Hidrulica Computacional

(Aplicaciones con MATLAB)

Diferenciacin

Numrica

Jess Abel Meja Marcacuzco, Ph.D.

Lima - Per

Universidad Nacional Agraria La Molina

Facultad de Ingeniera Agrcola

Departamento de Recursos Hdricos

DIFERENCIACIN NUMRICA

La diferenciacin numrica, o aproximacin por diferencias

se utiliza para evaluar las derivadas de una funcin por

medio de sus valores dados en los puntos de una curva. Las

aproximaciones por diferencias son importantes en la

solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Para ilustrar la diferenciacin numrica, consideremos una

funcin f(x) en x = x0 (ver figura). Supongamos que se desea

evaluar la primera derivada de f(x) en x = x0. Si se conocen

los valores de f en x0 h, x0 y x0 + h, donde h es el tamaodel intervalo entre dos puntos consecutivos en el eje x,

entonces se puede aproximar f(x0) mediante el gradiente dela interpolacin lineal A, B o C aproximaciones por

diferencias hacia delante (progresiva), hacia atrs

(regresiva) y central.

x0x0-h

f(xo)

B: regresiva

x

ff(x)

x0+hx0

f(xo)

A: progresiva

x

f f(x)

x0+hx0-h

f(xo)

C: central

x

ff(x)

x0

Aproximacin por diferencia progresiva:

h

xfhxfxf 000)(

Aproximacin por diferencia regresiva:

h

hxfxfxf

000)(

Aproximacin por diferencia central:

h

hxfhxfxf

2

000

,

Mtodos para obtener Frmulas de Diferenciacin Numrica

Mtodo Ventajas Desventajas

Desarrollo de

Taylor

Operador de

diferencias

Derivacin de

un polinomio de

interpolacin

Los trminos de error se

obtienen en forma explcita. Se

puede aplicar a retculas no

uniformes.

Bastante similaridad entre las

derivadas y las aproximaciones

por diferencias.

Se puede obtener, en forma

sistemtica, muchas frmulas

de aproximacin por diferencias.

Solo se puede obtener

una frmula a la vez.

Necesita del desarrollo

de Taylor para analizar

el error.

Difcil de aplicar en

retcula no uniformes

Aproximaciones de Primeras Derivadas por Diferencias

Cuando una funcin se representa numricamente en puntos

discretos, esta se aproxima mediante la interpolacin. De la

misma forma que la integracin numrica, se pueden obtener

frmulas de diferenciacin numrica al diferenciar las

frmulas de interpolacin.

Las frmulas de diferenciacin numrica mediante el

desarrollo de Taylor es equivalente a la diferenciacin de

una interpolacin y conduce a los mismos resultados.

Para una derivada de orden n, el mnimo nmero de datos

necesarios para obtener una aproximacin por diferencias es

n+1. As, una aproximacin por diferencias para la primera

derivada de una funcin necesita al menos dos puntos.

Aproximacin por diferencias hacia adelante: se obtiene

desarrollando la serie de Taylor para fi+1 alrededor de xi:

...2462

''''4

'''3

''2

'

1 iiiiii fh

fh

fh

hfff

Al despejar fi en la ecuacin anterior se obtiene:

...6

1

2

1 '''2''1'

iiii

i fhhfh

fff

Si truncamos despus del primer trmino, se obtiene la

ecuacin de aproximacin por diferencias hacia adelante. Los

trminos truncados conforman el error de truncamiento O(h).

)(1' hOh

fff iii

''

2

1)( ihfhO

Aproximacin por diferencias hacia atrs: de la primera

derivada, utilizando fi-1 se obtiene de manera similar:

...2462

''''4

'''3

''2

'

1 iiiiii fh

fh

fh

hfff

Al despejar fi en la ecuacin anterior se obtiene:

Aproximacin por diferencias centrales: se puede obtener

mediante el desarrollo de Taylor de fi+1 y fi-1 ya dados en las

ecuaciones anteriores. Restando estas ecuaciones y

despejando fi, se obtiene:

)(2

211' hOh

fff iii

'''22

6

1)( ifhhO

)(1' hOh

fff iii

''

2

1)( ihfhO

Aproximacin por diferencias con tres puntos:

Si se utilizan ms datos, se puede obtener una aproximacin por diferencias

ms exacta, tal que el trmino del error es el del mximo orden posible.

Como ilustracin obtendremos una aproximacin por diferencias de fiutilizando fi+1 y fi+2 . Puesto que el nmero mnimo de datos necesarios para

f es dos, tenemos un dato ms que el mnimo. Los desarrollos de fi+1 y fi+2 yse escriben como:

...2462

''''4

'''3

''2

'

1 iiiiii fh

fh

fh

hfff

...24

166

82

42 ''''4

'''3

''2

'

2 iiiiii fh

fh

fh

hfff

Aproximacin por diferencias hacia delante con tres puntos: se obtiene

restando estas ecuaciones y despejando fi:

212'2

34hO

h

ffff iiii

'''22

3

1ifhhO

Anlogamente, la aproximacin por diferencias hacia atrs

con tres puntos se puede obtener utilizando fi, fi-1 y fi-2 como:

Ejemplo:

Calcule la primera derivada de tan(x) en x = 1 mediante las

cinco aproximaciones por diferencias obtenidas en esta

seccin, utilizando h = 0.1 , 0.05 y 0.02. Evale despus el

porcentaje de error de cada aproximacin comparndolo con

el valor exacto.

Solucin:

Sustituimos fi = f(1+ih)=tan(1+ih) en las ecuaciones

anteriores y obtenemos los siguientes resultados:

221'2

43hO

h

ffff iiii

'''22

3

1ifhhO

h = 0.1 h = 0.05 h = 0.02

[tan(1) tan(1-h)]/h 2.9724 3.1805 3.3224(13.2) (7.1) (3.0)

[tan(1+h)-tan(1)]/h 4.0735 3.7181 3.5361

(-18.9) (-8.5) (-3.2)

[tan(1+h)-tan(1-h)]/2h 3.5230 3.4493 3.4293

(-2.8) (-.0.69) (-0.11)

[3tan(1)-4tan(1-h)+tan(1-2h)]/2h 3.3061 3.3885 3.4186

(3.5) (1.08) (0.20)

[-tan(1+2h)+4tan(1+h)-3tan(1)]/2h 3.0733 3.3627 3.4170

(10.39) (1.83) (0.25)

el nmero entre parntesis es el error de clculo en %

Conviene observar que los errores de las dos primeras

aproximaciones decrecen en proporcin con h, mientras que

los errores de las ultimas tres aproximaciones decrecen en

proporcin con h2. Es claro que la razn de reduccin del

error se vuelve rpida cuando el orden de precisin es mayor.

Aproximaciones de Segundas Derivadas por Diferencias

El principio bsico para obtener una aproximacin por diferencias de

segundo orden es eliminar la primera derivada de los desarrollos de Taylor

y, de ser posible, tantos trminos de orden superior a 2 como sea posible. A

continuacin se presenta las ecuaciones de desarrollo de Taylor para fi+1, fi-

1, fi+2 y fi-2, a partir de las cuales se obtendrn las aproximaciones para las

segundas derivadas:

...2462

''''4

'''3

''2

'

1 iiiiii fh

fh

fh

hfff

...2462

''''4

'''3

''2

'

1 iiiiii fh

fh

fh

hfff

...24

166

82

42 ''''4

'''3

''2

'

2 iiiiii fh

fh

fh

hfff

...24

166

82

42 ''''4

'''3

''2

'

2 iiiiii fh

fh

fh

hfff

Aproximacin por diferencia central de f, se obtienesumando fi+1 y fi-1 con truncamiento en el cuarto trmino:

22

11'' 2 hOh

ffff iiii

''''22

12

1ifhhO

Aproximacin por diferencia hacia atrs de f, se obtienerestando 2fi-1 de fi-2:

22

12'' 2 hOh

ffff iiii

''''22 ifhhO

Aproximacin por diferencia hacia adelante de f, seobtiene restando 2fi+1 de fi+2:

22

12'' 2 hOh

ffff iiii

''''22 ifhhO

Aproximaciones de Derivadas Parciales por Diferencias

Las frmulas de aproximacin de diferencia para derivadas parciales de

funciones multidimensionales son esencialmente iguales a las de

diferenciacin numrica de funciones unidimensionales. Por tanto, las

aproximaciones, para las primeras derivadas, de diferencia hacia delante,

central y hacia atrs para estas derivadas parciales se pueden escribir,

respectivamente, como:

x

yxfyxxf

x

f oooo

),(),(

x

yxxfyxxf

x

f oooo

2

),(),(

x

yxxfyxf

x

f oooo

),(),(

Las aproximaciones de diferencia central para las segundas

derivadas de (x,y) en (xo,yo) estn dadas por:

22

2 ),(),(2),(

x

yxxfyxfyxxf

x

f oooooo

22

2 ),(),(2),(

y

yyxfyxfyyxf

y

f oooooo

yx

yyxxfyyxxf

yx

yyxxfyyxxf

yx

f

oooo

oooo

),(),(

),(),(2

Resumen de Aproximaciones de la Primera Derivada

Aproximaciones por Diferencias hacia Adelante)(1' hO

h

fff iii

''

2

1)( ihfhO

)(2

34 212' hOh

ffff iiii

'''22

3

1)( ifhhO

)(6

111892 3123' hOh

fffff iiiii

''''33

4

1)( ifhhO

)(1' hOh

fff iii

''

2

1)( ihfhO

)(2

43 221' hOh

ffff iiii

'''22

3

1)( ifhhO

)(6

291811 3321' hOh

fffff iiiii

''''33

4

1)( ifhhO

Aproximaciones por Diferencias hacia Atrs

)(2

211' hOh

fff iii

''''2

6

12)( ifhhO

)(12

88 42112' hOh

fffff iiiii

vifhhO

44

30

1)(

Aproximaciones por Diferencias Centrales

)(2

2

12'' hOh

ffff iiii

''')( ihfhO

)(254 2

2

123'' hOh

fffff iiiii

''''22

12

11)( ifhhO

)(2

2

21'' hOh

ffff iiii

''')( ihfhO

)(452 2

2

321'' hOh

fffff iiiii

''''22

12

11)( ifhhO

Resumen de Aproximaciones de la Segunda Derivada

Aproximaciones por Diferencias hacia Adelante

Aproximaciones por Diferencias hacia Atrs

)(2 2

2

11'' hOh

ffff iiii

''''22

12

1)( ifhhO

)(163016 4

2

2111'' hOh

ffffff iiiiii

viifhhO

44

90

1)(

Aproximaciones por Diferencias Centrales