Difraccin de electrones Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

Facultad de Ciencias y Educacin. Daniela Buitrago, Maryluz Jimnez, Lizeth Fino, Edison Perico

Resumen

En 1912, W. Friedrich y P. Knipping, a partir de una sugerencia de M. Von Laue, hicieron que un haz colimado de rayos X pasase a travs de un cristal detrs del cual se haba colocado una placa fotogrfica. Adems de un haz central (Correspondiente a la direccin incidente) observaron en la placa una distribucin regular de puntos. Este patrn fue explicado ese mismo ao por William Lawrence Bragg por lo que al fenmeno se le dio el nombre de dispersin o difraccin de Bragg. Por medio de la prctica es posible visualizar los anillos de interferencia producidos por un haz de electrones al atravesar un blanco de grafito variando el tamao de los anillos con el potencial acelerador, de modo que posibilite la verificacin de la ecuacin de De Broglie y permita determinar la distancia interplanar de la estructura del grafito a partir de las medidas del radio de los anillos de difraccin para distintos voltajes andicos y de la determinacin de la longitud de onda asociada de los electrones correspondientes. Abstract In 1912, W. Friedrich and P. Knipping, from a suggestion of M. Von Laue, made a collimated beam of X-rays pass through glass behind which was placed a photographic plate. Besides a central beam (corresponding to the incident direction) observed on the plate an even distribution of points. This pattern was explained that year by William Lawrence Bragg so the phenomenon was given the name of Bragg scattering or diffraction. Through practice it is possible to visualize the interference rings produced by an electron beam passing through a graphite target by varying the size of the rings with the accelerating potential, so that enables verification of the de Broglie equation and to determine interplanar spacing of the graphite structure from the radio measurements diffraction rings for different anode voltages and determining the associated wavelength corresponding electrons. ________________________________________________________________________________________

Introduccin

La naturaleza cuntica de los sistemas fsicos, descritos por ondas de probabilidad, implica una

relacin entre su longitud de onda y su momento lineal . Esta relacin, propuesta por Louis De

Broglie en 1914, antes de la formulacin de la teora cuntica, se expresa en la forma:

=

Siendo la llamada constante de Planck:

= 6.626 x 1034

Anlogo a los rayos X los electrones pueden experimentar dispersin de Bragg. Si en vez de un cristal

se usa como dispersor un slido como el grafito, formado por micro cristales con todas las

orientaciones posibles, en la pantalla se observarn anillos de interferencia constructiva en lugar de

puntos.

Esto se debe a un efecto acumulativo: la dispersin por una serie de planos paralelos en un micro

cristal producir, para un orden dado, un punto de interferencia constructiva en la pantalla; el

conjunto de micro cristales orientado simtricamente alrededor del eje determinado por la

direccin del haz inicial dar lugar a la formacin de un anillo.

Por tanto por cada serie de planos paralelos (caracterizada por su distancia interplanar) en un micro

cristal se tendr un conjunto de anillos, un anillo por cada orden de la interferencia.

Marco Terico

En 1912, W. Friedrich y P. Knipping, a partir de una sugerencia de M. Von Laue, hicieron que un haz

colimado de rayos X pasase a travs de un cristal detrs del cual se haba colocado una placa

fotogrfica. Adems de un haz central (Correspondiente a la direccin incidente) observaron en la

placa una distribucin regular de puntos. Este patrn fue explicado ese mismo ao por William

Lawrence Bragg por lo que al fenmeno se le dio el nombre de dispersin o difraccin de Bragg.

Este experimento confirm dos hiptesis importantes:

1. Los rayos X son una forma de radiacin electromagntica.

2. Los tomos de un cristal estn distribuidos en una red regular.

Para explicar en el fenmeno de interferencia, una longitud de onda , que depende de impulso, se

asigna a los electrones de acuerdo con la ecuacin de De Broglie:

=

(1)

donde = 6,625 x 1034 Js, la constante de Planck.

El momentum se puede calcular a partir de la velocidad y que el electrones adquieren bajo voltaje

de aceleracin UA:

1

22 =

2

2= (2)

La longitud de onda es, por tanto

=

2 (3)

donde e = 1,602 10-19 As (la carga del electrn) y

m = 9,109 10-31 kg (masa en reposo del electrn).

En las tensiones UA utiliza, la masa relativista puede ser reemplazado por la masa en reposo con un

error de slo 0,5%.

El haz de electrones golpea una pelcula policristalina de grafito situada en una rejilla de cobre y se

refleja en conformidad con la condicin de Bragg:

2 = , = 1,2,3, (4)

donde es la separacin entre los planos de los tomos de carbono y es el ngulo de Bragg (ngulo

entre el haz de electrones y planos de la red).

En grafito policristalino el vnculo entre la capa individual (Fig. 1) se rompe de manera que su

orientacin es al azar. Por lo tanto, un haz de electrones se extiende en forma de cono y produce

anillos de interferencia en la pantalla fluorescente.

Figura 1. Estructura cristalina del grafito.

El ngulo de Bragg puede calcularse a partir del radio de los anillo de la interferencia, pero hay

que recordar que el ngulo de una desviacin es dos veces tan grande:

= 20.

Por lo tanto

2 =

(5)

donde R = 65 mm, radio de la burbuja de vidrio.

Ahora, 2 = 2 .

Para ngulos pequeos (cos 10 = 0.985) se puede poner

2 (6)

de modo que para ngulos pequeos obtenemos

= 2 2 (6 a)

Con esta aproximacin se obtiene

=2

(7)

Los dos anillos de interferencia interna producen a travs de la reflexin de los planos de separacin

de la red d1 y d2 (Fig.2), para n = 1 en (7).

Figura 2. Planos de grafito para los dos primeros anillos de interferencia

La longitud de onda se calcula a partir de la tensin de nodo de acuerdo con (3).

Difraccin de electrones

Anlogamente a los rayos X los electrones pueden experimentar dispersin de Bragg. Si en vez de

un cristal se usa como dispersor un slido como el grafito, formado por micro cristales con todas las

orientaciones posibles, en la pantalla se observarn anillos de interferencia constructiva en lugar de

puntos. Ello se debe a un efecto acumulativo: la dispersin por una serie de planos paralelos en un

micro cristal producir, para un orden dado, un punto de interferencia constructiva en la pantalla;

el conjunto de micro cristales orientado simtricamente alrededor del eje determinado por la

direccin del haz inicial dar lugar a la formacin de un anillo. Por tanto por cada serie de planos

paralelos (caracterizada por su distancia interplanar) en un micro cristales se tendr un conjunto de

anillos, un anillo por cada orden de la interferencia.

Los planos reticulares que son importantes para el patrn de difraccin de los electrones obtenido

con este montaje tienen las distancias reticulares interlineares (Figura 1).

Como la estructura de las distintas capas del poli cristal estn distribuidos aleatoriamente los

electrones se dispersarn formando un cono, que se proyectar sobre el fsforo en forma de anillos

de interferencia con diferentes radios. El ngulo de Bragg , puede ser calculado a partir de dichos

radios teniendo en cuenta que = 2.

Montaje experimental

Materiales.

1 tubo de difraccin de electrones.

1 portatubo.

1 fuente de alimentacin de alta tensin 10 kV.

1 calibre Vernier de precisin.

1 Multmetro digital.

1 cable de seguridad de 25 cm rojo.

1 Calibrador pie de rey plstico.

Procedimiento.

Utilizando un Tubo de difraccin de electrones (o tubo de rayos catdicos) en el cual los electrones producidos mediante efecto termoinico, por calentamiento de un filamento, son acelerados por una diferencia de potencial V y dispersados por una lmina de grafito. Los electrones salientes viajan por el interior de una burbuja esfrica de vidrio en la que se ha hecho el vaco (para evitar colisiones de los mismos con molculas de aire) hasta alcanzar el extremo de la burbuja en el cual hay una pelcula de un material fluorescente. Cada impacto electrnico en sta produce un punto luminoso por lo que la pelcula sirve como pantalla en la que se proyecta el patrn de difraccin.

Figura 3. Esquema de los dimetros de los anillos de difraccin y comportamiento de los

electrones dentro del tubo de difraccin.

Se conectan los diferentes cables para realizar el esquema experimental que aparece en la figura 4. Se varia la tensin de aceleracin U entre 3 kV y 10 kV en pasos de 0,5 kV y se miden los dimetros de los anillos de difraccin observados en la pantalla, de igual forma se mide la distancia entre la lmina de grafito y la pantalla. El Tubo de difraccin se encuentra sujeto a un soporte a travs del cual se establecen las conexiones elctricas a una fuente de alimentacin y a un generador de alto voltaje.

Los dimetros de los anillos de difraccin se midieron con un pie de rey.

Esquema experimental

Figura 4. Dispersin de un haz de electrones por un plano cualquiera de un micro cristal de grafito.

Los electrones salen de un ctodo incandescente por efecto termoinico (calefaccin del ctodo H) y con la ayuda de una tensin K, se dirigen a G1, un cilindro de Wehnelt que deja salir un delgado haz sometindolo a una ligera aceleracin. Dicho haz es acelerado fuertemente por G3 y focalizado en la lmina de grafito mediante el sistema de lentes electrnicas focalizadoras G2 y G4. Un resistor de seguridad de 10 M se coloca delante del nodo G3. Los electrones se difractan en la lmina de grafito policristalino (formado por muchos y diminutos cristales orientados al azar) y penetran en la parte esfrica de la burbuja de radio R. En la pelcula de material fluorescente, situada en el otro extremo de la burbuja, los electrones forman los anillos de difraccin.

Analisis y resultados

En la ecuacin de De Broglie =

=

sustituimos la velocidad de los electrones de la ecuacin

de energa 1

22 = as para electrones acelerados por un voltaje U se tiene

=

2 . Dnde es la constante de Planck, la carga del electrn, la masa del electrn y

el voltaje aplicado.

m = 9.1091 x 10 -31 kg e = 1.6021 x 10-19 C h=6.625 x 10-34 Js

V(V) D1(m) D2(m)

3000 0.028 0.047

3500 0.027 0.045

4000 0.023 0.042

4500 0.021 0.039

5000 0.019 0.038

5500 0.019 0.035

6000 0.017 0.033

6500 0.016 0.032

7000 0.015 0.030

7500 0.015 0.028

8000 0.015 0.028

8500 0.015 0.028

9000 0.015 0.026

9500 0.014 0.026

10000 0.013 0.025

Tabla 1.

As, utilizando la ecuacin =

2 y considerando los datos obtenidos en la tabla 1 para

diferentes voltajes, se tiene:

V(V) (m)

3000 2.24E-11

3500 2.07E-11

4000 1.94E-11

4500 1.83E-11

5000 1.73E-11

5500 1.65E-11

6000 1.58E-11

6500 1.52E-11

7000 1.47E-11

7500 1.42E-11

8000 1.37E-11

8500 1.33E-11

9000 1.29E-11

9500 1.26E-11

10000 1.23E-11

Tabla 2.

Utilizando la ecuacin =

donde es la distancia entre la rejilla de difraccin y la pantalla

fluorescente (l = 13.5 x10-2m ), utilizando los datos del radio de los anillos de difraccin, de la tabla

1, se tiene:

V(V) r1(m) r2(m) d1(m) d2(m)

3000 0.0139 0.0235 2.18E-10 1.29E-10

3500 0.0134 0.0225 2.10E-10 1.24E-10

4000 0.0116 0.0211 2.25E-10 1.24E-10

4500 0.0106 0.0196 2.34E-10 1.26E-10

5000 0.0094 0.0188 2.49E-10 1.24E-10

5500 0.0094 0.0174 2.38E-10 1.28E-10

6000 0.0087 0.0164 2.46E-10 1.30E-10

6500 0.0080 0.0162 2.57E-10 1.27E-10

7000 0.0077 0.0149 2.58E-10 1.33E-10

7500 0.0076 0.0141 2.51E-10 1.36E-10

8000 0.0074 0.0140 2.50E-10 1.32E-10

8500 0.0074 0.0140 2.41E-10 1.28E-10

9000 0.0074 0.0132 2.36E-10 1.32E-10

9500 0.0070 0.0128 2.44E-10 1.32E-10

10000 0.0066 0.0126 2.52E-10 1.31E-10

Tabla 3.

De la tabla 3, d1 y d2 son las distancias de planos de red correspondientes a r1 y r2 respectivamente. Dnde r1 y r2 son los radios de los anillos de difraccin obtenidos al dividir los dimetros de la tabla 1 entre dos.

Conclusiones

Se logr ver de manera clara y sencilla la naturaleza ondulatoria del electrn, experimentos similares a ste fueron los que dieron lugar a la fsica moderna, a teoras nuevas y entre ellos al principio de complementariedad que enuncia que la completa descripcin de una entidad fsica como un fotn o un electrn no puede hacerse en trminos de slo propiedades de partcula o slo propiedades de onda, sino que ambos aspectos de su comportamiento deben considerarse.

En cuanto a los resultados, las distancias entre los planos de la red del grafito son las que se observan en las ltimas dos columnas de lado derecho de la tabla 5, si se comparan con los datos tericos que menciona el manual del experimento que son: D1= 2.11 E-10 m D1= 1.26 E-10 m Es posible observar que los resultados obtenidos en cada una de las mediciones tienen el mismo

orden de magnitud que los aceptados e incluso los valores oscilan alrededor de estos valores en un

rango de +/- 2.1 E-11, lo cual es bastante cercano.

Referencias bibliogrficas

Fsica Moderna, R.A. Serwey, C.J. Moses, C.A. Moyer, Tercera Edicin Tomo 2, Editorial Mc Graw Hill

Alonso M, Finn, Fsica vol. 1. Mecnica. Editorial Addison-Wesley