Diferenciacin e Integracin numrica

Taller de Clase

Diferenciacin

La diferenciacin numrica puede calcularse usando la definicin de derivada vista en los cursos de calculo iniciales.

Tomando una h pequea. Si h > 0 se llama frmula de diferencia progresiva, si h < 0 se llama frmula de diferencia regresiva.

Error (Ejemplo)

Ejemplos de Clase

Obtenga la derivada de las siguientes funciones en el punto especificado utilizando Excel, Matlab o cualquier herramienta/lenguaje.

1. f(x) = 3x sen(2x), x = /6

2. f(x) = 5ln(x + 1) x2/5, x = 1.2

Frmulas de diferencias divididas hacia adelante

Primera derivada

Segunda derivada

Tercera derivada

Frmulas de diferencias divididas centradas

Primera derivada

Segunda derivada

Tercera derivada

Frmulas de diferencias divididas hacia atrs

Primera derivada

Segunda derivada

Tercera derivada

Ejemplo de Clase Utilice toda las diferencias explicadas anteriormente y compare.

f(x) = -0.1x^4-0.16x^3-0.5x^2-0.25x+1.2

x i-2 0.00 1.20000000

x i-1 0.25 1.10351563

x i 0.50 0.92500000

x i+1 0.75 0.63632813

x i+2 1.00 0.20000000

Valor real f'(xi)= -0.91250000

Diferencias divididas error

Hacia adelante -0.859375 5.82%

Hacia atrs -0.878125 3.77%

Hacia centrada -0.912500 0.00%

Datos no espaciados regularmente

Para derivar datos no espaciados regularmente se utiliza la siguiente frmula. Se requiere conocer la funcin en tres puntos.

Ejemplo El flujo de calor en la interfaz suelo-aire puede calcularse con la ley de Faraday

Donde q = flujo de calor, k = coeficiente de difusividad trmica (3.5x10-7), = la densidad del suelo (1800), C = calor especfico del suelo (840).

= 1.333 q = 70.56

Aire

Suelo

13.5 12 10

3.75

1.25

Regla se Simpson La regla se Simpson se obtiene suponiendo el segundo polinomios de Lagrange con los nodos x0 = a, x2 = b, x1 = a + h, h = (b a)/2.

Donde se han despreciado los trminos de error.

La frmula es exacta para polinomios de hasta tercer grado. x0 = a x2 = b

P3 f

x1

Comparacin Comparacin entre los metodos vistos en clase para las funciones en el intervalo [0 , 2]. Use cualquier herramienta o lenguaje.

Regla compuesta de Simpson Teorema. Sea f C4[a, b], n par, h = (b a)/n, y xj = a + jh para cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla de Simpson para n subintervalos puede escribirse como:

x0 = a xn = b

y= f(x)

x2 x2j-1 x2j x2j+1

Regla compuesta del trapecio

x0 = a xn = b

y= f(x)

x1 xj-1 xj xn1

Teorema. Sea f C4[a, b], n par, h = (b a)/n, y xj = a + jh para cada j = 0, 1, 2, ... n . La regla del trapecio para n subintervalos puede escribirse como:

Regla compuesta del punto medio

x0 = a xn+1 = b

y= f(x)

x0 xj-1 xj xn x1 xj+1

Teorema. Sea f C4[a, b], n par, h = (b a)/(n+2), y xj = a + (j+1)h para cada j = 1, 0, 1, 2, ... n+1. La regla de compuesta del punto medio para n subintervalos puede escribirse como:

Datos con espaciamiento irregular

Si los datos estn espaciados de forma irregular, como en el caso de datos experimentales, la integracin puede llevarse a cabo mediante la aplicacin de la regla del trapecio a cada subintervalo.

Donde hi = ancho del segmento i.

Ejemplo

t min 1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10

V m/s 5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5

Determinar la distancia recorrida para los datos siguientes, observe rel seudocodigo de ejemplo:

t = [1 2 3.25 4.5 6 7 8 9 9.5 10]; v = [5 6 5.5 7 8.5 8 6 7 7 5]; suma = 0; for i=2:length(t) suma = suma + (t(i)-t(i-1))*(v(i-1)+v(i))/2; end suma ans = 60.3750 Que puede concluir?