08 IMC.doc 1

1. Realimentación Basada en el Modelo 1. Realimentación Basada en el Modelo __________________________ 1

1.1. Introducción_________________________________________________________________________________________________ 2 1.2. Control con Modelo Interno (IMC) _______________________________________________________________________________ 3

1.2.1. Paradigma de diseño para IMC__________________________________________________________________________________________ 9 1.2.2. Diseño de F ________________________________________________________________________________________________________ 11 1.2.3. Realización del Controlador IMC________________________________________________________________________________________ 15

1.3. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden __________________________________________________________________ 17 1.4. Diseño de PID-IMC para Plantas de Mayor Orden _________________________________________________________________ 21

1.4.1. Controlador de Segundo Orden_________________________________________________________________________________________ 21 1.4.2. Diseño de PID-IMC para Plantas de Segundo Orden ________________________________________________________________________ 22

08 IMC.doc 2

1.1. Introducción

u

Rr G

y

v

e

Generalmente se ajusta R sin tener un gran conocimiento de G

08 IMC.doc 3

1.2. Control con Modelo Interno (IMC) Se puede plantear el siguiente esquema

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

la salida es

( ) ( )ˆ1

ˆ ˆ1 1 oQG QGy r dQ G G Q G G

−= +

+ − + − [1.1]

si el modelo es perfecto,

( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.2]

el IMC se puede mostrar como

08 IMC.doc 4

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+++

C

08 IMC.doc 5

u

ˆ1QCQG

=−

r G

y

od

e+

−

+

+

El control es diseñado en base al modelo de la planta

( )ˆC C G= [1.3]"

08 IMC.doc 6

Es muy intuitivo

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

está relacionado con el concepto de predictor de Smith

08 IMC.doc 7

Si la planta es estable, ¿cómo elegir Q?

¿Si probamos con 1ˆQ G−= ?

( )ˆ1 oy QGr QG d= + − [1.4]

( )1 1ˆ ˆ ˆ1 oy G Gr G G d− −= + − [1.5]

ˆ1ˆ ˆ o

G Gy r dG G

= + −

[1.6]

1ˆG y rG≈ ⇒ ≈ [1.7]

con 1ˆQ G−= se obtiene el control perfecto

08 IMC.doc 8

Problemas: (a) nunca el modelo es perfecto (b) los actuadores se saturan (c) un retardo no se puede invertir en forma exacta (d) problemas matemáticos de inversión (e) problemas con plantas inestables

08 IMC.doc 9

1.2.1. Paradigma de diseño para IMC Se elige

ˆinvQ FG= [1.8]

siendo ˆinvG una aproximación estable de la inversa de G

y F una condición de diseño (filtro) para lograr determinadas propiedades en lazo cerrado.

ˆinvG intenta resolver el problema (c) y F los problemas (a), (b) y (d)

Si se toma esta condición de diseño se obtiene

( ) ( )ˆ1

ˆ ˆ1 1 oQG QGy r dQ G G Q G G

−= +

+ − + − [1.9]

( ) ( )ˆ ˆ ˆ1

ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv inv

oinv inv

FG G FG Gy r dFG G G FG G G

−= +

+ − + − [1.10]

suponiendo que ˆ ˆ ˆ 1inv invG G G G≈ ≈ [1.11]

resulta

08 IMC.doc 10

( )1 oy Fr F d≈ + − [1.12]

recordar que elegimos ˆinvG como una aproximación estable de la inversa de G

si G tiene inversa estable y no tiene retardos se puede elegir 1ˆ ˆinvG G−=

si no es el caso se hace una separación

( ) ( )( )

( ) ( )( )

ˆ ˆ ˆˆ

ˆ ˆe iB s B s B s

G sA s A s

= = [1.13]

( )ˆeB s contiene los ceros estables y

( )ˆiB s contiene los ceros inestables o de no mínima fase

se elige

( ) ( )( ) ( )( )

0

ˆˆ

ˆ ˆinv

e is

A sG s

B s B s=

= [1.14]

se considera la ganancia estática de ( )ˆiB s

no se puede hacer esto con el retardo (se verá luego)

08 IMC.doc 11

Ejemplo 1.1. Planta

( ) ( )( )2

1 2ˆ0,2 1

s sG s

s s+ −

=+ +

[1.15]

( ) ( )( )2 0,2 1ˆ

1 2invs sG ss+ +

=+ −

[1.16]

1.2.2. Diseño de F ( )1 oy Fr F d≈ + − [1.17]

F es la respuesta deseada del sistema. Para seguimiento de referencias:

- F rápida => respuesta rápida - F lenta => respuesta lenta

Para rechazo de perturbaciones: - F rápida => buen rechazo de perturbaciones - F lenta => rechazo pobre

08 IMC.doc 12

Generalmente F se elige de la forma

( )1

1 pFsβ

=+

[1.18]

se agrega el exponente p de modo de que ˆinvQ FG= sea bipropia o tenga igual

número de polos y ceros. Por ejemplo

( ) 1ˆ2 1

G ss

=+

, 1

1F

sβ=

+,

2 1ˆ1inv

sQ FGsβ+

= =+

[1.19]

( ) 2

5ˆ2 1sG s

s s−

=+ +

, ( )2 2 1ˆ

5invs sG s + +

=−

,

( )21

1F

sβ=

+,

( )

2

22 1ˆ

5 1inv

s sQ FGsβ

+ += =

− + [1.20]

08 IMC.doc 13

β pequeño => F rápido

β grande => F lenta

Una F lenta reduce los efectos negativos de - incertidumbre en el modelo - limitaciones de los actuadores - ruido de medición

β se convierte en un potenciómetro de diseño

Una elección más sofisticada de F lleva a un diseño más complejo.

08 IMC.doc 14

step(tf(1,[.1 1]),tf(1,[1 1]),tf(1,[2 1])) a=[.1 1];b=[.4 1];c=[.8 1]; step(tf(1,conv(a,conv(a,a))),tf(1,conv(b,conv(b,b))),tf(1,conv(c,conv(c,c))))

0 2 4 6 8 10 120

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

0 2 4 6 8 10 12

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Step Response

Time (sec)

Ampl

itude

08 IMC.doc 15

1.2.3. Realización del Controlador IMC en la forma IMC

u

Qr G

y

od

e

G

+

−

+

+

+−

en la forma "PID" clásica

u

PIDCr G

y

od

e+

−

+

+

08 IMC.doc 16

de donde se deduce que

ˆ1PIDQCQG

=−

[1.21]

Con el diseño IMC se puede lograr un comportamiento PID si - se controla con un PI un modelo de primer orden - se controla con un PID un modelo de segundo orden - se controla con un PID un modelo de primer orden con retardo

Ventajas del diseño de un PID vía IMC: - fácil obtener el modelo de los datos de planta (resp. escalón) - se explicita la forma de la respuesta en lazo cerrado eligiendo F o β

- se calculan las constantes del controlador (P, I y D) con fórmulas apropiadas.

08 IMC.doc 17

1.3. Diseño de PI-IMC para Plantas de Primer Orden Modelo de la planta

ˆˆˆ 1KGsτ

=+

[1.22]

el tiempo de crecimiento está relacionado con la constante de tiempo ˆ ˆ2,2rT τ≈ [1.23]

ˆ 1ˆˆinvsGK

τ += ,

11

Fsβ

=+

[1.24]

ˆinvQ FG= [1.25]

el controlador según IMC es ˆ ˆ 1 1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 1inv

inv

FGQ sCsK sQG FG G G

τββ

+= = = =

− − [1.26]

en el caso de un PI paralelo p

p iPI p

KC C Ks

= = + [1.27]

eligiendo

08 IMC.doc 18

ˆˆ

ppK K

τβ

= ,1ˆ

piK Kβ= [1.28]

dado β , τ y K tenemos una forma sistemática de ajustar el controlador. ˆ ˆ1 1

ˆ ˆ ˆPIsC

K K s K sτ τβ β β

+= + = [1.29]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

08 IMC.doc 19

% Control PI IMC Sistema de Primer Orden % Sistema continuo Kh = 10; tauh = 1; d=poly([-1/tauh]); sis = tf( Kh,d); %Sistema en variables de estado Pss = ss(sis); % y su respuesta al escalón ... precision= .01; t = 0:precision:5; u = ones(size(t)); y = lsim(sis,u,t); figure(1) plot([y]); grid % período de muestreo T=.1; % PI discreto beta =5; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; beta =.2; kp = tauh/beta/Kh; ki = 1/beta/Kh; kd = 0; % se usa la aproximación de Euler s=(q-1)/T %ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1) A = kp; B = ki*T-kp

Tfin = 5; t = 0:precision:T; ref = 1; y = zeros(size(t)); ly = length(t); x0= zeros(1,1); [xx yx]= size(x0); yy = 0; uu = 0; ttt=0; yd=zeros(Tfin/T,1); ud=zeros(Tfin/T,1); error=zeros(Tfin/T,1); for i = 3:Tfin/T % muestreo de la salida yd(i) = y(length(y)); % Regulador error(i)= ref-yd(i); ud(i)=ud(i-1)+A*error(i)+B*error(i-1); % bloqueador de orden cero ub = ud(i) * ones(size(t)); % Sistema [y, tt, x0] = lsim(Pss,ub,t,x0(length(x0),:)); % se guardan los valores de entrada y salida yy = [yy ; y(2:length(y))]; uu = [uu ; ub(2:length(ub))']; end; figure(2) plot([uu yy]);grid

08 IMC.doc 20

Resumen:

- encontrar τ y K - elegir el controlador PI y β

Recordar que con β pequeños se obtiene

- rápidos seguimientos de referencias - menor robustez a errores de modelo - mayor sensibilidad a errores de modelado en alta frecuencia - actuaciones más importantes - más sensible a saturaciones de los actuadores - mejor rechazo a perturbaciones - mayor sensibilidad al ruido de medición - mayor efecto de los ceros inestables - mayor efecto del retardo

08 IMC.doc 21

1.4. Diseño de PID-IMC para Plantas de Mayor Orden Recordar que existe una variedad de PIDs Cualquier controlador de segundo orden con acción integral puede ser

representado como un PID.

1.4.1. Controlador de Segundo Orden sea el controlador

( )2

2 1 02

2 1

b s b s bC sa s a s+ +

=+

[1.30]

se puede interpretar como un PID paralelo de la forma

( ) 11

p p p pPID p i d p

sC s K K Ks s

γ

γ= + +

+ [1.31]

si se hace

1 1 2 021

pp

b a a bKa−

= , 0

1

pi

bKa

= , 2

1

p aa

γ = ,

2 21 2 1 1 2 2 0

31

pd

a b b a a a bKa

− += [1.32]

se opera de igual modo con otras estructuras de PIDs

08 IMC.doc 22

1.4.2. Diseño de PID-IMC para Plantas de Segundo Orden se analizarán tres casos Caso 1: Modelo sin ceros Caso 2: Modelo con un cero estable Caso 3: Modelo con un cero inestable

08 IMC.doc 23

- Caso 1: Modelo sin ceros Modelo de la planta

2 2

ˆˆˆˆ ˆ2 1n n

KGs sτ ξτ

=+ +

[1.33]

ˆnτ : período natural de oscilación [seg/rad]

ξ : factor de amortiguamiento

K : ganancia estacionaria el tiempo de crecimiento está relacionado con el período natural

( )2ˆ ˆˆ ˆ1,4 1,1 1r nT ξ ξ τ≈ + + [1.34]

para sistemas subamortiguados ˆ ˆ2,5r nT τ≈ [1.35]

para sistemas con amortiguamiento crítico ˆ ˆ3,5r nT τ≈ [1.36]

08 IMC.doc 24

el modelo inverso estable 2 2 ˆˆ ˆ2 1ˆ

ˆn n

invs sG

Kτ ξτ+ +

= ,

( )2 2 2

1 12 11

Fs ss β ββ

= =+ ++

[1.37]

ˆinvQ FG= [1.38]

el controlador según IMC es 2 2

2 22 2

ˆˆ ˆ ˆ2 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 221 1

inv n n

inv

FG s sQCs sK s K sQG FG G G

τ ξτβ ββ β

+ += = = =

++− − [1.39]

si se elige un PID paralelo de la forma

( ) 11

p p p pPID p i d p

sC s K K Ks s

γ

γ= + +

+ [1.40]

se iguala ˆ ˆ4

ˆ4p npK K

ξτ ββ−

= , 1ˆ2

piK Kβ= ,

2p βγ = ,

2 2ˆˆ ˆ4 4ˆ8

p n ndK K

τ βξτ ββ

− += [1.41]

08 IMC.doc 25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

08 IMC.doc 26

- Caso 2: Modelo con un cero estable Modelo de la planta

( )2 2

ˆˆ 1 ˆˆ ; 0ˆˆ ˆ2 1n n

K bsG b

s sτ ξτ

+= >

+ + [1.42]

el modelo inverso estable

( )2 2 ˆˆ ˆ2 1ˆ

ˆˆ 1n n

invs sGK bs

τ ξτ+ +=

+,

11

Fsβ

=+

[1.43]

el controlador según IMC es 2 2

2 2

ˆˆ ˆ ˆ2 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ21 1

inv n n

inv

FG s sQCsK s K sQG FG G G

τ ξτββ β

+ += = = =

+− − [1.44]

si se elige el PID paralelo de la forma

( ) 11

p p p pPID p i d p

sC s K K Ks s

γ

γ= + +

+ [1.45]

se iguala y se obtiene

08 IMC.doc 27

ˆ ˆˆ2ˆ

p np

bKKξτ

β−

= , 1ˆ

piK Kβ= , ˆp bγ = ,

2 2ˆ ˆ ˆˆ ˆ2ˆ

p n nd

b bKK

τ ξτβ

− += [1.46]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

¿Porqué no coincide la respuesta en lazo cerrado con la del modelo?

08 IMC.doc 28

- Caso 3: Modelo con un cero inestable Modelo de la planta

( )2 2

ˆˆ 1 ˆˆ ; 0ˆˆ ˆ2 1n n

K bsG b

s sτ ξτ

− += >

+ + [1.47]

el modelo inverso estable 2 2 ˆˆ ˆ2 1ˆ

ˆn n

invs sG

Kτ ξτ+ +

= ,

( )21

1F

sβ=

+ [1.48]

el controlador según IMC es

( ) ( )2 2

2 2 2 2

ˆˆ ˆ ˆ2 1 1ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 1 2 2 2 2

inv n ninv

inv

FG s sQC GQG FG G K s K b s s b s

τ ξτβ β β β

+ += = = =

− − + + + + [1.49]

si se elige el PID paralelo de la forma

( ) 11

p p p pPID p i d p

sC s K K Ks s

γ

γ= + +

+ [1.50]

se iguala y se obtiene

08 IMC.doc 29

( )( )

2

2

ˆ ˆˆ2 2

ˆˆ 2

npp

bK

K b

ξτ β β

β

+ −=

+,

( )1

ˆˆ 2piK

K bβ=

+,

2

ˆ2p

bβγβ

=+

,

( ) ( )( )

2 2 2 4

3

ˆ ˆ ˆˆ ˆ2 2 2

ˆˆ 2

n npd

b bK

K b

β τ β β ξτ β

β

+ − + +=

+ [1.51]

Si se trata de hacer un control rápido se obtiene una mala respuesta.

Se debería elegir bβ >

08 IMC.doc 30

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2