director de la fca - unam
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DIRECTOR DE LA FCA Dr. Juan Alberto Adam Siade
SECRETARIO GENERAL
Mtro. Tomรกs Humberto Rubio Pรฉrez โ โ โ โ
COORDINACIรN GENERAL
Mtra. Gabriela Montero Montiel Jefe de la Divisiรณn SUAyED-FCA-UNAM
COORDINACIรN ACADรMICA
Mtro. Francisco Hernรกndez Mendoza FCA-UNAM
โ โ โ
AUTOR M. I. O. Norma Elvira Peralta Mรกrquez
REVISIรN PEDAGรGICA Lic. Guadalupe Montserrat Vรกzquez Carmona
CORRECCIรN DE ESTILO
Mtro. Carlos Rodolfo Rodrรญguez de Alba
DISEรO DE PORTADAS L.CG. Ricardo Alberto Bรกez Caballero Mtra. Marlene Olga Ramรญrez Chavero
DISEรO EDITORIAL
Mtra. Marlene Olga Ramรญrez Chavero
. Dr. Enrique Luis Graue Wiechers Rector Dr. Leonardo Lomelรญ Vanegas Secretario General
Dr. Juan Alberto Adam Siade Director Mtro. Tomรกs Humberto Rubio Pรฉrez Secretario General
Mtra. Gabriela Montero Montiel Jefa del Sistema Universidad Abierta y Educaciรณn a Distancia
______________________________________________________ Matemรกticas II (Razonamiento lรณgico matemรกtico para la toma de decisiones) Apunte electrรณnico Ediciรณn: agosto 2017. D.R. ยฉ 2014 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTรNOMA DE MรXICO Ciudad Universitaria, Delegaciรณn Coyoacรกn, C.P. 04510, Mรฉxico, Ciudad de Mรฉxico. Facultad de Contadurรญa y Administraciรณn Circuito Exterior s/n, Ciudad Universitaria Delegaciรณn Coyoacรกn, C.P. 04510, Mรฉxico, Ciudad de Mรฉxico. ISBN: en trรกmite Plan de estudios 2012, actualizado 2016 โProhibida la reproducciรณn total o parcial por cualquier medio sin la autorizaciรณn escrita del titular de los derechos patrimonialesโ โReservados todos los derechos bajo las normas internacionales. Se le otorga el acceso no exclusivo y no transferible para leer el texto de esta ediciรณn electrรณnica en la pantalla. Puede ser reproducido con fines no lucrativos, siempre y cuando no se mutile, se cite la fuente completa y su direcciรณn electrรณnica; de otra forma, se requiere la autorizaciรณn escrita del titular de los derechos patrimoniales.โ Hecho en Mรฉxico
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OBJETIVO GENERAL
Al finalizar el curso, el estudiante dominarรก los fundamentos matemรกticos a fin de
desarrollar habilidades de razonamiento lรณgico-matemรกtico que le permitan analizar
situaciones hipotรฉticas y de la vida real para la resoluciรณn de problemas. Asimismo,
serรก capaz de acreditar evaluaciones de razonamiento matemรกtico y habilidades
cuantitativas.
TEMARIO DETALLADO
(64 horas)
Horas
1. Fundamentos para el anรกlisis matemรกtico 20
2. Introducciรณn a las evaluaciones de habilidades cuantitativas 4
3. Soluciรณn de problemas y suficiencia de datos 12
4. รlgebra y tรณpicos especiales de matemรกticas 16
5. Mรฉtodos cuantitativos aplicados a los negocios y la toma de
decisiones 12
Total 64
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INTRODUCCIรN
En el mundo, la mayorรญa de las universidades prestigiadas oferentes de posgrados
en el รกrea de negocios utilizan como herramienta de selecciรณn de sus alumnos el
GMAT, Graduate Manegement Admission Test,
que es un examen estandarizado que evalรบa
el razonamiento numรฉrico y verbal de los
aspirantes, estรก elaborado de manera
tal que puede determinar las
capacidades del alumno, no sus
conocimientos. Se presenta por
completo en inglรฉs.
El GMAT consta de tres grandes rubros:
Redacciรณn analรญtica, Secciรณn cuantitativa y Secciรณn verbal. En la Secciรณn
cuantitativa se manejan dos tipos de problemas: Problem solving (soluciรณn de
problemas) y los Data Sufficiency (suficiencia de datos) que presentan un
razonamiento totalmente nuevo para el estudiante.
En la Facultad de Contadurรญa y Administraciรณn, dentro de sus planes de estudio
2012, se considerรณ y aprobรณ la inclusiรณn de una asignatura que permitiera al
alumno reforzar los conocimientos cuantitativos adquiridos hasta su ingreso a la
facultad e introducir el razonamiento lรณgico matemรกtico que se requiere para
presentar dicho examen de admisiรณn, que tambiรฉn ya se estรก aplicando por
algunas empresas para contratar a su personal.
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El material que se presenta a continuaciรณn tiene por objeto enseรฑar a los alumnos
un nuevo tipo de razonamiento lรณgico matemรกtico que les facilite la presentaciรณn
del GMAT o, incluso, un nuevo enfoque en la resoluciรณn de problemas de tipo
cuantitativo; finalmente, se mostrarรก una pequeรฑa proporciรณn de la teorรญa y
algoritmos matemรกticos fundamentales en la toma de decisiones.
Cabe destacar que gran parte del material aquรญ presentado, se basa en el libro de
texto: Razonamiento lรณgico matemรกtico para la toma de decisiones (2015),
elaborado por la Mtra. Norma Elvira Peralta Mรกrquez, editado por UNAM-Facultad
de Contadurรญa y Administraciรณn.
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ESTRUCTURA CONCEPTUAL
Los temas aquรญ abordados estรกn en el orden que marca el plan de estudios 2012,
sin embargo, se recomienda para el estudiante el orden siguiente:
RAZONAMIENTO LรGICO MATEMรTICO PARA LA TOMA DE
DECISIONES
Orden del Plan 2012 Orden propuesto para estudio
1.Fundamentos para el anรกlisis
matemรกtico
1.Fundamentos para el anรกlisis
matemรกtico
2.Introducciรณn a las evaluaciones de
habilidades cuantitativas
2.รlgebra y tรณpicos especiales de
matemรกticas
3.Soluciรณn de problemas y suficiencia
de datos
3.Introducciรณn a las evaluaciones de
habilidades cuantitativas
4.รlgebra y tรณpicos especiales de
matemรกticas
4.Soluciรณn de problemas y suficiencia
de datos
5.Mรฉtodos cuantitativos aplicados a
los negocios y la toma de decisiones
5.Mรฉtodos cuantitativos aplicados a
los negocios y la toma de decisiones
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Unidad 1
Fundamentos para el anรกlisis
matemรกtico
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OBJETIVO PARTICULAR
Al tรฉrmino de esta unidad, el alumno identificarรก los fundamentos de aritmรฉtica,
รกlgebra y geometrรญa.
TEMARIO DETALLADO
(20 horas)
1. Fundamentos para el anรกlisis matemรกtico
1.1. Principios del anรกlisis aritmรฉtico
1.1.1. Resoluciรณn de ejercicios Problem Solving y Data Sufficiency con:
1.1.1.1.Propiedades de los nรบmeros
1.1.1.2.Fracciones y decimales
1.1.1.3. Escalas y proporciones
1.1.1.4. Exponentes y radicales
1.2 Principios del anรกlisis algebraico
1.2.1 Resoluciรณn de ejercicios Problem Solving y Data Sufficiency con:
1.2.1.1. Simplificaciรณn algebraica, polinomios y factorizaciรณn
1.2.1.2. Ecuaciones lineales, inecuaciones, sistemas de ecuaciones y
ecuaciones cuadrรกticas
1.3 Principios del anรกlisis geomรฉtrico
1.3.1 Resoluciรณn de ejercicios Problem Solving y Data Sufficiency con:
1.3.1.1. Lรญneas, รกngulos, รกreas y perรญmetros
1.3.1.2. Triรกngulos, polรญgonos y circunferencias
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INTRODUCCIรN
Aรบn no se cuenta con un documento base
real de quiรฉn fue el primero en descubrir
las matemรกticas, no obstante, se
encuentran muchas exposiciones
generales del origen de las
matemรกticas en Egipto.
Segรบn Aristรณteles, las matemรกticas se
originaron porque la clase sacerdotal de
Egipto tenรญa el tiempo necesario para
dedicarse a su estudio.
La palabra aritmรฉtica estรก definida por la Real Academia de la Lengua como โparte
de las matemรกticas que estudia los nรบmeros y las operaciones hechas con ellosโ.
La palabra geometrรญa se deriva de las palabras griegas geo, que significa โtierraโ y
metron, que significa medir. Los antiguos egipcios y babilonios (4000-3000 a. C.)
pudieron desarrollar una serie de reglas prรกcticas para medir figuras geomรฉtricas
sencillas y para determinar sus propiedades. El conocimiento de la geometrรญa pasรณ
a Grecia desde Egipto y Babilonia. Los griegos legaron algunos de los mรกs grandes
descubrimientos para el avance de las matemรกticas.
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Entre los griegos mรกs prominentes que contribuyeron al progreso matemรกtico
estaban Tales de Mileto (640-546 a. C.), Pitรกgoras, discรญpulo de Tales (ยฟ580?-500
a. C.), Platรณn (429-348 a. C.), Arquรญmedes (287-212 a. C.) y Euclides (alrededor de
300 a. C.).
La Real Academia de la Lengua define el รกlgebra como: โParte de las matemรกticas
en la cual las operaciones aritmรฉticas son generalizadas, empleando nรบmeros,
letras y signos. Cada letra o signo representa simbรณlicamente un nรบmero u otra
entidad matemรกtica. Cuando alguno de los signos representa un valor desconocido
se le llama incรณgnitaโ.
La historia del รกlgebra tiene sus orรญgenes en el aรฑo 2000 a. C. en Mesopotamia y
Babilonia, puesto que su base es justamente la aritmรฉtica, mรกs o menos en la misma
รฉpoca, los egipcios desarrollan un รกlgebra elemental para resolver problemas
cotidianos; por su parte, los griegos en los siglos I, II y III d. C., hicieron grandes
publicaciones acerca de la aritmรฉtica y la geometrรญa.
En el aรฑo 1202 Leonardo Pisa, matemรกtico italiano, mejor conocido como Fibonacci
difundiรณ en Europa el sistema de numeraciรณn arรกbiga y publicรณ el Liber Abaci
(Tratado del รbaco); en los siglos XV y XVI otros notables matemรกticos europeos
hacen contribuciones importantes en el รกrea.
En el aรฑo 1637 Renรฉ Descartes, matemรกtico francรฉs, fusionรณ la geometrรญa y el
รกlgebra inventando la geometrรญa analรญtica. En 1750 Gabriel Cramer, matemรกtico
suizo, introduce la regla de Cramer en el รกlgebra lineal para dar soluciรณn a los
sistemas de ecuaciones lineales.
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1.1. Principios del anรกlisis aritmรฉtico
Para iniciar el aprendizaje de la aritmรฉtica, es preciso definir los conceptos
elementales para la comprensiรณn del tema.
Antes que nada, es necesario precisar que un conjunto es la colecciรณn de objetos
denominados elementos. A los conjuntos se les denota con letras mayรบsculas A, B,
C, etc. y a sus elementos con letras minรบsculas x, y, z, etc.
Dos conjuntos son iguales, si y solo si tienen los mismos elementos. Para denotar
que un elemento forma parte de un conjunto o no, se utilizarรก cualquiera de las
siguientes expresiones con su respectiva notaciรณn:
Se dice que el conjunto A estรก contenido en B, o que el conjunto A es subconjunto
de B, si y solo si cada elemento de A es elemento de B y se denota ๐จ โ ๐ฉ.
Se dice que un conjunto A no estรก contenido en B o que un conjunto A no es
subconjunto de B, si y solo si existe un elemento de A que no pertenece a B y se
denota ๐จ โ ๐ฉ.
๐ โ ๐จ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐จ
๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐จ๐ ๐๐๐รก ๐๐ ๐จ
๐ โ ๐จ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐จ
๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐จ๐ ๐๐ ๐๐๐รก ๐๐ ๐จ
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Existen dos maneras de describir un conjunto:
EJEMPLOS
Por extensiรณn:
1. El conjunto A de todas las letras que conforman la palabra
โArchivologรญaโ.
๐จ ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐
Note usted que se estรกn omitiendo las letras que se repiten, la
razรณn es porque resulta redundante.
2. El conjunto B de los meses del aรฑo cuyo nombre inicia con la
letra m.
๐ฉ ๐๐๐๐๐, ๐๐๐๐
Por comprensiรณn:
1. El conjunto A que se comprende de todos los meses del aรฑo.
๐จ ๐|๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐รฑ๐
2. El conjunto B de las soluciones de una ecuaciรณn de 2ยฐ grado.
๐ฉ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐
Por extensiรณn
โข cuando se enumeran los elementos del conjunto
Por comprensiรณn
โข cuando a la totalidad de los elementos se les describe a travรฉs de una fรณrmula o caracterรญstica.
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Al conjunto que contiene la totalidad de elementos en un problema, se le denomina
Conjunto Universal y se denota U.
Al conjunto que no contiene elementos, se le denomina Conjunto Vacรญo y se denota
ร.
1.1.1. Resoluciรณn de ejercicios con:
1.1.1.1. Propiedades de los nรบmeros
A continuaciรณn se presentan los conjuntos numรฉricos mรกs importantes dentro de las
matemรกticas:
1. Los nรบmeros naturales N.
๐ต ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, โฆ
2. Los nรบmeros enteros Z.
๐ โฆ , ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, โฆ
3. Los nรบmeros racionales Q.
๐ธ ๐ ๐๐ ๐, ๐ โ ๐ ๐ ๐ ๐
4. Los nรบmeros Irracionales I.
๐ฐ ๐ ๐๐ ๐, ๐ โ ๐ ๐ ๐ ๐
5. Los nรบmeros reales R.
๐น ๐ธ โช ๐ฐ
Nota: El conjunto de nรบmeros reales, para las matemรกticas que se manejan en este
curso, es el conjunto que contiene a cualquier nรบmero.
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El conjunto de los nรบmeros naturales tiene asociadas dos operaciones binarias, la
adiciรณn o suma y el producto o multiplicaciรณn que satisfacen los siguientes axiomas:
1. La suma de nรบmeros naturales es conmutativa, es decir, si ๐, ๐ โ ๐ต entonces:
๐ ๐ ๐ ๐
2. La suma de nรบmeros naturales es asociativa, es decir, si ๐, ๐, ๐ โ ๐ entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
3. El producto de nรบmeros naturales es conmutativo, es decir, si ๐, ๐, โ ๐
entonces:
๐ ๐ ๐ ๐
4. El producto de nรบmeros naturales es asociativo, es decir, si ๐, ๐, ๐ โ ๐
entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
5. Existe en N un elemento neutro para el producto, el 1, es decir, si ๐ โ ๐
entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐
6. En N el producto distribuye a la suma, es decir, si ๐, ๐, ๐ โ ๐ entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
El conjunto de los nรบmeros enteros tiene asociadas dos operaciones
binarias, la adiciรณn o suma y el producto o multiplicaciรณn que satisfacen los
siguientes axiomas:
1. La suma de nรบmeros enteros es conmutativa, es decir, si ๐, ๐ โ ๐ entonces:
๐ ๐ ๐ ๐
2. La suma de nรบmeros enteros es asociativa, es decir, si ๐, ๐, ๐ โ ๐ entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
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3. Existe en ๐ un elemento neutro para la suma, el 0, es decir, si ๐ โ ๐ entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐
4. Para cada ๐ โ ๐ existe en ๐ su inverso aditivo que se denota ๐, entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐
5. El producto de nรบmeros enteros es conmutativo, es decir, si ๐, ๐, โ ๐ entonces:
๐ ๐ ๐ ๐
6. El producto de nรบmeros enteros es asociativo, es decir, si ๐, ๐, ๐ โ ๐ entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
7. Existe en ๐ un elemento neutro para el producto, el 1, es decir, si ๐ โ ๐
entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐
8. En ๐ el producto distribuye a la suma, es decir, si ๐, ๐, ๐ โ ๐ entonces:
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
El conjunto de los nรบmeros racionales (o fraccionarios) tiene asociadas dos
operaciones binarias, la adiciรณn o suma y el producto o multiplicaciรณn que se
definen, respectivamente, de la siguiente manera, sean ๐, ๐, ๐, ๐ โ ๐ entonces:
๐๐
๐๐
๐๐ ๐๐๐๐
๐๐
๐๐
๐ ๐๐ ๐
Nota: En adelante, para denotar el producto se omitirรก el signo .
Con estas dos operaciones binarias se satisfacen los siguientes axiomas:
1. La suma de nรบmeros racionales es conmutativa, es decir, si ๐
๐, ๐
๐ โ ๐ธ entonces:
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๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
2. La suma de nรบmeros racionales es asociativa, es decir, si ๐
๐, ๐
๐ , ๐
๐โ ๐ธ
entonces:
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
3. Existe en ๐ธ un elemento neutro para la suma el ๐
๐, es decir, si
๐
๐โ ๐ธ entonces:
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
4. Para cada ๐
๐โ ๐ธ existe en ๐ธ su inverso aditivo que se denota
๐
๐, entonces:
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
5. El producto de nรบmeros racionales es conmutativo, es decir, si ๐
๐, ๐
๐ โ ๐ธ
entonces:
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
6. El producto de nรบmeros racionales es asociativo, es decir, si ๐
๐, ๐
๐ , ๐
๐โ ๐ธ
entonces:
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
7. Existe en ๐ธ un elemento neutro para el producto el ๐
๐, es decir, si
๐
๐โ ๐ธ
entonces:
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
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8. Para cada ๐
๐โ ๐, ๐๐จ๐ง ๐
๐
๐จ
๐ existe en ๐ su inverso multiplicativo (otro nรบmero
racional que al ser multiplicado por รฉste da como resultado al ๐
๐โ ๐), a saber,
el nรบmero ๐
๐, que se denota por
๐
๐
๐ entonces:
๐๐
๐๐
๐ ๐๐
๐๐
๐๐๐๐
๐๐๐๐
๐๐
9. En ๐ el producto distribuye a la suma, es decir, si ๐
๐, ๐
๐, ๐
๐โ ๐ entonces:
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
1.1.1.2 Fracciones y decimales
El conjunto de los nรบmeros irracionales se caracterizan precisamente porque no
pueden expresarse como cocientes de nรบmeros enteros, mรกs aรบn, son aquellos
cuyo cociente tiene una expansiรณn decimal infinita.
El propรณsito de este curso no tiene contemplado el estudio a mayor profundidad de
este conjunto numรฉrico, por lo cual solo se presentarรกn algunos ejemplos de estos
nรบmeros como:
๐ ๐. ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โฆ
๐ ๐. ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โฆ
โ๐ ๐. ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โฆ
โ๐ ๐. ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ โฆ
Y tambiรฉn tienen asociadas dos operaciones binarias, la suma y el producto.
Los nรบmeros reales se definieron como la uniรณn de los nรบmeros racionales con los
irracionales, este es un conjunto con un nรบmero infinito incontable de elementos,
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tambiรฉn tienen asociadas dos operaciones binarias, la suma y el producto; recuerda
que en todos tus estudios anteriores tuviste que operar con estos nรบmeros, incluso
en su forma decimal.
Las operaciones que comรบnmente se manejaron en los nรบmeros reales,
coloquialmente hablando son: la suma, la resta, la multiplicaciรณn y la divisiรณn, porque
con toda la formalidad se tienen definidas solo la suma y el producto, las otras dos
operaciones se derivan de los inversos aditivos y multiplicativos.
1.1.1.3. Escalas y proporciones
Cuando se realiza la comparaciรณn de dos nรบmeros reales, se puede hacer a travรฉs
de una diferencia (resta) o, de igual manera, se puede utilizar un cociente y se
determina quรฉ tanto es mayor uno del otro, en este caso se abordarรก la comparaciรณn
con cocientes.
Se dice que la razรณn de dos nรบmeros es el resultado de dividirlos. Sean ๐, ๐ โ ๐น,
๐/๐ o ๐: ๐ que representa la razรณn c es a d.
Ejemplo:
La razรณn de 5 a 3, se denota ๐/๐ o ๐: ๐ y se lee cinco es a tres.
En este caso, el nรบmero 5 se denomina antecedente y el 3 se denomina
consecuente.
Una proporciรณn consiste en la igualdad entre dos razones y se puede representar
de dos maneras: ๐
๐
๐
๐ o ๐: ๐: : ๐: ๐ y se lee: a es a b como c es a d.
Proporcionalidad
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Cuando el cociente entre dos magnitudes es constante, se dice que las magnitudes
son directamente proporcionales.
Ejemplo 1:
Cualquier producto cuyo costo dependa de su peso o unidad de volumen (carne,
gasolina, papel, etc.) se dice que los costos son proporcionales a las unidades
adquiridas.
Ejemplo 2:
Supongamos que el litro de gasolina magna tiene un costo de $12.50. Si llenamos
la siguiente tabla con los costos de llenar un tanque con los litros de gasolina que
se piden, encontramos lo siguiente:
Gasolina (l) 5 10 15 20 25 30 35
Costo ($) 62.50 125.00 187.50 250.00 312.50 375.00 437.50
Es muy sencillo ver que los precios que se solicitaron para los distintos nรบmeros de
litros, se pueden determinar a travรฉs de una sencilla regla de tres.
Cuando una magnitud crece, mientras que la otra magnitud decrece, se dice que
son inversamente proporcionales.
Ejemplo 3:
Supongamos que se quieren almacenar cajas en un almacรฉn con capacidad de 240
metros cรบbicos, se cuenta con cajas cuyo volumen son de 1, 2, 4 y 8 metros cรบbicos,
entonces podrรก llenar el almacรฉn de acuerdo con:
Nรบmero de cajas 240 120 60 30
Tamaรฑo en m3 1 2 4 8
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Observa que entre mรกs crezca el volumen de la caja, menor serรก el nรบmero de cajas
que se podrรกn almacenar.
1.1.1.4. Exponentes y radicales
La potencia entera positiva de un valor nรบmerico o variable, representa exactamente
el nรบmero de factores que se estรกn multiplicando de este valor o variable consigo
mismo.
Ejemplos:
๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐ ๐ โฆ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐
La potencia entera negativa de un valor nรบmerico o variable, representa el recรญproco
del producto de la potencia positiva.
Ejemplos:
๐ ๐ ๐๐๐
๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐๐๐
La potencia racional de un valor nรบmerico o variable, representa la raรญz de este
nรบmero.
Ejemplos:
๐๐๐๐ โ๐๐๐
๐๐๐ โ๐๐๐
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Con base en las definiciones anteriores, se derivan las siguientes:
Leyes de los exponentes y los radicales
๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐
๐๐ ๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ โฆ ๐
(multiplicar x nโveces)
๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐
๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐
๐ ๐๐
๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ๐๐
๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐
๐๐
๐
โ๐๐
๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ โ๐๐๐
๐๐๐๐ ๐
๐๐ ๐
๐๐
๐
โ๐๐๐
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1.2. Principios del anรกlisis algebraico
Los sรญmbolos usados en รกlgebra para representar cantidades son los nรบmeros y las
letras. Para iniciar el aprendizaje de la aritmรฉtica, es preciso definir los conceptos
elementales para la comprensiรณn del tema.
Ejemplo 1
La siguiente es una expresiรณn algebraica:
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐
Consta de tres tรฉrminos:
Primer tรฉrmino Segundo tรฉrmino Tercer tรฉrmino
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐
Los nรบmeros se emplean pararepresentar cantidadesconocidas y determinadas. Porconvenciรณn se usan lasprimeras letras del abecedariopara denotar tambiรฉncantidades conocidas, a lasque se denomina coeficiente.
Se denominan variables a lasletras que representancantidades desconocidas. Porconvenciรณn se usan las รบltimasletras del abecedario como u, v,w, x, y, z.
Una expresiรณn algebraica esla representaciรณn de unsรญmbolo algebraico o de una omรกs operaciones algebraicas.
Tรฉrmino es una expresiรณnalgebraica que consta de unsolo sรญmbolo o de variossรญmbolos no separados entre sรญpor el signo + o el signo -.
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Observa que cuando un tรฉrmino no va precedido por un signo, toma el valor positivo.
Ejemplo 2
๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
Consta de cuatro tรฉrminos:
Primer
tรฉrmino
Segundo
tรฉrmino
Tercer tรฉrmino Cuarto tรฉrmino
๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
1.2.1. Resoluciรณn de ejercicios con:
1.2.1.1. Simplificaciรณn algebraica, polinomios y factorizaciรณn
Cuando un tรฉrmino involucra un coeficiente, una variable y un exponente, estos
elementos se distinguen, tal como se observa en la siguiente tabla:
๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐
๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
Un polinomio es una expresiรณn algebraica que tiene la forma:
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ โฏ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
Un monomio es una expresiรณn algebraica que consta de un solo tรฉrmino.
Un polinomio es una expresiรณn algebraica que consta de mรกs de un tรฉrmino.
El grado de un polinomio es el grado de su tรฉrmino de mayor grado.
25 de 134 Segundo semestre
Por lo general, un polinomio se ordena de forma ascendente o descendente al grado
del polinomio.
Suma de polinomios
Para poder sumar dos polinomios serรก necesario hacerlo รบnicamente de tรฉrminos
semejantes, es decir, se suman los coeficientes que estรฉn multiplicando a variables
con la misma potencia.
Ejemplo:
Realiza la suma de los siguientes polinomios:
๐ท ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ con ๐ธ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐๐
Se recomienda colocar en orden cada uno de los tรฉrminos y sumar los coeficientes
como se muestra a continuaciรณn:
+ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐
Puesto que por convenciรณn no se expresa de manera escrita un tรฉrmino que estรฉ
multiplicado por cero, el polinomio que resultรณ de la suma es:
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐
Producto de polinomios
Si recordamos la forma de multiplicar que estudiamos en la educaciรณn bรกsica,
cuando las unidades se sumaban con unidades, decenas con decenas y centenas
con centenas, ese mismo proceso se realizarรก para los polinomios pero
considerando un orden estrictamente relacionado con la potencia del tรฉrmino en
cuestiรณn.
26 de 134 Segundo semestre
A continuaciรณn se muestra un ejemplo de la manera en que se multiplican dos
polinomios, recuerda que para los propรณsitos de esta asignatura se estรกn ordenando
de forma descendente.
Ejemplo:
Multiplicar ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ con ๐๐๐ ๐ ๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐๐ ๐ ๐๐
๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐
Por lo tanto el polinomio que resulta del producto es:
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐
Tambiรฉn se puede realizar este producto de forma lineal, aplicando continuamente
la propiedad distributiva, del producto con respecto a la suma, aplicar repetidamente
las leyes de los exponentes y sumar los tรฉrminos semejantes.
Sin embargo, observe que el mรฉtodo expuesto de multiplicar polinomios permite
reducir un posible error por omisiรณn de algรบn tรฉrmino.
1.2.1.2. Ecuaciones lineales, inecuaciones, sistemas de
ecuaciones y ecuaciones cuadrรกticas
27 de 134 Segundo semestre
Las ecuaciones lineales son expresiones algebraicas de grado 1 y solo se
analizarรกn los casos mรกs simples.
La recta
Una recta en su expresiรณn pendiente ordenada al origen se expresa de la siguiente
manera:
๐ ๐๐ ๐
La pendiente de una recta indica su grado de inclinaciรณn, de esta manera:
๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐, ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
Y en tรฉrminos generales, a la ecuaciรณn de una recta tambiรฉn se le presenta como:
๐๐ ๐๐ ๐
Pero son exactamente lo mismo, a continuaciรณn se muestra el despeje que se harรก
de la ecuaciรณn general de la recta:
๐๐ ๐๐ ๐
๐๐ ๐ ๐๐
๐๐๐
๐๐
๐
28 de 134 Segundo semestre
Nota que ๐ ๐
๐ y que ๐ ๐
๐
Ademรกs, existe tambiรฉn la manera de determinar la ecuaciรณn de una recta de la que
se conoce su pendiente y que pasa por un punto, digamos ๐ท๐ ๐๐, ๐๐ :
๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐
Observa que ๐ y ๐ no tienen subรญndice porque son unas variables y que ๐๐, ๐๐ son
valores conocidos.
En caso de no conocer la pendiente, pero sรญ dos puntos en el plano cartesiano por
los que pasa, digamos ๐ท๐ ๐๐, ๐๐ y ๐ท๐ ๐๐, ๐๐ , la forma de determinar la ecuaciรณn
de la recta es a partir de la pendiente, con la fรณrmula:
๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐
De esta manera, la ecuaciรณn de la recta queda:
๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐ ๐๐
Ejemplos:
1. Determine la recta cuya pendiente es -1/3 y que pasa por el punto (-3,5)
Se sustituyen los valores directamente en la fรณrmula:
๐ ๐๐
๐๐ ๐
De esta manera:
๐ ๐๐
๐๐ ๐
๐ ๐๐
๐๐ ๐
29 de 134 Segundo semestre
๐๐
๐๐ ๐ ๐
Quedando la ecuaciรณn de la recta con pendiente y ordenada al origen:
๐๐
๐๐ ๐
Y la ecuaciรณn general:
๐๐
๐ ๐ ๐
O, si se multiplica toda la igualdad por 3:
๐ ๐๐ ๐๐
2. Determine la recta que pasa por (2,3) y por (-3,-5)
Se sustituyen los valores directamente en la fรณrmula:
๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐ ๐
De esta manera:
๐ ๐๐๐
๐ ๐
๐ ๐๐๐
๐ ๐
๐ ๐๐๐
๐๐๐๐
๐๐๐
๐๐๐๐
๐
La ecuaciรณn de la recta con pendiente y ordenada al origen queda asรญ:
๐๐๐
๐๐๐
30 de 134 Segundo semestre
Y la ecuaciรณn general:
๐๐
๐ ๐๐
๐
O, si se multiplica por toda la igualdad por 5:
๐๐ ๐๐ ๐
Las inecuaciones lineales son expresiones algebraicas de grado 1 y se
caracterizan porque en lugar de tener un signo de igualdad se tienen desigualdades
del tipo , , ๐ .
Ejemplos:
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐๐
๐๐
๐ ๐
ยฟCรณmo se resuelve una inecuaciรณn?
La manera en que se resuelve una inecuaciรณn es muy similar a como se resuelve
una ecuaciรณn lineal, solo debe recordarse que si divide o multiplica de ambos lados
de una desigualdad por un valor negativo la desigualdad se invierte. La soluciรณn a
una inecuaciรณn de primer grado es necesariamente un intervalo de la recta real.
Ejemplos:
Se resolverรกn a continuaciรณn dos inecuaciones lineales para que quede mรกs claro
y posteriormente se representarรก su conjunto soluciรณn en la recta real.
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐
๐๐
๐๐๐๐
๐๐
31 de 134 Segundo semestre
๐๐๐๐
Que es un intervalo de la recta real: ๐๐
๐, โ
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐
๐๐
๐๐๐
๐๐๐
๐๐๐๐
๐
Que es un intervalo de la recta real: ๐, โ
Note que en el primer ejemplo el cรญrculo estรก relleno, eso indica que ๐๐
๐ estรก incluรญdo
en el intervalo y, en el segundo ejemplo, el 2 no estรก considerado.
Sistemas de ecuaciones lineales de 2x2
Un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 se expresa de la siguiente forma:
๐ฌ๐๐๐๐๐รณ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐ฌ๐๐๐๐๐รณ๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
0 1 -1 -5 -4 -3 -2 -7 -6
3 4 2 -2 -1 0 1 -4 -3
32 de 134 Segundo semestre
Como puede apreciarse, se trata de dos lรญneas rectas en el plano cartesiano, por
tanto, la soluciรณn implica el determinar el punto en que se intersectan dichas rectas,
si no son rectas paralelas.
Para determinar la soluciรณn de un sistema de ecuaciones de 2x2, hay una diversidad
de algoritmos, de los cuales se recordarรกn solo cuatro:
Suma y resta
El algoritmo consiste de los siguientes pasos:
Suma y resta
Sustituciรณn
Igualaciรณn
Determinantes
1. Elegir una variable a
despejar (x o y)
2. El coeficiente de la variable no
elegida en la ecuaciรณn 1,
multiplicarรก a toda la ecuaciรณn 2 y el coeficiente de la
variable no elegida en la ecuaciรณn 2,
multiplicarรก a toda la ecuaciรณn 1.
3. Restar la ecuaciรณn 2 de la
ecuaciรณn 1.
4. Ahora, ya solo existe una
ecuaciรณn de primer grado con una incรณgnita, por tanto, se despeja
su valor.
5. La variable que ya tiene su valor determinado, en
el paso 4, se sustituye en
cualquiera de las ecuaciones
originales y se despeja el valor
de la otra variable.
33 de 134 Segundo semestre
Ejemplo:
๐ฌ๐. ๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐ฌ๐. ๐ ๐๐ ๐ ๐
1. Elegir una variable a despejar, en este caso y.
2. Multiplicar la ecuaciรณn 1 por (-9) y la ecuaciรณn 2 por (3).
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐๐ ๐๐ ๐
3. Restar la ecuaciรณn 2 de la ecuaciรณn 1.
๐๐๐ ๐๐
4. Ahora, ya solo existe una ecuaciรณn de primer grado con una incรณgnita, por
tanto, se despeja su valor.
๐ ๐
5. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 4, se sustituye en
cualquiera de las ecuaciones originales y se despeja el valor de la otra variable.
๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐ ๐๐
๐๐ ๐
๐๐
๐
Sustituciรณn El algoritmo de sustituciรณn consiste en los siguientes pasos:
34 de 134 Segundo semestre
Ejemplo:
๐ฌ๐. ๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐ฌ๐. ๐ ๐๐ ๐ ๐
1. Elegir una variable a despejar, en este caso y de la ecuaciรณn 2.
๐ ๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐
2. Sustituir la variable despejada en la ecuaciรณn 1.
๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐
3. Ahora, ya solo existe una ecuaciรณn de primer grado con una incรณgnita, por
tanto se despeja su valor.
๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐ ๐
1. Elegir unavariable adespejar (x o y)de una de las dosecuaciones (1 o2) y despejarla.
2. Sustituir lavariabledespejada en laecuaciรณn no-elegida.
3. Ahora, ya soloexiste unaecuaciรณn deprimer grado conuna incรณgnita, portanto, se despejasu valor.
4. La variable queya tiene su valordeterminado, enel paso 3, sesustituye en lavariabledespejada en elpaso 1.
35 de 134 Segundo semestre
๐๐๐๐๐
๐๐
4. X=-1/3, se sustituye en la variable despejada en el paso 1.
๐ ๐ ๐๐
๐
๐ ๐ ๐ ๐
Igualaciรณn
El algoritmo consiste de los siguientes pasos:
Ejemplo:
๐ฌ๐. ๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐ฌ๐. ๐ ๐๐ ๐ ๐
1. Elegir una variable a despejar, digamos X de las dos ecuaciones y despejarlas.
๐๐ ๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐
๐
๐๐ ๐ ๐ โ ๐๐ ๐
๐
2. Igualar las variables despejadas. Ahora, ya solo existe una ecuaciรณn de
primer grado con una incรณgnita, por tanto, se despeja su valor.
1.
โข Elegir una variable a despejar (x o y) de las dos ecuaciones y despejarlas.
2.
โข Igualar las variables despejadas. Ahora, ya solo existe una ecuaciรณn de primer grado con una incรณgnita, por tanto, se despeja su valor.
3.
โข La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 2, se sustituye en una de las variables despejadas en el paso 1.
36 de 134 Segundo semestre
๐ ๐๐๐
๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐
๐๐๐ ๐๐
๐๐๐๐๐
๐
3. La variable que ya tiene su valor determinado, en el paso 2, se sustituye en
una de las variables despejadas en el paso 1, por ejemplo, en la x que se
despejรณ de la primera ecuaciรณn.
๐๐ ๐ ๐
๐
๐๐
๐
Determinantes
Antes de abordar el algoritmo como en los casos anteriores, serรก preciso definir
algunos conceptos:
El determinante de una matriz de orden 2x2 de valores reales, es un valor numรฉrico
que se determina de acuerdo con:
๐ ๐๐ ๐
๐๐ ๐๐
En el sistema de ecuaciones de 2x2:
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
Se tendrรกn asociados tres determinantes: el determinante del sistema, a quien se
denotarรก โ๐, el determinante para despejar el valor de la incรณgnita โxโ โ๐ y el
determinante para despejar el valor de la incรณgnita โyโ โ๐:
โ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐
37 de 134 Segundo semestre
โ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐
โ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐
La soluciรณn al sistema de ecuaciones se determina con los siguientes cocientes:
๐โ๐
โ๐ ๐ ๐
โ๐
โ๐
Ejemplo:
๐ฌ๐. ๐ ๐๐ ๐๐ ๐
๐ฌ๐. ๐ ๐๐ ๐ ๐
Se calculan los determinantes asociados a los sistemas de ecuaciones:
โ๐ ๐ ๐๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐
โ๐๐ ๐๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐
โ๐๐ ๐๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐
Finalmente, se determina la soluciรณn al sistema:
๐โ๐
โ๐
๐๐๐๐
๐๐
๐ ๐โ๐
โ๐
๐๐๐๐
๐
Ecuaciones cuadrรกticas
Una ecuaciรณn cuadrรกtica o de segundo grado en su expresiรณn genรฉrica se
representa mediante:
๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐
Grรกficamente, en el plano cartesiano, representa a una parรกbola que puede abrir
hacia arriba โช, si el signo del coeficiente ๐ ๐ (es positivo) o puede abrir hacรญa
abajo โฉ si el signo del coeficiente ๐ ๐ (es negativo).
38 de 134 Segundo semestre
Una parรกbola puede intersectar al eje de las โxโ en uno, en dos o en ningรบn punto:
Intersecciรณn en dos
puntos
Intersecciรณn en un punto No existe intersecciรณn
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐
Grรกficamente es visible la relaciรณn que tienen la existencia del nรบmero de soluciones
de la ecuaciรณn cuadrรกtica y las intersecciones con el eje de las โxโ, en el caso en
que no toca a este eje, sรญ tiene soluciones; pero estas pertenecen al conjunto de los
nรบmeros complejos.
La ecuaciรณn cuadrรกtica, ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐, se puede resolver de diferente forma,
dependiendo de cuรกl de los coeficientes no estรก presente o de manera genรฉrica,
cuando los tres coeficientes estรกn presentes.
Caso 1) ๐ ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐
En este caso, se puede proceder factorizando la expresiรณn de la siguiente forma:
๐๐ ๐ ๐ ๐
Note que se tiene un producto de dos expresiones igualado a cero, esto implica que,
uno de los dos factores debe ser cero, entonces hay dos soluciones posibles:
39 de 134 Segundo semestre
๐ ๐ ๐ y, por tanto, ๐ ๐
Con factor derecho del producto, se tendrรญa:
๐ ๐ ๐ y, por tanto, ๐ ๐
Finalmente, las dos soluciones posibles son:
๐๐ ๐ y, ๐๐ ๐
Caso 2) ๐ ๐
๐๐๐ ๐๐ ๐
En este caso, se realiza el despeje algebraico correspondiente:
๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐๐
๐๐
๐ โ๐๐ ๐
Finalmente, las dos soluciones posibles son:
๐๐ ๐ y, ๐๐ ๐
Caso 3) ๐, ๐, ๐ ๐
Es justamente este caso el que requiere la fรณrmula general para su soluciรณn:
๐๐,๐๐ โ๐๐ ๐๐๐
๐๐
Ejemplo:
๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐
En este caso:
๐ ๐, ๐ ๐ ๐ ๐ช ๐
40 de 134 Segundo semestre
Aplicando la fรณrmula para determinar las dos soluciones posibles y haciendo las
operaciones correspondientes, se tiene:
๐๐,๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐
๐๐,๐๐ โ๐๐
๐
๐๐,๐๐ ๐
๐
Se determina la primera soluciรณn con el signo positivo de la raรญz y la segunda
soluciรณn con el signo negativo de la raรญz:
๐๐๐
๐ y, ๐๐ ๐
Aprovechando este รบltimo caso en la soluciรณn de ecuaciones cuadrรกticas, es
importante subrayar que el vรฉrtice es el punto que pertenece a la parรกbola y es
aquel donde alcanza su valor mรกximo o mรญnimo, segรบn sea el caso; pero siempre
se puede determinar a travรฉs del uso de las siguientes formulas, derivadas de la
fรณrmula general, de esta manera:
๐ฝ๐ฟ๐
๐๐ y, ๐ฝ๐
๐๐๐ ๐๐
๐๐
41 de 134 Segundo semestre
1.3. Principios del anรกlisis geomรฉtrico
1.3.1 Resoluciรณn de ejercicios con:
1.3.1.1. Lรญneas, รกngulos, รกreas y perรญmetros
Un punto es lo que tiene posiciรณn, pero no dimensiรณn. Se denota por medio de una
letra mayรบscula escrita cerca de รฉl.
Una recta es un conjunto de puntos que de manera conjunta tienen una sola
dimensiรณn. Tambiรฉn se le puede definir como el conjunto de puntos que no tiene
partes curvas. La recta se denota designando dos puntos sobre ella con letras
mayรบsculas.
Los puntos que se encuentran todos en el mismo plano, se dice que son coplanares.
Un รกngulo es la uniรณn de dos segmentos de recta que coinciden en un punto
extremo.
Ejemplo: En la siguiente figura, se muestra el รกngulo ฮฑ que estรก determinado por
los segmentos de recta ๐ฉ๐ช y ๐ฉ๐จ.
A B
42 de 134 Segundo semestre
Los รกngulos generalmente se miden en tรฉrminos de unidad grado (ยฐ). A cada
รกngulo le corresponde un valor real entre 0ยฐ y 360ยฐ que es la medida de un giro
completo.
Se dice que dos รกngulos son รกngulos adyacentes si, y solo si, tienen el mismo
vรฉrtice, un lado en comรบn y los otros dos lados estรกn contenidos en los semiplanos
cerrados opuestos determinados por la recta que contiene el lado comรบn.
Ejemplo: En la figura siguiente, los รกngulos ฮฑ y ฮฒ son รกngulos adyacentes, el vรฉrtice
O es comรบn y comparten el segmento de recta ๐ถ๐ฉ; de igual forma, los segmentos
de recta ๐ถ๐ช ๐ฒ ๐ถ๐จ se encuentran opuestos al segmento comรบn.
Un รกngulo es un รกngulo recto si, y solo si, tiene medida de 90ยฐ.
En geometrรญa se utiliza la palabra congruente para definir lo que tiene el mismo
tamaรฑo y la misma forma. Dos รกngulos son congruentes si, y solo si, tienen la misma
medida.
C
A B ฮฑ
B
A O
ฮฑ
C
ฮฒ
43 de 134 Segundo semestre
Dos rectas son perpendiculares si, y solo si, se intersectan para formar un รกngulo
recto.
Ejemplos:
Se dice que dos รกngulos son รกngulos complementarios si, y solo si, la suma de las
medidas de sus รกngulos es igual a 90ยฐ.
Se dice que dos รกngulos son รกngulos suplementarios si, y solo si, la suma de las
medidas de sus รกngulos es igual a 180ยฐ.
Ejemplos:
A
B C
A
B
C
A
B C
44 de 134 Segundo semestre
a) รngulos complementarios b) รngulos suplementarios
Dos rectas son paralelas si, y solo si, son coplanares y no se intersectan.
Asรญ mismo, dos planos son paralelos si, y solo si, su intersecciรณn es el conjunto nulo.
Ejemplos: A continuaciรณn se muestra que la recta ๐จ๐ฉ y la recta ๐ช๐ซ son paralelas,
de igual manera el plano ABCD y el plano AโBโCโDโ son paralelos.
Teorema 1: Si dos rectas se intersectan entre sรญ, los รกngulos opuestos por el vรฉrtice
son iguales.
ฮฑ
O ฮฒ
ฮฑ ฮฒ
A B
C D
A
A
B
Bโ
C
Cโ
D
Dโ
ฮฑ ฮฒ
ฮฑฮฒ'
45 de 134 Segundo semestre
En este dibujo el teorema afirma que ฮฑ = ฮฑโ y que ฮฒ = ฮฒโ. La razรณn de la veracidad
de este teorema radica en que ฮฑ y ฮฒ son รกngulos suplementarios y los รกngulos ฮฑโ y
ฮฒโ tambiรฉn son suplementarios (suman 180ยฐ).
Teorema 2: Si dos rectas paralelas son cortadas por una recta transversal entonces
se cumplen las siguientes postulados:
A partir de este dibujo se explicarรก cada uno de los postulados:
1. Los รกngulos correspondiente
s son congruentes.
2. Los รกngulos internos del
mismo lado son suplementarios.
3. Los รกngulos alternos internos
son congruentes.
ฮฑ ฮฒ
ฮธ ฮด
ฮฒ' ฮฑ'
ฮธ' ฮด'
46 de 134 Segundo semestre
1. Los รกngulos correspondientes se refiere a ฮฑ con ฮฑโ, a ฮฒ con ฮฒโ, a ฮธ con ฮธโ y a
ฮด con ฮดโ. Es claro que al ser rectas paralelas el รกngulo que se forma con la
transversal para estos casos queda idรฉntico.
2. Los รกngulos internos del mismo lado se refiere a ฮฑ con ฮฒ, a ฮฒ con ฮธ, a ฮธ con ฮด
y a ฮด con ฮฑ. La justificaciรณn es muy evidente, puesto que la suma de cada
pareja es de 180ยฐ. Ocurre exactamente lo mismo para el caso de ฮฑโ, ฮฒโ, ฮธโ y
ฮดโ.
3. Los รกngulos alternos internos se refiere a ฮฒโ con ฮด y a ฮธ con ฮฑโ, estos son
iguales, respectivamente. La razรณn por la que se cumple este postulado es
porque ฮฒโ es igual a ฮดโ por ser รกngulos opuestos y, al aplicar el postulado 2, ฮดโ
es igual a ฮด. Por transitividad el postulado es verdadero.
Una vez que se han abordado las rectas y los รกngulos, pasaremos a otro tema igual
de importante que รฉstos, el triรกngulo.
1.3.1.2. Triรกngulos, polรญgonos y circunferencias
Se define como triรกngulo a la figura plana que consta de tres lados y tres รกngulos
interiores. Estos se clasifican principalmente en tres tipos: Escaleno, Isรณsceles y
Equilรกtero.
Un triรกngulo es escaleno si, y solo si, no tiene dos lados que sean iguales.
Un triรกngulo es isรณsceles si, y solo si, tiene dos lados iguales.
Un triรกngulo es equilรกtero si, y solo si, tiene tres lados iguales.
Ejemplos:
47 de 134 Segundo semestre
a) Escaleno b) Isรณsceles c) Equilรกtero
Se dice que un triรกngulo es un triรกngulo rectรกngulo si, y solo si, tiene un รกngulo
recto.
Propiedades de los triรกngulos:
Teorema de Pitรกgoras: En un triรกngulo rectรกngulo, el cuadrado de la hipotenusa
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos ๐๐ ๐๐ ๐๐.
1. La suma de los รกngulos internos de cualquier triรกngulo es de 180ยฐ
2. En un triรกngulo escaleno todos los รกngulos son diferentes.
3. En un triรกngulo isรณsceles dos de los รกngulos son iguales.
4. En un triรกngulo equilรกtero los tres รกngulos miden 60ยฐ.
48 de 134 Segundo semestre
Segรบn la Real Academia de la Lengua Espaรฑola, un polรญgono es una porciรณn del
plano limitada por lรญneas rectas.
Ejemplos:
De acuerdo a esta definiciรณn, el polรญgono debe tener asociados los รกngulos internos
determinados por las lรญneas rectas que se unen y forman un vรฉrtice.
A la circunferencia tambiรฉn se le conoce como un polรญgono con un nรบmero infinito
de lados.
Un polรญgono es un polรญgono regular si, y solo si, todos sus lados y sus รกngulos son
iguales. De otra manera, se le denomina polรญgono irregular.
Como ejemplos de polรญgonos regulares podemos citar al triรกngulo equilรกtero y al
cuadrado.
c
a
b
49 de 134 Segundo semestre
Se denomina perรญmetro a la medida del contorno de una figura o superficie. La
unidad de medida para un perรญmetro serรก la longitudinal.
Ejemplo:
๐ท ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐
Fรณrmulas de algunos perรญmetros
TRIรNGULO FรRMULA
๐ ๐ ๐ ๐
CUADRADO FรRMULA
๐ ๐๐
RECTรNGULO FรRMULA
๐ ๐๐ ๐๐
PARALELOGRAMO FรRMULA
h
l
h
b
b
ca
2 m
5 m
50 de 134 Segundo semestre
๐ ๐๐ ๐๐
TRAPECIO FรRMULA
๐ ๐ ๐ ๐ ๐โฒ
CIRCUNFERENCIA FรRMULA
๐ ๐ ๐๐
Se denomina รกrea o superficie de una figura plana a la medida de esa superficie.
La unidad de medida para un รกrea o superficie serรก el cuadrado de la unidad de
medida longitudinal.
Ejemplo:
๐ ๐ ๐๐
r
h
b
c
2 m
4 m
b'
bh a c
51 de 134 Segundo semestre
Algunas fรณrmulas de รกreas
TRIรNGULO FรRMULA
๐๐ ๐
๐
CUADRADO FรRMULA
๐ ๐๐
RECTรNGULO FรRMULA
๐ ๐ ๐
PARALELOGRAMO FรRMULA
๐ ๐ ๐
TRAPECIO FรRMULA
๐๐ ๐ ๐
๐
CIRCUNFERENCIA FรRMULA
๐ ๐ ๐๐
h
b
l
h
b
h
b
r
b'
bh
52 de 134 Segundo semestre
Se denomina volumen de un sรณlido al nรบmero de unidades de la medida de espacio
en el sรณlido. La unidad de medida para el espacio serรก el cubo de la unidad de
medida longitudinal.
Ejemplo:
๐ ๐๐ ๐๐
Algunas fรณrmulas de volรบmenes
EXAEDRO REGULAR O CUBO FรRMULA
๐ ๐๐
PARALELOGRAMO
RECTANGULAR FรRMULA
๐ ๐ ๐ ๐ a
b c
l
3 m 2 m
2 m
53 de 134 Segundo semestre
ESFERA FรRMULA
๐๐๐ ๐
๐๐
TETRAEDRO FรRMULA
๐ ๐. ๐๐๐๐๐๐
CONO CIRCULAR RECTO FรRMULA
๐ ๐ ๐ ๐๐
r โ
a
a a
r
h
54 de 134 Segundo semestre
RESUMEN
En esta unidad se abordaron los fundamentos para hacer un anรกlisis matemรกtico,
entre รฉstos destacan la definiciรณn de algunos conceptos bรกsicos y la descripciรณn de
algunos procedimientos
aritmรฉticos.
En primera instancia se definiรณ
al conjunto como aquella
colecciรณn o reuniรณn de
elementos, que en el caso de la
aritmรฉtica se representan con
letras mayรบsculas y a los
elementos que lo conforman con letras minรบsculas.
Siendo los nรบmeros un elemento importante no solo en los conjuntos sino en la
aritmรฉtica en general, se hablรณ sobre las propiedades de los mismos, encontrando
asรญ los conjuntos de los nรบmeros naturales (N), los enteros (Z), los racionales (Q),
los irracionales (I) y los reales (R).
De igual manera, se estudiaron los elementos para hacer un anรกlisis algebraico,
entendiendo que las variables son letras que representan cantidades desconocidas
en una expresiรณn algebraica, dichas variables se representan siempre con las
รบltimas letras del abecedario. Las expresiones algebraicas pueden ser de un solo
tรฉrmino, en cuyo caso se denominan monomios, o bien, de dos tรฉrminos, llamados
polinomios, con los cuales pueden hacerse operaciones tales como sumas, restas
y multiplicaciones.
55 de 134 Segundo semestre
Asรญ mismo se abordรณ el estudio de las ecuaciones de primer y segundo grado, asรญ
como su ubicaciรณn en un plano cartesiano.
Se incorporรณ tambiรฉn el estudio de las rectas y los รกngulos, y los distintos teoremas
para la resoluciรณn de las ecuaciones que implican el uso de รกngulos y rectas.
En esta unidad tambiรฉn se abordรณ la clasificaciรณn de los triรกngulos y las propiedades
de los mismos, para posteriormente examinar algunos elementos de resoluciรณn de
perรญmetros y รกreas, proporcionando un par de formularios que serรกn de utilidad para
realizar dichos cรกlculos en diferentes figuras.
Como se puede apreciar, todos los elementos estudiados en esta unidad son de
utilidad para la resoluciรณn de problemas aritmรฉticos bรกsicos que apoyen el uso del
razonamiento lรณgico y matemรกtico en la resoluciรณn de problemas cotidianos y, por
ende, en la toma de decisiones.
56 de 134 Segundo semestre
BIBLIOGRAFรA
SUGERIDA
Baldor, A. (1980). รlgebra. Madrid: Cรณdice.
Baldor, A. (1991). Geometrรญa plana y del espacio con una introducciรณn a la
trigonometrรญa. Mรฉxico: Cultural.
Budnick, F. (2007). Matemรกticas aplicadas para administraciรณn, economรญa y
ciencias sociales. Mรฉxico: McGrawHill.
Cรกrdenas, H. y otros (1986). รlgebra superior. Mรฉxico: Trillas.
Hemmerling, E. M. (1971). Geometrรญa elemental. Mรฉxico: Centro Regional de
Ayuda Tรฉcnica (AID).
Zubieta, G. (1992). Taller de lรณgica matemรกtica (Anรกlisis lรณgico). Mรฉxico:
McGrawHill.
BรSICA
Peralta, N. E. (2015). Razonamiento lรณgico matemรกtico para la toma de
decisiones. Mรฉxico: UNAM-FCA/ Publishing.
57 de 134 Segundo semestre
Sitios de internet
Sitio Descripciรณn
http://profesores.dcb.unam.mx/
users/ericagv/algebra/historia
%20del%20algebra.pdf
Barrera, Francisco. Historia del
รกlgebra, UNAM-Facultad de
Ingenierรญa.
58 de 134 Segundo semestre
Unidad 2
Introducciรณn a las evaluaciones de
habilidades cuantitativas
59 de 134 Segundo semestre
OBJETIVO PARTICULAR
Al tรฉrmino de esta unidad, el alumno identificarรก la estructura de los ejercicios de
problem solving y suficiencia de datos.
TEMARIO DETALLADO
(4 horas)
2. Introducciรณn a las evaluaciones de habilidades cuantitativas
2.1. Estructura y funcionamiento de las evaluaciones de habilidades
cuantitativas
2.1.1. Estructura de los ejercicios Problem Solving
2.1.2. Estructura de los ejercicios Data Sufficiency
60 de 134 Segundo semestre
INTRODUCCIรN
Como se mencionรณ en la introducciรณn del curso, en esta asignatura se pretende
cambiar el paradigma de razonamiento del alumno, en este sentido, lo mรกs
importante es identificar y resolver dos tipos de problemas que se presentan en esta
secciรณn y que son clasificados como problem solving y los data sufficiency.
Es de suma importancia considerar que para resolver los problemas del segundo
tipo, serรก indispensable que el alumno tenga siempre a la mano la siguiente tabla:
Soluciรณn del
problema Justificaciรณn
A La declaraciรณn (1) por sรญ sola es suficiente, pero la
declaraciรณn (2) por sรญ sola no es suficiente.
B La declaraciรณn (2) por sรญ sola es suficiente, pero la
declaraciรณn (1) por sรญ sola no es suficiente.
C Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero
ninguna declaraciรณn por sรญ sola es suficiente.
D Cada declaraciรณn por sรญ sola es suficiente.
E Ambas declaraciones no son suficientes.
61 de 134 Segundo semestre
2.1. Estructura de las evaluaciones de
habilidades cuantitativas
Nota importante
El alumno debe estar consciente de que en estos dos tipos de
problemas siempre se consideran nรบmeros reales, que son los
que se estudiaron en el capรญtulo 1 (no nรบmeros complejos). De
igual manera, NO debe considerar como informaciรณn certera los
dibujos que acompaรฑan a los problemas, estos son meramente
representativos y no necesariamente fidedignos.
2.1.1 Estructura de los ejercicios problem solving
Definitivamente en este nivel de estudios, el alumno cuenta con un amplio manejo
de los problemas de opciรณn mรบltiple, sin embargo, los denominados Soluciรณn de
problemas se diferencian de los anteriores por contener respuestas que
consideran los posibles errores en el estudiante, de esta manera no es tan sencillo
determinar la respuesta correcta. A continuaciรณn se muestra un sencillo ejemplo
de los posibles razonamientos en un problema de aritmรฉtica.
Ejemplo:
62 de 134 Segundo semestre
En un grupo de 70 estudiantes de la FCA que cursan la asignatura de Estadรญstica
I, 40% reprobรณ el primer examen parcial, 20% reprobรณ el segundo examen parcial
y 10% reprobรณ ambos exรกmenes ยฟcuรกl es la probabilidad de que un alumno de
este grupo, elegido al azar haya reprobado el primer examen parcial; pero no el
segundo?
A. 4/7
B. 3/7
C. 2/5
D. 3/10
E. 1/10
Soluciรณn:
Primero se presentarรกn algunas formas de razonamiento ERRรNEO que se
presenta en los alumnos al tratar de resolver un problema como รฉste:
Caso 1. A primera vista, si no se tiene la mรกs remota idea de cรณmo determinar la
probabilidad, el alumno podrรญa hacer un cociente inmediatamente de 40/70 puesto
que se menciona 40% de 70 alumnos y podrรญa contestar que la respuesta correcta
es A.
Caso 2. Siguiendo un razonamiento completamente ilรณgico pero posible, podrรญa
ser que sumara 10% con 20% de los datos correspondientes y los dividiera entre
70, entonces elegirรญa la opciรณn B.
Caso 3. Si se tienen mรกs nociones de probabilidad, primero convertirรก
seguramente a nรบmero de alumnos el porcentaje de los que reprobaron el primer
examen y lo dividirรญa entre el total: 28/70, que al simplificarse queda como 2/5 y
corresponde a la respuesta C.
63 de 134 Segundo semestre
No obstante, el razonamiento correcto considera:
Por tanto, se puede comenzar convirtiendo a nรบmeros de alumnos, los porcentajes
que se dan como informaciรณn en el problema:
๐. ๐ ๐๐ ๐๐
๐. ๐ ๐๐ ๐๐
๐. ๐ ๐๐ ๐
Si el universo son los 70 alumnos, puede pensarse en el siguiente diagrama de
Venn:
La probabilidad es un nรบmero entre 0 y 1.
Si trabaja con conjuntos, debesaber que el nรบmero deelementos en la uniรณn de dosconjuntos, no es la suma de loselementos de cada uno, puestoque hay que restar una vez loselementos en la intersecciรณn.
64 de 134 Segundo semestre
Recuerde que los alumnos que reprobaron ambos exรกmenes fueron 10%, es decir,
7 alumnos; pero estos se deben restar de aquellos que reprobaron el 1er examen
y de los que reprobaron el 2ยฐ examen, por tanto, ya en el diagrama:
Es fรกcil ver que son solamente 21 los alumnos que reprobaron el primer examen;
pero no el segundo.
De esta manera, son 21 de 70 alumnos la probabilidad buscada y como:
๐๐๐๐
๐๐๐
La respuesta correcta es D.
2.1.2 Estructura de los ejercicios data sufficiency
Los problemas de la categorรญa suficiencia de datos se caracterizan por constar
de un enunciado que presenta un problema que requiere mayor informaciรณn para
poder resolverse y de dos enunciados adicionales enumerados con los incisos (1)
y (2). Es completamente necesario que se examine con detenimiento la pregunta
y cada una de las dos declaraciones que se le proporcionan y solo de esta manera
se podrรก elegir la respuesta adecuada, consistente en elegir una de las siguientes
opciones:
Reprobados del 1er
Reprobados del 2ยฐ examen
21 77
35Aprobados
65 de 134 Segundo semestre
Soluciรณn
del
problema
Justificaciรณn
A La declaraciรณn (1) por sรญ sola es suficiente, pero la
declaraciรณn (2) por sรญ sola no es suficiente.
B La declaraciรณn (2) por sรญ sola es suficiente, pero la
declaraciรณn (1) por sรญ sola no es suficiente.
C Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero
ninguna declaraciรณn por sรญ sola es suficiente.
D Cada declaraciรณn por sรญ sola es suficiente
E Ambas declaraciones no son suficientes
Es justamente este tipo de problemas los que desconoce por completo el alumno
y, generalmente, cuestan mucho mรกs trabajo de analizar y responder
correctamente.
Se recomienda al alumno imprimir esta tabla y tenerla siempre a la mano para
resolver los problemas de esta categorรญa.
Ejemplo:
En el triรกngulo ABC determine el valor del รกngulo โxโ en grados.
(1) ๐๐ ๐๐
(2) y=40
A
B C
xยฐ
yยฐ zยฐ
66 de 134 Segundo semestre
Soluciรณn:
1) Analice primero la informaciรณn del enunciado (1) sin considerar la informaciรณn
del enunciado (2):
๐๐ ๐๐
Con esta informaciรณn se sabe que el triรกngulo es isรณsceles; pero no aporta
mรกs informaciรณn y existen una infinidad de medidas de รกngulos para los
triรกngulos isรณsceles, por tanto no se puede solucionar el problema solo
con este enunciado.
2) Como siguiente paso, se analiza la oraciรณn (2) sin considerar la informaciรณn
del enunciado (1):
๐ฒ ๐๐
Con esta informaciรณn se sabe la medida de uno de los รกngulos del triรกngulo;
pero se desconoce quรฉ tipo de triรกngulo es, podrรญa ser escaleno o isรณsceles,
por tanto no se puede solucionar el problema solo con este enunciado.
3) Ahora se analizarรก si se puede resolver el problema conjuntando los
enunciados (1) y (2):
๐๐ ๐๐
๐ฒ ๐๐
Conjuntando la informaciรณn se sabe que la figura es un triรกngulo isรณsceles
y que el รกngulo diferente tiene una medida de 40ยฐ y el รกngulo โxโ es igual
al รกngulo โzโ; ademรกs, recordando que la suma de los รกngulos internos de
cualquier triรกngulo es de 180ยฐ se tiene:
๐๐ ๐๐ฑ ๐๐๐
๐๐ฑ ๐๐๐ ๐๐
๐ฑ๐๐๐
๐
๐ฑ ๐๐
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La respuesta correcta a este problema es: C. Ambas declaraciones juntas son
suficientes, pero ninguna declaraciรณn por sรญ sola es suficiente.
Observaciรณn: Este tema, en particular, se considera uno de los mรกs difรญciles de
manejar por presentar al estudiante una nueva manera de razonamiento en las
matemรกticas.
68 de 134 Segundo semestre
RESUMEN
Los ejercicios de soluciรณn de problemas (problem solving) contienen respuestas que
consideran los errores que comete o puede cometer la persona que soluciona el
ejercicio, de ahรญ que no resulta tan sencillo determinar la respuesta correcta.
Por otro lado, los ejercicios de Suficiencia de datos (data
sufficiency) consisten en un enunciado que
contiene un problema que necesita de mayor
informaciรณn para ser resuelto y de dos
enunciados adicionales (1) y (2) que sirven
de apoyo para la resoluciรณn. La
recomendaciรณn en este caso es estudiar
con detenimiento la pregunta del problema
y los dos enunciados para poder resolver
adecuadamente el ejercicio.
Al respecto, existen una serie de justificaciones para
cada tipo de problema con que podemos encontrarnos y que serรกn de utilidad para
su resoluciรณn:
Problema A: La declaraciรณn (1) por sรญ sola es suficiente, pero la declaraciรณn
(2) por sรญ sola no es suficiente.
Problema B: La declaraciรณn (2) por sรญ sola es suficiente, pero la declaraciรณn
(1) por sรญ sola no es suficiente.
Problema C: Ambas declaraciones juntas son suficientes, pero ninguna
declaraciรณn por sรญ sola es suficiente.
Problema D: Cada declaraciรณn por sรญ sola es suficiente.
Problema E: Ambas declaraciones no son suficientes.
69 de 134 Segundo semestre
BIBLIOGRAFรA
SUGERIDA
The official guide for GMAT Review (12th ed.) (2009). Hoboken, New Jersey: Wiley
Publishing Inc.
BรSICA
Peralta N. E. (2015). Razonamiento lรณgico matemรกtico para la toma de decisiones.
Mรฉxico: Publicaciones empresariales/ UNAM-FCA.
70 de 134 Segundo semestre
Unidad 3
Soluciรณn de problemas y
suficiencia de datos
71 de 134 Segundo semestre
OBJETIVO PARTICULAR
Al tรฉrmino de esta unidad, el alumno analizarรก y resolverรก problemas por medio de
la lรณgica matemรกtica.
TEMARIO DETALLADO
(12 horas)
3. Soluciรณn de problemas y suficiencia de datos
3.1. Anรกlisis, comprensiรณn y resoluciรณn de ejercicios problem solving
3.2. Anรกlisis, comprensiรณn y resoluciรณn de ejercicios de suficiencia de datos
(data sufficiency)
72 de 134 Segundo semestre
INTRODUCCIรN
En el capรญtulo anterior se
presentรณ de manera precisa en
quรฉ consisten los dos tipos de
problemas que considera el
GMAT en la parte cuantitativa.
En esta secciรณn se presentarรกn
mรกs ejemplos detallados para
que tรบ como alumno te
familiarices aรบn mรกs con estos
tipos de problemas y hagas un
intento por resolver los
problemas que se anexan.
En ese sentido, es importante conocer el proceso mediante el cual se puede
resolver un problema, ya que la resoluciรณn de una problemรกtica debe ser ordenada
y sistematizada, en esta unidad se desglosarรก dicho proceso a travรฉs de ejemplos,
para que sea mรกs sencillo para ti comprender esta temรกtica.
Cabe mencionar que es fundamental que se analice, ejemplifique y se tenga
prรกctica en la resoluciรณn de problemas, ya que ello propiciarรก una mejor toma de
decisiones profesionales.
73 de 134 Segundo semestre
3.1 Anรกlisis, comprensiรณn y
resoluciรณn de ejercicios problem
solving A continuaciรณn se presentarรกn ejemplos adicionales de los problemas de soluciรณn
prototipo de los que se incluyen en la parte cuantitativa del examen GMAT.
Ejemplo 1:
El precio de un refrigerador es de $10,350.00 ยฟCuรกnto costaba hace un aรฑo, si
aumentรณ 11.7%?
A. $ 9,139.05
B. $ 10,230.30
C. $ 5,219.36
D. $ 9,265.90
E. $ 11,721.40
Soluciรณn:
Note usted que el precio base, o el que corresponde al 100% serรญa el que tenรญa el
aรฑo pasado y por tanto se debe considerar el nuevo precio como equivalente al
111.7%. Utilizando una sencilla regla de tres:
๐๐๐. ๐% ๐๐๐๐๐๐๐๐% ๐ฑ
Y el resultado es ๐ฑ ๐๐๐๐. ๐๐ , por tanto, la soluciรณn corresponde al inciso (d).
Sin embargo, es completamente comรบn que el alumno interprete el precio actual
como base, es decir, el 100% y realice una resta a 100 del 11.7, de esta manera el
planteamiento es el siguiente:
74 de 134 Segundo semestre
๐๐๐% ๐๐๐๐๐๐๐. ๐% ๐ฑ
Y el resultado es ๐ฑ ๐๐๐๐. ๐๐ que es INCORRECTO y asรญ aparece en el inciso (a).
Ejemplo 2:
ยฟDe cuรกntas formas distintas se puede llegar del punto A al punto B?
(Se debe respetar el sentido de las flechas).
A. 10
B. 12
C. 16
D. 20
E. 24
Soluciรณn:
Para poder resolver este ejercicio, se debe conocer previamente el triรกngulo de
Pascal o, simplemente, ver el problema del punto A al punto B paulatinamente, es
decir, trace una lรญnea recta que pase por los dos puntos mรกs cercanos al punto A,
a cada uno de ellos se puede llegar de una sola forma. Trace una recta paralela a
la anterior, esta corresponde a tres puntos: al que estรก hasta arriba se puede llegar
de una sola forma, al que estรก en medio de dos formas distintas y al que estรก abajo
solo de una forma. Trace otra recta paralela a la anterior, encontrarรก cuatro puntos,
al de abajo y al de arriba se puede llegar de una sola forma; sin embargo, a los
que estรกn en el centro se pueden llegar de dos formas, por la ruta superior se llega
de una sola forma y a la de abajo por dos formas, por tanto se tienen 1+2= 3 formas
distintas de llegar a cada punto del centro. Siguiendo este razonamiento, se llega
a la soluciรณn: 20 formas distintas. Cualquier otra manera de contabilizar las rutas
posibles, propiciarรญa un posible error.
A B
75 de 134 Segundo semestre
3.2. Anรกlisis, comprensiรณn y
resoluciรณn de ejercicios de
suficiencia de datos (data sufficiency)
Para comprender los ejemplos que se presentan a continuaciรณn, tenga a la mano
la tabla de posibles respuestas a cada problema (que se estudiรณ en la unidad dos)
y recuerde este algoritmo:
1. Se tratarรก de resolver el problemacon el enunciado (1) sin tomar enconsideraciรณn la informaciรณn delenunciado (2) y, aunque se encuentrela soluciรณn, llevar a cabo el paso 2.
2. Se tratarรก de resolver el problemacon el enunciado (2) sin tomar enconsideraciรณn la informaciรณn delenunciado (1)
3. Si ya pudo resolver el problema, entonces:
โข Con ambos enunciados porseparado, la respuesta correcta esD
โข Con el enunciado (1), pero no con el(2), la respuesta correcta es A
โข Con el enunciado (2), pero no con el(1), la respuesta correcta es B
4. Si NO ha podido resolver elproblema, entonces una lainformaciรณn de ambos enunciados y:
a) Si pudo resolver el problema, larespuesta correcta es C
b) Si NO pudo resolver el problema, larepuesta correcta es E
76 de 134 Segundo semestre
Ejemplo 1:
Luisa comprรณ un vestido que tenรญa descuentos extraordinarios y pagรณ por รฉl
$280.00 ยฟCuรกl era el precio original?
(1) El vestido tenรญa 50% mรกs 20% de descuento.
(2) Luisa pagรณ por su vestido sรณlo 40% de su precio original.
Soluciรณn:
Sea ๐ ๐ฉ๐ซ๐๐๐ข๐จ ๐จ๐ซ๐ข๐ ๐ข๐ง๐๐ฅ ๐๐๐ฅ ๐ฏ๐๐ฌ๐ญ๐ข๐๐จ
Si el vestido tenรญa el 50% de descuento, entonces se tenรญa un precio inicial:
๐๐ ๐ ๐. ๐๐ ๐. ๐๐
Si el vestido tenรญa 20% de descuento adicional, entonces se tenรญa un precio inicial:
๐๐ ๐๐ ๐. ๐๐๐ ๐. ๐๐๐ ๐. ๐ ๐. ๐๐ ๐. ๐๐
Con el precio final que se pagรณ se tiene:
๐๐๐ ๐. ๐๐
๐๐๐๐. ๐
๐
๐๐๐ ๐
Por lo tanto, con el enunciado (1) se puede resolver el problema; pero falta analizar
el enunciado (2), por eso no se debe contestar aรบn la respuesta con base en la
tabla.
1.
Se aconseja al alumnoiniciar recabando lainformaciรณn que tiene enel enunciado general, eneste caso lo que pagรณ porel vestido ya con eldescuento, es decir,$280.00
2.
Como siguiente paso, seanaliza la oraciรณn (1) Elvestido tenรญa 50% mรกs20% de descuento. Conesta informaciรณn se tratade determinar el preciooriginal, entonces:
77 de 134 Segundo semestre
1) Ahora se analiza el enunciado (2) Luisa pagรณ por su vestido sรณlo 40% de su
precio original. sin considerar la informaciรณn del enunciado (1), entonces:
Si Luisa pagรณ por el vestido el 40% del precio original:
๐๐๐ ๐. ๐๐
๐๐๐๐. ๐
๐
๐๐๐ ๐
Por lo tanto, con el enunciado (2) TAMBIรN se puede resolver el problema.
La respuesta correcta a este problema es: D, cada declaraciรณn por sรญ sola es
suficiente.
Ejemplo 2:
Una compaรฑรญa fabrica dos tipos de muebles el A y el B. ยฟcuรกntos muebles deben
vender de cada tipo para obtener utilidades totales de $130,000.00?
(1) Las utilidades netas que genera la venta de cada mueble es de $250.00 y
$350.00 para los del tipo A y B, respectivamente.
(2) El fabricante ha determinado que se pueden vender 20% mรกs de los
muebles A que de los del tipo B.
Soluciรณn:
1) La informaciรณn que tiene el enunciado general, es que se quieren obtener
utilidades totales de $130,000.00 y que hay dos tipos de muebles, entonces
sean:
๐ฑ ๐งรบ๐ฆ๐๐ซ๐จ ๐๐ ๐ฆ๐ฎ๐๐๐ฅ๐๐ฌ ๐๐๐ฅ ๐ญ๐ข๐ฉ๐จ ๐ ๐ ๐ฏ๐๐ง๐๐๐ซ
๐ฒ ๐งรบ๐ฆ๐๐ซ๐จ ๐๐ ๐ฆ๐ฎ๐๐๐ฅ๐๐ฌ ๐๐๐ฅ ๐ญ๐ข๐ฉ๐จ ๐ ๐ ๐ฏ๐๐ง๐๐๐ซ
2) Como siguiente paso, se analiza la oraciรณn (1) Las utilidades netas que genera
la venta de cada mueble es de $250.00 y $350.00 para los del tipo A y B,
respectivamente. Con esta informaciรณn se define el modelo:
78 de 134 Segundo semestre
๐๐๐๐ฑ ๐๐๐๐ฒ ๐๐๐, ๐๐๐
Verifique usted que esta ecuaciรณn lineal es una recta y, por tanto, tiene una
infinidad de valores que satisfacen la igualdad.
Por lo tanto, con el enunciado (1) NO se puede solucionar el problema; pero falta
analizar el enunciado (2).
3) Ahora se analiza el enunciado (2) El fabricante ha determinado que se puede
vender 20% mรกs de los muebles A que de los del tipo B. Sin considerar la
informaciรณn del enunciado (1), entonces se construye el modelo:
๐ฑ ๐ฒ ๐. ๐๐ฒ
y operando, queda:
๐ฑ ๐. ๐๐ฒ ๐
Por lo tanto, con el enunciado (2) no se puede resolver el problema, porque
nuevamente se encontrรณ la ecuaciรณn de una recta, en este caso pasa por el origen
y, tambiรฉn tiene una infinidad de soluciones.
4) Analice ahora la informaciรณn de los enunciados (1) y (2) conjuntamente:
๐๐๐๐ฑ ๐๐๐๐ฒ ๐๐๐, ๐๐๐
๐ฑ ๐. ๐๐ฒ ๐
Observe que รฉste es un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 y que sรญ tiene
soluciรณn:
๐ฑ ๐๐๐ y ๐ฒ ๐๐๐
La respuesta correcta a este problema es: C. Ambas declaraciones juntas son
suficientes, pero ninguna declaraciรณn por sรญ sola es suficiente.
79 de 134 Segundo semestre
RESUMEN
En esta unidad se desglosaron
los procesos de resoluciรณn de
problemas con los dos modelos
matemรกticos que se abordaron
en la unidad anterior: problem
solving y data sufficiency, ello
con la finalidad de expresar mรกs
claramente cรณmo se utilizan
dichos modelos en la resoluciรณn de problemas.
Al tener estos dos modelos matemรกticos para la resoluciรณn de problemas se tienen
varias opciones para poder enfrentar una problemรกtica de manera sistematizada y
ordenada, lo cual llevarรก necesariamente a una manera mรกs sencilla de encontrar
una soluciรณn. De ahรญ la importancia de abordar de manera prรกctica estas temรกticas.
80 de 134 Segundo semestre
BIBLIOGRAFรA
SUGERIDA
The oficial guide for GMAT Review (12th ed.) (2009). Hoboken, New Jersey: Wiley
Publishing Inc.
BรSICA
Peralta N. E. (2015). Razonamiento lรณgico matemรกtico para la toma de decisiones.
Mรฉxico: Publicaciones empresariales/ UNAM-FCA.
81 de 134 Segundo semestre
Unidad 4
รlgebra y tรณpicos especiales
de matemรกticas
82 de 134 Segundo semestre
OBJETIVO PARTICULAR
Al tรฉrmino de la unidad, el alumno desarrollarรก habilidades de comprensiรณn, anรกlisis
y razonamiento matemรกtico para la resoluciรณn de problemas de la vida real.
TEMARIO DETALLADO
(16 horas)
4. รlgebra y tรณpicos especiales de matemรกticas
4.1. Construcciรณn de modelos algebraicos
4.1.1. Introducciรณn al modelado
4.1.2. Convirtiendo texto en expresiones y ecuaciones
4.1.3. Representaciรณn grรกfica de ecuaciones lineales
4.2. Anรกlisis cuantitativo
4.2.1. Definiciรณn del problema
4.2.2. Desarrollo del modelo
4.2.3. Datos de entrada
4.2.4. Soluciรณn y anรกlisis de resultados
4.2.5. Implementaciรณn
83 de 134 Segundo semestre
INTRODUCCIรN
En esta unidad se pretende lograr que como alumno aprendas a construir modelos
matemรกticos de problemas cotidianos y, con la teorรญa aprendida en el capรญtulo 1,
tambiรฉn resolver estos problemas.
Se iniciarรก con problemas muy
sencillos y paulatinamente se
aumentarรก la dificultad de los mismos,
en cada uno habrรก que resolver una
problemรกtica, pero definiendo paso a
paso el proceso mediante el cual se
ejecutarรก dicha soluciรณn.
84 de 134 Segundo semestre
4.1. Construcciรณn de modelos
algebraicos
4.1.1. Introducciรณn al modelado
Se le recomienda al alumno comenzar leyendo con atenciรณn toda la informaciรณn
contenida en los enunciados del problema, posteriormente, determinar quรฉ le estรกn
preguntando, eso es crucial para determinar el nรบmero de variables involucradas.
4.1.2. Convirtiendo texto en expresiones y ecuaciones
Ejemplo 1:
Julio le dijo a Luis adivina cuรกntas canicas tengo, y te doy la cuarta parte menos dos
canicas o, lo que es igual, la sexta parte mรกs una canica.
Modelo
La incรณgnita por determinar es el nรบmero de canicas que tiene Julio, esa serรก la
variable del problema:
๐ฑ ๐งรบ๐ฆ๐๐ซ๐จ ๐๐ ๐๐๐ง๐ข๐๐๐ฌ ๐ช๐ฎ๐ ๐ญ๐ข๐๐ง๐ ๐๐ฎ๐ฅ๐ข๐จ
Con la demรกs informaciรณn se construye la siguiente igualdad:
๐ฑ๐
๐๐ฑ๐
๐
85 de 134 Segundo semestre
Ese es el modelo matemรกtico correspondiente, ahora despeje el valor de la
incรณgnita:
๐ฑ๐
๐๐ฑ๐
๐
๐ฑ ๐๐
๐ฑ ๐๐
๐ ๐ฑ ๐ ๐ ๐ฑ ๐
๐๐ฑ ๐๐ ๐๐ฑ ๐๐
๐๐ฑ ๐๐ฑ ๐๐ ๐๐
๐๐ฑ ๐๐
๐ฑ ๐๐
Se concluye entonces que Julio tiene 36 canicas.
Ejemplo 2:
Paola y su hermana juntaron su dinero para ir al cine, ambas juntaron $200.00 pero
la diferencia entre la dieciseisava parte del dinero de Paola menos la dรฉcima parte
del dinero de su hermana es $6.00 ยฟCuรกnto tenรญa originalmente cada una?
Modelo
En este problema se tienen que obtener dos incรณgnitas, una para cada cantidad de
dinero de Paola y su hermana:
๐ฑ ๐๐ข๐ง๐๐ซ๐จ ๐๐ ๐๐๐จ๐ฅ๐
๐ฒ ๐๐ข๐ง๐๐ซ๐จ ๐๐ ๐ฅ๐ ๐ก๐๐ซ๐ฆ๐๐ง๐ ๐๐ ๐๐๐จ๐ฅ๐
Con estas variables se pueden construir el modelo:
๐ฑ ๐ฒ ๐๐๐
๐๐๐
๐ฑ๐
๐๐๐ฒ ๐
86 de 134 Segundo semestre
Que es un sistema de ecuaciones lineales de 2x2, por tanto se puede resolver con
cualquiera de los mรฉtodos aprendidos en el capรญtulo 1 y se obtienen los siguientes
valores:
๐ฑ ๐๐๐
๐ฒ ๐๐
Ejemplo 3:
Si el nรบmero de turistas que hace un recorrido en el Turibus de la Ciudad de Mรฉxico
es exactamente 30, se les cobra $270.00 por persona. Si el nรบmero de pasajeros
excede a las 30 personas, se cobrarรก $5.00 menos a cada pasajero adicional. ยฟCuรกl
es el nรบmero de turistas que debe llevar un Turibus para maximizar los ingresos?
Modelo
Considere que una funciรณn de ingresos dependerรก del nรบmero de pasajeros, puesto
que se multiplica el costo del pasaje por el nรบmero de pasajeros. Solo que en este
caso hay dos tipos de pasajeros:
Para los primeros 30:
๐๐ $๐๐๐ $๐๐๐๐
Para los pasajeros adicionales, que no se sabe cuรกntos llevar para obtener el
mรกximo ingreso:
๐ฑ ๐งรบ๐ฆ๐๐ซ๐จ ๐๐ ๐ฉ๐๐ฌ๐๐ฃ๐๐ซ๐จ๐ฌ ๐๐๐ข๐๐ข๐จ๐ง๐๐ฅ๐๐ฌ ๐ ๐ฅ๐จ๐ฌ ๐ฉ๐ซ๐ข๐ฆ๐๐ซ๐จ๐ฌ ๐๐
Entonces:
๐ฑ $ ๐๐๐ ๐๐ฑ ๐๐๐๐ฑ ๐๐ฑ๐
Ahora se suman para obtener la funciรณn de ingresos:
๐ ๐ฑ ๐๐ฑ๐ ๐๐๐๐ฑ ๐๐๐๐
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Con la teorรญa vista en el capรญtulo 1, se sabe que el mรกximo de una cuadrรกtica se
encuentra en el vรฉrtice, en particular en la abscisa (la fรณrmula estรก en ese
capรญtulo), por tanto:
๐๐ฑ๐
๐๐๐๐๐
๐ ๐๐๐๐๐๐
๐๐
Pero recuerde que x representaba el nรบmero de pasajeros adicionales a los 30 que
abordaron primero el Turibus, por tanto, la respuesta al problema es:
Se requieren 57 pasajeros en total para obtener el mayor ingreso.
4.1.3. Representaciรณn grรกfica de ecuaciones lineales
Una ecuaciรณn lineal, es la expresiรณn algebraica de una recta en el plano cartesiano,
entonces existe una sola representaciรณn de cada una si se determinan los valores
de dos puntos por los que pasa. A continuaciรณn se presentarรก una forma muy
sencilla de encontrar estos puntos.
La ecuaciรณn de la recta tiene cualquiera de las siguientes formas:
๐ฒ ๐ฆ๐ฑ ๐ ๐จ ๐๐ฑ ๐๐ฒ ๐
En el caso de la izquierda, es muy sencillo dar dos valores a la variable x para
obtener los valores correspondientes a la y, que depende del valor de x. Con dos
valores x1 y x2 se obtienen los correspondientes valores y1 y y2 y, por tanto: (x1, y1)
y (x2, y2).
En el caso de la ecuaciรณn del lado derecho, vemos otros subcasos, con base en el
valor de โcโ.
Si ๐ ๐ entonces es una recta que corta a los ejes coordenados y la forma mรกs
sencilla de encontrar los dos puntos donde corta es:
88 de 134 Segundo semestre
๐๐ข ๐ฑ ๐ ๐๐ง๐ญ๐จ๐ง๐๐๐ฌ ๐๐ฒ ๐ โ ๐ฒ๐๐
๐ฉ๐จ๐ซ ๐ฅ๐จ ๐ญ๐๐ง๐ญ๐จ ๐๐ ๐,๐๐
๐๐ข ๐ฒ ๐ ๐๐ง๐ญ๐จ๐ง๐๐๐ฌ ๐๐ฑ ๐ โ ๐ฑ๐๐
๐ฉ๐จ๐ซ ๐ฅ๐จ ๐ญ๐๐ง๐ญ๐จ ๐๐๐๐
, ๐
Si ๐ ๐ entonces es una recta que pasa por el origen (0,0), entonces ya se conoce
un punto por el que pasa, falta solamente determinar otro punto y la forma mรกs
sencilla de encontrarlo es la siguiente:
Escriba una pareja de coordenadas colocando en la abscisa el factor de โyโ, y en la
ordenada el factor de โxโ; posteriormente, cambie el signo de cualquiera de las dos
coordenadas, de esta manera se pueden encontrar dos puntos simรฉtricos
adicionales al origen:
๐, ๐ ๐ฒ ๐, ๐
Ejemplo 1:
y = ๐
๐๐ + 7
Se asignan los siguientes valores de x:
Sustituciรณn
y = ๐
๐ ๐
๐ + 7 y y =
๐
๐ ๐ ๐
y = ๐
๐ + 7 y =
๐
๐ + 7
y = - 1 + 7 y = ๐๐
๐
y = 6
Por tanto, se obtuvieron los puntos ๐
๐, ๐ ๐ ๐, ๐๐
๐ con los que ya se dibuja la
recta:
89 de 134 Segundo semestre
Ejemplo 2:
3x โ 5y = 0
Recuerde que esta recta pasa por el origen y la forma en que se recomendรณ
encontrar el otro punto por el que pasa, se encuentran los puntos ๐, ๐ ๐ ๐, ๐ con
los que ya se dibuja la recta:
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Ejemplo 3:
- 2x + 4y = 10
Recta que corta a los dos ejes coordenados, entonces se determinan los puntos con
el razonamiento:
Si x = 0 y = ๐๐
๐ ๐
๐ (0,
๐
๐
Si x = 0 x = ๐๐
๐ ๐ (-5, 0)
Con los que ya se dibuja la recta:
Ejemplo 4:
Un sistema de ecuaciones de 2x2 es precisamente una pareja de rectas:
3x + 2y = 0
-5x + y = 7
Siguiendo un razonamiento anรกlogo al ejemplo 3, pero para ambas rectas, se tiene:
L1 = 3x + 2y = 10
Si x = 0 y = -5 (o,-5)
Si y = 0 x = ๐๐
๐ (
๐๐
๐ , ๐
91 de 134 Segundo semestre
L2 = -5X + y = 7
Si x = 0 y = 7 (0,7)
Si y = 0 x = ๐
๐ (
๐
๐ , ๐
Y ya se pueden dibujar las rectas:
Ejemplo 5:
Otro sistema de ecuaciones de 2x2 para finalizar y reafirmar conocimientos:
- 2x + 5y = 9
4x - 3y = - 4
L1 = - 2X + 5Y = 9
Si x = 0 โ y = ๐
๐ โ (0,
๐
๐
Si y = 0 โ x = ๐
๐ โ (
๐
๐ , ๐
92 de 134 Segundo semestre
L2 = 4x โ 3y = - 4
Si x = 0 โ y = ๐
๐ ๐
๐ โ (0,
๐
๐
Si y = 0 โ x = ๐
๐ โ (-1, 0)
Y ya se pueden dibujar las rectas:
Representaciรณn grรกfica de ecuaciones cuadrรกticas
y= ax2 + bx + c
Algoritmo
1. Revisar el signo de a
a > 0
a < 0
93 de 134 Segundo semestre
2. Determinar la intersecciรณn de los ejes coordenados
Si x = 0 y= c (0, c)
Si y = 0 ax2 + bx + c = 0
Al resolver la ecuaciรณn se obtienen dos valores de x
(x1,0) y (x2,0)
3. Determine las coordenadas del vรฉrtice
(Vx,Vy) = ๐
๐๐ ,
๐๐๐ ๐๐
๐๐
Ejemplo 1:
y = -2x2 + 5x + 3
a = 2
b= 5
c= 3
1. Revisar el signo de a
a = -2 < 0
2. Determinar la intersecciรณn con los ejes coordenados
Si x=0 y = -2(0)2 + 5(0) + 3
y= 3
(0,3)
Si y= 0 0= -2x2 + 5x + 3
๐๐, ๐๐๐ โ๐๐ ๐๐๐
๐๐
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๐๐, ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐
๐๐, ๐๐ ๐ โ๐๐
๐
๐๐, ๐๐ ๐ ๐
๐
๐๐ ๐ ๐
๐ ๐๐
๐๐
๐ ๐ , ๐
๐๐ ๐ ๐
๐ ๐๐ ๐ ๐, ๐
3. El vรฉrtice
๐ฝ๐ ๐
๐๐ ๐ฝ๐
๐๐ ๐
๐๐
๐๐
๐ฝ๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐ฝ๐
๐ ๐ ๐ ๐๐
๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐๐๐
๐๐๐
๐๐ฑ, ๐๐ฒ๐๐
,๐๐๐
๐. ๐๐, ๐. ๐๐
Grรกfica 1
95 de 134 Segundo semestre
Ejemplo 2:
y = 3x2 -9x
a= 3
b= -9
c= 0
1. Revisar el signo de a
a= 3 > 0
2. Determinar la intersecciรณn con los ejes coordenados
Si x=0 y = 3(0)2 - 9(0)
y= 0
(0,0)
Si y= 0 0= 3x2 - 9x
Forma 1 (factorizaciรณn)
3x (x-3)=0
3x = 0 x=0 (0,0)
x-3=0 x=3 (3,0)
Forma 2 (fรณrmula general)
๐๐, ๐๐๐ โ๐๐ ๐๐๐
๐๐
๐๐, ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐
๐๐, ๐๐ ๐ โ๐๐
๐
๐๐, ๐๐ ๐ ๐
๐
96 de 134 Segundo semestre
๐๐ ๐ ๐
๐ ๐๐
๐๐๐
๐ ๐, ๐
๐๐ ๐ ๐
๐ ๐๐
๐๐
๐ ๐, ๐
3. El vรฉrtice
๐ฝ๐ ๐
๐๐ ๐ฝ๐
๐๐ ๐
๐๐
๐๐
๐ฝ๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐ฝ๐
๐ ๐ ๐ ๐ ๐
๐ ๐๐ ๐๐
๐๐๐๐
๐๐๐๐๐
๐๐ฑ, ๐๐ฒ๐๐
,๐๐๐
๐. ๐, ๐. ๐๐
Grรกfica 2
Ejemplo 3:
y = -3x2 +12
a= -3
97 de 134 Segundo semestre
b= 0
c= 12
1. Revisar el signo de a
a= - 3 < 0
2. Determinar la intersecciรณn con los ejes coordenados
Si x=0 y = -3(0)2 + 12
y= 12
(0,12)
Si y= 0 0= -3x2 +12
Forma 1
0= -3x2 +12
-12= -3x2
๐๐๐
๐๐
4 = x2
โ๐ ๐
โ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐, ๐
โ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐, ๐
Forma 2 (fรณrmula general)
๐๐, ๐๐๐ โ๐๐ ๐๐๐
๐๐
๐๐, ๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐
๐ ๐
๐๐, ๐๐ โ๐๐๐
๐
98 de 134 Segundo semestre
๐๐, ๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐ ๐, ๐
๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐ ๐, ๐
3. El vรฉrtice
๐ฝ๐ ๐
๐๐ ๐ฝ๐
๐๐ ๐
๐๐
๐
๐ฝ๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐ฝ๐
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐
๐ ๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐๐๐๐
๐๐
๐๐ฑ, ๐๐ฒ ๐, ๐๐
Grรกfica 3
99 de 134 Segundo semestre
4.2. ANรLISIS CUANTITATIVO
4.2.1. Definiciรณn del problema
4.2.2. Desarrollo del modelo
Como ya hemos visto en todos los temas previos, ladefiniciรณn de un problema es cualquier problemรกticaque se presenta en la realidad y tiene soluciรณn.
Un modelo se puede considerar a una fotografรญa oun dibujo, sin embargo, en matemรกticas, nosreferimos a un modelo que involucre variables, querepresentan las cantidades inciertas por determinary que darรญan la soluciรณn al problema abordado yconstantes que son cantidades numรฉricasinvolucradas con la problemรกtica que ya se sabe suvalor.
100 de 134 Segundo semestre
4.2.3 Datos de entrada
4.2.4Soluciรณn y anรกlisis de resultados Al determinar un modelo matemรกtico (de tipo lineal, cuadrรกtico, de programaciรณn
lineal, etc.) se procede a resolverlo a travรฉs de las metodologรญas necesarias y, en
muchas ocasiones, de software especializado.
Es preciso que, una vez encontrada la soluciรณn al problema, รฉsta sea validada con
la realidad, pues si la soluciรณn no tiene relaciรณn con la realidad, eso implicarรญa que
el modelo utilizado estรก errado o existen valores equรญvocos o, incluso, faltan datos
o ecuaciones. Por ejemplo, suponga que estรก resolviendo un problema de
producciรณn y que al interpretar la soluciรณn, encuentra que de los productos tipo 3
debe producir -115, de inmediato puede afirmar que existe un error, puesto que en
la vida real NO se pueden producir cantidades negativas de productos.
4.2.5 Implementaciรณn
Una vez que se tiene la certeza de que la soluciรณn encontrada es la correcta,
simplemente se debe poner en prรกctica.
Lo que se consideran los datos de entrada sonjustamente las constantes definidas en el inciso (c).
101 de 134 Segundo semestre
RESUMEN
En esta unidad se
ejemplificaron los procesos de
resoluciรณn de problemas con
los dos modelos matemรกticos
que se abordaron en la unidad
anterior: problem solving y data
sufficiency, ello con la finalidad
de que dichos procesos sean
mรกs claros para ti.
Recordemos que al tener estos dos modelos matemรกticos para la resoluciรณn de
problemas se tienen varias opciones para poder enfrentar una problemรกtica de
manera sistematizada y ordenada, lo cual llevarรก necesariamente a una manera
mรกs sencilla de encontrar una soluciรณn. De ahรญ la importancia de abordar de manera
prรกctica estas temรกticas.
102 de 134 Segundo semestre
BIBLIOGRAFรA
SUGERIDA
Baldor, A. (1980). รlgebra. Madrid: Cรณdice.
Baldor, A. (1991). Geometrรญa plana y del espacio con una introducciรณn a la
trigonometrรญa. Mรฉxico: Cultural.
Budnick, F. (2007). Matemรกticas aplicadas para administraciรณn, economรญa y
ciencias sociales. Mรฉxico: McGrawHill.
Cรกrdenas, H. y otros (1986). รlgebra superior. Mรฉxico:Trillas.
Hemmerling, E. M. (1971). Geometrรญa elemental. Mรฉxico: Centro Regional de Ayuda
Tรฉcnica (AID).
Zubieta, G. (1992). Taller de lรณgica matemรกtica (Anรกlisis lรณgico). Mรฉxico:
McGrawHill.
BรSICA
Peralta N. E. (2015). Razonamiento lรณgico matemรกtico para la toma de decisiones.
Mรฉxico: Publicaciones empresariales/ UNAM-FCA.
103 de 134 Segundo semestre
Unidad 5
Mรฉtodos cuantitativos aplicados a los
negocios y la toma de decisiones
104 de 134 Segundo semestre
OBJETIVO PARTICULAR
Al tรฉrmino de la unidad, el alumno aprenderรก a interpretar resultados de modelos
matemรกticos para sustentar la toma de decisiones.
TEMARIO DETALLADO
(12 horas)
5. Mรฉtodos cuantitativos aplicados a los negocios y la toma de decisiones
5.1. Aplicaciones de modelos matemรกticos en la soluciรณn de problemas y en la
toma de decisiones
105 de 134 Segundo semestre
INTRODUCCIรN
Los principios del mรฉtodo
cuantitativo son los mismos que
los del mรฉtodo cientรญfico. A
travรฉs de diversos estudios se
asignan sus orรญgenes a partir del
siglo XVIII. El desarrollo como
investigaciรณn de operaciones
(IO) se dio en el siglo XX,
justamente en el transcurso de
la Segunda Guerra Mundial,
cuando los llamados Aliados
(Reino Unido, Uniรณn Soviรฉtica,
Estados Unidos, Francia, etc.),
congregaron a un grupo multidisciplinario de cientรญficos para determinar tรกcticas de
guerra que les permitieran vencer al bloque opositor (liderado por Alemania, Japรณn
e Italia). Como se conoce, fueron los denominados aliados quienes ganaron la
Segunda Guerra Mundial,. A las tรกcticas de guerra desarrolladas en este periodo se
les conociรณ como investigaciรณn de operaciones (militares).
Al tรฉrmino de la guerra, en los paรญses que quedaron devastados, se siguiรณ utilizando
para la reconstrucciรณn de los mismos; pero, por ejemplo, en los Estados Unidos de
Norteamรฉrica se siguieron desarrollando algoritmos muy importantes que fueron
integrรกndose en las organizaciones para su รณptimo desarrollo en problemas de tipo
logรญstico, el desarrollo de patrones de vuelo, planeaciรณn de maniobras navales, etc.
106 de 134 Segundo semestre
En la actualidad, el desarrollo de esta disciplina ha sido tan importante que su
รกmbito de aplicaciรณn abarca casi todas las disciplinas.
107 de 134 Segundo semestre
5.1. APLICACIONES DE MODELOS
MATEMรTICOS A LA SOLUCIรN DE
PROBLEMAS Y EN LA TOMA DE
DECISIONES
A continuaciรณn se presentarรกn de manera breve las definiciones clave dentro de la
investigaciรณn de operaciones, pero despuรฉs se presentarรกn de manera mรกs puntual
los conceptos, modelos, algoritmos algebraicos y software de apoyo, que son
herramientas indispensables en la programaciรณn lineal.
La investigaciรณn de operaciones es la aplicaciรณn del mรฉtodo cientรญfico para la
soluciรณn de un problema especรญfico, por un grupo multidisciplinario de personas, con
un enfoque de sistemas.
Metodologรญa
Se debe precisar que en la definiciรณn, la aplicaciรณn del mรฉtodo cientรญfico no es literal,
evidentemente se deben adaptar cada uno de los pasos involucrados en la
metodologรญa. El siguiente cuadro presenta dicha adaptaciรณn.
108 de 134 Segundo semestre
Mรฉtodo cientรญfico Metodologรญa de la IO
Observaciรณn Anรกlisis del problema
Elaboraciรณn de
hipรณtesis
Elaboraciรณn de un modelo (generalmente
matemรกtico)
Experimentaciรณn Resolver el modelo
Comprobaciรณn Comparar la soluciรณn con la realidad
Conclusiรณn Implantar la soluciรณn o modificar el modelo
Clasificaciรณn de problemas en Investigaciรณn de Operaciones
Existen diversas maneras de clasificar los tipos de problemas que pueden
abordarse en IO, una de ellas es con base en la naturaleza de sus variables (puede
variar):
Programaciรณn lineal
En esta secciรณn se profundizarรก en la teorรญa y aplicaciรณn de los problemas de
programaciรณn lineal, que son los mรกs aplicados en diversas รกreas.
Investigaciรณn de Operaciones
Determinรญsticos Hรญbridos Estocรกsticos
- Programaciรณn Lineal - Programaciรณn No Lineal - Programaciรณn Entera y Binaria - Teorรญa de Redes
- Programaciรณn dinรกmica - Teorรญa de Inventarios - Simulaciรณn - Heurรญsticos
- Teorรญa de Colas - Cadenas de Markov - Teorรญa de Juegos
109 de 134 Segundo semestre
Un problema de programaciรณn lineal (PPL) estรก conformado por una funciรณn objetivo
(FO) de tipo lineal, a maximizar o minimizar en presencia de un conjunto de
restricciones lineales de la forma , ๐ .
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ โฏ ๐๐๐๐
๐บ๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ โฏ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ โฏ ๐๐๐๐๐ ๐๐
โฎ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ โฏ ๐๐๐๐๐
๐๐, ๐๐, โฆ , ๐๐
โฎ โฎ๐๐๐
Un punto factible o soluciรณn factible es una N-ada1 ๐๐๐, ๐๐
๐, โฆ , ๐๐๐, ๐ ๐, de valores
reales tales que satisfacen la totalidad de restricciones.
Una regiรณn factible, es el conjunto de soluciones factibles.
Para observar grรกficamente lo que representarรญa una regiรณn factible, se utilizarรก un
problema de programaciรณn lineal (PPL) en dos variables, como el siguiente:
๐ด๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐
๐บ๐๐๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐, ๐๐ ๐
1 Se refiere a N nรบmero de elementos
110 de 134 Segundo semestre
A continuaciรณn, se deben dibujar en el plano cartesiano las distintas regiones que
estรกn acotando cada una de las restricciones lineales:
Nota que, por ejemplo, el punto de coordenadas (17,1) estรก en la regiรณn factible y
satisface a la totalidad de restricciones del PPL, lo mismo ocurre con (17,2), (18,1),
(19,1), (19,2), etc. Por tanto, existen una infinidad de parejas de nรบmeros que
satisfacen a las restricciones del PPL y los mรฉtodos para resolver este tipo de
problemas encuentran la soluciรณn que maximice o minimice a la FO, segรบn sea el
caso.
Modelaciรณn de problemas de programaciรณn lineal
Los ejemplos que se presentan en esta secciรณn son ficticios; pero muestran con
claridad situaciones de la vida cotidiana que pueden modelarse matemรกticamente
a travรฉs de un PPL.
L1
15
15
X1
X2
L2
(6,4)
L1
15
15
X1
X2
L2
(6,4)
111 de 134 Segundo semestre
Lo mรกs importante en el modelado de un problema de programaciรณn lineal (PPL):
Problema 1. La dieta:
Una actriz de televisiรณn estรก preocupada por su peso y el costo de la comida diaria.
Para bajar de peso ella requiere consumir un mรกximo de 2000 kcal., pero, para
mantenerse nutrida requiere un mรญnimo de 400 mg de vitaminas diversas, 325 mg
de proteรญnas y 125 mg de calcio; los demรกs nutrientes los tomarรก en cรกpsulas.
La actriz ha elegido alimentos que le gustarรญa incluir en su dieta, que son baratos y
nutritivos.
Alimento Porciรณn Kcal Vitaminas
(mg)
Proteรญnas
(mg)
Calcio
(mg)
Costo
($)
Huevo 1 pieza 30 15 35 25 2.00
Frutas 1 plato 40 25 10 ---- 50.00
Pollo en
mole
Pierna
con
muslo
75 20 50 15 75.00
1. Determinar sise quieremaximizar ominimizar, enalgunos casos esmuy sencillo(ganancias ocostos,respectivamente)
2. Determinar lasvariables dedecisiรณninvolucradas y sunaturaleza:
a) Continuas
b) Enteras
C) Binarias
3. Ubicar lasrestricciones ydeterminar si son>, < o =.
112 de 134 Segundo semestre
Cerdo en
verdolagas
Dos
trozos 100 25 65 10 95.00
Leche 1 taza 25 20 15 14 10.00
Pan o
tortilla 2 piezas 43 15 ---- 20 5.00
Al analizar la tabla, la actriz se percatรณ de que podrรญa satisfacer su problema
consumiendo รบnicamente cerdo con verdolagas, por lo que decidiรณ considerar que
diariamente puede comer como mรกximo: cuatro porciones de huevo, dos de fruta,
dos de pollo, dos de cerdo, tres de leche y cuatro de pan o tortilla.
Soluciรณn:
Primero, se debe definir lo que va a significar cada una de las variables de decisiรณn,
en este caso la cantidad de porciรณn que se va a incluir en la dieta diaria, de manera
que el costo sea mรญnimo y se satisfagan los requerimientos de nutrientes con los
que indican las cantidades mรกximas a consumir. El modelo completo es:
๐๐ ๐ช๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐รณ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ "๐" ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐
๐ ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐
Sujeto a:
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฒ๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
๐ ๐๐ ๐
๐ ๐๐ ๐
๐ ๐๐ ๐
๐ ๐๐ ๐
113 de 134 Segundo semestre
๐ ๐๐ ๐
๐ ๐๐ ๐
Problema 2. De producciรณn:
Una compaรฑรญa de zapatos mantiene en su producciรณn tres lรญneas; zapatillas, calzado
para caballero y de niรฑa. Las utilidades netas que proporciona cada par de zapatos
son de $35, $25 y $19, respectivamente, y se requiere para la fabricaciรณn de una
hora con 30 minutos, 45 minutos y 30 minutos de corte, respectivamente; una hora
y 30 minutos, media hora y una hora de costura, respectivamente; finalmente, 15
minutos de revisiรณn para cada par de zapatos.
Si la prรณxima semana se tiene un pedido de 50 pares de zapatillas y 25 pares de
zapatos de niรฑa; pero, segรบn un estudio de mercado, no se venderรกn mรกs de 125
pares de caballero. Establece el modelo de PL que determina la producciรณn ideal,
considerando que sรณlo se dispondrรก de 45 horas de corte, 40 horas de costura y 30
horas para revisiรณn.
Soluciรณn:
๐๐ ๐ตรบ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ "๐" ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐,
๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ , ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ , ๐ ๐๐รฑ๐
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
Sujeto a
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฆ๐ข๐ง ๐ ๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฆ๐ข๐ง ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฆ๐ข๐ง ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐รณ๐
๐๐ ๐๐
๐ ๐๐ ๐๐๐
๐๐ ๐๐
๐๐, ๐๐, ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
114 de 134 Segundo semestre
Problema 3. De contrataciรณn de personal:
Restaurantes Ramoncita abrirรก un restaurante en la colonia Copilco, su gerente
quiere determinar cuรกntas meseras deberรก contratar para que atiendan a los
comensales en los distintos horarios. Este restaurante trabaja las 24 horas del dรญa,
las meseras trabajarรกn ocho horas consecutivas y se requieren como mรญnimo
distintos nรบmeros para la demanda en horarios de cuatro horas.
Horario Nรบmero mรญnimo
de meseras
0 - 4 3
4 โ 8 4
8 โ 12 8
12 โ 16 10
16 โ 20 9
20 - 24 6
Soluciรณn:
๐๐ ๐ตรบ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ "๐",
๐ ๐, ๐, ๐, ๐, ๐, ๐
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
Sujeto a:
๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
115 de 134 Segundo semestre
Problema 4. De transporte:
Despuรฉs de un huracรกn en el Pacรญfico mexicano, se daรฑaron severamente tres
localidades del estado de Guerrero. El Gobierno Federal decidiรณ enviar provisiones
y medicamentos desde las capitales de cuatro estados de la Repรบblica Mexicana,
debido al costo de transporte aรฉreo por tonelada. A continuaciรณn se presentan los
costos en miles de pesos por tonelada transportada:
LOCALIDADES DE GUERRERO
CAPITAL
PROVEEDORA 1 2 3
OFERTA
(T)
D. F. 3 2.5 4.5 80
Guadalajara 5 6 2.5 30
Monterrey 7 6.5 3 80
Toluca 9 8 4.5 35
DEMANDA (T) 90 70 65
Soluciรณn:
๐๐๐ ๐ตรบ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ "๐",
๐ ๐, ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐ ๐. ๐๐๐๐ ๐. ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐. ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐. ๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐. ๐๐๐๐
Sujeto a:
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ป๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ซ๐ญ
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ป๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฎ๐๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ป๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ด๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ป๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ป๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ป๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐. ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ป๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐. ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐ป๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐. ๐
116 de 134 Segundo semestre
๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐, ๐๐๐ ๐
Problema 5. De asignaciรณn:
En un Juzgado de Distrito se quieren asignar cuatro jueces a cuatro listas de causas
de los tribunales. El responsable de esta tarea estimรณ el nรบmero de dรญas que
requerirรญa cada juez para completar cada listado, con base en su experiencia y la
composiciรณn de equipos de caso en cada lista, asรญ como su experiencia para
culminar los diferentes casos:
GRUPO DE CAUSAS
JUEZ 1 2 3 4
1 20 18 22 24
2 18 21 26 20
3 22 26 27 25
4 25 24 22 24
Soluciรณn:
๐๐๐๐, ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐, ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ต๐ถ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐
๐ ๐, ๐, ๐, ๐ ๐ ๐, ๐, ๐, ๐
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐
Sujeto a:
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐
117 de 134 Segundo semestre
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ ๐
Cabe resaltar que las primeras cuatro restricciones solo estรกn restringiendo el hecho
de que a cada juez le debe tocar solamente un grupo de causas; pero si el modelo
queda asรญ, podrรญa suceder que el mismo grupo de causas se asignara a todos los
jueces; por tanto, las รบltimas cuatro restricciones indican que tambiรฉn se debe
cumplir que cada grupo de causas se le asignen a un solo juez.
Mรฉtodo simplex simple
El propรณsito de aprender en quรฉ consiste el mรฉtodo simplex simple es que se tenga
claridad en la manera de operar el software de apoyo Lindo, que se utilizarรก, y la
interpretaciรณn de las soluciones que se obtienen.
Una variable de holgura (vh) es aquella que representa la cantidad no-negativa
necesaria en el lado izquierdo de una restricciรณn lineal y que, al ser sumada de este
lado en una restricciรณn del tipo permite que la desigualdad sea una igualdad.
Cada restricciรณn tiene asociada una distinta variable de holgura, por ello se tendrรกn
tantas variables de holgura como nรบmero de restricciones distintas a la no-
negatividad existan en el PPL.
La notaciรณn que se usarรก serรก ๐ฌ๐ข ๐๐จ๐ง ๐ข ๐ข๐ ๐ฎ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐งรบ๐ฆ๐๐ซ๐จ ๐๐ ๐ซ๐๐ฌ๐ญ๐ซ๐ข๐๐๐ขรณ๐ง.
Este algoritmo solo puede aplicarse a problemas cuya totalidad de restricciones
(exceptuando la no-negatividad) son del tipo .
Algoritmo simplex simple (caso de maximizaciรณn)
1. Sumar las variables de holgura (vh) a todas las restricciones del tipo .
118 de 134 Segundo semestre
2. Sumar las variables de holgura multiplicadas por cero en la funciรณn objetivo
(FO).
3. Igualar a cero la FO.
4. Introducir los coeficientes de los puntos (1) y (3) a la matriz simplex (figura 1).
5. Iterar hasta encontrar la soluciรณn รณptima el siguiente subprograma:
6. Elegir el valor mรกs negativo del renglรณn de la FO, la variable que se encuentra
sobre รฉl es la que entrarรก a la base; los candidatos a ser elemento pivote son
los nรบmeros estrictamente positivos en esta columna.
7. Hacer los cocientes de los valores que se encuentran en el lado derecho (LD)
de la matriz sobre los valores positivos de la columna elegida. Elegir el
denominador del cociente mรกs pequeรฑo; el denominador de รฉste cociente, es
el nรบmero al que denominaremos pivote y la variable en la base que estรก en
este renglรณn sale de la base.
8. Multiplicar el renglรณn pivote por el inverso multiplicativo del nรบmero pivote.
9. Al renglรณn que se acaba de determinar (en el paso 3) multiplicarlo por cada
uno de los inversos aditivos de los nรบmeros que se encuentran arriba y abajo
del pivote y realizar las sumas a los renglones correspondientes, de tal forma
que se obtengan ceros arriba y abajo del pivote que ahora es el nรบmero uno.
10. Verificar si en el renglรณn de la FO quedan aรบn valores negativos, si aรบn los
hay, repetir (I),(II),(III) y (IV); si no, entonces ya se terminรณ, los valores รณptimos
de las variables que estรกn en la base y de la FO โZโ se encuentran en el mismo
renglรณn en la columna del lado derecho, LD; las variables que no estรกn en la
base valen cero.
119 de 134 Segundo semestre
Figura 1. Matriz simplex
X1 X2 โฆ S1 S2 โฆ LD
Z C1 C2 โฆ 0 0 โฆ 0
S1 a11 a12 โฆ 1 0 โฆ b1
S2 a21 a22 โฆ 0 1 โฆ b2
โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ
Sn an1 an2 โฆ 0 0 bn
Z
Este algoritmo se muestra solo para el caso de maximizaciรณn por la existencia del
siguiente teorema, que resuelve la situaciรณn para el caso de minimizaciรณn.
Teorema
Un PPL con FO de minimizaciรณn es equivalente a una de maximizaciรณn mediante:
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
Y a la inversa
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
Ejemplo:
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐ ๐๐๐
Sujeto a:
๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐๐ ๐๐๐ ๐๐
๐๐, ๐๐ ๐
Base
120 de 134 Segundo semestre
En la matriz simplex queda:
X1 X2 S1 S2 LD
Z -2 -3 0 0 0
S1 -1 5 1 0 15 *(1/5)
S2 4 -2 0 1 12
z -13/5 0 3/5 0 9
X2 -1/5 1 1/5 0 3 *(3)*(2)
S2 18/5 0 2/5 1 18 *(5/18)
z 0 0 8/9 13/18 22
X2 0 1 2/9 1/18 4
X1 1 0 1/9 5/18 5 *(13/5)*(1/5)
En este ejemplo, el valor negativo mรกs alto es -3, por tanto, la variable x2 entrarรก a
la base; solo hay un candidato a elemento pivote, el nรบmero 5, por tanto, la variable
s1 sale de la base, el elemento pivote cumple el mismo papel del mรฉtodo de
eliminaciรณn gaussiana. Se repitiรณ este proceso hasta obtener la soluciรณn que da
como resultado:
๐๐ ๐, ๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐
Ejemplo de aplicaciรณn a un problema de producciรณn:
Una empresa textil, tiene como objetivo para la prรณxima semana, trabajar en la
confecciรณn de tres tipos de vestido A, B y C, de los cuales obtendrรก utilidades netas
de $65.00, $55.00 y $45.00, respectivamente. En la siguiente tabla se muestran los
tiempos requeridos (minutos) para la elaboraciรณn de cada tipo de vestido:
Tipo de
vestido
Tiempo requerido en minutos para su confecciรณn
Corte Costura Planchado
A 35 60 20
B 45 80 20
C 30 60 10
121 de 134 Segundo semestre
Si para la realizaciรณn de estas tareas se cuenta con 30 horas de corte, 45 horas de
costura y 13 horas con 20 minutos para planchar. Determine el modelo de PPL,
resuelva el problema e interprete los resultados.
Modelo:
๐๐ ๐ตรบ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐, ๐
๐ ๐จ , ๐ ๐ฉ , ๐ ๐ช
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
Sujeto a:
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฆ๐ข๐ง ๐ ๐ ๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฆ๐ข๐ง ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฆ๐ข๐ง ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐๐, ๐๐, ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐
Soluciรณn utilizando el mรฉtodo simplex simple:
X1 X2 X3 S1 S2 S3 LD
Z -65 -55 -45 0 0 0 0
S1 35 45 30 1 0 0 1800
S2 60 80 60 0 1 0 2700
S3 20 20 10 0 0 1 800 *(1/20)
z 0 10 -25/2 0 0 13/4 2600
S1 0 10 25/2 1 0 -7/4 400
S2 0 20 30 0 1 -3 300 *(1/30)
X1 1 1 1/2 0 0 1/20 40 *(65)*(-
35)*(-60)
z 0 55/3 0 1 5/12 2 2725
S1 0 5/3 0 0 -5/12 -1/2 275
X3 0 2/3 1 0 1/30 -1/10 10
X1 1 2/3 0 0 -1/60 1/10 35
122 de 134 Segundo semestre
๐๐ ๐๐, ๐๐ ๐, ๐๐ ๐๐, ๐๐ ๐๐๐, ๐๐ ๐, ๐๐ ๐
๐ ๐๐๐๐
Interpretaciรณn Se tienen que confeccionar para la prรณxima semana 35 vestidos del tipo A y 10
vestidos del tipo C; pero no serรก necesario confeccionar vestidos del tipo B. De igual
manera, se contarรก con 275 minutos de holgura para el proceso de corte, en los
demรกs procesos los tiempos se cubrirรกn por completo. Con esta producciรณn se
obtendrรกn utilidades netas por $2,725.00 en la semana prรณxima.
Portafolios de inversiรณn
En el รกrea econรณmico administrativa, es de vital importancia la construcciรณn de
modelos matemรกticos que permitan al tomador de decisiones, elegir las mejores
opciones de inversiรณn, las que reditรบen las mayores utilidades, a esto se le llama
portafolios de inversiรณn.
Con las herramientas aprendidas al momento y con el uso de un software adecuado,
serรก enriquecedor aprender los modelos de portafolios de inversiรณn de la
Programaciรณn lineal, que pueden utilizarse, y la manera en que se interpretan.
Ejemplo:
Suponga que en una Secretarรญa de Estado se tiene que invertir en proyectos de
desarrollo, se cuenta con 5 proyectos para los cuales se requieren distintos flujos
de efectivo a lo largo de cinco aรฑos. Suponga que los lรญmites de presupuesto
exterior para el inicio de los dos primeros periodos son conocidos e iguales a
$4โ400,000.00 y $4โ000,000.00
Se desea elegir los niveles de inversiรณn en cada uno de los proyectos de manera
que generen la cantidad mayor posible de utilidades, considerando una tasa de
123 de 134 Segundo semestre
cambio de 20% por periodo. A continuaciรณn se presenta una tabla con los flujos
netos de efectivo correspondientes a cada proyecto, en miles de pesos:
INICIO
DEL PROYECTO
PERIODO 1 2 3 4 5
0 -1000 -1200 -2000 -2500 -3000
1 -2000 -2400 -2100 -1300 900
2 2000 2500 3000 2000 1400
3 2900 3567 3000 2000 1600
4 0 0 1308 2000 1800
5 0 0 0 2296 955
Con la informaciรณn presentada serรก necesario, primero, evaluar si cada uno de los
proyectos son redituables; segundo, como hay restricciones de capital en los dos
primeros aรฑos, no se puede invertir en todos los proyectos. A continuaciรณn, se
definirรก el indicador que permite valorar la ganancia de un proyecto multiperiรณdico.
El valor presente neto (VPN), es el valor monetario que resulta de restar la suma de
los flujos descontados a la inversiรณn inicial.
๐ฝ๐ท๐ต๐ญ๐ต๐ฌ๐
๐ ๐๐
๐
๐ญ๐ต๐ฌ๐
๐ ๐๐
๐ โฏ๐ญ๐ต๐ฌ๐
๐ ๐๐
๐
Considerando los datos iniciales, se puede calcular para cada proyecto su valor
presente neto y saber si todos son redituables o no.
A partir del ejemplo mencionado, se muestran a continuaciรณn los cรกlculos
correspondientes:
๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐. ๐
124 de 134 Segundo semestre
๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐. ๐
๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐. ๐๐๐๐๐
๐๐๐. ๐
๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐๐๐ ๐๐๐. ๐๐๐๐๐
๐๐๐. ๐
๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
๐๐๐
๐ ๐.๐๐ ๐
3000 750 972.22222 925.92592 868.05555 383.79308
๐๐๐
En esta informaciรณn se aprecia con claridad que todos y cada uno de los proyectos
son redituables. A continuaciรณn se completa la tabla inicial con la evaluaciรณn
respectiva de cada uno:
INICIO
DEL PROYECTO
PERIODO 1 2 3 4 5
0 -1000 -1200 -2000 -2500 -3000
1 -2000 -2400 -2100 -1300 900
2 2000 2500 3000 2000 1400
3 2900 3567 3000 2000 1600
4 0 0 1308 2000 1800
125 de 134 Segundo semestre
5 0 0 0 2296 955
VPN 400.5 600.3 700.2 850.2 900
Recuerda que la idea es maximizar la ganancia de la inversiรณn total y que รฉsta se
representa con el VPN de cada proyecto. Para resolver este problema se harรก uso
del modelo clรกsico de portafolios de inversiรณn para problemas de programaciรณn
lineal, para el que se pueden considerar dos casos:
Modelo binario. Si al invertir en un proyecto deben respetarse la totalidad
de los flujos de efectivo.
Modelo continuo. Si es posible invertir parte de la inversiรณn total y obtener
una ganancia proporcional a la inversiรณn.
Modelo binario
La variable de decisiรณn queda definida mediante:
๐๐๐, ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐, ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐ ๐, ๐, โฆ , ๐
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐ ๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐ โฏ ๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐
Sujeto a:
๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ โฏ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐
๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ โฏ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐
โฆ
๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ โฏ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐
Para el ejemplo que se estรก analizando:
๐๐๐, ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐, ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
๐ ๐, ๐, ๐, ๐, ๐
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
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Sujeto a:
๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐
๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐
Cabe destacar que los flujos netos de efectivo cambian de signo porque las
restricciones de capital son cantidades positivas y solo existen en los primeros dos
aรฑos.
Modelo continuo
En este caso, no es necesario invertir la cantidad total requerida; pero la utilidad
serรก proporcional a la inversiรณn, entonces se definen las variables de decisiรณn como:
๐๐ ๐ญ๐๐๐๐๐รณ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐, ๐ ๐, ๐, โฆ , ๐
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐ ๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐ โฏ ๐ฝ๐ท๐ต๐๐๐
Sujeto a :
๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ โฏ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐
๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ โฏ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐
โฆ
๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ โฏ ๐ญ๐ต๐ฌ ๐ ๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐
๐ ๐๐, ๐๐, โฆ , ๐๐ ๐
En necesario destacar que las variables deben acotarse a los requerimientos totales
para cada proyecto, por eso, lo mรกs que pueden invertir es la totalidad que equivale
a 1.
Con la informaciรณn presentada:
๐๐ ๐ญ๐๐๐๐๐รณ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐, ๐ ๐, ๐, ๐, ๐, ๐
๐ด๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐๐๐. ๐๐๐ ๐๐๐๐๐
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Sujeto a: ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐
๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐
๐ ๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐, ๐๐ ๐
Uso de Lindo 6.1
Este software se eligiรณ por la facilidad que tiene en su uso, es muy prรกctico y tiene
una capacidad para resolver problemas de programaciรณn lineal y entera hasta con
500 variables.
Primero, se debe instalar el software, de la pรกgina oficial www.lindo.com de este
sitio de internet se puede bajar una versiรณn legal de prueba por 40 dรญas, que te
permitirรก realizar los ejercicios seรฑalados en esta secciรณn.
A continuaciรณn, tomando como base los modelos realizados en la secciรณn anterior
para portafolios de inversiรณn, se iniciarรก el aprendizaje del uso del software.
Modelo continuo de portafolios de inversiรณn
La informaciรณn que se debe escribir en Lindo para el modelo continuo es de la
siguiente manera:
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Se le da click al botรณn solve y el paquete muestra la siguiente pantalla:
Lo que se interpreta de la siguiente manera:
Las variables ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐ , por tanto, se deberรก invertir la totalidad de flujos de
efectivo necesarios para los proyectos 2 y 4; por tanto, se obtendrรก el total de sus
VPN dentro del valor de la FO.
La variable ๐๐ ๐. ๐๐๐ , se debe invertir esta proporciรณn de dinero en los flujos
requeridos para el proyecto 1; por tanto, se obtendrรก el valor proporcional de VPN
del proyecto 1 dentro del valor total de la FO.
La variable ๐๐ ๐. ๐๐๐, se debe invertir esta proporciรณn de dinero en los flujos
requeridos para el proyecto 5; por tanto, se obtendrรก el valor proporcional de VPN
del proyecto 5 dentro del valor total de la FO.
La variable ๐๐ ๐, por eso NO se debe invertir en el proyecto 3 y, por tanto, su valor
de VPN es cero dentro del valor total de la FO.
Finalmente, el valor de ๐ ๐๐๐๐. ๐๐๐ , es el mรกximo valor posible de la suma de
los VPN de los proyectos en que se invertirรก e indica que la inversiรณn serรก redituable.
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Modelo binario de portafolios de inversiรณn
La informaciรณn que se debe escribir en LINDO para el modelo binario cambiarรก con
el anterior puesto que se debe especificar que cada variable es binaria, eso es
posible escribiendo al final las variables con la palabra โintโ antes de cada variable
de decisiรณn, como se muestra enseguida:
Y la soluciรณn queda, en este caso:
Lo que se interpreta de la siguiente manera:
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En las variables ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐, por tanto, se deberรก invertir la totalidad de flujos
de efectivo necesarios para los proyectos 2 y 5, y, por tanto, se obtendrรก el total de
sus VPN dentro del valor de la FO.
En las variables ๐๐ ๐, ๐๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐, por eso NO se debe invertir en los
proyectos 1, 3 y 4 y, por tanto, su valor de VPN es cero dentro del valor total de la
FO.
Finalmente, el valor de ๐ ๐๐๐๐. ๐, que es en realidad la suma de los VPN que
corresponden a los dos proyectos en que se invertirรก y cuya inversiรณn serรก
redituable.
Modelos de PPL con variables enteras
La informaciรณn que se debe escribir en Lindo para el modelo entero cambiarรก con
el binario, en el que debe escribirse ahora, antes de cada variable de decisiรณn, la
palabra โginโ; con esta indicaciรณn la soluciรณn proporcionarรก valores enteros para las
variables en que se especifique esta caracterรญstica.
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RESUMEN
En esta unidad se abordรณ la
investigaciรณn de operaciones
como una herramienta para la
toma de decisiones,
entendiรฉndola como una
aplicaciรณn del mรฉtodo cientรญfico
para poder solucionar
problemas especรญficos.
Se trabajรณ con los problemas de
programaciรณn lineal, en los cuales el modelado consiste en determinar primero lo
que se quiere hacer, si minimizar o maximizar; posteriormente, deben determinarse
las variables de decisiรณn que se ven involucradas en el problema, para finalmente
ubicar las restricciones y determinar su estatus, es decir, si son mayor que, menor
que o igual.
Se estudiรณ el mรฉtodo simplex simple, haciendo รฉnfasis en su algoritmo; asimismo
se abordรณ el modelo de portafolios de inversiรณn, enfocรกndonos en el caso del
modelo binario y el modelo continuo del mismo a travรฉs de un software llamado
Lindo que facilita el uso del modelo.
Estos modelos son opciones en la resoluciรณn de problemas y, por tanto, en la toma
de decisiones en el รกmbito cotidiano y profesional.
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BIBLIOGRAFรA
SUGERIDA
Budnick, F. (2007). Matemรกticas aplicadas para administraciรณn, economรญa y
ciencias sociales. Mรฉxico: McGrawHill.
Hillier, L. (2010). Introducciรณn a la investigaciรณn de operaciones (9ยช ed.). Mรฉxico:
McGrawHill.
Taha, A. (2010) Investigaciรณn de operaciones (9ยช ed.). Mรฉxico: Pearson.
Villalobos, J. L. (2011). Matemรกticas financieras (4ยช ed.). Mรฉxico: Pearson Hall
Hispanoamรฉrica.
BรSICA
Peralta N. E. (2015). Razonamiento lรณgico matemรกtico para la toma de decisiones.
Mรฉxico: Publicaciones empresariales/ UNAM-FCA.
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Sitios de internet
Sitio Descripciรณn
www.lindo.com Oficial del software Lindo
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