La parbola es el lugar geomtrico de todos los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fijallamada directriz.Punto Foco = Punto Directriz PF = PDLa parbola tiene un eje desimetra, cuya interseccin en La parbola es el vrtice.| p |La distancia del vrtice al foco, tiene como valor | p |.La distancia de la directriz a el vrtice is igual a | p |.LA PARABOLALrI. Ecuacin Cannica de la Parbola - Vrtice (0, 0)La ecuacin de la prabola convrtice (0, 0) y foco en el eje - xes y2 = 4px.Las coordenadas del foco es (p, 0).La ecuacin de la directriz is x = -p.Si p > 0, la parbola se abre hacia la derecha.Si p < 0, la parbola se abre hacia la izquierda.LrLr=4pLa ecuacin de la parbola convrtice (0, 0) y foco en el eje-yes x2 = 4py.Las coordenadas del foco son (0, p).La ecuacin de la directriz is y = -p.Si p > 0, la parbola se abre hacia arriba.Si p < 0, la parbola se abre hacia abajo.II. Ecuacin Cannica de la Parbola con Vrtice (0, 0)Una parbola tiene como ecuacin y2 = -8x. Hallar lascoordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y grfica de la prabola.Si tenemos en cuenta la ecuacin cannica, entonces esta es y2 = 4px. El vrtice de la parbola es (0, 0).El foco est en el eje-x.Por lo tanto, comparamos y2 = 4pxcon y2 = -8xEntonces, 4p = -8 p = -2.Como p < 0, se abre Hacia la izquierda, siendo coordenadas del foco (-2, 0).La ecuacin de la directriz es x = -p, si reemplazamosentonces x = -(-2), por lo tantox = 2.F(-2, 0)x = 2EjemploUna parbola con vrtice (0, 0)y cuyo foco est en los ejes.Escribe la ecuacin de dicha parbola. Si el foco es (-6, 0), la ecuacin de la parbola es y2 = 4px.P es igual a la distancia del vrtice a el foco, entonces p = -6.La ecuacin de la parbola es y2 = -24x.b) La directriz est definida por x = 5.La ecuacin de la directriz es x = -p,reemplazando -p = 5 o p = -5.La ecuacin de la parbola es y2 = -20x.Ejemplos de Ecuaciones de la Parbola con Vrtice (0, 0)Entonces el foco est en el eje-x, la ecuacin de la parbola es y2 = 4px.c) El foco is (0, 3).a) El foco es (-6, 0).Si el foco es (0, 3), la ecuacin de la parbola es x2 = 4py.p es igual a la distancia del vrtice a el foco, entonces p = 3.La ecuacin de la parbola es x2 = 12y. Si p es positiva, la parbola se abre hacia arriba. Si p es negativa, la parbola se abre hacia abajo. Las ecuaciones ordinarias para las parbolas paralelas al eje-y son:(x - h)2 = 4p(y - k)Ecuacin Ordinaria de la Parbola con Vrtice (h, k)(x - h)2 = - 4p(y - k)El grfico de la parbola es hacia abajo.Lr Si p es positiva, la parbola se abre hacia la derecha. Si p es negativa, la parbola se abre hacia la izquierda. Las ecuaciones ordinarias para las parbolas paralelas al eje-x son:(y - k)2 = 4p(x - h)(y - k)2 = - 4p(x - h)El grfico de la parbola es hacia la izquierda.EJEMPLO DE ECUACION DE PARBOLA Vrtice (h;k)Escribe la ecuacin de la parbola con un foco de (3, 5) y la directriz x = 9, (ecuacin ordinaria y general)La distancia del foco a la directriz es 6 unidades, entonces por el grficorecordamos que el vrtice se encuentra en la mitad de esta distancia, esdecir a tres unidades, por lo que el vrtice es (6, 5).(6, 5)El eje de simetra es paralela al eje-x, y la Parbola se abre a la izquierda, siendo la ecuacin:(y - k)2 = -4p(x - h) h = 6 y k = 5Ecuacin ordinariay2 - 10y + 25 = -12x + 72y2 + 12x - 10y - 47 = 0Ecuacin general(y - 5)2 = -4(3)(x - 6)(y - 5)2 = -12(x - 6)LrHallar la ecuacin de la parbola, siendo su vrtice(-2, 6) y un punto de la prabola P(2, 8). Luego de ubicar el vrtice y el punto, nos damos cuenta que el eje de simetra es paralelo al eje-y.El vrtice es (-2, 6), siendo, h = -2 y k = 6.Sustitumos en la ecuacin respectivaPara hallar p y Obtenemos lo siguiente:(x - h)2 = 4p(y - k)(2 - (-2))2 = 4p(8 - 6) 16 = 8p 2 = px = 2 ; y = 8(x - h)2 = 4p(y - k)(x - (-2))2 = 4(2)(y - 6) (x + 2)2 = 8(y - 6)Ecuacin ordinariax2 + 4x + 4 = 8y - 48x2 + 4x + 8y + 52 = 0 Ecuacin General de la ParbolaEjemplo de Ecuacin de una Parbola Vrtice (h; k)Hallar las coordenadas del vrtice y el foco de la parbola, la ecuacin de la directriz, y su grfico respectivo; siendo Su ecuacin general y2 - 8x - 2y - 15 = 0. y2 - 8x - 2y - 15 = 0 y2 - 2y + _____ =8x + 15 + _____1 1(y - 1)2 = 8x + 16(y - 1)2 = 8(x + 2)El vrtice es (-2, 1).El foco es (0, 1).La ecuacin de la directriz es x = -4.La parbola se abre hacia la derecha.4p = 8p = 2EcuacinOrdinariaAnalizando una ParbolaHallar los elementos de la parbolay2 - 10x + 6y - 11 = 09 9 y2 + 6y + _____ = 10x + 11 + _____(y + 3)2 = 10x + 20(y + 3)2 = 10(x + 2)3.6.12V(-2; -3)4p = 10p =2,5F(0,5 ; -3 )Directriz x = - 4,5 Preguntas Sugeridas:Resolver en la presente clase los ejercicios de la hoja de aplicacin, con sus grficos respectivos. SUERTE.