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DIDÁCTICA DEL ÁLGEBRA

Educar es poner coraza contra los males de la vida José Julián Martí Pérez, Cuba 1853 - 1895

“De la práctica social se observa que la preparación de los ciudadanos de un país es una de las necesidades más importantes a

satisfacer en cualquier sociedad, lo que se convierte en un problema esencial de la misma. Una nación moderna requiere que todos sus miembros posean un cierto nivel cultural que les posibilite desarrollar una labor eficiente. Un país desarrollado o que aspire a serlo, tiene que plantearse el objetivo de que todos sus miembros estén preparados para ejecutar un determinado papel, entre las múltiples funciones que se llevan a cabo en el seno de dicha sociedad. Aquel país en el que todos sus ciudadanos ejecuten sus labores a un nivel de excelencia es una nación preparada.” Carlos M. Álvarez de Zayas

Es necesario preparar a los ciudadanos de una nación para enfrentar con éxito los retos del siglo XXI. Pero ¿qué implica prepararlos? Implica educarlos. Para educarlos hay que realizar un proceso llamado Formación que permitirá preparar al hombre en todos los aspectos de su personalidad. Pero la formación no es un proceso sencillo, es más bien un proceso complejo. Los procesos que se dan dentro del proceso de formación encontramos el proceso instructivo, el desarrollador y el educativo.

Se afirma que un individuo está preparado, si primero se ha apropiado eficazmente-según su especialidad o modo de producir- de la cultura que le precede, y en consecuencia conozca y domine una profesión, una carrera, un oficio; segundo, haber desarrollado sus potencialidades para enfrentarse a problemas complejos y tercero, tener una gama de valores, sentimientos y actitudes propios del hombre como ser social.

El proceso cuya función es la de formar a los hombres en una rama del saber humano, de una profesión, se llama INSTRUCCIÓN.

El proceso cuya función es la de formar hombres en la plenitud de sus facultades tanto espirituales como físicas al más alto nivel posible, se denomina DESARROLLO.

El proceso cuya función es la de formar al hombre en y para la vida, se denomina EDUCACIÓN.

Los tres procesos se relacionan dialécticamente entre sí como consecuencia, en primer lugar, de los que tienen en común, son tipos de procesos formativos; y en segundo lugar, se diferencian ante todo, en su función, en lo que persiguen: el educativo, la formación trascendente del hombre para la vida; el desarrollador, la formación de sus potencialidades o facultades tanto físicas como espirituales; y el instructivo, la formación del hombre en una rama del saber, del hombre como trabajador para vivir.

Hay una ciencia encargada de estudiar el proceso formativo de los seres humanos, proceso que permitirá preparar al hombre en todos los aspectos de su personalidad: conocimientos, capacidades, valores y actitudes; es la PEDAGOGÍA. Esta ciencia nos permite dirigir científicamente la formación, con sus procesos: educativo, instructivo y desarrollador.

El proceso educativo se puede clasificar atendiendo al tipo de institución que participa en su ejecución, pudiendo ser en sentido amplio cuando interviene la sociedad con sus instituciones: políticas, religiosas, etc. y en sentido estrecho, si solo participa la escuela.

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El proceso formativo, atendiendo al nivel teórico, científico y de sistematicidad de la cultura, puede ser escolar y no escolar. El proceso escolar se puede clasificar en: Proceso de enseñanza aprendizaje (PEA), proceso extradocente (participación de los alumnos como integrantes de la banda de guerra o de músicos del colegio o I.E, o la participación de los alumnos en la selección de vóley o futbol) y proceso extraescolar (ejecución de actividades fuera de la escuela: teatro, pintura, canto, danza, etc.). El proceso no escolar se da por interacción con los miembros de la familia, de las organizaciones políticas, de masas y otras.

El PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE, es el proceso formativo escolar que del modo más sistémico se dirige a la formación social de las nuevas generaciones y en él el estudiante se desarrolla, se instruye y se educa.

La ciencia que se encarga de estudiar el proceso de enseñanza aprendizaje en que las personas trabajando en grupos o individualmente, alcanzan con eficiencia las metas educativas seleccionadas, recibe el nombre de DIDÁCTICA.

Mientras que la Pedagogía estudia todo tipo de proceso formativo, la Didáctica atiende solo al proceso más sistémico, organizado y eficiente, que se ejecuta sobre fundamentos teóricos y por personal especializado: los profesores. En consecuencia la Didáctica es una rama de la Pedagogía. Y si la Pedagogía es una ciencia, entonces la Didáctica también es una ciencia, y lo es no solo porque es una rama de la Pedagogía como se ha dicho anteriormente sino porque tiene un objeto de estudio: el proceso de enseñanza-aprendizaje, y una metodología propia: uso de métodos, técnicas, modos, formas para lograr las metas de aprendizaje.

Acepciones de la palabra didáctica

Del griego didaktiké, de didásko, enseñar.

Es un vocablo enriquecido en la Europa continental y empobrecido por el doblete enseñanza-

aprendizaje anglo norteamericano. Hay numerosas acepciones:

1) Familiar o vulgar. Enseñar materias escolares. 2) Mítica. Don innato e intransmisible para comunicar saberes poseídos. 3) Artística. Manejar recursos para que los alumnos aprendan o facilitar con normas la interiorización

de cultura y modelos de comportamiento positivos para comunidad o grupo. 4) Tecnológica. Sistemas controlables de secuencias repetibles optimizantes para interiorizar cultura a

base de decisiones normativas, prescritas o preceptuadas. 5) Axiomática. Principios o postulados sobre decisiones normativas enseñantes para el aprendizaje. 6) Positiva. Saber formalmente especulativo, pero virtualmente práctico, cuyo objeto propio es tomar

decisiones normativas hipotéticamente obligatorias sobre los interactivos trabajos, docente y discente, congruentes con las vías o métodos de información, cuyo método propio es la óptima secuenciación indicadora, repetitiva, presionante o abierta sobre el discente, y cuyo fin es la instrucción o integración de la cultura.

Didáctica general: Didáctica de cualquier materia significa, en palabras de Hans Freudenthal (1991, p 45), la organización de los procesos de enseñanza y aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son organizadores, desarrolladores de educación, autores de libros de texto, profesores de toda clase, incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal.

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Para Guy Brousseau (Kieran, 1998, p.596), la didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento. Saber qué es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica.

Didáctica de la Matemática: ciencia que estudia la planificación y organización de los procesos

de enseñanza y aprendizaje de contenidos matemáticos. La didáctica de la Matemática como ciencia no aparece como un cuerpo que pueda estudiarse en forma

secuencial, sino que abarca, desde distintos puntos de vista, todo un campo de problemas que se

refieren al “triángulo didáctico”: alumno-saber-maestro.

Las principales teorías de la didáctica de la matemática provienen de la escuela francesa. Sin darles un

orden de tratamiento ellas son:

Teoría de las Situaciones Didácticas de Guy Brousseau, 1986.

Teoría de los Campos Conceptuales de George Vergnaux.

Teoría de la Transposición Didáctica de Yves Chevallard, 1992

Ingeniería Didáctica de Michèlle Artigue, 1991.

Teoría de los Registros de Expresión o Registros Semióticos de Raymond Duval.

Didáctica del Álgebra: Al decir de Guy Brousseau, al interactuar esa importante triada alumno-saber (algebraico)-maestro surgen tensiones como las siguientes: *Para los profesores, el álgebra representa la herramienta por excelencia de la matemática; se podría

decir que los profesores se forman en una matemática algebrizada. *Para los alumnos, el álgebra se presenta como una fuente inagotable de pérdida de sentido y de

dificultades operacionales muy difíciles de superar. Muchos docentes no logran en sus alumnos la autonomía suficiente en la solución de ejercicios y problemas de tipo algebraico. Debemos tener en consideración que un problema matemático no solo se puede resolver algebraicamente, sino utilizando otro tipo de conocimientos matemáticos.

¿Qué es el álgebra? El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Es una de las principales ramas de la matemática, junto a la geometría, la aritmética, la trigonometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números.

Breve historia Si bien la palabra "álgebra" viene de la palabra árabe (al-Jabr, بر ج sus orígenes se remontan a los ,(الantiguos babilonios, que habían desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algebraica. Con el uso de este sistema fueron capaces de aplicar las fórmulas y soluciones para calcular valores desconocidos. Este tipo de problemas suelen resolverse hoy mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indefinidas. Por el contrario, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de la India, griegos y matemáticos chinos en el primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en la matemática Rhind Papyrus,

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(x+b)(x+c) = x2+(b+c)x+ bc

Sulba Sutras, Elementos de Euclides, y los Nueve Capítulos sobre el Arte de las Matemáticas. El trabajo geométrico de los griegos, centrado en las formas, dio el marco para la generalización de las fórmulas más allá de la solución de los problemas particulares de carácter más general, sino en los sistemas de exponer y resolver ecuaciones. ¿ÁLGEBRA O NO? ¿ÁLGEBRA O GEOMETRÍA O AMBAS? El álgebra está íntimamente ligada con la geometría. Veamos algunos casos:

1. PRODUCTO DE DOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS: La primera de las ideas que usaremos es que el producto ab de dos números positivos a y b, representa el área de un rectángulo cuyos lados tienen longitudes a y b respectivamente.

2. ÁREA DE UN CUADRADO DE LADO a La siguiente, es que a2 representa el área de un cuadrado de lado a.

3. ÁREA DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO

El área de un triángulo rectángulo, considerando un rectángulo de altura a y base b, como en la

figura 01es: A=

ab

4. ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES 4.1. CUADRADO DEL BINOMIO SUMA

Sea un cuadrado de lado a+b, su área será (a+b)2 . Se deduce fácilmente que (a+b)2 = A1+A2+A3+A4 = a2+ab+ab+b2 (a+b)2 = a2+2ab+b2

4.2. IDENTIDAD DE STEVIN

Sea el rectángulo de lados x+b y x+c, su área AR es: AR=(x+b)(x+c) ---------->(i) Además: AR= A1+A2+A3+A4

=A3+A1+A4+A2 =x2+bx+cx+bc

AR= x2+(b+c)x+bc---------->(ii) Igualando los segundos miembros de (i) y (ii) tenemos la identidad de Stevin:

a

b

a

a

b

b

A1 A2

A3 A4

Fig 01

Fig 02

Fig 03

x

b

x c

A1 A2

A3 A4

A

A

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(a-b)2 = a2-2ab+b2

(a+b)2 - (a-b)2 = 4ab

(a+b) (a-b) = a2 – b2

4.3. CUADRADO DEL BINOMIO DIFERENCIA

Sea un cuadrado de lado a+b (Fig 04) Notamos que: a2 = A1+A2+A3+A4 a2 = b(a-b)+(a-b)2+b2+b(a-b) a2 = 2(ab-b2) + (a-b)2 + b2

a2 = 2ab - 2b2 + (a-b)2+ b2

a2 = 2ab - b2 + (a-b)2 Despejando(a-b)2, tenemos:

4.4. IDENTIDAD DE LEGENDRE Sea un cuadrado (Fig 05) con las mismas medidas del cuadrado anterior. El área A del cuadrado de lado a+b es: A=(a+b)2 ---------->(i) Además: A= A1 + A2 + A3 +…+A9

Vemos que: A1=A3=A7=A9=b2; A2=A4=A6=A8= b(a-b) y A5=(a-b)2

Luego A= 4b2+4b(a-b)+(a-b)2

= 4b2+4ab-4b2+(a-b)2 A = 4ab+(a-b)2 ----------->(ii) Igualando (i)y (ii) y transponiendo términos se tiene una de las identidades de Legendre:

4.5. PRODUCTO DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS MONOMIOS:

En el cuadrado de la Fig 06 se observa que: A1+A2= A1+Az----------->(i) Se nota que A4=A3 ----------->(ii) Entonces: A1+A2+A4= A1+Az+A3 Si sumamos y restamos A5 en el segundo miembro de la igualdad y agrupando los cuatro primeros términos se tiene: A1+A2+A4+ =( A1+A2+A3 +A5)-A5 Escribiendo el valor literal de sus áreas: (a+b)(a-b) = ( a2 ) – b2 = obteniéndose de esta forma de la suma y diferencia de dos monomios:

b

b

b

b

a

a

a

a

A4

A1 A2

A3

Fig 04

b

b

b

b

a

a

a

a

A4

A1 A2 A3

A5 A6

A7 A8 A9

Fig 05

Fig 06

b

b

b

b

b

a-b

a

a

a

A1 A2

A3

A4

A5

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5. UNA DESIGUALDAD INTERESANTE:

Geométricamente demostrar que:

Tomemos dos números racionales positivos:

, donde

Sea el rectángulo de la Fig 07 de base 1

y de altura

.

Se observa que A1+A2 < A1+(A2+A4) < A1+A2+A3+A4 Escribiendo los valores literales de sus áreas: A1+A2 < A1+(A2+A4) < A1+A2+A3+A4=

6. UN CUADRADO ALGEBRAICO Sea el siguiente cuadrado (Fig 08) que permitirá que los estudiantes refuercen los conceptos referidos a expresiones algebraicas, tipos, grado, valor numérico y las operaciones de adición y sustracción con ellas. ¿Cuál es el grado absoluto del polinomio P(x)?, sabiendo que P(x) se obtiene de la siguiente manera: 1. Selecciona (encerrándolo en un círculo) un de

los 16 polinomios del cuadrado. Elimina con un aspa (X) los polinomios de la misma fila y columna.

2. Selecciona un segundo polinomio. Repite el paso 1. 3. Selecciona un tercer polinomio. Repite el paso 1. 4. El polinomio que queda sin tarjar también enciérralo en un círculo. 5. Para hallar P(x) suma los 4 polinomios encerrados en círculos.

NUEVAS INTERROGANTES: i. Hallar: P(1)+P(2)+…+P(5)

ii. Determina el valor de E=

Fig 07

1

A3

A1 A2

A4

Jorge William Coronel Chávez ESPEC. FÍSICA Y MATEMÁTICAS

jw_coronel_ch@yahoo.es

-x3+5x

2 -x

3-x

2 x

3 3x

4-x

3

5x2+x -x

2+x 2x

3+x 3x

4+x

-3x4+6x

2 -3x

4 -3x4+2x3+x2 x

2

-x3+5x

2 -x

3-x

2 x

3 3x

4-x

3

Fig 08

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INICIACIÓN AL ESTUDIO DEL ÁLGEBRA de Carmen Sessa http://books.google.com.pe/books?id=G-C0VJ8OGFoC&printsec=frontcover&dq=dID%C3%81CTICA+DEL+%C3%81LGEBRA&hl=es&ei=6DW-TP_eAoWClAem1snkBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CCcQ6AEwAA#v=onepage&q=dID%C3%81CTICA%20DEL%20%C3%81LGEBRA&f=false

DIDÁCTICA DEL ÁLGEBRA de Nora Cabanne http://books.google.com.pe/books?id=OLxkcM28tCEC&pg=PA80&dq=dID%C3%81CTICA+DEL+%C3%81LGEBRA&hl=es&ei=6DW-TP_eAoWClAem1snkBw&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=3&ved=0CDEQ6AEwAg#v=onepage&q=dID%C3%81CTICA%20DEL%20%C3%81LGEBRA&f=false