discret as b

7/25/2019 Discret as b

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1 DISTRIBUCI ON BERNOULLI

Capıtulo 5

Algunas Distribuciones Discretas

Jose Tapia Caro

En esta seccion se presentaran las principales caracterısticas de algunas distribuciones dis-cretas importantes como la Bernoulli, Binomial, Hipergeometrica y Poisson.

1. Distribucion Bernoulli

Es la mas simple y popular de las distribuciones. Establece un modelo de probabilidadpara variables aleatorias dicotomicas que asumen solo uno de dos estados: Exito o Fracaso,1 o 0, Si o No, A favor o En contra, Aprobado o Rechazado, etc. Ejemplos de variables deltipo Bernoulli son:1. X = Opinion respecto al aumento del IVA al 20 %: a favor o en contra.2. X = Resultado academico final: aprobado o reprobado.

3. X = Intension de compra de un nuevo producto: lo comprarıa o no lo comprarıaGenericamente, a los dos estados de una variable Bernoulli se les llama 1 o 0. Tambiense les llama ”exito.o ”fracaso”sin ninguna connotacion positiva o negativa en el uso de losterminos. Ası, el espacio de una variable aleatoria Bernoulli (el conjunto de valores numericosque asume X es E = {0, 1}

Supongamos que p es la probabilidad de que X asuma el estado 1 y que 1 − p es laprobabilidad de que asuma el estado 0. Es decir, supongamos que P (X = 1) = p y queP (X = 0) = 1 − p , con 0 < p < 1 , entonces el modelo de probabilidad Bernoulli satisfacelas propiedades contenidas en el siguiente teorema.

Teorema 1.1. La funci´ on de probabilidad, la esperanza y la varianza de una variable alea-

toria con distribuci´ on Bernoulli son,

f (x) = px(1 − p)1−x; x ∈ {0, 1}; 0 < p < 1 (1)

E (X ) = p (2)

V ar(X ) = p(1 − p) (3)

Interpretacion de p

El parametro p tambien puede ser interpretado como la proporcion de individuos en lapoblacion clasificados en la categorıa ”exito” y (1 − p) como la proporcion de individuosclasificados en ”fracaso”.

En aplicaciones concretas, el parametro p usualmente es desconocido y debe ser estimado

a partir de una muestra o debe ser conocido por medio de un censo. Por ejemplo, en unaeleccion presidencial, el objetivo final es averiguar la proporcion p de ciudadanos inscritos enlos registros electorales que apoya a cierto candidato. Para conseguir esto se hace un censolegal de las opiniones de tales ciudadanos. Sera Presidente el candidato que resulte con elmayor valor de p. Note que este censo no es mas que un muestreo de las opiniones de todoslos ciudadanos del paıs porque no todos estan inscritos en los registros electorales. Esteejemplo basta para mostrar que las fuerzas que se mueven en torno p pueden ser enormes.

Los ensayos o mediciones tipo Bernoulli pueden generar otras distribuciones discretastales como la Binomial, Hipergeometrica, Geometrica, Binomial Negativa, etc.

1



2 DISTRIBUCI ON BINOMIAL

0 1 2 3 4 5

0 . 0

0 . 1

0 . 2

0 .

3

0 .

4

0 .

5

0 .

6

Binomial(10,0.05)

x

p r o b a b i l i d a d

Figura 1: Bin(10;0.05)

0 5 10 15

0 .

0 0

0 . 0

5

0 .

1 0

0 .

1 5

0 . 2

0

0 . 2

5

0 .

3 0

0 . 3

5

Binomial(30,0.05)

x


Figura 2: Bin(30;0.05)

0 10 20 30 40

0 .

0 0

0 . 0

2

0 . 0

4

0 .

0 6

0 .

0 8

0 .

1 0

0 . 1

2

Binomial(200,0.05)

x


Figura 3: Bin(200;0.05)

2. Distribucion Binomial

La Distribucion Binomial surge cuando se realizan n observaciones o mediciones de unavariable Bernoulli. La situacion concreta es la siguiente.1. Se realizan n ensayos de Bernoulli, cada uno de los cuales resulta en exito E o fracaso F .2. La probabilidad de exito p es constante de ensayo en ensayo.3. Los ensayos tipo Bernoulli son independientes.4. La variable aleatoria binomial X se define como X = numero de exitos que resultan enlos n ensayos.5. Los valores que puede asumir X estan en el espacio E = {0, 1, 2, . . . , n}

El siguiente Teorema presenta las principales caracterısticas del modelo de probabilidadBinomial


toria con distribuci´ on hipergeometrica son,

f (x) =

n

x

px(1 − p)n−x; x = 0, 1, 2, . . . , n (4)

E (X ) = np (5)

V ar(X ) = np(1 − p) (6)

Observaciones 2.1. En relacion al Teorema 2.1 se tiene que:

1.nx

es el numero de formas o posiciones distintas en que pueden darse x exitos en n

ensayos tipo Bernoulli y esta dada pornx

= n!

(n−x)!x! .

2. Si X es una variable aleatoria Binomial entonces anotamos X ∼ Bin(n; p).

3. Cuando n = 1 la distribucion de probabilidad Binomial se reduce a la Bernoulli.

4. Las Figuras 1, 2 y 3 muestran las probabilidades para n = 10, 30, 200 y p = 0, 05.

Ejemplo 1. Sobrevivencia a un accidenteUn hospital de ninos informaba hace poco que solo el 40% de los ninos sobreviven a undeterminado tipo de accidente. En un mes dado el hospital recibe 9 ninos que sufrieron lalesion en cuestion.a) ¿Cual es la probabilidad de que los 9 ninos sobrevivan?b) Las instalaciones del hospital tienen capacidad para tratar no mas de 5 casos de este

2



3 DISTRIBUCI ON HIPERGEOMETRICA

tipo. ¿Cual es la probabilidad de que el hospital sea sobrepasado en su capacidad?c) ¿Cuantos de los 9 ninos pueden esperar los medicos que sobrevivan?SolucionPuesto que un nino que sufre este tipo de accidentes sobrevive o no sobrevive, se trata deuna variable binomial definida por, X = numero de ninos entre 9 que sobreviven a ese tipode accidentes. Entonces, X ∼ Bin(9;0, 40) y su funcion de probabilidad esta dada por,

f (x) =

9x

0, 4x0, 69−x; x = 0, 1, 2, . . . , 9

a) La probabilidad de que los 9 ninos sobrevivan es

P (X = 9) = f (9) =

99

0, 490, 69−9 ≈ 0, 0003

b) La probabilidad de que el hospital sea sobrepasado en su capacidad esta dada por,

P (X > 5) =

9Xx>5

f (x) = f (6) + f (7) + f (8) + f (9)

= 9

6 0, 460, 63 +

9

7 0, 470, 62 +

9

8 0, 480, 61 +

9

9 0, 490, 60

≈ 0, 0743 + 0, 0212 + 0, 0035 + 0, 0003 ≈ 0, 0993

c) La esperanza de una binomial es E (X ) = np . Por tanto, se espera que de los 9 ninosrecibidos por ese tipo de accidentes sobrevivan np = 9(0, 4) = 3, 6 ninos.

Ejercicios. Seccion 2

1. Dibuje la funcion de probabilidad f (x) y la funcion de distribucion F (x) de unavariable Binomial con n = 10 y para p = 0, 10 ; p = 0, 30 y p = 0, 50.

2. Si X ∼ Bin(30;0, 15) calcule las siguientes probabilidades.

a) P (X = 6) b) P (X > 6)c) P (X ≤ 6) d) P (3 < X ≤ 6)

R: a) b) c) d)

3. Se sabe que la variable X tiene una distribucion Binomial con np = 24 y np(1 − p) =14, 4.

a) Calcule P (X > 25)

b) Interprete la desviacion estandar en este caso.

R: a) b)

3. Distribucion Hipergeometrica

La situacion en la que surge esta distribucion es la siguiente:1. Una poblacion de N elementos contiene N E exitos y N F fracasos, con N = N E + N F .2. Se extrae de la poblacion una muestra de n elementos sin reemplazo.3. La variable aleatoria hipergeometrica se define como X = Numero de exitos obtenidosen la muestra de tamano n.

Las principales caracterısticas del modelo de probabilidad hipergeometrico aparecen enel siguiente teorema.

3



3 DISTRIBUCI ON HIPERGEOMETRICA


toria con distribuci´ on hipergeometrica son,

f (x) =

N E

x

N F n − x

N

n

, conmax{0; n − N F } ≤ x ≤ min{N E ; n} (7)

E (X ) = nN E N

(8)

V ar(X ) = nN E N

1 −

N E N

N − n

N − 1

(9)

Nota: Si X tiene distribucion hipergeometrica se anota X ∼ Hiperg(n, N E , N ).

Ejemplo 2. FraudesSuponga que de 2500 cuentas comerciales de un banco 125 han sido adulteradas fraudulen-tamente. Se eligen al azar 50 cuentas comerciales para una auditoria detallada.a) ¿Cual es la probabilidad de que se descubra al menos una de las cuentas alteradas en la

auditoria?.b) ¿Cual es el numero esperado de cuentas adulteradas en la auditoria?.Soluciona) En este caso, la variable aleatoria es X = Numero de cuentas fraudulentas entre las 50seleccionadas Puesto que la cuentas pueden ser clasificadas como con fraude o sin fraude ypuesto que se de una seleccion sin reposicion la variable X es hipergeometrica. Los datosdel problema son N = 2500, N E = 125, N F = 2375 y n = 50. Entonces,

f (x) =

125

x

237550 − x

250050

; 0 ≤ x ≤ 50 (10)

Se pide calcular P (X ≥ 1), entonces

P (X ≥ 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X = 0)

= 1 −

125

0

237550 − 0

250050

= 0, 925

b) El numero de cuentas adulteradas esperadas en la auditoria es:

E (X ) = nN E N = 50

125

2500 = 2, 5

Aproximacion de la Hipergeometrica por una BinomialSi n es mucho menor que N E y N , entonces la proporcion p = N E /N se mantiene aproxi-madamente constante a medida que se extraen los elementos, el factor (N − n)/(N − 1) esaproximadamente 1 y los resultados de cada extraccion son aproximadamente independien-tes. Por tanto, las condiciones de la distribucion binomial se cumplen aproximadamente.Esto quiere decir que,

Hiperg(n, N E , N ) ≈ Bin(n, p) con p = N E /N, n N E (11)

Se acepta que la aaproximacion anda bien si n/N E < 0, 1.

4



4 DISTRIBUCI ON POISSON

Ejemplo 3. (Continuacion Ejemplo 2) Use la aproximacion binomial para calcular la pro-babilidad de que se descubra al menos una de las cuentas alteradas.Solucion Sea X H la variable hipergeometrica Hiperg(50; 125; 2500) y X B la aproximacionbinomial Bin(50;0, 05). Entonces,

P (X H ≥ 1) = 1 − P (X H < 1) = 1 − P (X H = 0)

≈ 1 − P (X B = 0) = 1 − 0, 077

= 0, 923

Al comparar con el resultado del Ejemplo 2 se observa que la diferencia es de 0,003.


4. Se sabe que el 16 % de los vasos de cristal producidos por una Cristalerıa tienen fallasde primer grado. Para verificar que este porcentaje no ha aumentado se toma unamuestra sin reposicion de 30 vasos de la produccion diaria. Si en un dıa cualquiera 9 de30 vasos resulta con fallas de primer grado, calcule e interprete P (X ≥ 9) suponiendoque el 16 % de los vasos producidos tiene defectos de primer grado.

5. Si X ∼ Hiperg(20; 15; 100) calcule las siguientes probabilidadesa) P (X ≤ 5) b) P (X > 15)c) P (X > 5) d) P (5 < X ≤ 15)

6. Calcule la probabilidad de obtener 5 exitos si se extraen sin reemplazo 6 objetos deuna poblacion de tamano N = 60 que contiene 15 exitos.

7. Calcule la probabilidad de obtener 5 o mas exitos si se extraen sin reemplazo 10objetos de una poblacion de tamano N = 40 que contiene 8 exitos.

8. De la produccion diaria de clavos que hace una maquina se sabe que aproximadamenteel 4 % tiene defectos en la punta. Cada dıa se toma una muestra de 100 clavos parainspeccion y en el ultimo muestreo se encontraron 11 clavos de 100 con defectos enla punta. ¿Que tan probable es encontrar 11 o mas clavos con la punta defectuosa enla muestra diaria? ¿Que dice su resultado del supuesto que solo el 4 % de los clavosproducidos por la maquina tiene defectos en la punta?.R: P (X >= 11) ≈ 0, 0022 y el supuesto de 4 % de defectuosos no es creible.

4. Distribucion Poisson

La distribucion Poisson establece un modelo de probabilidad para variables discretasde conteo del tipo ”numero de cambios por unidad de tiempo”. Ejemplos de variables quepueden ser bien modeladas por una Poisson son:1. X = numero de accidentes automovilısticos anuales que resultan en muerte.2. X = numero de clientes que usan un cajero automatico cada dıa.3. X = numero de fallas de costura por prenda.

Los supuestos del modelo Poisson son:1. La probabilidad de que haya mas de una ocurrencia en un intervalo muy pequeno escero. Este supuesto significa que no es posible que hayan dos o mas ocurrencias en el mismoinstante.2. Los intervalos de tiempo no se superponen y la probabilidad de ocurrencia del evento esla misma para cada intervalo.

5




0 5 10 15 20 25

0 . 0

0

0 .

0 5

0 .

1 0

0 . 1

5

Poisson(5)

x

p r o b a b

i l i d a d

Figura 4: Probabilidad Pois(5)

0 5 10 15 20 25

0 . 0

0 .

2

0 .

4

0 .

6

0 .

8

1 . 0

Poisson(5)

x

d i s t r i b u

c i ó n

Figura 5: Distribucion Pois(5)

3. El numero esperado de ocurrencias es el mismo para cada intervalo.


toria con distribuci´ on Poisson son,

f (x) = λxe−λ

x! ; x = 0, 1, 2, . . . ; λ > 0 (12)

E (X ) = λ (13)

V ar(X ) = λ (14)

Las Figuras 4 y 5 muentran la funcion de probabilidad y la funcion de distribucion de

una variable Poisson con λ = 5.

Observaciones 4.1. 1. La letra λ > 0 es un parametro propio de cada situacion ysera interpretado como el ”n´ umero medio o n´ umero esperado de cambios en el intervalode tiempo”

2. Si X tiene una distribucion Poisson de parametro λ se anotara X ∼ Pois(λ)

3. La distribucion Poisson puede ser derivada de la distribucion Bin(n; p) cuando λ = np,n → ∞ y p → 0. Es decir,

lım(n; p)→(∞;0)

n

x

px(1 − p)n−x =

λxe−λ

x! ; x = 0, 1, 2, . . . ; λ = np > 0 (15)

Ejemplo 4. (Falla de componentes) Despues de una prueba de laboratorio muy rigurosacon cierto componente electrico, el fabricante determina que en promedio solo fallaran doscomponentes antes de tener 1000 horas de operacion. ¿Cual es la probabilidad que fallencinco componentes en 1000 horas de operacion?SolucionLa variable aleatoria X corresponde al ”numero de componentes que fallan en 1000 horas deoperacion”. Este tipo de variables son bien modeladas por un modelo Poisson. La funci onde probabilidad es

f (x) = 2xe−2

x! ; x = 0, 1, 2, . . . ;

6




0 5 10 15 20

0 . 0

0

0 .

0 5

0 .

1 0

0 .

1 5

0 .

2 0

Binomial(40,0.10)

x

p r o b a b

i l i d a d

Figura 6: Probabilidad Bin(40;0,10)

0 5 10 15 20

0 . 0

0

0 .

0 5

0 . 1

0

0 . 1

5

0 .

2 0

Poisson(4)

x

p r o b a b

i l i d a d

Figura 7: Probabilidad Pois(4)

, donde λ = 2 corresponde al numero medio de componentes que fallan en 1000 horas. Eneste caso se pide

P (X = 5) = f (5) = 25e−2

5! ≈ 0, 0361,

Aproximacion de la Binomial por la Poisson

Como la distribucion Poisson es el lımite de la distribucion Binomial cuando λ = np,n → ∞ y p → 0. Entonces, la distribucion Binomial puede ser aproximada bastante bienpor la Poisson cuando n es grande y p pequeno. Esto es,

P (X = x) = n

x px(1 − p)n−x ≈

(np)xe−np

x! (16)

Empıricamente, la aproximacion anda bien cuando np ≤ 5. Las Figuras 6 y 7 confirmanvisualmente la semejanza entre una Binomial y una Poisson para np = 4.

Ejemplo 5. Calcule P (X ≥ 2) si X ∼ Binomial(n; p) con n = 50 y p = 0, 05SolucionAquı la funcion de probabilidad binomial es

f (x) =

50

x

0, 005x(0, 95)50−x; x = 0, 1, 2, . . . , n

P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − (f (0) + f (1))

= 1 −

500

0, 0050(0, 95)50−0 −

501

0, 0051(0, 95)50−1

= 1 − 0, 07694498 − 0, 20248678 ≈ 0, 7206.

Ahora como λ = np = 50(0, 05) = 2, 5 < 5 se podrıa usar la aproximacion Poisson,

P (X ≥ 2) = 1 − P (X ≤ 1) = 1 − (f (0) + f (1))

≈ 1 −(2, 5)0e−2,5

0! −

(2, 5)1e−2,5

1!= 1 − 0, 082085 − 0, 2052125 ≈ 0, 7127.

7




La aproximacion es muy buena con error menor al 1 %. Mas precisamente, el error de laaproximacion es de 0,0079


9. Si X ∼ Pois(4, 5) calcule las siguientes probabilidades

a) P (X = 6) b) P (X > 6)c) P (X ≤ 6) d) P (3 < X ≤ 6)Compare estos resultados con los del problema 2.¿Que tan buena es la aproximacion?.

10. De una variable aleatoria X con distribucion Poisson se sabe que P (X = 2 ) =5, 78P (X = 0).a) Determine P (X = 1)b) Determine la media y la desviacion estandar de X .b) Grafique la funcion de probabilidad f (x) y la funcion de distribucion F (x).

11. Se ha encontrado que el numero de desperfectos en la pintura de la superficie delos automoviles al ano de funcionamiento es bien modelado por una distribucion de

Poisson de parametro λ = 7 desperfectos.a) ¿Que porcentaje de automoviles no tiene desperfectos en su pintura de superficieal cabo de un ano de funcionamiento?b) ¿Que porcentaje de automoviles tiene 10 o mas desperfectos en su pintura desuperficie al cabo de un ano de funcionamiento?c) Interprete la desviacion estandar en este problema.

12. Un profesor recibe en promedio 8,6 llamadas telefonicas en las 24 horas previas a unaprueba o examen. Si el numero de llamadas sigue aproximadamente una distribucionde Poisson, ¿cual es la probabilidad dde que el profesor reciba 6 o mas llamadastelefonicas en las 24 horas previas a un examen?.

13. Se ha estimado que aproximadamente 6, 0 % de los automovilistas conduce sin usar elcinturon de seguridad. ¿Que tan probable es que en un control de 80 automovilistasse encuentren 10 o mas conductores que no llevan puesto el cinturon de seguridad?R: Con la Binomial 0,0213 y con la Poisson 0,0251

8

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