Dinámica del movimiento de un cuerpo sobre un riel inclinado

Escuela Profesional de Ingeniería de Minas, Universidad Nacional de TrujilloAv. Juan Pablo II s/n, La Libertad, Trujillo, Perú

RESUMEN

Se estudia la dinámica de un móvil que se desplaza por un riel inclinado bajo un cierto ángulo con aceleración constante. El propósito es obtener la ecuación de movimiento y medir de modo experimental la aceleración, la fuerza aplicada al móvil y el ángulo de inclinación del riel. Planteamos el movimiento del móvil desde el reposo, asumiendo que no existe fricción sobre el riel, tomando medidas de los tiempos a intervalos de espacio regulares. Fue posible determinar que la potencia de la ecuación cinemática para aceleración constante es próximo a 2 con el 1.1% de error.

I. FUNDAMENTO TEÓRICO

Uno de los movimientos más simples con que se inicia un curso de física, es el de un objeto que se mueve con aceleración constante a lo largo de una línea recta.

Cuando a un objeto se le aplica una fuerza neta, su estado de movimiento cambia haciendo que el objeto adquiera una aceleración, tal como lo estableció Newton. La ecuación que gobierna el movimiento en estas condiciones es, para una dimensión

F=ma (1) Sabemos también de la cinemática que la posición de un objeto que se mueve con aceleración constante está regido por la siguiente ecuación.

x=x0+v0t +12

a t2 (2)

Ahora, cuando un cuerpo se desplaza por un riel inclinado, es posible establecer ecuaciones que permitan, bajo un arreglo experimental, obtener un estudio completo de su movimiento. Así, con referencia a la figura 1

Figura 1. Cuerpo en movimiento por un plano inclinado

Si consideramos, como una aproximación, que el movimiento ocurre sin fricción entre las superficies en contacto, se tiene

F=mgsen θ (3) y utilizando la ecuación (1) podemos obtener una ecuación para el ángulo de inclinación

θ=sen−1( ag ) (4)

Condicionando al objeto a iniciar su movimiento desde el reposo y siendo la posición inicial coincidente con el origen de la coordenada–x, la ecuación de movimiento (2) se simplifica a

x (t )=12

a t2 (5)

II. MONTAJE EXPERIMENTAL

Con el fin de llevar a cabo el estudio experimental, se utilizó los siguientes materiales e instrumentos:

Tabla 1. Materiales e instrumentosNº Descripción Precisión1 Riel de Fletcher y un móvil1 Móvil de 0.4981 kg2 Sensores de luz1 Cinta métrica 0.0005 m1 Cronómetro digital 0.001 s1 Balanza digital 0.0001 kg

III. METODOLOGÍA EXPERIMENTAL

Se ubico a un primer sensor en la parte más alta del riel y se consideró este como origen de la coordenada–x. El segundo sensor se ubico a una distancia de 12 cm del primero. Colocando al móvil justo en el origen de partida, asegurando el reposo inicial, se soltó al móvil empezando así su movimiento, luego se dio lectura al cronómetro anotando su valor. Este procedimiento se repitió para nueve valores diferentes de distancias.

IV. DATOS EXPERIMENTALES

El conjunto de 10 mediciones realizadas con el procedimiento anterior se indica en la tabla 2.

Tabla 2. Media de tiempos para diferentes desplazamientos.N t (s) x (m)1 1.091 0.12002 1.567 0.24003 1.855 0.36004 2.163 0.48005 2.430 0.60006 2.669 0.72007 2.881 0.84008 3.131 0.96009 3.271 1.0800

10 3.500 1.2000

V. ANALISIS DE LOS DATOS

Una representación visual del comportamiento físico de este movimiento, se ve en la figura 3.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.0000

0.2000

0.4000

0.6000

0.8000

1.0000

1.2000

1.4000

Figura 3. Desplazamiento del movil en función del tiempo

Tiempo t (s)

Des

plaz

amie

nto

x (m

)

Partiendo de la ecuación (5) y las mediciones de los tiempos para los diferentes desplazamientos se obtiene la aceleración mediante regresión lineal.

Con base en las mediciones de la tabla 2, del grafico 3 y de la ecuación (5), se propuso la siguiente ecuación empírica:

x (t )=C tB (6) Para poder usar el análisis de regresión lineal, debemos transformar esta ecuación en lineal usando el logaritmo neperiano, esto es:

ln x=B ln t+lnC (7) Esto lleva a establecer una nueva tabla donde los valores son los logaritmos de las mediciones de obtenidas en la tabla 2, es decir

Tabla 3. Valores logarítmicos para análisis de regresión. N Ln t Ln x Y – (BX + A) 1 0.08709 -2.120 -0.0082 0.4492 -1.427 -0.0343 0.6179 -1.022 0.0364 0.7715 -0.7340 0.0185 0.8879 -0.5108 0.0106 0.9817 -0.3285 0.0067 1.058 -0.1744 0.0098 1.141 -0.04082 -0.0239 1.185 0.076961 0.008

10 1.253 0.18232 -0.022

Como en el caso anterior, la figura 4 da una representación grafica de los valores de la tabla 3, que da cuenta de la relación lineal de la ecuación (7).

0.00000 0.20000 0.40000 0.60000 0.80000 1.00000 1.20000 1.40000-2.500

-2.000

-1.500

-1.000

-0.500

0.000

0.500

Figura 5 Ajuste de tendencia lineal

ln t

ln x

VI. CONCLUSIONES

(1) Se obtuvo la ecuación de movimiento

x (t )=12

(0.2035 ) t 1.987

VII. BIBLIOGRAFIA

(1) Young, Freedman. Física universitaria. 12va. Ed., Pearson Editores 2008, pag 47