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Diferenciación numérica
¿Qué es la diferenciación numérica?
• Cuando se va a aplicar la operación de derivada a una función tabulada, el camino a seguir es aproximar la tabla por alguna función y efectuar la operación en la función aproximada.
• Si la aproximación es polinomial, la diferenciación numérica consiste simplemente en diferenciar la fórmula del polinomio interpolante que se utilizó en general.
Polinomio de Newton (X0, X1, X2,…, Xna intervalos iguales h)
• Sea f(x)=Pn(x)
• La primera derivada queda:
• Si las abscisas dadas X0, X1, …, Xn están espaciadas por intervalos de longitud h, entonces el polinomio Pn(x) se puede expresar como el polinomio de Newton en dif finitas
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POLINOMIO GRADO 1, LINEA RECTA
APROXIMACIÓN LINEAL DE LA PRIMERA DERIVADA
Donde ∆2𝑓 𝑥0 = [𝑓 𝑥2 − 𝑓(𝑥1)]- [f(x1)-f(x0)]
Donde Δ𝑓 𝑥0 = [𝑓 𝑥1 − 𝑓(𝑥0)]
De igual manera se obtienen las distintasderivadas para n>2
POLINOMIO SEGUNDO GRADO
EJEMPLO 1, polinomio de Newton con “h”
USANDO UN POLINOMIO DE GRADO 2
LA DERIVADA NUMÉRICA USANDO UN POLINOMIO DE GRADO 2 NO DIO UN RESULTADO DE -0.00506
TAREA OPCIONAL PARA VACACIONESGENERAR UN CODIGO-PROGRAMA EN OCTAVE-MATLAB PARA RESOLVER UN SISTEMA DE “n” ECUACIONES LINEALES POR EL MÉTODO DE:
GAUSS JORDAN 10-11 am
GAUS SIEDEL 4 a 5 pm
CHOLESKY 5-6 pm
ENTREGAR EN UN CD PROGRAMA Y REPORTE. ENTREGAR IMPRESO EL REPORTE DEL PROGRAMA EN DONDE SE INCLUYA, EL CODIGO, LA EXPLICACIÓN DEL PROGRAMA LINEA A LINEA Y TAMBIEN EL DIAGRAMA DE DESICIONES (O DE FLUJO DEL MISMO).
Entregar el lunes 13 de abril
Polinomio de Newton y su derivada numérica para cuando los intervalos de x, no son iguales
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FORMA GENERAL POLINOMIO DE NEWTON DIFERENCIAS DIVIDIDAS
EJEMPLO 2. Polinomio de Newton , no “h”
(x-x0)(x-x1)= 𝑥2 − 𝑥 ∗ 𝑥0 − 𝑥 ∗ 𝑥1 − 𝑥0 ∗ 𝑥1
Usando los puntos x0, x1 y x2, polinomiogrado 2
DERIVADA NUMÉRICA USANDO EL POLINOMIO DE LAGRANGE
Para obtener la segunda derivada se deriva la expresión de la primera derivada
Primera derivada polinomio grado 2
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Ejemplo 3. Polinomio Lagrange
TRABAJO Y/O TAREA
PROBLEMA 1
RESULTADOSPROBLEMA 1
RESULTADOSPROBLEMA 1
PROBLEMA 2.USANDO UNA APROXIMACION POLINOMIAL SIMPLE DE GRADO 2, usando los puntos donde Вigual a 9, 10 y 11 por estar alrededor del valor máximo de la permeabilidad es cual el 1340
Resultado problema 2
Problema 3: obtenga la primera y segunda derivada evaluada en x igual a 3.7 para la función que se da enseguida, use los puntos 2, 3 y 4 con un polinomio de Newton de grado 2
Problema 4. En la tabla siguiente d es la distancia en metros que recorre una bala a lo largo de un cañon en t segundos. Encuentre la velocidad de la bala en t=0.05 seg. Use un polinomio de newton de grado 2, con los puntos marcados
resultadosProblema 3) primera derivada 1.927419Segunda derivada 0.02503Problema 4) 97.09 m/s
d
El fin…
TEMAS EXAMEN1./ gauss seidel2./ minimos cuadrados3./ derivada numérica, polinomio de newton endif divididas grado 2
Formulario (solo éstaformula mínimoscuadrados, polinomiogrado 2)