b) Para secciones 3 ó 4 con dos ejes de simetŕıa y para canales en

las que está impedida la rotaci ón al rededor del eje longitudinal,exionadas al rededor del mayor momento de inercia el momentoresistente es :Si M u > 23 M p

M R = 1,15F r M p 1 − 0,28M p

M u ≤F r M y (3.35)

donde F r M y para secciones tipo 3, ni mayor que la ecuación 3.28cuando las almas cumplen los requisitos de las secciones 1, 2 ó 3y los patines son del tipo 4.Si M u ≤ 23 M p M R = F r M u (3.36)M u se calcula con la ecuación 3.34

3.4. Resistencia a fuerza cortante

3.4.1. Criterio por esfuerzos permisiblesPara la mayoŕıa de las formas estructurales utilizadas en la construcci´ on,

la resistencia a cortante de los pat́ınes, se considera despreciable con respectoa la resistencia del alma. La resistencia depende exclusivamente de la relaci´onancho grueso h/t w . Si esta relación es pequeña, el modo de falla es por uenciadel alma, de lo contrario, la falla es por pandeo. Para evitar la falla porcortante, el esfuerzo calculado f v, no debe exceder el esfuerzo permisible F vdado por :

F v = 0,40F y (3.37)

o por :

F v = C v2,89

F y ≤0,40F y (3.38)La ecuación 3.37 es aplicable si :


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htw ≤

380

F yLa ecuación 3.38 es aplicable si :

htw

> 380

F yDonde :

C v=45000/[ F y(h/t w)2] si C v ≤0,8 yC v=[190/ (h/t w)] (kv/F y) si C v > 0,8kv=4 ,0 + 5 ,34/ (a/b )2 si a/h ≤1,0 ykv=5 ,34 + 4,0/ (a/b )2 si a/h > 1,0

tw=espesor del alma en pulgadasa=distancia libre entre rigidizadores transversalesh= distancia libre entre patines, de la secci´ on en estudio.

3.4.2. Dise˜ no por factores de carga y resistencia, espe-cicaci´ on AISC

Para un dise ño satisfactorio, la resistencia de dise ño a cortante, debe sermayor que el cortante factorizado actuante en la secci´ on transversal.

φvV n ≥V u (3.39)Dependiendo de las relaciones de esbeltez del alma, pueden considerarse

tres estados ĺımite :

Fluencia por cortante

Pandeo inel ástico por cortantePandeo el ástico por cortante

Las resistencias de diseño para estos estados ĺımite est´an dadas por :

Para uencia por cortante :


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h/t w ≤2,45 (E/F −y)φvV n = 0,90[0,60F yw Aw] (3.40)

Para pandeo inel ástico por cortante :

2,45 (E/F −y) < h/t w ≤3,07 (E/F −y)φvV n = 0,90 0,60F yw Aw 2,45 (E/F yx )h/t w (3.41)

Para pandeo el ástico por cortante :

3,07 (E/F −y) < h/t w ≤260φvV n = 0,90Aw

4,52E (h/t w)2

(3.42)

Donde :h= distancia libre entre patines, menos la costura o radio de la esquinatw=espesor del almaF yw =esfuerzo de uencia del almaAw = dtwd=peralte total de la secci´on.

3.4.3. Dise˜ no por factores de carga y resistencia, espe-cicaci´ on NTC-DCEM

Aplicable a almas de vigas y trabes de secci ón transversal con dos ejes desimetrı́a. La resistencia de dise˜no para una secci ón I, C o cajón es :

V R = F R V N (3.43)

donde F R =0.90 y V N =resistencia nominal quien se determina como sigue:


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El alma falla por cortante en el intervalo de endurecimiento por deforma-

ción si :

ht ≤0,98 EkF y

V n = 0,66F yAa (3.44)

La falla es por plasticación del alma por cortante si :

0,98 E kF y < ht ≤1,12 E kF yV n =

0,65 EF ykh/t Aa (3.45)Se tienen dos casos, si :

1,12 E kF y <

ht ≤1,40

E kF y

Iniciación del pandeo del alma, se aplica la ecuaci ón 3.45

Falla por tensi ón diagonal

V n =0,65 EF ykh/t 1 − 0,870 1 + ( a/h )2

+ 0,50F y

1 + ( a/h )2Aa (3.46)

Se tienen dos casos, si :

1,40 E kF y < ht


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Iniciación del pandeo del alma

V n = 0,905E k

(h/t )2 Aa (3.47)

Falla por tensi ón diagonal

V n =0,905 EF ykh/t 1 − 0,870

1 + ( a/h )2

+ 0,50F y

1 + ( a/h )2

Aa (3.48)

Para que sean aplicables las ecuaciones 3.46 y 3.47 la sección debe teneruna sola alma y estar reforzada con atiesadores transversales. Adem´ as, a/hno debe exceder de 3.0 ni de [260/ (h/t )]2.

En las expresiones anteriores :

Aa = Área del alma= t d

d=Peralte total

h=Peralte del alma

a=Separación entre atiesadores transversales

k=Coeciente adimensional :

k = 5,0 + 5,0(a/h )2

(3.49)

k = 5,0 cuando (a/h ) > 3,0 o > [260/ (h/t )]2 y cuando no se empleanatiesadores. En almas no atiesadas h/t ≤260.

En estructuras diseñadas pl ásticamente, la resistencia de diseño al cor-tante de las vigas es :

V R = 0,55F R Aa F y = 0,495Aa F y (3.50)


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Vigas tubulares circulares

La resistencia de diseño al cortante para secciones circulares uecas es :

V R = F R V N (3.51)

Si

aD ≤

3,2(E/F y)2

(D/t )2,5

y

Dt ≤0,309

E F y

V R = 0,3AF y (3.52)

Donde :

A= Área total de la secci ón transversal.

a=longitud del tramo de viga con fuerza cortante constante o casi cons-

tante.

Flexi´on y cortante combinadas

En vigas con almas no reforzadas, debe satisfacerse :

M DM R

+ V DV R ≤1,0 (3.53)

Cuando se requieren atiesadores transversales y V D y M D están entre losĺımites 0 ,6V R ≤V D ≤V R y 0,75M R ≤M D ≤M R debe cumplirse :

0,727M DM R

+ 0 ,455V DV R ≤1,0 (3.54)

Donde :

M R =Resistencia de dise˜no en exión.


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3.5. SOPORTE LATERAL EN VIGAS (ATIESADORES) 45

V R =Resistencia de diseño al cortante.

M D y V D = Momento exionante y fuerza cortante de dise˜ no, respec-tivamente.

3.5. Soporte lateral en vigas (atiesadores)La resistencia de diseño de vigas exionadas al rededor de su eje de mayor

momento de inercia, depende de la longitud lateral no soportada. El soportelateral se puede proporcionar por varios medios :

Marcos transversales

Vigas transversales

Diafragmas

Empotramiento del pat́ın en el sistema de piso

3.5.1. Atiesadores, especicací on AISC

En las especicaciones del AISC, se han identicado dos sistemas de so-porte lateral, el relativo y el nodal. El primero controla el movimiento delpunto soportado respecto a puntos adjacentes soportados a lo largo del clarode la viga. El segundo controla el movimiento sin relaci ón con el movimientode los demás puntos soportados.

Rigidez de atiesadores

La rigidez requerida del conjunto de soporte en dirección perpendicularal eje longitudinal del miembro soportado, en el plano de pandeo está dadopara los siguientes casos :

Para soporte relativo,

β br = 4M u C d

φLbr ho(3.55)

Para soporte nodal,

β br = 10M u C d

φLbr ho(3.56)


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Donde :

φ=0.75

M u =Resistencia requerida a exi´on.

C d=1.0 para curvatura simple y 2.0 para curvatura doble, cerca delpunto de inexi ón.

Lbr =Distancia entre atiesadores

ho= Distancia entre los centroides de los patines

Lbr puede remplazarsepor Lq, la máxima longitud no soportada para M u ,si Lbr ≤Lq.Resistencia de atiesadores

Además del requisito de rigidez, los atiesadores deben dise ñarse para cum-plir con :


P br = 0,008M uC d

φLbr ho(3.57)

Para soporte nodal,

P br = 0,02M u C d

φLbr ho(3.58)

Rigidez de atiesadores requerida por torsi´ on

Para el caso de torsi ón, los atiesadores deben diseñarse para cumplir con:

β T br = β T (1 − β T β sec ) ≥0 (3.59)


P br = 0,008M uC d

φLbr ho(3.60)


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Donde :

Para soporte nodal,

β T = 2,4LM 2uφnEI yC 2b

(3.61)

Para soporte continuo,

β T = 2,4M 2uφEI yC 2b

(3.62)

y

Para soporte nodal,

β sec = 3,3E

ho1,5H ot3w

12 +

tsb3s12

(3.63)

Para soporte continuo,

β sec = 3,3Et 2w

12ho(3.64)

Donde :

φ=0.75

L=Claro libre.

M u =Momento último.

n=n úmero de atiesadores en el claro.

E =M ódulo de elasticidad.

I y=Momento de inercia en el eje menor.

C b=Coeciente de exi ón C b = 12,5 M max / (2,5M max + 3M A + 4M B +

3M C )ho=Distancia entre los centroides de los patines

tw=Espesor del alma

ts =Espesor del atiesador


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bs =Ancho del atiesador (para pares de atiesadores bs es el ancho total

de los atiesadores)

Resistencia de atiesadores requerida por torsi´ on

La conexión entre el soporte lateral y la viga atiesada, debe soportar unmomento dado por :

M T br = 0,024M u L

nC bLbr(3.65)

Donde Lbr es la distancia entre atiesadores. Si Lbr < L q; donde Lq es la

máxima longitud no soportada para M u , se usará Lq.

3.5.2. Atiesadores, especicaci´ on NTC-DCEM

Atiesadores intermedios

Cuando el diseño a cortante se hace suponiendo un estado ĺımite de fallapor tensi ón diagonal, se debe satisfacer :

El área total de cada atiesador o par de atiesadores ser´ a igual o mayorque :

Aat = Y 0,15D a ht (1 −C v) V DV R −18t2a ≥0 (3.66)El momento de inercia de cada par de atiesadores o de cada atiesadorsencillo, con respecto a un eje en el plano del alma, debe ser igual omayor que :

at 3a 2,5(a/h )2 −2 ≥0,5at

3a (3.67)

Donde :

Y =esfuerzo de uencia del acero del alma entre el esfuerzo de uenciadel acero de los atiesadores.

C v = [1,12/ (h/t )] Ek/F y si se emplea la ecuación 3.42 de las NTC yC v = 1,57Ek/ [F y(h/t )2] si se usa la ecuación 3.44.


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D a = 1,0 para atiesadores ecolocados en pares, Da = 1,8 para atiesa-

dores formados por un solo ángulo y Da = 2,4 para los formados poruna sola placa.

V D y V R = Fuerza cortante de dise˜no y resistencia de diseño en el puntode colocación del atiesador. V R se calcula con 3.38, 3.42 o 3.44 de lasNTC.

ta = grueso del alma

Cuando el diseño del alma se hace suponiendo un estado lı́mite de inicia-ción del pandeo, basta que se cumpla la ecuaci´on 3.67.


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Caṕıtulo 4

Compresi´ on

Los miembros a compresión pueden fallar por uencia, pandeo inel ásticoo pandeo elástico, dependiendo de la relaci ón de esbeltez. Las relaciones deesbeltez de la mayoŕıa de los miembros a compresi ón provocan falla por pan-deo inelástico. El pandeo puede ocurrir de tres formas diferentes : por exión,por torsi ón y por exo-torsión. El pandeo por exión ocurre en miembros consección transversal de doble simetŕıa o doble antisimetŕıa (por ejemplo, sec-ciones I, o Z) y en secciones de simetŕıa simple como Canales, T, ángulos delados iguales y secciones de doble ángulo, cuando se les exiona al rededor

de un eje perpendicular al de simetŕıa. El pandeo por torsi´ on se presentaen secciones doblemente simétricas como las cruciformes o formas armadascon almas muy delgadas. El pandeo por exo-torsión ocurre en secciones desimetŕıa simple como canales, tes, angulos de lados iguales y secciones de do-ble ángulo cuando se les pandea al rededor del eje de simetŕıa y en seccionesasimétricas como ángulos de lados desiguales.

Además de la relación de esbeltez, el comportamiento a compresión tam-bién depende las relaciones ancho/grueso. Esta relaci´ on puede indicar si sepresentar á pandeo local o global.

4.1. Diseño por esfuerzos permisibles

El esfuerzo calculado a compresión no debe exceder :Si (Kl/r ) ≤C c (pandeo inel ástico),

51


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52 CAP ́ITULO 4. COMPRESI ÓN

F a = 1 − (Kl/r )2

2C 2c F y53 +

3(KL/r8C c − (KL/r )

3

8C 3c

(4.1)

Si (KL/r ) > C c (pandeo elástico)

F a = 12π2E 23(Kl/r )2

(4.2)

Donde :

KL/r =relaci ón de esbeltez.

K =Factor de longitud efectiva en el plano del pandeo.l=Longitud no soportada en el plano del pandeo.

r =Radio de giro de la secci ón transversal al rededor del eje de pandeo.

E = Módulo de elasticidad.

C c = 2π2E/F y4.2. DFCR, especicaci´ on AISC

La resistencia φcP n en donde (b/t ≤ λr ) será mayor que P u para lossiguientes modos de pandeo :

4.2.1. Pandeo por exi´ on

Si λc ≤1,5φcP n = 0,85 Ag 0,658λ

2c F y (4.3)

Si λc > 1,5

φcP n = 0,85 Ag0,877

λ2cF y (4.4)

Donde :

λc = ( KL/πr ) F y /E =Par´ametro de esbeltez.


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4.2. DFCR, ESPECIFICACI ÓN AISC 53

Ag= Área gruesa de la sección.

F y=Esfuerzo de uencia ḿınimo

E =M ódulo de elasticidad

K =Factor de longitud efectiva

l=Longitud no soportada en el plano de pandeo

r =Radio de giro de la secci ón transversal al rededor del eje de pandeo

4.2.2. Pandeo por torsi´ on

Si λe ≤1,5φcP n = 0,85 Ag 0,658λ

2e F y (4.5)

Si λe > 1,5

φcP

n = 0,85 A

g

0,877

λ2eF

y (4.6)

F e =π2EC w(K zL)2

+ GJ 1

I x + I y(4.7)

Donde :

C w=Constante de alabeo.

G=M ódulo de cortante (77,200Mpa).

I x y I y=Momentos de inercia.

J =Constante de torsi´ on.

K z=Factor de longitud efectiva para pandeo por torsi´ on.


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4.2.3. Pandeo por exi´ on-torsi´ on

Si λe ≤1,5φcP n = 0,85 Ag 0,658λ

2e F y (4.8)

Si λe > 1,5

φcP n = 0,85 Ag0,877

λ2eF y (4.9)

F e = F es + F ez

2H 1 − 1 − 4F es F ez H (F es + F ez )2 (4.10)

Donde:

F es = F ex si el eje x es el de simetŕıa de la sección transversal, o F ey sies el eje y.

F ex = π2E/ (KL/r )2x ; F ey = π2E/ (KL/r )2y

H = 1 −(x2o + y2o)/r 2o donde xo y yo son las coordenadas del centro decortante con respecto al centroide.

r 2o = x2o + y2o + r 2x + r 2y

l=Longitud so soportada en el plano de pandeo

r x y ry=Radio de giro respecto a los ejes x y y

4.2.4. Secciones asimétricas

En este caso, F e debe obtenerse resolviendo la ecuación :

(F e−F ex )(F e −F ey )(F e −F ez )−F 2e (F e −F ey )x2or o

2

−F 2e (F e −F ex )y2or o

2

= 0

(4.11)


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4.2.5. Pandeo local

(b/t > λ r )

El pandeo local en la sección transversal de un miembro se toma en cuentaen el diseño por medio de un factor de reducci ón Q :

Si λ√ Q ≤1,5φcP n = 0,85 Ag 0,658λ

2

F y (4.12)

Si λ√ Q > 1,5

φcP n = 0,85 Ag 0,877λ2F y (4.13)

Donde :

λ = λc para pandeo por exi ón

λ = λe para pandeo por exo-torsi ón

Q = Qs Qa , Qs =Factor de reduccí on para elementos no atiesados,Qa =Factor de reducci´on para elementos atiesados.

h=Peralte del alma

tw=Espesor de la pared

kc = 4/ (h/t w); 0,35 ≤kc ≤0,763 para secciones I, y kc = 0,763 paraotras seccionesDonde E o = b2tf / (2b t f + h tw/ 3)

Qs = Aefectiva

Areal(4.14)

El área efectiva es igual a la suma de las áreas efectivas de las seccionestransversales de los elementos rigidizados. Esta ´area efectiva est á dada porel producto del espesor y el ancho efectivo be, dado por :


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Cuadro 4.3: Valores de C i

bi /t i C i1.00 0.4231.20 0.5001.50 0.5881.75 0.6422.00 0.6872.50 0.7473.00 0.7894.00 0.8435.00 0.8736.00 0.8948.00 0.92110.00 0.936

∞ 1.000

Para patines de secciones cuadradas y rectangulares de espesor unifor-me, cuando b/t ≥1,40 E/f ,

be = 1,91t E f 1 − 0,38(b/t ) E f ≤b (4.15)Para elementos no circulares uniformemente comprimidos, cuando b/t ≥1,49 E/f ,

be = 1,91t E f 1 − 0,34(b/t ) E f ≤b (4.16)Para secciones circulares axialmente cargadas con 0 ,11E/F y < D/t <0,45E/F y,

Qa = 0,038E F y(D/t )

+ 23

(4.17)

En las expresiones 4.14 a 4.17 b=ancho real del elemento rigidizado,t=espesor de la pared de la secci ón, E =m ódulo de elasticidad, f =esfuerzo


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elástico en compresi ón calculado en los elementos rigidizados, D=di ámetro

exterior de secciones circulares.

Miembros armados en compresi´ on

Los miembros armados estan hechos de dos o m ás formas estructura-les estandar remachadas o soldadas. Para que se consideren completamenteefectivas, se debe satisfacer lo siguiente :

Evitar el deslizamiento de los elementos compuestos próximos a losextremos del elemento armado.

Proveer atiesadores adecuados a lo largo del elemento.

Los atiesadores deben ser capaces de proporcionar una fuerza de suje-ción suciente en todos los elementos.

La condición 1, se satisface si todos los elementos compuestos en contactocerca de los extremos del miembro armado est án conectados por soldadurateniendo una longitud no menor que el ancho máximo del miembro o porremaches espaciados longitudinalmente no más de cuatro di ámetros, separa-dos una distancia igual a una vez y media el ancho m áximo del miembro.La condición 2, se satisface si se usa soldadura continua a lo largo del miem-bro armado en compresi ón. La condición 3 se satisface si se usan remachescompletamente jos o soldadura aśı como atiesadores. Si no se cumple lacondición 2 o 3, el miembro no es completamente efectivo y puede ocurrirdeslizamiento entre los elementos compuestos. Para tomar en cuenta la re-ducción en resistencia por este deslizamiento, debe usarse una relación deesbeltez modicada para calcular la resistencia de diseño a compresión cuan-do el pandeo del miembro armado se presenta al rededor de un eje coincidenteo paralelo al menos a un plano de contacto de la secci ón transversal del ele-mento compuesto. La relaci ón de esbeltez modicada est á dada por :

KL

r m = KL

r

2

o +

0,82α 2

(1 + α 2)

a

r ib

2

(4.18)Si se viola la condición 3,

KLr m

= KLr2

o+

ar ib

2(4.19)


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4.3. DFCR, ESPECIFICACI ÓN NTC-DCEM 59

(KL/r )o = ( KL/r )x si el pandeo es al rededor del eje x y al menos un

plano de contacto entre los elementos compuestos es paralelo a ese eje.Si es el y se cambia el sub́ındice.

a=Distancia longitudinal de los atiesadores.

r i=Mı́nimo radio de giro de un componente individual relativo a su ejecentroidal paralelo al eje de pandeo del miembro.

h=Distancia entre centroides de los elementos componentes medidoperpendicularmente al eje de pandeo del miembro armado.

No se requiere modicar la relación de esbetez si el eje de pandeo es per-pendicular a los planos de contacto de las secciones componentes. Se requierela modicación si el miembro es construido de modo que existan planos decontacto en ambas direcciones x y y.

Ejemplo

4.3. DFCR, especicaci´ on NTC-DCEM

4.3.1. Estado ĺımite de inestabilidad por exi´ on

a) Miembros de sección transversal H, I o rectangular hueca :

Rc = F y

(1 −λ2n −0,152n )1/nAt F r ≤F yAt F r (4.20)

donde F R =0.90, A t = Área total de la secci ón transversal y

λ = KL

r F yπ2E n=coeciente adimensional :

• n = 2,0 Secciones H o I laminadas con tres placas soldadas, F y ≤4220kg/cm 2 y cumplen con los requisitos de secciones 1, 2 o 3.• n = 1,4 Secciones H o I laminadas con tres placas soldadas,cortadascon ox́ıgeno de placas más anchas y columnas huecas con cuatro

placas y cumplen con los requisitos de secciones 1, 2 o 3.


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• n = 1,0 Columnas H o I, hechas con tres placas y cumplen con losrequisitos de secciones 1, 2 o 3.

b) Sección transversal cualquiera.n = 1,4

4.3.2. Pandeo por torsí on o por exo-torsi´ on

Debe revisarse en ángulos y tés con dos ejes de simetŕıa pero muy bajarigidez torsional (secciones en forma de cruz y secciones hechas con placasmuy delgadas).

Cuando la sección es de tipo 1, 2 o 3 Rc se calcula con la ecuación 4.20,n = 1,4, F R = 0,85 y λ se substituye por λe, dada por :

λe = F yF e (4.21)a) Columnas de sección transversal con dos ejes de simetŕıa :

F e = π2EC a

(K zLz )2 + GJ

1

I x + I y(4.22)

b) Columnas de sección transversal con un eje de simteŕıa :

F e = F ey + F ez

2H 1 − 1 − 4F eyF ez H (F ey + F ez )2 (4.23)

donde se ha supuesto que el eje de simetŕıa es el Y

c) Columnas con sección transversal sin eje de simteŕıa :F e es la menor ráız de la ecuación 4.11 y

F ez = π2EC a(K z Lz)2

+ GJ 1Ar 2o

(4.24)


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4.4. FLEXI ÓN Y BIFLEXI ÓN COMPUESTA 61

4.4. Flexi´ on y biexi´ on compuestaCuando un miembro se somete a la acci ón combinada de exión y carga

axial, debe diseñarse para resistir esfuerzos y fuerzas originadas por ambasacciones. Mientras que un afuerza de tensi ón puede inducir un efecto rigidi-zante en el miembro, una fuerza de compresi ón tiende a desestabilisarlo, ylos efectos de inestabilidad a tomar en cuenta, se deben a la inestabilidad delmiembro (P- δ ) y a la inestabilidad de la estructura (P-∆).

El efecto P-δ surge cuando la carga axial act úa a través de la deexi ónlateral del miembro relativo a su eje. El efecto P-∆ surge cuando la cargaaxial act úa sobre el desplazamiento relativo de los extremos del miembro.Ambos efectos tienden a aumentar la deexi´on y los momentos. El diseño demeimbros sujetos a carga axial y exi ón se facilita con el uso de ecuacionesde interacci ón.

4.4.1. Dise˜ no por esfuerzos permisibles

Si la fuerza de axial es de tensión, la ecuación de interacci ón es :

f aF t

+ f bxF bx

+ f byF by ≤1,0 (4.25)

Si la fuerza axial es de compresión :

f aF a

+C mx

(1 − f aF exf bxF bx

+C my

(1 − f aF eyf byF by ≤1,0 (4.26)

El requisito para la uencia se da por :

f aF a

+ f bxF bx

+ f byF by ≤1,0 (4.27)

Donde :

f a , son los esfuerzos calculados a compresión.f bx, f by son los esfuerzos calculados a exión.

f a , f bx, f by esfuerzos obtenidos por un an álisis de primer orden.

F y , esfuerzo ḿınimo de uencia.


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F ex , F ey esfuerzos de Euler al rededor de los ejes mayor y menor res-

pectivamente, divididos entre el factor de seguridad de 23/12 :

F ex = (12/ 23) π2E (KL/r ) x

F ey = (12/ 23) π2E (KL/r ) y

C m , coeciente para tomar en cuenta el gradiente de momento sobreel miembro y la inestabilidad de la estructura (similar al criterio dediseño por factores de carga y resistencia).

Los términos entre paréntesis representan factores de amplicaci´ on paratomar en cuenta el efecto P-∆.


Especicaciones, AISC

Las secciones con doble o simple simetŕıa sujetas a la acción combinadade exión y carga axial, deben diseñarse con las siguientes fórmulas de inte-racción :

Para P u /φP n ≥0,2,P u

φP n+

89

M uxφbM nx

+ M uyφbM ny ≤1,0 (4.28)

Para P u /φP n < 0,2,

P u2φP n +

M uxφbM nx +

M uyφbM ny ≤1,0 (4.29)

Donde:

P u , carga axial factorizada.

P n , resistencia axial de dise ño.


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M u es el momento factorizado, preferentemente obtenido de un an´alisis

de segundo orden.M n , es la resistencia de diseño a exión.

φ = φt = 0,9, factor de resistencia a tensi ón.

φ = φc = 0,85, factor de resistencia a compresi ón.

φb = 0,9, factor de resistencia a exión.

Para obtener M u , en lugar de un an álisis de 2o orden, puede usarse laecuación :

M u = B1M nt + B2M lt (4.30)

Donde :

M nt , Momento factorizado, asumiendo que la estructura no presentadesplazamiento lateral.

M lt , Momento factorizado, asumiendo que la estructura presenta des-plazamiento lateral.

B1, Factor amplicador de momento,

B1 = C m(1 − P uP e ) ≥

1,0 (4.31)

B2, Factor amplicador de momento,

B2 = 1

1 −(Σ P u ∆ oh / ΣHL ) ≥1,0 (4.32)

o

B2 = 1

1 −(Σ P u / ΣP e) ≥1,0 (4.33)

ΣP u , Suma de todas las cargas factorizadas actuantes en y sobre el pisoconsiderado.


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∆ oh , desplazamiento relativo de entrepiso de primer orden.

ΣH , Suma de todas las cargas laterales actuantes en y sobre el piso enconsideración.

L, Altura del entrepiso.

P e, Carga cŕıtica de pandeo,

P e = π2EI (KL )2

(4.34)

Para miembros con extremos restringidos y no sujetos a cargas transver-sales entre sus apoyos en el plano de la exión, C m es igual a :

C m = 0,6 −0,4M 1M 2

(4.35)

Donde M 1/M 2 es la relación entre el momento menor y mayor, siendopositiva para exi ón en curvatura doble y negativa en curvatura simple.

Para miembros con extremos restringidos y sujetos a cargas transversalesentre sus apoyos en el plano de la exión, C m es igual a :

C m = 0,85 (4.36)Para miembros con extremos no restringidos y sujetos a cargas transver-

sales entre sus apoyos en el plano de la exión, C m es igual a :

C m = 1,00 (4.37)

Para un dise ño preliminar, puede emplearse la carga equivalente dada por:Si P u /φP n > 0,2,

bP u + mM ux + nM uy ≤1,0 (4.38)Si P u /φP n ≤0,2,b

P u2

+ 98

mM ux + 98

nM uy ≤1,0 (4.39)Donde :


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b = 1φP n

m = 8

9φbM nx

b = 8

9φbM ny

Especicaciones NTC-DCEM

Los estados ĺımite a considerar son :

Pandeo de conjunto de un entrepiso bajo carga vertical.

Pandeo individual de una o algunas columnas bajo carga vertical.

Inestabilidad de conjunto de un entrepiso bajo cargas verticales y ho-rizontales combinadas.

Falla individual de una o algunas columnas bajo cargas verticales y ho-rizontales combinadas, por inestabilidad o porque se agote la resistenciade alguna de sus secciones extremas.

Pandeo local.

En todos los casos debe revisarse la resistencia de las dos secciones ex-tremas y de la columna completa, incluyendo efectos de segundo orden. Losmiembros exocomprimidos que forman parte de estructuras regulares se di-mensionan de manera que se cumplan los siguientes requisitos :

Las secciones extremas se revisan con :a) Secciones tipo 1 y 2,

Secciones H o I,

P uF R P y

+ 0,85M uox

F R M px+

0,60M uoyF R M py ≤1,0 (4.40)


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Secciones en cajón cuadradas,

P uF R P y

+ 0,80M uox

F R M px+

0,80M uoyF R M py ≤1,0 (4.41)

Donde :

◦ F R =0.90◦ P u , fuerza axial de diseño que obra sobre la columna.◦ M uox y M uoy , momentos de diseño en el extremo considerado.◦ M px = Z xF y y M py = Z yF y, Momentos pl ásticos resistentesnominales.◦ P y = At F y , Fuerza axial nominal.

Además debe vericarse, para secciones H, I o en cajón :

M uoxF R M px

+ M uoyF R M py ≤1,0 (4.42)

Si la sección es diferente :

P uF R P y

+ M uoxF R M px

+ M uoyF R M py ≤1,0 (4.43)

b) Secciones tipo 3 y 4,

En cada extremo de la columna debe vericarse :

P uF R P y

+ M uoxM px

+ M uoyM py ≤1,0 (4.44)

Revisión de la columna completa.

a) Secciones tipo 1 y 2,

P uRc

+ M ∗uox

M m+

M ∗uoyF R M py ≤1,0 (4.45)

Donde :

◦ P u , fuerza axial de diseño quien obra sobre la columna.


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◦ M ∗uox y M ∗uoy , momentos de diseño máximos, aunque no sepresenten en el mismo extremo.

M m = F R 1,07 −(L/r y) F y /E 18,55 M px ≤F R M px (4.46)

C = 1,0, M m puede tomarse igual a F R M px cuando la columnaestá soportada lateralmente en forma continua o provista de so-portes laterales con separación L no mayor que Lu si no se requierecapacidad de rotación, o no mayor que L p cuando śı se requieracapacidad de rotación. Rc y P E 2 se calcula con K = 1,0

b) Secciones tipo 3 y 4,

P uRc

+ M ∗uox

M m+

M ∗uoyM py ≤1,0 (4.47)

Los momentos de diseño en los extremos de la columna se determinancon (NTC-1.1) :

M uo = M ti + B2M tp (4.48)

Los momentos de diseño en la zona central de la columna se determinancon (NTC-1.2) :

M ∗uo = B1(M ti ) + B2(M tp ) (4.49)

Donde :

M ti y M tp , momentos de diseño en los extremos producidos por cargasque no ocasionan desplazamientos laterales apreciables y por accionesque śı los provocan, respectivamente.

En marcos con rigidez suciente, desaparece B2M tp y M ti es la sumade los momentos producidos por cargas verticales y horizontales.

B1 y B2, Factores de amplicaci ón,

B1 = C

1 − P uF R P E 1(4.50)


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B2 = 11 −I (4.51)

o

B2 = 1

1 − ΣP uΣ P E 2(4.52)

P E 1 = At π1E

((K ≤1,0)L/r )2 (4.53)

P E 2 = A

tπ1E

(KL/r )2 (4.54)

L, longitud no soportada lateralmente en el plano de la exi´ on.

r , radio de giro correspondiente.

K , factor de longitud efectiva.

P u , fuerza axial de diseño.

ΣP u , suma de fuerzas axiales de diseño en todas las columnas del en-

trepiso en consideraci ón.I , ı́ndice de estabilidad,

I = ΣP u Q∆ OH

(Σ H )L (4.55)

• Q, factor de comportamiento śısmico• ∆ OH , desplazamiento relativo de primer orden del entrepiso con-siderado.

• ΣH , suma de todas las fuerzas horizontales de dise ño que obran

encima del entrepiso en consideraci ón.

• L, altura del entrepiso (obsérvese la diferencia con las ecuacionesanteriores)C , coeciente dependiente de la ley de variaci ón del momento exio-nante :


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a) Miembros exocomprimidos de marcos contraventeados o no, so-

bre los que no obran cargas transversales aplicadas en puntos in-termedios.C = 0,6 + 0 ,4(M 1/M 2) (4.56)

(M 1/M 2) negativo para curcatura doble y M 1 < M 2b) Miembros exocomprimidos de marcos contraventeados o no, so-

bre los que obran cargas transversales aplicadas en puntos inter-medios (NTC-1.6).

C = 1 + ΨP uP E

(4.57)

Donde :

Ψ = π2δ oEI M uo L2 −1 (4.58)

con, δ o, deexión máxima. En lugar de lo anterior, puede usarseC = 0,85 para miembros restringidos angularmente y C = 1,0 sino lo están.

Entrepisos cuyo dise˜ no queda regido por cargas verticales ´ unica-mente

Si las fuerzas y momentos se obtienen por medio de un análisis de segundoorden , los momentos de diseño se calculan por :

M uo = M ti + M tp (4.59)

M ∗uo = B1(M ti + M tp ) (4.60)

Si las fuerzas y momentos se obtienen de un an álisis de primer orden, larevisión de las secciones extremas y de la columna completa se hace comoantes. C debe corresponder a columnas contraventeadas o en las que puedan

despreciarse los efectos de esbeltez, en caso contrario C = 1,0. De igual formaK puede ser menor o mayor que 1.0.Si las fuerzas y momentos se obtienen de un an álisis de segundo orden,

la revisión de las secciones extremas y de la columna completa se hace comoantes. C debe calcularse según las expresiones 4.56 o4.57. Ahora K puedeser menor que 1.0.


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Caṕıtulo 5

Placas

5.1. Ecuací on de LagrangeLa ecuación que gobierna el equilibrio de placas planas sujetas a cargas

perpendiculares a su plano, recibe el nombre de ecuaci ón de Lagrange. Parasu obtenci ón consid́erese un sistema de referencia cartesiano como el de lagura 5.1 . En forma similar a las hip ótesis de Navier-Bernoulli, se har ánaqúı, uso de las hip ótesis de Reissner-Kirchhoff :

Figura 5.1: Sistema de referencia y esfuerzos

a) Una ĺınea inicialmente normal a la supercie media de la placa, per-

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72 CAP ́ITULO 5. PLACAS

manece recta y normal a la supercie media deformada, sin presentar

ningún cambio en su longitud.b) Los esfuerzos normales σx y σy , se anulan en la supercie media.

c) Los desplazamientos transversales al plano de la placa ω = ω(x,y)son pequeños, por lo que las curvas estar án dadas por las ecuacionessiguientes:

1Rx

= ∂ 2ω∂x 2

(5.1)

1Ry

= ∂ 2ω

∂y2 (5.2)

Y los ángulos φx y φy, que forma el plano tangente a la superciedesplazada con los ejes X y Y pueden expresarse por:

φx = tan φx = ∂ω∂x

(5.3)

φy = tan φ

y =

∂ω

∂y (5.4)

De las hipótesis a) y b) se concluye que los esfuerzos σx y σy , tienen unavariaci ón lineal con respecto al eje Z. De la hipótesis c) se inere que losdesplazamientos de la supercie media son únicamente verticales.

Como hipótesis adicional se considera que no hay fuerza en el plano dela placa (fuerzas de membrana), es decir, que las cargas que act´uan sobre laplaca son perpendiculares a su supercie.

Para cualquier punto de la placa, no contenido en la supercie media, losdesplazamientos u y v van a ser tambíen lineales a lo largo de los ejes X y

Y respectivamente y proporcionales a sus distancias a partir de la superciemedia (guras 5.2 y 5.3 ). Además puede expresarse el desplazamiento de unpunto mediante sus componentes u y v .

De la gura 5.2, el triángulo OÁ P’u puede obtenerse por :

u = −z sen φx = −z tan φx = −z ∂ω∂x

(5.5)


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5.1. ECUACI ÓN DE LAGRANGE 73

Figura 5.2: Flexi ón plano x

Figura 5.3: Desplazamiento en funci ón de u y v

En forma similar, en un plano paralelo al YZ :

v = −z sen φy = −z tan φy = −z ∂ω∂y

(5.6)

De la teoŕıa de la Elasticidad, se tiene :

x = ∂u∂x

(5.7)

y = ∂v

∂y (5.8)

z = ∂u∂z

(5.9)

γ xy = ∂u∂y

+ ∂v∂x

(5.10)


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γ yz = ∂v∂z + ∂ω∂y (5.11)

γ zx = ∂ω∂x

+ ∂u∂z

(5.12)

Substituyendo los valores de las componentes u , v y ω se tiene:

x = −z ∂ 2ω∂x 2

(5.13)

y =

−z

∂ 2ω

∂y2 (5.14)

z = ∂ω∂z

= 0 (5.15)

γ xy = −z ∂ 2ω∂x∂y −z

∂ 2ω∂x∂y

= −2z ∂ 2ω∂x∂y

(5.16)

γ yz = ∂v∂z

+ ∂ω∂y

= 0 (5.17)

γ zx = ∂ω∂x + ∂u∂z = 0 (5.18)

Se anulan las componentes de deformaci ón z , γ yz y γ zx debido a que ωes función de x y de y , solamente, y a que :

∂u∂z

= ∂ ∂z −z

∂ω∂x

(5.19)

∂u∂z

= ∂ ∂z

(−z )∂ω∂x

+ ∂ ∂z

∂ω∂x

(−z ) (5.20)

∂u∂z

= −∂ω∂x (5.21)Y siguiendo un proceso similar :

∂v∂z

= −∂ω∂y

(5.22)


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Conocido el estado de deformaciones se determina el estado de esfuerzos

aplicando la ley de Hooke. Para un material is´otropo y lineal, se tiene :

σx = E 1 −ν 2

( x + ν y) = − E z1 −ν 2

∂ 2ω∂x 2

+ ν ∂ 2ω∂y2

(5.23)

σy = E 1 −ν 2

( y + ν x ) = − E z1 −ν 2

∂ 2ω∂y2

+ ν ∂ 2ω∂x 2

(5.24)

τ xy = Gγ xy = −2Gz ∂ 2ω∂x∂y

= − E z1 + ν

∂ 2ω∂x∂y

(5.25)

El estado de esfuerzos a que está sujeto un elemento diferencial de pla-ca se muestra en la gura 5.4. Para plantear el equilibrio de este elementoconsidérese la gura 5.5. Es posible determinar los momentos exionantes ytorsionantes que act´uan en un ancho unitario y de altura h (gura 5.6) :

Figura 5.4: Elemento diferencial

M x = h/ 2

− h/ 2σx (1)( z )dz (5.26)

M y = h/ 2− h/ 2 σy(1)(z )dz (5.27)M xy −M yx =

h/ 2

− h/ 2τ xy (1)(z )dz = −

h/ 2

− h/ 2τ yx (1)( z )dz (5.28)

Substituyendo los valores de los esfuerzos :


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Figura 5.5: Equilibrio de la placa

M x = h/ 2

− h/ 2−Ez

1 −ν 2∂ 2ω∂x 2

+ ν ∂ 2ω∂y2

zdz (5.29)

M y =

h/ 2

− h/ 2

−Ez 1 −ν

2∂ 2ω

∂y2 + ν

∂ 2ω

∂x2 zdz (5.30)

M xy = h/ 2

− h/ 2−Ez

1 −ν 2 ∂ 2ω∂x∂y

zdz (5.31)

La expresión para M x se transforma en :

M x = −E 1 −ν 2∂ 2ω∂x 2

+ ν ∂ 2ω∂y2

h/ 2

− h/ 2z 2dz (5.32)

De acuerdo con la gura

h/ 2

− h/ 2z 2(1)dz =

h/ 2

− h/ 2z 2dA (5.33)

h/ 2

− h/ 2z 2dA = I =

h3

12 (5.34)

Substituyedo en la ec. 5.32 se obtiene :


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Figura 5.6: Sección de ancho unitario

M x = −Eh3

12(1 −ν 2)∂ 2ω∂x 2

+ ν ∂ 2ω∂y2

(5.35)

Donde al factorD =

Eh 3

12(1 −ν 2) (5.36)

se le conoce como rigidez a exión de la placa. Finalmente, las expresionespara M x y de manera similar para las de M y y M z son :

M x = −D∂ 2ω∂x 2

+ ν ∂ 2ω∂y2

(5.37)

M y = −D∂ 2ω∂y2

+ ν ∂ 2ω∂x 2

(5.38)

M xy = −M yx = D(1 −ν )∂ 2ω∂xy

(5.39)

De acuerdo con las ecuaciones 1.1 y 1.2, las ecuaciones 5.37 y 5.38 de losmomentos M

x y M

y pueden transformarse en

M x = −D 1Rx

+ ν 1Ry

(5.40)

M y = −D 1Ry

+ ν 1Rx

(5.41)


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Estas ecuaciones establecen la relaci ón que hay entre momentos exio-

nantes y curvaturas.Por equilibrio de momentos con respecto a los ejes Y y X, y consideran-do como V x y V y a las fuerzas por unidad de longitud que act úan sobre lasupercie normal al eje X y al eje Y respectivamente se tiene :

V xdxdy − ∂M x

∂x dxdy −

∂M yx∂y

dxdy = 0 (5.42)

V ydydx − ∂M y

∂y dydx −

∂M xy∂x

dydx = 0 (5.43)

Quienes se reducen a las expresiones

V x = ∂M x

∂x +

∂M yx∂y

(5.44)

V x = ∂M y

∂y +

∂M x y∂x

(5.45)

Utilizando las ecuaciones 1.37-1.39 en las ecuaciones 1.44-1.45, se tiene :

V x = ∂ ∂x −D

∂ 2ω∂x 2

+ ν ∂ 2ω∂y2

+ ∂ ∂y −D(1 −ν )

∂ 2ω∂x∂y

(5.46)

V x = −D∂ 3ω∂x 3

+ ν ∂ 3ω∂xy 2

+ ∂ 3ω∂xy 2 −ν

∂ 3ω∂xy 2

(5.47)

Finalmente :

V x = −D ∂ ∂x

∂ 2ω∂x 2

+ ∂ 2ω∂y2

(5.48)

V y = −D ∂ ∂y

∂ 2ω∂x 2

+ ∂ 2ω∂y2

(5.49)

Por equilibrio respecto a fuerzas verticales :

qdxdy + ∂V x∂x

dxdy + ∂V y

∂y dxdy = 0 (5.50)

∂V x∂x

dx + ∂V y∂y

dy = −q (5.51)


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donde q(x,y) es la función que representa la intensidad de carga externa.

Empleando las ecuaciones para V x y V y obtenidas se tiene :

∂ ∂x −D

∂ ∂x

∂ 2ω∂x 2

+ ∂ 2ω∂y2

+ ∂ ∂y −D

∂ ∂y

∂ 2ω∂x 2

+ ∂ 2ω∂y2

diseño est acero

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