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Serie 4
Dinámica de Procesos
Función de Transferencia
• Se define como G(s) = Y(s) / X(s)
• Representa un modelo normalizado de un proceso, donde
Y(s) es la variable de salida y X(s) es una de las entradas.
• Y(s) and X(s) están expresadas como variables desviación.
• La forma de la función de transferencia representa el
comportamiento dinámico del proceso.
PROCESO
G(s) = Y(s) / X(s)
X(s)
Y(s)
Plantear el balance correspondiente
Pasos para hallar la G(s)
nAcumulacióGeneraciónSalidaEntrada =±−
Ecuación diferencial (ED)
Ecuación diferencial (ED)
Lineal?Sí No
Linealizar
Ecuación diferencial lineal
Linealizar con expansión en serie de Taylor
...)()()(
0
00 +
−+≈
= xxdx
dyxxxyxy
Esta expresión provee una aproximación lineal de la función y(x) alrededor de x=x0.
Cuanto más cercano sea x a x0, más exacta será la aproximación.
Cuanto menos lineal sea la ecuación original, menos exacta será la aproximación.
Si la ecuación diferencial no es lineal, hay que linealizar los
términos no lineales de la misma (por ejemplo, exp(a), a2, a*b, b1/2).
Sí No
Restar balance en estado estacionario
Ecuación diferencial lineal
Ecuación diferencial lineal en variables desviación
Aplicar Transformada de Laplace
Ecuación algebraica en s (Y = f (X, Z, W, …)
Sí No
Aplicar principio de superposición
Ecuación algebraica Y(s) = f (X(s))
Reordenar
Ecuación algebraica en s (Y = f (X, Z, W, …)
Función de transferencia G(s) = Y(s) / X(s)
Sí No
Aplicar TVI
Respuesta temporal y(t)
Función de transferencia G(s) = Y(s) / X(s)
Aplicar cambio en X y antitransformar
Aplicar TVF
y(∞)y(0)
Teorema del Valor Final
[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st →∞→ =
• Permite usar la transformada de Laplace de una
función para determinar el valor final de estado
estacionario de esa función.
Teorema del Valor Inicial
[ ] [ ])(lim)(lim 0 sFstf st ∞→→ =
• Permite usar la transformada de Laplace de una
función para determinar el valor inicial de esa
función.
Respuesta Dinámica
Siendo a, b, c y d, constantes positivas, la función de transferenciamuestra respuestas de caída exponencial, oscilatoria y crecimientoexponencial, respectivamente.
)()()()(
2ds
C
cbss
B
as
AsY
−+
+++
+=
dtptateCteBeAty ′+′+′= − )sin()( ω
)()()(
1)(
2dscbssas
sG−+++
=
Polos en el plano complejo
s1
s6
s5
s41, s42
s31, s32
s21, s22
Términos para t>0Raíces
ta
eK1
0
−
)cos( 2221
2
tsenbKtbKeta
±−
ta
eK5
6
7K
s21 (a2,b2)
s22 (a2,-b2)
s41 (a4,b4)
s42 (a4,-b4)
s1 (-a1,0)
s32 (0,-b3)
s31 (0,b3)
s6 (0,0)
s5 (a5,0)
)cos( 3433 tsenbKtbK ±
)cos( 46454 tsenbKtbKeta ±
ta
eK1
0
−
)cos( 2221
2
tsenbKtbKeta
±−
)cos( 3433 tsenbKtbK ±
ta
eK1
0
−
)cos( 2221
2
tsenbKtbKeta
±−
)cos( 46454 tsenbKtbKeta ±
)cos( 3433 tsenbKtbK ±
ta
eK1
0
−
)cos( 2221
2
tsenbKtbKeta
±−
ta
eK5
6
)cos( 46454 tsenbKtbKeta ±
)cos( 3433 tsenbKtbK ±
ta
eK1
0
−
)cos( 2221
2
tsenbKtbKeta
±−
7K
ta
eK5
6
)cos( 46454 tsenbKtbKeta ±
)cos( 3433 tsenbKtbK ±
ta
eK1
0
−
)cos( 2221
2
tsenbKtbKeta
±−
ai y bi son constantes positivas.
Ki son constantes arbitrarias y
pueden determinarse por expansión
en fracciones simples.
Sinusoide
Amortiguada
Real negativa
Complejas conjugadas
con parte real negativa
Complejas conjugadas
con parte real positiva
Sinusoide
creciente
(inestable)
Raíces y respuestas
Caída
exponencial
Comportamiento Inestable
Si la salida de un proceso crece ilimitadamente para
una entrada acotada, el proceso es inestable.
Si la parte real de cualquier polo de una función de
transferencia es positiva, el proceso es inestable.
Si algún polo está localizado en el plano derecho, el
proceso es inestable.
Ejemplo
dt
dMFFFF
θθθθ =+−+ )( 212211
Balance (Ec. dif.)
Linealización
eee 222111 θθθθθθθθθ −=−=−=
θθθθ
eFFFF
dt
dM ee )( 2111 11
+−+=
))()/)((
)()/)(()(
11111
111111111
ee
eee
FFdFFd
dFdFF
−+
−+=
θ
θθθθθθ
Mezcla de dos corrientes con cp = 1. Nivel constante. Ө vs. Ө1?
Variables desviación
Restar BEE.
ED linealizada en variables desviación.
11
)(
)(
)(
)()(
21
21
1
1 +=
++
+==
Ts
K
sFF
M
FF
F
s
ssG
e
e
e
θ
θ
Aplicar transformada de Laplace para
obtener una ecuación algebraica
(T=f(T1, F1).
Usar principio de superposición y
reordenar para hallar la función de
transferencia. Determinar el orden
del sistema.
[ ]e
ee
FFsM
sFsFs
)(
)()()(
21
1111
++
+=
θθθ
eed(flujo)
impulsora)d(fuerzaaResistenci
==RCR=Τ
eeentrada
salidaGananciaK
∆
∆==
)(
)(
iaCapacitanc=C
respuesta de Velocidad tiempode Constante ⇒=Τ
Concepto de resistencia
Altura h = Diferencia de potencial = Fuerza impulsoraAltura h = Diferencia de potencial = Fuerza impulsora
R = resistenciaR = resistencia
Caudal F = intensidad de corrienteCaudal F = intensidad de corriente
F
Inten
sida
d
+
-Dif
eren
cia
de
po
ten
cia
l
h
R
Resistencia
R = dh / dF R = dV / di
Sistema de primer orden
11)(
)()(
1+
=+
==Ts
K
RAs
R
sF
shsG
hbhfF == )(2
h
R
F2
F1 dt
dhAFF =− 21
)(222 e
e
e hhdh
dFFF −+=
Rh
hb
h
b
dh
dF
e
e
ee
1
22
2 ===
)()(1
)(1 shAsshR
sF =−Restando el balance en e.e.
y transformando
dt
dhAhh
RFF ee =−−− )(
121Reescribiendo el balance
Sistema capacitivo puro
As
K
sF
shsG ==
)(
)()(
1
1
F1
hF2
A
)(2 hfF ≠dt
dhAFF =− 21
)()()( 21 shAssFsF =−
Aplicando el principio de superposición, queda:
As
K
sF
shsG
−==
)(
)()(
2
2
Retardo puro
F F
)(tf
LsesG
−=)(
)( Ltf −
dt
dhAFF 1
110 =−
Balance TK2
Balance TK1
F0
F2
F1
h2
h1
A2
A1
R2
R1
dt
dhAFF 2
221 =−
111 hbF =
222 hbF =
a) Sistemas no interactuantes
Sistemas de primer orden en serie
)( 11
1
111 eee hh
dh
dFFF −
+=
Linealizando, queda:
)( 22
2
222 eee hh
dh
dFFF −
+=
)(2
11
1
111 e
e
e hhh
bFF −+=
11
1
1
11
1
1 1
222 Rh
F
h
hb
h
b
e
e
e
e
e
===
)(1
11
1
11 ee hhR
FF −+=
)(2
22
2
222 e
e
e hhh
bFF −+=
22
2
2
22
2
2 1
222 Rh
F
h
hb
h
b
e
e
e
e
e
===
)(1
22
2
22 ee hhR
FF −+=
dt
dhAhh
RFF ee
1111
1
10 )(1
=−−−Balance linealizado,
expresado en
variables desviación
TK1
-
Transformada
de Laplace
0 10 =− ee FF
dt
hdAh
RF 1
11
1
0
1=−
+= sA
RshsF 1
1
10
1)()(
Función de
Transferencia
TK1 11)(
)()(
1
1
11
1
0
11
+=
+==
sT
K
sAR
R
sF
shsG
Balance
linealizado,
expresado en
Variables
desviación
TK2
Transformada
de Laplace
+= sA
Rshsh
R2
2
21
1
1)()(
1
Función de
Transferencia
TK2
1
1)(
)()(
2
2
22
1
2
1
22
+=
+==
sT
K
sRA
R
R
sh
shsG
dt
dhAhh
RFhh
RF eeee
2222
2
211
1
1 )(1
)(1
=−−−−+
-0 21 =− ee FF
dt
hdAh
Rh
R
222
2
1
1
11=−
Función de Transferencia del sistema de segundo orden
)1)(1(
1)()(
11
)()()(
212211
2
2211
2
22
1
2
11
121
++=
+++=
++==
sTsT
K
sRARAsRARA
RsG
sRA
R
R
sRA
RsGsGsG
dt
dhAFF 1
110 =−
Balance TK2Balance TK1
dt
dhAFF 2
221 =−
2111 hhbF −= 222 hbF =
b) Sistema interactuante
)()( 22
2
111
1
111 eeeee hh
dh
dFhh
dh
dFFF −
+−
+=
Linealizar (F2 es idem caso a)
)(2
)(2
22
21
111
21
111 e
e
e
e
e hhhh
bhh
hh
bFF −
−−−
−+=
121
1
21
211
21
1 1
)(2)(22 Rhh
F
hh
hhb
hh
b
ee
e
ee
ee
e
=−
+−
−=
−
)(1
)(1
22
1
11
1
11 eee hhR
hhR
FF −−−+=
dt
dhAh
Rh
RFF e
112
1
1
1
10 )(1
)(1
=+−−Balance linealizado,
expresado en
variables desviación
TK1
-
Transformada
de Laplace
0 10 =− ee FF
dt
hdAh
Rh
RF 1
12
1
1
1
0
11=+−
=
−−
1
21
1
10
1)(
1)()(
RshsA
RshsF
(#)
1
2
1
1011
)()()()(
R
sh
R
shsFshsA +−=
Balance
linealizado,
expresado en
Variables
desviación
TK2
Transformada
de Laplace
dt
dhAh
RFh
Rh
RF ee
222
2
22
1
1
1
1 )(1
)(1
)(1
=−−−+
-0 21 =− ee FF
dt
hdAh
Rh
Rh
R
222
2
2
1
1
1
111=−−
(*)
2
2
2
1
1
122
)()()()(
R
sh
R
sh
R
shshsA −−=
)()(1
)(1
)(1
222
2
2
1
1
1
shsAshR
shR
shR
=−−
Eliminando h1(s) de (*) y (#), queda:
++++=
1)()()(
)(
212211
2
2211
2
0
2
sRARARAsRARA
R
sF
sh
)1)(1(1)()()(
)(
2121
2
21
2
0
2
++=
+++=
ss
K
ss
R
sF
sh
ττττττ
.matemáticasolución la solamenteSon
físico. sentido tienen No
efectivas. tiempode constantesllaman se 21 ττ y
Los sistemas de segundo orden se escriben genéricamente en
función de la frecuencia natural y el factor de amortiguamiento
++
=
1)2
()1
(
)(2
2ss
KsG
nnω
ξ
ω
ξ>1
ξ=1
ξ<1
Raíces reales y distintas
Raíces reales e iguales
Raíces complejas conjugadas
)1)(1(1)2
()1
( 21
2
2++=++ sTsTss
nnω
ξ
ω
21
1
TTn =ω 21
2TT
n
+=ω
ξ
21
21 1
2 TT
TT +=ξ
Como la media aritmética es siempre mayor que la media geométrica,
el factor de amortiguamiento en sistemas de segundo orden formados
por dos sistemas de primer orden en serie será siempre mayor que 1.
AghF
dt
dhA
D
L
dt
dhRAF
APPAPF
dt
hdLAmaF
ρ
µ
ρ
2
32
)()(
4
23
212
2
2
1
=
==
−=∆=
==
Ejemplo: Manómetro en U
Sistemas de segundo orden
D = Diámetro de la columna
P1 = Presión mayor
P2 = Presión menor
L = Longitud de la columna de líquido
H = Nivel por encima de la línea de equilibrio
Balance macroscópico de fuerzas: Inerciales = Exteriores – Viscosas - Hidrostáticas
(para flujo laminar)F1 = F2 – F3 – F4
hdt
dh
gD
L
dt
hd
g
L
g
P
ghdt
dh
D
L
dt
hdLP
Aghdt
dhA
D
LAP
dt
hdLA
++=∆
++=∆
−−∆=
22
2
22
2
22
2
16
22
)(
232
)(
232
)(
ρ
µ
ρ
ρµ
ρ
ρµ
ρ
Sistemas de segundo orden
Transformando, queda:
12
2
11
16
2
2
1
)(
)(
2
2
2 ++
=
++
=∆ ss
K
sgD
Ls
g
L
g
sP
sh
nn ω
ξ
ωρ
µρ
Sobrevalor y otros parámetros
h(t) / K
t
1
TP
SV1 = Sobrevalor máximo (overshoot)
tME= Tiempo de máxima elevación
tE = Tiempo de elevación (1° vez que llega al valor final)
η = Relación de decaimiento
21 ξω
π
−=
n
MEt
tME
SV1
tE
21 ξ
πξ
−
−
= eSVM
21
2
1
ξ
πξ
η −
−
−
== eSV
SV
n
n
Respuesta de sistemas
)1)(1()(
)()(
21 +Τ+Τ==
ss
K
sX
sYsG
1)(
)()(
+Τ==
s
K
sX
sYsG )1)(()( Τ
−
−∆=t
eXKty
)()( Τ−
Τ=
t
eK
ty
As
K
sX
sYsG ==
)(
)()( tX
A
Kty )()( ∆=
1)(
)()(
+Τ==
s
K
sX
sYsG
)1()( −Τ
+Τ= Τ− t
eKty
t
1)(
)()(
+Τ==
s
K
sX
sYsG
−
−+= Τ
−Τ
−
)()(1
1)( 21
21
12
tt
eTeTTT
ty
Identificación de sistemas
Los sistemas reales se pueden clasificar en tres grandes grupos:
1.- Es resoluble analíticamente y pueden calcularse los
parámetros. Por lo tanto, se conoce el comportamiento dinámico.
2.- Es resoluble analíticamente, pero no pueden calcularse los
parámetros. Hay que recurrir a la experiencia para hallarlos.
3.- No es resoluble analíticamente ó es resoluble con solución
compleja. Se toma el sistema como caja negra y se supone un
modelo.
Vamos a analizar sistemas como los del grupo 2.
Sistemas de primer orden
y(t)
K ∆X
t
63.2%
K ∆X
T
)1()(
)()(
+Τ==
s
K
sX
sYsG )1)(()( Τ
−
−∆=t
eXKtyEscalón
Si t=T, y(t) )(*632.0)( XKty ∆=
Sistemas de primer orden
y(t)
K ∆X
tT
)1()(
)()(
+Τ==
s
K
sX
sYsG
T
XK
tx
ty )(
)(
)( ∆=
∆
∆
)1)(()( Τ−
−∆=t
eXKtyEscalón
Derivada en el origen
Sistemas de primer orden
.1
es pendiente cuya recta una obtiene se t, vs.)(
1ln TXK
tyGraficando
−
∆−
)1()(
)()(
+Τ==
s
K
sX
sYsG
T
t
XK
ty −=
∆−
)(1ln
)1)(()( Τ−
−∆=t
eXKtyEscalón
Eliminar exponencial
Sistemas de primer orden
)()(
)( Τ−
Τ
∆=
t
eXK
ty)1()(
)()(
+Τ==
s
K
sX
sYsG
[ ]T
t
T
XKty −
∆=
(ln)(ln
Impulso
Si t=T, y(t) )(*368.0)( XKty ∆=
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8 1
1,2
1,4
1,6
1,8 2
2,2
2,4
2,6
2,8 3
y(t)
t
0
1
T
0.368
Sistemas de primer orden
−Τ−= Τ
−
)1()(t
etKaty
)()()( 00 Τ−−=− tKaattytx
)1()(
)()(
+Τ==
s
K
sX
sYsG
Rampa
El error dinámico es
la diferencia entre las
respuestas, cuando se
extinguió la parte
exponencial.
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0,0
0
0,0
9
0,1
8
0,2
7
0,3
6
0,4
5
0,5
5
0,6
4
0,7
3
0,8
2
0,9
1
1,0
0
x(t)
y(t)
t
Error dinámico
t0
−Τ−−=− Τ
−
)1()()(t
etKaattytx
x0(t)
y0(t)
Sistemas de primer orden con retardo puro
y(t)
tTL
Lse
Ts
KsG
−
+=
1)(
0
y632
)(632.0 0632 yyy f −=
0
0
uu
yyK
f
f
−
−=
Sistemas de segundo orden
)1)(1()(
)()(
21 +Τ+Τ==
ss
K
sX
sYsG
121)(
)()(
2++
==
ss
K
sX
sYsG
nnω
ξ
ω
natural Frecuencia=nω
ientoamortiguam deFactor =ξ
1>ξ Segundo orden sobreamortiguado. Raíces reales y distintas.
1=ξ Segundo orden cíticamente amortiguado. Raíces reales e iguales
1<ξ Segundo orden subamortiguado. Raíces complejas conjugadas
En ambos casos, la función de transferencia del sistema puede escribirse como
dos sistemas de primer orden en serie, interactuantes ó no interactuantes.
21
2Τ+Τ=
nω
ξ212
1ΤΤ=
nω
Respuesta de sistemas de segundo orden subamortiguados
1<ξ 1<ξ
4.0=ξ
1.0=ξ 2.0=ξ
4.0=ξ
7.0=ξ
1 <ξ
Ante salto escalón
Obtención de parámetros
u0 = Valor inicial de entrada
uf = Valor final de entrada
y0 = Valor inicial de salida
yf = Valor final de salida = KA
A1 = Amplitud de pico 1
An = Amplitud de pico n
Tω = Tiempo entre dos picos sucesivos
ωP = Frecuencia propia =Frecuencia
con que oscila el sistema.
0
0
uu
yyK
f
f
−
−=
2
1
2
1
)/ln(1
14
)/ln(1
1
−+
−=
n
n
AAn
AAn
π
ξ
21 ξωω −= nP
y(t)
t
KA
ω
πω
TP
2=
Obtención de parámetros
y(t)
t
KA
TP
SV1 = Sobrevalor 1
SV2 = Sobrevalor 2
TP = Tiempo entre dos picos sucesivos
η = Relación de decaimiento
SV3
212
1ξ
πω−= P
n
T
2
2
12
2
1
ln4
ln
+
=
SV
SV
SV
SV
π
ξ21
2
2
3 ξ
πξ
η −
−
== eSV
SV
Respuesta de sistemas de segundo orden sobreamortiguados
1 >ξ5=ξ
1 >ξ
00001.1=ξ
2=ξ
Ante salto escalón
Método de la curva complementaria
11
21
1
´*
)(1
Τ−
Τ−
>
≅−
≅
∆−
tt
tt
eeTT
T
XK
ty
Aplicable a sistemas de segundo orden sobreamortiguados, donde se conoce la
respuesta del sistema total ante un salto escalón. La expresión de la misma es:
Pretendemos hallar los valores de ambas constantes de tiempo. Establecemos la
condición de que T1 es apreciablemente mayor que T2. A medida que el tiempo
va aumentando, el segundo exponencial decrece más rápido. Habrá un tiempo t´
desde el cual se tenga:
21
21
***
)(1
**1*)*()(
21
2
21
1
21
2
21
1
Τ−
Τ−
Τ−
Τ−
−−
−=
∆−
−−
−−∆=
tt
tt
eTT
Te
TT
T
XK
ty
eTT
Te
TT
TXKty
Método de la curva complementaria
1
21
1
*
)(1ln
*1**
)(1 11
T
t
XK
ty
eeTT
T
XK
tytt
−≅
∆−
≅−
≅∆
− Τ−
Τ−
Representando gráficamente, se obtendrá una recta que será asintótica a la
curva de la función total para tiempos grandes.
El punto donde la recta corta al eje de ordenadas será (0, Y0).
En el caso particular de t = T1, el valor de la ordenada será 0.368Y0.
Esto permitirá obtener T1.
Método de la curva complementaria
La diferencia entre la recta y la curva de la función total, será:
2*21
2 Τ−
−=
t
eTT
Td
Representando en el mismo gráfico d vs. t, se obtendrá una recta.
Las coordenadas del punto para t = 0, serán (0,Y1).
En el caso particular de t = T2 el valor de la ordenada será 0.368Y1. Esto
permitirá obtener T2.
Este método se puede utilizar para sistemas de orden superior.
Método de la curva complementaria
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 10 20 30 40 50 60
Y0
Y1
0.368 Y1
0.368 Y0
T2 T1
Función total
Asíntota
Diferencia
∆−
XK
ty
*
)(1ln
t
Método de Harriott
Aplicando un escalón de magnitud A y graficando y(t)/KA vs. t / (T1+T2), se
observó que en todas las curvas se alcanzaba el 73% del cambio en la salida para
t = 1.3 (T1+T2). O sea, que todas las curvas se cortaban en un punto que tenía
coordenadas (1.3 , 0.73).
)1)(1()(
21 ++=
sTsT
KsG
Aplica a sistemas sobreamortiguados o críticamente amortiguados.
Luego, se determinó que las curvas estaban más separadas entre sí (esto es,
permitían mejor apreciación) cuando t / (T1+T2) = 0.5.
Harriott realizó un gráfico normalizado de y(t)/KA vs. T1/(T1+T2) para un valor
de t / (T1+T2) = 0.5.
Método de Harriott
6.2´ 0
073 =−
−
tt
ttu0 = Valor inicial de entrada
uf = Valor final de entrada
y0 = Valor inicial de salida
yf = Valor final de salida
y´= Valor de salida a tiempo t´
t0 = Tiempo en que aparece el escalón
t73 = Tiempo en que la salida alcanza el 73%
t0 t´ t73
6.2´ 0
073 =−
−
tt
tt
y(t)0
0
uu
yyK
f
f
−
−=
)(5.0´ 21 TTt +=
)(3.1 2173 TTt +=
t
Método de Harriott
0 t´ t73
KA
ty )(
0.73
tiempo
6.2´
)(3.1
)(5.0´
73
2173
21
=
+=
+=
t
t
TTt
TTt
A
yyK tt 0=∞→ −
=
y´
Método de Harriott
KA
y
5.021
=+TT
t
21
1
TT
T
+
Método de Harriott
El procedimiento consiste en lo siguiente:
De la respuesta temporal del sistema, se obtiene (gráfica o analíticamente), el
tiempo para el cual la respuesta es el 73% del cambio en la salida. De ahí se
obtienen t73 y (T1+T2).
0.73t73 = 1.3 (T1+T2)
y´(0.5)t´ = 0.5 (T1+T2)
---------
000
y(t) / KAy(t)t
Método de Harriott
Se calcula el tiempo t´ = 0.5 (T1+T2). De la respuesta temporal se lee el valor de
salida y´(0.5) y se calcula y´(0.5) / KA.
0.73t73
y(0.5) / KAy´(0.5)t´ = 0.5 (T1+T2)
---------
000
y(t) / KAy(t)t
Método de Harriott
Con el valor de y´(0.5) / KA se entra al gráfico normalizado de Harriott y
se obtiene T1 / (T1+T2). Como ya se conoce (T1+T2), pueden obtenerse los
valores de T1 y T2.
Si la ordenada del gráfico normalizado de Harriott, y´(0.5) / KA, resulta
mayor a 0.39 ó menor a 0.26, significa que la respuesta no corresponde a
un sistema de segundo orden sobreamortiguado, pudiendo ser
probablemente de segundo orden subamortiguado, ó de orden superior.