Departamento de Ingeniera Civil Facultad de ConstruccionesUniversidad de Oriente

Dinmica de las Estructuras

Dr. Ing. Eduardo R. lvarez Deulofeu, Profesor Titular, Dpto. de Ingeniera Civil, Facultad de Construcciones, Universidad de Oriente

Ing. Jos Mara Ruiz Ruiz, Profesor Auxiliar, Dpto. de Ingeniera Civil, Facultad de Construcciones, Universidad de Oriente

Santiago de CubaEnero2006

1.2 Ecuacin diferencial del movimiento para una carga dinmica general P(t)

Perodo

Pero se conoce que:

Entonces sustituyendo nos queda:

( 1.26 )

A este valor de c le llamamos amortiguamiento crtico

( 1.27 )

Y factor de amortiguamiento

a la magnitud:

( 1.28 )

As este coeficiente de amortiguamiento fsicamente ser la fraccin que representa el amortiguamiento del sistema del amortiguamiento crtico.

Luego:

( 1.29 )

( 1.30 )

_1251187541.unknown

_1251187549.unknown

_1251187567.unknown

_1251187570.unknown

_1251187553.unknown

_1251187545.unknown

_1198164704.unknown

Luego sustituyendo en ( 1.22 ) queda:

( 1.31 )

Que se puede simplificar como:

(1.32 )

Finalmente, tomando en cuenta la expresin ( 1.29 ), la ecuacin diferencial ( 1.20 ) puede ser escrita como:

( 1.33 )

Si analizamos la solucin ( 1.32 ) de la ecuacin diferencial de las oscilaciones libres amortiguadas ( 1.33 ) se observa que existen tres posibilidades de solucin en funcin de los valores del discriminante.

_1251187583.unknown

_1251187588.unknown

_1251187574.unknown

Sustituyendo en ( 1.44 ) obtenemos:

( 1.48 )

De manera compacta sabiendo que:

( 1.49 )

( 1.50 )

( 1.51 )

Finalmente tomando en consideracin ( 1.49 ), ( 1.50 ) y ( 1.51 ), la solucin ( 1.48 ) puede escribirse como:

( 1.52 )

Donde:

( 1.53 )

( 1.54 )

_1251206999.unknown

_1251207009.unknown

_1251207022.unknown

_1251207026.unknown

_1251207018.unknown

_1251207005.unknown

_1251206995.unknown

con un valor de amplitud .

Decremento logartmico de las oscilaciones libres amortiguadas

Si se define el decremento logartmico de las oscilaciones libres amortiguadas por la siguiente relacin:

( 1.65 )

Sustituyendo la solucin (1.52) de la ecuacin diferencial del movimiento para las oscilaciones libres amortiguadas, la expresin (1.65) puede escribirse como:

( 1.66 )

Se demuestra entonces:

( 1.67 )

Si se considera el sistema como subamortiguado se puede sustituir

segn la frmula (1.42):

( 1.68 )

Despejando

en la frmula (1.68) se obtiene:

( 1.69 )

Si el factor de amortiguamiento de las estructuras es muy pequeo, como debe ocurrir para la gran mayora de las edificaciones, entonces la frmula (1.68) se simplifica de la siguiente forma:

( 1.70 )

_1251208875.unknown

_1251208882.unknown

_1251208885.unknown

_1251208890.unknown

_1251208878.unknown

_1250682693.unknown

_1251208870.unknown

_1250682556.unknown

Cuando las tensiones que producen las cargas dinmicas en la estructura se chequean por el mtodo de las tensiones admisibles, en dependencia del material de construccin se recomienda en [7] utilizar los siguientes valores de decremento logartmico:

Hormign y hormign armado

Mamposteria de ladrillo

Madera

Acero laminado

_1251208899.unknown

_1251208903.unknown

_1251208907.unknown

_1251208895.unknown

Tabla 1.1 Decrementos logartmicos obtenidos de investigaciones experimentales

Tipo de Construccin

Estructuras metlicas

0.01

0.08

Estructuras con uniones metlicas atornilladas

0.004

0.08

Puentes metlicos

0.01

0.15

Chimeneas metalicas con revestimientos

0.03

0.09

Chimeneas metlicas sin revestimientos

0.012

0.08

Entrepisos de vigas metlicas con carpetas de hormign armado

0.18

0.50

Vigas de hormign armado

0.17

0.39

Prticos de hormign armado

0.08

0.29

Entrepisos de losas nervadas de hormign armado

0.28

Entrepisos de losas rigidizadas con vigas de hormign armado

0.19

0.39

Entrepisos de losas de hormign armado sin vigas

0.28

0.56

Entrepisos de losas prefabricadas de hormign armado

Antes de fundir las juntas

Despues de fundir las juntas

0.10

0.16

0.12

0.28

Torres de hormign armado

0.04

Edificios de hormigon pretensado

0.26

Puentes de hormign pretensado

0.16

Estructuras de esqueleto de hormign armado

con prticos rellenos de mampostera

0.11

0.15

Edificios de ladrillos

0.09

0.16

Edificios de bloques

0.025

0.08

Vigas metlicas con carpetas de mampostera

0.23

0.45

Vigas de madera encoladas

0.06

Entrepisos de vigas de madera

0.17

Pisos de madera soportados en vigas encoladas

0.11

0.20

_1250695749.unknown

_1250695766.unknown

Fig. 1.13 Datos de la geometra de la estructura

PLosa = 24 x 0.16 x 5.1 x 4.0 = 78.34 kN

PViga = 24 x (0.25 x 0.6) (2.95 + 3.9)2= 49.32 kN

PCol = 24 x (0.3 x 0.6)(2.75/2 + 0.6/2)4= 28.94 kN (Solo el 50 % del peso de las columnas)

PCP = 3.447 x 5.1 x 4.0 = 70.32 kN

PCT = (0.8 x 1.0 + 0.5 x 1.0)5.1 x 4.0= 26.52 kN (Considera 80% de CTld y 50% de CTcd )

PT = 253.44 kN

Caractersticas geomtricas de las secciones

Vigas : IV1= 0.01438 m4IV2= 0.01316 m4

Columnas: IC1 = 0.00540 m4 IC2 = 0.00135 m4

Considerando estado (FISURADO):

Columnas exteriores:

Calculo de Rigideces totales fisuradas

Rigideces totales fisuradas

Clculo de los Parmetros Dinmicos de la EstructuraOscilaciones Libres Oscilaciones Libres amortiguadas ( = 0.05)

Fig. 1.17 Desplazamientos para valores notables de tiempos en la direccion (X)

Fig. 1.19 Oscilaciones Libres Amortiguadas en la direccin (Y)Fig. 1.19 Oscilaciones Libres Amortiguadas en la direccin (Y)Fig. 1.18 Oscilaciones Libres Amortiguadas en la direccin (X)

Luego la ecuacin diferencial del movimiento definida a partir del modelo de clculo que se representa en la Fig. 1.20b para la funcin de carga armnica que aparece en la Fig. 1.20c ser:

( 1.71 )

Dividiendo por m obtendramos:

(1.72)

El perodo de la carga armnica representada en la Fig. 1.20c ser:

Analizaremos el caso en que la respuesta del sistema es oscilatoria (valores de pequeos como ocurre en la mayora de las estructuras). La solucin general de la ecuacin diferencial homognea asociada a la ecuacin diferencial ya es conocida del epgrafe anterior.

( 1.73 )

La solucin particular de la ecuacin no homognea es:

( 1.74 )

_1251209908.unknown

_1251209919.unknown

_1251209986.unknown

_1251209911.unknown

_1251209904.unknown

El trmino del coseno aparece, ya que en general la respuesta de un sistema amortiguado no es en fase con la carga. Evaluando esta solucin particular en la ecuacin diferencial:

(1.75)

( 1.76 )

( 1.77 )

Condiciones que tienen que cumplirse, ya que el seno y el coseno se anulan en tiempos diferentes. Dividiendo por en ambos lados de las igualdades y designando por

el sistema queda:

( 1.78 )

Cuya solucin es:

( 1.79 )

( 1.80 )

_1201443479.unknown

_1251210183.unknown

_1251210193.unknown

_1251210196.unknown

_1251210189.unknown

_1251210179.unknown

_1198255888.unknown

El cociente de la amplitud de respuesta resultante entre el desplazamiento esttico que producira la fuerza po se llama factor de amplificacin o magnificacin dinmico y lo designaremos por D.

( 1.85 )

De las expresiones ( 1.83 ) y ( 1.85 ) se demuestra que tanto el factor de amplificacin dinmica como el ngulo de defasaje varan con el amortiguamiento y la frecuencia ( Fig. 1.23 y Fig. 1.24 ).

Buscando el valor de para el cual para un dado se produce el Dmx.

( 1.86 )

( 1.87 )

EMBED Equation.3 ( 1.88 )

Evaluando en D queda:

(1.89 )

( 1.90 )

_1251210801.unknown

_1251210824.unknown

_1251210830.unknown

_1251210834.unknown

_1251210827.unknown

_1251210807.unknown

_1251210556.unknown

Datos

Motor

Estructura

Perfil

Acero ASTM A-36

Tensiones admisibles

Cargas gravitatorias

_1250080547.unknown

_1250080573.unknown

_1250080584.unknown

_1250080593.unknown

_1250080597.unknown

_1250080588.unknown

_1250080577.unknown

_1250080560.unknown

_1250080566.unknown

_1250080553.unknown

_1250080527.unknown

_1250080537.unknown

_1250080542.unknown

_1250080532.unknown

_1250080504.unknown

_1250080517.unknown

_1250080499.unknown

Fig. 1.25 Viga metlica simplemente apoyada sometida a una carga vibratoria Carga vibratoria Modelacin de la carga vibratoria Modelo de la viga

Fig. 1.27 Desplazamientos de la viga en el centro de la luz durante el funcionamiento del motor

Chequeo de las tensiones normales mximas

Chequeo del estado tensional para

Momento flector esttico

Momento flector dinmico

Tensin normal mxima

Chequeo de las tensiones normales

Perfil

-24 Cumple

_1250080943.unknown

_1250080963.unknown

_1250080973.unknown

_1250080980.unknown

_1250080984.unknown

_1250080976.unknown

_1250080967.unknown

_1250080952.unknown

_1250080957.unknown

_1250080948.unknown

_1249819476.unknown

_1250080939.unknown

_1206753076.unknown