Dinámica de fluidos y ecuación de Bernoulli

Hasta ahora hemos descrito a la presión sólo cuando se aplica a fluidos estacionarios. Ahora consideraremos los fluidos en movimiento: la dinámica de fluidos. El movimiento produce una influencia adicional sobre un fluido. En general, es difícil analizar el movimiento de fluidos. Por ejemplo, ¿cómo describiríamos el movimiento de una partícula (una molécula, como aproximación) de agua en un arroyo agitado? El movimiento total de la corriente sería claro, pero prácticamente sería imposible deducir una descripción matemática del movimiento de cualquier partícula individual, debido a los remolinos, los borbotones del agua sobre piedras, la fricción con el fondo del arroyo, etc. Obtendremos una descripción básica del flujo de un fluido si descartamos tales complicaciones y consideramos un fluido ideal. Luego, podremos aproximar un flujo real remitiéndonos a este modelo teórico más sencillo.

En este enfoque de dinámica de fluidos simplificado se acostumbra considerar cuatro características de un fluido ideal. En un fluido así, el flujo es

1) constante 2) irrotacional 3) no viscoso 4) incompresible

Condición 1: flujo constante implica que todas las partículas de un fluido tienen la misma velocidad al pasar por un punto dado.

Un flujo constante también puede describirse como liso o regular. La trayectoria de flujo constante puede representarse con líneas de corriente. (Figura A). Cada partícula que pasa por un punto dado se mueve a lo largo de una línea de corriente. Es decir, cada partícula sigue la misma trayectoria (línea de corriente) que las partículas que pasaron por ahí antes. Las líneas de corriente nunca se cruzan. Si lo hicieran, una partícula tendría trayectorias alternas y cambios abruptos en la velocidad, por lo que el flujo no sería constante.

Para que haya flujo constante, la velocidad debe ser baja. Por ejemplo, el flujo relativo a una canoa que se desliza lentamente a través de aguas tranquilas es aproximadamente constante. Si la velocidad de flujo es alta, tienden a aparecer remolinos, sobre todo cerca de las fronteras, y el flujo se vuelve turbulento. (Figura B). Las líneas de corriente también indican la magnitud relativa de la velocidad de un fluido. La velocidad es mayor donde las líneas de corriente están más juntas. Este efecto se observa en la figura A.

Condición 2: flujo irrotacional significa que un elemento de fluido (un volumen pequeño del fluido) no posee una velocidad angular neta; esto elimina la posibilidad de remolinos. (El flujo no es turbulento.)

Consideremos la pequeña rueda de aspas en la figura A. El momento de fuerza neto es cero, así que la rueda no gira. Por lo tanto, el flujo es irrotacional.

Condición 3: flujo no viscoso implica que la viscosidad es insignificante.

Viscosidad se refiere a la fricción interna, o resistencia al flujo, de un fluido. (Por ejemplo, la miel es mucho más viscosa que el agua.) Un fluido verdaderamente no viscoso fluiría libremente sin pérdida de energía en su interior. Tampoco habría resistencia por fricción entre el fluido y las paredes que lo contienen. En realidad, cuando un líquido fluye por una tubería, la rapidez es menor cerca de las paredes debido a la fricción, y más alta cerca del centro del tubo.

Figura A

Figura B

Condición 4: flujo incompresible significa que la densidad del fluido es constante.

Por lo regular los líquidos se consideran incompresibles. Los gases, en cambio, son muy compresibles. No obstante, hay ocasiones en que los gases fluyen de forma casi incompresible; por ejemplo el aire que fluye relativo a las alas de un avión que vuela a baja rapidez.

El flujo teórico o ideal de fluidos no caracteriza a la generalidad de las situaciones reales; pero el análisis del flujo ideal brinda resultados que aproximan, o describen de manera general, diversas aplicaciones. Por lo común, este análisis se deduce, no de las leyes de Newton, sino de dos principios básicos: la conservación de la masa y la conservación de la energía.

Ecuación de continuidad

Si no hay pérdidas de fluido dentro de un tubo uniforme, la masa de fluido que entra en un tubo en un tiempo dado debe ser igual a la masa que sale del tubo en el mismo tiempo(por la conservación de la masa).

Por ejemplo, la masa (Δm1) que entra en

el tubo durante un tiempo corto (Δt) es

donde A1 es el área transversal del tubo en la entrada y, en un tiempo Δt, una partícula de fluido recorre una

distanciav1Δt. Asimismo, la masa que sale del tubo en el mismo intervalo es

Puesto que se conserva la masa Δm1= Δm2

y sigue que

Este resultado se denomina ecuación de continuidad.

Si un fluido es incompresible, su densidad ρ es constante, así que Esta se conoce como ecuación de tasa de flujo.

Aves el volumen de la tasa de flujo y es el volumen del fluido que pasa por un punto en el tubo por unidad de tiempo. (Av: m2 ・m/s _ m3/s, o volumen sobre tiempo).

( para un fluido incompresible)

La ecuación de tasa de flujo indica que la velocidad del fluido es mayor donde el área transversal del tubo es menor. Es decir

Este efecto es evidente en la experiencia común de que el agua sale con mayor rapidez de una manguera provista con una boquilla, que de la misma manguera sin boquilla.

La ecuación de tasa de flujo puede aplicarse al flujo sanguíneo en el cuerpo. La sangre fluye del corazón a la aorta. Luego da vuelta por el sistema circulatorio, pasando por arterias, arteriolas (arterias pequeñas), capilares y vénulas (venas pequeñas), para regresar al corazón por las venas. La velocidad es más lenta en los capilares. ¿Es ésta una contradicción? No: el área total de los capilares es mucho mayor que la de las arterias o venas, así que es válida la ecuación de tasa de flujo.

Ecuación de Bernoulli

Daniel Bernoulli, un científico suizo (1700-1782), encontró que la presión en las paredes de los tubos disminuye conforme aumenta la rapidez del agua. Bernoulli descubrió que esto es un principio válido tanto para los líquidos como para los gases. El principio de Bernoulli, en su forma más sencilla, establece que:

Cuando se incrementa la rapidez de un fluido, disminuye la presión interna en el fluido.

La conservación de energía, o el teorema general trabajo-energía, nos lleva a otra relación muy general para el flujo de fluidos. Bernoulli en 1738 fue el primero en deducir esta relación que recibe su nombre.

El resultado de Bernoulli fue Wneto = ΔK + ΔU

Donde Δm es un incremento de masa como en la derivación de la ecuación de continuidad. Al trabajar con un fluido, los términos de la ecuación de Bernoulli son trabajo o energía sobre unidad de volumen (J/m 3).

Esto es, W = FΔx = p(AΔx) = pΔV y, por lo tanto, p = W/ΔV (trabajo/volumen).

Asimismo, con ρ = m/V, tenemos (energía/volumen) y ρgy = mgy/V (energía/volumen).

Si cancelamos cada Δm y reacomodamos, obtendremos la forma común de la ecuación de Bernoulli:

O bien

y v2 es mayor que v1 si A2 es menor que Al.

La ecuación o principio de Bernoulli se puede aplicar a muchas situaciones. Por ejemplo, si hay un fluido en reposo a ecuación de Bernoulli se vuelve

Tasa de flujo y presión

Si consideramos insignificante la diferencia horizontal en las alturas de flujo dentro de un tubo constreñido, obtenemos, para la ecuación de Bernoulli,…….

En una región con menor área transversal, la rapidez de flujo es mayor; por la ecuación de Bernoulli, la presión en esa región es menor que en otras regiones.

Las chimeneas son altas para aprovechar que la rapidez del viento es más constante y elevada a mayores alturas. Cuanto más rápidamente sople el viento sobre la boca de una chimenea, más baja será la presión, y mayor será la diferencia de presión entre la base y la boca de la chimenea. Esto hace que los gases de combustión se extraigan mejor.

La ecuación de Bernoulli y la ecuación de continuidad (Av = constante) también nos dicen que si reducimos el área transversal de una tubería, para que aumente la rapidez del fluido que pasa por ella, se reducirá la presión.

El efecto Bernoulli (como se le conoce) nos da una explicación sencilla de la sustentación de los aviones. En la figura se muestra un flujo ideal de aire sobre un perfil aerodinámico o un ala. (Se desprecia la turbulencia.) El ala es curva en su cara superior y está angulada respecto a las líneas de corriente incidentes. Por ello, las líneas de corriente arriba del ala están más juntas que abajo, por lo que la rapidez del aire es mayor y la presión es menor arriba del ala. Al ser mayor la presión abajo del ala, se genera una fuerza neta hacia arriba, llamada sustentación.

Esta explicación bastante común de la sustentación se calificó de simplista porque el efecto de Bernoulli no se aplica a esta situación. El principio de Bernoulli requiere el flujo de fluidos ideales y conservación de la energía dentro del sistema, ninguno de los cuales se satisface en las condiciones de vuelo de los aviones. Quizás es mejor confiar en las leyes de Newton, las cuales se deben satisfacer siempre. Básicamente las alas desvían hacia abajo el flujo del aire, ocasionando un cambio hacia abajo en la cantidad de movimiento del flujo del aire y una fuerza ascendente (segunda ley de Newton). Esto resulta en una fuerza de reacción hacia arriba sobre el ala (tercera ley de Newton). Cuando la fuerza ascendente supera el peso del avión, se cuenta con suficiente sustentación para despegar y volar.