DISEMINACIÓN DE MASAS DE ALTA EXACTITUD POR EL METODO DE GAUSS MÁRKOV DESDE

1 mg HASTA 1 kg

Expositora: Luz Cori A.

Fecha 2012-05-17

1. MINIMOS CUADRADOS ORDINARIOS - MCO Y GAUS MARKOV - GM

1.1. Modelo Matemática MCO-GM En este modelo de diseminación se realiza una serie de comparaciones que a su vez

genera un número igual de ecuaciones en donde las incógnitas son los valores demasa de las pesas (a excepción de la pesa patrón involucrada), generalmente estosmodelos se usan por décadas de 1 kg a 100 g, de 100 g a 10 g , … ó de 1 kg a 10 kg

• La solución de estos sistemas de ecuaciones implica un mayor número de medicionesy el uso de matemáticas más complejas que para la calibración de pesas porcomparación una a una, sin embargo, debido a la necesidad de generar la escala demasa a partir de 1 kg y a la posibilidad de obtener resultados muy confiables alintroducir patrones de control, estos métodos son recomendados para la calibraciónde pesas clase OIML E1

1.2. Mínimos cuadrados Ordinarios - MCO

En este método, se analizaran los principales supuestos del estimador de mínimoscuadrados ordinarios paso a paso donde se demuestra cada supuesto de: linealidad,esperanza nula, insesgadez, ausencia de autocorrelación, matriz de varianza ycovarianza, en presencia de una matriz de varianza y covarianza de los errores, parallegar al menor estimado.

Para este método consideramos el modelo lineal general, (1)

donde es el error, es el mejor estimado del modelo lineal y X es la matriz de diseño, y la matriz columna “ Y “ se obtiene de la siguiente ecuación

donde: es la diferencia del patrón y la muestra de un ciclo de mediciones

es la densidad del aire por la suma de volúmenes de la pesas del patrón y la muestra

XY

iaiii VxVpmy

im

iai VxVp

Supuestos del Estimador de Mínimos Cuadrados Ordinarios

S1-Linealidad:El modelo sigue siendo lineal en el vector de parámetros y lavariable dependiente Y es una función lineal de , tal como se observa en lasiguiente ecuación:

(2)

Para comprobar que los parámetros estimados son una combinación lineal de lasperturbaciones aleatorias del modelo basta con sustituir Y por su expresióncompleta (ecuación 2)Entonces tenemos:

(3)

βXXXXYXXX

βXXYX

T1TT1T

TT

YXXXβ T1T

T1TT1T

T1T

T1T

XXXXXXXβ

XXXXβ

YXXXβ

)( T1T XXXβ

XY

β

β

S2-Esperanza nulaotro supuesto de MCO indica que es el error del ajuste, cuya esperanzamatemáticamente es cero.

S3-InsesgadezEn primer lugar, contar con un estimador insesgado nos asegura que el valor esperado de nuestro cálculo coincide con el valor real del parámetro. Este requisito es fundamental a la hora de realizar una estimación. Partiendo de la ec. (3)

(4)

Entonces se cumple la insesgades tal como se muestra en la ecuación (4)

0)( E

0)(

)()(

)(

EEXXXEβE

XXXEβE

XXXβ

T1T

T1T

T1T

)(βE

S4-Ausencia de autocorrelación

Este supuesto indica que la variable y las perturbaciones no están correlacionadas es decir no existe autocorrelación entre los errores; por lo tanto la covarianza (Cov) de los errores es igual a cero, = 0 , lo cual implica que no existe autocorrelación en la variable dependiente, es decir, Cov (Yi , Yj ) = 0.

(5)

S5-Matriz de varianza covarianza

Llevándolo a su forma matricial : (6) donde fi es un valor arbitrario.

)(0)()(),cov( tEE tt

),...,2,1()()(

)()(2

2

ntEVarEEVar

tt

ttt

)( TE

)()]()[(])[(

))()(())())(((),cov(

ttt

tttt

EEEEEEEEE

Varianza del estimador :Para obtener la mínima varianza de MCO se obtiene la varianza del estimador

usando la ecuación (4) tenemos

Usando la ecuación (3) tenemos

de la ecuación (6) se tiene fi:

El método de MCO no es el mejor estimado de la mínima varianza por el valor arbitrarioque proporciona este método. Por esta razón se dice que MCO no es eficiente.

T ))βE(-β))(βE(-β(E )βvar(

T )-β)(-β(E )βvar(

T1T XXXβ

XXXEXXX)βvar(

XXXXXXE )βvar(1TTT1T

TT1TT1T

)(

1TT

I

T1T XXEXXXX)βvar(

)(

1TMCO

1T XX)βvar(XX)βvar(

Se puede obtener la mínima varianza de

solo si : donde :

Siendo una matriz simétrica, definida positiva.

y es homocedastica y no correlativa, entonces, se tendría:

Como se menciono anteriormente aquí no se ha demostrado que sea homocedastica, en GM se demostrara este supuesto.

I2

)βvar(

1T XX)βvar(

2

I

pnXYXYI

Tiiii .))((2

1.1. Metodo de Gauss Markov GM El Metodo de Gauss Markov afirma que la estimación por mínimos cuadradosgeneralizados del modelo teórico de regresión es óptima en el sentido de que hacemínimo el módulo del vector de residuos (mínima varianza).

S6-Supuesto de HomocedasticidadSe dice que existe homocedasticidad cuando la varianza de los errores de la regresiónes la misma para cada observación i (de 1 a n observaciones), es decir:

donde es un escalar constante para todo i. Lo que significaría que habría unadistribución de probabilidad de idéntica amplitud para cada variable aleatoria.Esta cualidad es necesaria, según el teorema de Gauss Márkov, para que en unmodelo los coeficientes estimados sean los mejores o eficientes, lineales einsesgados.Entonces la varianza de es la misma para todas las observaciones

En el modelo la matriz de varianzas de los errores es de la forma(7)

niE i ,1)( 22 2

),...,2,1()()(

)()(22

2

ntEVarEEVar

tt

ttt

IE T 2)(

Entonces homocedasticidad significa igual dispersión, en otras palabras significaque las poblaciones Y correspondientes a diversos valores de X tienen la mismavarianza .

Transformando el modelo inicial de una forma conveniente de modoque se cumplan todos los supuestos de Gauss Markov (supuesto dehomocedasticidad)

Definimos la matriz como simétrica y positiva.

Ahora esta matriz debe ser igual a una matriz Q que es simétrica y no singular.Entonces definimos la matriz con las siguientes propiedades:

(8)Se considera la siguiente transformación del modelo lineal general multiplicando por

XY

QQ

2

1Q

***111 XYQXQYQXY

1*1*1* QXQXYQY

Ahora nos queda verificar que el modelo transformado de esta forma cumpla con todos los supuestos del teorema de Gauss Markov

Linealidad: el modelo sigue siendo lineal dado que es función lineal de

Esperanza nula:

Para cumplir con el supuesto de homocedasticidad recurrimos a la ecuación (7) donde:

El estimador de mínimos cuadrados generalizados (MCG) se define como el estimador de mínimos cuadrados ordinarios de en el modelo transformado:

(9)

0)()()(

0

11* EQQEE

IQQQQQEQQQEE

II

TTT

111111*** )())(()(

NOTA: Como Q es una matriz simétrica se cumple que TQQ

*Y β

YQQXXQQXβ

YQXQXQXQβ

YXXXβ

TTMCG

TTMCG

T*1

*T*MCG

11

11

1

11

11111

*

)()()()(

YXXXβ TTMCG

111

El estimado se puede escribir también como:

Ahora calculamos la varianza del estimado de mínimos cuadrados generalizados

(10)

Para el cálculo de recurrimos a la ecuación por insesgades del modelo lineal se tiene:Ahora remplazamos la ecuación anterior de insesgades en la ecuación (10)

(11)

MCGβ

)(111

XXXXβ TTMCG

111

TTMCG XXXβ

T

MCG ))βE(-β))(βE(-β(EβVar )(

MCGβ

)βE( MCG

)( MCGβVar

T

MCG )-β)(-β(EβVar )(

111111

111111

111111

)(

)()(

)(

XXXXXXβVar

XXXEXXXβVar

XXXXXXEβVar

T

II

TTMCG

TTTTMCG

TTTTT

MCG

11)(

XXβVar TMCG

2. CALCULO DE LA COMPONENTE Y

CALCULO DE LA COMPONENTE Y

. La incertidumbre por indicación de la balanza debida a la resolución y desviación de la balanza

Incertidumbre por el factor de sensibilidad de la balanza ( )Para balanzas electrónicas se asume que su incertidumbre es despreciable u( )= 0

La incertidumbre combinada de la pesa patrón.

iaiPiPPs VXmfIy .).(.

desviaciónresoluciónA IIIuduI )()(

cPcPcertcP mumumu 22

sf sf

Incertidumbre por la Densidad del aire:La incertidumbre debido a la corrección por empuje del aire será calculada de la siguiente forma

La incertidumbre del volumen de la masa patrón y la masa a calibrar

Para calcular la incertidumbre de y derivamos cada una de sus componentes, tal como se muestra a continuación

4

2

4

22

2

2ˆP

Poaloaoa

i

ioaa

iP

iiPcP

nP

niiE

uuum

mm

u

))()(()( 222 VuVuVu

i

Y

aiPi

Y

PPY

s VXmfIy

321

..)(.

.

)(.)()(.

)(.)(.

)()(

)()(

)(

22222

2222

22

22

1

ss

ss

ss

ss2

fuIrepturesluf

fuIIuf

fuffIIu

IfIYu

))()((

)()(

)()(

)()(

)(

222

2222

22

22

2

PPP

PPPP

PP

PPP

P

PP2

umuX

uXmuX

uXmum

XmYu

))()(()(.

)(.)(.

)()(

)()(

)(

22222

2222

22

22

3

VuVuuV

VuuV

VuVVuVYu

aa

aa

aa

a

a2

es el error del ajuste, cuya esperanza matemáticamente es cero y varianza 2 entonces : 2

222222

22222222

))()(()(.

)()()(.)()(.)(

VuVuuV

XumufuIreptureslufyu

aa

PPPss

)( yu 11)(

XXβVar TMCG

pnXYXY T

iiii

))((2

3. APLICACIÓN DEL METODO DE GM EN LA CALIBRACION DE PESAS E1

Comparadora de masas requerida para hacer una décadade pesas de alta exactitud E1

METTLER TOLEDOAX 106

Resolución de 0,001 ug

Capacidad máxima 111 g

Como hacer una década

Ejemplo con el método de GM

De 100 g a 10 gMATRIZ yi =comparaciones de patron (-1) con la muestra (1)

100 g E0 100 g E1 50 g E1 20 g E1 20 g (.) E1 10 g E1 10 g (pv) E0y1 -1 1 0 0 0 0 0y2 -1 0 1 1 1 1 0y3 -1 0 1 1 1 0 1y4 0 -1 1 1 1 1 0y5 0 -1 1 1 1 0 1y6 0 0 -1 1 1 1 0y7 0 0 -1 1 1 0 1y8 0 0 0 1 -1 1 -1y9 0 0 0 1 -1 -1 1y10 0 0 0 0 -1 1 1y11 0 0 0 -1 0 1 1y12 0 0 0 -1 1 0 0y13 0 0 0 0 0 -1 1

Datos de para la calibración de pesas

CALIBRACIÒN DE PESAS POR EL METODO DE GM - DISEMINACIÓN DE PESAS

Valor nominal valor de masa Incertidumbre estándar Volumen Incertidumbre

volumeng mg mg cm3 cm3

E0 100 g -0,0778 0,0072 12,438 0,0040E1 100 g 12,4898 0,004E1 50 g 6,2467 0,0020E1 20 g 2,498 0,0016E1 20 g (.) 2,4984 0,0016E1 10 g 1,2491 0,0012E0 10 g (pv) -0,0066 0,004 1,2445 0,0015

Calibración de pesas por el método de GM de una década

decadas densidad del aire incertidumbre densidad del aire Y

(g) (mg) mg/cm3 mg/cm3 cm3 (mg)y1 100 -0,009 1,16768138 0,00096811 0,05180 0,051y2 100 -0,010 1,16805527 0,00096842 0,05420 0,054y3 100 -0,021 1,16825329 0,00096859 0,04960 0,037y4 100 -0,002 1,16778308 0,00096820 0,00240 0,001y5 100 -0,016 1,16686444 0,00096744 -0,00220 -0,019y6 50 0,023 1,16559560 0,00096638 -0,00120 0,022y7 50 0,012 1,16447456 0,00096545 -0,00580 0,005y8 30 0,0007 1,16247540 0,00096380 0,00420 0,006y9 30 -0,025 1,16291314 0,00096416 -0,00500 -0,031

y10 20 0,010 1,16056822 0,00096222 -0,00480 0,004y11 20 0,021 1,16062615 0,00096226 -0,00440 0,016y12 20 0,014 1,16126413 0,00096279 0,00040 0,014y13 10 -0,014 1,16170532 0,00096316 -0,00460 -0,019

-0,0778 mg -0,0778

m VV

VpVxamy

Calibración de pesas por el método de GM de una década

Resultados

MASA (g) CORRECCION( mg ) k=1 k=2

100 g E0 -0,078 0,0036 0,007100 g E1 -0,023 0,0066 0,01350 g E1 -0,023 0,0039 0,00820 g E1 -0,012 0,0023 0,005

20 g (.) E1 0,001 0,0023 0,00510 g E1 0,011 0,0017 0,00310 g E0 -0,007

INCERTIDUMBRE (mg)

11)(

XXβVar TMCG YXXXβ TT

MCG111

GRACIAS POR SU ATENCION