dinamica de sistemas: estudio de las equaciones de lorenz

Ariadna Rius Soler

ETIG

EUPMT

Tardor 2010

Índex Introducció

Anàlisi inicial del projecte

Coneixements bàsics

Equacions de Lorenz

Estudi realitzat

Ampliacions

Introducció

Endinsar-se en el camp dels sistemes dinàmics caòtics

Estudiant les equacions de Lorenz com a origen del

caos.

Adquirint els coneixements previs.

Acotant l’estudi a 5 propietats.

Conformant una visió general de la dinàmica del

sistema.

Índex Introducció



Equacions de Lorenz

Estudi realitzat

Ampliacions


Què sé?

Què haig de saber?

Per què?

Com?

Quines eines utilitzaré?

Índex Introducció



Equacions de Lorenz

Estudi realitzat

Ampliacions


Forma canònica de Jordan

Equacions diferencials

Sistemes d’equacions diferencials

Mètodes per simplificar sistemes dinàmics

Bifurcacions

Mètode Runge-Kutta

Comportament caòtic

Atractors

Forma canònica de Jordan(I)

Autovalors:

Per tant, donat un endomorfisme f de matriu associada A, un

escalar λ és un autovalor de f, si i només si, det(A- λI) =0.

Polinomi característic:

És un polinomi de

grau n p(λ) tal que:

Els autovalors de f seran les arrels del polinomi característic

Coneixements bàsics,

Forma canònica de Jordan(II)

Forma canònica de Jordan:

Serveix per trobar una forma de la matriu amb el

màxim de zeros possibles.

S’utilitza per resoldre sistemes d’equacions diferencials

lineals.

Consisteix en trobar la forma canònica de Jordan

(matriu J) tal que , on P és la matriu de pas i

tal que .


Equacions Diferencials(I)

Una equació diferencial és una equació funcional on la

funció incògnita està derivada una o més vegades.

Si l’equació diferencial només conté una variable

independent s’anomena equació diferencial ordinària

(EDO), si en conté més d’una, s’anomena equació

diferencial en derivades parcials.

L’odre d’una equació diferencial és l’odre més gran de

la/les derivada/es que conté.

Les anomenades EDOs autònomes són aquelles on no

apareix explícitament la variable t (temps).


Equacions Diferencials(II)

El grau d’aquesta mena d’expressions pot ser lineal o no

lineal. En el primer cas la variable dependent i totes les

seves derivades són de primer grau. A més a més, cada

coeficient de la variable dependent i les seves derivades

depenen únicament de la variable independent. Si no es

compleixin aquestes dues propietats es tractarà del cas no

lineal.


Equacions Diferencials(III)

Solucions d’una EDO:

No es pot considerar la solució d’una EDO sense tenir en

compte l’interval I, al qual es pot fer referència amb varis

noms com interval de definició, interval d’existència o

domini de la solució.


Equacions Diferencials(IV)

Solucions d’una EDO, tres menes:

Solució general: Expressió d’ordre n qualsevol que conté n

constants arbitràries corresponents a n constants

d’integració.

Solució particular: És un tipus de solució general que està

parametritzada en donar uns valors determinats a les

constants arbitràries.

Solució singular: Qualsevol expressió que, essent solució,

no prové de la solució general.


Equacions Diferencials(V)


Geomètricament, la solució general representa una família

de corbes, mentre que la solució particular és una d’aquestes

corbes. La solució singular no correspon a cap membre

d’aquesta família.

Si x(t) = (x1(t), x2(t),...,xn(t)) és solució d’una EDO:


Equacions Diferencials(VI)


Per calcular la solució particular es requereixen les

condicions inicials del problema.

El nombre de condicions inicials necessàries és igual a l’ordre

de l’equació diferencial.

Si s’analitza x’ = f(x) des d’un punt de vista geomètric,

s’interpreta que la funció f defineix un camp vectorial, que

pot ser autònom o no.

f associa una direcció f(x) a cada punt (x). Determinar la

solució de l’EDO per les condicions inicials (x0) equival a

calcular la corba que passa pel punt i que té pendent f’(x0).


Equacions Diferencials(VII)


L’anomenada condició de Lipschitz permet garantir

l’existència i unicitat de la solució d’una EDO:

Si una EDO la compleix, es diu que és L-Lipschitziana.


Equacions Diferencials(VIII)


Teorema (condició Lipschitz):


Equacions Diferencials(IX)

Punts fixes i estabilitat:

Els punts fixes, també anomenats d’equilibri o zeros, són

una classe important de solucions d’una equació diferencial

que es defineixen per .

Un punt fix és estable si una solució x(t) es manté propera

a ell per qualsevol temps.

Per tant, és estable si per un entorn V en U, , hi ha un

entorn , tal que cada solució x(x0,t) amb està

definida i es troba a V per tot t > 0.

Si el punt fix és estable i és tal que x(t)→ quan t →∞, es

diu que és asimptòticament estable.


Equacions Diferencials(X)


Estabilitat i estabilitat asimptòtica:

Aquests anàlisis són locals.


Equacions Diferencials(XI)


Per determinar l’estabilitat global i la local s’utilitza

l’anomenada funció de Liapunov.

Que permet estudiar l’EDO sense solucionar-la.

No existeix un mètode general que permeti trobar la funció de

Liapunov adequada per cada cas concret, però és una bona

candidata a l’hora d’atacar problemes de mecànica i energia.

El mètode consisteix en trobar una funció positiva i definida

que decreixi al llarg de les corbes solució de l’equació

diferencial. Aquesta funció és la funció Liapunov:


Equacions Diferencials(XII)


Teorema (funció Liapunov):


Sistemes d’EDOs (I)

Sistemes lineals:

Es considera el sistema lineal on A és una matriu n×n

amb coeficients constants i . Una solució del sistema

depèn del temps t i de la condició inicial .

Per tant una solució del problema de valors inicials és .

Que és equivalent a , on és la matriu n×n obtinguda fent

l’exponencial d’A i està definida per les sèries convergents:

Una solució general de es pot obtenir mitjançant la

superposició lineal de n solucions lineals i independents.

és la matriu solució fonamental que té

aquests n solucions per columnes.


Sistemes d’EDOs (II)

Sistemes lineals:

Es considera el sistema lineal on A és una matriu n×n

amb coeficients constants i . Una solució del sistema

depèn del temps t i de la condició inicial .

.

també es pot solucionar cercant una transformada

invertible P que la diagonalitzi o que la modifiqui de manera

que resulti la forma normal de Jordan.

es pot tractar com .


Sistemes d’EDOs (III)

Fluxos i subespais invariants:

La matriu es pot considerar com una aplicació de en .

El flux es pot considerar com el conjunt de

totes les solucions de .

Dins d’aquest conjunt cal destacar les que es troben en subespais

lineals conformats pels autovectors.

Aquests subespais són invariants sota .


Sistemes d’EDOs (IV)

Fluxos i subespais invariants:

Tres classes de subespais:

Subespai estable: .

són els ns autovectors, els autovalors dels quals tenen parts

reals i negatives.

Presenta creixement exponencial.

Subespai inestable: .

són els nu autovectors, els autovalors dels quals tenen parts

reals i positives.

Presenta decreixement exponencial.

Subespai centre: .

són els nc autovectors, els autovalors dels quals tenen parts

reals zero.


Sistemes d’EDOs (V)

Sistemes no lineals:

La immensa majoria són irresolubles.

La linealització permet obtenir un sistema lineal d’un no

lineal.

A través de l’estudi d’aquest sistema lineal és possible

caracteritzar el comportament de les solucions a prop dels punts

fixes.

Però és una aproximació!


Sistemes d’EDOs (VI)


Donat el sistema no lineal que té com a punt fix:

Es pot caracteritzar el comportament de les solucions a prop

d’aquest punt linealitzant el sistema inicial i estudiant el sistema

lineal obtingut: , on és la

matriu Jacobiana de la primera derivada parcial de la funció

(T denota transposició) i .


Sistemes d’EDOs (VII)


Caracteritzar el comportament de les solucions a prop del punt

fix linealitzant el sistema inicial i estudiant el sistema lineal

obtingut:

Teorema (Hartman-Grobman)

Quan un punt fix no té autovalors amb part real zero, s’anomena hiperbòlic.

El comportament asimptòtic de les solucions properes a ell està

determinat per la linearització.


Sistemes d’EDOs (VIII)


Varietats locals:

Tenen anàlegs globals.

Teorema 6:


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(I)

Formes normals:

El mètode de les formes normals proporciona una via per

trobar un sistema de coordenades, en el qual el sistema

dinàmic pren la forma més simple.

El mètode és local en el sentit que les transformacions de

coordenades estan generades en un dels voltants d’una

solució coneguda (un punt fix).

En general, les transformacions de coordenades seran

funcions no lineals de les variables dependents. Aquestes

transformacions es troben resolent una sèrie de problemes

lineals.


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(II)

Formes normals:

L’estructura de la forma normal està completament

determinada per la naturalesa de la part lineal del camp

vectorial.

Serveix tant per camps vectorials com per aplicacions.

Els camps vectorials poden tenir varies dimensions i

paràmetres.

Passos generals:

Transformar el punt fix en l’origen.


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(III)

Formes normals:

Passos generals:

Separar la part lineal i escriure-la amb la forma canònica

de Jordan.

Simplificar la part no lineal.

Expandint amb el mètode de Taylor.

Transformant les coordenades.

Simplificant els termes de cada ordre.


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(IV)

Varietats centrals:

La teoria de la varietat central consisteix en focalitzar

l’estudi del comportament de les solucions al voltant

d’un punt fix determinat.

S’aplica a l’estudi de l’estabilitat dels punts fixes no

hiperbòlics, tant de camps vectorials com d’aplicacions.

Els camps vectorials poden estar en funció de paràmetres.

Pot incloure direccions linealment inestables.


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(V)

Varietats centrals per camps vectorials:

Es consideren els camps vectorials:

on

A és una matriu c×c que té autovalors amb part real zero.

B és una matriu s×s que té autovalors amb parts reals i

negatives.

Les funcions f i g són de classe C^r (r≥2).


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(VI)


Definició:


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(VII)


Teorema 9:


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(VIII)


Teorema 10:


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(IX)


Per aprofitar les propietats del teorema 10, la varietat central

es calcula de la manera següent:

És

per una δ suficientment petita.

Utilitzant la invariància de sota la dinàmica dels camps

vectorials inicials, es derivarà una equació diferencial en

derivades parcials i quasilineal que ha d’estar satisfeta per h(x).


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(X) Varietats centrals per camps vectorials:



Es complirà:


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(XI) Varietats centrals per camps vectorials:



L’expressió

es pot representar com

N(h(x)) és l’equació diferencial en derivades parcials i

quasilineal que ha d’estar satisfeta per h(x).

Per trobar la varietat central cal resoldre N(h(x)) però

normalment sol ser més difícil que el problema inicial.


Mètodes per simplificar sistemes dinàmics(XII)


El teorema següent proporciona una mètode per

calcular N(h(x)) d’una manera aproximada:

Teorema 11:

Encara que existeixi la varietat central, no té perquè ser

única.


Bifurcacions(I)

Una bifurcació és un canvi brusc del comportament al

llarg d’un sistema

que es produeix quan el valor d’una constant passa de

ser inferior a ser superior que un determinat valor crític.

Dos tipus:

Locals: succeeixen a les proximitats d’un punt fix.

Globals: involucren zones extenses, més enllà de les

proximitats dels punts fixos.


Bifurcacions(II)

Els autovalors del sistema linealitzat poden indicar

que hi ha bifurcacions.

Quan el punt és no hiperbòlic aquesta informació pot

ser inexacta o errònia i cal utilitzar altres mètodes per

estudiar-les:

Varietats centrals.

Forma normal.

Quan les bifurcacions són globals no es poden estudiar

amb anàlisis locals ni amb la matriu linealitzada.


Bifurcacions(III)

Hi ha bifurcacions globals que emergeixen de les

locals:

Si els autovalors són:

Dos autovalors zero.

Un autovalor zero i un parell purament imaginaris.


Bifurcacions(IV)

Les bifurcacions locals més freqüents:

Un autovalor zero:

Punt de sella.

De forquilla.

Transcrítica.

Un parell d’autovalors purament imaginaris:

De (Poincaré-Andronov-)Hpof.


Bifurcacions(V)

Bifurcació de forquilla:

Per determinar el tipus de bifurcació s’estudia la geometria

de la corba (o les cobres) dels punts fixes, en aquest cas:

Dues corbes dels punts fixes passen a través de (x,μ)=(0,0), una

ve donada per x=0 i l’altre per μ=x^2.

La corba x=0 existeix a ambdós costats de μ=0, mentre que la

corba proporcionada per μ=x^2 només existeix a un dels

costats de μ=0.

El tipus d’estabilitat dels punts fixes de la corba x=0 és diferent

a cada costat de μ=0. Els punts fixes de μ=x^2 sempre tenen el

mateix tipus d’estabilitat.


Bifurcacions(VI)


Es considera el camp vectorial parametritzat:

on g és una funció C^r definida per un conjunt obert en

Es suposa que el camp vectorial té un punt fix a:

I la seva linealització és:


Bifurcacions(VII)


Com que el punt fix és no hiperbòlic, l’estructura de l’òrbita

a prop de està determinada per l’equació de la varietat

central associada:

on satisfà

Per tal que es tingui una bifurcació de tipus forquilla cal

que:


Bifurcacions(VIII)


La disposició de les branques depenen del signe de

Dues possibilitats:


Bifurcacions(IX)


Les condicions esmentades impliquen que l’estructura de

l’òrbita a prop de (x,μ)=(0,0) és qualitativament la mateixa

que la propera a (x,μ)=(0,0) per

Aquest camp vectorial es pot veure com la forma normal per

bifurcacions de forquilla.


Mètode Runge-Kutta(I)

S’utilitza el de 4 passos (RK4).

A partir del mètode de la sèrie de Taylor s’obté un

sistema d’equacions que acaba donant la formula

recursiva:

amb


Mètode Runge-Kutta(II)

Amb la formula es van calculant aproximacions dels

punts.

Cal proporcionar el primer punt.

Permet avaluar les expressions sense calcular les

derivades.

Adaptacions:

Mida de pas h.

Representar-hi vectors.


Comportament Caòtic Té aspecte de quelcom aleatori.

Encara que no ho sigui.

Dependència hipersensible de les condicions inicials.

No periodicitat.

Determinisme.


Atractors(I)

En un sistema dinàmic.

Triant qualssevol valors inicials de les variables, al cap d’un

temps hi haurà nombres, o combinacions de números, que

poden no aparèixer.

Els estats que es produeixen, després de la desaparició de

qualssevol efectes temporals que poden haver-se introduït

en escollir les condicions inicials, formaran part del conjunt

d’atractors.

Per tant, els atractors són els estats del sistema que es

produeixen.


Atractors(II)

En un sistema, i per un temps suficientment gran, els

estats que no estan molt propers a l’atractor podrien

no existir, ja que no es produiran mai.

Des del punt de vista gràfic:

L’espai de n dimensions en el qual és possible dibuixar les

gràfiques del sistema n-dimensional que s’està analitzant

s’anomena espai de fase.

En aquest espai cada punt representa un estat concret d’un

sistema dinàmic i les coordenades del punt són

numèricament iguals als valors que assumeixen les variables

quan es produeix aquest estat.


Atractors(III)

Des del punt de vista gràfic:

Una solució particular del sistema es representa

mitjançant una corba i s’anomena òrbita si el sistema és

un flux.

Un punt és un estat del sistema i una òrbita una

seqüència cronològica d’estats.

Per tant, un atractor pot ser:

Un conjunt de punts.

Quan l’aglomeració està formada per peces inconnexes i no

hi ha una òrbita que les uneixi, cada peça és un atractor.

Un punt.


Atractors(IV)

L’atractor estrany:

És un atractor que consisteix en un nombre infinit de corbes,

superfícies o que està conformat de més dimensions i que

presenta un buit entre dos membres qualssevol del conjunt.

És el cor del caos.

En la majoria de sistemes no es poden donar valors

extremadament grans de les variables, excepte en condicions

transitòries, els punts del conjunt d’atractors no poden estar

molt allunyats de l’origen


Índex Introducció



Equacions de Lorenz

Estudi realitzat

Ampliacions

Les equacions de Lorenz

Edward N. Lorenz era un matemàtic i meteoròleg que

va realitzar grans aportacions a la teoria del caos.

Els seus estudis sobre previsions meteorològiques el

van portar a formular un model simple però que va

acabar responent a una dinàmica molt complexa.

El seu model presenta un comportament caòtic.

Les equacions de Lorenz sorgeixen del les equacions

bàsiques del moviment d’un fluid convectiu.


La idea inicial és estudiar el comportament d’una capa

de fluid emplaçada entre dues superfícies planes i

paral·leles, separades per una distància h.

Si s’escalfa homogèniament per la part inferior, es

produirà un transport, en principi per conducció, de

calor entre aquesta superfície i la de sobre.

Però si aquesta diferència augmenta es produirà un nou

fenomen d’autoorganització: el fluid presenta transport

convectiu i es dóna l’organització espacial en forma de

rotllos convectius.


El fluid presenta transport convectiu i es dóna l’organització

espacial en forma de rotllos convectius:

Si la temperatura continua augmentant aquesta situació es farà

inestable i apareixeran noves freqüències que, eventualment,

desembocaran en caos.


El fluid està caracteritzat per un camp de velocitats

v(r, t) i un camp de temperatures T(r, t).

Les equacions bàsiques que descriuen el model són:

L’equació de Navier-Stokes:

L’equació de Fourier per la conducció d la calor:


Les equacions bàsiques que descriuen el model són:

L’equació de continuïtat:

Amb les condicions de contorn:

On ρ és la densitat del fluid, μ la seva viscositat, p la

pressió, k la conductivitat tèrmica i F indica la força

associada a la gravetat. F = ρga, on a és el vector unitari en

la direcció negativa de l’eix z.


Conformant un sistema d’equacions, introduint una

funció que compleixi les igualtats anteriors, afegint

pertorbacions i duent a terme un desenvolupament de

Fourier, s’obtenen les equacions de Lorenz:

On ρ, β i σ són paràmetres positius.

σ és el nombre de Prandtl, ρ el de Rayleigh i β una relació

d'aspecte.


Lorenz acabà fixant ρ=28, β=8/3 i σ =10:

La gràfica té la forma de les ales d’una papallona.

És un atractor estrany.


L’atractor estrany:


Lorenz acabà fixant ρ=28, β=8/3 i σ =10:

Anàlisi de la solució:

L’òrbita no està tancada.

L’òrbita no presenta una etapa de transició cap a un

comportament regular, no hi ha una regularitat aparent en

el nombre de loops.

El nombre de loops a la dreta i a l’esquerra depèn,

sensiblement, dels valors inicials. Una petita pertorbació

dels valors inicials produeix una altra sèrie alternativa de

loops.

Altres valors inicials, encara que siguin molt diferents,

produeixen aproximadament la mateixa gràfica.


Algunes propietats de les equacions de Lorenz:

Correspondència: (x, y, z) → (-x,-y,z) té sentit.

Invariància de l’eix z: L’eix z, x = y = 0, és un

conjunt invariant: les solucions que comencen a l’eix

z tendeixen a (0,0,0) per t→∞.

Acotació de les solucions: És possible trobar conjunts

invariants on la solució es manté per algun temps.

Una funció de Liapunov que conforma un el·lipsoide D

i considerant un el·lipsoide E més petit.

Després d’un temps suficient les òrbites quedaran entre

D i E i no en sortiran.

Índex Introducció



Equacions de Lorenz

Estudi realitzat

Ampliacions

Estudi realitzat 5 propietats de les equacions de Lorenz:

1. Si 0<ρ <1, l’origen és l’únic punt crític i és un atractor global.

2. Si ρ =1 hi ha una bifurcació i dos punts crítics més:

3. Per ρ=r, r≈13,93 hi ha una bifurcació homoclínica.

4. Per ρ≈24,06 hi ha un atractor estrany.

5. Si 1< ρ <r, r≈24,74 l’origen és inestable i els punts c1 i c2 són estables.

Visió general: 0≤ρ ≤100.

Estudi realitzat

Consideracions:

σ=10.

β=8/3.

ρ variable.

Punt inicial (x,y,z)=(0,1,20).

h=10^-3.

Estudis locals.

RK4 amb Matlab.

Anàlisis d’autovalors amb Matlab.

Estudi realitzat

Punts crítics de les equacions de Lorenz:

S’igualen les expressions a zero:

S’obtenen les igualtats:

Estudi realitzat

Punts crítics de les equacions de Lorenz:

I els punts crítics venen donats per:

Si es substitueix (x,y,z)=(0,0,0) a les expressions:

L’origen també és un punt crític.

Estudi realitzat

Càlcul d’autovalors:

Es linealitza el sistema de Lorenz:

Es calcula el polinomi característic:

Estudi realitzat

Càlcul d’autovalors:

Els autovalors són les arrels del polinomi

característic i venen donats per:

Amb el Matlab s’ha creat un fitxer de funció que

calcula autovalors per un rang de ρ determinat.

Si 0<ρ <1, l’origen és l’únic punt crític i és un

atractor global:

Si 0<ρ <1 només per (x,y,z)=(0,0,0) les expressions

esdevenen 0, els punts crítics C1 i C2 no ho són.

Com que tots els autovalors per 0<ρ <1 són negatius,

l’origen és un atractor global.

Estudi realitzat,

Propietat 1

Si 0<ρ <1, l’origen és l’únic punt crític i és un

atractor global:

Representació dels punts:

ρ=0 ρ=0,5 ρ=0,9

Estudi realitzat,

Propietat 1

Si ρ =1 hi ha una bifurcació i dos punts crítics més:

Si ρ =1 els punts C1 i C2 també fan que les expressions

siguin 0, són punts crítics.

Anàlisi d’autovalors: Es calculen els autovalors amb el fitxer

de funció de Matlab per 0 <ρ<2 i amb un increment de 0,1:

Per 0 <ρ<1 tots els autovalors són negatius.

Per ρ=1 el segon autovalor és zero i els altres dos són

negatius.

Per ρ>1 el segon autovalor és positiu i els altres dos

negatius.

Estudi realitzat,

Propietat 2


Representació dels punts:

ρ=0,9 ρ=1 ρ=1,1

Estudi realitzat,

Propietat 2


La bifurcació:

Un autovalor zero.

El punt fix és no hiperbòlic.

S’apliquen varietats centrals

Considerant r= ρ-1.

Els punts fixes C1 i C2 s’expressen per r=(1/β)u^2

Una corba u=0 i l’altre r=(1/β)u^2.

Es té bifurcació de tipus forquilla.

Estudi realitzat,

Propietat 2

Per ρ=r, r≈13,93 hi ha una bifurcació homoclínica:

No s’han trobat indicis de la seva existència.

L’anàlisi d’autovalors no mostra cap canvi:

Primer i tercer autovalors negatius.

Segon autovalor positiu.

Però les bifurcacions homoclíniques són globals.

I no emergeixen de bifurcacions locals.

Estudi realitzat,

Propietat 3



La representació gràfica tampoc mostra canvis en el

comportament de la dinàmica del sistema:

ρ=13,9 ρ=14

Estudi realitzat,

Propietat 3



Però sí hi ha un canvi destacable entre ρ=14,2 i ρ=14,3:

ρ=14,2 ρ=14,3

Estudi realitzat,

Propietat 3

Per ρ≈24,06 hi ha un atractor estrany:

L’atractor s’ha trobat entre ρ=19,02 i 19,03

Per trobar-lo s’han fet representacions gràfiques:

Per ρ=19 fins a ρ=26, amb un increment d’una unitat.

Es situava entre 19 i 20.

Per ρ=19 fins a ρ=20, amb un increment de 0,1.

Es situava entre 19 i 19,1.

Per ρ=19 fins a 19,1, amb un increment de 0,01.

Es situava entre 19,02 i 19,03.

La discrepància es pot deure a molts factors.

Estudi realitzat,

Propietat 4

Per ρ≈24,06 hi ha un atractor estrany: L’atractor s’ha trobat entre ρ=19,02 i 19,03:

ρ=19,02 ρ= 19,03

No hi ha cap canvi del valor dels autovalors.

Estudi realitzat,

Propietat 4

Si 1< ρ <r, r≈24,74 l’origen és inestable i els punts c1 i c2 són estables:

Per 0< ρ <1 l’origen és asimptòticament estable i és hiperbòlic.

Tots els autovalors són negatius.

Amb varietats centrals i considerant s=ρ-1:

u=0 és un punt fix:

Estable per s<0.

Inestable per s>0.

Estudi realitzat,

Propietat 5

Si 1< ρ <r, r≈24,74 l’origen és inestable i els punts

c1 i c2 són estables:

Per ρ>1:

Es té un autovalor positiu, per tant l’origen és inestable.

Amb els paràmetres fixats c1 i c2 també són inestables.

Estudi realitzat,

Propietat 5

Estudi realitzat

Visió general, 0≤ρ ≤100:

Amb el mètode RK4 i l’eina Matlab s’han representat

aproximacions de les solucions de les equacions de

Lorenz per 0≤ρ ≤100, amb un increment d’una unitat:

ρ=1 ρ=2

Estudi realitzat Visió general, 0≤ρ ≤100:

ρ=3 ρ=5

ρ=6 ρ=9


ρ=11 ρ=12

ρ=15 ρ=19


ρ=20 ρ=30

ρ=93 ρ=100

Estudi realitzat

Visió general, 0≤ρ ≤100:

Amb l’eina Matlab també s’han calculat els autovalors de

la matriu linealitzada per 0≤ρ ≤100:

Per ρ ≤ 0<1 tots tres autovalors són negatius.

Per ρ=1 el primer i el tercer autovalor són negatius però

el segon és zero.

Per 1<ρ ≤100 el primer i el tercer autovalor són

negatius però el segon és positiu.

Es pot afirmar que només hi ha una bifurcació en tot

el model?

Índex Introducció



Equacions de Lorenz

Estudi realitzat

Ampliacions

Ampliacions

Comportament del sistema per diferents valors inicials

Estudi bifurcacions globals

Dinàmica del sistema variant σ i β

Més precisió

Ús d’altres mètodes d’aproximació

dinamica de sistemas: estudio de las equaciones de lorenz

Engineering