MATEMTICAS FINANCIERASFundamentos Valor del dinero en el tiempo Equivalencias

Matemtica Financiera La MF se ocupa de la aplicacin de relaciones matemticas que ayudan a la comparacin de alternativas. Herramienta Ayuda a tomar decisiones.

Proceso de decisin1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Entender el problema, definir el objetivo. Reunir datos e informacin. Definir y especificar las alternativas. Identificar el criterio (objetivo). Evaluar cada alternativa Elegir la mejor alternativa. Implementar y supervisar

Evaluacin de las alternativas A cada alternativa le corresponde un flujo de dinero: Entradas y salidas de dinero en diferentes momentos de la vida del proyecto.

A cada flujo de dinero le corresponde una medida de valor: Valor Presente, Valor Anual Equivalente, Tasa de Retorno, Periodo de Recuperacin.

El valor del dinero en el tiempo S/. 10,000 hoy o dentro de un ao? Hoy

Una misma suma de dinero vale ms hoy que dentro de n periodos. Si obtenemos una cantidad de dinero hoy y pagamos por ella dentro de un ao, debemos pagar una cantidad mayor. A la diferencia entre estos valores se le llama inters.

Inters y tasa de inters Hoy obtenemos S/. 1,000.00 y devolvemos dentro de un ao S/. 1,050.00 . Entonces: Inters = S/.1,050.00 S/.1,000.00 = S/.50.00 Tasa de Inters=(50.00/1,000.00)x100%=5%

Formula: Inters = Valor Final Valor Inicial Tasa de Inters=(Inters/Valor Inicial)x100%

Inters y tasa de inters Ejemplo: Se compra un TV por S/.500.00 con un crdito para pagar en un mes la suma de S/.520.00. Qu inters estamos pagando? Inters : 520-500=20 Estamos pagando 20 soles de inters.

Tasa de Inters: (20/500)x100% = 4% Estamos pagando 4% mensual.

La tasa de inters debe expresarse asociada al periodo de tiempo: i % anual, mensual, semanal, diaria, etc.

Equivalencia Dos sumas de dinero en dos momentos, son diferentes pero pueden ser equivalentes econmicamente. Esta equivalencia est determinada por la tasa de inters. S/.100 hoy equivalen a S/.106 en un ao? Si, a una tasa de 6% anual. NO, a cualquier otra tasa.

El valor del dinero en el tiempo, ms de un periodo Cuando tenemos ms de un periodo hay que cuidar la relacin entre las tasa de inters y el tiempo total que estamos considerando. Hay que tener cuidado en: El trato de los intereses generados La forma de expresar la tasa

El trato de los intereses generados: Inters Simple o Inters Compuesto Supongamos S/.100 hoy a una tasa de inters del 10% anual. A cuanto equivale dentro de 2 aos? La respuesta depende de cmo tratamos los intereses generados al final del primer ao. Este tratamiento se denomina capitalizacin.

Terminologa Antes de seguir, para tratar claramente los temas, fijemos alguna terminologa: P , VP = Valor o cantidad de dinero en un tiempo determinado como el presente, tiempo 0. F , VF = Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro dado. n = Nmeros de periodos de inters. i = Tasa de inters por periodo.

Inters Simple El inters se calcula en cada periodo sobre el principal (capital inicial) Supongamos S/.100 hoy a una tasa de inters simple del 10% anual. A cuanto equivale dentro de 2 aos? En cada ao se generan S/.10 de intereses. En dos aos se generan S/.20 de interess Al final del segundo ao tendremos S/120

Inters SimpleEjemplo: S/. 10,000 a 5 aos con 6% inters anual simple. Cunto debemos pagar al final?

Periodo 0 1 2 3 4 5

Inters010,000.00x6%=600.00 10,000.00x6%=600.00 10,000.00x6%=600.00 10,000.00x6%=600.00 10,000.00x6%=600.00

Final10,000.00 10,600.00 11,200.00 11,800.00 12,400.00 13,000.00

Inters Simple VP a n aos con i % inters anual simple. Cunto debemos pagar al final?

VF=VP(1 + i x n) Ejemplo: S/. 10,000 a 5 aos con 6% inters anual simple. Cunto debemos pagar al final?VF= 10,000(1+0.06x5) =10,000(1.3)=13,000.00

Inters Compuesto En el caso del inters compuesto se considera que los intereses generados en un periodo pasan a formar parte del capital Esto quiere decir que los intereses se capitalizan en cada periodo. El inters se calcula en cada periodo sobre el capital total (principal ms intereses acumulados).

Inters Compuesto Supongamos S/.100 hoy a una tasa de inters compuesto del 10% anual. A cuanto equivale dentro de 2 aos? En el primer ao se generan S/.100x10%=S/.10 de intereses. El nuevo capital, al final del primer ao, es de S/.100 +S/.10=S/.110 En el segundo ao se generan S/.110x10%=S/.11 de intereses. Al final del segundo ao tendremos S/110+S/.11=S/121

Inters CompuestoEjemplo: S/. 10,000 a 5 aos con 6% inters anual compuesto. Cunto debemos pagar al final?

Periodo 0 1 2 3 4 5

Inters010,000.00x6%=600.00 10,600.00x6%=636.00 11,236.00x6%=674.16 11,910.16x6%=714.61 12,625.77x6%=757.49

Final10,000.00 10,600.00 11,236.00 11,910.16 12,625.77 13,382.26

Inters Compuesto VP a n aos con i % inters anual compuesto. Cunto debemos pagar al final?

VF=VP(1+i)n Ejemplo: S/. 10,000 a 5 aos con 6% inters anual compuesto. Cunto debemos pagar al final?VF= 10,000(1+0.06)5 = 10,000(1.338226)=13,382.26

Formas de expresar la tasa de inters Tasa Nominal y Tasa Efectiva Una misma tasa de inters se puede expresar de dos maneras. La Tasa Nominal no toma en cuenta la capitalizacin peridica o subperidica. La Tasa Efectiva toma en cuenta las capitalizaciones. Veremos como convertir tasas nominales en efectivas y viceversa.

Formas de expresar la tasa de inters Tasa Nominal y Tasa Efectiva Ponemos S/.1,000 al 6% durante un ao. Qu pasara si nos pagan los interess cada seis meses y estos se capitalizan? A los seis meses ha transcurrido medio () ao, a este periodo le corresponde: x 6%=3% En seis meses hemos ganado S/.1,000x3%=S/.30, tenemos al medio del ao: S/.1,030.00 En el segundo medio ao ese capital gana el otro 3%: S/.1030x3%=S/.30.90 Al final del ao tenemos S/.1,060.90, hemos ganado un 6.09% de intereses.

En el ao, la tasa nominal es 6% pero la efectiva es 6.09%. No son iguales por la capitalizacin.

De la Tasa Nominal a La Tasa Efectiva Cuando nos dan una tasa de inters debemos reconocer tres periodos: El periodo de expresin. El perodo de capitalizacin. El perodo efectivo que queremos calcular. Ejemplos: 10% nominal anual capitalizable mensualmente 10% nominal semestral compuesto bimestralmente 8% nominal anual compuesto diariamente 12% nominal mensual compuesto quincenalmente

Equivalencia de Tasas

Equivalencia de Tasas La Tasa Efectiva Anual (TEA) Para calcular la tasa efectiva, debemos hacer dos preguntas: Cuntos periodos de capitalizacin hay en el periodo de expresin? = n Cuntos periodos de capitalizacin hay en el periodo efectivo de clculo? = m

Equivalencia de Tasas La Tasa Efectiva Anual (TEA)

Una tasa nominal anual de 10 % capitalizable mensualmente (i=0.10, n=m=12) nos da una TEA de (1+0.10/12)12 -1 = 10.47% 10% nominal semestral compuesto bimestralmente 8% nominal anual compuesto diariamente (1ao=360das) 12% mensual compuesto quincenalmente (1 ao=52 semanas)

Equivalencia de Tasas De la nominal a la efectiva Veamos varias posibilidades:

Capitalizacin continua El limite de la frecuencia de capitalizacin es la capitalizacin continua. Cuntos periodos de capitalizacin hay en el periodo de expresin? Infinitos Cuntos periodos de capitalizacin hay en el periodo efectivo de cculo? Infinitos

La frmula en este caso es:

i1 TEA = e

Efecto de la capitalizacin

Equivalencia de Tasas De TEA a la tasa efectiva Algunos ejemplos: Prstamo, Hipoteca

Informacin financiera

Informacin financiera

CENTRUM-PUCP

MATEMTICAS FINANCIERASSesin 2: Flujos de efectivo Equivalencias

Terminologa En un flujo de dinero identificamos: P , VP = Valor o cantidad de dinero en un tiempo determinado como el presente, tiempo 0. F , VF = Valor o cantidad de dinero en un tiempo futuro dado. A = Cantidad de dinero igual y consecutiva. Serie constante. n = Nmeros de periodos de inters. i = Tasa de inters por periodo.

Representacin Un flujo se puede representar grficamente:

Calcular el valor futuro sabiendo el valor presenteFactor F/P (halla F dado P) Tenemos un valor inicial P puesto a un inters i% a n perodos. Cul es el valor futuro F? F=P (F/P,i%,n)=Px(1+i)n

Ejemplo: Cul es el valor futuro de S/.1,000 dentro de 4 aos a un 3.5% anual? F=1,000x(1.035)4=1,147.52

Calcular el valor futuro sabiendo el valor presenteFuncin VF de Excel TASA = i% Nper = n Pago (no se aplica) Va = P Tipo (no se aplica)

Calcular el valor futuro sabiendo la anualidadFactor F/A (halla F dado A) Cul es el valor final de un flujoA durante n perodos a un inters i%? F=A(F/A,i%,n)=Ax[((1+i)n -1)/i]

Ejemplo: Cul es el valor futuro de una serie de pagos de S/. 10,000 al final de los prximos 7 aos a una tasa de 11% anual? F=10,000x[((1+0.11)7-)/0.11]=

Calcular el valor futuro sabiendo la anualidadFuncin VF de Excel TASA = i% Nper = n Pago = A Va (no se aplica) Tipo (no se aplica)

Calcular el valor presente sabiendo el valor futuroFactor P/F (halla P dado F) Cunto debo poner hoy a un inters i% durante n perodos para tener un valor final dado? P = F (P/F,i%,n) = F x (1+i)-n

Ejemplo: Cunto vale un bono que me pagar S/.90,000 dentro de 10 aos, si la tasa de inters es 2.5% anual? P=90,000x(1.025)-10=70,307.86

Calcular el valor presente sabiendo el valor futuro Funcin VA de Excel TASA = i% Nper = n Pago (no se aplica) Vf = F Tipo (no se aplica)

Calcular el valor presente sabiendo la anualidadFactor P/A (halla P dado A) Cunto vale hoy una serie de pagos A durante n perodos a un inters i%?

P=A(P/A,i%,n)=Ax[((1+i)n-1)/(i(1+i)n)] =Ax Ejemplo: Cul es el valor presente de una serie de pagos de S/. 10,000 al final de los prximos 7 aos a una tasa de 11% anual? P=10,000x[((1.11)7-1)/(0.11(1.11)7)] =

Calcular el valor presente sabiendo la anualidad Funcin VA de Excel TASA = i% Nper = n Pago = A Vf (no se aplica) Tipo (no se aplica)

Calcular la anualidad sabiendo el valor futuro Factor A/F (halla A dado F) Cunto debemos depositar durante n perodos a un inters i% para tener un valor F al final? A=F(A/F,i%,n)=Fx[i/((1+i)n -1)] Ejemplo: Cunto debo depositar cada ao, empezando dentro de un ao, al 5% anual para acumular S/. 3,500 al final del octavo ao? A=3,500x[0.05/((1+0.05)8-1)]=

Calcular la anualidad sabiendo el valor futuro Funcin PAGO de Excel TASA = i% Nper = n Va (no se aplica) Vf = F Tipo (no se aplica)

Calcular la anualidad sabiendo el valor presente Factor A/P (halla A dado P) Cul es el valor A de un flujo durante n perodos a un inters i% para que equivalga a P hoy? A=P(A/P,i%,n)=Px[(i(1+i)n)/((1+i)n =Px -1)]

Ejemplo: Si recibo S/.10,000 hoy cunto debo depositar cada ao, empezando dentro de un ao, al 5% anual durante 8 aos? A=10,000x[(0.05(1.05)8)/((1.05)8 A=10,000x -1)]=

Calcular la anualidad sabiendo el valor presente

Funcin PAGO de Excel

TASA = i% Nper = n Va = P Vf (no se aplica) Tipo (no se aplica)

Problemas y ejercicios

Ejemplo 01Dada la tasa nominal del 7%, compuesta mensualmente, calcular la tasa efectiva anual.

Ejemplo 02Si la tasa de inters es de 6% anual, a cuanto equivalen $100 dentro de un ao?

Ejemplo 03Supongamos que alguien nos regala un bono del estado de $25 a 8 aos. Al vencer el octavo ao, el estado pagar al posesor del bono la suma de $25. Cul seria el valor del bono al momento que lo hemos recibido? Supongamos una tasa de inters del 3% anual.

Ejemplo 04Un contratista ha comprado una escavadora pagando cuotas de $50,000 al ao, con un inters del 8% anual por un periodo de cuatro aos. Cul es el valor presente actual de la maquina? Cul es el valor futuro de la maquina?

Ejemplo 05Cul es el valor actual de una moto niveladora que ha sido comprada pagando cuotas de $25,000 cada 6 meses por un periodo de 4 aos al inters efectivo del 10% anual?

Ejemplo 06Un contratista quiere comprar un cargador cuyo precio es de $350,000. El contratista y el concesionario del equipo han acordado el siguiente plan de pagos: $80,000 al contado. La diferencia en 50 cuotas mensuales al inters del 12%. Cul es el pago mensual que el contratista debe desembolsar?

Ejemplo 07Si el contratista del problema anterior decide despus de 10 meses de pago, extinguir la restante obligacin, qu suma tendra que pagar?

Ejemplo 08Un contratista invierte $5,000 por ao en certificados de deposito a un inters del 6% por ao y planea continuar la inversin por los prximos 6 aos. Cul ser el valor de la inversin al final de los 6 aos?

Ejemplo 09Un contratista ha comprado un camin al precio de $125,000 y planea usarlo en los prximos 6 aos. Despus de 6 aos de uso, el valor residual del camin es de $30,000. Cul ser el costo anual del contratista por el camin si la tasa de inters es del 10% anual?

Ejemplo 10Una compaa desea acumular una suma de $10,000 haciendo depsitos anuales durante 5 aos. Si el inters recibido es el 4% al ao, Cul ser el deposito anual?

Ejemplo 11A Carmen le han ofrecido la oportunidad de recibir el siguiente flujo variable de ingresos en los tres aos siguientes: Ao 1 = $1,000 Ao 2 = $2,000 Ao 3 = $500

Si Carmen quiere ganar como mnimo 6% de su inversin, Cunto es lo mximo que debera pagar hoy?

Ejemplo 12Maria desea determinar cuanto debera depositar a fin de cada mes, durante 5 aos, para tener acumulados $10,000, para la universidad de su hijo. El tipo de inters es del 10%.

Ejemplo 13Para comprar un automvil, Jos pidi un prstamo por $8,500 al 12.6825% efectivo anual, a pagar en 40 meses. Cunto deber pagar todos los meses Jos?

Ejemplo 14Supongamos que una empresa pide prestado $25,000 que devolver en tres cuotas iguales al final de cada uno de los 3 aos siguientes. El banco pide un 2.5% mensual. A cuanto asciende la cuota a pagar?

Ejemplo 16Supongamos que en 19X1 la empresa BAMSA obtiene beneficios por accin de $2.50 y que en 10 aos despus el beneficio por accin ha aumentado a $3.7. Cul es la tasa de crecimiento del beneficio por accin?

Ejemplo 17Usted tiene 65 aos de edad y esta considerando si le convienen comprar una anualidad de una compaa de seguros. Por un costo de $10,000, la compaa de seguros le pagara $1,000 anualmente por el resto de su vida. Si usted puede ganar 8% anualmente con su dinero en una cuenta bancaria y espera vivir hasta los 80 aos, vale la pena comprar la anualidad?, Cunto debera vivir para que valga la pena la anualidad?