diapositivas matematica financiera

MATEMATICAFACULTAD DE DERECHO. UNSA

MATEMATICA FINANCIERA ESTADISTICA

DR. PABLO JOSE QUICAÑO TREVIÑO

G1

GK

G…

G2 MERCADO

B

B

B

B

SOCIEDAD

B= bienes Mercado: intercambio económico

Introducción

G1

GK

G…

G2

3

IEB IEB

MERCADO

IEB IEB

IEB IEB

IEB= Intercambio económico de bienes

Estructura de Producción

DIAGRAMA DE SISTEMA ECONOMICO

Ahorro

Impuestos Netos Ingresos

G C

XN

Crédito a las empresas

Mercado Financiero

Mercado de Bienes

Mercado de Factores

Resto del Mundo

Empresas

Gobierno

Familias

I

XN G C

Crédito al Gobierno

Crédito Externo

MATEMATICA FINANCIERA

• SISTEMA ECONOMICO.

• INTERES SIMPLE E INTERES COMPUESTO.

• DECUENTO BANCARIO.

• ANUALIDADES.

• AMORTIZACIONES Y BONOS.

ESTADISTICA

• ESTADISTICA DESCRIPTIVA.

• ESTADISTICA INFERENCIAL.

CAPITAL O PRINCIPAL (C)S/. 5 000

Periodos (t)

1M 2M 3M 4M

5%250

5%250

5%250

5%250

Tasa de Interés % (i)

5 % Mensual

Monto oValor futuro

Capital S/. 5 000Interés S/. 1 000Total S/. 6 000

Interes (I)S/. 1 000

INTERES SIMPLE

a) Interés (I):

I = Cit

b) Monto (M) o (S)

M = C + I

M = C + Cit

M = C (1 + it)

Fórmulas de interés simple.

Ejemplo No.1: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 10 000, al 4.5 % durante 1 año.Solución:I =?M =?C = 10 000i = 4.5 % = 0.045t = 1 añoLa tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.045La formula de interés es: I = Cit, I = 10 000 x 0.045 x 1 = 450 solesLa formula del monto es: M = C + I M = 10 000 + 450 = 10 450 soles.La formula del monto es: M = C (1 + it) M = 10 000 (1 + 0.045 x 1) = 10 450 soles

Ejemplo No. 2: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 100 000 al 3 ½ % durante ½ año.Solución:

I =?M =?C = 100 000i = 3 ½ % = 3.5 %t = ½ añoLa tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.035La formula de interés es: I = Cit I = 100 000 x 0.035 x 0.5 = 1750 solesLa formula del monto es: M = C + I

M = 100 000 + 1750 = 101 750 soles.La formula del monto es: M = C (1 + it),

M = 100 000 (1+0.035 x 0.5) =101 750 soles

Ejemplo No. 3: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 500 000 al 5 ¼ % durante 2 años.Solución:

I =?M =?C = 500 000i = 5 ¼ % = 5.25 % t = 2 añosLa tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.0525La formula de interés es: I = Cit I = 500 000 x 0.0525 x 2 = 52 500 solesLa formula del monto es: M = C + I

M = 500 000 + 52 500 = 552 500 soles.La formula del monto es: M = C (1 + it)

M = 500 000 (1 + 0.0525 x 2) = 552 500 soles

Ejemplo No. 4: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 500 000 al 5 ¼ % durante 2 años.Solución:

I =?M =?C = 500 000i = 5 ¼ % = 5.25 % t = 3 añosLa tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.0525La formula de interés es: I = Cit I = 500 000 x 0.0525 x 3 = 78750 solesLa formula del monto es: M = C + I

M = 500 000 + 78750= 552 500 soles.La formula del monto es: M = C (1 + it)

M = 500 000 (1 + 0.0525 x 3) = 578750 soles

Ejemplo No. 5: Encontrar el interés simple y el monto de S/. 500 000 al 5 ¼ % durante 2 años.Solución:I =?M =?C = 500 000i = 5 ¼ % = 5.25 % t = 5 añosLa tasa de interés se debe expresar en tanto por uno, es decir, 0.0525La formula de interés es: I = Cit I = 500 000 x 0.0525 x 5 = 131250 solesLa formula del monto es: M = C + I

M = 500 000 + 52 500 = 631250 soles.La formula del monto es: M = C (1 + it)

M = 500 000 (1 + 0.0525 x 5) = 631250 soles

Ejemplo No. 6: Calcular el interés producido por un capital de 5000 $ colocado durante 3 años al 9 % anual.Solución: C = 5000 $ t = 3 años i = 9 % por lo tanto: I = 5000 . 9 . 3 = 1350 $ 100 ACLARACIÓN: la unidad de tiempo es el valor numérico de la frase que aparece en la razón.

Ejemplo. Razón 4 % anual representa:1 año = 12 meses = 2 semestres = 3 cuatrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 360 días

Ejemplo No. 7 : Un capital de 4000 $ es colocado al 5 % mensual durante 3 bimestres, calcular el interés ganado.C = 4000 $ i = 5 % mensual t = 3 bimestres = 9 meses I = 4000 . 5 . 9 = 1800 $ 100

Ejemplo No. 8: Un capital de 5000 $ se coloca en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar el valor del interés y del monto.Primero se deben “arreglar” los tiempos:

i = 4 % mensual t = 8 bimestres = 16 mesesLuego si i = 4% entonces i = 0,04Entonces: I = C. i. t = 5000. 0,04. 16 = 3200 $El monto será: M = C + I = 5000 + 3200 = 8200 $ En este caso se podría hallar también con la otra fórmula:M = C (1 + i t) = 5000 (1 + 0.04 *16) = 5000 (1 + 0,64) = = 5000*1,64 = 8200 $

Ejemplo No. 9: Un capital de 800$ se transformó en 850 $ en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual.C = 800 $ M = 850 $ por lo tanto I = 50 $ t = 2 bimestres = 4 meses. I = C . i . t 50 = 800. i. 4 50 = 3200. i 50 / 3200 = i 0,015 = i Significa que la tasa mensual es 0,015 o la razón 1,5 % mensual

Ejemplo No. 10: Un cierto capital se transformó en 25000 $ en dos trimestres, si se aplicó un 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital inicial?C = x (hay que averiguar) M = 25000 $ t = 2 trimestrei = 3 % i = 3 /100 = 0, 03Con estos datos, en la formula se tiene: M = C. (1 + i . t ) 25 000 = x. ( 1 + 0,03 . 6 ) 25 000 = x. ( 1 + 0.18 ) 25 000 = x. 1,18 25 000 / 1,18 = x 21 186, 44 = x

C = 21 186,44 $

Ejemplo No. 11: Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de 3000 $ que al ser depositado con una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de 400 $.t = x C = 3000 $ i = 0,09 anual I = 400 $ Este problema puede resolverse con la fórmula: I = C . i . t 400 / 270 = t 400 = 3000 . 0,09 . t 1,4814 = t 400 = 270 . tEste número está expresado en años (ya que la tasa así lo indica), vamos a transformarlo en un tiempo real, para ello se debe interpretar lo siguiente:1, 4814 años = 1 año + 0,4814 año = 1 año + 0,4814 x 12 meses = 1 año + 5,7768 meses = 1 año + 5 meses + 0,7768 meses = 1 año + 5 meses + 0,7768 x 30 días = 1 año + 5 meses + 23 días.

Ejemplo No. 12: Calcular a cuánto asciende el interés simple producido por un capital de 25 000 pesos invertido durante 4 años a una tasa del 6 % anual.

Se ha de expresar el 6 % en tanto por uno, y se obtiene 0,06I = 25 000·0,06·4 = 6 000 ? = C·i·tEl interés es de 6 000 pesos

Ejemplo No. 13: Calcular el interés simple producido por 30 000 pesos durante 90 días a una tasa de interés anual del 5 %.I = Cit

? = C·i·t

I = 30 000 *0.05 (90/360)= 375

I = 375 ptas.

Monto o Capital acumulado (M) o ( S)

1 2 3 4

FUNCION DE TIEMPO

Periodo de capitalización

INTERES COMPUESTO

n 0

n

Continuo

Discreto

1 + i

1 +2

i

1 +3

i

1 +4

i

1 +

ni

Monto o Capital acumulado (M) o ( S)

1 2 3 4

FUNCION DE TIEMPO

Periodo de capitalización

INTERES COMPUESTO

5 0

n

1100

1210

1331

1464

1611

1000

Periodo de capitalizacion.

(n)

Capital en funcion del

periodo

i Intereses MontoCapital

mas intereses a

final del periodo

1 1000.00 10% 100.00 1100.00

2 1100.00 10% 110.00 1210.00

3 1210.00 10% 121.00 1331.00

4 1331.00 10% 133.10 1464.10

5 1464.10 10% 146.41 1610.51

PER. CAP INICIAL INT. MONTO AL CABO DEL PERIO.1 Co Co i Co + Co I = Co (1+ i)2 Co(1+ i) Co(1+i) I Co(1+ i) + Co(1+i) i = Co (1+ i)(1+i) = Co (1+i)2

3 Co (1+i)2 i Co(1+i)2 Co (1+ i)2 + i Co(1+ i)2 = Co(1+ i)2 (1 + i) = Co (1+i)3

… --- --- ---n Co(1+i)n-1 Co(1+i)n-1i Co(1+ i)n-1 + Co(1+ i)n-1i = Co(1+ i)n-1(1+ i) = Co(1+i)n

En general: Cn = Co (1+i)n

FÓRMULAS DE INTERÉS COMPUESTO

a) Monto (M) o (S)

S=C(1+i)n; “n”es entero.

b) Monto (M) o (S)

S=C(1+i)n *(1+it); donde “n” es entero y “t” es

fracción.


S1 = 1000 (1+0.10)1 = 1100 ; S = C(1 + i)1

S2 = 1100 (1+0.10)2 = 1210 ; S = C(1 + i)2

S3 = 1210 (1+0.10)3 = 1331 ; S = C(1 + i)3

… … …

Sn = ; S = C(1 + i)n


Ejemplo de Interés simple y compuestoCalcular el Interés simple y compuesto para un monto de S/. 1000 por 3 años al 5 %.

a) Interés simpleI = C. i. t ; 1000*0.05*3 = 150M = C + I = 1150

b) Interés compuesto1 año ; I = C. i. t = 1000*0.05*1 = 50

M = C + I = 1000 + 50 = 10502 año ; I = C. i. t = 1050*0.05*2 = 52.50

M = C + I = 1050 + 52.50 = 1102.503 año ; I = C. i. t = 1050*0.05*3 = 55.12

M = C + I = 1102.50 + 55.12 = 1157.62

Interés compuesto = 50 + 52.50 +55.12 = 157.62

INTERÉS COMPUESTO

Por la formula general S = C(1 + i)n se tiene:S = C(1 + i)n = 1000(1 + 0.05)3 = 1157.62

TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA DE INTERES

La tasa nominal es el interés que capitaliza más de una vez por año. Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero.

Interés = Capital x tasa% x plazo en días 100 365

INTERÉS COMPUESTO

La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique. La tasa efectiva es una función exponencial de la tasa periódica.

Interés = Capital x [ (1+ i) n - 1]

INTERÉS COMPUESTO

La tasa equivalente es aquella en la que la tasa nominal y la tasa efectiva tienen el mismo rendimiento, es decir producen la misma cantidad de intereses en un mismo período. Como la tasa efectiva es el producto de la capitalizaciones de la tasa nominal, la equivalencia entre las tasas estaría dada por:

(1+ iN ) n = 1 + ie

INTERÉS COMPUESTO

1. Calcular la tasa nominal convertible mensualmente y que sea equivalente a la tasa efectiva anual del 101.22 %.

iN = ?

ie = 1.0122n = 12

(1+ iN ) 12 = 1 + 1.0122

1+ iN = (2.0122) 1/12

iN = 0.06 mensual iN = 0.06 *12 = 0.72 convertible

mensualmente iN = 72 % convertible mensualmente

EJEMPLOS DE INTERÉS COMPUESTO

2. Calcular el monto de S/. 500 en 2 años a una tasa del 4%, convertible trimestralmente.

C= 500t = 2 añosn = 8 trimestres

i = 4% = 0.04 anuali = 0.04/4 = 0.01 por trimestre

M = C(1+i)n ; M = 500 (1 +0.01) 8

M = 541.5


3. Calcular el monto compuesto de S/. 8 500 000 por 6 años 3 meses al 75% anual.

C= 8 500 000i = 0.75n = 6 añost = 3 meses/ 12 meses = ¼ años = 0.25

años

M = C(1+i)n (1 + it); M = 8 500 000 (1 +0.75)6 (1 + 0.75*0.25)

M = 289 921 772


4. A qué tasa de interés convertible trimestralmente, un capital de 50 000 se convertirá en 3 000 000 en 5 años y 2 meses.

C= 50 000M = 3 000 000i = ?n = 5 años = 20 trimestres.t = 2 meses/ 3 meses = 2/3 trimestres

M = C(1+i)n (1 + it); 3 000 000 = 50 000 (1 + i)20 (1 + i*2/3)

La solución aproximada en M = C(1+i)n con n= 20*2/3 = 62/33 000 000 = 50 000 (1 + i)62/3

i = 87.64% anual convertible trimestralmente


5. En cuanto tiempo un capital de 800 000 se convertirá en 12 000 000 a una tasa del 60% convertible semestralmente.

C= 800 000; M= 12 000 000; i = 60%=0.60/2=0.30 por semestre

t = ? M = C(1+i)n ; 12 000 000 = 800 000 (1 + 0.3)n

n = 10.3217 semestres.t = 10 semestres 1mes 28 días considerando

interés ordinario.Considerando la fracción de tiempo se tiene:M = C(1+i)n (1+ it); 12 000 000 = 800 000 (1 + 0.3)10(1+ 0.6t)t = 0.1468 años = 53 días. Luego t = 10 semestres 1 mes 23 días.


1. Calcular el monto que se obtendrá depositando $ 3.000 durante 90 días, al 5 % de interés cada 30 días, con capitalización cada 30 días.

2. En diciembre de 19x3 se efectuó una inversión de $ 5.000 al 5 % anual capitalizable anualmente. Cuánto podrá retirarse en diciembre de 19x7?.

4. ¿ Cuál fue el depósito original que a la tasa del 12 % mensual, produjo un monto de $ 1.973,82 al cabo de 6 meses?.

5. Se desea conocer que tasa de interés, ha redituado un capital de $ 1.000 que colocado durante 6 meses permitió obtener $1.973,82 de monto.

6. Durante cuánto tiempo habrá estado colocado un capital de $ 700 si produjo un monto de $ 911,58 a la tasa del 4,5 % mensual ?.

7. ¿ Cuál fue el interés ganado en una colocación al 5 % mensual, durante un año; si el monto obtenido es de $ 2.693,78 ?.

8. Hallar la cantidad que es necesario colocar en una cuenta que paga el 15% con capitalización trimestral, para dispones de 20.000 al cabo de 10 años.

9. ¿Cuántos meses deberá dejarse una póliza de acumulación de $2.000 que paga el 3% anual, para que se convierta en %7.500?

EJERCICIOS DE INTERÉS COMPUESTO

10. Hallar el valor futuro a interés compuesto de $100, para 10 años: a. al 5% efectivo anual b. al 5% capitalizable mensualmente c. al 5% capitalizable trimestralmente d. al 5% capitalizable semestralmente 11. Hallar el valor futuro de $20.000 depositados al 8%, capitalizable anualmente

durante 10 años 4 meses. 12. ¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 8%, capitalizable

trimestralmente? 13. Hallar la tasa nominal convertible semestralmente, a la cual $10.000 se

convierten en $12.500, en 5 años. 14. ¿Cuántos años deberá dejarse un depósito de $6.000 en una cuenta de

ahorros que acumula el 8% semestral, para que se conviertan en $10.000? 15. ¿Qué es más conveniente: invertir en una sociedad maderera que garantiza

duplicar el capital invertido cada 10 años, o depositar en una cuenta de ahorros que ofrece el 6% capitalizable trimestralmente?

16. Una inversionista ofreció comprar un pagará de $120.000 sin interés que vence dentro de 3 años, a un precio que le produzca el 8% efectivo anual; calcular el precio ofrecido.

17. Hallar el VF a interés compuesto de $20.000 en 10 años, a la tasa del 5% de interés. Comparar el resultado con el monto compuesto al 5%, convertible

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